FERMAT GREAT THEOREM - die Aussage von Pierre Fermat (französischer Anwalt und Teilzeitmathematiker), dass die diophantische Gleichung X n + Y n \u003d Z n mit einem Exponenten n>2, wobei n = eine ganze Zahl ist, keine positiven Lösungen hat ganze Zahlen . Text des Autors: "Es ist unmöglich, einen Würfel in zwei Würfel oder ein Bi-Quadrat in zwei Bi-Quadrate oder allgemein eine Potenz größer als zwei in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen."

"Fermat und sein Theorem", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre stellte diesen Satz am 29. März 1636 auf. Und nach etwa 29 Jahren starb er. Aber damit fing alles an. Schließlich hat ein wohlhabender deutscher Mathematiker namens Wolfskel demjenigen hunderttausend Mark vermacht, der den vollständigen Beweis des Satzes von Fermat vorlegt! Aber die Aufregung um das Theorem war nicht nur damit verbunden, sondern auch mit professioneller mathematischer Aufregung. Fermat selbst deutete gegenüber der mathematischen Gemeinde an, dass er den Beweis kannte – kurz vor seinem Tod, 1665, hinterließ er am Rand des Buches Diophantus von Alexandria „Arithmetik“ folgenden Eintrag: „Ich habe einen sehr erstaunlichen Beweis, aber er ist es zu groß, um auf Feldern platziert zu werden."

Es war dieser Hinweis (und natürlich ein Geldpreis), der Mathematiker dazu veranlasste, ihre besten Jahre erfolglos mit der Suche nach Beweisen zu verbringen (laut amerikanischen Wissenschaftlern verbrachten allein professionelle Mathematiker insgesamt 543 Jahre damit).

Irgendwann (im Jahr 1901) erlangte die Arbeit an Fermats Theorem den zweifelhaften Ruhm einer „Arbeit, die der Suche nach einem Perpetuum Mobile gleicht“ (es gab sogar einen abfälligen Begriff – „Fermatisten“). Und plötzlich, am 23. Juni 1993, verkündete ein englischer Mathematikprofessor der Princeton University (New Jersey, USA) Andrew Wiles auf einer mathematischen Konferenz über Zahlentheorie in Cambridge, dass er endlich Fermat bewiesen habe!

Der Beweis war jedoch nicht nur kompliziert, sondern auch offensichtlich fehlerhaft, worauf Wiles von seinen Kollegen hingewiesen wurde. Aber Professor Wiles träumte sein ganzes Leben davon, das Theorem zu beweisen, daher ist es nicht verwunderlich, dass er im Mai 1994 der wissenschaftlichen Gemeinschaft eine neue, verbesserte Version des Beweises präsentierte. Es hatte keine Harmonie, Schönheit und es war immer noch sehr kompliziert - die Tatsache, dass Mathematiker diesen Beweis ein ganzes Jahr (!) Analysiert haben, um zu verstehen, ob er nicht falsch ist, spricht für sich!

Aber am Ende stellte sich heraus, dass Wiles' Beweis richtig war. Aber die Mathematiker verziehen Pierre Fermat nicht einmal seinen Hinweis in Arithmetik, und tatsächlich begannen sie, ihn für einen Lügner zu halten. Tatsächlich war die erste Person, die Fermats moralische Integrität in Frage stellte, Andrew Wiles selbst, der bemerkte, dass "Fermat solche Beweise nicht haben konnte. Dies ist ein Beweis des zwanzigsten Jahrhunderts." Dann wurde unter anderen Wissenschaftlern die Meinung stärker, dass Fermat "seinen Satz nicht auf andere Weise beweisen konnte, und Fermat konnte ihn aus objektiven Gründen nicht so beweisen, wie Wiles es vorschlug."

Tatsächlich konnte Fermat das natürlich beweisen, und wenig später wird dieser Beweis von den Analysten der New Analytical Encyclopedia nachgestellt. Aber - was sind diese "objektiven Gründe"?
Tatsächlich gibt es nur einen solchen Grund: In jenen Jahren, als Fermat lebte, konnte Taniyamas Vermutung, auf der Andrew Wiles seinen Beweis aufbaute, nicht erscheinen, weil die modularen Funktionen, auf denen Taniyamas Vermutung beruht, erst Ende des 19. Jahrhunderts entdeckt wurden .

Wie hat Wiles selbst den Satz bewiesen? Die Frage ist nicht müßig - dies ist wichtig, um zu verstehen, wie Fermat selbst seinen Satz beweisen konnte. Wiles baute seinen Beweis auf dem Beweis von Taniyamas Vermutung auf, der 1955 von dem 28-jährigen japanischen Mathematiker Yutaka Taniyama vorgebracht wurde.

Die Vermutung klingt so: „Jeder elliptischen Kurve entspricht eine bestimmte Modulform.“ Die seit langem bekannten elliptischen Kurven haben eine zweidimensionale Form (auf einer Ebene liegend), während modulare Funktionen eine vierdimensionale Form haben. Das heißt, Taniyamas Hypothese kombinierte völlig unterschiedliche Konzepte - einfache flache Kurven und unvorstellbare vierdimensionale Formen. Die bloße Tatsache, verschiedendimensionale Figuren in der Hypothese zu verbinden, erschien den Wissenschaftlern absurd, weshalb ihr 1955 keine Bedeutung beigemessen wurde.

Im Herbst 1984 wurde jedoch plötzlich wieder an die "Taniyama-Hypothese" erinnert, und zwar nicht nur erinnert, sondern ihr möglicher Beweis wurde mit dem Beweis des Satzes von Fermat verbunden! Dies wurde von dem Saarbrücker Mathematiker Gerhard Frey getan, der der wissenschaftlichen Gemeinschaft sagte, dass "wenn jemand Taniyamas Vermutung beweisen könnte, dann wäre Fermats letzter Satz bewiesen."

Was hat Frey getan? Er wandelte die Fermat-Gleichung in eine kubische um und wies dann darauf hin, dass eine elliptische Kurve, die durch Umwandeln der Fermat-Gleichung in eine kubische Kurve erhalten wird, nicht modular sein kann. Taniyamas Vermutung besagte jedoch, dass jede elliptische Kurve modular sein könnte! Dementsprechend kann eine aus der Fermat-Gleichung konstruierte elliptische Kurve nicht existieren, was bedeutet, dass es keine vollständigen Lösungen und den Satz von Fermat geben kann, was bedeutet, dass es wahr ist. Nun, 1993 bewies Andrew Wiles einfach Taniyamas Vermutung und damit Fermats Theorem.

Der Satz von Fermat kann jedoch viel einfacher bewiesen werden, auf der Grundlage derselben Mehrdimensionalität, mit der sowohl Taniyama als auch Frey operierten.

Beachten wir zunächst die von Pierre Fermat selbst festgelegte Bedingung - n>2. Warum war diese Bedingung notwendig? Ja, nur weil für n=2 der gewöhnliche Satz des Pythagoras X 2 + Y 2 = Z 2 ein Sonderfall des Satzes von Fermat wird, der unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat - 3,4,5; 5,12,13; 7.24.25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 und so weiter. Somit ist der Satz des Pythagoras eine Ausnahme zum Satz von Fermat.

Aber warum genau bei n=2 tritt eine solche Ausnahme auf? Alles fügt sich zusammen, wenn Sie die Beziehung zwischen dem Grad (n = 2) und der Dimension der Figur selbst sehen. Das pythagoräische Dreieck ist eine zweidimensionale Figur. Es überrascht nicht, dass Z (d. h. die Hypotenuse) in Form von Beinen (X und Y) ausgedrückt werden kann, die ganze Zahlen sein können. Die Größe des Winkels (90) ermöglicht es, die Hypotenuse als Vektor zu betrachten, und die Beine sind Vektoren, die sich auf den Achsen befinden und vom Ursprung kommen. Dementsprechend ist es möglich, einen zweidimensionalen Vektor, der auf keiner der Achsen liegt, durch die darauf liegenden Vektoren auszudrücken.

Wenn wir nun in die dritte Dimension gehen und somit zu n=3, um einen dreidimensionalen Vektor auszudrücken, gibt es nicht genügend Informationen über zwei Vektoren, und daher wird es möglich sein, Z in der Fermat-Gleichung durch auszudrücken mindestens drei Terme (jeweils drei Vektoren, die auf den drei Achsen des Koordinatensystems liegen).

Wenn n = 4, dann sollten es 4 Terme sein, wenn n = 5, dann sollten es 5 Terme sein, und so weiter. In diesem Fall wird es mehr als genug vollständige Lösungen geben. Zum Beispiel 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 und so weiter (Sie können andere Beispiele für n=3, n=4 usw. wählen).

Was folgt aus all dem? Daraus folgt, dass der Satz von Fermat tatsächlich keine vollständigen Lösungen für n>2 hat – aber nur, weil die Gleichung selbst falsch ist! Mit dem gleichen Erfolg könnte man versuchen, das Volumen eines Parallelepipeds durch die Längen seiner beiden Kanten auszudrücken – das ist natürlich unmöglich (ganze Lösungen werden nie gefunden), sondern nur, weil man das Volumen eines Parallelepipeds finden kann , müssen Sie die Längen aller drei Kanten kennen.

Als der berühmte Mathematiker David Gilbert gefragt wurde, was die derzeit wichtigste Aufgabe für die Wissenschaft sei, antwortete er: „Auf der anderen Seite des Mondes eine Fliege zu fangen“. Auf die vernünftige Frage "Wer braucht das?" er antwortete so: "Niemand braucht es. Aber denken Sie darüber nach, wie viele wichtige und komplexe Aufgaben Sie lösen müssen, um dies zu erreichen."

Mit anderen Worten, Fermat (in erster Linie ein Anwalt!) hat der gesamten mathematischen Welt einen geistreichen juristischen Streich gespielt, basierend auf einer falschen Formulierung des Problems. Tatsächlich schlug er Mathematikern vor, eine Antwort darauf zu finden, warum auf der anderen Seite des Mondes keine Fliege leben könne, und am Rande der Arithmetik wollte er nur schreiben, dass es auf dem Mond einfach keine Luft gibt, d.h. es kann nur deshalb keine ganzzahligen Lösungen seines Satzes für n > 2 geben, weil jeder Wert von n einer bestimmten Anzahl von Termen auf der linken Seite seiner Gleichung entsprechen muss.

Aber war es nur ein Scherz? Gar nicht. Fermats Genialität liegt gerade darin, dass er tatsächlich als Erster den Zusammenhang zwischen dem Grad und der Dimension einer mathematischen Figur gesehen hat – also das absolut Äquivalente, die Anzahl der Terme auf der linken Seite der Gleichung. Der Sinn seines berühmten Theorems bestand gerade darin, die mathematische Welt nicht nur auf die Idee dieses Zusammenhangs zu drängen, sondern auch einen Beweis für die Existenz dieses Zusammenhangs zu initiieren – intuitiv verständlich, aber mathematisch noch nicht untermauert.

Fermat verstand wie kein anderer, dass die Herstellung einer Beziehung zwischen scheinbar unterschiedlichen Objekten nicht nur in der Mathematik, sondern in jeder Wissenschaft äußerst fruchtbar ist. Eine solche Beziehung weist auf ein tiefes Prinzip hin, das beiden Objekten zugrunde liegt und ein tieferes Verständnis von ihnen ermöglicht.

Beispielsweise betrachteten Physiker Elektrizität und Magnetismus zunächst als völlig voneinander unabhängige Phänomene, und im 19. Jahrhundert erkannten Theoretiker und Experimentatoren, dass Elektrizität und Magnetismus eng miteinander verbunden sind. Das Ergebnis war ein tieferes Verständnis von Elektrizität und Magnetismus. Elektrische Ströme erzeugen Magnetfelder, und Magnete können Elektrizität in Leitern in der Nähe der Magnete induzieren. Dies führte zur Erfindung von Dynamos und Elektromotoren. Schließlich wurde entdeckt, dass Licht das Ergebnis koordinierter harmonischer Schwingungen magnetischer und elektrischer Felder ist.

Die Mathematik zu Fermats Zeiten bestand aus Wissensinseln in einem Meer von Unwissenheit. Geometer untersuchten Formen auf einer Insel und Mathematiker untersuchten Wahrscheinlichkeit und Zufall auf der anderen Insel. Die Sprache der Geometrie unterschied sich stark von der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie, und die algebraische Terminologie war denen fremd, die nur über Statistik sprachen. Leider besteht die Mathematik unserer Zeit aus ungefähr denselben Inseln.

Farm erkannte als erster, dass all diese Inseln miteinander verbunden sind. Und sein berühmter Satz – der GROSSE SATZ von Fermat – ist eine hervorragende Bestätigung dafür.

Für ganze Zahlen n größer als 2 hat die Gleichung x n + y n = z n in natürlichen Zahlen keine Lösungen ungleich Null.

Sie erinnern sich bestimmt noch aus Ihrer Schulzeit der Satz des Pythagoras: Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel. Vielleicht erinnerst du dich auch an das klassische rechtwinklige Dreieck mit Seitenlängen im Verhältnis 3:4:5. Dafür sieht der Satz des Pythagoras so aus:

Dies ist ein Beispiel für das Lösen der verallgemeinerten Pythagoreischen Gleichung in ganzen Zahlen ungleich Null für n= 2. Fermat's Last Theorem (auch "Fermat's Last Theorem" und "Fermat's Last Theorem" genannt) ist die Aussage, dass für Werte n> 2 Gleichungen der Form x n + ja n = z n haben in natürlichen Zahlen keine Lösungen ungleich Null.

Die Geschichte von Fermats letztem Satz ist nicht nur für Mathematiker sehr unterhaltsam und lehrreich. Pierre de Fermat trug zur Entwicklung verschiedener Bereiche der Mathematik bei, aber der größte Teil seines wissenschaftlichen Erbes wurde erst posthum veröffentlicht. Tatsache ist, dass Mathematik für Fermat so etwas wie ein Hobby war, keine berufliche Tätigkeit. Er korrespondierte mit den führenden Mathematikern seiner Zeit, strebte jedoch keine Veröffentlichung seiner Arbeiten an. Fermats wissenschaftliche Schriften finden sich meist in Form von privater Korrespondenz und fragmentarischen Notizen, oft am Rand verschiedener Bücher. Es befindet sich am Rande (des zweiten Bandes der antiken griechischen Arithmetik von Diophantus. - Notiz. Übersetzer) kurz nach dem Tod des Mathematikers entdeckten die Nachfahren die Formulierung des berühmten Satzes und des Nachsatzes:

« Ich habe dafür einen wirklich wunderbaren Beweis gefunden, aber diese Grenzen sind ihm zu eng.».

Leider hat sich Fermat anscheinend nie die Mühe gemacht, den „wundersamen Beweis“, den er gefunden hat, aufzuschreiben, und Nachkommen haben mehr als drei Jahrhunderte erfolglos danach gesucht. Von all dem disparaten wissenschaftlichen Erbe Fermats, das viele überraschende Aussagen enthält, war es das Große Theorem, das sich hartnäckig einer Lösung widersetzte.

Wer den Beweis von Fermats letztem Satz nicht aufgegriffen hat - alles umsonst! Ein anderer großer französischer Mathematiker, René Descartes (René Descartes, 1596-1650), nannte Fermat einen „Angeber“, und der englische Mathematiker John Wallis (John Wallis, 1616-1703) nannte ihn einen „verdammten Franzosen“. Fermat selbst hat aber dennoch einen Beweis seines Satzes für den Fall hinterlassen n= 4. Mit Beweis für n= 3 wurde von dem großen schweizerisch-russischen Mathematiker des 18. Jahrhunderts Leonard Euler (1707–83) gelöst, nachdem er keine Beweise dafür gefunden hatte n> 4, bot scherzhaft an, Fermats Haus zu durchsuchen, um den Schlüssel zu den verlorenen Beweisen zu finden. Im 19. Jahrhundert ermöglichten neue Methoden der Zahlentheorie den Beweis der Aussage für viele ganze Zahlen innerhalb von 200, aber wiederum nicht für alle.

1908 wurde für diese Aufgabe ein Preis von 100.000 DM gestiftet. Der Preisfonds wurde dem deutschen Industriellen Paul Wolfskehl vermacht, der der Legende nach im Begriff war, Selbstmord zu begehen, aber von Fermats letztem Satz so hingerissen war, dass er seine Meinung über das Sterben änderte. Mit dem Aufkommen von Rechenmaschinen und dann von Computern wurde die Werteleiste n begann immer höher zu steigen - bis zu 617 zu Beginn des Zweiten Weltkriegs, bis zu 4001 im Jahr 1954, bis zu 125.000 im Jahr 1976. Ende des 20. Jahrhunderts wurden die leistungsstärksten Computer von Militärlabors in Los Alamos (New Mexico, USA) so programmiert, dass sie im Hintergrund (ähnlich dem Bildschirmschonermodus eines Personal Computers) das Fermat-Problem lösen. Damit konnte gezeigt werden, dass der Satz für unglaublich große Werte gilt x, y, z und n, aber dies konnte nicht als strenger Beweis dienen, da einer der folgenden Werte n oder Tripel natürlicher Zahlen könnten den Satz als Ganzes widerlegen.

Schließlich veröffentlichte der englische Mathematiker Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, geb. 1953) 1994 während seiner Arbeit in Princeton einen Beweis von Fermats letztem Satz, der nach einigen Modifikationen als erschöpfend angesehen wurde. Der Beweis umfasste mehr als hundert Magazinseiten und basierte auf der Verwendung des modernen Apparats der höheren Mathematik, der zu Fermats Zeiten noch nicht entwickelt worden war. Was also meinte Fermat, als er am Rand des Buches eine Nachricht hinterließ, dass er Beweise gefunden hatte? Die meisten Mathematiker, mit denen ich zu diesem Thema gesprochen habe, haben darauf hingewiesen, dass es im Laufe der Jahrhunderte mehr als genug falsche Beweise für Fermats letzten Satz gegeben hat und dass es wahrscheinlich ist, dass Fermat selbst einen ähnlichen Beweis gefunden hat, aber den Fehler darin nicht erkannt hat es. Es ist jedoch möglich, dass es noch einen kurzen und eleganten Beweis von Fermats letztem Satz gibt, den noch niemand gefunden hat. Nur eines kann mit Sicherheit gesagt werden: Heute wissen wir sicher, dass der Satz wahr ist. Die meisten Mathematiker, denke ich, würden Andrew Wiles von ganzem Herzen zustimmen, der über seinen Beweis bemerkte: "Jetzt endlich ist mein Geist in Frieden."

Fermats Interesse an Mathematik tauchte irgendwie unerwartet und in einem ziemlich reifen Alter auf. 1629 fiel ihm eine lateinische Übersetzung von Pappus' Werk in die Hände, die eine kurze Zusammenfassung der Ergebnisse von Apollonius über die Eigenschaften von Kegelschnitten enthielt. Fermat, ein Polyglott, Experte für Jura und Altphilologie, macht sich plötzlich daran, die Denkweise des berühmten Wissenschaftlers vollständig wiederherzustellen. Mit dem gleichen Erfolg kann ein moderner Jurist versuchen, alle Beweise aus einer Monographie von Problemen etwa der algebraischen Topologie selbstständig zu reproduzieren. Doch das undenkbare Unternehmen ist von Erfolg gekrönt. Darüber hinaus macht er beim Eintauchen in die geometrischen Konstruktionen der Antike eine erstaunliche Entdeckung: Um die Maxima und Minima der Flächen von Figuren zu finden, bedarf es keiner ausgeklügelten Zeichnungen. Es ist immer möglich, eine einfache algebraische Gleichung aufzustellen und zu lösen, deren Wurzeln das Extremum bestimmen. Er entwickelte einen Algorithmus, der zur Grundlage der Differentialrechnung werden sollte.

Er ging schnell weiter. Er fand hinreichende Bedingungen für die Existenz von Maxima, lernte die Wendepunkte zu bestimmen, zog Tangenten an alle bekannten Kurven zweiter und dritter Ordnung. Noch ein paar Jahre, und er findet eine neue rein algebraische Methode, um Quadraturen für Parabeln und Hyperbeln beliebiger Ordnung zu finden (d. h. Integrale von Funktionen der Form yp = Cxq und y p x q \u003d C), berechnet Flächen, Volumen, Trägheitsmomente von Rotationskörpern. Es war ein echter Durchbruch. Mit diesem Gefühl beginnt Fermat, die Kommunikation mit den mathematischen Autoritäten der Zeit zu suchen. Er ist selbstbewusst und sehnt sich nach Anerkennung.

1636 schrieb er den ersten Brief an Seinen Reverend Marin Mersenne: „Heiliger Vater! Ich bin Ihnen sehr dankbar für die Ehre, die Sie mir erwiesen haben, indem Sie mir die Hoffnung gegeben haben, dass wir in der Lage sein werden, schriftlich zu sprechen; ... Ich würde mich sehr freuen, von Ihnen zu hören, was für Abhandlungen und Bücher der Mathematik in den letzten fünf oder sechs Jahren neu erschienen sind. ... Ich habe auch viele analytische Methoden für verschiedene Probleme gefunden, sowohl numerische als auch geometrische, für die Vietas Analyse unzureichend ist. All dies werde ich mit Ihnen teilen, wann immer Sie wollen, und darüber hinaus ohne jede Arroganz, von der ich freier und distanzierter bin als jeder andere Mensch auf der Welt.

Wer ist Pater Mersenne? Dies ist ein Franziskanermönch, ein Wissenschaftler mit bescheidenen Talenten und ein wunderbarer Organisator, der 30 Jahre lang den Pariser mathematischen Kreis leitete, der zum wahren Zentrum der französischen Wissenschaft wurde. Anschließend wird der Mersenne-Kreis per Dekret Ludwigs XIV. in die Pariser Akademie der Wissenschaften umgewandelt. Mersenne führte unermüdlich eine riesige Korrespondenz, und seine Zelle im Kloster des Ordens der Minims auf dem Königsplatz war eine Art "Postamt für alle Wissenschaftler Europas, von Galileo bis Hobbes". Die Korrespondenz ersetzte dann die viel später erschienenen wissenschaftlichen Zeitschriften. Treffen in Mersenne fanden wöchentlich statt. Den Kern des Zirkels bildeten die brillantesten Naturwissenschaftler jener Zeit: Robertville, Pascal Father, Desargues, Midorge, Hardy und natürlich der berühmte und allseits anerkannte Descartes. Rene du Perron Descartes (Cartesius), ein Adelsmantel, zwei Familiengüter, der Begründer des Cartesianismus, der „Vater“ der analytischen Geometrie, einer der Begründer der neuen Mathematik sowie Mersennes Freund und Kamerad am Jesuitenkolleg. Dieser wundervolle Mann wird Fermats Albtraum sein.

Mersenne fand Fermats Ergebnisse interessant genug, um den Provinzial in seinen Eliteklub zu holen. Der Hof nimmt sofort eine Korrespondenz mit vielen Mitgliedern des Kreises auf und schläft buchstäblich mit Briefen von Mersenne selbst ein. Darüber hinaus sendet er fertige Manuskripte an das Gericht der Experten: „Einführung in flache und feste Orte“ und ein Jahr später „Methode zum Auffinden von Maxima und Minima“ und „Antworten auf Fragen von B. Cavalieri“. Was Fermat darlegte, war absolut neu, aber die Sensation fand nicht statt. Zeitgenossen zuckten nicht zusammen. Sie verstanden nicht viel, fanden aber eindeutige Hinweise darauf, dass Fermat die Idee des Maximierungsalgorithmus aus Johannes Keplers Abhandlung mit dem lustigen Titel „Die neue Stereometrie der Weinfässer“ entlehnt hatte. Tatsächlich gibt es in Keplers Argumentation Sätze wie "Das Volumen der Figur ist am größten, wenn auf beiden Seiten der Stelle des größten Werts die Abnahme zunächst unempfindlich ist." Aber die Idee eines kleinen Inkrements einer Funktion in der Nähe eines Extremums lag überhaupt nicht in der Luft. Die besten analytischen Köpfe der damaligen Zeit waren nicht bereit für Manipulationen mit kleinen Mengen. Tatsache ist, dass Algebra damals als eine Art Arithmetik galt, dh Mathematik der zweiten Klasse, ein primitives improvisiertes Werkzeug, das für die Bedürfnisse der Grundpraxis entwickelt wurde („nur Kaufleute zählen gut“). Tradition verpflichtet, sich an rein geometrische Beweismethoden zu halten, die auf die alte Mathematik zurückgehen. Fermat hat als erster verstanden, dass unendlich kleine Mengen hinzugefügt und reduziert werden können, aber es ist ziemlich schwierig, sie als Segmente darzustellen.

Es dauerte fast ein Jahrhundert, bis Jean d'Alembert in seiner berühmten Enzyklopädie zugab: Fermat war der Erfinder des neuen Kalküls. Bei ihm begegnen wir der ersten Anwendung von Differentialen zur Tangentenfindung.“ Noch deutlicher äußerte sich Ende des 18. Jahrhunderts Joseph Louis Comte de Lagrange: „Aber die Geometer – die Zeitgenossen Fermats – haben diese neue Art des Rechnens nicht verstanden. Sie sahen nur Sonderfälle. Und diese kurz vor Descartes' Geometrie entstandene Erfindung blieb vierzig Jahre lang fruchtlos. Lagrange bezieht sich auf das Jahr 1674, als Isaac Barrows „Lectures“ veröffentlicht wurden, die Fermats Methode im Detail behandelten.

Unter anderem wurde schnell klar, dass Fermat eher dazu neigte, neue Probleme zu formulieren, als die von den Metern vorgeschlagenen Probleme demütig zu lösen. In der Ära der Duelle wurde der Austausch von Aufgaben zwischen Experten allgemein als eine Form der Klärung von Fragen im Zusammenhang mit der Befehlskette akzeptiert. Die Farm kennt die Maßnahme jedoch eindeutig nicht. Jeder seiner Briefe ist eine Herausforderung, die Dutzende komplexer, ungelöster Probleme und die unerwartetsten Themen enthält. Hier ist ein Beispiel seines Stils (an Frenicle de Bessy gerichtet): „Item, was ist das kleinste Quadrat, das, wenn es um 109 reduziert und zu eins addiert wird, ein Quadrat ergibt? Wenn Sie mir die allgemeine Lösung nicht schicken, dann schicken Sie mir den Quotienten für diese beiden Zahlen, die ich klein gewählt habe, um Sie nicht zu sehr in Schwierigkeiten zu bringen. Nachdem ich Ihre Antwort erhalten habe, werde ich Ihnen einige andere Dinge vorschlagen. Es ist ohne besondere Vorbehalte klar, dass es in meinem Vorschlag darum geht, ganze Zahlen zu finden, da bei Bruchzahlen auch der unbedeutendste Arithmetiker ans Ziel kommen könnte. Fermat wiederholte sich oft, formulierte mehrmals dieselben Fragen und bluffte offen, indem er behauptete, eine ungewöhnlich elegante Lösung für das vorgeschlagene Problem zu haben. Es gab keine direkten Fehler. Einige von ihnen wurden von Zeitgenossen bemerkt, und einige der heimtückischen Aussagen führten die Leser über Jahrhunderte hinweg in die Irre.

Mersennes Kreis reagierte angemessen. Nur Robertville, der einzige im Kreis, der Probleme mit der Herkunft hatte, pflegt einen freundlichen Briefton. Der gute Hirte Pater Mersenne versuchte mit der „Toulouser Frechheit“ zu argumentieren. Aber Farm will sich nicht entschuldigen: „Ehrwürdiger Vater! Sie schreiben mir, dass das Aufwerfen meiner unmöglichen Probleme die Herren Saint-Martin und Frenicle verärgert und abgekühlt hat und dass dies der Grund für die Beendigung ihrer Briefe war. Ich möchte ihnen jedoch einwenden, dass das, was zunächst unmöglich erscheint, es tatsächlich nicht ist und dass es viele Probleme gibt, die, wie Archimedes sagte, …“ usw.

Farm ist jedoch unaufrichtig. An Frenicle schickte er das Problem, ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seiten zu finden, dessen Fläche gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl ist. Er schickte es ab, obwohl er wusste, dass das Problem offensichtlich keine Lösung hatte.

Die feindseligste Position gegenüber Fermat nahm Descartes ein. In seinem Brief an Mersenne aus dem Jahr 1938 lesen wir: „weil ich herausgefunden habe, dass dies dieselbe Person ist, die zuvor versucht hatte, meine „Dioptrie“ zu widerlegen, und weil Sie mir mitgeteilt haben, dass er sie geschickt hat, nachdem er meine „Geometrie“ gelesen hatte und überrascht, dass ich nicht dasselbe gefunden habe, d. h. (so wie ich Grund habe, es zu interpretieren) es mit dem Ziel geschickt hat, in Konkurrenz zu treten und zu zeigen, dass er mehr darüber weiß als ich, und da mehr Ihrer Briefe, ich erfährt, dass er als sehr sachkundiger Geometer bekannt ist, dann sehe ich mich verpflichtet, ihm zu antworten. Descartes wird seine Antwort später feierlich als „den kleinen Prozess der Mathematik gegen Herrn Fermat“ bezeichnen.

Es ist leicht zu verstehen, was den bedeutenden Wissenschaftler wütend machte. Erstens tauchen in Fermats Argumentation ständig Koordinatenachsen und die Darstellung von Zahlen durch Segmente auf - ein Kunstgriff, den Descartes in seiner soeben erschienenen "Geometrie" umfassend entwickelt. Fermat kommt auf die Idee, die Zeichnung durch eigene Berechnungen zu ersetzen, in gewisser Weise sogar konsequenter als Descartes. Zweitens demonstriert Fermat am Beispiel des Problems des kürzesten Weges eines Lichtstrahls auf brillante Weise die Wirksamkeit seiner Methode der Minima-Auffindung, die Descartes mit seiner „Dioptric“ verfeinert und ergänzt.

Die Verdienste von Descartes als Denker und Erneuerer sind enorm, aber schlagen wir die moderne „Mathematische Enzyklopädie“ auf und schauen uns die Liste der mit seinem Namen verbundenen Begriffe an: „Kartesische Koordinaten“ (Leibniz, 1692), „Kartesisches Blatt“, „Descartes Ovale“. Keine seiner Argumente ging als Satz von Descartes in die Geschichte ein. Descartes ist in erster Linie Ideologe: Er ist der Begründer einer philosophischen Schule, er formt Konzepte, verbessert das System der Buchstabenbezeichnungen, aber es gibt wenige neue spezifische Techniken in seinem kreativen Erbe. Im Gegensatz dazu schreibt Pierre Fermat wenig, kann sich aber bei jeder Gelegenheit viele witzige mathematische Tricks einfallen lassen (siehe ebd. „Fermats Theorem“, „Fermats Prinzip“, „Fermats Methode des unendlichen Abstiegs“). Wahrscheinlich beneideten sie sich zu Recht. Der Zusammenstoß war unvermeidlich. Unter der jesuitischen Vermittlung von Mersenne brach ein Krieg aus, der zwei Jahre dauerte. Allerdings erwies sich Mersenne auch hier als recht vor der Geschichte: Der erbitterte Kampf zwischen den beiden Titanen, ihre angespannte, gelinde gesagt, Polemik trugen zum Verständnis der Schlüsselbegriffe der mathematischen Analyse bei.

Fermat verliert als erster das Interesse an der Diskussion. Anscheinend sprach er direkt mit Descartes und beleidigte seinen Gegner nie wieder. In einem seiner letzten Werke, „Synthese für die Brechung“, dessen Manuskript er an de la Chaumbra schickte, erwähnt Fermat „den gelehrtesten Descartes“ wörtlich und betont auf jede erdenkliche Weise seine Priorität in Sachen Optik. Inzwischen war es dieses Manuskript, das die Beschreibung des berühmten „Fermatschen Prinzips“ enthielt, das eine erschöpfende Erklärung der Reflexions- und Brechungsgesetze des Lichts liefert. Knickse vor Descartes in einem Werk dieses Niveaus waren völlig unnötig.

Was ist passiert? Warum ging Fermat, abgesehen vom Stolz, zur Versöhnung? Liest man Fermats Briefe aus jenen Jahren (1638 - 1640), kann man das Einfachste vermuten: In dieser Zeit änderten sich seine wissenschaftlichen Interessen dramatisch. Er verlässt die modische Zykloide, interessiert sich nicht mehr für Tangenten und Flächen und vergisst für lange 20 Jahre seine Methode, das Maximum zu finden. Fermat, der große Verdienste in der Mathematik des Kontinuierlichen hat, taucht vollständig in die Mathematik des Diskreten ein und überlässt die hasserfüllten geometrischen Zeichnungen seinen Gegnern. Zahlen sind seine neue Leidenschaft. Tatsächlich verdankt die gesamte "Theory of Numbers" als eigenständige mathematische Disziplin ihre Geburt ausschließlich dem Leben und Werk von Fermat.

<…>Nach Fermats Tod veröffentlichte sein Sohn Samuel 1670 eine Ausgabe von Arithmetik, die seinem Vater gehörte, unter dem Titel „Sechs Bücher der Arithmetik des alexandrinischen Diophantus mit Kommentaren von L. G. Basche und Bemerkungen von P. de Fermat, Senator von Toulouse“. Das Buch enthielt auch einige Briefe von Descartes und den vollständigen Text von Jacques de Biglys A New Discovery in the Art of Analysis, basierend auf Fermats Briefen. Die Veröffentlichung war ein unglaublicher Erfolg. Vor den staunenden Fachleuten tat sich eine beispiellose helle Welt auf. Die Unerwartetheit und vor allem die Zugänglichkeit und demokratische Natur von Fermats zahlentheoretischen Ergebnissen führte zu vielen Nachahmungen. Zu dieser Zeit verstanden nur wenige Menschen, wie die Fläche einer Parabel berechnet wird, aber jeder Student konnte die Formulierung von Fermats letztem Satz verstehen. Eine regelrechte Jagd nach den unbekannten und verschollenen Briefen des Wissenschaftlers begann. Bis Ende des 17. Jahrhunderts. Jedes gefundene Wort von ihm wurde veröffentlicht und neu veröffentlicht. Doch die turbulente Entwicklungsgeschichte von Fermats Ideen begann gerade erst.

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Ivliev Yu.A.

Der Artikel ist der Beschreibung eines grundlegenden mathematischen Fehlers gewidmet, der beim Beweis des letzten Satzes von Fermat am Ende des 20. Jahrhunderts begangen wurde. Der entdeckte Fehler verzerrt nicht nur die wahre Bedeutung des Theorems, sondern behindert auch die Entwicklung eines neuen axiomatischen Ansatzes zum Studium der Zahlenpotenzen und der natürlichen Zahlenreihen.

1995 erschien ein buchähnlicher Artikel, der über den Beweis des berühmten Fermatschen großen (letzten) Satzes (WTF) berichtete (zur Geschichte des Satzes und zu Beweisversuchen siehe z. B. ). Nach diesem Ereignis erschienen viele wissenschaftliche Artikel und populärwissenschaftliche Bücher, die diesen Beweis förderten, aber keines dieser Werke enthüllte darin einen grundlegenden mathematischen Fehler, der sich nicht einmal durch die Schuld des Autors einschlich, sondern aufgrund eines seltsamen Optimismus, der ihn packte die Geistesmathematiker, die sich mit diesem Problem und verwandten Fragen beschäftigt haben. Die psychologischen Aspekte dieses Phänomens wurden in untersucht. Es enthält auch eine detaillierte Analyse des aufgetretenen Versehens, das nicht besonderer Natur ist, sondern das Ergebnis eines falschen Verständnisses der Eigenschaften der Potenzen ganzer Zahlen ist. Wie in gezeigt, wurzelt Fermats Problem in einem neuen axiomatischen Ansatz zur Untersuchung dieser Eigenschaften, der in der modernen Wissenschaft noch nicht angewendet wurde. Aber ein fehlerhafter Beweis stand ihm im Weg, der Zahlentheoretikern falsche Richtlinien gab und die Forscher des Fermat-Problems von seiner direkten und angemessenen Lösung wegführte. Diese Arbeit widmet sich der Beseitigung dieses Hindernisses.

1. Anatomie eines Fehlers, der beim Beweis des WTF gemacht wurde

In sehr langen und langwierigen Überlegungen wurde Fermats ursprüngliche Aussage in Form einer Entsprechung zwischen einer diophantischen Gleichung p-ten Grades und elliptischen Kurven dritter Ordnung umformuliert (siehe Sätze 0.4 und 0.5 in ). Ein solcher Vergleich zwang die Autoren des De-facto-Sammelbeweises, bekannt zu geben, dass ihre Methode und Argumentation zur endgültigen Lösung des Fermat-Problems führten (man erinnere sich, dass die WTF bis in die 90er Jahre keine anerkannten Beweise für den Fall beliebiger ganzzahliger Potenzen von ganzen Zahlen hatte letztes Jahrhundert). Zweck dieser Überlegung ist es, die mathematische Unrichtigkeit des obigen Vergleichs festzustellen und als Ergebnis der Analyse einen grundsätzlichen Fehler in dem in dargelegten Beweis zu finden.

a) Wo und was ist falsch?

Gehen wir also den Text durch, wo auf S.448 gesagt wird, dass sich nach der "witzigen Idee" von G. Frey (G. Frey) die Möglichkeit des Beweises der WTF eröffnet hat. 1984 schlug G. Frey vor, und

K. Ribet bewies später, dass die mutmaßliche elliptische Kurve, die die hypothetische ganzzahlige Lösung der Fermat-Gleichung darstellt,

y2 = x(x + u p)(x- v p) (1)

kann nicht modular sein. A.Wiles und R.Taylor haben jedoch bewiesen, dass jede semistabile elliptische Kurve, die über dem Feld rationaler Zahlen definiert ist, modular ist. Dies führte zur Schlussfolgerung über die Unmöglichkeit ganzzahliger Lösungen der Fermatschen Gleichung und folglich zur Gültigkeit der Fermatschen Aussage, die in der Notation von A. Wiles als Theorem 0.5 geschrieben wurde: Es gebe eine Gleichheit

u p+ v p+ w p = 0 (2)

wo du, v, w- rationale Zahlen, ganzzahliger Exponent p ≥ 3; dann ist (2) nur dann erfüllt, wenn uvw = 0 .

Nun sollten wir offenbar zurückgehen und kritisch überlegen, warum die Kurve (1) a priori als elliptisch wahrgenommen wurde und was ihre wirkliche Beziehung zu Fermats Gleichung ist. A. Wiles nimmt diese Frage vorweg und verweist auf die Arbeit von Y. Hellegouarch, in der er einen Weg gefunden hat, die Fermat-Gleichung (vermutlich in ganzen Zahlen gelöst) mit einer hypothetischen Kurve 3. Ordnung zu verknüpfen. Im Gegensatz zu G. Frey verband I. Allegouches seine Kurve nicht mit modularen Formen, sondern seine Methode, Gleichung (1) zu erhalten, wurde verwendet, um den Beweis von A. Wiles weiter voranzutreiben.

Schauen wir uns die Arbeit genauer an. Der Autor führt seine Argumentation in Begriffen der projektiven Geometrie. Wenn wir einige ihrer Notationen vereinfachen und sie mit in Einklang bringen, finden wir, dass die Abelsche Kurve

Y2 = X(X - βp)(X + γp) (3)

die diophantische Gleichung wird verglichen

x p+ j p+ z p = 0 (4)

wo x, y, z unbekannte ganze Zahlen sind, p ein ganzzahliger Exponent aus (2) ist und die Lösungen der diophantischen Gleichung (4) α p , β p , γ p verwendet werden, um die Abelsche Kurve (3) zu schreiben.

Um nun sicherzustellen, dass dies eine elliptische Kurve 3. Ordnung ist, ist es notwendig, die Variablen X und Y in (3) auf der euklidischen Ebene zu betrachten. Dazu verwenden wir die bekannte Arithmetikregel der elliptischen Kurven: Wenn es auf einer kubischen algebraischen Kurve zwei rationale Punkte gibt und die Gerade, die durch diese Punkte geht, diese Kurve an einem weiteren Punkt schneidet, dann ist letztere auch eine rationale Punkt. Die hypothetische Gleichung (4) repräsentiert formal das Additionsgesetz von Punkten auf einer geraden Linie. Wenn wir eine Änderung der Variablen vornehmen x p = A, j p=B, z p = C und führe die so erhaltene Gerade entlang der X-Achse in (3), dann schneidet sie die Kurve 3. Grades an drei Punkten: (X = 0, Y = 0), (X = β p , Y = 0 ), (X = - γ p , Y = 0), was sich in der Notation der Abelschen Kurve (3) und in einer ähnlichen Notation (1) widerspiegelt. Aber ist Kurve (3) oder (1) wirklich elliptisch? Offensichtlich nicht, da die Segmente der euklidischen Linie beim Hinzufügen von Punkten auf einer nichtlinearen Skala genommen werden.

Zurück zu den linearen Koordinatensystemen des euklidischen Raums erhalten wir anstelle von (1) und (3) Formeln, die sich stark von den Formeln für elliptische Kurven unterscheiden. Beispielsweise könnte (1) die folgende Form haben:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)

wobei ξ p = x, η p = y, und die Berufung auf (1) in diesem Fall zur Ableitung des WTF scheint rechtswidrig zu sein. Obwohl (1) einige Kriterien der Klasse der elliptischen Kurven erfüllt, erfüllt es nicht das wichtigste Kriterium, eine Gleichung dritten Grades in einem linearen Koordinatensystem zu sein.

b) Fehlerklassifizierung

Kehren wir also noch einmal zum Anfang der Betrachtung zurück und verfolgen, wie der Schluss über die Wahrheit der WTF gezogen wird. Zunächst wird angenommen, dass es eine Lösung der Fermat-Gleichung in positiven ganzen Zahlen gibt. Zweitens wird diese Lösung willkürlich in eine algebraische Form bekannter Form (eine ebene Kurve 3. Grades) unter der Annahme eingesetzt, dass die so erhaltenen elliptischen Kurven existieren (die zweite unbestätigte Annahme). Drittens, da durch andere Methoden bewiesen wurde, dass die konstruierte Betonkurve nicht modular ist, bedeutet dies, dass sie nicht existiert. Daraus folgt die Schlussfolgerung: Es gibt keine ganzzahlige Lösung der Fermat-Gleichung und daher ist die WTF wahr.

In diesen Argumenten gibt es ein schwaches Glied, das sich nach eingehender Prüfung als Irrtum herausstellt. Dieser Fehler wird in der zweiten Stufe des Beweisprozesses gemacht, wenn angenommen wird, dass die hypothetische Lösung der Fermatschen Gleichung auch die Lösung einer algebraischen Gleichung dritten Grades ist, die eine elliptische Kurve bekannter Form beschreibt. An sich wäre eine solche Annahme gerechtfertigt, wenn die angezeigte Kurve tatsächlich elliptisch wäre. Wie jedoch aus Punkt 1a) ersichtlich ist, wird diese Kurve in nichtlinearen Koordinaten dargestellt, was sie „illusorisch“, d.h. in einem linearen topologischen Raum nicht wirklich existiert.

Nun müssen wir den gefundenen Fehler eindeutig klassifizieren. Sie liegt darin, dass das, was zu beweisen ist, als Beweisargument gegeben ist. In der klassischen Logik wird dieser Fehler als „Teufelskreis“ bezeichnet. В данном случае целочисленное решение уравнения Ферма сопоставляется (по-видимому, предположительно однозначно) с фиктивной, несуществующей эллиптической кривой, а потом весь пафос дальнейших рассуждений уходит на то, чтобы доказать, что конкретная эллиптическая кривая такого вида, полученная из гипотетических решений уравнения Ферма, existiert nicht.

Wie kam es, dass in einer ernsthaften mathematischen Arbeit ein so elementarer Fehler übersehen wurde? Wahrscheinlich geschah dies aufgrund der Tatsache, dass „illusorische“ geometrische Figuren dieser Art zuvor nicht in der Mathematik untersucht wurden. Wen könnte beispielsweise ein fiktiver Kreis interessieren, den man aus der Fermatschen Gleichung durch Änderung der Variablen x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C erhält? Schließlich hat ihre Gleichung C 2 = A 2 + B 2 keine ganzzahligen Lösungen für ganze x, y, z und n ≥ 3 . Bei nichtlinearen Koordinatenachsen X und Y würde ein solcher Kreis durch eine Gleichung beschrieben, die der Standardform sehr ähnlich sieht:

Y 2 \u003d - (X - A) (X + B),

wobei A und B keine Variablen mehr sind, sondern konkrete Zahlen, die durch die obige Substitution bestimmt werden. Gibt man den Zahlen A und B aber ihre ursprüngliche Form, die in ihrem Potenzcharakter besteht, dann fällt sofort die Heterogenität der Notation in den Faktoren auf der rechten Seite der Gleichung auf. Dieses Zeichen hilft, Illusion von Realität zu unterscheiden und von nichtlinearen zu linearen Koordinaten zu wechseln. Betrachten wir dagegen Zahlen als Operatoren beim Vergleich mit Variablen, wie z. B. in (1), dann müssen beide homogene Größen sein, d.h. müssen den gleichen Abschluss haben.

Ein solches Verständnis der Potenzen von Zahlen als Operatoren lässt auch erkennen, dass der Vergleich der Fermatschen Gleichung mit einer illusorischen elliptischen Kurve nicht eindeutig ist. Nehmen Sie zum Beispiel einen der Faktoren auf der rechten Seite von (5) und erweitern Sie ihn in p lineare Faktoren, indem Sie eine komplexe Zahl r so einführen, dass r p = 1 (siehe zum Beispiel ):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r2 u)...(ξ + rp-1 u) (6)

Dann lässt sich die Form (5) als Zerlegung in Primfaktoren komplexer Zahlen nach der Art der algebraischen Identität (6) darstellen, allerdings ist die Eindeutigkeit einer solchen Zerlegung im allgemeinen Fall fraglich, was einmal von Kummer gezeigt wurde .

2. Schlussfolgerungen

Aus der vorangegangenen Analyse folgt, dass die sogenannte Arithmetik der elliptischen Kurven nicht in der Lage ist, Aufschluss darüber zu geben, wo der Beweis des WTF zu suchen ist. Nach der Arbeit wurde Fermats Aussage übrigens, die als Epigraph zu diesem Artikel genommen wurde, als historischer Witz oder praktischer Witz wahrgenommen. In Wirklichkeit stellte sich jedoch heraus, dass nicht Fermat scherzte, sondern die Experten, die sich 1984 auf dem mathematischen Symposium in Oberwolfach in Deutschland versammelten, auf dem G. Frey seine witzige Idee äußerte. Die Folgen einer solchen nachlässigen Äußerung brachten die Mathematik insgesamt an den Rand des öffentlichen Vertrauensverlustes, der ausführlich in beschrieben wird und zwangsläufig die Frage nach der Verantwortung wissenschaftlicher Institutionen gegenüber der Gesellschaft vor der Wissenschaft aufwirft. Die Abbildung der Fermat-Gleichung auf die Frey-Kurve (1) ist das „Schloss“ des gesamten Beweises von Wiles in Bezug auf den Satz von Fermat, und wenn es keine Entsprechung zwischen der Fermat-Kurve und modularen elliptischen Kurven gibt, dann gibt es auch keinen Beweis.

In letzter Zeit gab es verschiedene Internetberichte, dass einige prominente Mathematiker Wiles' Beweis von Fermats Theorem endlich herausgefunden haben und ihm eine Entschuldigung in Form einer "minimalen" Neuberechnung ganzzahliger Punkte im euklidischen Raum lieferten. Keine Neuerung kann jedoch die klassischen Ergebnisse aufheben, die die Menschheit bereits in der Mathematik erzielt hat, insbesondere die Tatsache, dass jede Ordnungszahl zwar mit ihrem quantitativen Gegenstück übereinstimmt, sie jedoch bei Operationen zum Vergleichen von Zahlen untereinander nicht ersetzen kann, und daher Daraus folgt zwangsläufig der Schluss, dass die Frey-Kurve (1) zunächst nicht elliptisch ist, d.h. ist per definitionem nicht.

REFERENZLISTE:

1. Ivliev Yu.A. Rekonstruktion des nativen Beweises von Fermats letztem Satz - United Scientific Journal (Sektion "Mathematics"). April 2006 Nr. 7 (167) S. 3-9, siehe auch Pratsi von der Zweigstelle Luhansk der International Academy of Informatization. Ministerium für Bildung und Wissenschaft der Ukraine. Shidnoukrainian National University benannt nach. V. Dahl. 2006 Nr. 2 (13) S. 19-25.
2. Ivliev Yu.A. Der größte wissenschaftliche Betrug des 20. Jahrhunderts: der "Beweis" von Fermats letztem Satz - Natur- und Technikwissenschaften (Abschnitt "Geschichte und Methodik der Mathematik"). August 2007 Nr. 4 (30) S. 34-48.
3. Edwards G. (Edwards H.M.) Fermats letzter Satz. Genetische Einführung in die algebraische Zahlentheorie. Pro. aus dem Englischen. ed. B. F. Skubenko. M.: Mir 1980, 484 S.
4. Hellegouarch Y. Points d'ordre 2p h auf den Ellipsenfeldern - Acta Arithmetica. 1975 XXVI S.253-263.
5. Wiles A. Modulare elliptische Kurven und Fermats letzter Satz - Annals of Mathematics. Mai 1995 v.141 Zweite Serie Nr. 3 S.443-551.

Bibliographischer Link

Ivliev Yu.A. WILES' FEHLERHAFTER BEWEIS DES GROßEN SATZES VON FERMAT // Grundlagenforschung. - 2008. - Nr. 3. - S. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (Zugriffsdatum: 25.09.2019). Wir machen Sie auf die Zeitschriften des Verlags "Academy of Natural History" aufmerksam

Pierre de Fermat, der die "Arithmetik" des Diophantus von Alexandria las und über ihre Probleme nachdachte, hatte die Angewohnheit, die Ergebnisse seiner Überlegungen in Form von kurzen Bemerkungen am Rand des Buches niederzuschreiben. Gegen das achte Problem des Diophantus am Rand des Buches schrieb Fermat: „ Im Gegenteil, es ist unmöglich, weder einen Würfel in zwei Würfel noch ein Bi-Quadrat in zwei Bi-Quadrate zu zerlegen, und im Allgemeinen keinen Grad größer als ein Quadrat in zwei Potenzen mit demselben Exponenten. Ich habe einen wirklich wunderbaren Beweis dafür entdeckt, aber diese Grenzen sind dafür zu eng.» / E.T.Bell "Schöpfer der Mathematik". M., 1979, S.69/. Ich mache Sie auf einen elementaren Beweis des Farm-Theorems aufmerksam, der von jedem Gymnasiasten verstanden werden kann, der sich für Mathematik interessiert.

Vergleichen wir Fermats Kommentar zum diophantischen Problem mit der modernen Formulierung des großen Satzes von Fermat, der die Form einer Gleichung hat.
« Die gleichung

x n + y n = z n(wobei n eine ganze Zahl größer als zwei ist)

hat keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen»

Der Kommentar steht in einem logischen Zusammenhang mit der Aufgabe, ähnlich wie der logische Zusammenhang des Prädikats mit dem Subjekt. Was das Problem des Diophantus bejaht, wird im Gegenteil durch Fermats Kommentar bejaht.

Fermats Kommentar kann wie folgt interpretiert werden: Wenn eine quadratische Gleichung mit drei Unbekannten unendlich viele Lösungen auf der Menge aller Tripel der pythagoreischen Zahlen hat, dann ist umgekehrt eine Gleichung mit drei Unbekannten in einem Grad größer als das Quadrat

Es gibt nicht einmal einen Hinweis auf seine Verbindung mit dem diophantischen Problem in der Gleichung. Seine Behauptung erfordert einen Beweis, aber sie hat keine Bedingung, aus der folgt, dass sie keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen hat.

Die mir bekannten Varianten des Beweises der Gleichung werden auf den folgenden Algorithmus reduziert.

1. Als Schlussfolgerung wird die Gleichung des Satzes von Fermat genommen, deren Gültigkeit mit Hilfe eines Beweises verifiziert wird.
2. Die gleiche Gleichung wird aufgerufen Initial die Gleichung, von der ihr Beweis ausgehen muss.

Das Ergebnis ist eine Tautologie: Wenn eine Gleichung keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen hat, dann hat sie auch keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen.". Der Beweis der Tautologie ist offensichtlich falsch und ohne jeden Sinn. Aber es wird durch Widerspruch bewiesen.

• Es wird eine Annahme getroffen, die der zu beweisenden Gleichung entgegengesetzt ist. Es sollte der ursprünglichen Gleichung nicht widersprechen, tut es aber. Zu beweisen, was ohne Beweis akzeptiert wird, und ohne Beweis zu akzeptieren, was bewiesen werden muss, macht keinen Sinn.
• Basierend auf der akzeptierten Annahme werden absolut korrekte mathematische Operationen und Aktionen durchgeführt, um zu beweisen, dass sie der ursprünglichen Gleichung widersprechen und falsch sind.

Daher ist der Beweis der Gleichung des letzten Satzes von Fermat seit nunmehr 370 Jahren ein unerfüllbarer Traum von Spezialisten und Liebhabern der Mathematik.

Ich nahm die Gleichung als Schluß des Theorems und das achte Problem von Diophantus und seine Gleichung als Bedingung des Theorems.

„Wenn die Gleichung x2 + y2 = z2 (1) hat eine unendliche Menge von Lösungen auf der Menge aller Tripel der pythagoreischen Zahlen, dann umgekehrt die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 (2) hat keine Lösungen auf der Menge positiver ganzer Zahlen."

Nachweisen.

SONDERN) Jeder weiß, dass Gleichung (1) unendlich viele Lösungen auf der Menge aller Tripel der pythagoräischen Zahlen hat. Lassen Sie uns beweisen, dass kein Tripel der pythagoräischen Zahlen, das eine Lösung von Gleichung (1) ist, eine Lösung von Gleichung (2) ist.

Aufgrund des Gesetzes der Umkehrbarkeit der Gleichheit werden die Seiten von Gleichung (1) vertauscht. Pythagoräische zahlen (z, x, y) kann als die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und der Quadrate interpretiert werden (x2, y2, z2) kann als die Bereiche von Quadraten interpretiert werden, die auf seiner Hypotenuse und seinen Beinen aufgebaut sind.

Wir multiplizieren die Quadrate von Gleichung (1) mit einer beliebigen Höhe h :

z 2 h = x 2 h + y 2 h (3)

Gleichung (3) kann als Gleichheit des Volumens eines Parallelepipeds mit der Summe der Volumina zweier Parallelepipeds interpretiert werden.

Lassen Sie die Höhe von drei Parallelepipeds h = z :

z 3 = x 2 z + y 2 z (4)

Das Volumen des Würfels wird in zwei Volumen von zwei Parallelepipeden zerlegt. Wir lassen das Volumen des Würfels unverändert und verringern die Höhe des ersten Parallelepipeds auf x und die Höhe des zweiten Parallelepipeds wird reduziert auf j . Das Volumen eines Würfels ist größer als die Summe der Volumina zweier Würfel:

z 3 > x 3 + y 3 (5)

Auf der Menge der Tripel pythagoräischer Zahlen ( x, y, z ) beim n=3 es kann keine Lösung für Gleichung (2) geben. Folglich ist es auf der Menge aller Tripel der pythagoreischen Zahlen unmöglich, einen Würfel in zwei Würfel zu zerlegen.

Setzen Sie in Gleichung (3) die Höhe von drei Parallelepipeden ein h = z2 :

z 2 z 2 = x 2 z 2 + y 2 z 2 (6)

Das Volumen eines Parallelepipeds wird in die Summe der Volumina zweier Parallelepipeds zerlegt.
Wir lassen die linke Seite von Gleichung (6) unverändert. Auf der rechten Seite die Höhe z2 reduzieren X im ersten Semester und bis um 2 im zweiten Semester.

Gleichung (6) verwandelte sich in die Ungleichung:

Das Volumen eines Parallelepipeds wird in zwei Volumen von zwei Parallelepipeds zerlegt.

Wir lassen die linke Seite von Gleichung (8) unverändert.
Auf der rechten Seite der Höhe zn-2 reduzieren xn-2 im ersten Term und reduzieren auf j n-2 im zweiten Semester. Gleichung (8) wird zur Ungleichung:

z n > x n + y n

(9)

Auf der Menge der Tripel der pythagoreischen Zahlen kann es keine einzige Lösung von Gleichung (2) geben.

Folglich auf der Menge aller Tripel der pythagoräischen Zahlen für alle n > 2 Gleichung (2) hat keine Lösungen.

"Post-wundersamer Beweis" erhalten, aber nur für Drillinge Pythagoräische zahlen. Das ist Mangel an Beweisen und den Grund für die Ablehnung von P. Fermat von ihm.

b) Lassen Sie uns beweisen, dass Gleichung (2) keine Lösungen für die Menge der Tripel von nicht-pythagoreischen Zahlen hat, die die Familie eines willkürlich genommenen Tripels von pythagoreischen Zahlen ist z=13, x=12, y=5 und die Familie eines beliebigen Tripels positiver ganzer Zahlen z=21, x=19, y=16

Beide Zahlentripel sind Mitglieder ihrer Familien:

	(13, 12, 12); (13, 12,11);…; (13, 12, 5) ;…; (13,7, 1);…; (13,1, 1)	(10)
	(21, 20, 20); (21, 20, 19);…;(21, 19, 16);…;(21, 1, 1)	(11)

Die Anzahl der Familienmitglieder (10) und (11) ist gleich der Hälfte des Produkts von 13 mal 12 und 21 mal 20, also 78 und 210.

Jedes Familienmitglied (10) enthält z = 13 und Variablen X und beim 13 > x > 0 , 13 > y > 0 1

Jedes Familienmitglied (11) enthält z = 21 und Variablen X und beim , die ganzzahlige Werte annehmen 21 > x > 0 , 21 > y > 0 . Die Variablen verringern sich sequentiell um 1 .

Die Zahlentripel der Folge (10) und (11) lassen sich als Folge von Ungleichungen dritten Grades darstellen:

	13 3 < 12 3 + 12 3 ;13 3 < 12 3 + 11 3 ;…; 13 3 < 12 3 + 8 3 ; 13 3 > 12 3 + 7 3 ;…; 13 3 > 1 3 + 1 3
	21 3 < 20 3 + 20 3 ; 21 3 < 20 3 + 19 3 ; …; 21 3 < 19 3 + 14 3 ; 21 3 > 19 3 + 13 3 ;…; 21 3 > 1 3 + 1 3

und in Form von Ungleichungen vierten Grades:

	13 4 < 12 4 + 12 4 ;…; 13 4 < 12 4 + 10 4 ; 13 4 > 12 4 + 9 4 ;…; 13 4 > 1 4 + 1 4
	21 4 < 20 4 + 20 4 ; 21 4 < 20 4 + 19 4 ; …; 21 4 < 19 4 + 16 4 ;…; 21 4 > 1 4 + 1 4

Die Richtigkeit jeder Ungleichung wird überprüft, indem die Zahlen in die dritte und vierte Potenz erhoben werden.

Der Würfel einer größeren Zahl kann nicht in zwei Würfel mit kleineren Zahlen zerlegt werden. Sie ist entweder kleiner oder größer als die Summe der Kubikzahlen der beiden kleineren Zahlen.

Das Bi-Quadrat einer größeren Zahl kann nicht in zwei Bi-Quadrate kleinerer Zahlen zerlegt werden. Sie ist entweder kleiner oder größer als die Summe der Biquadrate kleinerer Zahlen.

Wenn der Exponent zunimmt, haben alle Ungleichungen, mit Ausnahme der Ungleichung ganz links, dieselbe Bedeutung:

Ungleichungen, sie haben alle die gleiche Bedeutung: Der Grad der größeren Zahl ist größer als die Summe der Grade der beiden kleineren Zahlen mit gleichem Exponenten:

	13n > 12n + 12n ; 13n > 12n + 11n ;…; 13n > 7n + 4n ;…; 13n > 1n + 1n	(12)
	21n > 20n + 20n ; 21n > 20n + 19n ;…; ;…; 21n > 1n + 1n	(13)

Der linke Term der Folgen (12) (13) ist die schwächste Ungleichung. Ihre Korrektheit bestimmt die Korrektheit aller nachfolgenden Ungleichungen der Folge (12) z n > 8 und Sequenz (13) für n > 14 .

Unter ihnen kann es keine Gleichberechtigung geben. Ein beliebiges Tripel aus positiven ganzen Zahlen (21,19,16) ist keine Lösung der Gleichung (2) des letzten Satzes von Fermat. Wenn ein beliebiges Tripel positiver ganzer Zahlen keine Lösung der Gleichung ist, dann hat die Gleichung keine Lösungen auf der Menge positiver ganzer Zahlen, was zu beweisen war.

MIT) Fermats Kommentar zum Diophantus-Problem besagt, dass es unmöglich ist zu zerlegen " im Allgemeinen keine Potenz größer als das Quadrat, zwei Potenzen mit demselben Exponenten».

Küsse Eine Potenz größer als ein Quadrat kann nicht wirklich in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zerlegt werden. Ich küsse nicht Eine Potenz größer als das Quadrat kann mit demselben Exponenten in zwei Potenzen zerlegt werden.

Ein beliebiges zufällig ausgewähltes Tripel aus positiven ganzen Zahlen (z, x, y) kann einer Familie angehören, deren jedes Mitglied aus einer konstanten Zahl besteht z und zwei Zahlen kleiner als z . Jedes Familienmitglied kann in Form einer Ungleichung dargestellt werden, und alle resultierenden Ungleichheiten können als Folge von Ungleichungen dargestellt werden:

z n< (z — 1) n + (z — 1) n ; z n < (z — 1) n + (z — 2) n ; …; z n >1n + 1n

(14)

Die Folge von Ungleichungen (14) beginnt mit Ungleichungen, deren linke Seite kleiner als die rechte Seite ist, und endet mit Ungleichungen, deren rechte Seite kleiner als die linke Seite ist. Mit steigendem Exponenten n > 2 die Zahl der Ungleichungen auf der rechten Seite der Folge (14) nimmt zu. Mit Exponent n=k alle Ungleichungen der linken Seite der Folge ändern ihre Bedeutung und nehmen die Bedeutung der Ungleichungen der rechten Seite der Ungleichungen der Folge an (14). Durch die Erhöhung des Exponenten aller Ungleichungen ist die linke Seite größer als die rechte Seite:

zk > (z-1)k + (z-1)k; zk > (z-1)k + (z-2)k ;…; zk > 2k + 1k ; zk > 1k + 1k

(15)

Mit einem weiteren Anstieg des Exponenten n>k keine der Ungleichheiten ändert ihre Bedeutung und verwandelt sich nicht in Gleichheit. Auf dieser Grundlage kann argumentiert werden, dass jedes willkürlich genommene Tripel positiver ganzer Zahlen (z, x, y) beim n > 2 , z > x , z > y

In einem beliebigen Tripel aus positiven ganzen Zahlen z kann eine beliebig große natürliche Zahl sein. Für alle natürlichen Zahlen nicht größer als z , Fermats letzter Satz ist bewiesen.

D) Egal wie groß die Zahl ist z , in der natürlichen Zahlenreihe davor gibt es eine große, aber endliche Menge ganzer Zahlen, und danach gibt es eine unendliche Menge ganzer Zahlen.

Lassen Sie uns beweisen, dass die gesamte unendliche Menge natürlicher Zahlen größer als ist z , bilden Tripel von Zahlen, die keine Lösungen der Gleichung von Fermats letztem Satz sind, beispielsweise ein beliebiges Tripel positiver ganzer Zahlen (z+1,x,y) , wobei z + 1 > x und z + 1 > y für alle Werte des Exponenten n > 2 ist keine Lösung der Gleichung des letzten Satzes von Fermat.

Ein zufällig ausgewähltes Tripel aus positiven ganzen Zahlen (z + 1, x, y) kann zu einer Familie von Zahlentripeln gehören, deren jedes Mitglied aus einer konstanten Zahl besteht z + 1 und zwei Nummern X und beim , mit unterschiedlichen Werten, kleiner z + 1 . Familienmitglieder können als Ungleichheiten dargestellt werden, deren konstante linke Seite kleiner oder größer als die rechte Seite ist. Die Ungleichungen können in der Reihenfolge als Folge von Ungleichungen angeordnet werden:

Mit einem weiteren Anstieg des Exponenten n>k bis unendlich, keine der Ungleichungen in der Folge (17) ändert ihre Bedeutung und wird nicht zu einer Gleichheit. In Folge (16) wird die Ungleichung aus einem willkürlich genommenen Tripel positiver ganzer Zahlen gebildet (z + 1, x, y) , kann auf der rechten Seite des Formulars sein (z + 1) n > x n + y n oder auf der linken Seite im Formular sein (z+1)n< x n + y n .

Auf jeden Fall das Tripel positiver ganzer Zahlen (z + 1, x, y) beim n > 2 , z + 1 > x , z + 1 > y in Folge (16) ist eine Ungleichung und kann keine Gleichheit sein, d. h. sie kann keine Lösung der Gleichung von Fermats letztem Satz sein.

Der Ursprung der Folge von Potenzungleichungen (16), in der die letzte Ungleichung der linken Seite und die erste Ungleichung der rechten Seite Ungleichungen des entgegengesetzten Sinnes sind, ist leicht und einfach zu verstehen. Im Gegenteil, es ist für Schüler, Gymnasiasten und Gymnasiasten nicht leicht und schwer zu verstehen, wie aus einer Folge von Ungleichungen (16) eine Folge von Ungleichungen (17) entsteht, in der alle Ungleichungen dieselbe Bedeutung haben.

In der Folge (16) verwandelt das Erhöhen des ganzzahligen Grades der Ungleichungen um 1 die letzte Ungleichung auf der linken Seite in die erste Ungleichung mit der entgegengesetzten Bedeutung auf der rechten Seite. Somit nimmt die Anzahl der Ungleichungen auf der neunten Seite der Folge ab, während die Anzahl der Ungleichungen auf der rechten Seite zunimmt. Zwischen der letzten und der ersten Potenzungleichheit entgegengesetzter Bedeutung besteht unbedingt eine Potenzgleichheit. Ihr Grad kann keine ganze Zahl sein, da es zwischen zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen nur nicht ganzzahlige Zahlen gibt. Die Potenzgleichheit eines nicht ganzzahligen Grades kann gemäß der Bedingung des Theorems nicht als Lösung von Gleichung (1) angesehen werden.

Wenn wir in der Folge (16) den Grad weiter um 1 Einheit erhöhen, wird die letzte Ungleichung auf der linken Seite zur ersten Ungleichung mit der entgegengesetzten Bedeutung auf der rechten Seite. Infolgedessen gibt es auf der linken Seite keine Ungleichheiten und auf der rechten Seite nur Ungleichheiten, was eine Folge zunehmender Machtungleichheiten sein wird (17). Eine weitere Erhöhung ihres ganzzahligen Grades um 1 Einheit verstärkt nur ihre Potenzungleichheiten und schließt die Möglichkeit einer Gleichheit in einem ganzzahligen Grad kategorisch aus.

Daher kann im Allgemeinen keine ganzzahlige Potenz einer natürlichen Zahl (z+1) der Folge von Potenzungleichungen (17) in zwei ganzzahlige Potenzen mit demselben Exponenten zerlegt werden. Daher hat Gleichung (1) keine Lösungen auf einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen, was zu beweisen war.

Damit ist der letzte Satz von Fermat in aller Allgemeinheit bewiesen:

• in Abschnitt A) für alle Drillinge (z, x, y) Pythagoräische Zahlen (Fermats Entdeckung ist ein wahrhaft wundersamer Beweis),
• in Abschnitt C) für alle Familienmitglieder eines Tripels (z, x, y) pythagoräische Zahlen,
• in Abschnitt C) für alle Zahlentripel (z, x, y) , keine großen Zahlen z
• in Abschnitt D) für alle Zahlentripel (z, x, y) natürliche Zahlenreihe.

Änderungen wurden am 05.09.2010 vorgenommen

Welche Sätze können und welche nicht durch Widerspruch bewiesen werden

Das Explanatory Dictionary of Mathematical Terms definiert den Beweis durch Widerspruch eines Theorems, das dem inversen Theorem entgegengesetzt ist.

„Beweis durch Widerspruch ist eine Methode zum Beweis eines Satzes (Satzes), die darin besteht, nicht den Satz selbst zu beweisen, sondern seinen äquivalenten (äquivalenten), entgegengesetzten inversen (umgekehrten) Satz. Der Beweis durch Widerspruch wird immer dann verwendet, wenn der direkte Satz schwer zu beweisen ist, die umgekehrte Umkehrung jedoch einfacher ist. Beim Beweis durch Widerspruch wird die Konklusion des Satzes durch seine Negation ersetzt, und durch Argumentation gelangt man zur Negation der Bedingung, d.h. zum Widerspruch, zum Gegenteil (Gegenteil des Gegebenen; diese Absurdität beweist den Satz.

Der Widerspruchsbeweis wird in der Mathematik sehr häufig verwendet. Der Widerspruchsbeweis beruht auf dem Gesetz des ausgeschlossenen Dritten, das darin besteht, dass von den beiden Aussagen (Aussagen) A und A (Negation von A) eine wahr und die andere falsch ist./ Erklärendes Wörterbuch mathematischer Begriffe: Ein Leitfaden für Lehrer / O. V. Manturov [und andere]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Aufklärung, 1965.- 539 S.: Abb.-C.112/.

Es wäre nicht besser, offen zu erklären, dass die Methode des Widerspruchsbeweises keine mathematische Methode ist, obwohl sie in der Mathematik verwendet wird, dass sie eine logische Methode ist und zur Logik gehört. Ist es gültig zu sagen, dass der Widerspruchsbeweis "verwendet wird, wenn ein direkter Satz schwer zu beweisen ist", obwohl er tatsächlich nur dann verwendet wird, wenn es keinen Ersatz dafür gibt?

Besondere Aufmerksamkeit verdient auch die Charakteristik der Beziehung zwischen direktem und inversem Satz. „Ein Umkehrsatz zu einem gegebenen Satz (oder zu einem gegebenen Satz) ist ein Satz, bei dem die Bedingung die Konklusion und die Konklusion die Bedingung des gegebenen Theorems ist. Dieser Satz in Bezug auf den umgekehrten Satz wird als direkter Satz (Anfangssatz) bezeichnet. Gleichzeitig wird der umgekehrte Satz zum umgekehrten Satz der gegebene Satz sein; Daher werden der direkte und der inverse Satz als gegenseitig invers bezeichnet. Wenn der direkte (gegebene) Satz wahr ist, dann ist der umgekehrte Satz nicht immer wahr. Wenn zum Beispiel ein Viereck eine Raute ist, dann stehen seine Diagonalen senkrecht aufeinander (direkter Satz). Wenn die Diagonalen in einem Viereck senkrecht zueinander stehen, dann ist das Viereck eine Raute – das ist nicht wahr, d.h. der Umkehrsatz gilt nicht./ Erklärendes Wörterbuch mathematischer Begriffe: Ein Leitfaden für Lehrer / O. V. Manturov [und andere]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Aufklärung, 1965.- 539 S.: Abb.-C.261 /.

Diese Charakterisierung des Verhältnisses zwischen direktem und inversem Theorem berücksichtigt nicht, dass die Bedingung des direkten Theorems ohne Beweis als gegeben angenommen wird, so dass seine Richtigkeit nicht garantiert ist. Die Bedingung des Umkehrsatzes wird nicht als gegeben angenommen, da sie die Schlussfolgerung des bewiesenen direkten Satzes ist. Seine Richtigkeit wird durch den Beweis des direkten Satzes bestätigt. Dieser wesentliche logische Unterschied zwischen den Bedingungen des direkten und des inversen Satzes erweist sich als entscheidend bei der Frage, welche Sätze mit der logischen Methode vom Gegenteil bewiesen werden können und welche nicht.

Nehmen wir an, es sei ein direkter Satz im Sinn, der mit der üblichen mathematischen Methode bewiesen werden kann, aber schwierig ist. Wir formulieren es in allgemeiner Form in Kurzform wie folgt: aus SONDERN sollen E . Symbol SONDERN hat den Wert der gegebenen Bedingung des Satzes, akzeptiert ohne Beweis. Symbol E ist die Schlussfolgerung des zu beweisenden Satzes.

Wir werden den direkten Satz durch Widerspruch beweisen, logisch Methode. Die logische Methode beweist einen Satz, der gilt nicht mathematisch Zustand und logisch Zustand. Es kann erhalten werden, wenn die mathematische Bedingung des Satzes aus SONDERN sollen E , ergänzen Sie mit der entgegengesetzten Bedingung aus SONDERN TU es nicht E .

Als Ergebnis wurde eine logisch widersprüchliche Bedingung des neuen Theorems erhalten, die zwei Teile umfasst: aus SONDERN sollen E und aus SONDERN TU es nicht E . Die resultierende Bedingung des neuen Satzes entspricht dem logischen Gesetz der ausgeschlossenen Mitte und entspricht dem Beweis des Satzes durch Widerspruch.

Nach dem Gesetz ist ein Teil der widersprüchlichen Bedingung falsch, ein anderer Teil wahr und der dritte ausgeschlossen. Der Widerspruchsbeweis hat seine eigene Aufgabe und sein Ziel, genau festzustellen, welcher Teil der beiden Teile der Bedingung des Theorems falsch ist. Sobald der falsche Teil der Bedingung bestimmt ist, wird festgestellt, dass der andere Teil der wahre Teil ist, und der dritte wird ausgeschlossen.

Laut dem erklärenden Wörterbuch der mathematischen Begriffe, „Beweis ist Argumentation, bei der die Wahrheit oder Falschheit einer Aussage (Urteil, Aussage, Theorem) festgestellt wird“. Nachweisen Gegenteil es findet eine Diskussion statt, in deren Verlauf sie hergestellt wird Falschheit(Absurdität) der Schlussfolgerung, die aus folgt FALSCH Bedingungen des zu beweisenden Theorems.

Gegeben: aus SONDERN sollen E und von SONDERN TU es nicht E .

Beweisen: aus SONDERN sollen E .

Nachweisen: Die logische Bedingung des Satzes enthält einen Widerspruch, der seiner Auflösung bedarf. Der Widerspruch der Bedingung muss im Beweis und seinem Ergebnis seine Auflösung finden. Das Ergebnis erweist sich als falsch, wenn die Argumentation fehlerfrei und unfehlbar ist. Der Grund für einen falschen Schluss mit logisch richtiger Begründung kann nur eine widersprüchliche Bedingung sein: aus SONDERN sollen E und aus SONDERN TU es nicht E .

Es besteht kein Zweifel, dass ein Teil der Bedingung falsch und der andere in diesem Fall wahr ist. Beide Teile der Bedingung haben den gleichen Ursprung, werden als gegeben angenommen, angenommen, gleichermaßen möglich, gleichermaßen zulässig usw. Im Laufe des logischen Denkens wurde kein einziges logisches Merkmal gefunden, das einen Teil der Bedingung von der unterscheiden würde Sonstiges. Daher in gleichem Maße aus SONDERN sollen E und vielleicht aus SONDERN TU es nicht E . Erklärung aus SONDERN sollen E kann sein FALSCH, dann die Aussage aus SONDERN TU es nicht E wird wahr sein. Erklärung aus SONDERN TU es nicht E kann falsch sein, dann ist die Aussage aus SONDERN sollen E wird wahr sein.

Daher ist es unmöglich, den direkten Satz durch die Widerspruchsmethode zu beweisen.

Nun werden wir denselben direkten Satz mit der üblichen mathematischen Methode beweisen.

Gegeben: SONDERN .

Beweisen: aus SONDERN sollen E .

Nachweisen.

1. Aus SONDERN sollen B

2. Aus B sollen BEIM (nach dem zuvor bewiesenen Theorem)).

3. Aus BEIM sollen G (nach dem zuvor bewiesenen Satz).

4. Aus G sollen D (nach dem zuvor bewiesenen Satz).

5. Aus D sollen E (nach dem zuvor bewiesenen Satz).

Basierend auf dem Transitivitätsgesetz aus SONDERN sollen E . Der direkte Satz wird mit der üblichen Methode bewiesen.

Der bewiesene direkte Satz habe einen korrekten Umkehrsatz: aus E sollen SONDERN .

Lassen Sie uns es durch gewöhnlich beweisen mathematisch Methode. Der Beweis des Umkehrsatzes kann in symbolischer Form als Algorithmus mathematischer Operationen ausgedrückt werden.

Gegeben: E

Beweisen: aus E sollen SONDERN .

Nachweisen.

1. Aus E sollen D

2. Aus D sollen G (nach dem zuvor bewiesenen Umkehrsatz).

3. Aus G sollen BEIM (nach dem zuvor bewiesenen Umkehrsatz).

4. Aus BEIM TU es nicht B (Die Umkehrung gilt nicht). Deshalb aus B TU es nicht SONDERN .

In dieser Situation macht es keinen Sinn, den mathematischen Beweis des Umkehrsatzes fortzusetzen. Der Grund für die Situation ist logisch. Es ist unmöglich, einen falschen Umkehrsatz durch irgendetwas zu ersetzen. Daher kann dieser Umkehrsatz nicht mit der üblichen mathematischen Methode bewiesen werden. Alle Hoffnung besteht darin, diesen Umkehrsatz durch Widerspruch zu beweisen.

Um es durch Widerspruch zu beweisen, muss seine mathematische Bedingung durch eine logische widersprüchliche Bedingung ersetzt werden, die in ihrer Bedeutung zwei Teile enthält - falsch und wahr.

Umkehrsatz Ansprüche: aus E TU es nicht SONDERN . Ihr Zustand E , woraus die Schlussfolgerung folgt SONDERN , ist das Ergebnis des Beweises des direkten Satzes durch die übliche mathematische Methode. Diese Bedingung ist beizubehalten und mit der Erklärung zu ergänzen aus E sollen SONDERN . Als Ergebnis der Addition erhält man eine widersprüchliche Bedingung des neuen Umkehrsatzes: aus E sollen SONDERN und aus E TU es nicht SONDERN . Basierend auf logisch widersprüchliche Bedingung kann der Umkehrsatz durch die richtige bewiesen werden logisch nur Argumentation, und nur, logisch entgegengesetzte Methode. Beim Widerspruchsbeweis sind alle mathematischen Aktionen und Operationen den logischen untergeordnet und zählen daher nicht.

Im ersten Teil der widersprüchlichen Aussage aus E sollen SONDERN Zustand E wurde durch den Beweis des direkten Satzes bewiesen. Im zweiten Teil aus E TU es nicht SONDERN Zustand E wurde ohne Beweis angenommen und akzeptiert. Einer von ihnen ist falsch und der andere ist wahr. Welche davon falsch ist, muss bewiesen werden.

Wir beweisen mit dem Richtigen logisch Argumentation und stellen fest, dass das Ergebnis eine falsche, absurde Schlussfolgerung ist. Der Grund für eine falsche logische Schlussfolgerung ist die widersprüchliche logische Bedingung des Satzes, der zwei Teile enthält - falsch und wahr. Der falsche Teil kann nur eine Aussage sein aus E TU es nicht SONDERN , indem E ohne Nachweis angenommen. Das unterscheidet es von E Aussagen aus E sollen SONDERN , was durch den Beweis des direkten Satzes bewiesen ist.

Daher gilt die Aussage: aus E sollen SONDERN , was zu beweisen war.

Fazit: Nur der umgekehrte Satz wird durch die logische Methode aus dem Gegenteil bewiesen, für das ein direkter Satz durch die mathematische Methode bewiesen ist und der durch die mathematische Methode nicht bewiesen werden kann.

Der erhaltene Schluß gewinnt eine außerordentliche Bedeutung in bezug auf die Methode des Widerspruchsbeweises des großen Satzes von Fermat. Die überwiegende Mehrheit der Beweisversuche basiert nicht auf der üblichen mathematischen Methode, sondern auf der logischen Methode des Widerspruchsbeweises. Der Beweis des Großen Satzes von Fermat Wiles ist da keine Ausnahme.

Dmitry Abrarov veröffentlichte in seinem Artikel "Fermat's Theorem: the Phenomenon of Wiles' Proofs" einen Kommentar zum Beweis von Fermat's Last Theorem von Wiles. Laut Abrarov beweist Wiles den letzten Satz von Fermat mit Hilfe einer bemerkenswerten Entdeckung des deutschen Mathematikers Gerhard Frey (geb. 1944), der eine mögliche Lösung der Fermat-Gleichung in Beziehung setzt x n + y n = z n , wo n > 2 , mit einer anderen völlig anderen Gleichung. Diese neue Gleichung wird durch eine spezielle Kurve (genannt elliptische Frey-Kurve) gegeben. Die Frey-Kurve ist durch eine sehr einfache Gleichung gegeben:
.

„Gerade Frey hat jede Lösung verglichen (a, b, c) Fermatsche Gleichung, also Zahlen, die die Beziehung erfüllen ein n + b n = c n die obige Kurve. In diesem Fall würde Fermats letzter Satz folgen."(Zitat aus: Abrarov D. "Theorem von Fermat: Das Phänomen des Wiles-Beweises")

Mit anderen Worten, Gerhard Frey schlug vor, dass die Gleichung von Fermats letztem Satz x n + y n = z n , wo n > 2 , hat Lösungen in positiven ganzen Zahlen. Dieselben Lösungen sind nach Freys Annahme die Lösungen seiner Gleichung
y 2 + x (x - ein n) (y + b n) = 0 , die durch ihre elliptische Kurve gegeben ist.

Andrew Wiles akzeptierte diese bemerkenswerte Entdeckung von Frey und, mit ihrer Hilfe, durch mathematisch Methode bewies, dass dieser Befund, also die elliptische Kurve von Frey, nicht existiert. Daher gibt es keine Gleichung und ihre Lösungen, die durch eine nicht existierende elliptische Kurve gegeben sind.Deshalb hätte Wiles folgern müssen, dass es keine Gleichung des letzten Satzes von Fermat und des Satzes von Fermat selbst gibt. Er zieht jedoch den bescheideneren Schluss, dass die Gleichung von Fermats letztem Satz keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen hat.

Es mag eine unbestreitbare Tatsache sein, dass Wiles eine Annahme akzeptiert hat, die in ihrer Bedeutung genau entgegengesetzt zu dem ist, was in Fermats letztem Satz gesagt wird. Es verpflichtet Wiles, den letzten Satz von Fermat durch Widerspruch zu beweisen. Lassen Sie uns seinem Beispiel folgen und sehen, was aus diesem Beispiel passiert.

Der letzte Satz von Fermat besagt, dass die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen.

Nach der logischen Methode des Widerspruchsbeweises wird diese Aussage beibehalten, ohne Beweis als gegeben hingenommen und dann um eine Aussage mit entgegengesetzter Bedeutung ergänzt: die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat Lösungen in positiven ganzen Zahlen.

Die hypothetische Aussage wird auch ohne Beweis als gegeben akzeptiert. Beide Aussagen sind, vom Standpunkt der Grundgesetze der Logik aus betrachtet, gleichermaßen zulässig, gleichberechtigt und gleichermaßen möglich. Durch korrektes Denken muss festgestellt werden, welche von ihnen falsch ist, um dann festzustellen, dass die andere Aussage wahr ist.

Korrektes Denken endet mit einer falschen, absurden Schlussfolgerung, deren logische Ursache nur eine widersprüchliche Bedingung des zu beweisenden Theorems sein kann, die zwei Teile mit direkt entgegengesetzter Bedeutung enthält. Sie waren die logische Ursache der absurden Schlussfolgerung, das Ergebnis des Beweises durch Widerspruch.

Bei logisch korrekter Argumentation wurde jedoch kein einziges Zeichen gefunden, anhand dessen festgestellt werden könnte, welche bestimmte Aussage falsch ist. Es kann eine Aussage sein: die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat Lösungen in positiven ganzen Zahlen. Auf der gleichen Grundlage kann es die Aussage sein: die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen.

Als Ergebnis der Argumentation kann es nur eine Schlussfolgerung geben: Der letzte Satz von Fermat kann nicht durch Widerspruch bewiesen werden.

Es wäre eine ganz andere Sache, wenn der letzte Satz von Fermat ein inverser Satz wäre, für den ein direkter Satz durch die übliche mathematische Methode bewiesen wäre. In diesem Fall könnte es durch Widerspruch bewiesen werden. Und da es sich um einen direkten Satz handelt, muss sein Beweis nicht auf der logischen Methode des Widerspruchsbeweises basieren, sondern auf der üblichen mathematischen Methode.

Laut D. Abrarov reagierte Akademiker V. I. Arnold, der berühmteste zeitgenössische russische Mathematiker, auf Wiles 'Beweis "aktiv skeptisch". Der Akademiker erklärte: „Das ist keine echte Mathematik – echte Mathematik ist geometrisch und hat starke Verbindungen zur Physik.“

Durch Widerspruch ist es unmöglich zu beweisen, dass die Gleichung von Fermats letztem Satz keine Lösungen hat, oder dass sie Lösungen hat. Der Fehler von Wiles ist kein mathematischer, sondern ein logischer – die Verwendung eines Widerspruchsbeweises, wo seine Verwendung keinen Sinn ergibt und Fermats letzten Satz nicht beweist.

Der letzte Satz von Fermat wird nicht mit Hilfe der üblichen mathematischen Methode bewiesen, falls sie gegeben ist: der Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen, und wenn es darin zu beweisen gilt: die Gleichung x n + y n = z n , wo n > 2 , hat keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen. In dieser Form liegt kein Theorem vor, sondern eine bedeutungslose Tautologie.

Notiz. Mein BTF-Beweis wurde in einem der Foren diskutiert. Einer der Teilnehmer von Trotil, ein Spezialist für Zahlentheorie, machte die folgende maßgebliche Aussage mit dem Titel: „Eine kurze Nacherzählung dessen, was Mirgorodsky getan hat.“ Ich zitiere wörtlich:

« SONDERN. Er hat bewiesen, dass wenn z 2 \u003d x 2 + y , dann z n > x n + y n . Dies ist eine wohlbekannte und ziemlich offensichtliche Tatsache.

BEIM. Er nahm zwei Tripel – pythagoreisch und nicht-pythagoreisch – und zeigte durch einfache Aufzählung, dass für eine bestimmte, spezifische Familie von Tripeln (78 und 210 Stück) BTF durchgeführt wird (und nur dafür).

MIT. Und dann hat der Autor die Tatsache ausgelassen < in einem weiterführenden Studium möglich = , nicht nur > . Ein einfaches Gegenbeispiel ist der Übergang n=1 in n=2 in einem pythagoräischen Tripel.

D. Dieser Punkt trägt nichts Wesentliches zum BTF-Beweis bei. Fazit: BTF ist nicht nachgewiesen.“

Ich werde seine Schlussfolgerung Punkt für Punkt betrachten.

SONDERN. Darin wird die BTF für die gesamte unendliche Menge von Tripeln pythagoräischer Zahlen bewiesen. Bewiesen durch eine geometrische Methode, die, wie ich glaube, nicht von mir entdeckt, sondern wiederentdeckt wurde. Und es wurde, wie ich glaube, von P. Fermat selbst geöffnet. Das mag Fermat im Sinn gehabt haben, als er schrieb:

"Ich habe einen wirklich wunderbaren Beweis dafür entdeckt, aber diese Ränder sind dafür zu eng." Diese meine Annahme basiert auf der Tatsache, dass es sich bei dem diophantischen Problem, gegen das Fermat am Rande des Buches geschrieben hat, um Lösungen der diophantischen Gleichung handelt, die Tripel von pythagoreischen Zahlen sind.

Eine unendliche Menge von Tripeln pythagoreischer Zahlen sind Lösungen der Diophatengleichung, und im Satz von Fermat kann im Gegensatz dazu keine der Lösungen eine Lösung für die Gleichung des Satzes von Fermat sein. Und Fermats wirklich wundersamer Beweis hat einen direkten Bezug zu dieser Tatsache. Später konnte Fermat seinen Satz auf die Menge aller natürlichen Zahlen erweitern. Auf der Menge aller natürlichen Zahlen gehört die BTF nicht zur „Menge der außergewöhnlich schönen Theoreme“. Das ist meine Vermutung, die weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Es kann sowohl angenommen als auch abgelehnt werden.

BEIM. In diesem Absatz beweise ich, dass sowohl die Familie eines willkürlich genommenen pythagoräischen Zahlentripels als auch die Familie eines willkürlich genommenen nicht-pythagoreischen Zahlentripels BTF erfüllt ist, was ein notwendiges, aber unzureichendes Zwischenglied in meinem Beweis der ist BTF. Die Beispiele, die ich von der Familie eines Tripels von pythagoreischen Zahlen und der Familie eines Tripels von nicht-pythagoreischen Zahlen genommen habe, haben die Bedeutung spezifischer Beispiele, die die Existenz ähnlicher anderer Beispiele voraussetzen und nicht ausschließen.

Trotils Aussage, dass ich „durch einfache Aufzählung gezeigt habe, dass für eine bestimmte, bestimmte Familie von Tripeln (78 und 210 Stück) BTF erfüllt ist (und nur dafür), entbehrt jeder Grundlage. Er kann die Tatsache nicht widerlegen, dass ich genauso gut andere Beispiele für pythagoreische und nicht-pythagoreische Tripel nehmen könnte, um eine bestimmte Familie von dem einen und dem anderen Tripel zu erhalten.

Welches Paar von Tripeln ich auch immer nehme, die Überprüfung ihrer Eignung zur Lösung des Problems kann meiner Meinung nach nur mit der Methode der "einfachen Aufzählung" durchgeführt werden. Eine andere Methode ist mir nicht bekannt und wird auch nicht benötigt. Wenn er Trotil nicht mochte, hätte er eine andere Methode vorschlagen sollen, was er nicht tut. Ohne eine Gegenleistung anzubieten, ist es falsch, die „einfache Aufzählung“ zu verurteilen, die in diesem Fall unersetzlich ist.

MIT. Ich habe = zwischen weggelassen< и < на основании того, что в доказательстве БТФ рассматривается уравнение z 2 \u003d x 2 + y (1), in dem der Grad n > 2 — ganz positive Zahl. Aus der Gleichheit zwischen den Ungleichungen folgt obligatorisch Berücksichtigung von Gleichung (1) mit einem nicht ganzzahligen Gradwert n > 2 . Trotil zählen verpflichtend Berücksichtigung der Gleichheit zwischen Ungleichheiten, tatsächlich berücksichtigt notwendig im BTF-Beweis, Berücksichtigung von Gleichung (1) mit nicht ganzzahlig Grad wert n > 2 . Ich habe das für mich selbst gemacht und diese Gleichung (1) mit gefunden nicht ganzzahlig Grad wert n > 2 hat eine Lösung von drei Zahlen: z, (z-1), (z-1) mit nicht ganzzahligem Exponenten.