Eine Figur ist eine beliebige Menge von Punkten auf einer Ebene. Ein Punkt, eine Linie, ein Liniensegment, ein Strahl, ein Dreieck, ein Kreis, ein Quadrat usw. sind Beispiele für geometrische Formen.

Die wichtigsten geometrischen Figuren in der Ebene sind der Punkt und die Linie. Diese Figuren in der Geometrie werden nicht definiert.

Undefinierbare geometrische Figuren in der Ebene sind ein Punkt und eine Linie.

Es ist üblich, Punkte in lateinischen Großbuchstaben zu bezeichnen: A, B, C, D .... Gerade Linien werden mit lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnet: a, b, c, d ....

Durch Planimetrie untersuchte Figuren:

3. Parallelogramm (Sonderfälle: Quadrat, Rechteck, Raute)

4. Trapez

5. Kreis

6. Dreieck

7. Polygon

In Geometrie, Topologie und verwandten Zweigen der Mathematik ist ein Punkt ein abstraktes Objekt im Raum, das weder Volumen noch Fläche noch Länge oder andere ähnliche Eigenschaften großer Dimensionen hat. Daher wird ein nulldimensionales Objekt als Punkt bezeichnet. Der Punkt ist eines der grundlegenden Konzepte in der Mathematik.

Ein Punkt ist eines der grundlegenden Konzepte der Geometrie, daher hat „Punkt“ keine Definition. Euklid definierte einen Punkt als etwas, das nicht geteilt werden kann.

Auch in der Geometrie gibt es keine Definition von "gerade Linie" (gemeint ist eine gerade Linie).

Die Gerade ist eines der Grundkonzepte der Geometrie.

Eine geometrische Gerade (Gerade) ist ein beidseitig nicht geschlossenes, ausgedehntes, nicht gekrümmtes geometrisches Objekt, dessen Querschnitt gegen Null geht und dessen Längsprojektion auf die Ebene einen Punkt ergibt.

Bei einer systematischen Darstellung der Geometrie wird meist eine Gerade als einer der Ausgangsbegriffe genommen, die nur indirekt durch die Axiome der Geometrie bestimmt wird.

Wenn die Grundlage für die Konstruktion von Geometrie das Konzept der Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum ist, dann kann eine gerade Linie als eine Linie definiert werden, entlang der der Weg gleich der Entfernung zwischen zwei Punkten ist.

3) Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind, d. h. auf parallelen Linien liegen. Sonderfälle eines Parallelogramms sind ein Rechteck, ein Quadrat und eine Raute.

Spezialfälle:

Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck oder eine Raute, in dem alle Winkel gleich sind, oder ein Parallelogramm, in dem alle Seiten und Winkel gleich sind.

Ein Quadrat kann definiert werden als:

ein Rechteck, bei dem zwei benachbarte Seiten gleich sind

§ Eine Raute mit allen rechten Winkeln (jedes Quadrat ist eine Raute, aber nicht jede Raute ist ein Quadrat).

Ein Rechteck ist ein Parallelogramm, bei dem alle Winkel rechte Winkel (gleich 90 Grad) sind.

Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind. Eine Raute mit rechten Winkeln heißt Quadrat.

4) Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck mit genau einem Paar gegenüberliegender paralleler Seiten.

Manchmal wird ein Trapez als ein Viereck definiert, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind (die andere ist nicht angegeben). In diesem Fall ist ein Parallelogramm ein Sonderfall eines Trapezes. Insbesondere gibt es ein Konzept als krummliniges Trapez.

Rechteckiges Trapez

5) Kreis

Ein Kreis ist ein Ort von Punkten in einer Ebene, die von einem gegebenen Punkt, genannt Mittelpunkt, in einem gegebenen Abstand ungleich Null, genannt Radius, gleich weit entfernt sind.

6) Dreieck

Ein Dreieck ist das einfachste Polygon mit 3 Ecken (Winkel) und 3 Seiten; ein Teil einer Ebene, die von drei Punkten und drei Liniensegmenten begrenzt wird, die diese Punkte paarweise verbinden.

Liegen alle drei Punkte eines Dreiecks auf derselben Geraden, spricht man von entartet.

7) Polygon

Ein Polygon ist eine geometrische Figur, die als geschlossene unterbrochene Linie definiert ist. Es gibt drei verschiedene Definitionen:

§ Flache geschlossene unterbrochene Linien;

§ Flache geschlossene unterbrochene Linien ohne Selbstüberschneidungen;

§ Teile der Ebene, die durch unterbrochene Linien begrenzt sind.

Die Eckpunkte der Polylinie werden als Eckpunkte des Polygons bezeichnet, und die Segmente werden als Seiten des Polygons bezeichnet.

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§ein. Testfragen
Frage 1. Nennen Sie Beispiele für geometrische Formen.
Antworten. Beispiele für geometrische Formen: Dreieck, Quadrat, Kreis.

Frage 2. Nennen Sie die geometrischen Grundformen in der Ebene.
Antworten. Die wichtigsten geometrischen Figuren in der Ebene sind der Punkt und die Linie.

Frage 3. Wie werden Punkte und Linien definiert?
Antworten. Punkte werden durch lateinische Großbuchstaben gekennzeichnet: A, B, C, D, .... Gerade Linien werden mit lateinischen Kleinbuchstaben bezeichnet: a, b, c, d, ....
Eine Linie kann durch zwei darauf liegende Punkte bezeichnet werden. Zum Beispiel könnte Zeile a in Abbildung 4 mit AC bezeichnet werden und Zeile b könnte mit BC bezeichnet werden.

Frage 4. Formulieren Sie die grundlegenden Eigenschaften der Zugehörigkeit von Punkten und Linien.
Antworten. Was auch immer die Linie ist, es gibt Punkte, die zu dieser Linie gehören, und Punkte, die nicht dazu gehören.
Durch zwei beliebige Punkte können Sie eine Linie ziehen, und nur eine.
Frage 5. Erklären Sie, was eine Strecke ist, die an gegebenen Punkten endet.
Antworten. Eine Strecke ist ein Teil einer Geraden, der aus allen Punkten dieser Geraden besteht, die zwischen zwei gegebenen Punkten davon liegen. Diese Punkte werden die Enden des Segments genannt. Ein Segment wird durch Angabe seiner Enden gekennzeichnet. Wenn sie sagen oder schreiben: "Segment AB", meinen sie ein Segment, das an den Punkten A und B endet.

Frage 6. Formulieren Sie die Haupteigenschaft der Lage von Punkten auf einer Geraden.
Antworten. Von den drei Punkten auf einer Geraden liegt nur einer zwischen den beiden anderen.
Frage 7. Formulieren Sie die wesentlichen Eigenschaften von Messstrecken.
Antworten. Jedes Segment hat eine bestimmte Länge größer als Null. Die Länge eines Segments ist gleich der Summe der Längen der Teile, in die es durch einen seiner Punkte geteilt wird.
Frage 8. Wie groß ist der Abstand zwischen zwei gegebenen Punkten?
Antworten. Die Länge der Strecke AB wird als Abstand zwischen den Punkten A und B bezeichnet.
Frage 9. Was sind die Eigenschaften der Teilung einer Ebene in zwei Halbebenen?
Antworten. Die Aufteilung einer Ebene in zwei Halbebenen hat die folgende Eigenschaft. Wenn die Enden eines Segments zu derselben Halbebene gehören, schneidet das Segment die Linie nicht. Wenn die Endpunkte eines Segments zu verschiedenen Halbebenen gehören, dann schneidet das Segment die Linie.

Geometrische Figuren sind ein Komplex aus Punkten, Linien, Körpern oder Flächen. Diese Elemente können sich sowohl in der Ebene als auch im Raum befinden und eine endliche Anzahl von Linien bilden.

Der Begriff "Figur" bedeutet mehrere Punktesätze. Sie müssen sich auf einer oder mehreren Ebenen befinden und gleichzeitig auf eine bestimmte Anzahl abgeschlossener Linien beschränkt sein.

Die wichtigsten geometrischen Figuren sind der Punkt und die Linie. Sie sind flach. Darüber hinaus werden unter einfachen Figuren ein Strahl, eine unterbrochene Linie und ein Segment unterschieden.

Punkt

Dies ist eine der Hauptfiguren der Geometrie. Es ist sehr klein, aber es wird immer verwendet, um verschiedene Formen in einem Flugzeug zu bauen. Der Punkt ist die Hauptfigur für absolut alle Konstruktionen, auch für die höchste Komplexität. In der Geometrie wird es normalerweise mit einem Buchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet, zum Beispiel A, B, K, L.

Aus mathematischer Sicht ist ein Punkt ein abstraktes räumliches Objekt, das keine Eigenschaften wie Fläche, Volumen hat, aber gleichzeitig ein grundlegendes Konzept in der Geometrie bleibt. Dieses nulldimensionale Objekt hat einfach keine Definition.

Gerade

Diese Figur ist vollständig in einer Ebene platziert. Die gerade Linie hat keine bestimmte mathematische Definition, da sie aus einer großen Anzahl von Punkten besteht, die sich auf einer endlosen Linie befinden, die keine Grenzen und Grenzen hat.

Es gibt auch einen Schnitt. Das ist auch eine gerade Linie, aber sie beginnt und endet mit einem Punkt, was bedeutet, dass sie geometrische Beschränkungen hat.

Außerdem kann die Linie zu einem Richtstrahl werden. Dies geschieht, wenn die Linie an einem Punkt beginnt, aber kein klares Ende hat. Wenn Sie einen Punkt in die Mitte der Linie setzen, wird er in zwei (zusätzliche) Strahlen geteilt, die außerdem entgegengesetzt zueinander gerichtet sind.

Mehrere Segmente, die nacheinander durch Enden an einem gemeinsamen Punkt miteinander verbunden sind und sich nicht auf derselben geraden Linie befinden, werden üblicherweise als unterbrochene Linie bezeichnet.

Injektion

Geometrische Formen, deren Namen wir oben besprochen haben, gelten als Schlüsselelemente, die bei der Konstruktion komplexerer Modelle verwendet werden.

Winkel ist eine Konstruktion, die aus einem Scheitelpunkt und zwei Strahlen besteht, die daraus hervorgehen. Das heißt, die Seiten dieser Figur sind an einem Punkt verbunden.

Ebene

Betrachten Sie ein anderes primäres Konzept. Eine Ebene ist eine Figur, die weder Ende noch Anfang hat, sowie eine gerade Linie und einen Punkt. Bei der Betrachtung dieses geometrischen Elements wird nur ein Teil davon, begrenzt durch die Konturen einer unterbrochenen geschlossenen Linie, berücksichtigt.

Jede glatte begrenzte Fläche kann als Ebene betrachtet werden. Es könnte ein Bügelbrett, ein Blatt Papier oder sogar eine Tür sein.

Vierecke

Ein Parallelogramm ist eine geometrische Figur, deren gegenüberliegende Seiten paarweise parallel zueinander sind. Unter den privaten Typen dieses Designs werden eine Raute, ein Rechteck und ein Quadrat unterschieden.

Ein Rechteck ist ein Parallelogramm, bei dem sich alle Seiten im rechten Winkel berühren.

Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichen Seiten und Winkeln.

Eine Raute ist eine Figur, bei der alle Flächen gleich sind. In diesem Fall können die Winkel völlig unterschiedlich sein, jedoch paarweise. Jedes Quadrat wird als Raute betrachtet. Aber in umgekehrter Richtung funktioniert diese Regel nicht immer. Nicht jede Raute ist ein Quadrat.

Trapez

Geometrische Formen sind völlig anders und skurril. Jeder von ihnen hat eine einzigartige Form und Eigenschaften.

Ein Trapez ist eine Figur, die einem Viereck etwas ähnlich ist. Es hat zwei parallele gegenüberliegende Seiten und gilt als krummlinig.

Ein Kreis

Diese geometrische Figur impliziert die Lage auf derselben Ebene von Punkten, die von ihrem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. In diesem Fall wird ein bestimmtes Nicht-Null-Segment normalerweise als Radius bezeichnet.

Dreieck

Dies ist eine einfache geometrische Figur, die sehr oft anzutreffen und zu studieren ist.

Ein Dreieck wird als Unterart eines Polygons betrachtet, das sich auf derselben Ebene befindet und durch drei Flächen und drei Kontaktpunkte begrenzt ist. Diese Elemente sind paarweise verbunden.

Vieleck

Die Eckpunkte der Polygone sind die Punkte, die die Segmente verbinden. Und diese wiederum gelten als Parteien.

Volumetrische geometrische Formen

• Prisma;
• Kugel;
• Kegel;
• Zylinder;
• Pyramide;

Diese Körper haben etwas gemeinsam. Alle sind auf eine geschlossene Fläche beschränkt, in der sich viele Punkte befinden.

Volumetrische Körper werden nicht nur in der Geometrie, sondern auch in der Kristallographie untersucht.

Kuriose Fakten

Sicherlich werden Sie daran interessiert sein, die nachstehenden Informationen zu lesen.

• Die Geometrie wurde in der Antike als Wissenschaft entwickelt. Dieses Phänomen ist normalerweise mit der Entwicklung von Kunst und verschiedenen Handwerken verbunden. Und die Namen geometrischer Formen weisen auf die Verwendung der Prinzipien zur Bestimmung von Ähnlichkeit und Ähnlichkeit hin.
• Aus dem Altgriechischen übersetzt bedeutet der Begriff "Trapez" einen Tisch für eine Mahlzeit.
• Nimmt man verschiedene Figuren mit gleichem Umfang, dann hat der Kreis garantiert die größte Fläche.
• Aus dem Griechischen übersetzt bedeutet der Begriff „Kegel“ einen Tannenzapfen.
• Es gibt ein berühmtes Gemälde von Kasemir Malewitsch, das seit dem letzten Jahrhundert die Aufmerksamkeit vieler Maler auf sich gezogen hat. Das Werk "Black Square" war schon immer mystisch und geheimnisvoll. Die geometrische Figur auf weißer Leinwand begeistert und verblüfft zugleich.

Es gibt eine große Anzahl geometrischer Formen. Alle unterscheiden sich in Parametern und überraschen manchmal sogar mit Formen.

1. Das Konzept einer geometrischen Figur.

3. Parallele und senkrechte Linien.

4. Dreiecke.

5. Vierecke.

6. Vielecke.

7. Kreis und Kreis.

8. Konstruktion geometrischer Figuren in der Ebene.

9. Transformationen geometrischer Figuren. Konzept der Transformation

Hauptliteratur;

weiterführende Literatur

Das Konzept einer geometrischen Figur

Geometrische Figur definiert als eine beliebige Menge von Punkten.

Strecke, Gerade, Kreis, Kugel- geometrische Figuren.

Gehören alle Punkte einer geometrischen Figur zu derselben Ebene, so heißt sie Wohnung .

Zum Beispiel sind ein Segment, ein Rechteck flache Figuren. Es gibt Zahlen, die nicht flach sind. Das ist zum Beispiel ein Würfel, eine Kugel, eine Pyramide.

Da das Konzept einer geometrischen Figur durch das Konzept einer Menge definiert ist, können wir sagen, dass eine Figur in einer anderen enthalten ist (oder in einer anderen enthalten ist), wir können die Vereinigung, Schnittmenge und Differenz von Figuren betrachten.

Zum Beispiel, Vereinigung zweier Balken AB und MK(Abb. 1) ist eine gerade Linie KV, und ihre Schnittmenge ist ein Segment BIN.

K. A. M. V

Konvexe Figuren sind eine Ebene, eine Linie, ein Strahl, eine Strecke, ein Punkt. Es ist leicht zu verifizieren, dass eine konvexe Figur ein Kreis ist (Abb. 3). Wenn wir das Segment XY bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis fortsetzen, erhalten wir eine Sehne AB. Da die Sehne im Kreis enthalten ist, ist auch das Segment XY im Kreis enthalten und daher ist der Kreis eine konvexe Figur.

Für Polygone ist eine andere Definition bekannt: Ein Polygon heißt konvex, wenn es auf einer Seite jeder Linie liegt, die seine Seite enthält. .

Da die Äquivalenz dieser Definition und der oben für ein Polygon gegebenen erwiesen ist, können beide verwendet werden.

Basierend auf diesen Konzepten werden wir andere geometrische Formen betrachten, die im Planimetriekurs der Schule untersucht werden. Betrachten wir ihre Definitionen und grundlegenden Eigenschaften und akzeptieren sie ohne Beweis. Die Kenntnis dieses Materials und die Fähigkeit, es auf die Lösung einfacher geometrischer Probleme anzuwenden, ist die Grundlage, auf der Sie eine Methodik für den Unterricht in elementarer Geometrie für jüngere Schüler aufbauen können.

Ecken

Erinnere dich daran Ein Winkel ist eine geometrische Figur, die aus einem Punkt und zwei von diesem Punkt ausgehenden Strahlen besteht.

Die Strahlen werden die Seiten des Winkels genannt, und ihr gemeinsamer Anfang ist sein Scheitel.

Der Winkel wird auf unterschiedliche Weise bezeichnet: Geben Sie entweder seinen Scheitelpunkt oder seine Seiten oder drei Punkte an: den Scheitelpunkt und zwei Punkte auf den Seiten des Winkels: Ð A, Ð (k, l), Ð ABC.

Winkel heißt eingesetzt , wenn seine Seiten auf derselben Geraden liegen.

Ein Winkel, der ein halber gerader Winkel ist, wird genannt Direkte. Ein Winkel, der kleiner als ein rechter Winkel ist, heißt Scharf. Ein Winkel, der größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als ein gerader Winkel ist, wird als gerader Winkel bezeichnet dumm .

Zusätzlich zu dem oben angegebenen Begriff eines Winkels wird in der Geometrie der Begriff eines ebenen Winkels betrachtet.

Ein flacher Winkel ist ein Teil einer Ebene, die von zwei verschiedenen Strahlen begrenzt wird, die von demselben Punkt ausgehen.

Die in der Planimetrie berücksichtigten Winkel überschreiten nicht den Abwicklungswinkel.

Die beiden Ecken werden aufgerufen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen Seiten dieser Winkel komplementäre Halblinien sind.

Die Summe benachbarter Winkel ist 180°. Die Gültigkeit dieser Eigenschaft folgt aus der Definition benachbarter Winkel.

Die beiden Ecken werden aufgerufen vertikal, wenn die Seiten eines Winkels die komplementären Halblinien der Seiten des anderen sind. Die Winkel AOB und SOV sowie die Winkel AOC und D0B sind vertikal (Abb. 4).

2.1. Geometrische Figuren im Flugzeug

In den letzten Jahren gab es eine Tendenz, eine beträchtliche Menge an geometrischem Material in den Anfangskurs der Mathematik einzubeziehen. Aber um den Schülern verschiedene geometrische Formen näher bringen zu können, um ihnen beizubringen, wie man sie richtig darstellt, braucht er eine entsprechende mathematische Ausbildung. Die Lehrkraft soll mit den Leitgedanken des Geometriekurses vertraut sein, die Grundeigenschaften geometrischer Formen kennen und diese konstruieren können.

Bei der Darstellung einer flachen Figur gibt es keine geometrischen Probleme. Die Zeichnung dient entweder als exakte Kopie des Originals oder stellt eine ähnliche Figur dar. Betrachtet man das Bild eines Kreises in der Zeichnung, so erhält man den gleichen visuellen Eindruck, als würde man den ursprünglichen Kreis betrachten.

Daher beginnt das Studium der Geometrie mit der Planimetrie.

Planimetrie ist ein Zweig der Geometrie, der Figuren auf einer Ebene untersucht.

Eine geometrische Figur ist definiert als eine beliebige Menge von Punkten.

Segment, Linie, Kreis - geometrische Formen.

Gehören alle Punkte einer geometrischen Figur zu derselben Ebene, so heißt sie flach.

Zum Beispiel sind ein Segment, ein Rechteck flache Figuren.

Es gibt Zahlen, die nicht flach sind. Das ist zum Beispiel ein Würfel, eine Kugel, eine Pyramide.

Da das Konzept einer geometrischen Figur durch das Konzept einer Menge definiert ist, können wir sagen, dass eine Figur in einer anderen enthalten ist, wir können die Vereinigung, Schnittmenge und Differenz von Figuren betrachten.

Beispielsweise ist die Vereinigung zweier Strahlen AB und MK die Gerade KB, und ihr Schnittpunkt ist das Segment AM.

Es gibt konvexe und nicht-konvexe Figuren. Eine Figur heißt konvex, wenn sie neben zwei beliebigen ihrer Punkte auch eine sie verbindende Strecke enthält.

Figur F 1 ist konvex und Figur F 2 ist nicht konvex.

Konvexe Figuren sind eine Ebene, eine Linie, ein Strahl, eine Strecke, ein Punkt. Es ist leicht zu verifizieren, dass eine konvexe Figur ein Kreis ist.

Wenn wir das Segment XY bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis fortsetzen, erhalten wir die Sehne AB. Da die Sehne im Kreis enthalten ist, ist auch das Segment XY im Kreis enthalten, und daher ist der Kreis eine konvexe Figur.

Die Haupteigenschaften der einfachsten Figuren in der Ebene werden in den folgenden Axiomen ausgedrückt:

1. Was auch immer die Linie ist, es gibt Punkte, die zu dieser Linie gehören und nicht zu ihr gehören.

Durch zwei beliebige Punkte können Sie eine Linie ziehen, und nur eine.

Dieses Axiom drückt die Haupteigenschaft der Zugehörigkeit von Punkten und Linien zur Ebene aus.

2. Von den drei Punkten auf einer Geraden liegt nur einer zwischen den beiden anderen.

Dieses Axiom drückt die Haupteigenschaft der Lage von Punkten auf einer Linie aus.

3. Jedes Segment hat eine bestimmte Länge größer als Null. Die Länge eines Segments ist gleich der Summe der Längen der Teile, in die es durch einen seiner Punkte geteilt wird.

Offensichtlich drückt Axiom 3 die Haupteigenschaft der Messung von Segmenten aus.

Dieser Satz drückt die Haupteigenschaft der Lage von Punkten relativ zu einer geraden Linie in einer Ebene aus.

5. Jeder Winkel hat ein bestimmtes Gradmaß, größer als Null. Der erweiterte Winkel beträgt 180 o. Das Gradmaß eines Winkels ist gleich der Summe der Gradmaße der Winkel, in die er durch einen zwischen seinen Seiten verlaufenden Strahl geteilt wird.

Dieses Axiom drückt die grundlegende Eigenschaft der Winkelmessung aus.

6. Auf jeder Halblinie von ihrem Startpunkt aus kann ein Segment einer bestimmten Länge gezeichnet werden, und zwar nur eines.

7. Von jeder Halblinie in einer gegebenen Halbebene können Sie einen Winkel mit einem gegebenen Maß von weniger als 180° und nur einen Winkel beiseite legen.

Diese Axiome spiegeln die grundlegenden Eigenschaften des Ablegens von Winkeln und Segmenten wider.

Zu den Haupteigenschaften der einfachsten Figuren gehört die Existenz eines Dreiecks, das dem gegebenen entspricht.

8. Was auch immer das Dreieck ist, es gibt ein gleiches Dreieck an einem gegebenen Ort in Bezug auf eine gegebene Halblinie.

Die Haupteigenschaften paralleler Linien werden durch das folgende Axiom ausgedrückt.

9. Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, kann in der Ebene höchstens eine zur gegebenen Linie parallele Gerade gezogen werden.

Betrachten Sie einige geometrische Formen, die in der Grundschule gelernt werden.

Ein Winkel ist eine geometrische Figur, die aus einem Punkt und zwei von diesem Punkt ausgehenden Strahlen besteht. Die Strahlen werden die Seiten des Winkels genannt, und ihr gemeinsamer Anfang ist sein Scheitel.

Ein Winkel heißt gerade, wenn seine Seiten auf derselben Geraden liegen.

Ein Winkel, der ein halber gerader Winkel ist, wird als rechter Winkel bezeichnet. Ein Winkel, der kleiner als ein rechter Winkel ist, wird als spitzer Winkel bezeichnet. Ein Winkel, der größer als ein rechter Winkel, aber kleiner als ein gerader Winkel ist, wird als stumpfer Winkel bezeichnet.

Zusätzlich zu dem oben angegebenen Begriff eines Winkels wird in der Geometrie der Begriff eines ebenen Winkels betrachtet.

Eine flache Ecke ist ein Teil einer Ebene, die von zwei verschiedenen Strahlen begrenzt wird, die von demselben Punkt ausgehen.

Es gibt zwei flache Winkel, die von zwei Strahlen mit gemeinsamem Ursprung gebildet werden. Sie werden Extras genannt. Die Figur zeigt zwei flache Ecken mit den Seiten OA und OB, eine davon ist schattiert.

Ecken sind benachbart und vertikal.

Zwei Winkel heißen benachbart, wenn sie eine Seite gemeinsam haben und die anderen Seiten dieser Winkel komplementäre Halbgeraden sind.

Die Summe benachbarter Winkel beträgt 180 Grad.

Zwei Winkel heißen vertikal, wenn die Seiten des einen Winkels die komplementären Halblinien der Seiten des anderen sind.

Die AOD- und SOV-Winkel sowie die AOS- und DOV-Winkel sind vertikal.

Vertikale Winkel sind gleich.

Parallele und senkrechte Linien.

Zwei Geraden in einer Ebene heißen parallel, wenn sie sich nicht schneiden.

Wenn die Linie a parallel zur Linie b ist, dann schreibe a II c.

Zwei Geraden heißen senkrecht, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden.

Wenn Linie a senkrecht zu Linie b ist, dann schreibe a.

Dreiecke.

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Punkten besteht, die nicht auf derselben geraden Linie liegen, und drei paarweise Segmente, die sie verbinden.

Jedes Dreieck teilt die Ebene in zwei Teile: innen und außen.

In jedem Dreieck werden die folgenden Elemente unterschieden: Seiten, Winkel, Höhen, Winkelhalbierende, Mittellinien, Mittellinien.

Die Höhe eines Dreiecks, das von einem bestimmten Scheitelpunkt fällt, ist die Senkrechte, die von diesem Scheitelpunkt zu der Linie gezogen wird, die die gegenüberliegende Seite enthält.

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist das Segment der Winkelhalbierenden eines Dreiecks, das einen Eckpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Der Median eines Dreiecks, das von einem bestimmten Scheitelpunkt gezogen wird, ist das Segment, das diesen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Die Mittellinie eines Dreiecks ist das Liniensegment, das die Mittelpunkte seiner beiden Seiten verbindet.

Vierecke.

Ein Viereck ist eine Figur, die aus vier Punkten und vier Segmenten besteht, die sie in Reihe verbinden, und keine drei dieser Punkte sollten auf derselben geraden Linie liegen, und die Segmente, die sie verbinden, sollten sich nicht schneiden. Diese Punkte werden die Eckpunkte des Dreiecks genannt, und die Verbindungssegmente werden seine Seiten genannt.

Seiten eines Vierecks, die von derselben Ecke ausgehen, heißen gegenüberliegende Seiten.

Im Viereck ABCD sind die Eckpunkte A und B benachbart, und die Eckpunkte A und C sind entgegengesetzt; Seiten AB und BC sind benachbart, BC und AD sind entgegengesetzt; die Segmente AC und BD sind die Diagonalen dieses Vierecks.

Es gibt konvexe und nicht konvexe Vierecke. Somit ist das Viereck ABCD konvex, während das Viereck KRMT nicht konvex ist.

Unter konvexen Vierecken werden Parallelogramme und Trapeze unterschieden.

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem nur zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Diese parallelen Seiten werden die Basen des Trapezes genannt. Die anderen beiden Seiten werden lateral genannt. Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet, wird als Mittellinie des Trapezes bezeichnet.

BC und AD sind die Basen des Trapezes; AB und SD - laterale Seiten; KM - die Mittellinie des Trapezes.

Von den vielen Parallelogrammen werden Rechtecke und Rauten unterschieden.

Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit allen rechten Winkeln.

Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.

Aus der Menge der Rechtecke werden Quadrate ausgewählt.

Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind.

Kreis.

Ein Kreis ist eine Figur, die aus allen Punkten der Ebene besteht, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.

Der Abstand der Punkte zu seinem Mittelpunkt wird als Radius bezeichnet. Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, nennt man Sehne. Die durch die Mitte verlaufende Sehne wird als Durchmesser bezeichnet. OA ist der Radius, SD ist die Sehne, AB ist der Durchmesser.

Ein Mittelpunktswinkel in einem Kreis ist ein flacher Winkel mit einem Scheitelpunkt in seiner Mitte. Der Teil eines Kreises, der sich innerhalb eines flachen Winkels befindet, wird als Kreisbogen bezeichnet, der diesem Mittelpunktswinkel entspricht.

Nach neuen Lehrbüchern in neuen Programmen M.I. Moro, MA Bantova, G.V. Beltyukova, S.I. Volkova, S.V. Stepanova bekommt in der 4. Klasse Bauaufgaben, die es früher im Mathematikprogramm der Grundschule nicht gab. Das sind Aufgaben wie:

Konstruieren Sie eine Senkrechte zur Linie;

Teilen Sie das Segment in zwei Hälften;

Konstruieren Sie ein Dreieck auf drei Seiten;

Konstruieren Sie ein regelmäßiges Dreieck, ein gleichschenkliges Dreieck;

Konstruiere ein Sechseck;

Konstruieren Sie ein Quadrat unter Verwendung der Eigenschaften der Diagonalen eines Quadrats;

Konstruieren Sie ein Rechteck mit der Eigenschaft diagonals des Rechtecks.

Betrachten Sie die Konstruktion geometrischer Figuren in der Ebene.

Der Teil der Geometrie, der sich mit geometrischen Konstruktionen befasst, wird als konstruktive Geometrie bezeichnet. Das Grundkonzept der konstruktiven Geometrie ist das Konzept „eine Figur konstruieren“. Die Hauptvorschläge sind in Form von Axiomen formuliert und werden auf das Folgende reduziert.

1. Jede vorgegebene Figur wird konstruiert.

2. Werden zwei (oder mehr) Figuren konstruiert, so wird auch die Vereinigung dieser Figuren konstruiert.

3. Wenn zwei Figuren konstruiert werden, kann bestimmt werden, ob ihre Schnittmenge eine leere Menge sein wird oder nicht.

4. Wenn der Schnittpunkt zweier konstruierter Figuren nicht leer ist, dann ist er konstruiert.

5. Wenn zwei Figuren konstruiert werden, kann bestimmt werden, ob ihre Differenz eine leere Menge ist oder nicht.

6. Wenn die Differenz der beiden konstruierten Figuren keine leere Menge ist, dann ist sie konstruiert.

7. Sie können einen Punkt zeichnen, der zu der gezeichneten Figur gehört.

8. Sie können einen Punkt bauen, der nicht zur konstruierten Figur gehört.

Um geometrische Figuren zu konstruieren, die einige der angegebenen Eigenschaften haben, werden verschiedene Zeichenwerkzeuge verwendet. Die einfachsten von ihnen sind: ein einseitiges Lineal (im Folgenden einfach ein Lineal), ein zweiseitiges Lineal, ein Winkel, Zirkel usw.

Verschiedene Zeichenwerkzeuge ermöglichen es Ihnen, verschiedene Konstruktionen durchzuführen. Auch die Eigenschaften von Zeichenwerkzeugen für geometrische Konstruktionen werden in Form von Axiomen ausgedrückt.

Da die Konstruktion geometrischer Figuren mit Hilfe von Zirkel und Lineal im Schulgeometriekurs behandelt wird, gehen wir auch auf die Grundkonstruktionen ein, die diese speziellen Zeichnungen mit Werkzeugen ausführen.

Mit Hilfe eines Lineals können Sie also die folgenden geometrischen Konstruktionen ausführen.

1. Konstruieren Sie ein Segment, das zwei konstruierte Punkte verbindet;

2. eine gerade Linie konstruieren, die durch zwei konstruierte Punkte verläuft;

3. Konstruieren Sie einen Strahl, der vom konstruierten Punkt ausgeht und durch den konstruierten Punkt verläuft.

Mit dem Kompass können Sie die folgenden geometrischen Konstruktionen ausführen:

1. konstruiere einen Kreis, wenn sein Mittelpunkt und eine Strecke gleich dem Radius des Kreises konstruiert sind;

2. Konstruieren Sie einen der beiden zusätzlichen Kreisbögen, wenn der Mittelpunkt des Kreises und die Enden dieser Bögen konstruiert sind.

Elementare Aufgaben für den Bau.

Konstruktionsaufgaben sind vielleicht die ältesten mathematischen Probleme, sie helfen, die Eigenschaften geometrischer Formen besser zu verstehen, und tragen zur Entwicklung grafischer Fähigkeiten bei.

Die Konstruktionsaufgabe gilt als gelöst, wenn das Konstruktionsverfahren der Figur angegeben und nachgewiesen ist, dass durch die angegebenen Konstruktionen tatsächlich eine Figur mit den geforderten Eigenschaften erhalten wird.

Betrachten Sie einige elementare Konstruktionsaufgaben.

1. Konstruieren Sie eine Strecke SD auf einer gegebenen geraden Linie, gleich einer gegebenen Strecke AB.

Die Möglichkeit der reinen Konstruktion folgt aus dem Axiom der Verschiebung eines Segments. Mit Hilfe eines Kompasses und eines Lineals wird es wie folgt durchgeführt. Gegeben sei eine Gerade a und eine Strecke AB. Wir markieren den Punkt C auf der Geraden und bilden einen Kreis mit der Geraden a, deren Mittelpunkt der Punkt C ist, und bezeichnen D. Wir erhalten die Strecke SD gleich AB.

2. Ziehe durch einen gegebenen Punkt eine Linie senkrecht zu der gegebenen Linie.

Gegeben seien Punkte O und eine Gerade a. Zwei Fälle sind möglich:

1. Der Punkt O liegt auf der Geraden a;

2. Der Punkt O liegt nicht auf der Geraden a.

Im ersten Fall bezeichnen wir mit C einen Punkt C, der nicht auf der Linie a liegt. Vom Punkt C wie vom Mittelpunkt schreiben wir einen Kreis mit beliebigem Radius ab. Seien A und B die Schnittpunkte. Von den Punkten A und B beschreiben wir einen Kreis mit einem Radius. Der Punkt O sei der von C verschiedene Schnittpunkt. Dann ist die Halblinie CO die Winkelhalbierende des entwickelten Winkels sowie die Senkrechte zur Linie a.

Im zweiten Fall zeichnen wir vom Punkt O aus einen Kreis, der die Gerade a schneidet, und dann zeichnen wir von den Punkten A und B mit demselben Radius zwei weitere Kreise. Der Schnittpunkt sei O, der in einer anderen Halbebene liegt als der Punkt O. Die Linie OO/ ist die Senkrechte auf die gegebene Linie a. Beweisen wir es.

Bezeichne mit C den Schnittpunkt der Linien AB und OO/. Die Dreiecke AOB und AO/B haben drei gleiche Seiten. Daher ist der Winkel OAC gleich dem Winkel O/AC sind auf zwei Seiten gleich und der Winkel zwischen ihnen. Von den Winkeln her sind also ACO und ACO/ gleich. Und da die Winkel benachbart sind, sind sie rechte Winkel. Somit ist OS eine Senkrechte zur Linie a.

3. Ziehe durch einen gegebenen Punkt eine Linie parallel zu dem gegebenen.

Gegeben sei eine Gerade a und ein Punkt A außerhalb dieser Geraden. Nehmen wir einen Punkt B auf der Linie a und verbinden ihn mit Punkt A. Zeichnen Sie eine Linie C durch Punkt A, die mit AB den gleichen Winkel bildet wie AB mit der gegebenen Linie a, aber auf der gegenüberliegenden Seite von AB. Die konstruierte Linie wird parallel zur Linie a sein, was aus der Gleichheit der sich kreuzenden Winkel folgt, die am Schnittpunkt der Linien a und mit der Sekante AB gebildet werden.

4. Konstruieren Sie eine Tangente an den Kreis, die durch einen gegebenen Punkt auf ihm verläuft.

Gegeben: 1) Kreis X (O, h)

2) Punkt Ax

Konstruiere: Tangente AB.

Konstruktion.

2. Kreis X (A, h), wobei h ein beliebiger Radius ist (Axiom 1 des Kompasses)

3. Schnittpunkte M und N des Kreises x 1 und der Geraden AO, d. h. (M, N) = x 1 AO (Axiom 4 ist allgemein)

4. Kreis x (M, r 2), wobei r 2 ein beliebiger Radius ist, so dass r 2 r 1 (Axiom 1 des Kompasses)

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