Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik kurz. Wahrscheinlichkeitstheorie

Mama hat den Rahmen gewaschen

Gegen Ende der langen Sommerferien ist es an der Zeit, langsam zur höheren Mathematik zurückzukehren und feierlich eine leere Verd-Datei zu öffnen, um mit der Erstellung eines neuen Abschnitts zu beginnen - . Ich gebe zu, dass die ersten Zeilen nicht einfach sind, aber der erste Schritt ist der halbe Weg, deshalb empfehle ich jedem, den Einführungsartikel sorgfältig zu studieren, danach wird es 2-mal einfacher, das Thema zu meistern! Ich übertreibe überhaupt nicht. ... Am Vorabend des nächsten 1. September erinnere ich mich an die erste Klasse und Grundierung .... Buchstaben formen Silben, Silben zu Wörtern, Wörter zu kurzen Sätzen - Mama hat den Rahmen gewaschen. Terver und mathematische Statistik zu beherrschen ist so einfach wie Lesen lernen! Dazu ist es jedoch notwendig, die wichtigsten Begriffe, Konzepte und Bezeichnungen sowie einige spezifische Regeln zu kennen, denen diese Lektion gewidmet ist.

Nehmen Sie aber zunächst meine Glückwünsche zum Beginn (Fortsetzung, Abschluss, entsprechende Anmerkung) des Studienjahres entgegen und nehmen Sie das Geschenk entgegen. Das beste Geschenk ist ein Buch, und zum Selbststudium empfehle ich folgende Literatur:

1) Gmurman V.E. Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik

Ein legendäres Lehrbuch, das mehr als zehn Neuauflagen erlebt hat. Es unterscheidet sich in der Verständlichkeit und der äußerst einfachen Darstellung des Stoffes, und die ersten Kapitel sind meiner Meinung nach bereits für Schüler der Klassen 6-7 vollständig zugänglich.

2) Gmurman V.E. Leitfaden zur Problemlösung in der Wahrscheinlichkeits- und mathematischen Statistik

Reshebnik des gleichen Vladimir Efimovich mit detaillierten Beispielen und Aufgaben.

NOTWENDIG Laden Sie beide Bücher aus dem Internet herunter oder holen Sie sich ihre gedruckten Originale! Eine 60er-70er-Version reicht aus, was für Dummies noch besser ist. Wobei der Ausdruck „Wahrscheinlichkeitstheorie für Dummies“ ziemlich lächerlich klingt, da sich fast alles auf elementare Rechenoperationen beschränkt. Sie rutschen jedoch stellenweise ab Derivate und Integrale, aber das ist nur stellenweise.

Ich werde versuchen, die gleiche Klarheit der Präsentation zu erreichen, aber ich muss Sie warnen, dass sich mein Kurs darauf konzentriert Probleme lösen und theoretische Berechnungen werden auf ein Minimum reduziert. Wenn Sie also eine detaillierte Theorie, Beweise von Theoremen (ja, Theoreme!) benötigen, wenden Sie sich bitte an das Lehrbuch.

Für die, die wollen lernen, Probleme zu lösen in wenigen Tagen erstellt Crashkurs im pdf-Format (laut Website). Nun, jetzt, ohne die Angelegenheit in einem langen Ordner aufzuschieben, fangen wir an, Terver und Matstat zu studieren - folgen Sie mir!

Genug für den Anfang =)

Während Sie die Artikel lesen, ist es hilfreich, sich (zumindest kurz) mit zusätzlichen Problemen der betrachteten Typen vertraut zu machen. Auf der Seite Fertige Lösungen für die höhere Mathematik das entsprechende pdf-ki mit lösungsbeispielen ist hinterlegt. Außerdem wird erhebliche Hilfe geleistet IDZ 18.1-18.2 Rjabuschko(einfacher) und gelöst IDZ nach der Sammlung von Chudesenko(schwieriger).

1) Summe zwei Ereignisse und heißt das Ereignis, das darin besteht, dass oder Veranstaltung oder Veranstaltung oder beide Veranstaltungen gleichzeitig. Falls die Ereignisse unvereinbar, die letzte Option verschwindet, das heißt, sie kann auftreten oder Veranstaltung oder Veranstaltung .

Die Regel gilt auch für weitere Begriffe, beispielsweise ein Ereignis ist, was passieren wird mindestens ein aus Veranstaltungen , a wenn die Ereignisse nicht kompatibel sind – das eine und einzige Veranstaltung ab dieser Summe: oder Veranstaltung , oder Veranstaltung , oder Veranstaltung , oder Veranstaltung , oder Veranstaltung .

Viele Beispiele:

Das Ereignis (wenn ein Würfelwurf keine 5 Punkte fallen lässt) ist das oder 1, oder 2, oder 3, oder 4, oder 6 Punkte.

Ereignis (wird gelöscht nicht mehr zwei Punkte) ist, dass 1 oder 2Punkte.

Vorfall (es wird eine gerade Anzahl von Punkten geben) ist, dass die oder 2 oder 4 oder 6 Punkte.

Das Ereignis ist, dass eine Karte der roten Farbe (Herz) aus dem Stapel gezogen wird oder Tamburin) und das Ereignis - dass das „Bild“ extrahiert wird (Buchse oder Dame oder König oder As).

Etwas interessanter ist es bei gemeinsamen Veranstaltungen:

Das Ereignis besteht darin, dass ein Kreuz aus dem Stapel gezogen wird oder Sieben oder sieben Clubs Nach obiger Definition ist wenigstens etwas- oder irgendeine Keule oder irgendwelche sieben oder ihre "Kreuzung" - sieben Keulen. Es ist leicht zu berechnen, dass dieses Ereignis 12 elementaren Ergebnissen entspricht (9 Kreuzkarten + 3 verbleibende Siebener).

Die Veranstaltung ist, dass morgen um 12.00 Uhr MINDESTENS EINE der summierbaren gemeinsamen Veranstaltungen, nämlich:

- oder es gibt nur Regen / nur Donner / nur Sonne;
- oder es kommen nur einige Ereignispaare (Regen + Gewitter / Regen + Sonne / Gewitter + Sonne);
– oder alle drei Ereignisse erscheinen gleichzeitig.

Das heißt, das Ereignis umfasst 7 mögliche Ergebnisse.

Die zweite Säule der Algebra der Ereignisse:

2) Arbeit zwei Ereignisse und nennen das Ereignis, das im gemeinsamen Auftreten dieser Ereignisse besteht, also Multiplikation bedeutet, dass es unter Umständen dazu kommen wird und Veranstaltung , und Veranstaltung . Eine ähnliche Aussage gilt für eine größere Anzahl von Veranstaltungen, zum Beispiel die Arbeit impliziert, dass es sie unter bestimmten Bedingungen geben wird und Veranstaltung , und Veranstaltung , und Veranstaltung , …, und Veranstaltung .

Stellen Sie sich einen Versuch vor, bei dem zwei Münzen geworfen werden und folgende Veranstaltungen:

- Köpfe fallen auf die 1. Münze;
- die 1. Münze wird Zahl landen;
- die 2. Münze bringt Kopf;
- Die 2. Münze zeigt Zahl.

Dann:
und am 2.) fällt ein Adler heraus;
- Das Ereignis besteht darin, dass auf beiden Münzen (am 1 und am 2.) fallen die Schwänze aus;
– Das Ereignis ist, dass die 1. Münze Kopf landet und auf den 2. Münzschwänzen;
- Das Ereignis ist, dass die 1. Münze Zahl zeigt und auf der 2. Münze ein Adler.

Es ist leicht zu erkennen, dass die Ereignisse unvereinbar (da z.B. nicht 2 Köpfe und 2 Schwänze gleichzeitig herausfallen können) und formen volle Gruppe (seitdem berücksichtigt alles mögliche Ergebnisse beim Werfen von zwei Münzen). Fassen wir diese Ereignisse zusammen: . Wie ist dieser Eintrag zu interpretieren? Ganz einfach - Multiplikation bedeutet logische Verknüpfung Und, und der Zusatz ist ODER. So ist die Summe in verständlicher Menschensprache gut lesbar: „Zwei Adler werden fallen oder zwei Schwänze oder Köpfe auf der 1. Münze und am 2. Schwanz oder Köpfe auf der 1. Münze und Adler auf der 2. Münze »

Dies war ein Beispiel, wann in einer Prüfung mehrere Objekte sind beteiligt, in diesem Fall zwei Münzen. Ein weiteres in der Praxis häufig verwendetes Schema ist wiederholte Tests wenn zum Beispiel dreimal hintereinander derselbe Würfel geworfen wird. Betrachten Sie als Demonstration die folgenden Ereignisse:

- im 1. Wurf fallen 4 Punkte heraus;
- im 2. Wurf fallen 5 Punkte heraus;
- im 3. Wurf fallen 6 Punkte heraus.

Dann die Veranstaltung besteht darin, dass im 1. Wurf 4 Punkte herausfallen und im 2. Wurf fallen 5 Punkte und im 3. Wurf fallen 6 Punkte. Offensichtlich gibt es bei einem Würfel deutlich mehr Kombinationen (Ergebnisse), als wenn wir eine Münze werfen würden.

… Ich verstehe, dass vielleicht nicht sehr interessante Beispiele analysiert werden, aber das sind Dinge, die oft bei Problemen auftreten und an denen man nicht vorbeikommt. Neben einer Münze, einem Würfel und einem Kartenspiel gibt es Urnen mit bunten Kugeln, mehrere anonyme Menschen, die auf Scheiben schießen, und einen unermüdlichen Arbeiter, der ständig einige Details herausschleift =)

Ereigniswahrscheinlichkeit

Ereigniswahrscheinlichkeit ist ein zentrales Konzept der Wahrscheinlichkeitstheorie. ...Eine todlogische Sache, aber man musste irgendwo anfangen =) Es gibt mehrere Ansätze für seine Definition:

;
Geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit ;
Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit .

In diesem Artikel werde ich mich auf die klassische Definition von Wahrscheinlichkeiten konzentrieren, die in Bildungsaufgaben am häufigsten verwendet wird.

Notation. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird mit einem lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, und das Ereignis selbst wird in Klammern gesetzt und dient als eine Art Argument. Zum Beispiel:

Außerdem wird häufig ein kleiner Buchstabe verwendet, um die Wahrscheinlichkeit darzustellen. Insbesondere kann auf die umständliche Bezeichnung von Ereignissen und deren Wahrscheinlichkeiten verzichtet werden zugunsten des folgenden Stils:

ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf einer Münze Kopf ergibt;
- die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Punkte durch das Werfen eines Würfels herausfallen;
ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte der Kreuzfarbe aus dem Stapel gezogen wird.

Diese Option ist bei der Lösung praktischer Probleme beliebt, da Sie damit die Lösungseingabe erheblich reduzieren können. Wie im ersten Fall bietet es sich an, hier „sprechende“ Tief-/Hochstellungen zu verwenden.

Jeder hat lange über die Zahlen nachgedacht, die ich gerade oben aufgeschrieben habe, und jetzt werden wir herausfinden, wie sie sich herausgestellt haben:

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem Test auftritt, ist das Verhältnis , wobei:

ist die Gesamtzahl aller gleichermaßen möglich, elementar Ergebnisse dieses Tests, welche Form komplette Veranstaltungsreihe;

- Menge elementar Ergebnisse günstig Veranstaltung .

Wenn eine Münze geworfen wird, kann entweder Kopf oder Zahl herausfallen – diese Ereignisse bilden sich volle Gruppe, also die Gesamtzahl der Ergebnisse ; während jeder von ihnen elementar und gleichermaßen möglich. Das Ereignis wird durch das Ergebnis (Kopf) begünstigt. Nach der klassischen Definition von Wahrscheinlichkeiten: .

In ähnlicher Weise können als Ergebnis eines Würfelwurfs elementare gleich mögliche Ergebnisse erscheinen, die eine vollständige Gruppe bilden, und das Ereignis wird durch ein einzelnes Ergebnis begünstigt (Würfeln einer Fünf). So: . DIES WIRD NICHT AKZEPTIERT (obwohl es nicht verboten ist, die Prozentsätze im Kopf zu berechnen).

Es ist üblich, Bruchteile einer Einheit zu verwenden, und natürlich kann die Wahrscheinlichkeit innerhalb variieren. Außerdem, wenn , dann ist das Ereignis unmöglich, Wenn - authentisch, und wenn , dann reden wir über zufällig Veranstaltung.

! Wenn Sie beim Lösen eines Problems einen anderen Wahrscheinlichkeitswert erhalten - suchen Sie nach einem Fehler!

Bei der klassischen Herangehensweise an die Definition der Wahrscheinlichkeit werden die Extremwerte (Null und Eins) durch genau die gleiche Argumentation erhalten. Aus einer Urne mit 10 roten Kugeln wird zufällig 1 Kugel gezogen. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse:

in einem einzigen Versuch tritt ein unwahrscheinliches Ereignis nicht ein.

Deshalb werden Sie den Jackpot im Lotto nicht knacken, wenn die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beispielsweise 0,00000001 beträgt. Ja, ja, Sie sind es - mit dem einzigen Ticket in einem bestimmten Umlauf. Mehr Tickets und mehr Ziehungen werden Ihnen jedoch nicht viel helfen. ... Wenn ich anderen davon erzähle, höre ich fast immer als Antwort: "aber jemand gewinnt." Okay, dann machen wir folgendes Experiment: Kaufen Sie bitte heute oder morgen irgendeinen Lottoschein (nicht zögern!). Und wenn Sie gewinnen ... na ja, mindestens mehr als 10 Kilo Rubel, melden Sie sich unbedingt ab - ich werde erklären, warum das passiert ist. Prozentual natürlich =) =)

Aber Sie müssen nicht traurig sein, denn es gibt ein entgegengesetztes Prinzip: Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sehr nahe an der Einheit liegt, dann in einem einzigen Test fast sicher wird passieren. Deshalb vor einem Fallschirmsprung keine Angst haben, im Gegenteil - lächeln! Schließlich müssen absolut undenkbare und fantastische Umstände eintreten, damit beide Fallschirme versagen.

Obwohl dies alles Poesie ist, da sich das erste Prinzip je nach Inhalt des Ereignisses als fröhlich und das zweite als traurig herausstellen kann; oder sogar beide sind parallel.

Wahrscheinlich genug für jetzt, im Unterricht Aufgaben zur klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit wir quetschen das Maximum aus der Formel heraus. Im letzten Teil dieses Artikels betrachten wir einen wichtigen Satz:

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins. Wenn Ereignisse eine vollständige Gruppe bilden, dann wird, grob gesagt, mit 100%iger Wahrscheinlichkeit eines davon eintreten. Im einfachsten Fall bilden gegensätzliche Ereignisse eine komplette Gruppe, zum Beispiel:

- Als Ergebnis eines Münzwurfs fällt ein Adler heraus;
- Beim Werfen einer Münze fallen Schwänze heraus.

Nach dem Satz:

Es ist klar, dass diese Ereignisse gleich wahrscheinlich sind und ihre Wahrscheinlichkeiten gleich sind. .

Wegen der Gleichheit der Wahrscheinlichkeiten werden oft gleich wahrscheinliche Ereignisse genannt gleichwahrscheinlich . Und hier hat sich der Zungenbrecher zur Bestimmung des Rauschgrades herausgestellt =)

Würfelbeispiel: Ereignisse sind entgegengesetzt, also .

Das betrachtete Theorem ist insofern praktisch, als es Ihnen ermöglicht, schnell die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses zu finden. Wenn Sie also die Wahrscheinlichkeit kennen, dass eine Fünf herausfällt, ist es einfach, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sie nicht herausfällt:

Das ist viel einfacher, als die Wahrscheinlichkeiten von fünf elementaren Ergebnissen zusammenzufassen. Für elementare Ergebnisse gilt übrigens auch dieser Satz:
. Wenn zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Schütze das Ziel trifft, dann ist es die Wahrscheinlichkeit, dass er verfehlt.

! In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es unerwünscht, die Buchstaben und für andere Zwecke zu verwenden.

Zu Ehren des Wissenstages werde ich keine Hausaufgaben geben =), aber es ist sehr wichtig, dass Sie die folgenden Fragen beantworten können:

Welche Arten von Veranstaltungen gibt es?
– Was ist Zufall und Chancengleichheit eines Ereignisses?
– Wie verstehen Sie die Begriffe Kompatibilität / Inkompatibilität von Veranstaltungen?
– Was ist eine vollständige Gruppe von Ereignissen, entgegengesetzten Ereignissen?
Was bedeutet die Addition und Multiplikation von Ereignissen?
– Was ist die Essenz der klassischen Definition von Wahrscheinlichkeit?
– Warum ist der Additionssatz für die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, nützlich?

Nein, Sie müssen nichts pauken, das sind nur die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie - eine Art Fibel, die sich ziemlich schnell in Ihren Kopf einfügt. Und damit dies so schnell wie möglich geschieht, schlage ich vor, dass Sie die Lektionen lesen

Viele, die mit dem Konzept der „Wahrscheinlichkeitstheorie“ konfrontiert sind, haben Angst und denken, dass dies etwas Überwältigendes, sehr Komplexes ist. Aber so tragisch ist es wirklich nicht. Heute werden wir das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachten und anhand konkreter Beispiele lernen, wie man Probleme löst.

Die Wissenschaft

Was untersucht ein Zweig der Mathematik wie die „Wahrscheinlichkeitstheorie“? Sie notiert Muster und Größenordnungen. Wissenschaftler interessierten sich erstmals im 18. Jahrhundert für dieses Thema, als sie sich mit dem Glücksspiel befassten. Das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis. Es ist jede Tatsache, die durch Erfahrung oder Beobachtung festgestellt wird. Aber was ist Erfahrung? Ein weiteres Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie. Das bedeutet, dass diese Zusammenstellung von Umständen nicht zufällig, sondern zu einem bestimmten Zweck geschaffen wurde. Was die Beobachtung betrifft, hier nimmt der Forscher selbst nicht am Experiment teil, sondern ist einfach Zeuge dieser Ereignisse, er beeinflusst das Geschehen in keiner Weise.

Veranstaltungen

Wir haben gelernt, dass das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Ereignis ist, haben aber die Klassifizierung nicht berücksichtigt. Alle fallen in die folgenden Kategorien:

Zuverlässig.
Unmöglich.
Zufällig.

Ganz gleich, welche Art von Ereignissen beobachtet oder im Laufe der Erfahrung geschaffen werden, sie alle unterliegen dieser Klassifizierung. Wir bieten an, sich mit jeder der Arten separat vertraut zu machen.

Glaubwürdiges Ereignis

Dies ist ein Umstand, vor dem die erforderlichen Maßnahmen ergriffen wurden. Um die Essenz besser zu verstehen, ist es besser, einige Beispiele zu geben. Physik, Chemie, Wirtschaftswissenschaften und höhere Mathematik unterliegen diesem Gesetz. Die Wahrscheinlichkeitstheorie beinhaltet ein so wichtiges Konzept wie ein bestimmtes Ereignis. Hier sind einige Beispiele:

Wir arbeiten und erhalten eine Vergütung in Form von Lohn.
Wir haben die Prüfungen gut bestanden, den Wettbewerb bestanden, dafür erhalten wir eine Belohnung in Form der Zulassung zu einer Bildungseinrichtung.
Wir haben Geld bei der Bank angelegt, notfalls bekommen wir es zurück.

Solche Ereignisse sind zuverlässig. Wenn wir alle notwendigen Bedingungen erfüllt haben, werden wir definitiv das erwartete Ergebnis erzielen.

Unmögliche Ereignisse

Wir betrachten nun Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir schlagen vor, zur Erklärung des nächsten Ereignistyps überzugehen, nämlich des Unmöglichen. Zunächst stellen wir die wichtigste Regel auf - die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Von dieser Formulierung kann bei der Problemlösung nicht abgewichen werden. Zur Verdeutlichung hier Beispiele für solche Ereignisse:

Das Wasser gefror bei einer Temperatur von plus zehn (das ist unmöglich).
Der Mangel an Strom beeinträchtigt die Produktion in keiner Weise (genauso unmöglich wie im vorherigen Beispiel).

Weitere Beispiele sollen nicht genannt werden, da die oben beschriebenen sehr deutlich die Essenz dieser Kategorie widerspiegeln. Das unmögliche Ereignis wird unter keinen Umständen während der Erfahrung eintreten.

Zufällige Ereignisse

Beim Studium der Elemente sollte dieser besonderen Art von Ereignissen besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden. Das studiert die Wissenschaft. Als Ergebnis der Erfahrung kann etwas passieren oder auch nicht. Außerdem kann der Test unbegrenzt oft wiederholt werden. Prominente Beispiele sind:

Das Werfen einer Münze ist ein Erlebnis oder ein Test, Kopfball ist ein Ereignis.
Den Ball blind aus dem Sack zu ziehen ist ein Test, das Fangen eines roten Balls ist ein Ereignis und so weiter.

Es kann eine unbegrenzte Anzahl solcher Beispiele geben, aber im Allgemeinen sollte das Wesentliche klar sein. Um die gewonnenen Erkenntnisse über Ereignisse zusammenzufassen und zu systematisieren, wird eine Tabelle gegeben. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht nur den letzten Typ von allen vorgestellten.

Titel	Definition
Glaubwürdig	Ereignisse, die mit 100%iger Garantie eintreten, unterliegen bestimmten Bedingungen.	Aufnahme in eine Bildungseinrichtung mit gutem Bestehen der Aufnahmeprüfung.
Unmöglich	Ereignisse, die unter keinen Umständen stattfinden werden.	Es schneit bei einer Lufttemperatur von plus dreißig Grad Celsius.
Zufällig	Ein Ereignis, das während eines Experiments/Tests auftreten kann oder auch nicht.	Hit or Miss beim Werfen eines Basketballs in den Korb.

Die Gesetze

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Wissenschaft, die die Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses untersucht. Wie die anderen hat es einige Regeln. Es gibt folgende Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie:

Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen.
Das Gesetz der großen Zahlen.

Bei der Berechnung der Möglichkeit des Komplexes kann ein Komplex einfacher Ereignisse verwendet werden, um das Ergebnis einfacher und schneller zu erreichen. Beachten Sie, dass die Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie mit Hilfe einiger Theoreme leicht bewiesen werden können. Beginnen wir mit dem ersten Gesetz.

Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen

Beachten Sie, dass es mehrere Arten von Konvergenz gibt:

Die Folge von Zufallsvariablen ist in der Wahrscheinlichkeit konvergent.
Nahezu unmöglich.
RMS-Konvergenz.
Verteilungskonvergenz.

So ist es im laufenden Betrieb sehr schwer, dem auf den Grund zu gehen. Hier sind einige Definitionen, die Ihnen helfen sollen, dieses Thema zu verstehen. Beginnen wir mit dem ersten Blick. Die Sequenz wird aufgerufen konvergent in der Wahrscheinlichkeit, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: n strebt gegen unendlich, die Zahl, gegen die die Folge strebt, ist größer als null und nahe bei eins.

Kommen wir zum nächsten, Fast sicher. Die Folge soll konvergieren Fast sicher zu einer Zufallsvariablen, bei der n gegen unendlich strebt und P gegen einen Wert nahe Eins strebt.

Der nächste Typ ist RMS-Konvergenz. Bei der Verwendung von SC-Konvergenz wird die Untersuchung von Vektor-Zufallsprozessen auf die Untersuchung ihrer koordinierten Zufallsprozesse reduziert.

Der letzte Typ bleibt, analysieren wir ihn kurz, um direkt zur Problemlösung überzugehen. Verteilungskonvergenz hat einen anderen Namen - „schwach“, wir werden weiter unten erklären, warum. Schwache Konvergenz ist die Konvergenz der Verteilungsfunktionen an allen Stetigkeitspunkten der Grenzverteilungsfunktion.

Wir werden das Versprechen auf jeden Fall erfüllen: Schwache Konvergenz unterscheidet sich von all dem oben Gesagten dadurch, dass die Zufallsvariable nicht auf dem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist. Dies ist möglich, weil die Bedingung ausschließlich über Verteilungsfunktionen gebildet wird.

Gesetz der großen Zahlen

Hervorragende Helfer beim Beweis dieses Gesetzes werden Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie sein, wie zum Beispiel:

Chebyshevs Ungleichung.
Chebyshevs Theorem.
Verallgemeinerter Satz von Tschebyscheff.
Satz von Markov.

Wenn wir all diese Theoreme berücksichtigen, kann sich diese Frage über mehrere zehn Blätter hinziehen. Unsere Hauptaufgabe besteht darin, die Wahrscheinlichkeitstheorie in der Praxis anzuwenden. Wir laden Sie ein, dies jetzt zu tun. Aber lassen Sie uns vorher die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachten, sie werden die Haupthelfer bei der Lösung von Problemen sein.

Axiome

Den ersten trafen wir bereits, als wir über das unmögliche Ereignis sprachen. Erinnern wir uns: Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist null. Wir haben ein sehr anschauliches und einprägsames Beispiel gegeben: Schnee fiel bei einer Lufttemperatur von dreißig Grad Celsius.

Die zweite lautet wie folgt: Ein bestimmtes Ereignis tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von eins auf. Lassen Sie uns nun zeigen, wie man es in mathematischer Sprache aufschreibt: P(B)=1.

Drittens: Ein zufälliges Ereignis kann eintreten oder auch nicht, aber die Wahrscheinlichkeit reicht immer von null bis eins. Je näher der Wert bei eins liegt, desto größer ist die Chance; nähert sich der Wert Null, ist die Wahrscheinlichkeit sehr gering. Schreiben wir es in mathematischer Sprache: 0<Р(С)<1.

Betrachten Sie das letzte, vierte Axiom, das so klingt: Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier Ereignisse ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Wir schreiben in mathematischer Sprache: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie sind die einfachsten Regeln, die man sich leicht merken kann. Lassen Sie uns versuchen, einige Probleme zu lösen, basierend auf dem bereits erworbenen Wissen.

Lotterieschein

Betrachten Sie zunächst das einfachste Beispiel - die Lotterie. Stellen Sie sich vor, Sie hätten einen Lottoschein als Glücksbringer gekauft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens zwanzig Rubel gewinnen? Insgesamt sind tausend Tickets im Umlauf, von denen eines einen Preis von fünfhundert Rubel, zehn von hundert Rubel, fünfzig von zwanzig Rubel und einhundert von fünf hat. Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie basieren darauf, die Möglichkeit des Glücks zu finden. Schauen wir uns gemeinsam die Lösung für das obige Problem an.

Wenn wir mit dem Buchstaben A einen Gewinn von fünfhundert Rubel bezeichnen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, A zu erhalten, 0,001. Wie haben wir es bekommen? Sie müssen nur die Anzahl der "glücklichen" Tickets durch ihre Gesamtzahl teilen (in diesem Fall: 1/1000).

B ist ein Gewinn von hundert Rubel, die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,01. Jetzt haben wir nach dem gleichen Prinzip gehandelt wie bei der vorherigen Aktion (10/1000)

C - der Gewinn beträgt zwanzig Rubel. Wir finden die Wahrscheinlichkeit, sie ist gleich 0,05.

Die restlichen Lose sind für uns uninteressant, da ihr Preisgeld geringer ist als in der Bedingung angegeben. Wenden wir das vierte Axiom an: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwanzig Rubel zu gewinnen, ist P(A)+P(B)+P(C). Der Buchstabe P bezeichnet die Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Ereignisses, wir haben sie bereits in den vorherigen Schritten gefunden. Es müssen nur noch die notwendigen Daten hinzugefügt werden, in der Antwort erhalten wir 0,061. Diese Nummer wird die Antwort auf die Frage der Zuordnung sein.

Kartendeck

Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie sind auch komplexer, nehmen Sie zum Beispiel die folgende Aufgabe. Vor Ihnen liegt ein Kartenspiel mit sechsunddreißig Karten. Ihre Aufgabe ist es, zwei Karten hintereinander zu ziehen, ohne den Stapel zu mischen, die erste und zweite Karte müssen Asse sein, die Farbe spielt keine Rolle.

Zunächst ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein Ass ist, dazu teilen wir vier durch sechsunddreißig. Sie haben es beiseite gelegt. Wir ziehen die zweite Karte heraus, es wird ein Ass mit einer Wahrscheinlichkeit von drei Fünfunddreißigstel sein. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses hängt davon ab, welche Karte wir zuerst gezogen haben, uns interessiert, ob es ein Ass war oder nicht. Daraus folgt, dass Ereignis B von Ereignis A abhängt.

Der nächste Schritt besteht darin, die Wahrscheinlichkeit der gleichzeitigen Implementierung zu finden, dh wir multiplizieren A und B. Ihr Produkt wird wie folgt ermittelt: Wir multiplizieren die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit der bedingten Wahrscheinlichkeit eines anderen, die wir berechnen, wobei wir davon ausgehen, dass das erste Ereignis eingetreten, das heißt, wir haben mit der ersten Karte ein Ass gezogen.

Um alles klarzustellen, lassen Sie uns einem solchen Element eine Bezeichnung als Ereignisse geben. Es wird unter der Annahme berechnet, dass Ereignis A eingetreten ist. Berechnet wie folgt: P(B/A).

Fahren wir mit der Lösung unseres Problems fort: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) oder P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). Die Wahrscheinlichkeit ist (4/36) * ((3/35)/(4/36). Berechnen Sie durch Runden auf Hundertstel. Wir haben: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwei Asse hintereinander ziehen, beträgt neun Hundertstel. Der Wert ist sehr klein, daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses extrem gering ist.

Nummer vergessen

Wir schlagen vor, einige weitere Optionen für Aufgaben zu analysieren, die von der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden. Sie haben in diesem Artikel bereits Beispiele für die Lösung einiger davon gesehen. Versuchen wir, das folgende Problem zu lösen: Der Junge hat die letzte Ziffer der Telefonnummer seines Freundes vergessen, aber da der Anruf sehr wichtig war, begann er, alles der Reihe nach zu wählen. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er höchstens dreimal anruft. Die Lösung des Problems ist am einfachsten, wenn die Regeln, Gesetze und Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt sind.

Bevor Sie sich die Lösung ansehen, versuchen Sie, sie selbst zu lösen. Wir wissen, dass die letzte Ziffer von null bis neun sein kann, das heißt, es gibt insgesamt zehn Werte. Die Wahrscheinlichkeit, den Richtigen zu finden, beträgt 1/10.

Als nächstes müssen wir Optionen für den Ursprung des Ereignisses in Betracht ziehen. Angenommen, der Junge hat richtig geraten und sofort das richtige Ergebnis erzielt. Die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses beträgt 1/10. Die zweite Option: Der erste Anruf ist ein Fehlschuss und der zweite ist am Ziel. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses: Multiplizieren Sie 9/10 mit 1/9, als Ergebnis erhalten wir auch 1/10. Die dritte Möglichkeit: Beim ersten und zweiten Anruf stellte sich heraus, dass die Adresse falsch war, erst ab dem dritten kam der Junge dort an, wo er wollte. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses: Wir multiplizieren 9/10 mit 8/9 und mit 1/8 erhalten wir als Ergebnis 1/10. Je nach Zustand des Problems sind wir an anderen Optionen nicht interessiert, also bleibt es uns, die Ergebnisse zu addieren, als Ergebnis haben wir 3/10. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Junge höchstens dreimal anruft, ist 0,3.

Karten mit Zahlen

Vor dir liegen neun Karten, die jeweils eine Zahl von eins bis neun enthalten, die Zahlen werden nicht wiederholt. Sie wurden in eine Kiste gegeben und gründlich gemischt. Sie müssen die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen

eine gerade Zahl wird angezeigt;
zweistellig.

Bevor wir zur Lösung übergehen, stellen wir fest, dass m die Anzahl der erfolgreichen Fälle und n die Gesamtzahl der Optionen ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl gerade ist. Es wird nicht schwierig sein zu berechnen, dass es vier gerade Zahlen gibt, dies wird unser m sein, es gibt insgesamt neun Optionen, dh m = 9. Dann ist die Wahrscheinlichkeit 0,44 oder 4/9.

Wir betrachten den zweiten Fall: Die Anzahl der Optionen ist neun, und es kann überhaupt keine erfolgreichen Ergebnisse geben, das heißt, m ist gleich Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Karte eine zweistellige Zahl enthält, ist ebenfalls Null.

Was ist eine Wahrscheinlichkeit?

Wenn ich zum ersten Mal mit diesem Begriff konfrontiert werde, würde ich nicht verstehen, was das ist. Also ich versuche es verständlich zu erklären.

Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Ereignis eintritt.

Wenn Sie sich zum Beispiel entschieden haben, einen Freund zu besuchen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, auf der er lebt. Aber ich habe die Nummer und Lage der Wohnung vergessen. Und jetzt stehst du im Treppenhaus und vor dir stehen die Türen zur Auswahl.

Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Ganze Wohnung, und ein Freund wohnt nur hinter einer von ihnen. Bei gleicher Wahrscheinlichkeit können wir jede Tür wählen.

Aber was ist diese Chance?

Türen, die richtige Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch Klingeln an der ersten Tür: . Das heißt, eins von dreien werden Sie sicher erraten.

Wir wollen wissen, indem wir einmal anrufen, wie oft werden wir die Tür erraten? Schauen wir uns alle Optionen an:

du hast angerufen 1 eine Tür
du hast angerufen 2 eine Tür
du hast angerufen 3 eine Tür

Und jetzt betrachten Sie alle Möglichkeiten, wo ein Freund sein kann:

a. Hinter 1 Tür
b. Hinter 2 Tür
in. Hinter 3 Tür

Vergleichen wir alle Optionen in Form einer Tabelle. Ein Häkchen zeigt die Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz - wenn es nicht übereinstimmt.

Wie siehst du alles möglicherweise Optionen den Standort eines Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.

SONDERN günstige Ergebnisse von allen . Das heißt, Sie erraten die Zeiten, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d.h. .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit - das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt) zur Anzahl möglicher Ereignisse.

Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, also:

Es ist nicht sehr bequem, eine solche Formel zu schreiben, also nehmen wir für - die Anzahl der günstigen Ergebnisse und für - die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit kann in Prozent geschrieben werden, dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:

Wahrscheinlich ist Ihnen das Wort „Ergebnisse“ aufgefallen. Da Mathematiker verschiedene Aktionen (für uns ist eine solche Aktion eine Türklingel) Experimente nennen, ist es üblich, das Ergebnis solcher Experimente als Ergebnis zu bezeichnen.

Nun, die Ergebnisse sind günstig und ungünstig.

Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber ein Fremder hat sie uns geöffnet. Wir haben es nicht erraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?

Wenn Sie das dachten, dann ist dies ein Fehler. Finden wir es heraus.

Wir haben noch zwei Türen. Wir haben also mögliche Schritte:

1) Rufen Sie an 1 eine Tür
2) Anruf 2 eine Tür

Ein Freund steht mit all dem definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir angerufen haben):

a) ein Freund 1 Tür
b) ein Freund für 2 Tür

Lassen Sie uns die Tabelle erneut zeichnen:

Wie Sie sehen, gibt es alle Optionen, von denen - günstig. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Warum nicht?

Die Situation, die wir betrachtet haben, ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.

Und sie werden abhängig genannt, weil sie die folgenden Aktionen beeinflussen. Wenn ein Freund nach dem ersten Klingeln die Tür öffnete, wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der anderen beiden befand? Richtig, .

Aber wenn es abhängige Ereignisse gibt, dann muss es welche geben unabhängig? Es stimmt, es gibt.

Ein Lehrbuchbeispiel ist das Werfen einer Münze.

Wir werfen eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zum Beispiel Köpfe fallen? Das ist richtig - weil die Optionen für alles (entweder Kopf oder Zahl, wir werden die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze auf der Kante steht, vernachlässigen), aber nur zu uns passt.
Aber die Schwänze fielen heraus. Okay, machen wir es noch einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jetzt Kopf kommt? Nichts hat sich geändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Womit sind wir zufrieden? Ein.

Und lass Schwänze mindestens tausendmal hintereinander ausfallen. Die Wahrscheinlichkeit, dass gleichzeitig Köpfe fallen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, aber günstige.

Abhängige Ereignisse von unabhängigen Ereignissen zu unterscheiden ist einfach:

Wenn das Experiment einmal durchgeführt wird (einmal Münze geworfen, einmal an der Tür geklingelt usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig voneinander.
Wird das Experiment mehrmals durchgeführt (einmal Münze geworfen, mehrmals geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und dann, wenn sich die Anzahl der günstigen oder die Anzahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.

Lassen Sie uns ein wenig üben, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.

Beispiel 1

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander Heads-Up zu bekommen?

Entscheidung:

Betrachten Sie alle möglichen Optionen:

Adler Adler
Schwanz Adler
Schwanzadler
Schwänze-Schwänze

Wie Sie sehen können, alle Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das ist die Wahrscheinlichkeit:

Wenn die Bedingung lediglich nach der Wahrscheinlichkeit fragt, muss die Antwort als Dezimalbruch angegeben werden. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden muss, würden wir mit multiplizieren.

Antworten:

Beispiel 2

In einer Pralinenschachtel sind alle Bonbons in der gleichen Verpackung verpackt. Allerdings von Süßigkeiten - mit Nüssen, Cognac, Kirschen, Karamell und Nougat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.

Entscheidung:

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .

Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, wird es eine von denen in der Schachtel sein.

Und wie viele günstige Ergebnisse?

Denn die Schachtel enthält nur Pralinen mit Nüssen.

Antworten:

Beispiel 3

In einer Kiste voller Bälle. davon sind weiß und schwarz.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
Wir haben der Box weitere schwarze Kugeln hinzugefügt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine weiße Kugel zu ziehen?

Entscheidung:

a) In der Schachtel sind nur Bälle. davon sind weiß.

Die Wahrscheinlichkeit ist:

b) Jetzt sind Bälle in der Kiste. Und es sind genauso viele Weiße übrig.

Antworten:

Volle Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist ().

Zum Beispiel in einer Kiste mit roten und grünen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu ziehen? Grüne Kugel? Roter oder grüner Ball?

Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu ziehen

Grüne Kugel:

Rote oder grüne Kugel:

Wie Sie sehen können, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Das Verständnis dieses Punktes wird Ihnen helfen, viele Probleme zu lösen.

Beispiel 4

In der Schachtel sind Filzstifte: grün, rot, blau, gelb, schwarz.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu ziehen?

Entscheidung:

Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.

KEINE rote Markierung, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.

Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse. Und die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die wir für ungünstig halten (wenn wir einen roten Filzstift zücken), ist .

Somit ist die Wahrscheinlichkeit, KEINEN roten Filzstift zu zeichnen, -.

Antworten:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Sie wissen bereits, was unabhängige Veranstaltungen sind.

Und wenn Sie die Wahrscheinlichkeit finden müssen, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander eintreten?

Nehmen wir an, wir wollen wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir beim einmaligen Werfen einer Münze zweimal einen Adler sehen.

Wir haben bereits überlegt - .

Was, wenn wir eine Münze werfen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander einen Adler zu sehen?

Insgesamt mögliche Optionen:

Adler-Adler-Adler
Adlerkopfschwänze
Kopf-Schwanz-Adler
Kopf-Zahl-Zahl
Schwanz-Adler-Adler
Zahl-Kopf-Zahl
Schwänze-Schwänze-Köpfe
Schwänze-Schwänze-Schwänze

Ich weiß nicht, wie es euch geht, aber ich habe diese Liste einmal falsch gemacht. Wow! Und nur Option (die erste) passt zu uns.

Bei 5 Würfen können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.

Daher haben sie zuerst bemerkt und dann bewiesen, dass die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse jedes Mal um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses abnimmt.

Mit anderen Worten,

Betrachten Sie das Beispiel derselben, unglückseligen Münze.

Wahrscheinlichkeit, in einem Prozess Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir eine Münze.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Zahlen hintereinander zu bekommen?

Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn es darum geht, die Wahrscheinlichkeit dafür zu ermitteln, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.

Wenn wir die Sequenz TAILS-EAGLE-TAILS bei aufeinanderfolgenden Flips finden wollten, würden wir dasselbe tun.

Die Wahrscheinlichkeit, Zahl - , Kopf - zu bekommen.

Die Wahrscheinlichkeit, die Sequenz SCHWANZ-ADLER-SCHWANZ-SCHWANZ zu erhalten:

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Also hör auf! Neudefinition.

Finden wir es heraus. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:

Adler-Adler-Adler
Adlerkopfschwänze
Kopf-Schwanz-Adler
Kopf-Zahl-Zahl
Schwanz-Adler-Adler
Zahl-Kopf-Zahl
Schwänze-Schwänze-Köpfe
Schwänze-Schwänze-Schwänze

Hier sind also inkompatible Ereignisse, das ist eine bestimmte, vorgegebene Abfolge von Ereignissen. sind inkompatible Ereignisse.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) inkompatiblen Ereignissen bestimmen wollen, dann addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Sie müssen verstehen, dass der Verlust eines Adlers oder Schwanzes zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn wir bestimmen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Folge (oder irgendeine andere) herausfällt, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf Kopf und beim zweiten und dritten Wurf Zahl zu bekommen?

Wollen wir aber wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, beispielsweise eine von mehreren Folgen zu bekommen, wenn Kopf genau einmal kommt, also Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Sequenzen addieren.

Gesamtoptionen passen zu uns.

Wir können dasselbe erhalten, indem wir die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens jeder Sequenz addieren:

Daher fügen wir Wahrscheinlichkeiten hinzu, wenn wir die Wahrscheinlichkeit einiger inkompatibler Ereignisfolgen bestimmen wollen.

Es gibt eine großartige Regel, die Ihnen hilft, nicht verwirrt zu werden, wann Sie multiplizieren und wann Sie addieren müssen:

Gehen wir zurück zu dem Beispiel, wo wir mal eine Münze geworfen haben und die Wahrscheinlichkeit wissen wollen, einmal Kopf zu sehen.
Was wird passieren?

Sollte fallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl und Zahl UND Kopf).
Und so stellt sich heraus:

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 5

In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Rot- oder Grünstifte zu zeichnen?

Entscheidung:

Was wird passieren? Wir müssen aussteigen (rot ODER grün).

Jetzt ist es klar, wir addieren die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Antworten:

Beispiel 6

Ein Würfel wird zweimal geworfen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt 8 fallen?

Entscheidung.

Wie können wir Punkte bekommen?

(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).

Die Wahrscheinlichkeit, aus einem (beliebigen) Gesicht herauszufallen, ist .

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

Antworten:

Trainieren.

Ich denke, jetzt ist Ihnen klar geworden, wann Sie die Wahrscheinlichkeiten zählen, wann sie addieren und wann sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lass uns ein bisschen Sport treiben.

Aufgaben:

Nehmen wir ein Kartenspiel, in dem die Karten Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Tamburine sind. Von bis Ass jeder Farbe.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze in Folge zu ziehen (wir legen die erste gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen)?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu ziehen (Bube, Dame, König oder Ass)?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir entfernen die erste gezogene Karte aus dem Stapel)?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Karten eine Kombination zu erhalten - (Bube, Dame oder König) und Ass? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.

Antworten:

In einem Kartenspiel mit jedem Wert bedeutet dies:
Die Ereignisse sind abhängig, da nach der ersten gezogenen Karte die Anzahl der Karten im Stapel abgenommen hat (sowie die Anzahl der „Bilder“). Summe Buben, Damen, Könige und Asse im Deck zu Beginn, was die Wahrscheinlichkeit bedeutet, mit der ersten Karte das „Bild“ zu ziehen:
Da wir die erste Karte aus dem Stapel entfernen, bedeutet dies, dass bereits eine Karte im Stapel übrig ist, von der es Bilder gibt. Wahrscheinlichkeit, mit der zweiten Karte ein Bild zu zeichnen:
Da uns die Situation interessiert, wenn wir vom Deck „Bild“ UND „Bild“ erhalten, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:
Antworten:
Nachdem die erste Karte gezogen wurde, verringert sich die Anzahl der Karten im Stapel, daher haben wir zwei Möglichkeiten:
1) Mit der ersten Karte nehmen wir Ass, die zweite - Bube, Dame oder König
2) Mit der ersten Karte nehmen wir einen Buben, eine Dame oder einen König heraus, die zweite - ein Ass. (Ass und (Bube oder Dame oder König)) oder ((Bube oder Dame oder König) und Ass). Vergessen Sie nicht, die Anzahl der Karten im Deck zu reduzieren!

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WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. MITTELSTUFE

Betrachten Sie ein Beispiel. Nehmen wir an, wir würfeln. Was ist das für ein Knochen, weißt du? Dies ist der Name eines Würfels mit Zahlen auf den Flächen. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.

Wir würfeln also und wollen, dass ein oder erscheint. Und wir fallen aus.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist günstiges Ereignis(nicht zu verwechseln mit gut).

Wenn es ausfiel, wäre die Veranstaltung auch vielversprechend. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.

Wie viele schlechte? Da alle möglichen Ereignisse sind, dann sind die ungünstigsten Ereignisse (dies ist, wenn es herausfällt oder).

Definition:

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit zeigt, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.

Sie bezeichnen die Wahrscheinlichkeit mit einem lateinischen Buchstaben (anscheinend vom englischen Wort Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit).

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Themen und). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Würfelbeispiel Wahrscheinlichkeit.

Und in Prozent: .

Beispiele (selbst entscheiden):

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen einer Münze Kopf fällt? Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Zahl?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln eine gerade Zahl erscheint? Und womit - seltsam?
In einer Schublade mit einfachen, blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen einfachen herauszuziehen?

Lösungen:

Wie viele Optionen gibt es? Kopf und Zahl - nur zwei. Und wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit
Dasselbe gilt für Schwänze: .
Gesamtoptionen: (wie viele Seiten ein Würfel hat, also viele verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen :).
Wahrscheinlichkeit. Mit ungeraden natürlich das Gleiche.
Insgesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .

Volle Wahrscheinlichkeit

Alle Bleistifte in der Schublade sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (immerhin günstige Ereignisse -).

Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es Gesamtereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also oder.

Ein solches Ereignis wird als sicher bezeichnet.

Wenn grüne und rote Stifte in der Schachtel sind, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen grünen oder einen roten zu zeichnen? Wieder mal. Beachten Sie Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün zu ziehen, ist gleich, und Rot ist .

In der Summe sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.

Beispiel:

In einer Schachtel Bleistifte sind blau, rot, grün, einfach, gelb und der Rest orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu ziehen?

Entscheidung:

Denken Sie daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, Grün zu ziehen, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu ziehen, gleich ist.

Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Sie werfen eine Münze zweimal und möchten, dass sie beide Male Kopf zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und bestimmen, wie viele es gibt:

Adler-Adler, Schwänze-Adler, Adler-Schwänze, Schwänze-Schwänze. Was sonst?

Die ganze Variante. Davon passt nur einer zu uns: Adler-Adler. Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich.

Gut. Jetzt werfen wir eine Münze. Zählen Sie sich. Passiert? (Antworten).

Sie haben vielleicht bemerkt, dass mit jedem weiteren Wurf die Wahrscheinlichkeit um einen Faktor abnimmt. Die allgemeine Regel heißt Multiplikationsregel:

Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.

Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängen. Wenn wir zum Beispiel eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf gemacht, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Bei gleichem Erfolg können wir gleichzeitig zwei verschiedene Münzen werfen.

Mehr Beispiele:

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beide Male auftaucht?
Eine Münze wird mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst Kopf und dann zweimal Zahl zu bekommen?
Der Spieler wirft zwei Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen darauf gleich ist?

Antworten:

Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
Die Wahrscheinlichkeit eines Adlers ist gleich. Tails-Wahrscheinlichkeit auch. Wir multiplizieren:
12 erhält man nur, wenn zwei -ki herausfallen: .

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Inkompatible Ereignisse sind Ereignisse, die sich zu voller Wahrscheinlichkeit ergänzen. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann entweder Kopf oder Zahl herausfallen.

Beispiel.

In einer Schachtel Bleistifte sind blau, rot, grün, einfach, gelb und der Rest orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu ziehen?

Entscheidung .

Die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .

Glücksverheißende Ereignisse von allen: grün + rot. Die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu ziehen, ist also gleich.

Dieselbe Wahrscheinlichkeit kann in folgender Form dargestellt werden: .

Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Gemischte Aufgaben

Beispiel.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der Würfe unterschiedlich ausfällt?

Entscheidung .

Das heißt, wenn Kopf zuerst kommt, sollte Zahl an zweiter Stelle stehen und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es hier zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt, und diese Paare sind nicht miteinander kompatibel. Wie man nicht verwirrt wird, wo man multipliziert und wo man addiert.

Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren soll, indem Sie die Ereignisse mit den Verknüpfungen „UND“ oder „ODER“ verbinden. Zum Beispiel in diesem Fall:

Muss rollen (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf).

Wo eine Vereinigung „und“ ist, wird multipliziert und wo „oder“ addiert wird:

Versuch es selber:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Münzwürfe beide Male dieselbe Seite ergeben?
Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe Punkte abwirft?

Lösungen:

(Kopf hoch und Kopf hoch) oder (Zahl hoch und Zahl hoch): .
Was sind die Möglichkeiten? und. Dann:
Gerollt (und) oder (und) oder (und): .

Ein anderes Beispiel:

Wir werfen einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Kopf kommt?

Entscheidung:

Oh, wie ich die Optionen nicht sortieren möchte ... Head-Tails-Tails, Eagle-Heads-Tails, ... Aber Sie müssen nicht! Lassen Sie uns über die volle Wahrscheinlichkeit sprechen. Fiel ein? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Adler wird niemals fallen? Ganz einfach: Schwänze fliegen ständig, das heißt.

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Unabhängige Veranstaltungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht ändert.

Volle Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist ().

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes der Ereignisse

Inkompatible Ereignisse

Inkompatible Ereignisse sind Ereignisse, die als Ergebnis eines Experiments nicht gleichzeitig auftreten können. Mehrere inkompatible Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Nachdem wir beschrieben haben, was passieren soll, verwenden wir die Vereinigungen "AND" oder "OR", anstelle von "AND" setzen wir das Zeichen der Multiplikation und anstelle von "OR" - Addition.

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Wenn eine Münze geworfen wird, kann man sagen, dass sie mit dem Kopf nach oben landet, oder Wahrscheinlichkeit davon ist 1/2. Das bedeutet natürlich nicht, dass eine 10-mal geworfene Münze zwangsläufig 5-mal auf Kopf landet. Wenn die Münze "fair" ist und viele Male geworfen wird, kommt Kopf die Hälfte der Zeit sehr nahe. Es gibt also zwei Arten von Wahrscheinlichkeiten: Experimental- und theoretisch .

Experimentelle und theoretische Wahrscheinlichkeit

Wenn wir eine Münze viele Male werfen – sagen wir 1000 – und zählen, wie oft sie „Kopf“ zeigt, können wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass sie „Kopf“ zeigt. Wenn 503 Mal Kopf kommt, können wir die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen:
503/1000 oder 0,503.

Das Experimental- Definition von Wahrscheinlichkeit. Diese Definition der Wahrscheinlichkeit stammt aus der Beobachtung und dem Studium von Daten und ist weit verbreitet und sehr nützlich. Hier sind zum Beispiel einige Wahrscheinlichkeiten, die experimentell bestimmt wurden:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau an Brustkrebs erkrankt, beträgt 1/11.

2. Wenn du jemanden küsst, der erkältet ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass du auch eine Erkältung bekommst, 0,07.

3. Eine Person, die gerade aus der Haft entlassen wurde, hat eine Chance von 80 %, wieder in die Haft zu kommen.

Wenn wir den Wurf einer Münze betrachten und berücksichtigen, dass Kopf oder Zahl gleichermaßen wahrscheinlich sind, können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass Kopf fällt: 1 / 2. Dies ist die theoretische Definition von Wahrscheinlichkeit. Hier sind einige andere Wahrscheinlichkeiten, die theoretisch mit Mathematik bestimmt wurden:

1. Wenn sich 30 Personen in einem Raum befinden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei von ihnen denselben Geburtstag (ohne Jahreszahl) haben, 0,706.

2. Während einer Reise triffst du jemanden und entdeckst im Laufe des Gesprächs, dass ihr einen gemeinsamen Bekannten habt. Typische Reaktion: "Das kann nicht sein!" Tatsächlich passt dieser Satz nicht, denn die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses ist ziemlich hoch - etwas mehr als 22%.

Daher wird die experimentelle Wahrscheinlichkeit durch Beobachtung und Datenerhebung bestimmt. Theoretische Wahrscheinlichkeiten werden durch mathematisches Denken bestimmt. Beispiele für experimentelle und theoretische Wahrscheinlichkeiten, wie die oben diskutierten, und insbesondere solche, die wir nicht erwarten, führen uns zur Bedeutung der Untersuchung der Wahrscheinlichkeit. Sie fragen sich vielleicht: "Was ist wahre Wahrscheinlichkeit?" Eigentlich gibt es keine. Es ist experimentell möglich, die Wahrscheinlichkeiten innerhalb gewisser Grenzen zu bestimmen. Sie können mit den Wahrscheinlichkeiten, die wir theoretisch erhalten, übereinstimmen oder auch nicht. Es gibt Situationen, in denen es viel einfacher ist, eine Art von Wahrscheinlichkeit zu definieren als eine andere. Beispielsweise würde es ausreichen, die Wahrscheinlichkeit einer Erkältung anhand der theoretischen Wahrscheinlichkeit zu ermitteln.

Berechnung experimenteller Wahrscheinlichkeiten

Betrachten Sie zunächst die experimentelle Definition der Wahrscheinlichkeit. Das Grundprinzip, das wir verwenden, um solche Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, ist wie folgt.

Prinzip P (experimentell)

Wenn in einem Experiment, in dem n Beobachtungen gemacht werden, die Situation oder das Ereignis E m-mal in n Beobachtungen auftritt, dann wird die experimentelle Wahrscheinlichkeit des Ereignisses als P (E) = m/n bezeichnet.

Beispiel 1 Soziologische Untersuchung. In einer experimentellen Studie wurde die Anzahl der Linkshänder, Rechtshänder und Personen mit gleicher Entwicklung beider Hände ermittelt, die Ergebnisse sind in der Grafik dargestellt.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Rechtshänder ist.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person Linkshänder ist.

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Person beide Hände gleich fließend beherrscht.

d) Die meisten PBA-Turniere haben 120 Spieler. Wie viele Spieler können nach diesem Experiment Linkshänder sein?

Entscheidung

a) Die Anzahl der Rechtshänder beträgt 82, die Anzahl der Linkshänder 17 und die Anzahl derer, die beide Hände gleich fließend beherrschen, 1. Die Gesamtzahl der Beobachtungen beträgt 100. Also die Wahrscheinlichkeit dass eine Person Rechtshänder ist, ist P
P = 82/100 oder 0,82 oder 82 %.

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Linkshänder ist, ist P, wobei
P = 17/100 oder 0,17 oder 17 %.

c) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit beiden Händen gleich fließend ist, ist P, wobei
P = 1/100 oder 0,01 oder 1 %.

d) 120 Kegler und von (b) können wir erwarten, dass 17 % Linkshänder sind. Von hier
17 % von 120 = 0,17.120 = 20,4,
Das heißt, wir können davon ausgehen, dass etwa 20 Spieler Linkshänder sind.

Beispiel 2 Qualitätskontrolle . Für einen Hersteller ist es sehr wichtig, die Qualität seiner Produkte auf einem hohen Niveau zu halten. Tatsächlich stellen Unternehmen Inspektoren für die Qualitätskontrolle ein, um diesen Prozess sicherzustellen. Ziel ist es, eine möglichst geringe Anzahl fehlerhafter Produkte freizugeben. Da das Unternehmen jedoch jeden Tag Tausende von Artikeln herstellt, kann es sich nicht leisten, jeden Artikel zu überprüfen, um festzustellen, ob er defekt ist oder nicht. Um herauszufinden, wie viel Prozent der Produkte fehlerhaft sind, testet das Unternehmen deutlich weniger Produkte.
Das USDA verlangt, dass 80 % der Samen, die Erzeuger verkaufen, keimen. Um die Qualität des Saatguts zu bestimmen, das das landwirtschaftliche Unternehmen produziert, werden 500 Samen gepflanzt. Danach wurde berechnet, dass 417 Samen keimten.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Samen keimt?

b) Entspricht das Saatgut den staatlichen Standards?

Entscheidung a) Wir wissen, dass von 500 gepflanzten Samen 417 gekeimt sind. Die Wahrscheinlichkeit der Samenkeimung P, und
P = 417/500 = 0,834 oder 83,4 %.

b) Da der Prozentsatz gekeimter Samen bei Bedarf 80 % übersteigt, erfüllen die Samen die staatlichen Standards.

Beispiel 3 TV-Einschaltquoten. Laut Statistik gibt es in den Vereinigten Staaten 105.500.000 TV-Haushalte. Jede Woche werden Informationen über das Ansehen von Programmen gesammelt und verarbeitet. Innerhalb einer Woche schalteten 7.815.000 Haushalte die Hit-Comedyserie Everybody Loves Raymond von CBS und 8.302.000 Haushalte den Hit Law & Order von NBC ein (Quelle: Nielsen Media Research). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf dem Fernseher zu Hause in einer bestimmten Woche „Everybody Loves Raymond“ oder „Law & Order“ läuft?

Lösung Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fernseher in einem Haushalt auf „Everybody Loves Raymond“ eingestellt ist, ist P, und
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4 %.
Die Möglichkeit, dass der Haushaltsfernseher auf „Law & Order“ eingestellt war, ist p, und
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9 %.
Diese Prozentsätze werden Ratings genannt.

Theoretische Wahrscheinlichkeit

Angenommen, wir führen ein Experiment durch, z. B. das Werfen einer Münze oder eines Pfeils, das Ziehen einer Karte aus einem Deck oder das Testen von Produkten auf Qualität am Fließband. Jedes mögliche Ergebnis eines solchen Experiments wird aufgerufen Exodus . Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird aufgerufen Ergebnisraum . Vorfall es ist eine Menge von Ergebnissen, d. h. eine Teilmenge des Ergebnisraums.

Beispiel 4 Darts werfen. Angenommen, beim Experiment „Pfeile werfen“ trifft der Pfeil das Ziel. Finden Sie jedes der folgenden:

b) Ergebnisraum

Entscheidung
a) Ergebnisse sind: Schlagen von Schwarz (H), Schlagen von Rot (K) und Schlagen von Weiß (B).

b) Es gibt ein Ergebnisfeld (Schlag Schwarz, Schlag Rot, Schlag Weiß), das einfach als (B, R, B) geschrieben werden kann.

Beispiel 5 Würfeln. Ein Würfel ist ein Würfel mit sechs Seiten, von denen jede ein bis sechs Punkte hat.

Angenommen, wir werfen einen Würfel. Finden
a) Ergebnisse
b) Ergebnisraum

Entscheidung
a) Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Ergebnisraum (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis E eintritt, bezeichnen wir mit P(E). Zum Beispiel kann „die Münze landet auf Zahl“ mit H bezeichnet werden. Dann ist P(H) die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf Zahl landet. Wenn alle Ergebnisse eines Experiments dieselbe Eintrittswahrscheinlichkeit haben, spricht man von gleicher Wahrscheinlichkeit. Um den Unterschied zwischen Ereignissen, die gleich wahrscheinlich sind, und Ereignissen, die nicht gleich wahrscheinlich sind, zu sehen, betrachten Sie das unten gezeigte Ziel.

Für Ziel A sind schwarze, rote und weiße Trefferereignisse gleich wahrscheinlich, da schwarze, rote und weiße Sektoren gleich sind. Bei Ziel B sind die Zonen mit diesen Farben jedoch nicht gleich, dh es ist nicht gleich wahrscheinlich, sie zu treffen.

Prinzip P (Theoretisch)

Wenn ein Ereignis E auf m Wegen von n möglichen Ausgängen aus dem Ergebnisraum S eintreten kann, dann Theoretische Wahrscheinlichkeit Ereignis, P(E) ist
P(E) = m/n.

Beispiel 6 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine 3 zu würfeln?

Entscheidung Es gibt 6 gleichwahrscheinliche Würfelergebnisse und es gibt nur eine Möglichkeit, die Zahl 3 zu würfeln. Dann ist die Wahrscheinlichkeit P gleich P(3) = 1/6.

Beispiel 7 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit dem Würfel eine gerade Zahl zu würfeln?

Entscheidung Das Ereignis ist das Werfen einer geraden Zahl. Dies kann auf 3 Arten geschehen (wenn Sie 2, 4 oder 6 würfeln). Die Anzahl der gleichwahrscheinlichen Ergebnisse ist 6. Dann ist die Wahrscheinlichkeit P(gerade) = 3/6 oder 1/2.

Wir werden eine Reihe von Beispielen verwenden, die sich auf ein Standarddeck mit 52 Karten beziehen. Ein solches Deck besteht aus den in der Abbildung unten gezeigten Karten.

Beispiel 8 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem gut gemischten Kartenspiel ein Ass zu ziehen?

Entscheidung Es gibt 52 Ergebnisse (die Anzahl der Karten im Deck), sie sind gleich wahrscheinlich (wenn das Deck gut gemischt ist), und es gibt 4 Möglichkeiten, ein Ass zu ziehen, also nach dem P-Prinzip die Wahrscheinlichkeit
P (ein Ass ziehen) = 4/52 oder 1/13.

Beispiel 9 Angenommen, wir wählen eine Murmel aus einem Beutel mit 3 roten Murmeln und 4 grünen Murmeln, ohne hinzusehen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu wählen?

Entscheidung Es gibt 7 gleichwahrscheinliche Ergebnisse, um einen Ball zu bekommen, und da es 3 Möglichkeiten gibt, einen roten Ball zu ziehen, bekommen wir
P (Auswahl eines roten Balls) = 3/7.

Die folgenden Aussagen sind Ergebnisse aus dem P-Prinzip.

Wahrscheinlichkeitseigenschaften

a) Wenn das Ereignis E nicht eintreten kann, dann ist P(E) = 0.
b) Wenn das Ereignis E zwangsläufig eintritt, dann ist P(E) = 1.
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis E eintritt, ist eine Zahl zwischen 0 und 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Beim Werfen einer Münze zum Beispiel hat das Ereignis, dass die Münze auf ihrer Kante landet, eine Nullwahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze entweder Kopf oder Zahl ist, hat eine Wahrscheinlichkeit von 1.

Beispiel 10 Angenommen, 2 Karten werden aus einem Deck mit 52 Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Pik sind?

Entscheidung Die Anzahl der Möglichkeiten n, 2 Karten aus einem gut gemischten Deck mit 52 Karten zu ziehen, ist 52 C 2 . Da 13 der 52 Karten Pik sind, beträgt die Anzahl m der Möglichkeiten, 2 Pik zu ziehen, 13 C 2 . Dann,
P(Dehnung von 2 Spitzen) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Beispiel 11 Angenommen, 3 Personen werden zufällig aus einer Gruppe von 6 Männern und 4 Frauen ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Mann und 2 Frauen ausgewählt werden?

Entscheidung Anzahl der Möglichkeiten, drei Personen aus einer Gruppe von 10 Personen auszuwählen 10 C 3 . Ein Mann kann auf 6 C 1 Arten und 2 Frauen auf 4 C 2 Arten ausgewählt werden. Nach dem Grundprinzip des Zählens beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, den 1. Mann und 2 Frauen auszuwählen, 6 C 1 . 4C2. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Mann und 2 Frauen gewählt werden
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Beispiel 12 Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln insgesamt 8 zu würfeln?

Entscheidung Bei jedem Würfel gibt es 6 mögliche Ergebnisse. Die Ergebnisse werden verdoppelt, dh es gibt 6,6 oder 36 mögliche Möglichkeiten, wie die Zahlen auf zwei Würfeln fallen können. (Es ist besser, wenn die Würfel unterschiedlich sind, sagen wir, einer ist rot und der andere blau - das hilft, das Ergebnis zu visualisieren.)

Zahlenpaare, die zusammen 8 ergeben, sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Es gibt 5 Möglichkeiten, die Summe gleich 8 zu erhalten, daher ist die Wahrscheinlichkeit 5/36.

EINLEITUNG

Vieles ist uns unverständlich, nicht weil unsere Begriffe schwach sind;
sondern weil diese Dinge nicht in den Kreis unserer Begriffe eingehen.
Kosma Prutkow

Das Hauptziel des Mathematikstudiums an weiterführenden spezialisierten Bildungseinrichtungen besteht darin, den Schülern eine Reihe mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten zu vermitteln, die für das Studium anderer Programmdisziplinen, die Mathematik bis zu einem gewissen Grad verwenden, für die Fähigkeit, praktische Berechnungen durchzuführen, für die Bildung und Entwicklung erforderlich sind des logischen Denkens.

In diesem Papier werden alle Grundkonzepte des mathematischen Abschnitts "Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik", die vom Programm und den staatlichen Bildungsstandards für die berufliche Sekundarbildung (Bildungsministerium der Russischen Föderation. M., 2002) vorgesehen sind ), werden konsequent eingeführt, die Hauptsätze formuliert, von denen die meisten nicht bewiesen sind. Es werden die Hauptaufgaben und Methoden zu ihrer Lösung sowie Technologien zur Anwendung dieser Methoden zur Lösung praktischer Probleme betrachtet. Die Präsentation wird von ausführlichen Kommentaren und zahlreichen Beispielen begleitet.

Methodische Anleitungen können zum ersten Kennenlernen des Lernstoffs, zum Mitschreiben von Vorlesungen, zur Vorbereitung auf praktische Übungen, zur Festigung der erworbenen Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verwendet werden. Darüber hinaus ist das Handbuch für Studenten im Grundstudium als Nachschlagewerk nützlich, mit dem Sie das zuvor Gelernte schnell im Gedächtnis wiederherstellen können.

Am Ende der Arbeit werden Beispiele und Aufgaben gegeben, die die Studierenden im Selbststeuerungsmodus durchführen können.

Methodische Anleitungen richten sich an Studierende der Fern- und Vollzeitausbildungsformen.

GRUNDLEGENDES KONZEPT

Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht die objektiven Regelmäßigkeiten von zufälligen Massenereignissen. Es ist eine theoretische Grundlage für die mathematische Statistik und befasst sich mit der Entwicklung von Methoden zur Erhebung, Beschreibung und Verarbeitung von Beobachtungsergebnissen. Durch Beobachtungen (Tests, Experimente), d.h. Erfahrung im weitesten Sinne des Wortes ist ein Wissen um die Phänomene der realen Welt.

In unserer praktischen Tätigkeit begegnen wir oft Phänomenen, deren Ausgang nicht vorhersehbar ist, deren Ausgang vom Zufall abhängt.

Ein Zufallsphänomen kann durch das Verhältnis der Anzahl seines Auftretens zur Anzahl der Versuche charakterisiert werden, in denen es unter den gleichen Bedingungen aller Versuche auftreten oder nicht auftreten könnte.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, in dem Zufallsphänomene (Ereignisse) untersucht und Regelmäßigkeiten während ihrer Massenwiederholung aufgedeckt werden.

Die mathematische Statistik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Erforschung von Methoden zur Erhebung, Systematisierung, Verarbeitung und Nutzung statistischer Daten befasst, um wissenschaftlich fundierte Schlussfolgerungen zu ziehen und Entscheidungen zu treffen.

Gleichzeitig werden statistische Daten als eine Reihe von Zahlen verstanden, die die quantitativen Merkmale der für uns interessanten Merkmale der untersuchten Objekte darstellen. Statistische Daten werden als Ergebnis speziell entwickelter Experimente und Beobachtungen erhalten.

Statistische Daten hängen im Wesentlichen von vielen Zufallsfaktoren ab, daher ist die mathematische Statistik eng mit der Wahrscheinlichkeitstheorie verbunden, die ihre theoretische Grundlage darstellt.

I. WAHRSCHEINLICHKEIT. DIE THEOREME DER ADDITION UND DER WAHRSCHEINLICHKEIT MULTIPLIKATION

1.1. Grundbegriffe der Kombinatorik

Im mathematischen Teil der Kombinatorik werden einige Probleme im Zusammenhang mit der Betrachtung von Mengen und der Zusammenstellung verschiedener Kombinationen von Elementen dieser Mengen gelöst. Wenn wir zum Beispiel 10 verschiedene Zahlen 0, 1, 2, 3,:, 9 nehmen und daraus Kombinationen bilden, erhalten wir verschiedene Zahlen, zum Beispiel 143, 431, 5671, 1207, 43 usw.

Wir sehen, dass sich einige dieser Kombinationen nur in der Reihenfolge der Ziffern unterscheiden (z. B. 143 und 431), andere in den darin enthaltenen Zahlen (z. B. 5671 und 1207) und andere sich auch in der Anzahl der Ziffern unterscheiden ( zum Beispiel 143 und 43).

Somit erfüllen die erhaltenen Kombinationen verschiedene Bedingungen.

Abhängig von den Kompilierungsregeln können drei Arten von Kombinationen unterschieden werden: Permutationen, Platzierungen, Kombinationen.

Machen wir uns zunächst mit dem Konzept vertraut Fakultät.

Das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis einschließlich n heißt n-faktoriell und schreibe.

Berechnen Sie: a) ; b) ; in) .

Entscheidung. a) .

b) sowie , dann kannst du es aus Klammern nehmen

Dann bekommen wir

in) .

Permutationen.

Eine Kombination von n Elementen, die sich nur in der Reihenfolge der Elemente voneinander unterscheiden, wird als Permutation bezeichnet.

Permutationen werden durch das Symbol gekennzeichnet Pn , wobei n die Anzahl der Elemente in jeder Permutation ist. ( R- der erste Buchstabe des französischen Wortes Permutation- Permutation).

Die Anzahl der Permutationen kann mit der Formel berechnet werden

oder mit Fakultät:

Erinnern wir uns daran 0!=1 und 1!=1.

Beispiel 2. Auf wie viele Arten können sechs verschiedene Bücher in einem Regal angeordnet werden?

Entscheidung. Die gewünschte Anzahl von Wegen ist gleich der Anzahl von Permutationen von 6 Elementen, d.h.

Unterkünfte.

Platzierungen ab m Elemente hinein n in jedem werden solche Verbindungen genannt, die sich entweder durch die Elemente selbst (mindestens eines) oder durch die Reihenfolge vom Ort voneinander unterscheiden.

Standorte sind mit dem Symbol , wo gekennzeichnet m ist die Anzahl aller verfügbaren Elemente, n ist die Anzahl der Elemente in jeder Kombination. ( SONDERN- Anfangsbuchstabe des französischen Wortes Anordnung, was „Aufstellen, Ordnen“ bedeutet).

Gleichzeitig wird davon ausgegangen nm.

Die Anzahl der Platzierungen kann anhand der Formel berechnet werden

jene. die Anzahl aller möglichen Platzierungen aus m Elemente von n ist gleich dem Produkt n aufeinanderfolgende ganze Zahlen, von denen die größere ist m.

Wir schreiben diese Formel in Fakultätsform:

Beispiel 3. Wie viele Optionen für die Verteilung von drei Gutscheinen an ein Sanatorium mit verschiedenen Profilen können für fünf Bewerber gemacht werden?

Entscheidung. Die gewünschte Anzahl von Optionen entspricht der Anzahl der Platzierungen von 5 Elementen mal 3 Elementen, d.h.

Kombinationen.

Kombinationen sind alle möglichen Kombinationen von m Elemente von n, die sich durch mindestens ein Element voneinander unterscheiden (hier m und n- natürliche Zahlen u nm).

Anzahl der Kombinationen aus m Elemente von n sind bezeichnet ( Mit- der erste Buchstabe des französischen Wortes Kombination- Kombination).

Im Allgemeinen ist die Anzahl der m Elemente von n gleich der Anzahl der Platzierungen aus m Elemente von n dividiert durch die Anzahl der Permutationen aus n Elemente:

Unter Verwendung von Fakultätsformeln für Platzierungs- und Permutationszahlen erhalten wir:

Beispiel 4. In einem Team von 25 Personen müssen Sie vier für die Arbeit in einem bestimmten Bereich zuweisen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Entscheidung. Da die Reihenfolge der ausgewählten vier Personen keine Rolle spielt, kann dies auf verschiedene Weise geschehen.

Wir finden nach der ersten Formel

Darüber hinaus werden beim Lösen von Problemen die folgenden Formeln verwendet, die die Haupteigenschaften von Kombinationen ausdrücken:

(per Definition und werden angenommen);

1.2. Kombinatorische Probleme lösen

Aufgabe 1. An der Fakultät werden 16 Fächer studiert. Am Montag müssen Sie 3 Fächer in den Stundenplan aufnehmen. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Entscheidung. Es gibt so viele Möglichkeiten, drei von 16 Elementen zu planen, wie es Platzierungen von 16 Elementen mit jeweils 3 gibt.

Aufgabe 2. Aus 15 Objekten müssen 10 Objekte ausgewählt werden. Auf wie viele Arten kann dies geschehen?

Aufgabe 3. Vier Teams nahmen am Wettbewerb teil. Wie viele Möglichkeiten der Sitzverteilung untereinander sind möglich?

Aufgabe 4. Auf wie viele Arten kann eine Patrouille aus drei Soldaten und einem Offizier gebildet werden, wenn es 80 Soldaten und 3 Offiziere gibt?

Entscheidung. Soldat auf Patrouille kann ausgewählt werden

Wege und Offiziere Wege. Da jeder Offizier mit jedem Team von Soldaten gehen kann, gibt es nur Möglichkeiten.

Aufgabe 5. Finden Sie heraus, ob bekannt ist, dass .

Da bekommen wir

Durch die Definition der Kombination folgt, dass , . Dass. .

1.3. Das Konzept eines zufälligen Ereignisses. Ereignistypen. Ereigniswahrscheinlichkeit

Jede Aktion, jedes Phänomen, jede Beobachtung mit mehreren unterschiedlichen Ergebnissen, die unter bestimmten Bedingungen realisiert werden, wird aufgerufen Prüfung.

Das Ergebnis dieser Aktion oder Beobachtung wird aufgerufen Veranstaltung .

Kann ein Ereignis unter gegebenen Bedingungen eintreten oder nicht eintreten, so wird es aufgerufen zufällig . Für den Fall, dass ein Ereignis unbedingt eintreten muss, wird es aufgerufen authentisch , und falls es sicher nicht passieren kann, - unmöglich.

Die Veranstaltungen werden aufgerufen unvereinbar wenn nur einer von ihnen jedes Mal erscheinen kann.

Die Veranstaltungen werden aufgerufen gemeinsam wenn unter den gegebenen Bedingungen das Eintreten eines dieser Ereignisse das Eintreten des anderen in derselben Prüfung nicht ausschließt.

Die Veranstaltungen werden aufgerufen Gegenteil , wenn sie unter den Testbedingungen als einzige Ergebnisse unvereinbar sind.

Ereignisse werden normalerweise mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: A B C D, : .

Ein vollständiges System von Ereignissen A 1 , A 2 , A 3 , : , A n ist eine Menge von inkompatiblen Ereignissen, von denen das Auftreten mindestens eines für einen gegebenen Test obligatorisch ist.

Besteht ein vollständiges System aus zwei inkompatiblen Ereignissen, so heißen solche Ereignisse entgegengesetzt und werden mit A und bezeichnet.

Beispiel. In einer Schachtel befinden sich 30 nummerierte Bälle. Bestimmen Sie, welche der folgenden Ereignisse unmöglich, sicher oder entgegengesetzt sind:

bekam einen nummerierten Ball (SONDERN);

Ziehe eine Kugel mit gerader Zahl (BEIM);

eine Kugel mit einer ungeraden Zahl gezogen (MIT);

bekam einen Ball ohne Nummer (D).

Welche von ihnen bilden eine vollständige Gruppe?

Entscheidung . SONDERN- bestimmtes Ereignis; D- unmögliches Ereignis;

In und Mit- entgegengesetzte Ereignisse.

Die komplette Gruppe von Veranstaltungen ist SONDERN und D, V und Mit.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird als Maß für die objektive Möglichkeit des Eintretens eines zufälligen Ereignisses betrachtet.

1.4. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit

Die Zahl, die ein Ausdruck für das Maß der objektiven Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses ist, wird genannt Wahrscheinlichkeit dieses Ereignis und ist mit dem Symbol gekennzeichnet P(A).

Definition. Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN ist das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse m, die das Eintreten eines gegebenen Ereignisses begünstigen SONDERN, zur Nummer n alle Ergebnisse (inkompatibel, eindeutig und gleichermaßen möglich), d.h. .

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu finden, ist es daher notwendig, nach Berücksichtigung der verschiedenen Ergebnisse des Tests alle möglichen inkompatiblen Ergebnisse zu berechnen n, Wählen Sie die Anzahl der Ergebnisse, an denen wir interessiert sind m, und berechnen Sie das Verhältnis m zu n.

Aus dieser Definition folgen folgende Eigenschaften:

Die Wahrscheinlichkeit eines Versuchs ist eine nicht negative Zahl, die eins nicht überschreitet.

Tatsächlich liegt die Anzahl m der gewünschten Ereignisse innerhalb von . Teilen Sie beide Teile in n, wir bekommen

2. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins, weil .

3. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, weil .

Problem 1. Es gibt 200 Gewinner von 1000 Losen in der Lotterie. Ein Los wird zufällig gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ticket gewinnt?

Entscheidung. Die Gesamtzahl der verschiedenen Ergebnisse ist n=1000. Die Anzahl der Ergebnisse, die den Sieg begünstigen, beträgt m=200. Nach der Formel bekommen wir

Aufgabe 2. In einer Charge von 18 Teilen gibt es 4 defekte. 5 Stück werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei dieser 5 Teile defekt sind.

Entscheidung. Anzahl aller gleichermaßen möglichen unabhängigen Ergebnisse n ist gleich der Anzahl der Kombinationen von 18 bis 5, d.h.

Berechnen wir die Anzahl m, die für Ereignis A sprechen. Unter den 5 zufällig ausgewählten Teilen sollten 3 hochwertige und 2 fehlerhafte sein. Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei defekte Teile aus 4 verfügbaren defekten Teilen auszuwählen, ist gleich der Anzahl der Kombinationen von 4 bis 2:

Die Anzahl der Möglichkeiten, drei Qualitätsteile aus 14 verfügbaren Qualitätsteilen auszuwählen, ist gleich

Jede Gruppe von Qualitätsteilen kann mit jeder Gruppe von fehlerhaften Teilen kombiniert werden, also die Gesamtzahl der Kombinationen m ist

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der Ausgänge m, die dieses Ereignis begünstigen, zur Anzahl n aller gleich möglichen unabhängigen Ausgänge:

Die Summe einer endlichen Anzahl von Ereignissen ist ein Ereignis, das im Eintreten mindestens eines von ihnen besteht.

Die Summe zweier Ereignisse wird mit dem Symbol A + B und der Summe bezeichnet n Ereignissymbol A 1 +A 2 + : +A n .

Der Wahrscheinlichkeitssatz.

Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier unvereinbarer Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Korollar 1. Wenn die Ereignisse À 1 , À 2 , : , À n ein vollständiges System bilden, dann ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse gleich eins.

Korollar 2. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse und ist gleich eins.

Aufgabe 1. Es gibt 100 Lottoscheine. Es ist bekannt, dass 5 Tickets einen Gewinn von 20.000 Rubel, 10 - 15.000 Rubel, 15 - 10.000 Rubel, 25 - 2.000 Rubel bringen. und nichts für den Rest. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass das gekaufte Ticket mindestens 10.000 Rubel gewinnt.

Entscheidung. Seien A, B und C Ereignisse, die darin bestehen, dass ein Preis in Höhe von 20.000, 15.000 und 10.000 Rubel auf das gekaufte Ticket fällt. da die Ereignisse A, B und C also inkompatibel sind

Aufgabe 2. Die Korrespondenzabteilung der Fachschule erhält von den Städten Tests in Mathematik A, B und Mit. Die Wahrscheinlichkeit des Eingangs von Kontrollarbeiten von der Stadt SONDERN gleich 0,6, von der Stadt BEIM- 0,1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Kontrollarbeit aus der Stadt kommt Mit.

Das einfachste Beispiel für einen Zusammenhang zwischen zwei Ereignissen ist eine kausale Beziehung, wenn das Eintreten eines der Ereignisse zwangsläufig zum Eintreten des anderen führt oder umgekehrt, wenn das Eintreten des einen die Möglichkeit des Eintretens des anderen ausschließt.

Um die Abhängigkeit einiger Ereignisse von anderen zu charakterisieren, wird das Konzept eingeführt bedingte Wahrscheinlichkeit.

Definition. Lassen SONDERN und BEIM- zwei zufällige Ereignisse des gleichen Tests. Dann die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses SONDERN oder die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, vorausgesetzt, dass Ereignis B eingetreten ist, heißt die Zahl.

Wenn wir die bedingte Wahrscheinlichkeit bezeichnen, erhalten wir die Formel

, .

Aufgabe 1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit einem Jungen ein zweiter Junge geboren wird.

Entscheidung. Lassen Sie die Veranstaltung SONDERN besteht darin, dass es zwei Jungen in der Familie gibt, und das Ereignis BEIM- dieser eine Junge.

Berücksichtigen Sie alle möglichen Ergebnisse: Junge und Junge; Junge und Mädchen; Mädchen und Junge; Mädchen und Mädchen.

Dann , und durch die Formel finden wir

Vorfall SONDERN namens unabhängig aus der Veranstaltung BEIM wenn das Ereignis eintritt BEIM hat keinen Einfluss auf die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN.

Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz

Die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens zweier unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mehrerer in der Summe unabhängiger Ereignisse wird durch die Formel berechnet

Aufgabe 2. Die erste Urne enthält 6 schwarze und 4 weiße Kugeln, die zweite Urne enthält 5 schwarze und 7 weiße Kugeln. Aus jeder Urne wird eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?

A und BEIM Es gibt eine Veranstaltung AB. Somit,

b) Wenn das erste Element funktioniert, dann tritt ein Ereignis ein (das Gegenteil des Ereignisses). SONDERN- das Versagen dieses Elements); wenn das zweite Element funktioniert - event BEIM. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen und:

Dann ist das Ereignis, das darin besteht, dass beide Elemente funktionieren, und daher

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Ereigniswahrscheinlichkeit

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit:

Die Wissenschaft

Veranstaltungen

Glaubwürdiges Ereignis

Unmögliche Ereignisse

Zufällige Ereignisse

Die Gesetze

Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen

Gesetz der großen Zahlen

Axiome

Lotterieschein

Kartendeck

Nummer vergessen

Karten mit Zahlen

Volle Wahrscheinlichkeit

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Trainieren.

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. MITTELSTUFE

Volle Wahrscheinlichkeit

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Gemischte Aufgaben

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

DIE RESTLICHEN 2/3 ARTIKEL SIND NUR FÜR YOUCLEVER STUDENTEN VERFÜGBAR!

Experimentelle und theoretische Wahrscheinlichkeit

Berechnung experimenteller Wahrscheinlichkeiten

Prinzip P (experimentell)

Theoretische Wahrscheinlichkeit

Prinzip P (Theoretisch)

Wahrscheinlichkeitseigenschaften

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