Klasse 10 . Kurven zweiter Ordnung.

10.1. Ellipse. Kanonische Gleichung. Halbwellen, Exzentrizität, Diagramm.

10.2. Hyperbel. Kanonische Gleichung. Halbachsen, Exzentrizität, Asymptoten, Graph.

10.3. Parabel. Kanonische Gleichung. Parabelparameter, Grafik.

Kurven zweiter Ordnung in der Ebene heißen Linien, deren implizite Angabe die Form hat:

wo
- gegebene reelle Zahlen,
- Koordinaten der Kurvenpunkte. Die wichtigsten Linien unter den Kurven zweiter Ordnung sind Ellipse, Hyperbel, Parabel.

10.1. Ellipse. Kanonische Gleichung. Halbwellen, Exzentrizität, Diagramm.

Definition einer Ellipse.Eine Ellipse ist eine ebene Kurve, deren Summe der Abstände von zwei festen Punkten
Flugzeug zu jedem Punkt

(jene.). Punkte
die Brennpunkte der Ellipse genannt.

Kanonische Gleichung einer Ellipse:
. (2)

(oder Achse
) geht durch Brennpunkte
, und der Ursprung ist ein Punkt - befindet sich in der Mitte des Segments
(Abb. 1). Ellipse (2) ist symmetrisch bezüglich der Koordinatenachsen und des Ursprungs (dem Zentrum der Ellipse). Dauerhaft
,
namens Halbachsen einer Ellipse.

Wenn die Ellipse durch Gleichung (2) gegeben ist, werden die Brennpunkte der Ellipse wie folgt gefunden.

1) Zuerst bestimmen wir, wo die Brennpunkte liegen: Die Brennpunkte liegen auf der Koordinatenachse, auf der sich die großen Halbachsen befinden.

2) Dann wird die Brennweite berechnet (Entfernung von Brennpunkten zu Ursprung).

Beim
Schwerpunkte liegen auf der Achse
;
;
.

Beim
Schwerpunkte liegen auf der Achse
;
;
.

Exzentrizität Ellipse heißt der Wert: (beim
);(beim
).

Ellipse hat es immer getan
. Die Exzentrizität ist ein Merkmal der Stauchung der Ellipse.

Wird die Ellipse (2) so verschoben, dass der Mittelpunkt der Ellipse auf den Punkt fällt

,
, dann hat die Gleichung der resultierenden Ellipse die Form

.

10.2. Hyperbel. Kanonische Gleichung. Halbachsen, Exzentrizität, Asymptoten, Graph.

Definition einer Hyperbel.Eine Hyperbel ist eine ebene Kurve, bei der der Absolutwert der Abstandsdifferenz von zwei festen Punkten
Flugzeug zu jedem Punkt
diese Kurve ist eine vom Punkt unabhängige Konstante
(jene.). Punkte
genannt die Brennpunkte der Hyperbel.

Kanonische Gleichung einer Hyperbel:
oder
. (3)

Eine solche Gleichung wird erhalten, wenn die Koordinatenachse
(oder Achse
) geht durch Brennpunkte
, und der Ursprung ist ein Punkt - befindet sich in der Mitte des Segments
. Hyperbeln (3) sind bezüglich der Koordinatenachsen und des Ursprungs symmetrisch. Dauerhaft
,
namens Halbachsen der Hyperbel.

Die Brennpunkte der Hyperbel werden wie folgt gefunden.

An der Übertreibung
Schwerpunkte liegen auf der Achse
:
(Abb. 2.a).

An der Übertreibung
Schwerpunkte liegen auf der Achse
:
(Abb. 2.b)

Hier - Brennweite (Abstand von den Brennpunkten zum Ursprung). Es wird nach der Formel berechnet:
.

Exzentrizität Hyperbel heißt der Wert:

(zum
);(zum
).

Übertreibung hat immer
.

Asymptoten von Hyperbeln(3) sind zwei Geraden:
. Beide Äste der Hyperbel nähern sich den Asymptoten auf unbestimmte Zeit als .

Die Konstruktion eines Graphen einer Hyperbel sollte wie folgt durchgeführt werden: zuerst entlang der Halbachsen
wir bauen ein Hilfsrechteck mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen; dann ziehen wir gerade Linien durch die gegenüberliegenden Ecken dieses Rechtecks, das sind die Asymptoten der Hyperbel; Schließlich stellen wir die Äste der Hyperbel dar, sie berühren die Mittelpunkte der entsprechenden Seiten des Hilfsrechtecks ​​und nähern sich mit Wachstum zu Asymptoten (Abb. 2).

Wenn die Hyperbeln (3) so verschoben werden, dass ihr Mittelpunkt auf den Punkt fällt
, und die Halbachsen bleiben parallel zu den Achsen
,
, dann kann die Gleichung der resultierenden Hyperbeln in die Form geschrieben werden

,
.

10.3. Parabel. Kanonische Gleichung. Parabelparameter, Grafik.

Definition einer Parabel.Eine Parabel ist eine ebene Kurve, in der für jeden Punkt
diese Kurve ist der Abstand von
zu einem Fixpunkt Ebene (als Fokus der Parabel bezeichnet) ist gleich der Entfernung von
zu einer festen Leitung im Flugzeug(als Leitlinie der Parabel bezeichnet) .

Kanonische Parabelgleichung:
, (4)

wo ist eine Konstante namens Parameter Parabeln.

Punkt
Parabel (4) heißt Scheitelpunkt der Parabel. Achse
ist die Symmetrieachse. Der Fokus der Parabel (4) liegt im Punkt
, Directrix-Gleichung
. Parabeldiagramme (4) mit Werten
und
in Abb. gezeigt. 3.a bzw. 3.b.

Die gleichung
definiert auch eine Parabel in der Ebene
, die im Vergleich zur Parabel (4) Achsen hat
,
Plätze getauscht.

Wenn die Parabel (4) so ​​verschoben wird, dass ihr Scheitelpunkt auf den Punkt trifft
, und die Symmetrieachse bleibt parallel zur Achse
, dann hat die Gleichung der resultierenden Parabel die Form

.

Kommen wir zu den Beispielen.

Beispiel 1. Die Kurve zweiter Ordnung ist durch die Gleichung gegeben
. Geben Sie dieser Kurve einen Namen. Finden Sie seine Schwerpunkte und Exzentrizität. Zeichnen Sie eine Kurve und ihre Brennpunkte in einer Ebene
.

Entscheidung. Diese Kurve ist eine Ellipse, die an dem Punkt zentriert ist
und Achswellen
. Dies kann leicht durch Ersetzen überprüft werden
. Diese Transformation bedeutet das Bewegen von einem gegebenen kartesischen Koordinatensystem
in das neue kartesische Koordinatensystem
, dessen Achsen
parallel zu den Achsen
,
. Diese Koordinatentransformation wird als Systemverschiebung bezeichnet.
exakt . Im neuen Koordinatensystem
die Gleichung der Kurve wird in die kanonische Gleichung der Ellipse umgewandelt
, sein Graph ist in Abb. 4.

Lassen Sie uns Tricks finden.
, also die Tricks
Ellipse auf der Achse
.. im Koordinatensystem
:
. weil
, im alten Koordinatensystem
Fokusse haben Koordinaten.

Beispiel 2. Geben Sie den Namen der Kurve zweiter Ordnung und ihren Graphen an.

Entscheidung. Wir wählen vollständige Quadrate nach Termen aus, die Variablen enthalten und .

Nun kann die Kurvengleichung umgeschrieben werden als:

Daher ist die gegebene Kurve eine Ellipse, die an dem Punkt zentriert ist
und Achswellen
. Die erhaltenen Informationen ermöglichen es uns, ihr Diagramm zu zeichnen.

Beispiel 3. Geben Sie einen Namen ein und zeichnen Sie ein Liniendiagramm
.

Entscheidung. . Dies ist die kanonische Gleichung einer Ellipse, die an einem Punkt zentriert ist
und Achswellen
.

Soweit,
, schließen wir: die gegebene Gleichung definiert auf der Ebene
die untere Hälfte der Ellipse (Abb. 5).

Beispiel 4. Geben Sie den Namen der Kurve zweiter Ordnung an
. Finde ihre Tricks, Exzentrizität. Geben Sie einen Graphen dieser Kurve an.

- Kanonische Gleichung einer Hyperbel mit Halbachsen
.

Brennweite.

Das Minuszeichen steht vor dem Begriff mit , also die Tricks
Hyperbeln liegen auf der Achse
:. Die Äste der Hyperbel befinden sich oberhalb und unterhalb der Achse
.

ist die Exzentrizität der Hyperbel.

Asymptoten einer Hyperbel: .

Die Konstruktion eines Graphen dieser Hyperbel erfolgt gemäß dem obigen Verfahren: Wir bauen ein Hilfsrechteck, zeichnen die Asymptoten der Hyperbel, zeichnen die Zweige der Hyperbel (siehe Abb. 2.b).

Beispiel 5. Finden Sie die Form der durch die Gleichung gegebenen Kurve heraus
und plotte es.

- Hyperbel in einem Punkt zentriert
und Halbwellen.

weil , schließen wir: Die gegebene Gleichung bestimmt den Teil der Hyperbel, der rechts von der Geraden liegt
. Es ist besser, eine Hyperbel in einem Hilfskoordinatensystem zu zeichnen
aus dem Koordinatensystem erhalten
Verschiebung
, und wählen Sie dann mit einer dicken Linie den gewünschten Teil der Hyperbel aus

Beispiel 6. Finden Sie die Art der Kurve heraus und zeichnen Sie ihr Diagramm.

Entscheidung. Wählen Sie das vollständige Quadrat nach den Begriffen mit der Variablen aus :

Lassen Sie uns die Gleichung der Kurve umschreiben.

Dies ist die Gleichung einer Parabel mit Scheitelpunkt im Punkt
. Durch eine Verschiebungstransformation wird die Parabelgleichung auf die kanonische Form gebracht
, woraus ersichtlich ist, dass dies der Parameter der Parabel ist. Fokus Parabeln im System
hat Koordinaten
,, und im System
(entsprechend der Verschiebungstransformation). Das Parabeldiagramm ist in Abb. 1 dargestellt. 7.

Hausaufgaben.

1. Zeichnen Sie Ellipsen, die durch die Gleichungen gegeben sind:
Finden Sie ihre Halbachsen, Brennweite, Exzentrizität und geben Sie auf den Ellipsendiagrammen die Position ihrer Brennpunkte an.

2. Zeichnen Sie Hyperbeln, die durch die Gleichungen gegeben sind:
Finden Sie ihre Halbachsen, Brennweite, Exzentrizität und geben Sie auf den Diagrammen der Hyperbeln die Position ihrer Brennpunkte an. Schreiben Sie die Gleichungen für die Asymptoten der gegebenen Hyperbeln.

3. Zeichnen Sie die durch die Gleichungen gegebenen Parabeln:
. Finden Sie ihren Parameter, die Brennweite und geben Sie die Position des Fokus auf den Parabeldiagrammen an.

4. Gleichung
definiert einen Teil der Kurve 2. Ordnung. Finden Sie die kanonische Gleichung dieser Kurve, schreiben Sie ihren Namen auf, erstellen Sie ihr Diagramm und markieren Sie darauf den Teil der Kurve, der der ursprünglichen Gleichung entspricht.

Eine Hyperbel ist eine Ortskurve von Punkten in einer Ebene, deren Modul der Abstandsdifferenz zu zwei gegebenen Punkten F_1 und F_2 ein konstanter Wert (2a) ist, kleiner als der Abstand (2c) zwischen diesen gegebenen Punkten (Abb 3.40, a). Diese geometrische Definition drückt aus Fokaleigenschaft einer Hyperbel.

Fokuseigenschaft einer Hyperbel

Die Punkte F_1 und F_2 heißen Brennpunkte der Hyperbel, der Abstand 2c=F_1F_2 zwischen ihnen ist die Brennweite, der Mittelpunkt O der Strecke F_1F_2 ist der Mittelpunkt der Hyperbel, die Zahl 2a ist die Länge der reellen Achse von die Hyperbel (bzw. a ist die reelle Halbachse der Hyperbel). Die Strecken F_1M und F_2M, die einen beliebigen Punkt M der Hyperbel mit seinen Brennpunkten verbinden, heißen Brennradien des Punktes M . Eine Strecke, die zwei Punkte einer Hyperbel verbindet, wird Sehne der Hyperbel genannt.

Die Relation e=\frac(c)(a) mit c=\sqrt(a^2+b^2) wird aufgerufen hyperbolische Exzentrizität. Aus der Definition (2a<2c) следует, что e>1 .

Geometrische Definition einer Hyperbel, die ihre Fokuseigenschaft ausdrückt, entspricht ihrer analytischen Definition - der Linie, die durch die kanonische Gleichung der Hyperbel gegeben ist:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.

Führen wir tatsächlich ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein (Abb. 3.40, b). Als Ursprung des Koordinatensystems nehmen wir den Mittelpunkt O der Hyperbel; die gerade Linie, die durch die Brennpunkte verläuft (Fokusachse), nehmen wir als Abszissenachse (die positive Richtung darauf vom Punkt F_1 zum Punkt F_2); als Ordinatenachse wird eine zur Abszissenachse senkrechte und durch den Mittelpunkt der Hyperbel verlaufende Gerade genommen (die Richtung auf der Ordinatenachse ist so gewählt, dass das rechtwinklige Koordinatensystem Oxy rechts liegt).

Schreiben wir die Gleichung der Hyperbel unter Verwendung der geometrischen Definition, die die Fokuseigenschaft ausdrückt. Im gewählten Koordinatensystem bestimmen wir die Koordinaten der Fokusse F_1(-c,0) und F_2(c,0) . Für einen beliebigen Punkt M(x,y), der zu einer Hyperbel gehört, gilt:

\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.

Wenn wir diese Gleichung in Koordinatenform schreiben, erhalten wir:

\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.

Indem wir ähnliche Transformationen wie bei der Ableitung der Ellipsengleichung durchführen (d. h. die Irrationalität beseitigen), gelangen wir zur kanonischen Gleichung der Hyperbel:

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,

wobei b=\sqrt(c^2-a^2) , d.h. das gewählte Koordinatensystem ist kanonisch.

Durch Rückwärtsüberlegung kann gezeigt werden, dass alle Punkte, deren Koordinaten die Gleichung (3.50) erfüllen, und nur sie, zum Ort der Punkte gehören, der Hyperbel genannt wird. Somit ist die analytische Definition einer Hyperbel äquivalent zu ihrer geometrischen Definition.

Verzeichniseigenschaft einer Hyperbel

Als Leitlinien einer Hyperbel werden zwei gerade Linien bezeichnet, die im gleichen Abstand parallel zur y-Achse des kanonischen Koordinatensystems verlaufen a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c daraus (Abb. 3.41, a). Wenn für a=0 die Hyperbel in ein Paar sich schneidender Linien degeneriert, fallen die Leitlinien zusammen.

Eine Hyperbel mit der Exzentrizität e = 1 kann als Ort von Punkten in der Ebene definiert werden, für die jeweils das Verhältnis des Abstands zu einem bestimmten Punkt F (Brennpunkt) zum Abstand zu einer bestimmten Geraden d (Leitlinie) gilt einen gegebenen Punkt nicht passieren, ist konstant und gleich der Exzentrizität e ( Verzeichniseigenschaft einer Hyperbel). Hier sind F und d einer der Brennpunkte der Hyperbel und eine ihrer Leitlinien, die sich auf derselben Seite der y-Achse des kanonischen Koordinatensystems befinden.

Tatsächlich gilt zum Beispiel für den Fokus F_2 und die Leitlinie d_2 (Abb. 3.41, a) die Bedingung \frac(r_2)(\rho_2)=e kann in Koordinatenform geschrieben werden:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\right)

Irrationalität beseitigen und ersetzen e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, gelangen wir zur kanonischen Gleichung der Hyperbel (3.50). Ähnliche Überlegungen können für den Fokus F_1 und die Leitlinie d_1 angestellt werden:

\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).

Hyperbelgleichung in Polarkoordinaten

Die Gleichung des rechten Astes der Hyperbel im Polarkoordinatensystem F_2r\varphi (Abb. 3.41, b) hat die Form

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), wobei p=\frac(p^2)(a) - Fokusparameter der Hyperbel.

Wählen wir nämlich den rechten Fokus F_2 der Hyperbel als Pol des Polarkoordinatensystems und den Strahl mit dem Ursprung im Punkt F_2, der zur Linie F_1F_2 gehört, aber den Punkt F_1 nicht enthält (Abb. 3.41, b) als Polachse. Dann gilt für einen beliebigen Punkt M(r,\varphi), der zum rechten Ast der Hyperbel gehört, gemäß der geometrischen Definition (Fokuseigenschaft) der Hyperbel F_1M-r=2a . Wir drücken den Abstand zwischen den Punkten M(r,\varphi) und F_1(2c,\pi) aus (siehe Punkt 2 von Bemerkung 2.8):

F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).

Daher hat die Gleichung einer Hyperbel in Koordinatenform die Form

\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.

Wir isolieren das Radikal, quadrieren beide Seiten der Gleichung, dividieren durch 4 und geben ähnliche Terme an:

r^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ rechts)r=c^2-a^2.

Wir drücken den Polarradius r aus und nehmen Substitutionen vor e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),

Q.E.D. Beachten Sie, dass in Polarkoordinaten die Hyperbel- und Ellipsengleichungen zusammenfallen, aber unterschiedliche Geraden beschreiben, da sie sich in der Exzentrizität unterscheiden (e>1 für eine Hyperbel, 0\leqslant e<1 для эллипса).

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten in der Hyperbelgleichung

Finden wir die Schnittpunkte der Hyperbel (Abb. 3.42, a) mit der Abszissenachse (Eckpunkte der Hyperbel). Setzen wir y=0 in die Gleichung ein, finden wir die Abszissen der Schnittpunkte: x=\pm a . Daher haben die Scheitelpunkte die Koordinaten (-a,0),\,(a,0) . Die Länge des Segments, das die Eckpunkte verbindet, ist 2a. Dieses Segment wird die reelle Achse der Hyperbel genannt, und die Zahl a ist die reelle Halbachse der Hyperbel. Durch Ersetzen von x=0 erhalten wir y=\pm ib . Die Länge des Segments der y-Achse, das die Punkte (0,-b),\,(0,b) verbindet, ist gleich 2b . Dieses Segment wird als imaginäre Achse der Hyperbel bezeichnet, und die Zahl b wird als imaginäre Halbachse der Hyperbel bezeichnet. Die Hyperbel schneidet die Linie, die die reelle Achse enthält, und schneidet nicht die Linie, die die imaginäre Achse enthält.

Bemerkungen 3.10.

1. Die Linien x=\pm a,~y=\pm b begrenzen das Hauptrechteck auf der Koordinatenebene, außerhalb dessen sich die Hyperbel befindet (Abb. 3.42, a).

2. Gerade Linien, die die Diagonalen des Hauptrechtecks ​​enthalten, werden als Asymptoten der Hyperbel bezeichnet (Abb. 3.42, a).

Für gleichseitige Hyperbel, beschrieben durch die Gleichung (d. h. mit a=b ), ist das Hauptrechteck ein Quadrat, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Daher stehen auch die Asymptoten einer gleichseitigen Hyperbel senkrecht und können als Koordinatenachsen des rechtwinkligen Koordinatensystems Ox"y" genommen werden (Abb. 3.42, b). In diesem Koordinatensystem hat die Hyperbelgleichung die Form y"=\frac(a^2)(2x")(Die Hyperbel fällt mit dem Graphen einer elementaren Funktion zusammen, die eine umgekehrt proportionale Beziehung ausdrückt).

Drehen wir nämlich das kanonische Koordinatensystem um den Winkel \varphi=-\frac(\pi)(4)(Abb. 3.42, b). In diesem Fall stehen die Koordinaten des Punktes im alten und neuen Koordinatensystem durch die Gleichheit in Beziehung

\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(aligned)\right. \quad \Leftrightarrow \quad \ left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \cdot(y"-x")\end(aligned)\right.

Setzen Sie diese Ausdrücke in die Gleichung ein \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 einer gleichseitigen Hyperbel und gleicher Terme erhalten wir

\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").

3. Die Koordinatenachsen (des kanonischen Koordinatensystems) sind die Symmetrieachsen der Hyperbel (Hauptachsen der Hyperbel genannt), und ihr Zentrum ist das Symmetriezentrum.

In der Tat, wenn der Punkt M(x,y) zur Hyperbel gehört . dann gehören auch die Punkte M"(x,y) und M""(-x,y) , symmetrisch zum Punkt M bezüglich der Koordinatenachsen, zu derselben Hyperbel.

Die Symmetrieachse, auf der sich die Brennpunkte der Hyperbel befinden, ist die Brennachse.

4. Aus der Hyperbelgleichung in Polarkoordinaten r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(siehe Abb. 3.41, b) Die geometrische Bedeutung des Fokusparameters wird verdeutlicht - dies ist die halbe Länge der Sehne der Hyperbel, die senkrecht zur Fokusachse durch ihren Fokus verläuft (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Die Exzentrizität e charakterisiert die Form der Hyperbel. Je mehr e, desto breiter die Äste der Hyperbel, und je näher e an Eins liegt, desto schmaler sind die Äste der Hyperbel (Abb. 3.43, a).

Tatsächlich wird der Wert \gamma des Winkels zwischen den Asymptoten der Hyperbel, die ihren Zweig enthält, durch das Verhältnis der Seiten des Hauptrechtecks ​​bestimmt: \operatorname(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Unter Berücksichtigung von e=\frac(c)(a) und c^2=a^2+b^2 erhalten wir

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}

Je größer e, desto größer der γ-Winkel. Für eine gleichseitige Hyperbel (a=b) gilt e=\sqrt(2) und \gamma=\frac(\pi)(2). Für e>\sqrt(2) ist der Winkel \gamma stumpf, aber für 1

6. Zwei Hyperbeln, die durch die Gleichungen im selben Koordinatensystem definiert sind \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 und gerufen werden miteinander verknüpft. Konjugierte Hyperbeln haben die gleichen Asymptoten (Abb. 3.43, b). Konjugierte Hyperbelgleichung -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 wird durch Umbenennung der Koordinatenachsen (3.38) auf die kanonische reduziert.

7. Gleichung \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definiert eine Hyperbel mit dem Mittelpunkt O "(x_0, y_0) , deren Achsen parallel zu den Koordinatenachsen sind (Abb. 3.43, c). Diese Gleichung wird durch Parallelverschiebung (3.36) auf die kanonische zurückgeführt. Gl -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 definiert eine konjugierte Hyperbel, die am Punkt O"(x_0,y_0) zentriert ist.

Parametergleichung einer Hyperbel

Die Parametergleichung einer Hyperbel im kanonischen Koordinatensystem hat die Form

\begin(cases)x=a\cdot\operatorname(ch)t,\\y=b\cdot\operatorname(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R),

wo \operatorname(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- hyperbolischer Kosinus, a \operatorname(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) hyperbolischer Sinus.

In der Tat erhalten wir durch Einsetzen der Koordinatenausdrücke in Gleichung (3.50) die hyperbolische Hauptidentität \operatorname(ch)^2t-\operatorname(sh)^2t=1.

Beispiel 3.21. Zeichne eine Übertreibung \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 im kanonischen Koordinatensystem Oxy . Finden Sie Halbachsen, Brennweite, Exzentrizität, Fokusparameter, Asymptotengleichungen und Leitlinien.

Entscheidung. Indem wir die gegebene Gleichung mit der kanonischen vergleichen, bestimmen wir die Halbachsen: a=2 - reelle Halbachse, b=3 - imaginäre Halbachse der Hyperbel. Wir bauen das Hauptrechteck mit den Seiten 2a=4,~2b=6 im Ursprung zentriert (Abb.3.44). Wir zeichnen Asymptoten, indem wir die Diagonalen des Hauptrechtecks ​​verlängern. Wir bauen eine Hyperbel unter Berücksichtigung ihrer Symmetrie um die Koordinatenachsen. Bei Bedarf bestimmen wir die Koordinaten einiger Punkte der Hyperbel. Wenn wir zum Beispiel x=4 in die Hyperbelgleichung einsetzen, erhalten wir

\frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3).

Daher gehören die Punkte mit den Koordinaten (4;3\sqrt(3)) und (4;-3\sqrt(3)) zur Hyperbel. Brennweite berechnen

2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13)

Exzentrizität e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); Fokusparameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Wir bilden die Gleichungen der Asymptoten y=\pm\frac(b)(a)\,x, also y=\pm\frac(3)(2)\,x, und Directrix-Gleichungen: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)).

Für den Rest der Leser schlage ich vor, ihr Schulwissen über Parabel und Hyperbel erheblich aufzufüllen. Hyperbel und Parabel - ist es einfach? … Warte nicht =)

Hyperbel und ihre kanonische Gleichung

Die allgemeine Struktur der Präsentation des Materials wird dem vorherigen Absatz ähneln. Beginnen wir mit dem allgemeinen Konzept einer Hyperbel und dem Problem ihrer Konstruktion.

Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form , wobei positive reelle Zahlen sind. Beachten Sie, dass im Gegensatz zu Ellipse, wird die Bedingung hier nicht auferlegt, das heißt, der Wert von "a" kann kleiner sein als der Wert von "be".

Ich muss sagen, ganz unerwartet ... die Gleichung der "Schule"-Hyperbel ähnelt nicht einmal annähernd der kanonischen Aufzeichnung. Aber dieses Rätsel wird noch auf uns warten müssen, aber kratzen wir uns erst einmal am Hinterkopf und erinnern uns, welche charakteristischen Merkmale die betrachtete Kurve hat? Lassen Sie es uns auf dem Bildschirm unserer Vorstellungskraft verbreiten Funktionsgraph ….

Eine Hyperbel hat zwei symmetrische Äste.

Gute Fortschritte! Jede Übertreibung hat diese Eigenschaften, und jetzt werden wir mit echter Bewunderung den Ausschnitt dieser Linie betrachten:

Beispiel 4

Konstruieren Sie eine durch die Gleichung gegebene Hyperbel

Entscheidung: Im ersten Schritt bringen wir diese Gleichung auf die kanonische Form . Bitte denken Sie an den typischen Ablauf. Auf der rechten Seite müssen Sie eine „Eins“ erhalten, also teilen wir beide Teile der ursprünglichen Gleichung durch 20:

Hier können Sie beide Fraktionen reduzieren, aber es ist optimaler, jede von ihnen zu machen dreistöckig:

Und erst danach, um die Reduktion durchzuführen:

Wir wählen die Quadrate in den Nennern aus:

Warum ist es besser, Transformationen auf diese Weise durchzuführen? Immerhin können die Brüche der linken Seite sofort reduziert und erhalten werden. Tatsache ist, dass wir in dem betrachteten Beispiel etwas Glück hatten: Die Zahl 20 ist sowohl durch 4 als auch durch 5 teilbar. Im allgemeinen Fall funktioniert eine solche Zahl nicht. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung . Hier ist mit der Teilbarkeit alles trauriger und ohne dreistöckige Fraktionen nicht mehr gebraucht:

Nutzen wir also die Frucht unserer Arbeit – die kanonische Gleichung:

Wie baut man eine Übertreibung?

Es gibt zwei Ansätze zum Konstruieren einer Hyperbel - geometrisch und algebraisch.
Aus praktischer Sicht ist das Zeichnen mit dem Zirkel ... ich würde sogar sagen, utopisch, da ist es viel rentabler, wieder einfache Berechnungen zur Rettung zu bringen.

Es ist ratsam, sich an folgenden Algorithmus zu halten, zuerst die fertige Zeichnung, dann die Kommentare:

In der Praxis trifft man häufig auf eine Kombination aus Drehung um einen beliebigen Winkel und Parallelverschiebung einer Hyperbel. Diese Situation wird im Unterricht besprochen. Reduktion der Liniengleichung 2. Ordnung auf die kanonische Form.

Parabel und ihre kanonische Gleichung

Es ist fertig! Sie ist am meisten. Bereit, viele Geheimnisse zu enthüllen. Die kanonische Gleichung einer Parabel hat die Form , wobei eine reelle Zahl ist. Es ist leicht zu erkennen, dass die Parabel in ihrer Standardposition "auf der Seite liegt" und ihr Scheitelpunkt im Ursprung liegt. In diesem Fall setzt die Funktion den oberen Zweig dieser Linie und die Funktion den unteren Zweig. Offensichtlich ist die Parabel symmetrisch zur Achse. Was soll man eigentlich baden:

Beispiel 6

Baue eine Parabel

Entscheidung: Der Scheitelpunkt ist bekannt, suchen wir weitere Punkte. Die gleichung bestimmt den oberen Bogen der Parabel, die Gleichung bestimmt den unteren Bogen.

Um den Rekord zu verkürzen, führen wir Berechnungen „unter einem Pinsel“ durch:

Zur kompakten Schreibweise könnten die Ergebnisse in einer Tabelle zusammengefasst werden.

Bevor wir eine elementare Punkt-für-Punkt-Zeichnung durchführen, formulieren wir eine strikte

Definition einer Parabel:

Eine Parabel ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt und einer gegebenen Geraden, die nicht durch den Punkt geht, gleich weit entfernt sind.

Der Punkt wird aufgerufen Fokus Parabeln, gerade Linie Schulleiterin (mit einem "es" geschrieben) Parabeln. Die Konstante "pe" der kanonischen Gleichung heißt Fokusparameter, was gleich dem Abstand vom Fokus zur Leitlinie ist. BEIM dieser Fall. In diesem Fall hat der Fokus Koordinaten und die Leitlinie wird durch die Gleichung angegeben.
In unserem Beispiel:

Die Definition einer Parabel ist noch einfacher zu verstehen als die Definitionen einer Ellipse und einer Hyperbel. Für jeden Punkt der Parabel ist die Länge des Segments (der Abstand vom Brennpunkt zum Punkt) gleich der Länge der Senkrechten (der Abstand vom Punkt zur Leitlinie):

Herzliche Glückwünsche! Viele von Ihnen haben heute eine echte Entdeckung gemacht. Es stellt sich heraus, dass Hyperbel und Parabel keineswegs Graphen "gewöhnlicher" Funktionen sind, sondern einen ausgeprägten geometrischen Ursprung haben.

Offensichtlich werden sich die Zweige des Diagramms mit einer Erhöhung des Fokusparameters nach oben und unten „ausbreiten“ und sich der Achse unendlich nahe nähern. Mit einer Abnahme des Wertes von "pe" beginnen sie, entlang der Achse zu schrumpfen und sich zu dehnen

Die Exzentrizität jeder Parabel ist gleich eins:

Rotation und Translation einer Parabel

Die Parabel ist eine der häufigsten Geraden in der Mathematik, und Sie werden sie wirklich oft bauen müssen. Achten Sie daher bitte besonders auf den letzten Absatz der Lektion, in dem ich die typischen Optionen für die Position dieser Kurve analysieren werde.

! Notiz : Wie in den Fällen mit den vorherigen Kurven ist es richtiger, über die Drehung und Parallelverschiebung der Koordinatenachsen zu sprechen, aber der Autor wird sich auf eine vereinfachte Version der Darstellung beschränken, damit der Leser eine elementare Vorstellung davon hat ​\u200b\u200bdiese Transformationen.

Definition. Die Hyperbel ist der Ort der Punkte in der Ebene y, der Absolutwert der Differenz der Abstände von jedem von zwei gegebenen Punkten dieser Ebene, genannt Brennpunkte, y hat einen konstanten Wert, vorausgesetzt, dass dieser Wert nicht gleich ist Null und ist kleiner als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Lassen Sie uns den Abstand zwischen den Brennpunkten als einen konstanten Wert bezeichnen, der gleich dem Betrag der Differenz zwischen den Abständen von jedem Punkt der Hyperbel zu den Brennpunkten ist, durch (durch Bedingung ). Wie bei einer Ellipse ziehen wir die Abszissenachse durch die Brennpunkte und nehmen die Segmentmitte als Ursprung (siehe Abb. 44). Brennpunkte in einem solchen System haben Koordinaten Lassen Sie uns die Gleichung der Hyperbel im gewählten Koordinatensystem ableiten. Per Definition einer Hyperbel haben wir für jeden ihrer Punkte oder

Aber . Daher bekommen wir

Nach ähnlichen Vereinfachungen wie bei der Ableitung der Ellipsengleichung erhalten wir die folgende Gleichung:

was eine Folge von Gleichung (33) ist.

Es ist leicht zu erkennen, dass diese Gleichung mit der für eine Ellipse erhaltenen Gleichung (27) übereinstimmt. In Gleichung (34) ist jedoch die Differenz , da für die Hyperbel . Deshalb setzen wir

Dann wird Gleichung (34) auf die folgende Form reduziert:

Diese Gleichung wird die kanonische Gleichung der Hyperbel genannt. Gleichung (36) wird als Folge von Gleichung (33) durch die Koordinaten jedes Punktes der Hyperbel erfüllt. Es kann gezeigt werden, dass die Koordinaten von Punkten, die nicht auf der Hyperbel liegen, die Gleichung (36) nicht erfüllen.

Lassen Sie uns die Form der Hyperbel unter Verwendung ihrer kanonischen Gleichung aufstellen. Diese Gleichung enthält nur gerade Potenzen der aktuellen Koordinaten. Folglich hat die Hyperbel zwei Symmetrieachsen, die in diesem Fall mit den Koordinatenachsen zusammenfallen. Im Folgenden werden die Symmetrieachsen der Hyperbel als Achsen der Hyperbel und deren Schnittpunkt als Mittelpunkt der Hyperbel bezeichnet. Die Achse der Hyperbel, auf der sich die Brennpunkte befinden, wird als Brennachse bezeichnet. Wir untersuchen die Form der Hyperbel im ersten Viertel, wo

Hier, weil y sonst imaginäre Werte annehmen würde. Wenn x von a auf zunimmt, steigt es von 0 auf an. Der Teil der Hyperbel, der im ersten Viertel liegt, wird der in Abb. 47.

Da die Hyperbel symmetrisch zu den Koordinatenachsen liegt, hat diese Kurve die in Abb. 47.

Die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Brennachse heißen ihre Scheitelpunkte. Unter der Annahme in der Hyperbelgleichung finden wir die Abszissen ihrer Eckpunkte: . Die Hyperbel hat also zwei Ecken: . Die Hyperbel schneidet die y-Achse nicht. Tatsächlich erhalten wir durch Einsetzen der Hyperbelgleichung imaginäre Werte für y: . Daher wird die Brennachse der Hyperbel als reelle Achse und die Symmetrieachse senkrecht zur Brennachse als imaginäre Achse der Hyperbel bezeichnet.

Die reelle Achse wird auch das Segment genannt, das die Scheitelpunkte der Hyperbel verbindet, und ihre Länge beträgt 2a. Das die Punkte verbindende Segment (siehe Abb. 47) sowie seine Länge werden als imaginäre Achse der Hyperbel bezeichnet. Die Zahlen a und b heißen die reelle bzw. imaginäre Halbachse der Hyperbel.

Betrachten Sie nun eine Hyperbel, die sich im ersten Quadranten befindet und der Graph der Funktion ist

Zeigen wir, dass die Punkte dieses Graphen, die sich in ausreichend großem Abstand vom Ursprung befinden, beliebig nahe an der Geraden liegen

durch den Ursprung gehen und eine Steigung haben

Betrachten Sie dazu zwei Punkte, die die gleiche Abszisse haben und jeweils auf der Kurve (37) und der Geraden (38) liegen (Abb. 48), und bilden Sie die Differenz zwischen den Ordinaten dieser Punkte

Der Zähler dieses Bruchs ist ein konstanter Wert, und der Nenner wächst unbegrenzt mit einer unbegrenzten Zunahme. Daher tendiert die Differenz gegen Null, d. h. die Punkte M und N nähern sich unbegrenzt mit einer unbegrenzten Zunahme der Abszisse an.

Aus der Symmetrie der Hyperbel bezüglich der Koordinatenachsen folgt, dass es eine weitere Gerade gibt, der die Punkte der Hyperbel in beliebiger Entfernung vom Ursprung beliebig nahe sind. Direkte

heißen Asymptoten der Hyperbel.

Auf Abb. 49 zeigt die relative Position der Hyperbel und ihrer Asymptoten. Diese Abbildung zeigt auch, wie man die Asymptoten der Hyperbel konstruiert.

Konstruieren Sie dazu ein Rechteck, das im Ursprung zentriert ist und dessen Seiten parallel zu den Achsen bzw. gleich sind. Dieses Rechteck wird als Hauptrechteck bezeichnet. Jede ihrer in beide Richtungen unendlich ausgedehnten Diagonalen ist eine Asymptote einer Hyperbel. Vor dem Konstruieren einer Hyperbel wird empfohlen, ihre Asymptoten zu konstruieren.

Das Verhältnis des halben Abstands zwischen den Brennpunkten zur reellen Halbachse der Hyperbel wird als Exzentrizität der Hyperbel bezeichnet und üblicherweise mit dem Buchstaben bezeichnet:

Denn bei einer Hyperbel ist die Exzentrizität der Hyperbel größer als eins: Die Exzentrizität charakterisiert die Form der Hyperbel

Tatsächlich folgt aus Formel (35), dass . Dies zeigt, dass je kleiner die Exzentrizität der Hyperbel ist,

je kleiner das Verhältnis - seiner Halbachsen. Aber die Beziehung - bestimmt die Form des Hauptrechtecks ​​der Hyperbel und damit die Form der Hyperbel selbst. Je kleiner die Exzentrizität der Hyperbel ist, desto ausgedehnter ist ihr Hauptrechteck (in Richtung der Brennachse).

Hyperbel und Parabel

Kommen wir zum zweiten Teil des Artikels. über Linien zweiter Ordnung, gewidmet zwei anderen gemeinsamen Kurven - Hyperbel und Parabel. Wenn Sie über eine Suchmaschine auf diese Seite gekommen sind oder noch keine Zeit hatten, durch das Thema zu navigieren, empfehle ich Ihnen, zuerst den ersten Abschnitt der Lektion zu studieren, in dem wir nicht nur die wichtigsten theoretischen Punkte untersucht, sondern uns auch kennengelernt haben mit Ellipse. Für den Rest der Leser schlage ich vor, ihr Schulwissen über Parabel und Hyperbel erheblich aufzufüllen. Hyperbel und Parabel - ist es einfach? … Warte nicht =)

Hyperbel und ihre kanonische Gleichung

Die allgemeine Struktur der Präsentation des Materials wird dem vorherigen Absatz ähneln. Beginnen wir mit dem allgemeinen Konzept einer Hyperbel und dem Problem ihrer Konstruktion.

Die kanonische Gleichung einer Hyperbel hat die Form , wobei positive reelle Zahlen sind. Beachten Sie, dass im Gegensatz zu Ellipse, wird die Bedingung hier nicht auferlegt, das heißt, der Wert von "a" kann kleiner sein als der Wert von "be".

Ich muss sagen, ganz unerwartet ... die Gleichung der "Schule"-Hyperbel ähnelt nicht einmal annähernd der kanonischen Aufzeichnung. Aber dieses Rätsel wird noch auf uns warten müssen, aber kratzen wir uns erst einmal am Hinterkopf und erinnern uns, welche charakteristischen Merkmale die betrachtete Kurve hat? Lassen Sie es uns auf dem Bildschirm unserer Vorstellungskraft verbreiten Funktionsgraph ….

Eine Hyperbel hat zwei symmetrische Äste.

Die Übertreibung hat zwei Asymptoten.

Gute Fortschritte! Jede Übertreibung hat diese Eigenschaften, und jetzt werden wir mit echter Bewunderung den Ausschnitt dieser Linie betrachten:

Beispiel 4

Konstruieren Sie eine durch die Gleichung gegebene Hyperbel

Entscheidung: Im ersten Schritt bringen wir diese Gleichung auf die kanonische Form . Bitte denken Sie an den typischen Ablauf. Auf der rechten Seite müssen Sie eine „Eins“ erhalten, also teilen wir beide Teile der ursprünglichen Gleichung durch 20:

Hier können Sie beide Fraktionen reduzieren, aber es ist optimaler, jede von ihnen zu machen dreistöckig:

Und erst danach, um die Reduktion durchzuführen:

Wir wählen die Quadrate in den Nennern aus:

Warum ist es besser, Transformationen auf diese Weise durchzuführen? Immerhin können die Brüche der linken Seite sofort reduziert und erhalten werden. Tatsache ist, dass wir in dem betrachteten Beispiel etwas Glück hatten: Die Zahl 20 ist sowohl durch 4 als auch durch 5 teilbar. Im allgemeinen Fall funktioniert eine solche Zahl nicht. Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung . Hier ist mit der Teilbarkeit alles trauriger und ohne dreistöckige Fraktionen nicht mehr gebraucht:

Nutzen wir also die Frucht unserer Arbeit – die kanonische Gleichung:

Wie baut man eine Übertreibung?

Es gibt zwei Ansätze zum Konstruieren einer Hyperbel - geometrisch und algebraisch.
Aus praktischer Sicht ist das Zeichnen mit dem Zirkel ... ich würde sogar sagen, utopisch, da ist es viel rentabler, wieder einfache Berechnungen zur Rettung zu bringen.

Es ist ratsam, sich an folgenden Algorithmus zu halten, zuerst die fertige Zeichnung, dann die Kommentare:

1) Zunächst einmal finden wir Asymptoten. Wenn die Hyperbel durch die kanonische Gleichung gegeben ist, dann sind ihre Asymptoten gerade . In unserem Fall: . Dieser Artikel wird benötigt! Dies ist ein grundlegendes Merkmal der Zeichnung, und es wäre ein grober Fehler, wenn die Äste der Hyperbel über ihre Asymptoten hinaus „herauskriechen“.

2) Jetzt finden wir zwei Ecken einer Hyperbel, die an Punkten auf der x-Achse liegen . Es wird elementar abgeleitet: Wenn , dann wird die kanonische Gleichung zu , woraus folgt, dass . Die betrachtete Hyperbel hat Ecken

3) Wir suchen nach zusätzlichen Punkten. Normalerweise reichen 2-3 aus. In der kanonischen Position ist die Hyperbel symmetrisch zum Ursprung und zu beiden Koordinatenachsen, sodass es ausreicht, Berechnungen für das 1. Koordinatenviertel durchzuführen. Die Technik ist genau die gleiche wie beim Bau Ellipse. Aus der kanonischen Gleichung auf dem Entwurf drücken wir aus:

Die Gleichung zerfällt in zwei Funktionen:
- definiert die oberen Bögen der Hyperbel (was wir brauchen);
- definiert die unteren Bögen der Hyperbel.

Es schlägt vor, Punkte mit Abszissen zu finden:

4) Zeichnen Sie die Asymptoten in die Zeichnung ein , Eckpunkte , zusätzliche und symmetrische Punkte in anderen Koordinatenvierteln. Wir verbinden sorgfältig die entsprechenden Punkte an jedem Ast der Hyperbel:

Bei einem Irrationalen kann es zu technischen Schwierigkeiten kommen Neigungsfaktor, aber das ist ein völlig überwindbares Problem.

Liniensegment namens echte Achse Hyperbel,
seine Länge - der Abstand zwischen den Eckpunkten;
Anzahl namens echte Halbachse Hyperbel;
Anzahl – imaginäre Achse.

In unserem Beispiel: , und natürlich, wenn die gegebene Hyperbel um das Symmetriezentrum gedreht und/oder verschoben wird, dann diese Werte wird sich nicht ändern.

Definition einer Hyperbel. Brennpunkte und Exzentrizität

In einer Übertreibung genauso wie in Ellipse, gibt es zwei singuläre Punkte , die aufgerufen werden Tricks. Ich habe es nicht gesagt, aber für den Fall, dass plötzlich jemand falsch versteht: Das Symmetriezentrum und die Fokuspunkte gehören natürlich nicht zu den Kurven.

Auch das allgemeine Konzept der Definition ist ähnlich:

Hyperbel ist die Menge aller Punkte in der Ebene, Absolutwert die Differenz der Abstände zu jedem von zwei gegebenen Punkten ist ein konstanter Wert, der numerisch gleich dem Abstand zwischen den Scheitelpunkten dieser Hyperbel ist: . In diesem Fall überschreitet der Abstand zwischen den Brennpunkten die Länge der reellen Achse: .

Wenn die Hyperbel durch die kanonische Gleichung gegeben ist, dann Abstand vom Symmetriezentrum zu jedem der Brennpunkte berechnet nach der Formel: .
Und dementsprechend haben Fokusse Koordinaten .

Für die untersuchte Hyperbel:

Gehen wir die Definition durch. Bezeichnen Sie durch die Entfernungen von den Brennpunkten zu einem beliebigen Punkt der Hyperbel:

Bewegen Sie zuerst den blauen Punkt im Geist entlang des rechten Zweigs der Hyperbel - wo immer wir sind, Modul(Absolutwert) ist der Unterschied zwischen den Längen der Segmente gleich:

Wird der Punkt auf den linken Ast "geworfen" und dort verschoben, dann bleibt dieser Wert unverändert.

Das Vorzeichen des Moduls wird benötigt, da die Längendifferenz positiv oder negativ sein kann. Übrigens für jeden Punkt auf dem rechten Ast (weil das Segment kürzer ist als das Segment ). Für jeden Punkt des linken Astes ist die Situation genau umgekehrt und .

Darüber hinaus spielt es angesichts der offensichtlichen Eigenschaft des Moduls keine Rolle, was von was subtrahiert wird.

Stellen wir sicher, dass in unserem Beispiel der Betrag dieser Differenz wirklich gleich dem Abstand zwischen den Scheitelpunkten ist. Setzen Sie im Geiste einen Punkt auf den rechten Scheitelpunkt der Hyperbel. Dann: , was überprüft werden sollte.