\[(\Large(\text(Grundlegende Fakten zum Gebiet)))\]

Wir können sagen, dass die Fläche eines Polygons ein Wert ist, der den Teil der Ebene bezeichnet, den ein bestimmtes Polygon einnimmt. Die Flächeneinheit wird als Fläche eines Quadrats mit einer Seite von \(1\) cm, \(1\) mm usw. genommen. (einfaches Quadrat). Dann wird die Fläche in cm\(^2\) bzw. mm\(^2\) gemessen.

Mit anderen Worten können wir sagen, dass die Fläche einer Figur ein Wert ist, dessen Zahlenwert angibt, wie oft ein Einheitsquadrat in eine gegebene Figur passt.

Gebietseigenschaften

1. Die Fläche eines beliebigen Polygons ist ein positiver Wert.

2. Gleiche Polygone haben gleiche Flächen.

3. Wenn ein Polygon aus mehreren Polygonen zusammengesetzt ist, dann ist seine Fläche gleich der Summe der Flächen dieser Polygone.

4. Die Fläche eines Quadrats mit der Seite \(a\) ist \(a^2\) .

\[(\Large(\text(Fläche von Rechteck und Parallelogramm)))\]

Satz: Fläche eines Rechtecks

Die Fläche eines Rechtecks ​​mit den Seiten \(a\) und \(b\) ist \(S=ab\) .

Nachweisen

Bauen wir das Rechteck \(ABCD\) zu einem Quadrat mit der Seite \(a+b\) , wie in der Abbildung gezeigt:

Dieses Quadrat besteht aus einem Rechteck \(ABCD\) , einem weiteren Rechteck gleich und zwei Quadraten mit den Seiten \(a\) und \(b\) . Auf diese Weise,

\(\begin(multiline*) S_(a+b)=2S_(\text(pr-k))+S_a+S_b \Leftrightarrow (a+b)^2=2S_(\text(pr-k))+ a^2+b^2 \Leftrightarrow\\ a^2+2ab+b^2=2S_(\text(pr-k))+a^2+b^2 \Rightarrow S_(\text(pr-k) )=ab \end(multiline*)\)

Definition

Die Höhe eines Parallelogramms ist die Senkrechte, die vom Scheitel des Parallelogramms zu der Seite (oder Verlängerung der Seite) gezogen wird, die diesen Scheitel nicht enthält.
Beispielsweise fällt die Höhe \(BK\) auf die Seite \(AD\) , und die Höhe \(BH\) fällt auf die Verlängerung der Seite \(CD\) :

Satz: Fläche eines Parallelogramms

Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus der Höhe und der Seite, zu der diese Höhe gezeichnet wird.

Nachweisen

Zeichnen Sie die Senkrechten \(AB"\) und \(DC"\) wie in der Abbildung gezeigt. Beachten Sie, dass diese Lote gleich der Höhe des Parallelogramms \(ABCD\) sind.

Dann ist \(AB"C"D\) ein Rechteck, also \(S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD\) .

Beachten Sie, dass rechtwinklige Dreiecke \(ABB"\) und \(DCC"\) gleich sind. Auf diese Weise,

\(S_(ABCD)=S_(ABC"D)+S_(DCC")=S_(ABC"D)+S_(ABB")=S_(AB"C"D)=AB"\cdot AD.\)

\[(\Large(\text(Dreiecksfläche)))\]

Definition

Wir nennen die Seite, zu der die Höhe im Dreieck gezeichnet ist, die Basis des Dreiecks.

Satz

Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus seiner Basis und der zu dieser Basis gezogenen Höhe.

Nachweisen

Sei \(S\) die Fläche des Dreiecks \(ABC\) . Nehmen wir die Seite \(AB\) als Basis des Dreiecks und zeichnen die Höhe \(CH\) . Lassen Sie uns das beweisen \ Wir vervollständigen das Dreieck \(ABC\) zum Parallelogramm \(ABDC\), wie in der Abbildung gezeigt:

Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) sind auf drei Seiten gleich (\(BC\) ist ihre gemeinsame Seite, \(AB = CD\) und \(AC = BD\) als gegenüberliegende Seiten des Parallelogramms \ (ABDC\ ) ), also sind ihre Flächen gleich. Daher ist die Fläche \(S\) des Dreiecks \(ABC\) gleich der Hälfte der Fläche des Parallelogramms \(ABDC\) , d.h. \(S = \dfrac(1)(2)AB\cdotCH\).

Satz

Wenn zwei Dreiecke \(\triangle ABC\) und \(\triangle A_1B_1C_1\) gleich hoch sind, dann werden ihre Flächen als Basen bezogen, auf die diese Höhen gezeichnet werden.

Folge

Die Seitenhalbierende teilt ein Dreieck in zwei gleich große Dreiecke.

Satz

Wenn zwei Dreiecke \(\triangle ABC\) und \(\triangle A_2B_2C_2\) jeweils denselben Winkel haben, dann verhalten sich ihre Flächeninhalte wie die Produkte der diesen Winkel bildenden Seiten.

Nachweisen

Sei \(\Winkel A=\Winkel A_2\) . Kombinieren wir diese Ecken wie in der Abbildung gezeigt (der Punkt \(A\) ist mit dem Punkt \(A_2\) ausgerichtet):

Zeichne Höhen \(BH\) und \(C_2K\) .

Dreiecke \(AB_2C_2\) und \(ABC_2\) haben die gleiche Höhe \(C_2K\) , also: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC_2))=\dfrac(AB_2)(AB)\]

Die Dreiecke \(ABC_2\) und \(ABC\) haben die gleiche Höhe \(BH\) , also: \[\dfrac(S_(ABC_2))(S_(ABC))=\dfrac(AC_2)(AC)\]

Multipliziert man die letzten beiden Gleichheiten, erhält man: \[\dfrac(S_(AB_2C_2))(S_(ABC))=\dfrac(AB_2\cdot AC_2)(AB\cdot AC) \qquad \text( oder ) \qquad \dfrac(S_(A_2B_2C_2))(S_ (ABC))=\dfrac(A_2B_2\cdot A_2C_2)(AB\cdot AC)\]

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Schenkellängen:

Auch die Umkehrung gilt: Wenn in einem Dreieck das Quadrat der Länge einer Seite gleich der Summe der Quadrate der Länge der beiden anderen Seiten ist, dann ist ein solches Dreieck rechtwinklig.

Satz

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts der Schenkel.

Satz: Heronsche Formel

Sei \(p\) der Halbumfang eines Dreiecks, \(a\) , \(b\) , \(c\) die Längen seiner Seiten, dann ist sein Flächeninhalt gleich \

\[(\Large(\text(Fläche einer Raute und eines Trapezes)))\]

Kommentar

weil Raute ein Parallelogramm ist, dann gilt dafür die gleiche Formel, d.h. Die Fläche einer Raute ist gleich dem Produkt aus der Höhe und der Seite, zu der diese Höhe gezeichnet wird.

Satz

Die Fläche eines konvexen Vierecks, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, ist das halbe Produkt der Diagonalen.

Nachweisen

Betrachten Sie das Viereck \(ABCD\) . Bezeichne \(AO=a, CO=b, BO=x, DO=y\) :

Beachten Sie, dass dieses Viereck aus vier rechtwinkligen Dreiecken besteht, daher ist seine Fläche gleich der Summe der Flächen dieser Dreiecke:

\(\begin(multiline*) S_(ABCD)=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\ \frac12((a+b)x+(a+b) y)=\frac12(a+b)(x+y)\end(multiline*)\)

Folge: Fläche einer Raute

Die Fläche einer Raute ist das halbe Produkt ihrer Diagonalen: \

Definition

Die Höhe eines Trapezes ist eine Senkrechte, die von der Oberseite einer Basis zur anderen Basis gezogen wird.

Satz: Fläche eines Trapezes

Die Fläche eines Trapezes ist die Hälfte der Summe der Grundseiten mal der Höhe.

Nachweisen

Betrachten Sie ein Trapez \(ABCD\) mit den Basen \(BC\) und \(AD\) . Zeichnen Sie \(CD"\parallel AB\) wie in der Abbildung gezeigt:

Dann ist \(ABCD"\) ein Parallelogramm.

Wir zeichnen auch \(BH"\perp AD, CH\perp AD\) (\(BH"=CH\) sind die Höhen des Trapezes).

Dann \(S_(ABCD")=BH"\cdot AD"=BH"\cdot BC, \quad S_(CDD")=\dfrac12CH\cdot D"D\)

weil ein Trapez besteht aus einem Parallelogramm \(ABCD"\) und einem Dreieck \(CDD"\) , dann ist seine Fläche gleich der Summe der Flächen des Parallelogramms und des Dreiecks, d.h.:

\ \[=\dfrac12 CH\left(BC+AD"+D"D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Jeder, der in der Schule Mathematik und Geometrie studiert hat, kennt diese Wissenschaften zumindest oberflächlich. Aber mit der Zeit, wenn sie nicht praktiziert werden, gerät das Wissen in Vergessenheit. Viele glauben sogar, dass sie nur ihre Zeit mit dem Studium geometrischer Berechnungen verschwendet haben. Sie liegen jedoch falsch. Technische Mitarbeiter führen tägliche Arbeiten im Zusammenhang mit geometrischen Berechnungen durch. Was die Berechnung der Fläche eines Polygons betrifft, so findet dieses Wissen auch im Leben seine Anwendung. Sie werden mindestens benötigt, um die Fläche des Grundstücks zu berechnen. Also lasst uns lernen, wie man die Fläche eines Polygons findet.

Polygondefinition

Lassen Sie uns zunächst definieren, was ein Polygon ist. Dies ist eine flache geometrische Figur, die durch den Schnittpunkt von drei oder mehr Linien entstanden ist. Noch eine einfache Definition: Ein Polygon ist eine geschlossene Polylinie. Am Schnittpunkt von Linien werden natürlich Schnittpunkte gebildet, deren Anzahl gleich der Anzahl der Linien ist, die ein Polygon bilden. Die Schnittpunkte heißen Eckpunkte, die aus den Geraden gebildeten Segmente Seiten des Vielecks. Benachbarte Segmente eines Polygons liegen nicht auf derselben geraden Linie. Nicht benachbarte Liniensegmente sind solche, die nicht durch gemeinsame Punkte verlaufen.

Die Summe der Flächen von Dreiecken

Wie finde ich die Fläche eines Polygons? Die Fläche eines Polygons ist der innere Teil der Ebene, der am Schnittpunkt der Segmente oder Seiten des Polygons gebildet wurde. Da ein Polygon eine Kombination von Formen wie Dreieck, Raute, Quadrat, Trapez ist, gibt es einfach keine universelle Formel zur Berechnung seiner Fläche. In der Praxis ist die universellste Methode die Aufteilung eines Polygons in einfachere Figuren, deren Fläche nicht schwer zu finden ist. Indem wir die Summen der Flächen dieser einfachen Figuren addieren, erhalten wir die Fläche des Polygons.

Durch den Bereich des Kreises

In den meisten Fällen hat das Polygon eine regelmäßige Form und bildet eine Figur mit gleichen Seiten und Winkeln zwischen ihnen. Die Berechnung der Fläche ist in diesem Fall sehr einfach mit Hilfe des Innen- oder Umkreises. Wenn die Fläche des Kreises bekannt ist, muss sie mit dem Umfang des Polygons multipliziert und dann das resultierende Produkt durch 2 geteilt werden. Als Ergebnis wird die Formel zur Berechnung der Fläche eines solchen Polygons erhalten : S = ½∙P∙r., wobei P die Fläche des Kreises und r der Umfang des Polygons ist .

Die Methode zum Aufteilen eines Polygons in „bequeme“ Formen ist die beliebteste in der Geometrie. Sie ermöglicht es Ihnen, die Fläche eines Polygons schnell und korrekt zu finden. Die 4. Klasse des Gymnasiums lernt normalerweise solche Methoden.

In diesem Artikel werden wir darüber sprechen, wie man die Fläche eines Polygons ausdrückt, in das ein Kreis in Bezug auf den Radius dieses Kreises eingeschrieben werden kann. Es ist sofort erwähnenswert, dass nicht jedes Polygon in einen Kreis eingeschrieben werden kann. Wenn dies jedoch möglich ist, wird die Formel, mit der die Fläche eines solchen Polygons berechnet wird, sehr einfach. Lesen Sie diesen Artikel bis zum Ende oder sehen Sie sich das beigefügte Video-Tutorial an, und Sie erfahren, wie Sie die Fläche eines Polygons in Bezug auf den Radius eines darin eingeschriebenen Kreises ausdrücken.

Die Formel für die Fläche eines Polygons bezogen auf den Radius des Inkreises

Lassen Sie uns ein Polygon zeichnen EIN 1 EIN 2 EIN 3 EIN 4 EIN 5 , nicht unbedingt korrekt, aber einer, in den sich ein Kreis einschreiben lässt. Ich möchte Sie daran erinnern, dass ein Inkreis ein Kreis ist, der alle Seiten des Polygons berührt. In der Abbildung ist dies ein grüner Kreis, der an einem Punkt zentriert ist Ö:

Als Beispiel haben wir hier ein 5-Eck genommen. Dies ist aber eigentlich ohne wesentliche Bedeutung, da der weitere Beweis sowohl für das 6-Eck als auch für das 8-Eck und überhaupt für jedes „Eck“ beliebig gilt.

Wenn Sie den Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises mit allen Eckpunkten des Polygons verbinden, wird es in so viele Dreiecke unterteilt, wie Eckpunkte im angegebenen Polygon vorhanden sind. In unserem Fall: 5 Dreiecke. Wenn wir den Punkt verbinden Ö mit allen Berührungspunkten des einbeschriebenen Kreises mit den Seiten des Polygons erhält man 5 Segmente (in der Abbildung unten sind dies die Segmente Oh 1 , Oh 2 , Oh 3 , Oh 4 und Oh 5), die gleich dem Radius des Kreises sind und senkrecht zu den Seiten des Polygons stehen, auf das sie gezeichnet werden. Letzteres gilt, da der zum Berührungspunkt gezogene Radius senkrecht zur Tangente steht:

Wie finde ich die Fläche unseres umschriebenen Polygons? Die Antwort ist einfach. Es ist notwendig, die Flächen aller durch die Teilung erhaltenen Dreiecke zu addieren:

Überlegen Sie, was die Fläche eines Dreiecks ist. Im Bild unten ist es gelb markiert:

Es ist gleich dem halben Produkt der Basis EIN 1 EIN 2 auf die Höhe Oh 1 zu dieser Basis gezogen. Aber wie wir bereits herausgefunden haben, ist diese Höhe gleich dem Radius des einbeschriebenen Kreises. Das heißt, die Formel für die Fläche eines Dreiecks hat die Form: , wo r ist der Radius des Inkreises. In ähnlicher Weise werden die Flächen aller verbleibenden Dreiecke gefunden. Als Ergebnis ist die gewünschte Fläche des Polygons gleich:

Es ist ersichtlich, dass es in allen Termen dieser Summe einen gemeinsamen Faktor gibt, der aus Klammern herausgenommen werden kann. Das Ergebnis ist der folgende Ausdruck:

Das heißt, in Klammern stand einfach die Summe aller Seiten des Polygons, dh seines Umfangs P. Meistens wird in dieser Formel der Ausdruck einfach durch ersetzt p und nenne diesen Buchstaben "Halbumfang". Als Ergebnis wird die endgültige Formel zu:

Das heißt, die Fläche eines Polygons, in die ein Kreis mit bekanntem Radius eingeschrieben ist, ist gleich dem Produkt aus diesem Radius und dem Halbumfang des Polygons. Das ist das Ergebnis, das wir angestrebt haben.

Schließlich stellt er fest, dass einem Dreieck immer ein Kreis einbeschrieben werden kann, was ein Sonderfall eines Vielecks ist. Daher kann diese Formel für ein Dreieck immer angewendet werden. Bei anderen Polygonen mit mehr als 3 Seiten müssen Sie zunächst sicherstellen, dass ihnen ein Kreis einbeschrieben werden kann. Wenn ja, können Sie diese einfache Formel sicher verwenden und daraus die Fläche dieses Polygons ermitteln.

Vorbereitet von Sergey Valerievich

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• Sie können zwischen den Eingabefeldern wechseln, indem Sie die rechte und linke Taste auf der Tastatur drücken.

Theorie. Fläche eines Vierecks Ein Viereck ist eine geometrische Figur, die aus vier Punkten (Eckpunkten), von denen keine drei auf derselben Geraden liegen, und vier Segmenten (Seiten), die diese Punkte paarweise verbinden, besteht. Ein Viereck heißt konvex, wenn das Segment, das zwei beliebige Punkte dieses Vierecks verbindet, darin liegt.

Wie finde ich die Fläche eines Polygons?

Die Formel zur Bestimmung der Fläche wird bestimmt, indem man jede Kante des Polygons AB nimmt und die Fläche des Dreiecks ABO mit einem Scheitelpunkt im Ursprung O durch die Koordinaten der Scheitelpunkte berechnet. Beim Umrunden eines Polygons werden Dreiecke gebildet, einschließlich der Innenseite des Polygons und außerhalb davon. Die Differenz zwischen der Summe dieser Flächen ist die Fläche des Polygons selbst.

Daher wird die Formel die Formel des Vermessers genannt, da der "Kartograph" am Ursprung steht; Wenn es die Fläche gegen den Uhrzeigersinn abläuft, wird die Fläche hinzugefügt, wenn sie sich in Bezug auf den Ursprung links befindet, und subtrahiert, wenn sie sich rechts befindet. Die Flächenformel gilt für jedes sich nicht schneidende (einfache) Polygon, das konvex oder konkav sein kann. Inhalt

• 1 Definition
• 2 Beispiele
• 3 Komplexeres Beispiel
• 4 Namenserklärung
• 5 Siehe

Polygonbereich

Beachtung

Das kann sein:

• Dreieck;
• Viereck;
• Fünf- oder Sechseck und so weiter.

Eine solche Figur wird sicherlich durch zwei Positionen gekennzeichnet sein:

1. Benachbarte Seiten gehören nicht zu derselben Linie.
2. Nicht benachbarte haben keine gemeinsamen Punkte, das heißt, sie schneiden sich nicht.

Um zu verstehen, welche Eckpunkte benachbart sind, müssen Sie sehen, ob sie zur selben Seite gehören. Wenn ja, dann Nachbar. Andernfalls können sie durch ein Segment verbunden werden, das als Diagonale bezeichnet werden muss. Sie können nur in Polygonen gezeichnet werden, die mehr als drei Scheitelpunkte haben.

Welche Arten davon gibt es? Ein Polygon mit mehr als vier Ecken kann konvex oder konkav sein. Der Unterschied des letzteren besteht darin, dass einige seiner Eckpunkte auf verschiedenen Seiten einer geraden Linie liegen können, die durch eine beliebige Seite des Polygons gezogen wird.

Wie findet man die Fläche eines regelmäßigen und unregelmäßigen Sechsecks?

• Wenn Sie die Länge der Seite kennen, multiplizieren Sie sie mit 6 und erhalten Sie den Umfang des Sechsecks: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Setzen Sie die Ergebnisse in unsere Formel ein:
Fläche \u003d 1/2 * Umfang * Apothema Fläche \u003d ½ * 60 cm * 5√3 Lösung: Jetzt bleibt es, die Antwort zu vereinfachen, um Quadratwurzeln loszuwerden, und das Ergebnis in Quadratzentimetern anzugeben: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Sechsecks Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Fläche eines unregelmäßigen Sechsecks zu bestimmen:

• Trapezmethode.
• Eine Methode zur Berechnung der Fläche unregelmäßiger Polygone anhand der Koordinatenachse.
• Eine Methode zum Teilen eines Sechsecks in andere Formen.

Abhängig von den Ausgangsdaten, die Sie kennen, wird die geeignete Methode ausgewählt.

Wichtig

Einige unregelmäßige Sechsecke bestehen aus zwei Parallelogrammen. Um die Fläche eines Parallelogramms zu bestimmen, multiplizierst du seine Länge mit seiner Breite und addierst dann die beiden bereits bekannten Flächen. Video zum Ermitteln der Fläche eines Vielecks Ein gleichseitiges Sechseck hat sechs gleiche Seiten und ist ein regelmäßiges Sechseck.

Die Fläche eines gleichseitigen Sechsecks entspricht 6 Flächen der Dreiecke, in die eine regelmäßige sechseckige Figur unterteilt ist. Alle Dreiecke in einem regelmäßigen Sechseck sind gleich. Um also die Fläche eines solchen Sechsecks zu ermitteln, reicht es aus, die Fläche mindestens eines Dreiecks zu kennen. Um die Fläche eines gleichseitigen Sechsecks zu finden, wird natürlich die oben beschriebene Formel für die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks verwendet.

404 Nicht gefunden

Das Dekorieren eines Hauses, Kleidung, das Zeichnen von Bildern trugen zum Prozess der Bildung und Anhäufung von Informationen auf dem Gebiet der Geometrie bei, die die Menschen jener Zeit Stück für Stück empirisch erlangten und von Generation zu Generation weitergaben. Heutzutage sind Kenntnisse der Geometrie für einen Schneider, einen Baumeister, einen Architekten und jeden gewöhnlichen Menschen im täglichen Leben notwendig. Daher müssen Sie lernen, wie man die Fläche verschiedener Figuren berechnet, und sich daran erinnern, dass jede der Formeln später in der Praxis nützlich sein kann, einschließlich der Formel für ein regelmäßiges Sechseck.
Ein Sechseck ist eine solche polygonale Figur, deren Gesamtzahl der Winkel sechs beträgt. Ein regelmäßiges Sechseck ist eine sechseckige Figur mit gleichen Seiten. Auch die Winkel eines regelmäßigen Sechsecks sind einander gleich.
Im Alltag finden wir oft Gegenstände, die die Form eines regelmäßigen Sechsecks haben.

Rechner für unregelmäßige Polygonflächen nach Seiten

Du wirst brauchen

• - Roulette;
• — elektronischer Entfernungsmesser;
• - ein Blatt Papier und einen Bleistift;
• - Taschenrechner.

Anweisung 1 Wenn Sie die Gesamtfläche einer Wohnung oder eines separaten Raums benötigen, lesen Sie einfach den technischen Pass für die Wohnung oder das Haus, er zeigt die Aufnahmen jedes Raums und die Gesamtaufnahme der Wohnung. 2 Um die Fläche eines rechteckigen oder quadratischen Raums zu messen, nehmen Sie ein Maßband oder einen elektronischen Entfernungsmesser und messen Sie die Länge der Wände. Achten Sie beim Messen von Entfernungen mit einem Entfernungsmesser darauf, die Strahlrichtung senkrecht zu halten, da sonst die Messergebnisse verfälscht werden können. 3 Multiplizieren Sie dann die resultierende Länge (in Metern) des Raums mit der Breite (in Metern). Der resultierende Wert ist die Grundfläche, sie wird in Quadratmetern gemessen.

Gaußsche Flächenformel

Wenn Sie die Grundfläche einer komplexeren Struktur berechnen müssen, z. B. eines fünfeckigen Raums oder eines Raums mit Rundbogen, skizzieren Sie eine schematische Skizze auf einem Blatt Papier. Teilen Sie dann die komplexe Form in mehrere einfache Formen auf, z. B. ein Quadrat und ein Dreieck oder ein Rechteck und einen Halbkreis. Messen Sie mit einem Maßband oder einem Entfernungsmesser die Größe aller Seiten der resultierenden Figuren (für einen Kreis müssen Sie den Durchmesser kennen) und tragen Sie die Ergebnisse in Ihre Zeichnung ein.

5 Berechnen Sie nun die Fläche jeder Form separat. Die Fläche von Rechtecken und Quadraten wird durch Multiplikation der Seiten berechnet. Um die Fläche eines Kreises zu berechnen, teilen Sie den Durchmesser durch zwei und ein Quadrat (multiplizieren Sie ihn mit sich selbst) und multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit 3,14.
Wenn Sie nur die Hälfte des Kreises möchten, teilen Sie die resultierende Fläche in zwei Hälften. Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, finden Sie P, indem Sie die Summe aller Seiten durch 2 teilen.

Formel zur Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Polygons

Wenn die Punkte gegen den Uhrzeigersinn fortlaufend nummeriert werden, sind die Determinanten in der obigen Formel positiv und der darin enthaltene Modul kann weggelassen werden; wenn sie im Uhrzeigersinn nummeriert werden, sind die Determinanten negativ. Dies liegt daran, dass die Formel als Spezialfall des Satzes von Green angesehen werden kann. Um die Formel anzuwenden, müssen Sie die Koordinaten der Polygonspitzen in der kartesischen Ebene kennen.

Nehmen wir zum Beispiel ein Dreieck mit den Koordinaten ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Nehmen Sie die erste x-Koordinate des ersten Scheitelpunkts und multiplizieren Sie sie mit der y-Koordinate des zweiten Scheitelpunkts, und multiplizieren Sie dann die x-Koordinate des zweiten Scheitelpunkts mit der y-Koordinate des dritten. Wir wiederholen diesen Vorgang für alle Knoten. Das Ergebnis kann nach folgender Formel ermittelt werden: A tri.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Vierecks

A) _(\text(tri.))=(1 \über 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) wobei xi und yi die entsprechende Koordinate bezeichnen. Diese Formel erhalten Sie, indem Sie die Klammern in der allgemeinen Formel für den Fall n = 3 öffnen. Mit dieser Formel können Sie feststellen, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte der Summe von 10 + 32 + 7 - 4 - ist. 35 - 16, was 3 ergibt. Die Anzahl der Variablen in der Formel hängt von der Anzahl der Seiten des Polygons ab. Beispielsweise verwendet die Formel für die Fläche eines Fünfecks Variablen bis zu x5 und y5: Ein Pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A für ein Quad - Variablen bis x4 und y4: Ein Quad.

1.1 Flächenberechnung in der Antike

1.2 Verschiedene Ansätze zur Untersuchung der Konzepte "Fläche", "Polygon", "Fläche eines Polygons"

1.2.1 Das Gebietskonzept. Gebietseigenschaften

1.2.2 Das Konzept eines Polygons

1.2.3 Das Konzept der Fläche eines Polygons. Beschreibende Definition

1.3 Verschiedene Formeln für die Flächen von Polygonen

1.4 Ableitung von Polygonflächenformeln

1.4.1 Fläche eines Dreiecks. Heron-Formel

1.4.2 Fläche eines Rechtecks

1.4.3 Fläche eines Trapezes

1.4.4 Fläche eines Vierecks

1.4.5 Universelle Formel

1.4.6 Fläche eines n-Ecks

1.4.7 Berechnung der Fläche eines Polygons aus den Koordinaten seiner Eckpunkte

1.4.8 Formel auswählen

1.5 Der Satz des Pythagoras über die Summe der Flächeninhalte von Quadraten, die auf den Schenkeln eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaut sind

1.6 Äquivalenz von Dreiecken. Satz von Bogliai-Gervin

1.7 Flächenverhältnis ähnlicher Dreiecke

1.8 Figuren mit der größten Fläche

1.8.1 Trapez oder Rechteck

1.8.2 Eine bemerkenswerte Eigenschaft eines Quadrats

1.8.3 Diagramme unterschiedlicher Form

1.8.4 Dreieck mit größter Fläche

Kapitel 2. Methodische Merkmale des Studiums der Flächen von Polygonen im Mathematikunterricht

2.1 Thematische Planung und Besonderheiten des Unterrichts in mathematisch vertiefenden Klassen

2.2 Unterrichtsmethodik

2.3 Ergebnisse experimenteller Arbeiten

Fazit

Literatur

Einführung

Das Thema „Fläche von Polygonen“ ist fester Bestandteil des Schulmathematikkurses, was ganz selbstverständlich ist. In der Tat ist historisch gesehen das Aufkommen der Geometrie mit der Notwendigkeit verbunden, Grundstücke der einen oder anderen Form zu vergleichen. Gleichzeitig ist festzuhalten, dass die Bildungsangebote zur Vermittlung dieses Themas in der Sekundarstufe noch lange nicht ausgeschöpft sind.

Die Hauptaufgabe des Mathematikunterrichts in der Schule besteht darin, eine starke und bewusste Beherrschung des Systems mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten sicherzustellen, die für jedes Mitglied der modernen Gesellschaft im täglichen Leben und in der Arbeit erforderlich sind und ausreichen, um verwandte Disziplinen zu studieren und sich weiterzubilden.

Ein vertieftes Studium der Mathematik sorgt neben der Lösung der Hauptaufgabe für die Herausbildung eines stetigen Interesses der Studierenden am Fach, die Feststellung und Entwicklung ihrer mathematischen Fähigkeiten, die Orientierung an Berufen, die einen wesentlichen Bezug zur Mathematik haben, und Vorbereitung auf das Studium an einer Universität.

Die Qualifizierungsarbeit umfasst die Inhalte des Mathematikkurses einer allgemeinbildenden Schule und eine Reihe von Zusatzfragen, die direkt an diesen Kurs angrenzen und ihn entlang der weltanschaulichen Grundlinien vertiefen.

Die Einbeziehung zusätzlicher Fragen dient zwei miteinander verbundenen Zwecken. Dies ist einerseits die Schaffung einer Basis in Verbindung mit den Hauptabschnitten des Studiums, um den Interessen und Fähigkeiten von Studierenden mit einem Faible für Mathematik gerecht zu werden, andererseits die Ausfüllung sinnvoller Lücken im Studium das Hauptstudium, um den Inhalten der Vertiefung die nötige Integrität zu verleihen.

Die Qualifikationsarbeit besteht aus einer Einleitung, zwei Kapiteln, einem Schluss und zitierter Literatur. Das erste Kapitel behandelt die theoretischen Grundlagen der Untersuchung der Flächen von Polygonen, und das zweite Kapitel befasst sich direkt mit den methodischen Merkmalen der Untersuchung von Flächen.

Kapitel 1

1.1 Flächenberechnung in der Antike

Die Anfänge des geometrischen Wissens zur Vermessung von Flächen gehen in den Tiefen der Jahrtausende verloren.

Vor 4 - 5 Tausend Jahren konnten die Babylonier die Fläche eines Rechtecks ​​und eines Trapezes in quadratischen Einheiten bestimmen. Das Quadrat dient seit langem aufgrund vieler seiner bemerkenswerten Eigenschaften als Maßstab für die Messung von Flächen: gleiche Seiten, gleiche und rechte Winkel, Symmetrie und allgemeine Formvollkommenheit. Quadrate sind einfach zu bauen, oder Sie können eine Ebene lückenlos füllen.

Im alten China war das Flächenmaß ein Rechteck. Als Maurer die Fläche einer rechteckigen Hauswand bestimmten, multiplizierten sie die Höhe und Breite der Mauer. Dies ist die akzeptierte Definition in der Geometrie: Die Fläche eines Rechtecks ​​​​ist gleich dem Produkt seiner angrenzenden Seiten. Beide Seiten müssen in denselben linearen Einheiten ausgedrückt werden. Ihr Produkt ist die Fläche des Rechtecks, ausgedrückt in den entsprechenden Quadrateinheiten. Angenommen, die Höhe und Breite der Wand werden in Dezimetern gemessen, dann wird das Produkt beider Messungen in Quadratdezimetern ausgedrückt. Und wenn die Fläche jedes gegenüberliegenden Grundstücks ein Quadratdezimeter ist, gibt das resultierende Produkt die Anzahl der Fliesen an, die für die Verkleidung benötigt werden. Dies folgt aus der der Flächenmessung zugrunde liegenden Aussage: Die Fläche einer Figur, die sich aus sich nicht schneidenden Figuren zusammensetzt, ist gleich der Summe ihrer Flächen.

Die alten Ägypter verwendeten vor 4.000 Jahren fast die gleichen Techniken wie wir, um die Fläche eines Rechtecks, Dreiecks und Trapezes zu messen: Die Basis des Dreiecks wurde halbiert und mit der Höhe multipliziert; Bei einem Trapez wurde die Summe der parallelen Seiten halbiert und mit der Höhe multipliziert, und so weiter. Um die Fläche zu berechnen

Viereck mit Seiten (Abb. 1.1), wurde die Formel (1.1) angewendet

jene. Halbsummen der gegenüberliegenden Seiten wurden multipliziert.

Diese Formel ist offensichtlich für jedes Viereck falsch, insbesondere folgt daraus, dass die Flächeninhalte aller Rauten gleich sind. Inzwischen ist es offensichtlich, dass die Flächen solcher Rhomben von der Größe der Winkel an den Ecken abhängen. Diese Formel gilt nur für ein Rechteck. Mit seiner Hilfe können Sie ungefähr die Fläche von Vierecken berechnen, in denen die Winkel nahe rechts liegen.

Um den Bereich zu bestimmen

ein gleichschenkliges Dreieck (Abb. 1.2), bei dem die Ägypter die Näherungsformel verwendeten:
(1.2) Abb. 1.2 Der hierbei begangene Fehler ist umso kleiner, je kleiner die Differenz zwischen der Seite und der Höhe des Dreiecks ist, also je näher die Spitze (und) an der Basis der Höhe liegt. Deshalb gilt die Näherungsformel (1.2) nur für Dreiecke mit relativ kleinem Spitzenwinkel.

Aber schon die alten Griechen wussten, wie man die Flächen von Polygonen richtig findet. Euklid verwendet in seinen Elementen nicht das Wort "Fläche", da er unter dem Wort "Figur" einen Teil einer Ebene versteht, der von der einen oder anderen geschlossenen Linie begrenzt wird. Euklid drückt das Ergebnis der Flächenmessung nicht als Zahl aus, sondern vergleicht die Flächen verschiedener Figuren miteinander.

Wie andere Wissenschaftler der Antike befasst sich Euklid mit der Umwandlung einiger Figuren in andere, sie sind gleich groß. Die Fläche einer zusammengesetzten Figur ändert sich nicht, wenn ihre Teile anders angeordnet sind, jedoch ohne sich zu kreuzen. So ist es beispielsweise möglich, ausgehend von den Formeln für die Fläche eines Rechtecks, die Formeln für die Flächen anderer Figuren zu finden. Das Dreieck wird also in solche Teile geteilt, aus denen Sie dann ein flächengleiches Rechteck machen können. Aus dieser Konstruktion folgt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich dem halben Produkt aus Basis und Höhe ist. Wenn sie auf eine solche Neuzeichnung zurückgreifen, stellen sie fest, dass die Fläche des Parallelogramms gleich dem Produkt aus Basis und Höhe ist, die Fläche des Trapezes ist das Produkt aus der Hälfte der Summe der Basen und der Höhe.

Wenn Maurer eine Wand mit komplexer Konfiguration fliesen müssen, können sie die Fläche der Wand bestimmen, indem sie die Anzahl der Fliesen zählen, die zum Fliesen verwendet wurden. Einige Fliesen müssen natürlich abgebrochen werden, damit die Kanten der Verkleidung mit der Wandkante übereinstimmen. Die Anzahl aller Fliesen, die in Arbeit gegangen sind, bewertet die Wandfläche mit einem Übermaß, die Anzahl der ungebrochenen Fliesen - mit einem Nachteil. Mit abnehmender Größe der Zellen nimmt die Abfallmenge ab und die durch die Anzahl der Fliesen bestimmte Wandfläche wird immer genauer berechnet.

Einer der späten griechischen Mathematiker - Enzyklopädisten, dessen Werke hauptsächlich in der Natur angewendet wurden, war Heron von Alexandria, der im 1. Jahrhundert lebte. n. e. Als hervorragender Ingenieur wurde er auch „Heron the Mechanic“ genannt. Heron beschreibt in seinem Werk Dioptrie verschiedene Maschinen und praktische Messinstrumente.

Eines von Herons Büchern wurde von ihm „Geometrics“ genannt und ist eine Art Sammlung von Formeln und dazugehörigen Aufgaben. Es enthält Beispiele zur Flächenberechnung von Quadraten, Rechtecken und Dreiecken. Über das Ermitteln der Fläche eines Dreiecks entlang seiner Seiten schreibt Heron: „Eine Seite eines Dreiecks habe beispielsweise eine Länge von 13 gemessenen Schnüren, die zweite 14 und die dritte 15. Um die Fläche zu ermitteln, gehe wie folgt vor folgt. Addiere 13, 14 und 15; Sie erhalten 42. Die Hälfte davon ist 21. Ziehen Sie davon drei Seiten nacheinander ab; subtrahieren Sie zuerst 13 - es bleibt 8, dann 14 - es bleibt 7 und schließlich 15 - es bleibt 6. Jetzt multiplizieren Sie sie: 21 mal 8 ergibt 168, nehmen Sie dies 7 mal - Sie erhalten 1176 und diese 6 mehr mal - Sie erhalten 7056. Von hier aus ist die Quadratwurzel 84. So viele Messschnüre befinden sich im Bereich des Dreiecks.