Logarithmische Gleichungen. Von einfach bis komplex.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was ist eine logarithmische Gleichung?

Dies ist eine Gleichung mit Logarithmen. Ich war überrascht, oder?) Dann werde ich klarstellen. Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen sind innere Logarithmen. Und nur dort! Es ist wichtig.

Hier sind einige Beispiele logarithmische Gleichungen:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Nun, Sie haben die Idee ... )

Beachten Sie! Die unterschiedlichsten Ausdrücke mit x's sind lokalisiert ausschließlich innerhalb von Logarithmen. Wenn plötzlich irgendwo ein x in der Gleichung zu finden ist draußen, Zum Beispiel:

log 2 x = 3+x,

Dies wird eine Gleichung vom gemischten Typ sein. Solche Gleichungen haben keine klaren Regeln zum Lösen. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Übrigens gibt es Gleichungen, wo innerhalb der Logarithmen nur Zahlen. Zum Beispiel:

Was kann ich sagen? Sie haben Glück, wenn Sie darauf stoßen! Der Logarithmus mit Zahlen ist irgendeine Zahl. Und alle. Es reicht aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen, um eine solche Gleichung zu lösen. Kenntnis spezieller Regeln, speziell zum Lösen angepasster Techniken logarithmische Gleichungen, hier nicht erforderlich.

So, was ist eine logarithmische gleichung- herausgefunden.

Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Entscheidung logarithmische Gleichungen- eine Sache ist im Allgemeinen nicht sehr einfach. Der Abschnitt, den wir haben, ist also für vier ... Eine anständige Versorgung mit Wissen zu allen möglichen verwandten Themen ist erforderlich. Außerdem gibt es bei diesen Gleichungen eine Besonderheit. Und dieses Merkmal ist so wichtig, dass es sicher als das Hauptproblem beim Lösen logarithmischer Gleichungen bezeichnet werden kann. Wir werden uns in der nächsten Lektion ausführlich mit diesem Problem befassen.

Keine Sorge. Wir gehen den richtigen Weg von einfach bis komplex. An konkreten Beispielen. Die Hauptsache ist, sich in einfache Dinge zu vertiefen und nicht faul zu sein, den Links zu folgen, ich habe sie aus einem bestimmten Grund gesetzt ... Und Sie werden Erfolg haben. Notwendig.

Beginnen wir mit den elementarsten, einfachsten Gleichungen. Um sie zu lösen, ist es wünschenswert, eine Vorstellung vom Logarithmus zu haben, aber nicht mehr. Nur keine Ahnung Logarithmus eine Entscheidung treffen logarithmisch Gleichungen - irgendwie sogar peinlich ... Sehr dreist, würde ich sagen).

Die einfachsten logarithmischen Gleichungen.

Dies sind Gleichungen der Form:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Lösungsprozess jede logarithmische Gleichung besteht im Übergang von einer Gleichung mit Logarithmen zu einer Gleichung ohne sie. In den einfachsten Gleichungen wird dieser Übergang in einem Schritt durchgeführt. Deshalb ist es einfach.)

Und solche logarithmischen Gleichungen werden überraschend einfach gelöst. Überzeugen Sie sich selbst.

Lösen wir das erste Beispiel:

log 3 x = log 3 9

Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie fast nichts wissen, ja ... Reine Intuition!) Was machen wir besonders Gefällt Ihnen dieses Beispiel nicht? Irgendwas... Ich mag keine Logarithmen! Korrekt. Hier werden wir sie los. Wir schauen uns das Beispiel genau an, und ein natürliches Verlangen steigt in uns auf ... Geradezu unwiderstehlich! Logarithmen allgemein nehmen und wegwerfen. Und was gefällt ist kann tun! Mathematik erlaubt. Die Logarithmen verschwinden die Antwort ist:

Es ist großartig, oder? Dies kann (und sollte) immer getan werden. Das Eliminieren von Logarithmen auf diese Weise ist eine der Hauptmethoden zum Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik heißt diese Operation Potenzierung. Es gibt natürlich ihre eigenen Regeln für eine solche Liquidation, aber es gibt nur wenige. Erinnern:

Sie können Logarithmen ohne Angst eliminieren, wenn sie Folgendes haben:

a) die gleichen Zahlengrundlagen

c) die Links-Rechts-Logarithmen sind sauber (ohne Koeffizienten) und in hervorragender Isolation.

Lassen Sie mich den letzten Punkt erläutern. Sagen wir in der Gleichung

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logarithmen können nicht entfernt werden. Die Zwei auf der rechten Seite erlaubt es nicht. Koeffizient, wissen Sie ... Im Beispiel

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

die Gleichung kann auch nicht potenziert werden. Es gibt keinen einsamen Logarithmus auf der linken Seite. Es gibt zwei davon.

Kurz gesagt, Sie können Logarithmen entfernen, wenn die Gleichung so und nur so aussieht:

log a (.....) = log a (.....)

In Klammern, wo die Auslassungspunkte sein können jede Art von Ausdruck. Einfach, superkomplex, was auch immer. Wie auch immer. Wichtig ist, dass wir nach dem Eliminieren der Logarithmen übrig bleiben eine einfachere Gleichung. Es wird natürlich vorausgesetzt, dass Sie bereits wissen, wie man lineare, quadratische, gebrochene, exponentielle und andere Gleichungen ohne Logarithmen löst.)

Jetzt können Sie das zweite Beispiel leicht lösen:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Eigentlich ist es im Kopf. Wir potenzieren, wir erhalten:

Nun, ist es sehr schwierig?) Wie Sie sehen können, logarithmisch Teil der Lösung der Gleichung ist nur bei der Eliminierung von Logarithmen ... Und dann kommt die Lösung der Restgleichung schon ohne sie. Abfallgeschäft.

Wir lösen das dritte Beispiel:

log 7 (50x-1) = 2

Wir sehen, dass der Logarithmus auf der linken Seite steht:

Wir erinnern daran, dass dieser Logarithmus eine Zahl ist, zu der die Basis (d. h. sieben) erhoben werden muss, um einen sublogarithmischen Ausdruck zu erhalten, d. h. (50x-1).

Aber diese Zahl ist zwei! Nach der Gleichung. Das ist:

Das ist im Wesentlichen alles. Logarithmus verschwunden bleibt die harmlose Gleichung:

Wir haben diese logarithmische Gleichung nur aufgrund der Bedeutung des Logarithmus gelöst. Ist es einfacher, Logarithmen zu eliminieren?) Ich stimme zu. Übrigens, wenn Sie aus zwei einen Logarithmus machen, können Sie dieses Beispiel durch Liquidation lösen. Du kannst jede Zahl logarithmieren. Und genau so, wie wir es brauchen. Eine sehr nützliche Technik zum Lösen von logarithmischen Gleichungen und (besonders!) Ungleichungen.

Weißt du, wie man aus einer Zahl einen Logarithmus macht!? Nichts Schlimmes. Abschnitt 555 beschreibt diese Technik im Detail. Sie können es in vollen Zügen beherrschen und anwenden! Es reduziert die Anzahl der Fehler erheblich.

Die vierte Gleichung wird (per Definition) genauso gelöst:

Das ist alles dazu.

Fassen wir diese Lektion zusammen. Wir haben die Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen anhand von Beispielen betrachtet. Es ist sehr wichtig. Und das nicht nur, weil solche Gleichungen auf Kontrollprüfungen stehen. Tatsache ist, dass selbst die bösesten und verworrensten Gleichungen notwendigerweise auf die einfachsten reduziert werden!

Tatsächlich sind die einfachsten Gleichungen der letzte Teil der Lösung irgendein Gleichungen. Und dieser abschließende Teil ist ironisch zu verstehen! Und weiter. Lesen Sie diese Seite unbedingt bis zum Ende. Es gibt eine Überraschung...

Entscheiden wir selbst. Wir füllen sozusagen die Hand ...)

Finden Sie die Wurzel (oder die Summe der Wurzeln, falls es mehrere gibt) der Gleichungen:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5 x -1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

In (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Antworten (natürlich in Unordnung): 42; 12; neun; 25; 7; 1,5; 2; Sechszehn.

Was geht nicht? Es passiert. Sei nicht traurig! In Abschnitt 555 wird die Lösung all dieser Beispiele klar und detailliert beschrieben. Dort erfährst du es bestimmt. Darüber hinaus lernen Sie nützliche praktische Techniken kennen.

Es hat alles geklappt!? Alle Beispiele für "eins links"?) Herzlichen Glückwunsch!

Es ist an der Zeit, Ihnen die bittere Wahrheit zu offenbaren. Die erfolgreiche Lösung dieser Beispiele garantiert keineswegs den Erfolg bei der Lösung aller anderen logarithmischen Gleichungen. Sogar einfache wie diese. Ach.

Der Punkt ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung (auch der elementarsten!) besteht aus zwei gleiche Teile. Lösung der Gleichung und Arbeit mit ODZ. Einen Teil – die Lösung der Gleichung selbst – haben wir gemeistert. Es ist nicht so schwer Rechts?

Für diese Lektion habe ich speziell solche Beispiele ausgewählt, bei denen die ODZ die Antwort in keiner Weise beeinflusst. Aber nicht jeder ist so nett wie ich, oder?...)

Daher ist es notwendig, auch den anderen Teil zu beherrschen. ODZ. Dies ist das Hauptproblem beim Lösen von logarithmischen Gleichungen. Und das nicht, weil es schwierig ist – dieser Teil ist sogar noch einfacher als der erste. Sondern weil sie ODZ einfach vergessen. Oder sie wissen es nicht. Oder beides). Und sie fallen flach...

In der nächsten Lektion werden wir uns mit diesem Problem befassen. Dann kann man sich sicher entscheiden irgendein einfache logarithmische Gleichungen und nähern sich ziemlich soliden Aufgaben.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

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Viele Studenten bleiben bei Gleichungen dieser Art stecken. Gleichzeitig sind die Aufgaben selbst keineswegs kompliziert - es reicht aus, nur eine kompetente Variablensubstitution durchzuführen, für die Sie lernen sollten, stabile Ausdrücke zu isolieren.

Neben dieser Lektion finden Sie eine ziemlich umfangreiche Selbstarbeit, bestehend aus zwei Optionen mit jeweils 6 Aufgaben.

Gruppierungsmethode

Heute werden wir zwei logarithmische Gleichungen analysieren, von denen eine nicht "durchgehend" gelöst werden kann und spezielle Transformationen erfordert, und die zweite ... aber ich werde nicht alles auf einmal erzählen. Sehen Sie sich das Video an, laden Sie eigenständige Arbeiten herunter - und lernen Sie, wie Sie komplexe Probleme lösen.

Also gruppieren und die gemeinsamen Faktoren aus der Klammer nehmen. Außerdem werde ich Ihnen sagen, welche Fallstricke der Definitionsbereich von Logarithmen birgt und wie kleine Bemerkungen zum Definitionsbereich sowohl die Wurzeln als auch die gesamte Lösung erheblich verändern können.

Beginnen wir mit der Gruppierung. Wir müssen die folgende logarithmische Gleichung lösen:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Zunächst bemerken wir, dass x 2 − 3x faktorisiert werden kann:

log 2 x (x − 3)

Dann erinnern wir uns an die wunderbare Formel:

log a fg = log a f + log a g

Gleich eine kleine Anmerkung: Diese Formel funktioniert gut, wenn a, f und g gewöhnliche Zahlen sind. Aber wenn an ihrer Stelle Funktionen stehen, hören diese Ausdrücke auf, gleichberechtigt zu sein. Stellen Sie sich diese hypothetische Situation vor:

f< 0; g < 0

In diesem Fall ist das Produkt fg positiv, daher wird log a ( fg ) existieren, aber log a f und log a g werden nicht separat existieren, und wir können eine solche Transformation nicht durchführen.

Wird diese Tatsache ignoriert, führt dies zu einer Verengung des Definitionsbereichs und damit zum Verlust von Wurzeln. Daher muss vor Durchführung einer solchen Transformation im Voraus sichergestellt werden, dass die Funktionen f und g positiv sind.

In unserem Fall ist alles einfach. Da es in der ursprünglichen Gleichung eine Funktion log 2 x gibt, ist x > 0 (immerhin ist die Variable x im Argument). Es gibt auch log 2 (x − 3), also ist x − 3 > 0.

Daher ist in der Funktion log 2 x (x − 3) jeder Faktor größer als Null. Daher können wir das Produkt sicher in die Summe zerlegen:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

Auf den ersten Blick scheint es nicht einfacher geworden zu sein. Im Gegenteil: Die Zahl der Begriffe hat sich nur noch erhöht! Um zu verstehen, wie man weiter vorgeht, führen wir neue Variablen ein:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

ein b + 1 - ein - b = 0

Und jetzt gruppieren wir den dritten Term mit dem ersten:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Beachten Sie, dass sowohl die erste als auch die zweite Klammer b − 1 enthalten (im zweiten Fall müssen Sie das „Minus“ aus der Klammer nehmen). Faktorisieren wir unsere Konstruktion:

a (1 b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(a 1 − 1) = 0

Und jetzt erinnern wir uns an unsere wunderbare Regel: Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Erinnern wir uns, was b und a sind. Wir erhalten zwei einfache logarithmische Gleichungen, in denen nur noch die Vorzeichen von log entfernt und die Argumente gleichgesetzt werden müssen:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 = 2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Wir haben zwei Wurzeln, aber das ist keine Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung, sondern nur Kandidaten für die Antwort. Lassen Sie uns nun die Domäne überprüfen. Zum ersten Argument:

x > 0

Beide Wurzeln erfüllen die erste Bedingung. Kommen wir zum zweiten Argument:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Aber schon hier genügt uns x = 2 nicht, aber x = 5 passt ganz gut zu uns. Daher ist die einzige Antwort x = 5.

Wir gehen zur zweiten logarithmischen Gleichung über. Auf den ersten Blick ist es viel einfacher. Bei der Lösung werden wir jedoch subtile Punkte im Zusammenhang mit dem Definitionsbereich berücksichtigen, deren Unkenntnis das Leben von Anfängern erheblich erschwert.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung. Sie müssen nichts umbauen - sogar die Basen sind gleich. Daher setzen wir die Argumente einfach gleich:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Vor uns liegt die gegebene quadratische Gleichung, sie lässt sich leicht mit den Vieta-Formeln lösen:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Aber diese Wurzeln sind noch keine endgültigen Antworten. Es ist notwendig, den Definitionsbereich zu finden, da es in der ursprünglichen Gleichung zwei Logarithmen gibt, d.h. es ist unbedingt erforderlich, den Definitionsbereich zu berücksichtigen.

Schreiben wir also den Definitionsbereich aus. Zum einen muss das Argument des ersten Logarithmus größer Null sein:

x 2 − 6x + 2 > 0

Andererseits muss das zweite Argument auch größer als Null sein:

7 − 2x > 0

Diese Anforderungen müssen gleichzeitig erfüllt werden. Und hier beginnt das Interessanteste. Natürlich können wir jede dieser Ungleichungen lösen, sie dann schneiden und den Definitionsbereich der gesamten Gleichung finden. Aber warum sich das Leben so schwer machen?

Lassen Sie uns eine Subtilität bemerken. Um Logzeichen loszuwerden, setzen wir Argumente gleich. Dies impliziert, dass die Anforderungen x 2 − 6x + 2 > 0 und 7 − 2x > 0 äquivalent sind. Folglich kann jede der beiden Ungleichungen durchgestrichen werden. Streichen wir das Schwierigste durch und lassen die übliche lineare Ungleichung für uns:

-2x > -7

x< 3,5

Da wir beide Seiten durch eine negative Zahl dividiert haben, hat sich das Vorzeichen der Ungleichung geändert.

Wir haben also die ODZ ohne quadratische Ungleichungen, Diskriminanten und Schnittmengen gefunden. Jetzt müssen nur noch die Wurzeln gewählt werden, die auf diesem Intervall liegen. Offensichtlich passt uns nur x = −1, denn x = 5 > 3,5.

Sie können die Antwort aufschreiben: x = 1 ist die einzige Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung.

Die Schlussfolgerungen aus dieser logarithmischen Gleichung lauten wie folgt:

1. Scheue dich nicht, Logarithmen zu faktorisieren und dann die Summe der Logarithmen zu faktorisieren. Denken Sie jedoch daran, dass Sie den Definitionsbereich einschränken, indem Sie das Produkt in die Summe zweier Logarithmen zerlegen. Prüfen Sie daher vor einer solchen Konvertierung unbedingt, welche Scope-Anforderungen gelten. Meistens treten keine Probleme auf, aber es schadet nicht, noch einmal auf Nummer sicher zu gehen.
2. Wenn Sie die kanonische Form loswerden, versuchen Sie, die Berechnungen zu optimieren. Insbesondere wenn von uns verlangt wird, dass f > 0 und g > 0, aber in der Gleichung selbst f = g ist, dann streichen wir mutig eine der Ungleichungen und lassen nur die einfachste für uns übrig. In diesem Fall wird der Definitionsbereich und die Antworten in keiner Weise beeinträchtigt, aber der Berechnungsaufwand wird erheblich reduziert.

Das ist eigentlich alles, was ich über die Gruppierung erzählen wollte. :)

Typische Fehler beim Lösen

Heute analysieren wir zwei typische logarithmische Gleichungen, über die viele Schüler stolpern. Am Beispiel dieser Gleichungen werden wir sehen, welche Fehler am häufigsten beim Lösen und Transformieren der ursprünglichen Ausdrücke gemacht werden.

Bruchrationale Gleichungen mit Logarithmen

Es sei gleich darauf hingewiesen, dass dies eine ziemlich hinterhältige Art von Gleichung ist, bei der ein Bruch mit einem Logarithmus irgendwo im Nenner nicht immer sofort vorhanden ist. Im Transformationsprozess wird jedoch zwangsläufig ein solcher Bruchteil entstehen.

Seien Sie gleichzeitig vorsichtig: Bei Transformationen kann sich der anfängliche Definitionsbereich von Logarithmen erheblich ändern!

Wir wenden uns noch starreren logarithmischen Gleichungen zu, die Brüche und variable Basen enthalten. Um in einer kurzen Lektion mehr zu tun, werde ich keine elementare Theorie erzählen. Kommen wir direkt zu den Aufgaben:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Wenn man sich diese Gleichung ansieht, wird jemand fragen: „Was hat die gebrochene rationale Gleichung damit zu tun? Wo ist der Bruch in dieser Gleichung? Lassen Sie uns nicht hetzen und einen genaueren Blick auf jeden Begriff werfen.

Erster Term: 4 log 25 (x − 1). Die Basis des Logarithmus ist eine Zahl, aber das Argument ist eine Funktion von x . Wir können noch nichts dagegen tun. Weitergehen.

Der nächste Term ist log 3 27. Denken Sie daran, dass 27 = 3 3 . Daher können wir den gesamten Logarithmus wie folgt umschreiben:

log 3 27 = 3 3 = 3

Der zweite Term ist also nur eine Drei. Der dritte Term: 2 log x − 1 5. Auch hier ist nicht alles einfach: Die Basis ist eine Funktion, das Argument eine gewöhnliche Zahl. Ich schlage vor, den ganzen Logarithmus nach folgender Formel umzudrehen:

log a b = 1/log b a

Eine solche Transformation kann nur durchgeführt werden, wenn b ≠ 1 ist. Andernfalls existiert der Logarithmus, der im Nenner des zweiten Bruchs erhalten wird, einfach nicht. In unserem Fall ist b = 5, also ist alles in Ordnung:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung der erhaltenen Transformationen um:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

Wir haben log 5 (x − 1) im Nenner des Bruchs und log 25 (x − 1) im ersten Term. Aber 25 \u003d 5 2, also nehmen wir das Quadrat von der Basis des Logarithmus gemäß der Regel:

Mit anderen Worten, der Exponent an der Basis des Logarithmus wird zum Bruch an der Vorderseite. Und der Ausdruck wird wie folgt umgeschrieben:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Am Ende hatten wir eine lange Gleichung mit vielen identischen Logarithmen. Lassen Sie uns eine neue Variable einführen:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

Aber das ist schon eine gebrochen-rationale Gleichung, die mittels Algebra der Klassen 8-9 gelöst wird. Lassen Sie es uns zunächst in zwei Teile aufteilen:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

Das genaue Quadrat steht in Klammern. Rollen wir es auf:

(t − 1) 2 /t = 0

Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner nicht Null ist. Vergiss niemals diese Tatsache:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Erinnern wir uns, was t ist:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Wir entfernen die Protokollzeichen, setzen ihre Argumente gleich und erhalten:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Alles. Problem gelöst. Aber kehren wir zur ursprünglichen Gleichung zurück und erinnern uns daran, dass es zwei Logarithmen mit der x-Variablen gleichzeitig gab. Daher müssen Sie den Definitionsbereich ausschreiben. Da x − 1 im Logarithmus-Argument steht, muss dieser Ausdruck größer als Null sein:

x − 1 > 0

Andererseits ist dasselbe x − 1 auch in der Basis vorhanden, also muss es sich von Eins unterscheiden:

x − 1 ≠ 1

Daher schließen wir:

x > 1; x ≠ 2

Diese Anforderungen müssen gleichzeitig erfüllt werden. Der Wert x = 6 erfüllt beide Anforderungen, also ist x = 6 die endgültige Lösung der logarithmischen Gleichung.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Lassen Sie uns noch einmal nicht hetzen und uns jeden Begriff ansehen:

log 4 (x + 1) - an der Basis befindet sich eine Vier. Die übliche Nummer, und Sie können es nicht berühren. Aber letztes Mal sind wir auf ein exaktes Quadrat an der Basis gestoßen, das unter dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden musste. Machen wir jetzt dasselbe:

Log 4 (x + 1) = 1/2 Log 2 (x + 1)

Der Trick ist, dass wir bereits einen Logarithmus mit der Variablen x haben, wenn auch in der Basis – es ist die Umkehrung des Logarithmus, den wir gerade gefunden haben:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Der nächste Term ist log 2 8. Dies ist eine Konstante, da sowohl das Argument als auch die Basis gewöhnliche Zahlen sind. Lassen Sie uns den Wert finden:

Log 2 8 = Log 2 2 3 = 3

Das Gleiche können wir mit dem letzten Logarithmus machen:

Lassen Sie uns nun die ursprüngliche Gleichung umschreiben:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Bringen wir alles auf einen Nenner:

Vor uns liegt wieder eine gebrochen-rationale Gleichung. Lassen Sie uns eine neue Variable einführen:

t = log 2 (x + 1)

Lassen Sie uns die Gleichung unter Berücksichtigung der neuen Variablen umschreiben:

Achtung: In diesem Schritt habe ich die Begriffe vertauscht. Der Zähler des Bruchs ist das Quadrat der Differenz:

Wie beim letzten Mal ist ein Bruch null, wenn sein Zähler null und sein Nenner nicht null ist:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Wir haben eine Wurzel, die alle Anforderungen erfüllt, also kehren wir zur x-Variablen zurück:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

Das ist es, wir haben die Gleichung gelöst. Da aber in der ursprünglichen Gleichung mehrere Logarithmen enthalten waren, ist es notwendig, den Definitionsbereich auszuschreiben.

Der Ausdruck x + 1 steht also im Argument des Logarithmus. Daher ist x + 1 > 0. Andererseits ist x + 1 auch in der Basis vorhanden, d.h. x + 1 ≠ 1. Summe:

0 ≠ x > −1

Erfüllt die gefundene Wurzel diese Anforderungen? Zweifellos. Daher ist x = 15 die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung.

Abschließend möchte ich Folgendes sagen: Wenn Sie sich die Gleichung ansehen und verstehen, dass Sie etwas Komplexes und Nicht-Standard lösen müssen, versuchen Sie, stabile Strukturen hervorzuheben, die später durch eine andere Variable gekennzeichnet werden. Wenn einige Terme die Variable x gar nicht enthalten, können sie oft einfach berechnet werden.

Das ist alles, worüber ich heute sprechen wollte. Ich hoffe, diese Lektion hilft Ihnen beim Lösen komplexer logarithmischer Gleichungen. Sehen Sie sich andere Video-Tutorials an, laden Sie selbstständige Arbeiten herunter und lösen Sie sie und wir sehen uns im nächsten Video!

In dieser Lektion wiederholen wir die grundlegenden theoretischen Fakten über Logarithmen und betrachten die Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen.

Erinnern Sie sich an die zentrale Definition - die Definition des Logarithmus. Es hängt mit der Lösung der Exponentialgleichung zusammen. Diese Gleichung hat eine einzelne Wurzel, sie heißt Logarithmus von b zur Basis a:

Definition:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist der Exponent, mit dem die Basis a erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Abrufen grundlegende logarithmische Identität.

Der Ausdruck (Ausdruck 1) ist die Wurzel der Gleichung (Ausdruck 2). Wir ersetzen den Wert von x aus Ausdruck 1 anstelle von x in Ausdruck 2 und erhalten die grundlegende logarithmische Identität:

Wir sehen also, dass jedem Wert ein Wert zugewiesen wird. Wir bezeichnen b für x (), c für y und erhalten so die logarithmische Funktion:

Zum Beispiel:

Erinnere dich an die grundlegenden Eigenschaften der logarithmischen Funktion.

Lassen Sie uns hier noch einmal aufpassen, denn unter dem Logarithmus kann ein streng positiver Ausdruck als Basis des Logarithmus stehen.

Reis. 1. Graph der logarithmischen Funktion für verschiedene Basen

Der Graph der Funktion at ist schwarz dargestellt. Reis. 1. Wenn das Argument von null auf unendlich anwächst, steigt die Funktion von minus auf plus unendlich an.

Der Graph der Funktion at ist rot dargestellt. Reis. ein.

Eigenschaften dieser Funktion:

Domäne: ;

Wertebereich: ;

Die Funktion ist über ihren gesamten Definitionsbereich monoton. Bei monotoner (strenger) Zunahme entspricht der größere Wert des Arguments dem größeren Wert der Funktion. Bei monotoner (strenger) Abnahme entspricht der größere Wert des Arguments dem kleineren Wert der Funktion.

Die Eigenschaften der logarithmischen Funktion sind der Schlüssel zum Lösen verschiedener logarithmischer Gleichungen.

Betrachten Sie die einfachste logarithmische Gleichung, alle anderen logarithmischen Gleichungen werden in der Regel auf diese Form reduziert.

Da die Basen der Logarithmen und die Logarithmen selbst gleich sind, sind auch die Funktionen unter dem Logarithmus gleich, aber wir dürfen den Umfang nicht verlieren. Unter dem Logarithmus kann nur eine positive Zahl stehen, wir haben:

Wir haben herausgefunden, dass die Funktionen f und g gleich sind, also genügt es, eine beliebige Ungleichung zu wählen, um der ODZ zu entsprechen.

Wir haben also ein gemischtes System, in dem es eine Gleichung und eine Ungleichung gibt:

Die Ungleichung muss in der Regel nicht gelöst werden, es reicht aus, die Gleichung zu lösen und die gefundenen Wurzeln in die Ungleichung einzusetzen, wodurch eine Überprüfung durchgeführt wird.

Lassen Sie uns eine Methode zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen formulieren:

Gleiche die Basen von Logarithmen aus;

Sublogarithmische Funktionen gleichsetzen;

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Betrachten wir konkrete Beispiele.

Beispiel 1 - lösen Sie die Gleichung:

Die Basen der Logarithmen sind zunächst gleich;

Beispiel 2 - lösen Sie die Gleichung:

Diese Gleichung unterscheidet sich von der vorherigen dadurch, dass die Basen der Logarithmen kleiner als eins sind, aber dies beeinflusst die Lösung in keiner Weise:

Lassen Sie uns die Wurzel finden und sie in die Ungleichung einsetzen:

Wir haben eine falsche Ungleichung erhalten, was bedeutet, dass die gefundene Wurzel die ODZ nicht erfüllt.

Beispiel 3 - lösen Sie die Gleichung:

Die Basen der Logarithmen sind zunächst gleich;

Lassen Sie uns die Wurzel finden und sie in die Ungleichung einsetzen:

Offensichtlich erfüllt nur die erste Wurzel die ODZ.

Logarithmische Gleichung wird eine Gleichung aufgerufen, in der die Unbekannte (x) und Ausdrücke damit unter dem Vorzeichen einer logarithmischen Funktion stehen. Das Lösen von logarithmischen Gleichungen setzt voraus, dass Sie bereits mit und vertraut sind.
Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Die einfachste Gleichung ist Loga x = b, wobei a und b Zahlen sind, x eine Unbekannte ist.
Lösen der logarithmischen Gleichung ist x = a b vorausgesetzt: a > 0, a 1.

Es sollte beachtet werden, dass, wenn x irgendwo außerhalb des Logarithmus liegt, zum Beispiel log 2 x \u003d x-2, eine solche Gleichung bereits als gemischt bezeichnet wird und ein spezieller Ansatz erforderlich ist, um sie zu lösen.

Der Idealfall ist, wenn Sie auf eine Gleichung stoßen, in der nur Zahlen unter dem Vorzeichen des Logarithmus stehen, zum Beispiel x + 2 \u003d log 2 2. Hier reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen, um sie zu lösen. Aber diese Art von Glück passiert nicht oft, also machen Sie sich bereit für schwierigere Sachen.

Aber fangen wir doch erstmal mit einfachen Gleichungen an. Um sie zu lösen, ist es wünschenswert, die allgemeinste Vorstellung vom Logarithmus zu haben.

Lösen einfacher logarithmischer Gleichungen

Dazu gehören Gleichungen wie log 2 x \u003d log 2 16. Mit bloßem Auge ist zu erkennen, dass wir durch Weglassen des Vorzeichens des Logarithmus x \u003d 16 erhalten.

Um eine komplexere logarithmische Gleichung zu lösen, wird üblicherweise zur Lösung einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung oder zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichung log a x = b geführt. Bei den einfachsten Gleichungen geschieht dies in einer Bewegung, weshalb sie die einfachsten genannt werden.

Die obige Methode zum Löschen von Logarithmen ist eine der Hauptmethoden zum Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik nennt man diese Operation Potenzierung. Es gibt bestimmte Regeln oder Einschränkungen für diese Art von Operationen:

• Logarithmen haben die gleiche Zahlenbasis
• Logarithmen in beiden Teilen der Gleichung sind frei, d.h. ohne irgendwelche Koeffizienten und andere verschiedene Arten von Ausdrücken.

Nehmen wir an, in der Gleichung log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), Potenzierung ist nicht anwendbar - der Koeffizient 2 auf der rechten Seite erlaubt dies nicht. Im folgenden Beispiel ist log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) eine der Einschränkungen ebenfalls nicht erfüllt - links stehen zwei Logarithmen. Das wäre eine - eine ganz andere Sache!

Im Allgemeinen können Sie Logarithmen nur entfernen, wenn die Gleichung die Form hat:

log a(...) = log a(...)

Es können absolut beliebige Ausdrücke in Klammern stehen, dies hat absolut keinen Einfluss auf die Potenzierungsoperation. Und nach der Eliminierung von Logarithmen bleibt eine einfachere Gleichung übrig - linear, quadratisch, exponentiell usw., die Sie hoffentlich bereits lösen können.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Durch Potenzieren erhalten wir:

log 3 (2x-1) = 2

Basierend auf der Definition des Logarithmus, nämlich dass der Logarithmus die Zahl ist, zu der die Basis erhoben werden muss, um einen Ausdruck zu erhalten, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, also (4x-1) erhalten wir:

Wieder bekamen wir eine nette Antwort. Hier haben wir auf die Eliminierung von Logarithmen verzichtet, aber Potenzierung ist auch hier anwendbar, denn der Logarithmus kann aus jeder Zahl gemacht werden, und zwar genau aus der, die wir brauchen. Diese Methode ist sehr hilfreich beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und insbesondere von Ungleichungen.

Lösen wir unsere logarithmische Gleichung log 3 (2x-1) = 2 mit Potenzierung:

Stellen wir die Zahl 2 beispielsweise als Logarithmus dar, also log 3 9, denn 3 2 = 9.

Dann log 3 (2x-1) = log 3 9 und wieder bekommen wir die gleiche Gleichung 2x-1 = 9. Ich hoffe, alles ist klar.

Also haben wir uns angesehen, wie man die einfachsten logarithmischen Gleichungen löst, die eigentlich sehr wichtig sind, weil Lösung logarithmischer Gleichungen, selbst die schrecklichsten und verdrehtesten, läuft am Ende immer darauf hinaus, die einfachsten Gleichungen zu lösen.

Bei allem, was wir oben getan haben, haben wir einen sehr wichtigen Punkt übersehen, der in Zukunft eine entscheidende Rolle spielen wird. Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung, selbst der elementarsten, aus zwei äquivalenten Teilen besteht. Das erste ist die Lösung der Gleichung selbst, das zweite ist die Arbeit mit dem Bereich der zulässigen Werte (ODV). Das ist nur der erste Teil, den wir gemeistert haben. In den obigen Beispielen beeinflusst die UNGERADE die Antwort in keiner Weise, daher haben wir sie nicht berücksichtigt.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Äußerlich unterscheidet sich diese Gleichung nicht von der elementaren, die sehr erfolgreich gelöst wird. Aber es ist nicht so. Nein, natürlich werden wir es lösen, aber höchstwahrscheinlich wird es falsch sein, denn es ist ein kleiner Hinterhalt drin, in den sowohl C-Studenten als auch Honours-Studenten sofort hineinfallen. Schauen wir es uns genauer an.

Angenommen, Sie müssen die Wurzel der Gleichung oder die Summe der Wurzeln finden, wenn es mehrere gibt:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Wir wenden Potenzierung an, hier ist es zulässig. Als Ergebnis erhalten wir die übliche quadratische Gleichung.

Wir finden die Wurzeln der Gleichung:

Es gibt zwei Wurzeln.

Antwort: 3 und -1

Auf den ersten Blick stimmt alles. Aber lassen Sie uns das Ergebnis überprüfen und es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Beginnen wir mit x 1 = 3:

Log 3 6 = Log 3 6

Die Prüfung war erfolgreich, jetzt ist die Warteschlange x 2 = -1:

Log 3 (-2) = Log 3 (-2)

Ja, halt! Äußerlich ist alles perfekt. Einen Moment - es gibt keine Logarithmen von negativen Zahlen! Und das bedeutet, dass die Wurzel x \u003d -1 nicht zur Lösung unserer Gleichung geeignet ist. Und deshalb ist die richtige Antwort 3, nicht 2, wie wir geschrieben haben.

Hier spielte die ODZ ihre fatale Rolle, die wir vergessen haben.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass unter dem Bereich der zulässigen Werte solche Werte von x akzeptiert werden, die für das ursprüngliche Beispiel zulässig oder sinnvoll sind.

Ohne ODZ wird jede Lösung, selbst eine absolut korrekte, einer beliebigen Gleichung zu einer Lotterie - 50/50.

Wie könnten wir beim Lösen eines scheinbar elementaren Beispiels erwischt werden? Und hier ist es im Moment der Potenzierung. Die Logarithmen sind weg und mit ihnen alle Einschränkungen.

Was tun in einem solchen Fall? Sich weigern, Logarithmen zu eliminieren? Und die Lösung dieser Gleichung ganz aufgeben?

Nein, wir werden einfach wie echte Helden aus einem berühmten Song herumlaufen!

Bevor wir mit der Lösung einer logarithmischen Gleichung fortfahren, schreiben wir die ODZ auf. Aber danach kannst du mit unserer Gleichung machen, was dein Herz begehrt. Nachdem wir die Antwort erhalten haben, werfen wir einfach die Wurzeln weg, die nicht in unserer ODZ enthalten sind, und schreiben die endgültige Version auf.

Lassen Sie uns nun entscheiden, wie die ODZ geschrieben werden soll. Dazu untersuchen wir die ursprüngliche Gleichung genau und suchen darin nach verdächtigen Stellen, wie z. B. Division durch x, Wurzel eines geraden Grades usw. Bis wir die Gleichung gelöst haben, wissen wir nicht, was x gleich ist, aber wir wissen sicher, dass solche x, die beim Ersetzen eine Division durch 0 oder das Ziehen der Quadratwurzel einer negativen Zahl ergeben, sind offensichtlich nicht geeignet für die Antwort. Daher sind solche x nicht akzeptabel, während der Rest die ODZ darstellt.

Lassen Sie uns die gleiche Gleichung noch einmal verwenden:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Wie Sie sehen können, gibt es keine Division durch 0, es gibt auch keine Quadratwurzeln, aber es gibt Ausdrücke mit x im Hauptteil des Logarithmus. Wir erinnern uns sofort daran, dass der Ausdruck innerhalb des Logarithmus immer > 0 sein muss. Diese Bedingung wird in Form von ODZ geschrieben:

Jene. Wir haben noch nichts gelöst, aber wir haben bereits eine zwingende Bedingung für den gesamten sublogarithmischen Ausdruck aufgeschrieben. Die geschweifte Klammer bedeutet, dass diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen.

Die ODZ wird aufgeschrieben, aber es ist auch notwendig, das resultierende Ungleichungssystem zu lösen, was wir tun werden. Wir erhalten die Antwort x > v3. Jetzt wissen wir sicher, welches x nicht zu uns passt. Und dann fangen wir an, die logarithmische Gleichung selbst zu lösen, was wir oben getan haben.

Nachdem wir die Antworten x 1 \u003d 3 und x 2 \u003d -1 erhalten haben, ist leicht zu erkennen, dass nur x1 \u003d 3 für uns geeignet ist, und wir schreiben es als endgültige Antwort auf.

Für die Zukunft ist es sehr wichtig, sich an Folgendes zu erinnern: Wir lösen jede logarithmische Gleichung in 2 Stufen. Das erste - wir lösen die Gleichung selbst, das zweite - wir lösen die Bedingung der ODZ. Beide Schritte werden unabhängig voneinander durchgeführt und erst beim Schreiben der Antwort verglichen, d.h. wir verwerfen alles Unnötige und schreiben die richtige Antwort auf.

Zur Festigung des Materials empfehlen wir dringend, sich das Video anzusehen:

Im Video weitere Beispiele zum Lösen des Protokolls. Gleichungen und Ausarbeitung der Methode der Intervalle in der Praxis.

Dazu zum Thema wie man logarithmische gleichungen löst bis alles. Wenn etwas nach der Entscheidung des Protokolls. Gleichungen unklar oder unverständlich geblieben sind, schreiben Sie Ihre Fragen in die Kommentare.

Hinweis: Die Akademie für Sozialpädagogik (KSUE) ist bereit, neue Studierende aufzunehmen.

Beispiele:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

So lösen Sie logarithmische Gleichungen:

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung lösen, müssen Sie sich bemühen, sie in die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) umzuwandeln und dann den Übergang zu \(f( x)=g(x)\).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Beispiel:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Entscheidung: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Untersuchung:\(10>2\) - geeignet für ODZ Antworten:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Sehr wichtig! Dieser Übergang ist nur möglich, wenn:

Sie haben für die ursprüngliche Gleichung geschrieben und prüfen am Ende, ob die gefundenen im DPV enthalten sind. Wenn dies nicht getan wird, können zusätzliche Wurzeln erscheinen, was eine falsche Entscheidung bedeutet.

Die Zahl (oder der Ausdruck) ist links und rechts gleich;

Die Logarithmen links und rechts sind "rein", d.h. es dürfen keine Multiplikationen, Divisionen etc. - nur einsame Logarithmen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

Zum Beispiel:

Beachten Sie, dass die Gleichungen 3 und 4 leicht gelöst werden können, indem die gewünschten Eigenschaften von Logarithmen angewendet werden.

Beispiel . Löse die Gleichung \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Entscheidung :

		Schreiben wir ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Links vor dem Logarithmus steht der Koeffizient, rechts die Summe der Logarithmen. Das stört uns. Übertragen wir die beiden auf den Exponenten \(x\) durch die Eigenschaft: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Wir stellen die Summe der Logarithmen als einen einzigen Logarithmus dar durch die Eigenschaft: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Wir haben die Gleichung auf die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) gebracht und die ODZ aufgeschrieben, was bedeutet, dass wir den Übergang zur Form \(f (x)=g(x)\ ).
		Passiert . Wir lösen es und finden die Wurzeln.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Wir prüfen, ob die Wurzeln unter die ODZ passen. Dazu ersetzen wir in \(x>0\) statt \(x\) \(5\) und \(-5\). Diese Operation kann oral durchgeführt werden.
\(5>0\), \(-5>0\)		Die erste Ungleichung ist wahr, die zweite nicht. Also ist \(5\) die Wurzel der Gleichung, aber \(-5\) ist es nicht. Wir schreiben die Antwort auf.

Antworten : \(5\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Entscheidung :

		Schreiben wir ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Eine typische Gleichung gelöst mit . Ersetzen Sie \(\log_2⁡x\) durch \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Das Übliche erhalten. Auf der Suche nach seinen Wurzeln.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Eine umgekehrte Substitution vornehmen
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Wir transformieren die rechten Teile und stellen sie als Logarithmen dar: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) und \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Jetzt sind unsere Gleichungen \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) und wir können zu \(f(x)=g(x)\) springen.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Wir überprüfen die Übereinstimmung der Wurzeln der ODZ. Dazu setzen wir statt \(x\) \(4\) und \(2\) in die Ungleichung \(x>0\) ein.
\(4>0\) \(2>0\)		Beide Ungleichungen sind wahr. Also sind sowohl \(4\) als auch \(2\) die Wurzeln der Gleichung.

Antworten : \(4\); \(2\).