Heute werden wir darüber sprechen logarithmische Formeln und demonstrieren Lösungsbeispiele.

Sie implizieren für sich genommen Lösungsmuster gemäß den grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen. Bevor wir die Logarithmusformeln auf die Lösung anwenden, erinnern wir uns für Sie zunächst an alle Eigenschaften:

Basierend auf diesen Formeln (Eigenschaften) zeigen wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen basierend auf Formeln.

Logarithmus Eine positive Zahl b zur Basis a (als log a b bezeichnet) ist der Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten, mit b > 0, a > 0 und 1.

Nach der Definition log a b = x, was äquivalent zu a x = b ist, also log a a x = x.

Logarithmen, Beispiele:

log 2 8 = 3, weil 2 3 = 8

log 7 49 = 2 weil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, weil 5 -1 = 1/5

Dezimaler Logarithmus ist ein gewöhnlicher Logarithmus, dessen Basis 10 ist. Bezeichnet als lg.

log 10 100 = 2 weil 10 2 = 100

natürlicher Logarithmus- auch der übliche Logarithmus-Logarithmus, aber mit der Basis e (e \u003d 2,71828 ... - eine irrationale Zahl). Wird als ln bezeichnet.

Es ist wünschenswert, sich die Formeln oder Eigenschaften von Logarithmen zu merken, da wir sie später beim Lösen von Logarithmen, logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen benötigen. Lassen Sie uns jede Formel noch einmal mit Beispielen durcharbeiten.

• Grundlegende logarithmische Identität
  ein Protokoll ein b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Eigenschaften des Grades einer logarithmierbaren Zahl und der Basis des Logarithmus

  Der Exponent einer logarithmischen Zahl log a b m = mlog a b

  Exponent der Basis des Logarithmus log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  wenn m = n, erhalten wir log a n b n = log a b

  Log 4 9 = Log 2 2 3 2 = Log 2 3

• Übergang in eine neue Stiftung
  log a b = log c b / log c a,

  wenn c = b, erhalten wir log b b = 1

  dann log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Wie Sie sehen können, sind die Logarithmusformeln nicht so kompliziert, wie sie scheinen. Nachdem wir nun Beispiele zum Lösen von Logarithmen betrachtet haben, können wir zu logarithmischen Gleichungen übergehen. Wir werden Beispiele für die Lösung logarithmischer Gleichungen im Artikel genauer betrachten: "". Nicht verpassen!

Wenn Sie noch Fragen zur Lösung haben, schreiben Sie diese in die Kommentare zum Artikel.

Hinweis: entschieden, eine Ausbildung einer anderen Klasse im Ausland als Option zu absolvieren.

Mit der Entwicklung der Gesellschaft, der Komplexität der Produktion, entwickelte sich auch die Mathematik. Bewegung von einfach bis komplex. Aus der üblichen Rechenmethode der Addition und Subtraktion mit ihrer wiederholten Wiederholung gelangten sie zum Begriff der Multiplikation und Division. Die Reduktion der mehrfach wiederholten Operation wurde zum Begriff der Potenzierung. Die ersten Tabellen der Abhängigkeit von Zahlen von der Basis und der Anzahl der Potenzierungen wurden bereits im 8. Jahrhundert vom indischen Mathematiker Varasena zusammengestellt. Aus ihnen können Sie die Zeit des Auftretens von Logarithmen zählen.

Historischer Abriß

Die Wiederbelebung Europas im 16. Jahrhundert beflügelte auch die Entwicklung der Mechanik. T erforderte einen großen Rechenaufwand verbunden mit der Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen. Die antiken Tafeln leisteten gute Dienste. Sie ermöglichten es, komplexe Operationen durch einfachere zu ersetzen - Addition und Subtraktion. Ein großer Schritt nach vorn war das 1544 veröffentlichte Werk des Mathematikers Michael Stiefel, in dem er die Idee vieler Mathematiker verwirklichte. Damit war es möglich, Tabellen nicht nur für Grade in Form von Primzahlen, sondern auch für beliebige rationale zu verwenden.

1614 führte der Schotte John Napier, der diese Ideen entwickelte, erstmals den neuen Begriff "Logarithmus einer Zahl" ein. Es wurden neue komplexe Tabellen zur Berechnung der Logarithmen von Sinus und Cosinus sowie von Tangenten erstellt. Dies reduzierte die Arbeit der Astronomen erheblich.

Es tauchten neue Tabellen auf, die von Wissenschaftlern drei Jahrhunderte lang erfolgreich verwendet wurden. Es verging viel Zeit, bis die neue Operation in der Algebra ihre fertige Form annahm. Der Logarithmus wurde definiert und seine Eigenschaften untersucht.

Erst im 20. Jahrhundert, mit dem Aufkommen des Taschenrechners und des Computers, gab die Menschheit die alten Tabellen auf, die im 13. Jahrhundert erfolgreich funktioniert hatten.

Heute nennen wir den Logarithmus von b, um a auf die Zahl x zu stützen, die die Potenz von a ist, um die Zahl b zu erhalten. Dies wird als Formel geschrieben: x = log a(b).

Beispielsweise ist log 3(9) gleich 2. Dies ist offensichtlich, wenn Sie der Definition folgen. Wenn wir 3 hoch 2 erhöhen, erhalten wir 9.

Die formulierte Definition setzt also nur eine Einschränkung, die Zahlen a und b müssen reell sein.

Sorten von Logarithmen

Die klassische Definition heißt reeller Logarithmus und ist eigentlich eine Lösung der Gleichung a x = b. Die Option a = 1 ist grenzwertig und uninteressant. Hinweis: 1 hoch beliebig ist 1.

Reeller Wert des Logarithmus nur definiert, wenn die Basis und das Argument größer als 0 sind, und die Basis darf nicht gleich 1 sein.

Besonderer Platz im Bereich Mathematik spielen Logarithmen, die nach dem Wert ihrer Basis benannt werden:

Regeln und Einschränkungen

Die grundlegende Eigenschaft von Logarithmen ist die Regel: Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der logarithmischen Summe. log abp = log a(b) + log a(p).

Als Variante dieser Aussage lautet es: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), die Quotientenfunktion ist gleich der Differenz der Funktionen.

Aus den beiden vorherigen Regeln ist leicht ersichtlich, dass: log a(b p) = p * log a(b).

Weitere Eigenschaften sind:

Kommentar. Machen Sie keinen allgemeinen Fehler - der Logarithmus der Summe ist nicht gleich der Summe der Logarithmen.

Viele Jahrhunderte lang war die Suche nach dem Logarithmus eine ziemlich zeitaufwändige Aufgabe. Mathematiker verwendeten die bekannte Formel der logarithmischen Theorie der Entwicklung in ein Polynom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), wobei n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, die die Genauigkeit der Berechnung bestimmt.

Logarithmen mit anderen Basen wurden mit dem Satz über den Übergang von einer Basis zur anderen und der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts berechnet.

Da diese Methode sehr aufwendig ist u bei der Lösung praktischer Probleme schwierig zu implementieren, verwendeten sie vorkompilierte Logarithmentabellen, was die gesamte Arbeit erheblich beschleunigte.

In einigen Fällen wurden speziell zusammengestellte Logarithmendiagramme verwendet, die weniger genau waren, aber die Suche nach dem gewünschten Wert erheblich beschleunigten. Die Kurve der Funktion y = log a(x), die auf mehreren Punkten aufgebaut ist, ermöglicht es, mit dem üblichen Lineal die Werte der Funktion an jedem anderen Punkt zu finden. Lange Zeit nutzten Ingenieure für diese Zwecke das sogenannte Millimeterpapier.

Im 17. Jahrhundert erschienen die ersten analogen Hilfsrechner, die im 19. Jahrhundert eine fertige Form angenommen hatten. Das erfolgreichste Gerät hieß Rechenschieber. Trotz der Einfachheit des Geräts hat sein Erscheinungsbild den Prozess aller technischen Berechnungen erheblich beschleunigt, und dies ist schwer zu überschätzen. Derzeit sind nur wenige Menschen mit diesem Gerät vertraut.

Das Aufkommen von Taschenrechnern und Computern machte es sinnlos, andere Geräte zu verwenden.

Gleichungen und Ungleichungen

Die folgenden Formeln werden verwendet, um verschiedene Gleichungen und Ungleichungen mit Hilfe von Logarithmen zu lösen:

• Übergang von einer Basis zur anderen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Als Folge der vorherigen Version: log a(b) = 1 / log b(a).

Um Ungleichungen zu lösen, ist es nützlich zu wissen:

• Der Wert des Logarithmus ist nur dann positiv, wenn sowohl die Basis als auch das Argument größer oder kleiner als eins sind; wenn mindestens eine Bedingung verletzt wird, ist der Wert des Logarithmus negativ.
• Wenn die Logarithmusfunktion auf die rechte und linke Seite der Ungleichung angewendet wird und die Basis des Logarithmus größer als eins ist, wird das Ungleichheitszeichen beibehalten; andernfalls ändert es sich.

Aufgabenbeispiele

Betrachten Sie mehrere Optionen für die Verwendung von Logarithmen und ihren Eigenschaften. Beispiele zum Lösen von Gleichungen:

Betrachten Sie die Möglichkeit, den Logarithmus in den Grad zu stellen:

• Aufgabe 3. Berechnen Sie 25^log 5(3). Lösung: Unter den Bedingungen des Problems ähnelt die Notation der folgenden (5^2)^log5(3) oder 5^(2 * log 5(3)). Schreiben wir es anders: 5^log 5(3*2), oder das Quadrat einer Zahl als Funktionsargument kann als Quadrat der Funktion selbst geschrieben werden (5^log 5(3))^2. Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen ist dieser Ausdruck 3^2. Antwort: Als Ergebnis der Berechnung erhalten wir 9.

Praktischer Nutzen

Als rein mathematisches Werkzeug scheint es weit entfernt vom wirklichen Leben, dass der Logarithmus plötzlich eine große Bedeutung bei der Beschreibung von Objekten in der realen Welt erlangt hat. Es ist schwierig, eine Wissenschaft zu finden, wo sie nicht verwendet wird. Dies gilt uneingeschränkt nicht nur für die naturwissenschaftlichen, sondern auch für die geisteswissenschaftlichen Wissensgebiete.

Logarithmische Abhängigkeiten

Hier sind einige Beispiele für numerische Abhängigkeiten:

Mechanik und Physik

Historisch gesehen haben sich Mechanik und Physik immer mit mathematischen Forschungsmethoden entwickelt und dienten gleichzeitig als Ansporn für die Entwicklung der Mathematik, einschließlich der Logarithmen. Die Theorie der meisten Gesetze der Physik ist in der Sprache der Mathematik geschrieben. Wir geben nur zwei Beispiele für die Beschreibung physikalischer Gesetze mit Hilfe des Logarithmus.

Es ist möglich, das Problem der Berechnung einer so komplexen Größe wie der Geschwindigkeit einer Rakete mit der Tsiolkovsky-Formel zu lösen, die den Grundstein für die Theorie der Weltraumforschung legte:

V = I * ln(M1/M2), wobei

• V ist die Endgeschwindigkeit des Flugzeugs.
• I ist der spezifische Impuls des Motors.
• M 1 ist die Anfangsmasse der Rakete.
• M 2 - Endmasse.

Ein weiteres wichtiges Beispiel- dies ist die Verwendung in der Formel eines anderen großen Wissenschaftlers, Max Planck, die dazu dient, den Gleichgewichtszustand in der Thermodynamik zu bewerten.

S = k * ln (Ω), wobei

• S ist eine thermodynamische Eigenschaft.
• k ist die Boltzmann-Konstante.
• Ω ist das statistische Gewicht verschiedener Zustände.

Chemie

Weniger offensichtlich wäre die Verwendung von Formeln in der Chemie, die das Verhältnis von Logarithmen enthalten. Hier nur zwei Beispiele:

• Die Nernst-Gleichung, die Bedingung des Redoxpotentials des Mediums in Bezug auf die Aktivität von Stoffen und die Gleichgewichtskonstante.
• Auch die Berechnung von Konstanten wie dem Autoprolyseindex und der Acidität der Lösung ist ohne unsere Funktion nicht vollständig.

Psychologie und Biologie

Und es ist völlig unverständlich, was die Psychologie damit zu tun hat. Es stellt sich heraus, dass die Stärke der Empfindung durch diese Funktion gut als umgekehrtes Verhältnis des Intensitätswerts des Reizes zum niedrigeren Intensitätswert beschrieben wird.

Nach den obigen Beispielen ist es nicht mehr verwunderlich, dass das Thema Logarithmen auch in der Biologie weit verbreitet ist. Ganze Bände können über biologische Formen geschrieben werden, die logarithmischen Spiralen entsprechen.

Andere Gebiete

Es scheint, dass die Existenz der Welt ohne Verbindung mit dieser Funktion unmöglich ist, und sie regelt alle Gesetze. Vor allem, wenn die Naturgesetze mit einem geometrischen Verlauf verbunden sind. Es lohnt sich, auf die MatProfi-Website zu verweisen, und es gibt viele solcher Beispiele in den folgenden Tätigkeitsbereichen:

Die Liste könnte endlos sein. Wenn Sie die Grundgesetze dieser Funktion beherrschen, können Sie in die Welt der unendlichen Weisheit eintauchen.

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Was ist ein Logarithmus?

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders - Gleichungen mit Logarithmen.

Das stimmt absolut nicht. Absolut! Glauben Sie nicht? Gut. Nun, für etwa 10 - 20 Minuten:

1. Verstehen was ist ein logarithmus.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse von Exponentialgleichungen zu lösen. Auch wenn Sie noch nie von ihnen gehört haben.

3. Lernen Sie einfache Logarithmen zu berechnen.

Außerdem müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie eine Zahl potenziert wird ...

Ich spüre, dass Sie zweifeln ... Nun, halten Sie Zeit! Gehen!

Löse zuerst die folgende Gleichung in Gedanken:

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus der Einheit. Seine Formulierung lautet wie folgt: Der Logarithmus der Einheit ist gleich Null, das heißt, log eine 1=0 für jedes a>0 , a≠1 . Der Beweis ist einfach: Da a 0 =1 für jedes a, das die obigen Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt aus der Definition des Logarithmus sofort die bewiesene Gleichheit log a 1=0.

Lassen Sie uns Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft geben: log 3 1=0 , lg1=0 und .

Kommen wir zur nächsten Eigenschaft: Der Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ist gleich eins, also, log a a = 1 für a>0 , a≠1 . In der Tat, da a 1 = a für jedes a , dann ist nach der Definition des Logarithmus log a a = 1 .

Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind log 5 5=1 , log 5.6 5.6 und lne=1 .

Zum Beispiel log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 und .

Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Abschlusses a log a x+log a y =a log a x a log a y, und da nach der logarithmischen Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y , dann a log a x a log a y =x y . Also a log a x+log a y = x y , woraus die geforderte Gleichheit durch die Definition des Logarithmus folgt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

Die Eigenschaft des Produktlogarithmus lässt sich verallgemeinern auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Diese Gleichheit ist leicht zu beweisen.

Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus eines Produkts durch die Summe dreier natürlicher Logarithmen der Zahlen 4 , e , und ersetzt werden.

Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y sind gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Quotienten-Logarithmus-Eigenschaft entspricht einer Formel der Form , wobei a>0 , a≠1 , x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel wird wie die Formel für den Logarithmus des Produkts bewiesen: seit , dann durch die Definition des Logarithmus .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Gradlogarithmus. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Wir schreiben diese Eigenschaft des Gradlogarithmus in Form einer Formel: log a b p = p log a |b|, wobei a > 0 , a ≠ 1 , b und p solche Zahlen sind, dass der Grad von b p sinnvoll und b p > 0 ist.

Wir beweisen diese Eigenschaft zunächst für positives b . Die grundlegende logarithmische Identität erlaubt es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann ist b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p log a b . So gelangen wir zur Gleichung b p = a p log a b , woraus wir durch die Definition des Logarithmus schließen, dass log a b p = p log a b .

Es bleibt diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier bemerken wir, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grads b p größer als Null sein muss, sonst macht der Logarithmus keinen Sinn), und in diesem Fall b p = |b| p . Dann bp = |b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, woher log a b p = p log a |b| .

Zum Beispiel, und ln(–3) 4 =4 ln|–3|=4 ln3 .

Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: Der Logarithmus der Wurzel n-ten Grades ist gleich dem Produkt aus dem Bruch 1/n und dem Logarithmus des Wurzelausdrucks, d. h. , wobei a>0 , a≠1 , n eine natürliche Zahl größer als eins ist, b>0 .

Der Beweis basiert auf der Gleichheit (siehe ), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Logarithmus des Grades: .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

Jetzt beweisen wir es Umrechnungsformel zur neuen Basis des Logarithmus nett . Dazu genügt es, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität erlaubt es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt die Eigenschaft des Logarithmus des Grads zu verwenden: log c a log a b = log a b log c a. Damit ist die Gleichheit log c b=log a b log c a bewiesen, womit auch die Formel für den Übergang auf eine neue Basis des Logarithmus bewiesen ist.

Lassen Sie uns ein paar Beispiele für die Anwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um zu natürlichen oder dezimalen Logarithmen zu wechseln, damit Sie den Wert des Logarithmus aus der Logarithmentabelle berechnen können. Die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu finden, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

Häufig verwendet wird ein Sonderfall der Formel für den Übergang auf eine neue Basis des Logarithmus für c=b der Form . Dies zeigt, dass log a b und log b a – . Z.B, .

Ebenfalls häufig verwendet wird die Formel , was nützlich ist, um Logarithmuswerte zu finden. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie der Wert des Logarithmus des Formulars damit berechnet wird. Wir haben . Um die Formel zu beweisen es genügt, die Übergangsformel zur neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

Es bleibt noch, die Vergleichseigenschaften von Logarithmen zu beweisen.

Beweisen wir das für alle positiven Zahlen b 1 und b 2 , b 1 log a b 2 , und für a>1 die Ungleichung log a b 1

Schließlich bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Logarithmen zu beweisen. Wir beschränken uns auf den Beweis des ersten Teils, d.h. wir beweisen, dass wenn a 1 > 1 , a 2 > 1 und a 1 1 ist wahr log a 1 b>log a 2 b . Die übrigen Aussagen dieser Logarithmeneigenschaft werden nach einem ähnlichen Prinzip bewiesen.

Wenden wir die umgekehrte Methode an. Angenommen, für a 1 >1 , a 2 >1 und a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b ist wahr. Durch die Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤ log b a 2 bzw. log b a 1 ≥ log b a 2 ist. Dann müssen aufgrund der Eigenschaften von Potenzen mit gleichen Basen die Gleichungen b log b a 1 ≥ b log b a 2 und b log b a 1 ≥ b log b a 2 erfüllt sein, dh a 1 ≥ a 2 . Damit sind wir bei einem Widerspruch zur Bedingung a 1 angelangt

Referenzliste.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere Algebra und die Anfänge der Analysis: Ein Lehrbuch für die Klassen 10-11 allgemeiner Bildungseinrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen).