Matrixdeterminante

Das Finden der Determinante einer Matrix ist ein sehr häufiges Problem in der höheren Mathematik und Algebra. Bei der Lösung komplexer Gleichungssysteme kann man in der Regel nicht auf den Wert der Matrixdeterminante verzichten. Cramers Methode zur Lösung von Gleichungssystemen basiert auf der Berechnung der Matrixdeterminante. Mithilfe der Definition einer Determinante wird das Vorhandensein und die Eindeutigkeit der Lösung von Gleichungssystemen bestimmt. Daher ist es schwierig, die Bedeutung der Fähigkeit, die Determinante einer Matrix in der Mathematik richtig und genau zu finden, zu überschätzen. Methoden zur Lösung von Determinanten sind theoretisch recht einfach, aber mit zunehmender Größe der Matrix werden die Berechnungen sehr umständlich und erfordern große Sorgfalt und viel Zeit. Es ist sehr leicht, bei solch komplexen mathematischen Berechnungen einen kleinen Fehler oder Tippfehler zu machen, der zu einem Fehler in der endgültigen Antwort führt. Daher auch wenn Sie finden Matrixdeterminante Unabhängig davon ist es wichtig, das Ergebnis zu überprüfen. Dies ermöglicht es uns, unseren Service „Finden der Determinante einer Matrix“ online anzubieten. Unser Service liefert immer ein absolut genaues Ergebnis, das keine Fehler oder Tippfehler enthält. Sie können unabhängige Berechnungen ablehnen, da sie aus angewandter Sicht keine Ergebnisse liefern Matrixdeterminante hat keinen Lehrcharakter, sondern erfordert einfach viel Zeit und numerische Berechnungen. Daher, wenn in Ihrer Aufgabe Bestimmung der Matrixdeterminante Sind Hilfs-, Nebenberechnungen, nutzen Sie unseren Service und Finden Sie die Matrixdeterminante online!

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Der Begriff der Determinante ist einer der Hauptbegriffe der linearen Algebra. Dieses Konzept ist NUR QUADRATISCHEN MATRIXEN inhärent, und dieser Artikel ist diesem Konzept gewidmet. Hier werden wir über Determinanten von Matrizen sprechen, deren Elemente reelle (oder komplexe) Zahlen sind. In diesem Fall ist die Determinante eine reelle (oder komplexe) Zahl. Alle weiteren Präsentationen werden eine Antwort auf die Fragen sein, wie die Determinante berechnet wird und welche Eigenschaften sie hat.

Zunächst definieren wir die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung n mal n als Summe der Produkte von Permutationen von Matrixelementen. Basierend auf dieser Definition schreiben wir Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen erster, zweiter und dritter Ordnung und analysieren detailliert die Lösungen mehrerer Beispiele.

Als nächstes wenden wir uns den Eigenschaften der Determinante zu, die wir in Form von Theoremen ohne Beweis formulieren werden. Hier erhält man eine Methode zur Berechnung der Determinante durch deren Entwicklung über die Elemente einer Zeile oder Spalte. Diese Methode reduziert die Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung n mal n auf die Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 oder weniger. Stellen Sie sicher, dass Sie Lösungen zu mehreren Beispielen zeigen.

Lassen Sie uns abschließend auf die Berechnung der Determinante nach der Gauß-Methode eingehen. Diese Methode eignet sich gut zum Finden von Determinanten von Matrizen mit einer Ordnung größer als 3 x 3, da sie weniger Rechenaufwand erfordert. Wir werden auch die Lösung von Beispielen analysieren.

Seitennavigation.

Definition der Matrixdeterminante, Berechnung der Matrixdeterminante per Definition.

Wir erinnern uns an mehrere Hilfskonzepte.

Definition.

Permutation der Ordnung n heißt eine geordnete Zahlenmenge, bestehend aus n Elementen.

Für eine Menge mit n Elementen gibt es n! (n Fakultät) von Permutationen der Ordnung n. Permutationen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der Elemente voneinander.

Betrachten Sie beispielsweise eine Menge bestehend aus drei Zahlen: . Wir schreiben alle Permutationen auf (insgesamt sind es sechs). ):

Definition.

Inversion in einer Permutation der Ordnung n Es wird jedes Paar von Indizes p und q aufgerufen, für das das p-te Element der Permutation größer als das q-te ist.

Im vorherigen Beispiel ist die Umkehrung der Permutation 4 , 9 , 7 p=2 , q=3 , da das zweite Element der Permutation 9 ist und größer als das dritte Element ist, das 7 ist. Die Umkehrung der Permutation 9 , 7 , 4 besteht aus drei Paaren: p=1 , q=2 (9>7 ); p=1 , q=3 (9>4 ) und p=2 , q=3 (7>4 ).

Wir werden mehr an der Anzahl der Inversionen in einer Permutation interessiert sein als an der Inversion selbst.

Sei eine quadratische Matrix der Ordnung n mal n über dem Körper der reellen (oder komplexen) Zahlen. Sei die Menge aller Permutationen der Ordnung n der Menge. Das Set enthält n! Permutationen. Bezeichnen wir die k-te Permutation der Menge als und die Anzahl der Inversionen in der k-ten Permutation als.

Definition.

Matrixdeterminante Und es gibt eine Zahl gleich .

Lassen Sie uns diese Formel in Worten beschreiben. Die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung n mal n ist die Summe, die n enthält! Bedingungen. Jeder Term ist ein Produkt von n Elementen der Matrix, und jedes Produkt enthält ein Element aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix A. Ein Koeffizient (-1) erscheint vor dem k-ten Term, wenn die Elemente der Matrix A im Produkt nach Zeilennummer geordnet sind und die Anzahl der Inversionen in der k-ten Permutation der Menge der Spaltennummern ungerade ist.

Die Determinante einer Matrix A wird üblicherweise als bezeichnet, außerdem wird det(A) verwendet. Sie können auch hören, dass die Determinante als Determinante bezeichnet wird.

So, .

Dies zeigt, dass die Determinante der Matrix erster Ordnung das Element dieser Matrix ist.

Berechnung der Determinante einer Quadratmatrix zweiter Ordnung – Formel und Beispiel.

im Allgemeinen etwa 2 x 2.

In diesem Fall n=2 , also n!=2!=2 .

.

Wir haben

Somit haben wir eine Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung 2 mal 2 erhalten, sie hat die Form .

Beispiel.

Befehl.

Lösung.

In unserem Beispiel. Wir wenden die resultierende Formel an :

Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung – Formel und Beispiel.

Finden wir die Determinante einer quadratischen Matrix im Allgemeinen etwa 3 mal 3.

In diesem Fall n=3 , also n!=3!=6 .

Lassen Sie uns die für die Anwendung der Formel erforderlichen Daten in Form einer Tabelle anordnen .

Wir haben

Somit haben wir eine Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix der Ordnung 3 mal 3 erhalten, sie hat die Form

Ebenso kann man Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 4 mal 4, 5 mal 5 und höher erhalten. Sie werden sehr sperrig aussehen.

Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante der Quadratmatrix etwa 3 mal 3.

Lösung.

In unserem Beispiel

Wir wenden die resultierende Formel an, um die Determinante einer Matrix dritter Ordnung zu berechnen:

Formeln zur Berechnung der Determinanten quadratischer Matrizen zweiter und dritter Ordnung werden sehr häufig verwendet, daher empfehlen wir Ihnen, sich diese zu merken.

Eigenschaften einer Matrixdeterminante, Berechnung einer Matrixdeterminante anhand von Eigenschaften.

Basierend auf der obigen Definition ist Folgendes wahr. Matrixdeterminanteneigenschaften.

Die Determinante der Matrix A ist gleich der Determinante der transponierten Matrix A T , also .

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Matrixdeterminante vorhanden ist ist gleich der Determinante der transponierten Matrix.

Lösung.

Verwenden wir die Formel, um die Determinante einer Matrix der Ordnung 3 mal 3 zu berechnen:



Wir transponieren Matrix A:


Berechnen Sie die Determinante der transponierten Matrix:



Tatsächlich ist die Determinante der transponierten Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Wenn in einer quadratischen Matrix alle Elemente mindestens einer der Zeilen (einer der Spalten) Null sind, ist die Determinante einer solchen Matrix gleich Null.

Beispiel.

Überprüfen Sie die Matrixdeterminante Ordnung 3 mal 3 ist Null.

Lösung.




Tatsächlich ist die Determinante einer Matrix mit einer Nullspalte Null.

Wenn Sie zwei beliebige Zeilen (Spalten) in einer quadratischen Matrix vertauschen, ist die Determinante der resultierenden Matrix der ursprünglichen entgegengesetzt (d. h. das Vorzeichen ändert sich).

Beispiel.

Gegeben sind zwei quadratische Matrizen der Ordnung 3 mal 3 Und . Zeigen Sie, dass ihre Determinanten entgegengesetzt sind.

Lösung.

Matrix B wird aus Matrix A erhalten, indem die dritte Zeile durch die erste und die erste durch die dritte ersetzt wird. Entsprechend der betrachteten Eigenschaft müssen sich die Determinanten solcher Matrizen im Vorzeichen unterscheiden. Überprüfen wir dies, indem wir die Determinanten anhand einer bekannten Formel berechnen.



Wirklich, .

Wenn in einer quadratischen Matrix mindestens zwei Zeilen (zwei Spalten) gleich sind, ist ihre Determinante gleich Null.

Beispiel.

Zeigen Sie, dass die Matrixdeterminante gleich Null.

Lösung.

In dieser Matrix sind die zweite und dritte Spalte gleich, daher muss ihre Determinante gemäß der betrachteten Eigenschaft gleich Null sein. Schauen wir es uns an.



Tatsächlich ist die Determinante einer Matrix mit zwei identischen Spalten Null.

Wenn in einer quadratischen Matrix alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit einer Zahl k multipliziert werden, ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix, multipliziert mit k. Zum Beispiel,



Beispiel.

Beweisen Sie, dass die Matrixdeterminante ist gleich dem Dreifachen der Determinante der Matrix .

Lösung.

Die Elemente der ersten Spalte der Matrix B werden aus den entsprechenden Elementen der ersten Spalte der Matrix A durch Multiplikation mit 3 erhalten. Dann sollte aufgrund der betrachteten Eigenschaft die Gleichheit gelten. Überprüfen wir dies, indem wir die Determinanten der Matrizen A und B berechnen.



Also, was bewiesen werden musste.

BEACHTEN SIE.

Verwechseln oder verwechseln Sie nicht die Konzepte von Matrix und Determinante! Die betrachtete Eigenschaft der Determinante einer Matrix und die Operation der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl sind bei weitem nicht dasselbe.
, Aber .

Wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) einer quadratischen Matrix die Summe von s Termen sind (s ist eine natürliche Zahl größer als eins), dann ist die Determinante einer solchen Matrix gleich der Summe von s Determinanten der daraus erhaltenen Matrizen das Original, wenn als Elemente der Zeile (Spalte) jeweils ein Term übrig bleibt. Zum Beispiel,


Beispiel.

Beweisen Sie, dass die Determinante einer Matrix gleich der Summe der Determinanten der Matrizen ist .

Lösung.

In unserem Beispiel , also aufgrund der betrachteten Eigenschaft der Matrixdeterminante die Gleichheit . Wir überprüfen dies, indem wir die entsprechenden Determinanten von Matrizen der Ordnung 2 mal 2 anhand der Formel berechnen .


Aus den erhaltenen Ergebnissen ist dies ersichtlich . Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Wenn wir zu den Elementen einer Zeile (Spalte) der Matrix die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) hinzufügen, multipliziert mit einer beliebigen Zahl k, dann ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Elemente der dritten Spalte der Matrix vorhanden sind Addieren Sie die entsprechenden Elemente der zweiten Spalte dieser Matrix, multipliziert mit (-2), und addieren Sie die entsprechenden Elemente der ersten Spalte der Matrix, multipliziert mit einer beliebigen reellen Zahl, dann ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich die Determinante der ursprünglichen Matrix.

Lösung.

Wenn wir von der betrachteten Eigenschaft der Determinante ausgehen, ist die Determinante der Matrix, die nach allen in der Aufgabe angegebenen Transformationen erhalten wird, gleich der Determinante der Matrix A.

Zunächst berechnen wir die Determinante der Originalmatrix A:



Führen wir nun die notwendigen Transformationen der Matrix A durch.

Fügen wir zu den Elementen der dritten Spalte der Matrix die entsprechenden Elemente der zweiten Spalte der Matrix hinzu, nachdem wir sie zuvor mit (-2) multipliziert haben. Danach sieht die Matrix so aus:


Zu den Elementen der dritten Spalte der resultierenden Matrix addieren wir die entsprechenden Elemente der ersten Spalte, multipliziert mit:


Berechnen Sie die Determinante der resultierenden Matrix und stellen Sie sicher, dass sie gleich der Determinante der Matrix A ist, also -24:



Die Determinante einer quadratischen Matrix ist die Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit ihren algebraische Additionen.



Hier ist das algebraische Komplement des Matrixelements , .

Diese Eigenschaft ermöglicht die Berechnung von Determinanten von Matrizen höherer Ordnung als 3 mal 3, indem sie auf die Summe mehrerer Determinanten von Matrizen niedrigerer Ordnung reduziert werden. Mit anderen Worten, dies ist eine wiederkehrende Formel zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix beliebiger Ordnung. Aufgrund der relativ häufigen Anwendbarkeit empfehlen wir Ihnen, sich daran zu erinnern.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Ordnen Sie 4 mal 4 und erweitern Sie es

• durch Elemente der 3. Reihe,
• durch die Elemente der 2. Spalte.

Lösung.

Wir verwenden die Formel zur Erweiterung der Determinante um die Elemente der 3. Zeile



Wir haben



Das Problem, die Determinante einer Matrix der Ordnung 4 mal 4 zu finden, wurde also auf die Berechnung von drei Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 reduziert:



Wenn wir die erhaltenen Werte ersetzen, kommen wir zu dem Ergebnis:


Wir verwenden die Formel zur Erweiterung der Determinante um die Elemente der 2. Spalte


und wir handeln genauso.

Auf die Berechnung der Determinanten von Matrizen dritter Ordnung gehen wir nicht näher ein.



Beispiel.

Berechnen Sie die Matrixdeterminante etwa 4 mal 4.

Lösung.

Sie können die Matrixdeterminante in Elemente einer beliebigen Spalte oder Zeile zerlegen. Es ist jedoch vorteilhafter, die Zeile oder Spalte auszuwählen, die die größte Anzahl von Nullelementen enthält, da dies dazu beiträgt, unnötige Berechnungen zu vermeiden. Erweitern wir die Determinante um die Elemente der ersten Zeile:



Wir berechnen die erhaltenen Determinanten von Matrizen der Ordnung 3 mal 3 nach der uns bekannten Formel:



Wir ersetzen die Ergebnisse und erhalten den gewünschten Wert


Beispiel.

Berechnen Sie die Matrixdeterminante etwa 5 mal 5.

Lösung.

Die vierte Zeile der Matrix hat von allen Zeilen und Spalten die größte Anzahl an Nullelementen, daher empfiehlt es sich, die Matrixdeterminante genau um die Elemente der vierten Zeile zu erweitern, da wir in diesem Fall weniger Berechnungen benötigen.



Die erhaltenen Determinanten von Matrizen der Ordnung 4 mal 4 wurden in den vorherigen Beispielen gefunden, daher verwenden wir die vorgefertigten Ergebnisse:



Beispiel.

Berechnen Sie die Matrixdeterminante etwa 7 mal 7 .

Lösung.

Sie sollten die Determinante nicht sofort in die Elemente einer Zeile oder Spalte zerlegen. Wenn Sie sich die Matrix genau ansehen, werden Sie feststellen, dass die Elemente der sechsten Zeile der Matrix durch Multiplikation der entsprechenden Elemente der zweiten Zeile mit zwei erhalten werden können. Das heißt, wenn wir die entsprechenden Elemente der zweiten Zeile multipliziert mit (-2) zu den Elementen der sechsten Zeile addieren, ändert sich die Determinante aufgrund der siebten Eigenschaft nicht und die sechste Zeile der resultierenden Matrix besteht aus Nullen. Die Determinante einer solchen Matrix ist aufgrund der zweiten Eigenschaft gleich Null.

Antworten:

Es ist zu beachten, dass die betrachtete Eigenschaft die Berechnung der Determinanten von Matrizen beliebiger Ordnung ermöglicht, allerdings dafür viele Rechenoperationen durchführen muss. In den meisten Fällen ist es vorteilhafter, die Determinante von Matrizen höherer Ordnung als der dritten mit der Gauß-Methode zu finden, die wir weiter unten betrachten werden.

Die Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) einer quadratischen Matrix und der algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte) ist gleich Null.


Beispiel.

Zeigen Sie, dass die Summe der Produkte der Elemente der dritten Spalte der Matrix ist auf algebraischen Komplementen der entsprechenden Elemente der ersten Spalte ist gleich Null.

Lösung.




Die Determinante des Produkts quadratischer Matrizen gleicher Ordnung ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten, d. h. , wobei m eine natürliche Zahl größer als eins ist, A k , k=1,2,…,m sind quadratische Matrizen derselben Ordnung.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Determinante das Produkt zweier Matrizen ist und ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten.

Lösung.

Finden wir zunächst das Produkt der Determinanten der Matrizen A und B:


Führen wir nun eine Matrixmultiplikation durch und berechnen die Determinante der resultierenden Matrix:



Auf diese Weise, , was gezeigt werden sollte.

Berechnung der Matrixdeterminante nach der Gauß-Methode.

Lassen Sie uns die Essenz dieser Methode beschreiben. Durch Elementartransformationen wird die Matrix A auf eine solche Form reduziert, dass in der ersten Spalte alle Elemente außer Null werden (dies ist immer möglich, wenn die Determinante der Matrix A ungleich Null ist). Wir werden diesen Vorgang etwas später beschreiben, aber jetzt erklären wir, warum dies geschieht. Es werden Nullelemente erhalten, um die einfachste Entwicklung der Determinante über die Elemente der ersten Spalte zu erhalten. Nach einer solchen Transformation der Matrix A unter Berücksichtigung der achten Eigenschaft und erhalten wir

Wo - kleinere (n-1)-te Ordnung, erhalten aus Matrix A durch Löschen der Elemente ihrer ersten Zeile und ersten Spalte.

Mit der Matrix, der der Minor entspricht, wird das gleiche Verfahren zum Erhalten von Nullelementen in der ersten Spalte durchgeführt. Und so weiter bis zur endgültigen Berechnung der Determinante.

Jetzt muss noch die Frage beantwortet werden: „Wie bekomme ich Nullelemente in die erste Spalte?“

Beschreiben wir den Aktionsalgorithmus.

Wenn , dann werden die Elemente der ersten Zeile der Matrix zu den entsprechenden Elementen der k-ten Zeile addiert, wobei . (Wenn ausnahmslos alle Elemente der ersten Spalte der Matrix A Null sind, dann ist ihre Determinante aufgrund der zweiten Eigenschaft Null und es ist keine Gaußsche Methode erforderlich.) Nach einer solchen Transformation wird das „neue“ Element von Null verschieden sein. Aufgrund der siebten Eigenschaft ist die Determinante der „neuen“ Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Jetzt haben wir eine Matrix mit . Zu den Elementen der zweiten Reihe addieren wir die entsprechenden Elemente der ersten Reihe, multipliziert mit , zu den Elementen der dritten Reihe, die entsprechenden Elemente der ersten Reihe, multipliziert mit . Usw. Abschließend addieren wir zu den Elementen der n-ten Zeile die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit . So wird die transformierte Matrix A erhalten, deren Elemente in der ersten Spalte außer Null sind. Aufgrund der siebten Eigenschaft ist die Determinante der resultierenden Matrix gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

Lassen Sie uns die Methode beim Lösen eines Beispiels analysieren, damit es klarer wird.

Beispiel.

Berechnen Sie die Determinante einer Matrix der Ordnung 5 mal 5 .

Lösung.

Verwenden wir die Gauß-Methode. Lassen Sie uns die Matrix A so transformieren, dass alle Elemente ihrer ersten Spalte außer , Null werden.

Da das Element zunächst ist, fügen wir zu den Elementen der ersten Zeile der Matrix die entsprechenden Elemente hinzu, beispielsweise der zweiten Zeile, da:

Das Zeichen „~“ bedeutet Äquivalenz.

Nun addieren wir zu den Elementen der zweiten Reihe die entsprechenden Elemente der ersten Reihe, multipliziert mit , zu den Elementen der dritten Zeile - die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, multipliziert mit , und verfahren Sie genauso bis zur sechsten Zeile:

Wir bekommen

mit Matrix Wir führen das gleiche Verfahren durch, um Nullelemente in der ersten Spalte zu erhalten:

Somit,

Jetzt führen wir Transformationen mit der Matrix durch :

Kommentar.

In einem bestimmten Stadium der Matrixtransformation nach der Gauß-Methode kann es vorkommen, dass alle Elemente der letzten paar Zeilen der Matrix Null werden. Dies wird über die Gleichheit der Determinante mit Null sprechen.

Zusammenfassen.

Die Determinante einer quadratischen Matrix, deren Elemente Zahlen sind, ist eine Zahl. Wir haben drei Möglichkeiten zur Berechnung der Determinante in Betracht gezogen:

1. durch die Summe der Produkte von Kombinationen von Matrixelementen;
2. durch die Erweiterung der Determinante um die Elemente der Zeile oder Spalte der Matrix;
3. die Methode zur Reduzierung der Matrix auf die obere Dreiecksmatrix (nach der Gauß-Methode).

Es wurden Formeln zur Berechnung der Determinanten von Matrizen der Ordnung 2 mal 2 und 3 mal 3 erhalten.

Wir haben die Eigenschaften der Matrixdeterminante analysiert. Einige von ihnen ermöglichen es Ihnen, schnell zu verstehen, dass die Determinante Null ist.

Bei der Berechnung der Determinanten von Matrizen mit einer Ordnung von mehr als 3 mal 3 empfiehlt es sich, die Gauß-Methode zu verwenden: Führen Sie elementare Transformationen der Matrix durch und bringen Sie sie auf die obere Dreiecksmatrix. Die Determinante einer solchen Matrix ist gleich dem Produkt aller Elemente auf der Hauptdiagonale.

Erinnern Sie sich an den Satz von Laplace:
Satz von Laplace:

Es seien k Zeilen (oder k Spalten) in der Determinante d der Ordnung n willkürlich gewählt. Dann ist die Summe der Produkte aller in den ausgewählten Zeilen enthaltenen Minderjährigen k-ter Ordnung und ihrer algebraischen Komplemente gleich der Determinante d.

Um die Determinanten im allgemeinen Fall zu berechnen, wird k gleich 1 angenommen. Das heißt, in der Determinante d der Ordnung n wird eine Zeile (oder Spalte) willkürlich ausgewählt. Dann ist die Summe der Produkte aller in der ausgewählten Zeile (oder Spalte) enthaltenen Elemente und ihrer algebraischen Komplemente gleich der Determinante d.

Beispiel:
Determinante berechnen

Lösung:

Wählen wir eine beliebige Zeile oder Spalte. Aus einem Grund, der etwas später klar wird, beschränken wir unsere Auswahl entweder auf die dritte Zeile oder die vierte Spalte. Und bleiben Sie in der dritten Zeile stehen.

Lassen Sie uns den Satz von Laplace verwenden.

Das erste Element der ausgewählten Zeile ist 10, es befindet sich in der dritten Zeile und der ersten Spalte. Berechnen wir das algebraische Komplement dazu, d.h. Finden Sie die Determinante, die Sie durch Löschen der Spalte und Zeile erhalten, in der dieses Element steht (10), und ermitteln Sie das Vorzeichen.

„plus, wenn die Summe der Zahlen aller Zeilen und Spalten, in denen sich das kleine M befindet, gerade ist, und minus, wenn diese Summe ungerade ist.“
Und wir haben das aus einem einzigen Element bestehende Moll 10 genommen, das in der ersten Spalte der dritten Zeile steht.

So:


Der vierte Term dieser Summe ist 0, weshalb es sich lohnt, Zeilen oder Spalten mit der maximalen Anzahl von Nullelementen zu wählen.

Antworten: -1228

Beispiel:
Berechnen Sie die Determinante:

Lösung:
Wählen wir die erste Spalte, denn zwei Elemente darin sind gleich 0. Erweitern wir die Determinante in der ersten Spalte.


Wir entwickeln jede der Determinanten dritter Ordnung in Bezug auf die erste und zweite Zeile


Wir erweitern jede der Determinanten zweiter Ordnung in der ersten Spalte


Antworten: 48
Kommentar: Bei der Lösung dieses Problems wurden keine Formeln zur Berechnung der Determinanten 2. und 3. Ordnung verwendet. Es wurde nur die Erweiterung nach Zeile oder Spalte verwendet. Dies führt zu einer Verringerung der Reihenfolge der Determinanten.

Berechnung von Determinanten N-te Reihenfolge:

Das Konzept einer Determinante N-te Ordnung

Mithilfe dieses Artikels über Determinanten erfahren Sie auf jeden Fall, wie Sie Probleme wie die folgenden lösen können:

Löse die Gleichung:

und viele andere, die sich Lehrer so gerne einfallen lassen.

Die Matrixdeterminante oder einfach die Determinante spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Im Allgemeinen wurden zu diesem Zweck Determinanten erfunden. Da oft auch von „der Determinante einer Matrix“ gesprochen wird, erwähnen wir hier auch Matrizen. Matrix ist eine rechteckige Tabelle mit Zahlen, die nicht vertauscht werden können. Eine quadratische Matrix ist eine Tabelle mit der gleichen Anzahl an Zeilen und Spalten. Nur eine quadratische Matrix kann eine Determinante haben.

Die Logik der Schreibweise von Determinanten lässt sich anhand des folgenden Schemas leicht verstehen. Nehmen wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, das Ihnen aus der Schule bekannt ist:

In der Determinante werden die Koeffizienten für Unbekannte nacheinander geschrieben: in der ersten Zeile – aus der ersten Gleichung, in der zweiten Zeile – aus der zweiten Gleichung:

Zum Beispiel, wenn ein Gleichungssystem gegeben ist

dann wird aus den Koeffizienten der Unbekannten folgende Determinante gebildet:

Nehmen wir also an, wir erhalten eine quadratische Tabelle, die aus Zahlen besteht, die in angeordnet sind N Reihen (horizontale Reihen) und in N Spalten (vertikale Zeilen). Mit Hilfe dieser Nummern finden sie nach einigen Regeln, die wir weiter unten untersuchen werden, eine Nummer, die sie anrufen bestimmend N Ordnung und werden wie folgt bezeichnet:

(1)

Zahlen werden aufgerufen Elemente Determinante (1) (der erste Index bedeutet die Nummer der Zeile, der zweite - die Nummer der Spalte, an deren Schnittpunkt sich ein Element befindet; ich = 1, 2, ..., N; J= 1, 2, ..., n). Die Ordnung einer Determinante ist die Anzahl ihrer Zeilen und Spalten.

Eine imaginäre Gerade, die die Elemente der Determinante verbindet, für die beide Indizes gleich sind, d. h. Elemente

genannt Hauptdiagonale, die andere Diagonale ist Seite.

Berechnung von Determinanten zweiter und dritter Ordnung

Lassen Sie uns zeigen, wie die Determinanten der ersten drei Ordnungen berechnet werden.

Die Determinante erster Ordnung ist das Element selbst, d. h.

Die Determinante zweiter Ordnung ist die Zahl, die man wie folgt erhält:

, (2)

Das Produkt der Elemente auf der Haupt- bzw. Nebendiagonale.

Gleichung (2) zeigt, dass das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale mit seinem Vorzeichen und das Produkt der Elemente der Nebendiagonale mit dem entgegengesetzten Vorzeichen gebildet wird .

Beispiel 1 Berechnen Sie Determinanten zweiter Ordnung:

Lösung. Mit Formel (2) finden wir:

Die Determinante dritter Ordnung ist eine Zahl, die man wie folgt erhält:

(3)

Es ist schwierig, sich diese Formel zu merken. Es gibt jedoch eine einfache Regel namens Dreiecksregel , was es einfach macht, Ausdruck (3) zu reproduzieren. Indem wir die Elemente der Determinante mit Punkten bezeichnen, verbinden wir durch Geradensegmente diejenigen von ihnen, die die Produkte der Elemente der Determinante ergeben (Abb. 1).

Formel (3) zeigt, dass die Produkte der Elemente der Hauptdiagonale sowie der Elemente, die sich an den Eckpunkten zweier Dreiecke befinden, deren Grundflächen parallel dazu sind, mit ihren Vorzeichen genommen werden; mit entgegengesetzten - den Produkten der Elemente der Nebendiagonale sowie der Elemente, die sich an den Eckpunkten zweier dazu paralleler Dreiecke befinden .

In Abb.1 sind die Hauptdiagonale und die Basen der dazugehörigen Dreiecke sowie die Nebendiagonale und die Basen der ihr entsprechenden Dreiecke rot hervorgehoben.

Bei der Berechnung von Determinanten ist es wie in der Oberschule sehr wichtig, sich daran zu erinnern, dass eine Minuszahl multipliziert mit einer Minuszahl ein Pluszeichen ergibt und ein Pluszeichen multipliziert mit einer Minuszahl eine Zahl mit einem Minuszeichen ergibt.

Beispiel 2 Berechnen Sie die Determinante dritter Ordnung:

Lösung. Mit der Dreiecksregel erhalten wir

Berechnung von Determinanten N-te Ordnung

Zeilen- oder Spaltenerweiterung der Determinante

Um die Determinante zu berechnen N Ordnung ist es notwendig, den folgenden Satz zu kennen und anzuwenden.

Satz von Laplace. Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile und ihrer algebraischen Komplemente, d.h.

Definition. Wenn in der Determinante N Die Reihenfolge kann beliebig gewählt werden P Linien und P Säulen ( P < N), dann bilden die Elemente am Schnittpunkt dieser Zeilen und Spalten eine Ordnungsmatrix.

Die Determinante dieser Matrix heißt unerheblich ursprüngliche Determinante. Betrachten Sie zum Beispiel die Determinante:

Lassen Sie uns eine Matrix aus Zeilen und Spalten mit geraden Zahlen erstellen:

Bestimmend

genannt unerheblich bestimmend. Erhielt einen Minderjährigen zweiter Ordnung. Es ist klar, dass daraus verschiedene Nebenfächer erster, zweiter und dritter Ordnung gebildet werden können.

Wenn wir ein Element nehmen und die Zeile und Spalte, an deren Schnittpunkt es in der Determinante steht, durchstreichen, erhalten wir ein Nebenelement, das sogenannte Nebenelement des Elements, das wir wie folgt bezeichnen:

.

Wenn das Minor mit multipliziert wird, wobei 3 + 2 die Summe der Zeilen- und Spaltennummern ist, an deren Schnittpunkt das Element steht, dann wird das resultierende Produkt aufgerufen algebraische Addition Element und wird mit bezeichnet,

Im Allgemeinen wird das Nebenelement eines Elements mit und das algebraische Komplement mit bezeichnet.

(4)

Berechnen wir zum Beispiel die algebraischen Komplemente der Elemente und die Determinante dritter Ordnung:

Nach Formel (4) erhalten wir

Bei der Zerlegung einer Determinante wird häufig die folgende Eigenschaft der Determinante verwendet N-te Reihenfolge:

Wenn das Produkt der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile oder Spalte mit einem konstanten Faktor zu den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte addiert wird, ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Beispiel 4

Subtrahieren wir zunächst die Elemente der vierten Reihe von der ersten und dritten Reihe, dann haben wir

In der vierten Spalte der erhaltenen Determinante sind drei Elemente Nullen. Daher ist es rentabler, diese Determinante um die Elemente der vierten Spalte zu erweitern, da die ersten drei Produkte Null sind. Deshalb

Sie können die Lösung mit überprüfen Determinantenrechner online .

Und das folgende Beispiel zeigt, wie die Berechnung der Determinante beliebiger (in diesem Fall vierter) Ordnung auf die Berechnung der Determinante zweiter Ordnung reduziert werden kann.

Beispiel 5 Berechnen Sie die Determinante:

Subtrahieren wir die Elemente der ersten Reihe von der dritten Reihe und addieren wir die Elemente der ersten Reihe zu den Elementen der vierten Reihe, dann haben wir

In der ersten Spalte sind alle Elemente außer dem ersten Nullen. Das heißt, die Determinante kann bereits in der ersten Spalte zerlegt werden. Aber wir wollen die Determinante dritter Ordnung wirklich nicht berechnen. Deshalb werden wir weitere Transformationen vornehmen: Zu den Elementen der dritten Zeile addieren wir die Elemente der zweiten Zeile, multipliziert mit 2, und subtrahieren von den Elementen der vierten Zeile die Elemente der zweiten Zeile. Dadurch kann die Determinante, die ein algebraisches Komplement ist, selbst in der ersten Spalte erweitert werden, und wir müssen nur die Determinante zweiter Ordnung berechnen und dürfen uns nicht in den Vorzeichen verwirren:

Die Determinante in eine Dreiecksform bringen

Eine Determinante, bei der alle auf einer Seite einer Diagonalen liegenden Elemente gleich Null sind, heißt dreieckig. Durch Umkehrung der Reihenfolge der Zeilen bzw. Spalten wird der Fall der Nebendiagonale auf den Fall der Hauptdiagonale reduziert. Eine solche Determinante ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale.

Zur Reduktion auf eine Dreiecksform wird die gleiche Eigenschaft der Determinante genutzt N Ordnung, die wir im vorherigen Absatz verwendet haben: Wenn wir das Produkt der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile oder Spalte um einen konstanten Faktor zu den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte addieren, ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Sie können die Lösung mit überprüfen Determinantenrechner online .

Bestimmende Eigenschaften N-te Ordnung

In den beiden vorherigen Absätzen haben wir bereits eine der Eigenschaften der Determinante verwendet N-te Ordnung. In einigen Fällen können Sie zur Vereinfachung der Berechnung der Determinante andere wichtige Eigenschaften der Determinante verwenden. Beispielsweise kann man eine Determinante auf die Summe zweier Determinanten reduzieren, von denen eine oder beide bequem entlang einer Zeile oder Spalte erweitert werden können. Es gibt viele Fälle einer solchen Vereinfachung, und die Frage der Verwendung dieser oder jener Eigenschaft der Determinante sollte individuell entschieden werden.

1. Zerlegungssatz:

Jede Determinante ist gleich der Summe der Paarprodukte von Elementen einer beliebigen Reihe und ihren algebraischen Komplementen.

Für ich- Zeile:

oder für J-te Spalte:

Beispiel 7.1. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie über die Elemente der ersten Zeile expandieren:

1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+

3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=

Der Zerlegungssatz ermöglicht es uns, die Berechnung einer Determinante zu ersetzen N- Berechnung der Ordnung N Determinanten ( N- 1)te Bestellung.

Um die Berechnungen zu vereinfachen, empfiehlt es sich jedoch, für Determinanten hoher Ordnung die Methode der „Multiplikation von Nullen“ zu verwenden, basierend auf Eigenschaft 6 von Abschnitt 5. Ihre Idee ist:

Zuerst „Multiplizieren Sie Nullen“ in einer Zeile, d.h. eine Reihe erhalten, in der nur ein Element ungleich Null ist, der Rest sind Nullen;

Erweitern Sie dann die Determinante über die Elemente dieser Reihe.

Basierend auf dem Zerlegungssatz ist die ursprüngliche Determinante daher gleich dem Produkt eines von Null verschiedenen Elements und seines algebraischen Komplements.

Beispiel 7.2. Berechnen Sie die Determinante:

.

„Nullen multiplizieren“ in der ersten Spalte.

Von der zweiten Zeile subtrahieren wir die erste multipliziert mit 2, von der dritten Zeile subtrahieren wir die erste multipliziert mit 3 und von der vierten Zeile subtrahieren wir die erste multipliziert mit 4. Bei solchen Transformationen ändert sich der Wert der Determinante nicht.

Gemäß Eigenschaft 4 von Abschnitt 5 können wir das Determinantenzeichen aus der 1. Spalte, aus der 2. Spalte und aus der 3. Spalte entnehmen.

Folge: Eine Determinante mit einer Nullreihe ist gleich Null.

2. Substitutionssatz:

Die Summe der gepaarten Produkte beliebiger Zahlen und der algebraischen Komplemente einer bestimmten Reihe einer Determinante ist gleich der Determinante, die sich aus dieser ergibt, wenn die Elemente dieser Reihe darin durch die genommenen Zahlen ersetzt werden.

Für die -te Zeile:

1. Aufhebungssatz:

Die Summe der paarweisen Produkte von Elementen einer beliebigen Reihe und algebraischen Komplementen einer parallelen Reihe ist gleich Null.

Tatsächlich erhalten wir durch den Substitutionssatz eine Determinante dafür k-te Zeile enthält die gleichen Elemente wie in ich-te Zeile

Aber aufgrund der Eigenschaft 3 von Abschnitt 5 ist eine solche Determinante gleich Null.

Somit können der Zerlegungssatz und seine Folgerungen wie folgt geschrieben werden:

8. Allgemeine Informationen zu Matrizen. Grundlegende Definitionen.

Definition 8.1 . Matrix nannte die folgende rechteckige Tabelle:

Darüber hinaus werden folgende Matrixbezeichnungen verwendet: , oder oder .

Die Zeilen und Spalten einer Matrix werden benannt Reihen.

Der Wert wird aufgerufen Größe Matrizen.

Wenn wir Zeilen und Spalten in einer Matrix vertauschen, erhalten wir eine Matrix namens transponiert. Matrix transponiert mit , normalerweise durch das Symbol gekennzeichnet .

Zum Beispiel:

Definition 8.2. Zwei Matrizen A Und B genannt gleich, Wenn

1) beide Matrizen sind gleich groß, d.h. Und ;

2) alle ihre entsprechenden Elemente sind gleich, d.h.

Dann . (8.2)

Hier ist eine Matrixgleichung (8.2) äquivalent zu Skalargleichungen (8.1).

9. Sorten von Matrizen.

1) Man nennt eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind Nullmatrix:

2) Wenn die Matrix nur aus einer Zeile besteht, wird sie aufgerufen Zeilenmatrix, Zum Beispiel . Ebenso wird eine Matrix aufgerufen, die nur eine Spalte hat Spaltenmatrix, Zum Beispiel .

Durch Transposition wird eine Spaltenmatrix in eine Zeilenmatrix umgewandelt und umgekehrt.

3) Wenn M=N, dann heißt die Matrix quadratische Matrix n-ter Ordnung.

Die Diagonale der Terme einer quadratischen Matrix, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke verläuft, wird aufgerufen hauptsächlich. Die andere Diagonale seiner Mitglieder, die von der unteren linken Ecke zur oberen rechten Ecke verläuft, wird aufgerufen Seite.

Für eine quadratische Matrix kann die Determinante berechnet werden det(A).