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Arithmetische Progression

Eine arithmetische Folge ist eine besondere Art von Folge. Daher müssen wir, bevor wir eine arithmetische (und dann geometrische) Progression definieren, kurz das wichtige Konzept einer Zahlenfolge diskutieren.

Folge

Stellen Sie sich ein Gerät vor, auf dessen Bildschirm nacheinander einige Zahlen angezeigt werden. Sagen wir 2; 7; dreizehn; ein; 6; 0; 3; : : : Eine solche Zahlenfolge ist nur ein Beispiel für eine Folge.

Definition. Eine Zahlenfolge ist eine Reihe von Zahlen, in denen jeder Zahl eine eindeutige Zahl zugeordnet werden kann (d. h. einer einzelnen natürlichen Zahl zugeordnet werden kann)1. Die Zahl mit der Nummer n heißt das n-te Glied der Folge.

Im obigen Beispiel hat die erste Zahl also die Zahl 2, die das erste Glied der Folge ist, die mit a1 bezeichnet werden kann; die Nummer fünf hat die Nummer 6, die das fünfte Glied der Sequenz ist, die als a5 bezeichnet werden kann. Im Allgemeinen wird das n-te Glied einer Sequenz mit an (oder bn , cn usw.) bezeichnet.

Eine sehr bequeme Situation ist, wenn das n-te Glied der Folge durch eine Formel angegeben werden kann. Beispielsweise gibt die Formel an = 2n 3 die Folge an: 1; ein; 3; 5; 7; : : : Die Formel an = (1)n definiert die Folge: 1; ein; ein; ein; : : :

Nicht jede Zahlenreihe ist eine Folge. Ein Segment ist also keine Sequenz; es enthält ¾zu viele¿ Nummern, um neu nummeriert zu werden. Auch die Menge R aller reellen Zahlen ist keine Folge. Diese Tatsachen werden im Laufe der mathematischen Analyse bewiesen.

Arithmetische Progression: grundlegende Definitionen

Jetzt können wir eine arithmetische Folge definieren.

Definition. Eine arithmetische Folge ist eine Sequenz, in der jeder Term (beginnend mit dem zweiten) gleich der Summe des vorherigen Terms und einer festen Zahl ist (die als Differenz der arithmetischen Folge bezeichnet wird).

Zum Beispiel Sequenz 2; 5; acht; elf; : : : ist eine arithmetische Folge mit erstem Glied 2 und Differenz 3. Folge 7; 2; 3; acht; : : : ist eine arithmetische Folge mit erstem Glied 7 und Differenz 5. Folge 3; 3; 3; : : : ist eine arithmetische Folge ohne Differenz.

Äquivalente Definition: Eine Folge an heißt arithmetische Folge, wenn die Differenz an+1 an eine Konstante (unabhängig von n) ist.

Eine arithmetische Progression heißt steigend, wenn ihre Differenz positiv ist, und fallend, wenn ihre Differenz negativ ist.

1 Und hier ist eine prägnantere Definition: Eine Folge ist eine Funktion, die auf der Menge natürlicher Zahlen definiert ist. Die Folge reeller Zahlen ist beispielsweise die Funktion f: N! R.

Standardmäßig werden Sequenzen als unendlich betrachtet, d. h. sie enthalten eine unendliche Anzahl von Zahlen. Aber niemand macht sich die Mühe, auch endliche Folgen zu berücksichtigen; Tatsächlich kann jede endliche Menge von Zahlen eine endliche Folge genannt werden. Zum Beispiel die letzte Sequenz 1; 2; 3; 4; 5 besteht aus fünf Zahlen.

Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge

Es ist leicht zu verstehen, dass eine arithmetische Progression vollständig durch zwei Zahlen bestimmt wird: den ersten Term und die Differenz. Daher stellt sich die Frage: Wie findet man, wenn man den ersten Term und die Differenz kennt, einen beliebigen Term einer arithmetischen Folge?

Es ist nicht schwierig, die gewünschte Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge zu erhalten. Lassen Sie ein

arithmetische Progression mit Differenz d. Wir haben:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Insbesondere schreiben wir:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
und jetzt wird klar, dass die Formel für an lautet:
an = a1 + (n 1)d:

Aufgabe 1. In arithmetischer Progression 2; 5; acht; elf; : : : Finden Sie die Formel des n-ten Terms und berechnen Sie den hundertsten Term.

Entscheidung. Nach Formel (1) gilt:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Eigenschaft und Zeichen der arithmetischen Progression

Eigenschaft einer arithmetischen Folge. In der arithmetischen Folge ein für alle

Mit anderen Worten, jedes Glied der arithmetischen Folge (beginnend mit dem zweiten) ist das arithmetische Mittel der benachbarten Glieder.

	Nachweisen. Wir haben:
	ein n 1+ ein n+1		(ein d) + (ein + d)

was erforderlich war.

Allgemeiner erfüllt die arithmetische Progression die Gleichheit

ein n = ein n k+ ein n+k

für jedes n > 2 und jedes natürliche k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Es stellt sich heraus, dass Formel (2) nicht nur eine notwendige, sondern auch eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass eine Folge eine arithmetische Folge ist.

Zeichen einer arithmetischen Progression. Wenn Gleichheit (2) für alle n > 2 gilt, dann ist die Folge an eine arithmetische Folge.

Nachweisen. Schreiben wir die Formel (2) wie folgt um:

ein na n 1= ein n+1a n:

Dies zeigt, dass die Differenz an+1 an nicht von n abhängt, was lediglich bedeutet, dass die Folge an eine arithmetische Folge ist.

Eigenschaft und Vorzeichen einer arithmetischen Folge lassen sich als eine Aussage formulieren; Der Einfachheit halber werden wir dies für drei Zahlen tun (dies ist die Situation, die häufig bei Problemen auftritt).

Charakterisierung einer arithmetischen Progression. Drei Zahlen a, b, c bilden genau dann eine arithmetische Folge, wenn 2b = a + c.

Aufgabe 2. (Staatliche Universität Moskau, Fakultät für Wirtschaftswissenschaften, 2007) Drei Zahlen 8x, 3 x2 und 4 in der angegebenen Reihenfolge bilden eine fallende arithmetische Folge. Finde x und schreibe die Differenz dieser Progression auf.

Entscheidung. Nach der Eigenschaft einer arithmetischen Progression gilt:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Bei x = 1 ergibt sich eine abnehmende Progression von 8, 2, 4 bei einer Differenz von 6. Bei x = 5 ergibt sich eine steigende Progression von 40, 22, 4; Dieser Fall funktioniert nicht.

Antwort: x = 1, die Differenz ist 6.

Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

Die Legende besagt, dass der Lehrer den Kindern einmal sagte, sie sollten die Summe der Zahlen von 1 bis 100 finden, und sich hinsetzte, um leise die Zeitung zu lesen. Doch innerhalb weniger Minuten sagte ein Junge, dass er das Problem gelöst habe. Es war der 9-jährige Carl Friedrich Gauß, später einer der größten Mathematiker der Geschichte.

Die Idee des kleinen Gauss war folgende. Lassen

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Schreiben wir diese Summe in umgekehrter Reihenfolge:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

und füge diese beiden Formeln hinzu:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Jeder Term in Klammern entspricht 101, und es gibt insgesamt 100 solcher Terme

2S = 101 100 = 10100;

Wir verwenden diese Idee, um die Summenformel herzuleiten

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Eine nützliche Modifikation der Formel (3) erhält man durch Einsetzen der Formel für den n-ten Term an = a1 + (n 1)d darin:

		2a1 + (n 1)d

Aufgabe 3. Finden Sie die Summe aller positiven dreistelligen Zahlen, die durch 13 teilbar sind.

Entscheidung. Dreistellige Zahlen, die Vielfache von 13 sind, bilden eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied 104 und der Differenz 13; Der n-te Term dieser Progression ist:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Mitglieder unsere Progression enthält. Dazu lösen wir die Ungleichung:

ein 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; Nr. 6 69:

Es gibt also 69 Mitglieder in unserer Progression. Nach der Formel (4) finden wir die erforderliche Menge:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674 : 2

Wenn jede natürliche Zahl n einer reellen Zahl entsprechen ein , dann sagen sie das gegeben Zahlenfolge :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ein , . . . .

Eine Zahlenfolge ist also eine Funktion eines natürlichen Arguments.

Anzahl a 1 namens das erste Glied der Folge , Anzahl a 2 — das zweite Glied der Folge , Anzahl a 3 — Dritter usw. Anzahl ein namens ntes Glied der Folge , und die natürliche Zahl n — seine Nummer .

Von zwei benachbarten Mitgliedern ein und ein +1 Mitgliedssequenzen ein +1 namens anschließend (gegenüber ein ), a ein — Bisherige (gegenüber ein +1 ).

Um eine Sequenz anzugeben, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Sequenzmitglied mit einer beliebigen Nummer finden können.

Oft wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Sequenzmitglied anhand seiner Nummer bestimmen können.

Zum Beispiel,

Die Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden

ein= 2n- 1,

und die Reihenfolge des Wechselns 1 und -1 - Formel

b n = (-1)n +1 . ◄

Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, das heißt, eine Formel, die jedes Glied der Folge ausdrückt, beginnend mit einigen, durch die vorherigen (ein oder mehrere) Glieder.

Zum Beispiel,

Wenn a 1 = 1 , a ein +1 = ein + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Wenn ein eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Glieder der Zahlenfolge wie folgt gesetzt:

eine 1 = 1,

eine 2 = 1,

eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,

eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,

eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sequenzen können sein Finale und endlos .

Die Sequenz wird aufgerufen ultimative wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos wenn es unendlich viele Mitglieder hat.

Zum Beispiel,

Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Finale.

Primzahlenfolge:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endlos. ◄

Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer ist als das vorherige.

Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner ist als das vorherige.

Zum Beispiel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ist eine aufsteigende Folge;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ist eine absteigende Folge. ◄

Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Folge .

Monotone Folgen sind insbesondere steigende Folgen und fallende Folgen.

Arithmetische Progression

Arithmetische Progression Es wird eine Sequenz aufgerufen, deren jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich der vorherigen ist, zu der dieselbe Nummer hinzugefügt wird.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ein, . . .

ist eine arithmetische Folge, wenn für jede natürliche Zahl n Bedingung ist erfüllt:

ein +1 = ein + d,

wo d - irgendeine Zahl.

Somit ist die Differenz zwischen dem nächsten und dem vorherigen Mitglied einer gegebenen arithmetischen Folge immer konstant:

eine 2 - a 1 = eine 3 - a 2 = . . . = ein +1 - ein = d.

Anzahl d namens die Differenz einer arithmetischen Progression.

Um eine arithmetische Progression festzulegen, genügt es, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn a 1 = 3, d = 4 , dann werden die ersten fünf Terme der Folge wie folgt gefunden:

eine 1 =3,

eine 2 = eine 1 + d = 3 + 4 = 7,

eine 3 = eine 2 + d= 7 + 4 = 11,

eine 4 = eine 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Für eine arithmetische Progression mit dem ersten Term a 1 und Unterschied d Sie n

ein = eine 1 + (n- 1)d.

Zum Beispiel,

Finde den dreißigsten Term einer arithmetischen Folge

1, 4, 7, 10, . . .

eine 1 =1, d = 3,

eine 30 = eine 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

ein n-1 = eine 1 + (n- 2)d,

ein= eine 1 + (n- 1)d,

ein +1 = a 1 + nd,

dann offensichtlich

ein=	ein n-1 + ein n+1
	2

jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Glieder.

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Mitglieder einer arithmetischen Folge, wenn eine von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der beiden anderen ist.

Zum Beispiel,

ein = 2n- 7 , ist eine arithmetische Folge.

Nehmen wir die obige Aussage. Wir haben:

ein = 2n- 7,

ein n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Somit,

ein n+1 + ein n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = ein,
2		2

◄

Beachten Sie, dass n -ten Glied einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden a 1 , aber auch alle vorherigen ein k

ein = ein k + (n- k)d.

Zum Beispiel,

zum a 5 kann geschrieben werden

eine 5 = eine 1 + 4d,

eine 5 = eine 2 + 3d,

eine 5 = eine 3 + 2d,

eine 5 = eine 4 + d. ◄

ein = ein n-k + kd,

ein = ein n+k - kd,

dann offensichtlich

ein=	a n-k + a n+k
	2

jedes Glied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der Glieder dieser arithmetischen Folge, die gleich weit davon entfernt sind.

Außerdem gilt für jede arithmetische Progression die Gleichheit:

ein m + ein n = ein k + ein l,

m + n = k + l.

Zum Beispiel,

in arithmetischer Folge

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;

4) eine 2 + eine 12 = eine 5 + eine 9, als

eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,

eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄

Sn= ein 1 + ein 2 + ein 3 + . . .+ ein,

Erste n Mitglieder einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Summe der Extremglieder mal der Anzahl der Glieder:

Daraus folgt insbesondere, dass wenn es notwendig ist, die Terme zu summieren

ein k, ein k +1 , . . . , ein,

dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:

Zum Beispiel,

in arithmetischer Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Wenn eine arithmetische Progression angegeben ist, dann die Mengen a 1 , ein, d, n undS n durch zwei Formeln verknüpft:

Wenn also die Werte von drei dieser Größen angegeben sind, dann werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert werden.

Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:

• Wenn d > 0 , dann nimmt es zu;
• Wenn d < 0 , dann nimmt er ab;
• Wenn d = 0 , dann ist die Folge stationär.

Geometrischer Verlauf

geometrischer Verlauf Es wird eine Folge aufgerufen, deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ist eine geometrische Folge, wenn für jede natürliche Zahl n Bedingung ist erfüllt:

b n +1 = b n · q,

wo q ≠ 0 - irgendeine Zahl.

Somit ist das Verhältnis des nächsten Glieds dieser geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Anzahl q namens Nenner einer geometrischen Folge.

Um eine geometrische Folge festzulegen, genügt es, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn b 1 = 1, q = -3 , dann werden die ersten fünf Terme der Folge wie folgt gefunden:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 und Nenner q Sie n -ten Term kann durch die Formel gefunden werden:

b n = b 1 · q n -1 .

Zum Beispiel,

Finden Sie den siebten Term einer geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

Mrd.-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

dann offensichtlich

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder.

Da auch die Umkehrung gilt, gilt folgende Behauptung:

Die Zahlen a, b und c sind aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Folge genau dann, wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, d. h. eine der Zahlen das geometrische Mittel der anderen beiden ist.

Zum Beispiel,

Lassen Sie uns beweisen, dass die durch die Formel gegebene Folge b n= -3 2 n , ist eine geometrische Progression. Nehmen wir die obige Aussage. Wir haben:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Somit,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

was die geforderte Behauptung beweist. ◄

Beachten Sie, dass n ter Term einer geometrischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden b 1 , sondern auch alle vorherigen Terme b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden

b n = b k · q n - k.

Zum Beispiel,

zum b 5 kann geschrieben werden

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

dann offensichtlich

b n 2 = b n - k· b n + k

das Quadrat jedes Gliedes einer geometrischen Folge, beginnend mit der zweiten, ist gleich dem Produkt der Glieder dieser Folge, die gleich weit davon entfernt sind.

Außerdem gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Zum Beispiel,

exponentiell

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , als

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

Erste n Mitglieder einer geometrischen Folge mit einem Nenner q ≠ 0 berechnet nach der Formel:

Und wann q = 1 - laut Formel

Sn= nb 1

Beachten Sie, dass, wenn wir die Terme summieren müssen

b k, b k +1 , . . . , b n,

dann wird die Formel verwendet:

Sn- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Zum Beispiel,

exponentiell 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Wenn eine geometrische Progression angegeben ist, dann die Mengen b 1 , b n, q, n und Sn durch zwei Formeln verknüpft:

Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert werden.

Für eine geometrische Progression mit dem ersten Term b 1 und Nenner q folgendes passiert Monotonieeigenschaften :

• die Progression steigt, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

b 1 > 0 und q> 1;

b 1 < 0 und 0 < q< 1;

• Eine Progression ist abnehmend, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

b 1 > 0 und 0 < q< 1;

b 1 < 0 und q> 1.

Wenn ein q< 0 , dann ist die geometrische Folge vorzeichenwechselnd: Ihre ungeradzahligen Terme haben dasselbe Vorzeichen wie ihr erster Term, und geradzahlige Terme haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.

Produkt der ersten n Terme einer geometrischen Folge können durch die Formel berechnet werden:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Zum Beispiel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Stufenlos abnehmender geometrischer Verlauf

Stufenlos abnehmender geometrischer Verlauf heißt eine unendliche geometrische Folge, deren Nennermodul kleiner als ist 1 , also

|q| < 1 .

Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge keine abnehmende Sequenz sein muss. Das passt zum Fall

1 < q< 0 .

Bei einem solchen Nenner ist die Folge vorzeichenwechselnd. Zum Beispiel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, zu der die Summe der ersten ist n Bedingungen der Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl n . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Zum Beispiel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Beziehung zwischen arithmetischen und geometrischen Progressionen

Arithmetische und geometrische Progressionen sind eng miteinander verbunden. Betrachten wir nur zwei Beispiele.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , dann

b ein 1 , b ein 2 , b ein 3 , . . . b d .

Zum Beispiel,

1, 3, 5, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz 2 und

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner q , dann

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz log aq .

Zum Beispiel,

2, 12, 72, . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner 6 und

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz lg 6 . ◄

Arithmetische und geometrische Progressionen

Theoretische Informationen

Theoretische Informationen

	Arithmetische Progression	Geometrischer Verlauf
Definition	Arithmetische Progression ein Es wird eine Sequenz aufgerufen, bei der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Mitglied ist, das mit derselben Nummer hinzugefügt wird d (d- Progressionsdifferenz)	geometrischer Verlauf b n Es wird eine Folge von Nicht-Null-Zahlen aufgerufen, von denen jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Term ist, multipliziert mit derselben Zahl q (q- Nenner der Progression)
Wiederkehrende Formel	Für alle natürlichen n ein n + 1 = ein n + d	Für alle natürlichen n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-te Termformel	ein n = ein 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
charakteristische Eigenschaft
Summe der ersten n Terme

Beispiele für Aufgaben mit Kommentaren

Übung 1

In arithmetischer Folge ( ein) eine 1 = -6, eine 2

Nach der Formel des n-ten Terms:

eine 22 = eine 1+ d (22 - 1) = eine 1+ 21d

Nach Bedingung:

eine 1= -6, also eine 22= -6 + 21d.

Es ist notwendig, den Unterschied der Progressionen zu finden:

d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2

eine 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Antworten : eine 22 = -48.

Aufgabe 2

Finden Sie den fünften Term der geometrischen Folge: -3; 6; ....

1. Weg (unter Verwendung der n-Term-Formel)

Nach der Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Als b 1 = -3,

2. Weg (mit rekursiver Formel)

Da der Nenner der Progression -2 ist (q = -2), dann:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Antworten : b 5 = -48.

Aufgabe 3

In arithmetischer Folge ( ein n) ein 74 = 34; eine 76= 156. Finde den fünfundsiebzigsten Term dieser Progression.

Für eine arithmetische Folge hat die charakteristische Eigenschaft die Form .

Deshalb:

.

Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

Antwort: 95.

Aufgabe 4

In arithmetischer Folge ( ein n) ein n= 3n - 4. Finde die Summe der ersten siebzehn Terme.

Um die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge zu finden, werden zwei Formeln verwendet:

.

Welche von ihnen ist in diesem Fall bequemer anzuwenden?

Durch die Bedingung ist die Formel des n-ten Mitglieds der ursprünglichen Progression bekannt ( ein) ein= 3n - 4. Kann sofort gefunden werden und eine 1, und eine 16 ohne d zu finden. Daher verwenden wir die erste Formel.

Antwort: 368.

Aufgabe 5

In arithmetischer Progression ein) eine 1 = -6; eine 2= -8. Finden Sie den zweiundzwanzigsten Term der Progression.

Nach der Formel des n-ten Terms:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = eine 1+ 21d.

Nach Bedingung, wenn eine 1= -6, dann eine 22= -6 + 21d. Es ist notwendig, den Unterschied der Progressionen zu finden:

d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2

eine 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Antworten : eine 22 = -48.

Aufgabe 6

Mehrere aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Progression werden aufgezeichnet:

Finden Sie den Term der Progression, gekennzeichnet durch den Buchstaben x .

Beim Lösen verwenden wir die Formel für den n-ten Term b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 für geometrische Verläufe. Das erste Mitglied der Progression. Um den Nenner der Progression q zu finden, müssen Sie einen dieser Terme der Progression nehmen und durch den vorherigen dividieren. In unserem Beispiel kannst du nehmen und durch dividieren. Wir erhalten das q \u003d 3. Anstelle von n ersetzen wir 3 in der Formel, da der dritte Term einer bestimmten geometrischen Folge gefunden werden muss.

Setzen wir die gefundenen Werte in die Formel ein, erhalten wir:

.

Antworten : .

Aufgabe 7

Wählen Sie aus den arithmetischen Progressionen, die durch die Formel des n-ten Terms gegeben sind, diejenige aus, für die die Bedingung erfüllt ist eine 27 > 9:

Da die angegebene Bedingung für den 27. Term der Progression erfüllt sein muss, setzen wir in jeder der vier Progressionen 27 anstelle von n ein. In der 4. Progression erhalten wir:

.

Antwort: 4.

Aufgabe 8

In arithmetischer Progression eine 1= 3, d = -1,5. Geben Sie den größten Wert von n an, für den die Ungleichung gilt ein > -6.

Arithmetische Progressionsprobleme gab es schon in der Antike. Sie traten auf und forderten eine Lösung, weil sie ein praktisches Bedürfnis hatten.

So enthält einer der Papyri des alten Ägypten, der einen mathematischen Inhalt hat - der Rhind-Papyrus (19. Jahrhundert v. Chr.) - die folgende Aufgabe: Teilen Sie zehn Maß Brot in zehn Personen, vorausgesetzt, dass der Unterschied zwischen jedem von ihnen eins ist Achtel einer Maßnahme.

Und in den mathematischen Werken der alten Griechen gibt es elegante Theoreme, die sich auf die arithmetische Progression beziehen. So formulierte Hypsicles von Alexandria (2. Jahrhundert, der viele interessante Probleme zusammenstellte und das vierzehnte Buch zu Euklids „Elementen“ hinzufügte) die Idee: „Bei einer arithmetischen Folge mit gerader Gliederzahl ist die Summe der Glieder der 2. Hälfte größer ist als die Summe der Mitglieder des 1. Quadrats 1 / 2 Mitglieder.

Die Folge an ist bezeichnet. Die Nummern der Sequenz werden ihre Mitglieder genannt und werden normalerweise durch Buchstaben mit Indizes bezeichnet, die die Seriennummer dieses Mitglieds angeben (a1, a2, a3 ... es lautet: „ein 1.“, „ein 2.“, „ein 3 “ und so weiter).

Die Folge kann unendlich oder endlich sein.

Was ist eine arithmetische Progression? Er wird so verstanden, dass er durch Addition des vorangehenden Terms (n) mit der gleichen Nummer d erhalten wird, was die Differenz der Progression ist.

Wenn d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, dann wird ein solcher Verlauf als ansteigend angesehen.

Eine arithmetische Folge heißt endlich, wenn nur wenige ihrer ersten Terme berücksichtigt werden. Bei einer sehr großen Anzahl von Mitgliedern ist dies bereits eine unendliche Progression.

Jede arithmetische Progression wird durch die folgende Formel angegeben:

an =kn+b, während b und k einige Zahlen sind.

Die umgekehrte Aussage ist absolut richtig: Wenn die Folge durch eine ähnliche Formel gegeben ist, dann ist dies genau eine arithmetische Folge, die die Eigenschaften hat:

1. Jedes Mitglied der Progression ist das arithmetische Mittel des vorherigen Mitglieds und des nächsten.
2. Umgekehrt: Wenn ab dem 2. jeder Term das arithmetische Mittel des vorherigen und des nächsten Terms ist, also wenn die Bedingung erfüllt ist, dann ist die gegebene Folge eine arithmetische Folge. Diese Gleichheit ist auch ein Zeichen des Fortschritts, daher wird sie gewöhnlich als charakteristische Eigenschaft des Fortschritts bezeichnet.
   Ebenso gilt der Satz, der diese Eigenschaft widerspiegelt: Eine Folge ist nur dann eine arithmetische Folge, wenn diese Gleichheit für alle Mitglieder der Folge, beginnend mit dem 2., gilt.

Die charakteristische Eigenschaft für vier beliebige Zahlen einer arithmetischen Folge kann durch die Formel an + am = ak + al ausgedrückt werden, wenn n + m = k + l (m, n, k sind die Zahlen der Folge).

In einer arithmetischen Folge kann jeder notwendige (N-te) Term durch Anwendung der folgenden Formel gefunden werden:

Zum Beispiel: Der erste Term (a1) in einer arithmetischen Folge ist gegeben und gleich drei, und die Differenz (d) ist gleich vier. Sie müssen das fünfundvierzigste Glied dieser Progression finden. a45 = 1+4(45-1)=177

Mit der Formel an = ak + d(n - k) können Sie das n-te Glied einer arithmetischen Folge durch jedes ihrer k-ten Glied bestimmen, sofern es bekannt ist.

Die Summe der Glieder einer arithmetischen Folge (unter Annahme der 1. n Glieder der Endfolge) errechnet sich wie folgt:

Sn = (a1+an)n/2.

Wenn auch der 1. Term bekannt ist, ist eine andere Formel zur Berechnung geeignet:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Die Summe einer arithmetischen Folge, die n Terme enthält, wird wie folgt berechnet:

Die Wahl der Formeln für Berechnungen hängt von den Bedingungen der Aufgaben und den Ausgangsdaten ab.

Die natürliche Reihe beliebiger Zahlen wie 1,2,3,...,n,... ist das einfachste Beispiel einer arithmetischen Folge.

Neben der arithmetischen Progression gibt es auch eine geometrische, die ihre eigenen Eigenschaften und Besonderheiten hat.

Ja, ja: Arithmetische Progression ist kein Spielzeug für dich :)

Nun, Freunde, wenn Sie diesen Text lesen, dann sagt mir der interne Cap-Beweis, dass Sie immer noch nicht wissen, was eine arithmetische Progression ist, aber Sie wollen es wirklich (nein, so: SOOOOO!) wissen. Daher werde ich Sie nicht mit langen Vorstellungsgesprächen quälen und gleich zur Sache kommen.

Zu Beginn ein paar Beispiele. Betrachten Sie mehrere Sätze von Zahlen:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Was haben all diese Sets gemeinsam? Auf den ersten Blick nichts. Aber tatsächlich gibt es etwas. Nämlich: jedes nächste Element unterscheidet sich vom vorherigen durch die gleiche Nummer.

Urteile selbst. Der erste Satz besteht nur aus fortlaufenden Nummern, jede mehr als die vorherige. Im zweiten Fall ist die Differenz zwischen benachbarten Zahlen bereits gleich fünf, aber diese Differenz ist immer noch konstant. Im dritten Fall gibt es im Allgemeinen Wurzeln. Allerdings ist $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, während $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, also in diesem Fall erhöht sich jedes nächste Element einfach um $\sqrt(2)$ (und haben Sie keine Angst, dass diese Zahl irrational ist).

Also: alle solche Folgen nennt man einfach arithmetische Progressionen. Lassen Sie uns eine strenge Definition geben:

Definition. Eine Folge von Zahlen, bei der sich jede nächste um genau den gleichen Betrag von der vorherigen unterscheidet, wird als arithmetische Progression bezeichnet. Der genaue Betrag, um den sich die Zahlen unterscheiden, wird als Progressionsdifferenz bezeichnet und wird meistens mit dem Buchstaben $d$ bezeichnet.

Notation: $\left(((a)_(n)) \right)$ ist die Progression selbst, $d$ ist ihre Differenz.

Und nur ein paar wichtige Bemerkungen. Zunächst wird nur die Progression betrachtet ordentlich Zahlenfolge: Sie dürfen streng in der Reihenfolge gelesen werden, in der sie geschrieben wurden - und sonst nichts. Sie können Nummern nicht neu anordnen oder vertauschen.

Zweitens kann die Folge selbst entweder endlich oder unendlich sein. Beispielsweise ist die Menge (1; 2; 3) offensichtlich eine endliche arithmetische Folge. Aber wenn Sie so etwas wie (1; 2; 3; 4; ...) schreiben, ist dies bereits eine unendliche Progression. Die Auslassungspunkte hinter der Vier deuten sozusagen darauf hin, dass ziemlich viele Zahlen weiter gehen. Unendlich viele zum Beispiel. :)

Ich möchte auch darauf hinweisen, dass die Progressionen zunehmen und abnehmen. Wir haben bereits zunehmende gesehen - die gleiche Menge (1; 2; 3; 4; ...). Hier sind Beispiele für abnehmende Progressionen:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Okay, okay: Das letzte Beispiel mag zu kompliziert erscheinen. Aber den Rest, denke ich, verstehst du. Daher führen wir neue Definitionen ein:

Definition. Eine arithmetische Folge heißt:

1. Erhöhen, wenn jedes nächste Element größer als das vorherige ist;
2. abnehmend, wenn im Gegenteil jedes nachfolgende Element kleiner als das vorherige ist.

Darüber hinaus gibt es sogenannte "stationäre" Sequenzen - sie bestehen aus der gleichen sich wiederholenden Nummer. Zum Beispiel (3; 3; 3; ...).

Bleibt nur noch eine Frage: Wie kann man eine zunehmende Progression von einer abnehmenden unterscheiden? Zum Glück hängt hier alles nur vom Vorzeichen der Zahl $d$ ab, also Progressionsunterschiede:

1. Wenn $d \gt 0$, dann steigt die Progression;
2. Wenn $d \lt 0$, dann ist die Progression offensichtlich abnehmend;
3. Schließlich gibt es noch den Fall $d=0$ – in diesem Fall reduziert sich die gesamte Folge auf eine stationäre Folge identischer Zahlen: (1; 1; 1; 1; ...) usw.

Versuchen wir, die Differenz $d$ für die drei abnehmenden Progressionen oben zu berechnen. Dazu reicht es aus, zwei benachbarte Elemente (z. B. das erste und das zweite) zu nehmen und von der rechten Zahl die linke Zahl zu subtrahieren. Es wird so aussehen:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Wie Sie sehen, fiel die Differenz in allen drei Fällen wirklich negativ aus. Und jetzt, da wir die Definitionen mehr oder weniger herausgefunden haben, ist es an der Zeit herauszufinden, wie Progressionen beschrieben werden und welche Eigenschaften sie haben.

Mitglieder der Progression und der wiederkehrenden Formel

Da die Elemente unserer Sequenzen nicht vertauscht werden können, können sie nummeriert werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Rechts\)\]

Einzelne Elemente dieser Menge werden Mitglieder der Progression genannt. Sie werden auf diese Weise mit Hilfe einer Nummer angegeben: das erste Mitglied, das zweite Mitglied und so weiter.

Darüber hinaus sind, wie wir bereits wissen, benachbarte Mitglieder der Progression durch die Formel miteinander verbunden:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Kurz gesagt, um den $n$ten Term der Progression zu finden, müssen Sie den $n-1$ten Term und die Differenz $d$ kennen. Eine solche Formel wird als rekurrent bezeichnet, da Sie mit ihrer Hilfe jede Zahl finden können, wobei Sie nur die vorherige (und tatsächlich alle vorherigen) kennen. Das ist sehr umständlich, daher gibt es eine kniffligere Formel, die jede Berechnung auf den ersten Term und die Differenz reduziert:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Wahrscheinlich ist Ihnen diese Formel schon einmal begegnet. Sie geben es gerne in allen möglichen Nachschlagewerken und Reshebniks. Und in jedem vernünftigen Lehrbuch der Mathematik ist es eines der ersten.

Ich empfehle Ihnen jedoch, ein wenig zu üben.

Aufgabe Nummer 1. Schreiben Sie die ersten drei Glieder der arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$ auf, wenn $((a)_(1))=8,d=-5$.

Entscheidung. Wir kennen also den ersten Term $((a)_(1))=8$ und die Progressionsdifferenz $d=-5$. Lassen Sie uns die gerade gegebene Formel verwenden und $n=1$, $n=2$ und $n=3$ ersetzen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Antwort: (8; 3; -2)

Das ist alles! Beachten Sie, dass unser Fortschritt abnimmt.

Natürlich hätte $n=1$ nicht ersetzt werden können - den ersten Term kennen wir bereits. Durch das Ersetzen der Einheit haben wir jedoch dafür gesorgt, dass unsere Formel auch für den ersten Term funktioniert. In anderen Fällen lief alles auf banale Arithmetik hinaus.

Aufgabe Nummer 2. Schreiben Sie die ersten drei Glieder einer arithmetischen Folge auf, wenn ihr siebtes Glied −40 und ihr siebzehntes Glied −50 ist.

Entscheidung. Wir schreiben den Zustand des Problems in den üblichen Begriffen:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Rechts.\]

Ich setze das Zeichen des Systems, weil diese Anforderungen gleichzeitig erfüllt werden müssen. Und jetzt stellen wir fest, dass wir, wenn wir die erste Gleichung von der zweiten Gleichung subtrahieren (wir haben das Recht dazu, weil wir ein System haben), Folgendes erhalten:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Einfach so haben wir den Fortschrittsunterschied gefunden! Es bleibt, die gefundene Zahl in einer der Gleichungen des Systems zu ersetzen. Zum Beispiel im ersten:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrix)\]

Nun, da wir den ersten Term und den Unterschied kennen, müssen wir noch den zweiten und dritten Term finden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Bereit! Problem gelöst.

Antwort: (-34; -35; -36)

Beachten Sie eine merkwürdige Eigenschaft der Progression, die wir entdeckt haben: Wenn wir die $n$ten und $m$ten Terme nehmen und sie voneinander subtrahieren, erhalten wir die Differenz der Progression multipliziert mit der Zahl $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Eine einfache, aber sehr nützliche Eigenschaft, die Sie unbedingt kennen sollten – mit ihrer Hilfe können Sie die Lösung vieler Progressionsprobleme erheblich beschleunigen. Hier ist ein Paradebeispiel dafür:

Aufgabe Nummer 3. Das fünfte Glied der arithmetischen Folge ist 8,4 und ihr zehntes Glied ist 14,4. Finden Sie den fünfzehnten Term dieser Progression.

Entscheidung. Da $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, und wir $((a)_(15))$ finden müssen, notieren wir Folgendes:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Aber nach Bedingung $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, also $5d=6$, woraus wir haben:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Antwort: 20.4

Das ist alles! Wir mussten keine Gleichungssysteme aufstellen und den ersten Term und die Differenz berechnen – alles war in nur wenigen Zeilen entschieden.

Betrachten wir nun einen anderen Problemtyp – die Suche nach negativen und positiven Gliedern der Progression. Es ist kein Geheimnis, dass, wenn die Progression zunimmt, während ihr erster Term negativ ist, früher oder später positive Terme darin erscheinen. Und umgekehrt: Die Terme einer abnehmenden Progression werden früher oder später negativ.

Gleichzeitig ist es bei weitem nicht immer möglich, diesen Moment „auf der Stirn“ zu finden und die Elemente der Reihe nach zu sortieren. Oft sind Aufgaben so angelegt, dass ohne Kenntnis der Formeln Berechnungen mehrere Blätter dauern würden – wir würden einfach einschlafen, bis wir die Antwort gefunden hätten. Daher werden wir versuchen, diese Probleme schneller zu lösen.

Aufgabe Nummer 4. Wie viele negative Terme in einer arithmetischen Folge -38,5; -35,8; …?

Entscheidung. Also $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, woraus wir sofort die Differenz finden:

Beachten Sie, dass die Differenz positiv ist, die Progression also zunimmt. Der erste Term ist negativ, also werden wir tatsächlich irgendwann auf positive Zahlen stoßen. Die Frage ist nur, wann dies geschehen wird.

Versuchen wir herauszufinden, wie lange (also bis zu welcher natürlichen Zahl $n$) die Negativität der Terme erhalten bleibt:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Die letzte Zeile ist erklärungsbedürftig. Wir wissen also, dass $n \lt 15\frac(7)(27)$. Auf der anderen Seite passen uns nur ganzzahlige Werte der Zahl (im Übrigen: $n\in \mathbb(N)$), also ist die größte zulässige Zahl genau $n=15$ und auf keinen Fall 16.

Aufgabe Nummer 5. In arithmetischer Folge $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Finde die Nummer des ersten positiven Terms dieser Progression.

Dies wäre genau das gleiche Problem wie das vorherige, aber wir kennen $((a)_(1))$ nicht. Aber die benachbarten Terme sind bekannt: $((a)_(5))$ und $((a)_(6))$, sodass wir den Progressionsunterschied leicht finden können:

Versuchen wir außerdem, den fünften Term in Bezug auf den ersten und die Differenz mit der Standardformel auszudrücken:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Nun gehen wir analog zum vorigen Problem vor. Wir finden heraus, an welcher Stelle in unserer Folge positive Zahlen erscheinen:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rechtspfeil ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Die kleinste ganzzahlige Lösung dieser Ungleichung ist die Zahl 56.

Bitte beachten Sie, dass in der letzten Aufgabe alles auf strikte Ungleichheit reduziert wurde, sodass die Option $n=55$ nicht zu uns passt.

Nachdem wir nun gelernt haben, einfache Probleme zu lösen, gehen wir zu komplexeren über. Aber zuerst lernen wir eine weitere sehr nützliche Eigenschaft arithmetischer Progressionen kennen, die uns in Zukunft viel Zeit und ungleiche Zellen ersparen wird. :)

Arithmetisches Mittel und gleiche Einzüge

Betrachten Sie mehrere aufeinanderfolgende Terme der aufsteigenden arithmetischen Folge $\left(((a)_(n)) \right)$. Versuchen wir, sie auf einem Zahlenstrahl zu markieren:

Arithmetische Progressionsmitglieder auf dem Zahlenstrahl

Ich habe ausdrücklich die willkürlichen Elemente $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ und nicht irgendwelche $((a)_(1)) notiert, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ usw. Denn die Regel, die ich Ihnen jetzt verrate, funktioniert für alle „Segmente“ gleich.

Und die Regel ist ganz einfach. Merken wir uns die rekursive Formel und schreiben sie für alle markierten Mitglieder auf:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Diese Gleichheiten können jedoch anders umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Na so was? Aber die Tatsache, dass die Terme $((a)_(n-1))$ und $((a)_(n+1))$ den gleichen Abstand von $((a)_(n)) $ haben . Und dieser Abstand ist gleich $d$. Das gleiche gilt für die Terme $((a)_(n-2))$ und $((a)_(n+2))$ - sie werden auch aus $((a)_(n) entfernt )$ um die gleiche Distanz gleich $2d$. Sie können endlos fortfahren, aber das Bild veranschaulicht die Bedeutung gut

Die Glieder der Progression liegen im gleichen Abstand vom Zentrum

Was bedeutet das für uns? Das bedeutet, dass Sie $((a)_(n))$ finden können, wenn die Nachbarzahlen bekannt sind:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Wir haben eine großartige Aussage abgeleitet: Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist gleich dem arithmetischen Mittel der benachbarten Glieder! Außerdem können wir von unserem $((a)_(n))$ nach links und rechts nicht um einen Schritt, sondern um $k$ Schritte abweichen — und trotzdem stimmt die Formel:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Jene. wir können leicht $((a)_(150))$ finden, wenn wir $((a)_(100))$ und $((a)_(200))$ kennen, weil $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass uns diese Tatsache nichts Nützliches bringt. In der Praxis werden jedoch viele Aufgaben speziell für die Verwendung des arithmetischen Mittels „geschärft“. Schau mal:

Aufgabe Nummer 6. Finde alle Werte von $x$, sodass die Zahlen $-6((x)^(2))$, $x+1$ und $14+4((x)^(2))$ aufeinanderfolgende Mitglieder sind eine arithmetische Progression (in festgelegter Reihenfolge).

Entscheidung. Da diese Zahlen Glieder einer Progression sind, ist für sie die Bedingung des arithmetischen Mittels erfüllt: Das zentrale Element $x+1$ kann durch benachbarte Elemente ausgedrückt werden:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Das Ergebnis ist eine klassische quadratische Gleichung. Seine Wurzeln: $x=2$ und $x=-3$ sind die Antworten.

Antwort: -3; 2.

Aufgabe Nummer 7. Finde die Werte von $$ so, dass die Zahlen $-1;4-3;(()^(2))+1$ eine arithmetische Folge bilden (in dieser Reihenfolge).

Entscheidung. Auch hier drücken wir den mittleren Term durch das arithmetische Mittel benachbarter Terme aus:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Noch eine quadratische Gleichung. Und wieder zwei Wurzeln: $x=6$ und $x=1$.

Antwort 1; 6.

Wenn Sie beim Lösen eines Problems brutale Zahlen erhalten oder sich der Richtigkeit der gefundenen Antworten nicht ganz sicher sind, gibt es einen wunderbaren Trick, mit dem Sie überprüfen können: Haben wir das Problem richtig gelöst?

Nehmen wir an, in Aufgabe 6 haben wir die Antworten -3 und 2 bekommen. Wie können wir überprüfen, ob diese Antworten richtig sind? Stecken wir sie einfach in den Originalzustand und sehen was passiert. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir drei Zahlen haben ($-6(()^(2))$, $+1$ und $14+4(()^(2))$), die eine arithmetische Folge bilden sollten. $x=-3$ ersetzen:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &#x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Wir haben die Zahlen -54; –2; 50, die sich um 52 unterscheiden, ist zweifellos eine arithmetische Folge. Dasselbe passiert für $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &#x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Wieder eine Progression, aber mit einer Differenz von 27. Damit ist das Problem richtig gelöst. Wer möchte, kann die zweite Aufgabe selbst prüfen, aber ich sage gleich: Auch da stimmt alles.

Im Allgemeinen sind wir bei der Lösung der letzten Probleme auf eine weitere interessante Tatsache gestoßen, an die wir uns auch erinnern müssen:

Wenn drei Zahlen so sind, dass die zweite der Durchschnitt der ersten und letzten ist, dann bilden diese Zahlen eine arithmetische Folge.

In Zukunft wird uns das Verständnis dieser Aussage ermöglichen, die notwendigen Progressionen basierend auf dem Zustand des Problems buchstäblich zu „konstruieren“. Aber bevor wir uns auf eine solche "Konstruktion" einlassen, sollten wir noch eine Tatsache beachten, die sich direkt aus dem bisher Besprochenen ergibt.

Gruppierung und Summe von Elementen

Gehen wir noch einmal zurück zum Zahlenstrahl. Wir stellen dort mehrere Mitglieder der Progression fest, zwischen denen vielleicht. viele andere Mitglieder wert:

6 Elemente auf dem Zahlenstrahl markiert

Versuchen wir, den "linken Schwanz" in Form von $((a)_(n))$ und $d$ auszudrücken, und den "rechten Schwanz" in Form von $((a)_(k))$ und $ d$. Es ist sehr einfach:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Beachten Sie nun, dass die folgenden Summen gleich sind:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Einfach ausgedrückt, wenn wir als Anfang zwei Elemente der Progression betrachten, die insgesamt gleich einer Zahl $S$ sind, und dann beginnen, von diesen Elementen in entgegengesetzte Richtungen zu gehen (aufeinander zu oder umgekehrt, um sich zu entfernen), dann die Summen der Elemente, auf die wir stoßen werden, werden ebenfalls gleich sein$S$. Dies lässt sich am besten grafisch darstellen:

Gleiche Einrückungen ergeben gleiche Summen

Das Verständnis dieser Tatsache wird es uns ermöglichen, Probleme mit einer grundlegend höheren Komplexität als die oben betrachteten zu lösen. Zum Beispiel diese:

Aufgabe Nummer 8. Bestimmen Sie die Differenz einer arithmetischen Folge, bei der der erste Term 66 ist und das Produkt aus dem zweiten und dem zwölften Term das kleinstmögliche ist.

Entscheidung. Schreiben wir alles auf, was wir wissen:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Wir kennen also den Unterschied der Progression $d$ nicht. Eigentlich wird die ganze Lösung um den Unterschied herum aufgebaut, da das Produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ wie folgt umgeschrieben werden kann:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Für die im Tank: Ich habe den gemeinsamen Faktor 11 aus der zweiten Klammer herausgenommen. Das gesuchte Produkt ist also eine quadratische Funktion bezüglich der Variablen $d$. Betrachten Sie daher die Funktion $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - ihr Graph ist eine Parabel mit Zweigen nach oben, weil Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Wie Sie sehen können, ist der Koeffizient mit dem höchsten Term 11 – das ist eine positive Zahl, also haben wir es wirklich mit einer Parabel mit Ästen nach oben zu tun:

Graph einer quadratischen Funktion - Parabel

Beachte: Diese Parabel nimmt ihren Minimalwert an ihrem Scheitelpunkt mit der Abszisse $((d)_(0))$ an. Natürlich können wir diese Abszisse nach dem Standardschema berechnen (es gibt eine Formel $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), aber es wäre viel sinnvoller Beachten Sie, dass der gewünschte Scheitelpunkt auf der Achsensymmetrie der Parabel liegt, sodass der Punkt $((d)_(0))$ gleich weit von den Wurzeln der Gleichung $f\left(d \right)=0$ entfernt ist:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Deshalb hatte ich es nicht eilig, die Klammern zu öffnen: In der ursprünglichen Form waren die Wurzeln sehr, sehr leicht zu finden. Daher ist die Abszisse gleich dem arithmetischen Mittel der Zahlen −66 und −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Was gibt uns die entdeckte Zahl? Damit nimmt das benötigte Produkt den kleinsten Wert an (wir haben übrigens $((y)_(\min ))$ nicht berechnet - das wird von uns nicht verlangt). Gleichzeitig ist diese Zahl die Differenz der Anfangsprogression, d.h. Wir haben die Antwort gefunden. :)

Antwort: -36

Aufgabe Nummer 9. Füge zwischen den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac(1)(6)$ drei Zahlen ein, sodass sie zusammen mit den gegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden.

Entscheidung. Tatsächlich müssen wir eine Folge von fünf Zahlen bilden, wobei die erste und letzte Zahl bereits bekannt sind. Kennzeichnen Sie die fehlenden Zahlen durch die Variablen $x$, $y$ und $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Beachten Sie, dass die Zahl $y$ die "Mitte" unserer Sequenz ist - sie ist gleich weit entfernt von den Zahlen $x$ und $z$ und von den Zahlen $-\frac(1)(2)$ und $-\frac (1)(6)$. Und wenn wir aus den Zahlen $x$ und $z$ im Moment nicht $y$ bekommen können, dann ist das bei den Enden der Progression anders. Denken Sie an das arithmetische Mittel:

Nun, da wir $y$ kennen, werden wir die verbleibenden Zahlen finden. Beachten Sie, dass $x$ zwischen $-\frac(1)(2)$ und $y=-\frac(1)(3)$ liegt, die gerade gefunden wurden. So

Ähnlich argumentierend finden wir die verbleibende Zahl:

Bereit! Wir haben alle drei Nummern gefunden. Schreiben wir sie in der Antwort in der Reihenfolge auf, in der sie zwischen die ursprünglichen Zahlen eingefügt werden sollen.

Antwort: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Aufgabe Nummer 10. Füge zwischen den Zahlen 2 und 42 mehrere Zahlen ein, die zusammen mit den gegebenen Zahlen eine arithmetische Folge bilden, wenn bekannt ist, dass die Summe der ersten, zweiten und letzten der eingefügten Zahlen 56 ist.

Entscheidung. Eine noch schwierigere Aufgabe, die jedoch auf die gleiche Weise wie die vorherigen gelöst wird - durch das arithmetische Mittel. Das Problem ist, dass wir nicht genau wissen, wie viele Zahlen wir einfügen müssen. Daher nehmen wir zur Sicherheit an, dass es nach dem Einfügen genau $n$ Zahlen geben wird, und die erste davon ist 2 und die letzte 42. In diesem Fall kann die gewünschte arithmetische Folge wie folgt dargestellt werden:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Beachten Sie jedoch, dass die Zahlen $((a)_(2))$ und $((a)_(n-1))$ aus den Zahlen 2 und 42 erhalten werden, die an den Rändern um einen Schritt zueinander stehen , d. h. in die Mitte der Sequenz. Und das bedeutet das

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Aber dann kann der obige Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Wenn wir $((a)_(3))$ und $((a)_(1))$ kennen, können wir den Fortschrittsunterschied leicht finden:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rechtspfeil d=5. \\ \end(align)\]

Es bleibt nur, die verbleibenden Mitglieder zu finden:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Somit kommen wir bereits beim 9. Schritt zum linken Ende der Sequenz - der Zahl 42. Insgesamt mussten nur 7 Zahlen eingefügt werden: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Antwort: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Textaufgaben mit Progressionen

Abschließend möchte ich einige relativ einfache Probleme betrachten. Nun, so einfach: Für die meisten Schüler, die in der Schule Mathematik lernen und das oben Geschriebene nicht gelesen haben, mögen diese Aufgaben wie eine Geste erscheinen. Dennoch sind es gerade solche Aufgaben, die in der OGE und der USE in der Mathematik vorkommen, daher empfehle ich Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Aufgabe Nummer 11. Das Team produzierte im Januar 62 Teile und in jedem Folgemonat 14 Teile mehr als im Vormonat. Wie viele Teile hat die Brigade im November produziert?

Entscheidung. Offensichtlich wird die Anzahl der Teile, die von Monat zu Monat gemalt werden, eine zunehmende arithmetische Progression sein. Und:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November ist der 11. Monat des Jahres, also müssen wir $((a)_(11))$ finden:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Daher werden im November 202 Teile gefertigt.

Aufgabe Nummer 12. Die Buchbinderei hat im Januar 216 Bücher gebunden und jeden Monat 4 Bücher mehr als im Vormonat. Wie viele Bücher hat der Workshop im Dezember gebunden?

Entscheidung. Alles das selbe:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dezember ist der letzte, 12. Monat des Jahres, also suchen wir nach $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Das ist die Antwort – 260 Bücher werden im Dezember gebunden.

Nun, wenn Sie bis hierher gelesen haben, beeile ich mich, Ihnen zu gratulieren: Sie haben den „Jungkämpfer-Kurs“ in Arithmetischen Progressionen erfolgreich abgeschlossen. Wir können sicher zur nächsten Lektion übergehen, in der wir die Progressionssummenformel sowie wichtige und sehr nützliche Konsequenzen daraus studieren werden.