Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen durchgeführt, nur müssen die Vorzeichen des Subtrahenten entsprechend geändert werden.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Indem wir mehrere Zahlen (Variablen) mit Potenzen vergleichen, können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

So, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gradteilung

Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem sie vom Divisor subtrahiert oder in Bruchform gebracht werden.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.

Unterrichtstyp: Lektion der Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens

Ziele:

• lehrreich- die Definition des Grades wiederholen, die Regeln für das Multiplizieren und Dividieren von Graden, das Erhöhen eines Grades auf einen Grad, die Fähigkeit festigen, Beispiele mit Graden zu lösen,
• Entwicklung- Entwicklung des logischen Denkens der Schüler, Interesse am Studienstoff,
• erziehen- Förderung einer verantwortungsvollen Einstellung zum Lernen, einer Kommunikationskultur, eines Sinns für Kollektivismus.

Ausrüstung: Computer, Multimedia-Beamer, interaktives Whiteboard, „Degrees“-Präsentation zum mündlichen Zählen, Aufgabenkarten, Handouts.

Unterrichtsplan:

1. Zeit organisieren.
2. Wiederholung der Regeln
3. Verbale Zählung.
4. Geschichtlicher Bezug.
5. Tafelarbeit.
6. Fiskultminutka.
7. Arbeiten Sie am interaktiven Whiteboard.
8. Selbstständige Arbeit.
9. Hausaufgaben.
10. Zusammenfassung der Lektion.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment

Präsentation des Themas und der Ziele des Unterrichts.

In den vorherigen Lektionen haben Sie die wunderbare Welt der Grade entdeckt, gelernt, wie man Grade multipliziert und dividiert und sie potenziert. Heute gilt es, das erworbene Wissen durch das Lösen von Beispielen zu festigen.

II. Wiederholung der Regeln(oral)

1. Geben Sie die Definition des Abschlusses mit einem natürlichen Indikator an? (durch die Macht der Zahl a mit einem natürlichen Exponenten größer als 1 heißt Produkt n Multiplikatoren, von denen jeder gleich ist a.)
2. Wie multipliziert man zwei Potenzen? (Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, müssen Sie die Basis gleich lassen und die Exponenten addieren.)
3. Wie dividiert man Grad für Grad? (Um Potenzen mit derselben Basis zu dividieren, müssen Sie die Basis gleich lassen und die Exponenten subtrahieren.)
4. Wie kann man ein Produkt potenzieren? (Um ein Produkt zu potenzieren, müssen Sie jeden Faktor mit dieser Potenz potenzieren)
5. Wie kann man einen Abschluss zu einem Abschluss machen? (Um eine Potenz zu einer Potenz zu erheben, müssen Sie die Basis gleich lassen und die Exponenten multiplizieren.)

III. Verbale Zählung(mittels Multimedia)

IV. Geschichtlicher Bezug

Alle Probleme stammen aus dem Papyrus von Ahmes, der um 1650 v. Chr. geschrieben wurde. e. bezogen auf die Baupraxis, Abgrenzung von Grundstücken etc. Die Aufgaben sind thematisch gruppiert. Zum größten Teil sind dies Aufgaben zum Finden der Flächen eines Dreiecks, Vierecks und eines Kreises, verschiedene Operationen mit ganzen Zahlen und Brüchen, proportionale Division, Finden von Verhältnissen, es gibt auch Anheben in verschiedenen Graden, Lösen von Gleichungen ersten und zweiten Grades mit einem Unbekannten.

Es gibt absolut keine Erklärung oder Beweise. Das gewünschte Ergebnis wird entweder direkt angegeben oder es wird ein kurzer Algorithmus zu seiner Berechnung angegeben. Diese für die Wissenschaft der Länder des Alten Orients typische Darstellungsweise legt nahe, dass sich die Mathematik dort durch Verallgemeinerungen und Vermutungen entwickelt hat, die keine allgemeine Theorie bildeten. Der Papyrus enthält jedoch eine Reihe von Beweisen dafür, dass ägyptische Mathematiker in der Lage waren, Wurzeln zu ziehen und zu potenzieren, Gleichungen zu lösen und sogar über die Grundlagen der Algebra verfügten.

V. Tafelarbeit

Finden Sie den Wert des Ausdrucks auf rationale Weise:

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks:

VI. Sportunterricht Minute

1. für Augen
2. für den Hals
3. für Hände
4. für den Oberkörper
5. für Beine

VII. Probleme lösen(mit interaktivem Whiteboard-Display)

Ist die Wurzel der Gleichung eine positive Zahl?

a) 3x + (-0,1) 7 = (-0,496) 4 (x > 0)

b) (10,381) 5 = (-0,012) 3 - 2x (x< 0)

VIII. Selbstständige Arbeit

IX. Hausaufgaben

X. Zusammenfassung der Lektion

Auswertung der Ergebnisse, Bekanntgabe der Noten.

Wir werden das über Abschlüsse erworbene Wissen beim Lösen von Gleichungen, Problemen in der High School anwenden und sie finden sich auch oft in der Prüfung wieder.

Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, aber zuerst werden wir auf eine Reihe von Transformationen eingehen, die mit beliebigen Ausdrücken, einschließlich Potenzen, durchgeführt werden können. Wir werden lernen, wie man Klammern öffnet, gleiche Terme angibt, mit der Basis und dem Exponenten arbeitet und die Eigenschaften von Graden verwendet.

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Was sind Machtausdrücke?

Im Schulunterricht verwenden die wenigsten den Ausdruck „Machtausdrücke“, aber dieser Begriff findet sich immer wieder in Sammlungen zur Vorbereitung auf die Prüfung. In den meisten Fällen bezeichnet der Ausdruck Ausdrücke, die Grade in ihren Einträgen enthalten. Dies werden wir in unserer Definition widerspiegeln.

Bestimmung 1

Machtausdruck ist ein Ausdruck, der Potenzen enthält.

Wir geben mehrere Beispiele für Potenzausdrücke, beginnend mit einem Grad mit einem natürlichen Exponenten und endend mit einem Grad mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit natürlichem Exponenten betrachtet werden: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + ein 2 , x 3 − 1 , (ein 2) 3 . Sowie Potenzen mit Exponent null: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Und Potenzen mit negativen ganzzahligen Potenzen: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Es ist etwas schwieriger, mit einem Grad zu arbeiten, der rationale und irrationale Exponenten hat: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Der Indikator kann eine Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder ein Logarithmus sein x 2 l g x − 5 x l g x.

Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke sind. Werfen wir nun einen Blick auf ihre Transformation.

Die wichtigsten Arten von Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit Potenzausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Leistungsausdruckswert 2 3 (4 2 − 12).

Entscheidung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. In diesem Fall beginnen wir mit den Aktionen in Klammern: Wir ersetzen den Grad durch einen digitalen Wert und berechnen die Differenz zwischen den beiden Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Es bleibt uns, den Abschluss zu ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und das Produkt berechnen 8 4 = 32. Hier ist unsere Antwort.

Antworten: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Beispiel 2

Vereinfachen Sie den Ausdruck mit Kräften 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7.

Entscheidung

Der uns im Zustand des Problems gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir bringen können: 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7 = 5 ein 4 b − 7 − 1.

Antworten: 3 ein 4 b − 7 − 1 + 2 ein 4 b − 7 = 5 ein 4 b − 7 − 1 .

Beispiel 3

Drücken Sie einen Ausdruck mit Potenzen von 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt aus.

Entscheidung

Stellen wir die Zahl 9 als Potenz dar 3 2 und wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antworten: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Kommen wir nun zur Analyse identischer Transformationen, die speziell auf Potenzausdrücke angewendet werden können.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Der Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 und . Es ist schwierig, mit solchen Aufzeichnungen zu arbeiten. Viel einfacher ist es, den Ausdruck in der Basis des Grads oder den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen.

Die Transformationen des Grades und des Indikators erfolgen nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander. Das Wichtigste ist, dass als Ergebnis der Transformationen ein Ausdruck erhalten wird, der mit dem ursprünglichen identisch ist.

Der Zweck von Transformationen besteht darin, den ursprünglichen Ausdruck zu vereinfachen oder eine Lösung des Problems zu erhalten. In dem Beispiel, das wir oben gegeben haben, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 können Sie beispielsweise Operationen ausführen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 . Wenn wir die Klammern öffnen, können wir ähnliche Begriffe in die Basis des Abschlusses einbringen (ein (ein + 1) − ein 2) 2 (x + 1) und erhalten Sie einen Machtausdruck einer einfacheren Form a 2 (x + 1).

Power-Eigenschaften verwenden

Die als Gleichheit geschriebenen Eigenschaften von Graden sind eines der Hauptwerkzeuge zum Transformieren von Ausdrücken mit Graden. In Anbetracht dessen stellen wir hier die wichtigsten vor a und b sind alle positiven Zahlen, und r und s- beliebige reelle Zahlen:

Bestimmung 2

• ein r ein s = ein r + s ;
• ein r: ein s = ein r - s ;
• (ein b) r = ein r b r ;
• (a: b) r = ein r: b r ;
• (ein r) s = ein r s .

In Fällen, in denen wir es mit natürlichen, ganzzahligen, positiven Exponenten zu tun haben, können die Beschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Also zum Beispiel, wenn wir die Gleichheit betrachten ein m ein n = ein m + n, wo m und n natürliche Zahlen sind, dann gilt dies für alle Werte von a, sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Sie können die Eigenschaften von Graden ohne Einschränkungen in Fällen anwenden, in denen die Basen der Grade positiv sind oder Variablen enthalten, deren Bereich akzeptabler Werte so ist, dass die Basen nur positive Werte annehmen. Tatsächlich besteht die Aufgabe des Schülers im Rahmen des Schullehrplans in Mathematik darin, die geeignete Eigenschaft auszuwählen und sie richtig anzuwenden.

Bei der Vorbereitung auf den Hochschulzugang kann es Aufgaben geben, bei denen eine ungenaue Anwendung von Eigenschaften zu einer Einengung der ODZ und anderen Schwierigkeiten bei der Lösung führt. In diesem Abschnitt betrachten wir nur zwei solcher Fälle. Nähere Informationen zum Thema finden Sie im Thema "Umwandlung von Ausdrücken mit Exponenteneigenschaften".

Beispiel 4

Den Ausdruck darstellen a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 als Abschluss mit Basis a.

Entscheidung

Zunächst nutzen wir die Potenzierungseigenschaft und transformieren damit den zweiten Faktor (ein 2) − 3. Dann verwenden wir die Eigenschaften der Multiplikation und Division von Potenzen mit derselben Basis:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = ein 2 .

Antworten: ein 2 , 5 (ein 2) − 3: ein − 5 , 5 = ein 2 .

Die Transformation von Potenzausdrücken gemäß der Eigenschaft von Potenzen kann sowohl von links nach rechts als auch von innen erfolgen umgekehrte Richtung.

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Entscheidung

Wenden wir die Gleichheit an (ein b) r = ein r b r, von rechts nach links, dann erhalten wir ein Produkt der Form 3 7 1 3 21 2 3 und dann 21 1 3 21 2 3 . Addieren wir die Exponenten beim Multiplizieren von Potenzen mit denselben Basen: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Es gibt eine andere Möglichkeit, Transformationen vorzunehmen:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antworten: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Angesichts eines Machtausdrucks ein 1 , 5 − ein 0 , 5 − 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0 , 5.

Entscheidung

Stellen Sie sich den Abschluss vor 1, 5 als a 0 , 5 3. Verwenden der Eigenschaft Degree in einem Degree (ein r) s = ein r s von rechts nach links und erhalte (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . In dem resultierenden Ausdruck können Sie einfach eine neue Variable einführen t = a 0 , 5: werden t 3 − t − 6.

Antworten: t 3 − t − 6 .

Brüche mit Potenzen umwandeln

Üblicherweise haben wir es mit zwei Varianten von Potenzausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck ist ein Bruch mit einem Grad oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Bruchtransformationen sind ohne Einschränkungen auf solche Ausdrücke anwendbar. Sie lassen sich kürzen, auf einen neuen Nenner bringen, mit Zähler und Nenner getrennt arbeiten. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfache den Potenzausdruck 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Entscheidung

Wir haben es mit einem Bruch zu tun, also führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setze ein Minus vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antworten: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden wie rationale Brüche auf einen neuen Nenner gebracht. Dazu müssen Sie einen zusätzlichen Faktor finden und Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so zu wählen, dass er für keine Werte der Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck verschwindet.

Beispiel 8

Bringen Sie die Brüche auf einen neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 auf den Nenner a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 zum Nenner x + 8 y 1 2 .

Entscheidung

a) Wir wählen einen Faktor, der es uns erlaubt, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. ein 0 , 7 ein 0 , 3 = ein 0 , 7 + 0 , 3 = ein , daher nehmen wir als zusätzlichen Faktor eine 0 , 3. Der Bereich der zulässigen Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reellen Zahlen. In diesem Bereich ist der Abschluss eine 0 , 3 geht nicht auf null.

Multiplizieren wir Zähler und Nenner eines Bruchs mit eine 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achte auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren Sie diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 · y 1 6 , erhalten wir die Summe der Kuben x 1 3 und 2 · y 1 6 , d.h. x + 8 · y 1 2 . Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch bringen müssen.

Also haben wir einen zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Über den Bereich akzeptabler Werte von Variablen x und j der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, also können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antworten: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 j 1 2 .

Beispiel 9

Kürze den Bruch: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Entscheidung

a) Verwenden Sie den größten gemeinsamen Nenner (ggT), um den sich Zähler und Nenner kürzen lassen. Für die Zahlen 30 und 45 ist dies 15 . Wir können auch reduzieren x 0 , 5 + 1 und auf x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein identischer Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um die gleichen Faktoren in Zähler und Nenner zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mit der Quadratdifferenzformel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antworten: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Die Hauptoperationen mit Brüchen umfassen das Kürzen auf einen neuen Nenner und das Kürzen von Brüchen. Beide Aktionen werden in Übereinstimmung mit einer Reihe von Regeln ausgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden die Brüche zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, danach werden Operationen (Addition oder Subtraktion) mit Zählern durchgeführt. Der Nenner bleibt gleich. Das Ergebnis unserer Aktionen ist ein neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Führen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 aus.

Entscheidung

Beginnen wir damit, die Brüche in Klammern zu subtrahieren. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahieren wir die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Jetzt multiplizieren wir Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Lassen Sie uns um ein Grad reduzieren x 1 2, erhalten wir 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Zusätzlich kannst du den Potenzausdruck im Nenner mit der Formel für die Differenz von Quadraten vereinfachen: Quadrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Antworten: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfache den Potenzausdruck x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Entscheidung

Wir können den Bruch um kürzen (x 2 , 7 + 1) 2. Wir erhalten einen Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Fahren wir mit der Transformation von x Potenzen x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 fort. Jetzt können Sie die Eigenschaft der Teilung von Potenzen mit denselben Basen verwenden: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Wir gehen vom letzten Produkt zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1 über.

Antworten: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

In den meisten Fällen ist es bequemer, Multiplikatoren mit negativen Exponenten vom Zähler auf den Nenner und umgekehrt zu übertragen, indem man das Vorzeichen des Exponenten ändert. Diese Aktion vereinfacht die weitere Entscheidung. Nehmen wir ein Beispiel: Der Potenzausdruck (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 kann durch x 3 · (x + 1) 0 , 2 ersetzt werden.

Konvertieren von Ausdrücken mit Wurzeln und Potenzen

In Aufgaben gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Grade mit gebrochenen Exponenten enthalten, sondern auch Wurzeln. Es ist wünschenswert, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu reduzieren. Der Übergang zu Graden ist vorzuziehen, da sie einfacher zu handhaben sind. Ein solcher Übergang ist besonders vorteilhaft, wenn der DPV der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen erlaubt, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf den Modulus zugreifen oder den DPV in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen.

Beispiel 12

Drücken Sie den Ausdruck x 1 9 x x 3 6 als Potenz aus.

Entscheidung

Gültiger Bereich einer Variablen x wird durch zwei Ungleichungen bestimmt x ≥ 0 und x · x 3 ≥ 0 , die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

An diesem Set haben wir das Recht, von den Wurzeln zu Kräften zu wechseln:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Unter Verwendung der Eigenschaften von Graden vereinfachen wir den resultierenden Potenzausdruck.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antworten: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Potenzen umrechnen mit Variablen im Exponenten

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn Sie die Eigenschaften des Grads richtig verwenden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Wir können das Produkt des Grades ersetzen, in dessen Begriff die Summe einer Variablen und einer Zahl gefunden wird. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term auf der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Lassen Sie uns nun beide Seiten der Gleichung durch dividieren 7 2x. Dieser Ausdruck auf der ODZ der Variablen x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Lassen Sie uns die Brüche mit Potenzen kürzen, wir erhalten: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Schließlich wird das Verhältnis von Potenzen mit gleichen Exponenten durch Potenzen von Verhältnissen ersetzt, was zu der Gleichung 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 führt, was äquivalent zu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 ist x - 2 = 0 .

Führen wir eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung der ursprünglichen Exponentialgleichung auf die Lösung der quadratischen Gleichung 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 reduziert.

Umrechnen von Ausdrücken mit Potenzen und Logarithmen

Ausdrücke, die Potenzen und Logarithmen enthalten, finden sich auch in Aufgaben. Beispiele für solche Ausdrücke sind: 1 4 1 - 5 log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben diskutierten Ansätzen und den Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema „Transformation logarithmischer Ausdrücke“ ausführlich analysiert haben.

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Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Anzahl c ist ein n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.

Erste Ebene

Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2019)

Warum braucht es Abschlüsse? Wo brauchen Sie sie? Warum müssen Sie Zeit damit verbringen, sie zu studieren?

Lesen Sie diesen Artikel, um alles über Abschlüsse zu erfahren, wozu sie gut sind und wie Sie Ihr Wissen im Alltag einsetzen können.

Und natürlich bringt Sie die Kenntnis der Abschlüsse dem erfolgreichen Bestehen der OGE oder der Einheitlichen Staatsprüfung und dem Eintritt in die Universität Ihrer Träume näher.

Los geht's!)

Wichtiger Hinweis! Wenn Sie anstelle von Formeln Kauderwelsch sehen, leeren Sie Ihren Cache. Drücken Sie dazu STRG+F5 (unter Windows) oder Cmd+R (unter Mac).

ERSTE EBENE

Potenzierung ist die gleiche mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache anhand sehr einfacher Beispiele erklären. Passt auf. Beispiele sind elementar, erklären aber wichtige Dinge.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Ihr wisst schon alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola? Das ist richtig - 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Dasselbe Beispiel mit Cola kann auch anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zuerst einige Muster und finden dann eine Möglichkeit, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall bemerkten sie, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl von Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht alles auch langsamer, härter und mit Fehlern! Aber…

Hier ist das Einmaleins. Wiederholen.

Und noch ein hübscher:

Und welche anderen kniffligen Zähltricks sind faulen Mathematikern eingefallen? Richtig - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl in die fünfte Potenz erheben müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich, dass zwei hoch fünf ist. Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Dazu brauchen Sie nur Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farbig hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, es wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Übrigens, warum heißt der zweite Grad Quadrat Nummern und die dritte Würfel? Was bedeutet das? Eine sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel #1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit einem Quadrat oder der zweiten Potenz einer Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool ist in Ihrem Hinterhof. Es ist heiß und ich möchte wirklich schwimmen. Aber ... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden des Beckens mit Fliesen abzudecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu bestimmen, müssen Sie die Fläche des Beckenbodens kennen.

Sie können einfach zählen, indem Sie mit dem Finger hineinstecken, dass der Boden des Pools Meter für Meter aus Würfeln besteht. Wenn Ihre Fliesen Meter für Meter sind, benötigen Sie Stücke. Ganz einfach... Aber wo hast du so eine Kachel gesehen? Die Fliese wird eher cm für cm sein und dann wird man mit „Fingerzählen“ gequält. Dann musst du multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite auch Fliesen anbringen. Durch Multiplizieren mit erhalten Sie Kacheln ().

Haben Sie bemerkt, dass wir dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben, um die Fläche des Beckenbodens zu bestimmen? Was bedeutet das? Da dieselbe Zahl multipliziert wird, können wir die Potenzierungstechnik anwenden. (Wenn du nur zwei Zahlen hast, musst du sie natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn du viele davon hast, dann ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler bei Berechnungen. Für die Prüfung ist dies sehr wichtig).
Also, dreißig bis zum zweiten Grad werden (). Oder Sie können sagen, dass dreißig zum Quadrat sein wird. Mit anderen Worten, die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel #2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie, zählen Sie, wie viele Quadrate auf dem Schachbrett sind, indem Sie das Quadrat der Zahl verwenden ... Auf der einen Seite der Zellen und auf der anderen auch. Um ihre Anzahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren, oder ... wenn Sie feststellen, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, können Sie acht quadrieren. Zellen bekommen. () So?

Beispiel #3 aus dem wirklichen Leben

Jetzt der Würfel oder die dritte Potenz einer Zahl. Das gleiche Becken. Aber jetzt müssen Sie herausfinden, wie viel Wasser in diesen Pool gegossen werden muss. Du musst das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: einen Meter großen und einen Meter tiefen Boden und versuchen Sie zu berechnen, wie viele Meter für Meter Würfel in Ihr Becken gelangen.

Einfach mit dem Finger zeigen und zählen! Eins, zwei, drei, vier … zweiundzwanzig, dreiundzwanzig … Wie viel ist herausgekommen? Nicht verloren gegangen? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul, also haben sie bemerkt, dass man Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss, um das Volumen des Pools zu berechnen. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools Würfeln ... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau Mathematiker sind, wenn sie sich das zu einfach machen. Alles auf eine Aktion reduziert. Sie bemerkten, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss verwenden können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, machen sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel ist gleich. Es ist so geschrieben:

Bleibt nur die Gradtabelle auswendig lernen. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass die Abschlüsse von Faulenzern und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen, und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.

Beispiel #4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld wirst du in Jahren haben? Wenn Sie jetzt dasitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und … dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zwei mal zwei ... im zweiten Jahr - was geschah, um zwei weitere, im dritten Jahr ... Halt! Sie haben bemerkt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der schneller rechnet, bekommt diese Millionen ... Lohnt es sich, sich an die Zahlengrade zu erinnern, was denken Sie?

Beispiel #5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie zwei weitere für jede Million. Es ist großartig, oder? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld wirst du in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr - mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen ... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mal mit sich selbst multipliziert. Die vierte Potenz ist also eine Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen werden, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Lassen Sie uns einen weiteren Blick darauf werfen, was Sie mit Abschlüssen machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte ... um nicht verwirrt zu werden

Lassen Sie uns also zuerst die Konzepte definieren. Wie denkst du, was ist exponent? Es ist ganz einfach – das ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, gleichzeitig, was eine solche Studienbasis? Noch einfacher ist die Zahl, die ganz unten an der Basis steht.

Hier ist ein Bild, damit Sie sicher sein können.

Na und rein Gesamtansicht um zu verallgemeinern und sich besser zu merken ... Ein Grad mit einer Basis "" und einem Exponenten "" wird als "bis zum Grad" gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten

Du hast es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen beim Auflisten von Artikeln verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Artikel zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht „ein Drittel“ oder „null Komma fünf Zehntel“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Was glauben Sie, was diese Zahlen sind?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (dh mit einem Minuszeichen genommen werden) und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen - das ist, wenn es nichts gibt. Und was bedeuten negative ("minus") Zahlen? Aber sie wurden hauptsächlich erfunden, um Schulden zu kennzeichnen: Wenn Sie ein Guthaben in Rubel auf Ihrem Telefon haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie entstanden, denken Sie? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass sie nicht genügend natürliche Zahlen hatten, um Länge, Gewicht, Fläche usw. Und sie kamen auf Rationale Zahlen… Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, ein unendlicher Dezimalbruch. Wenn Sie beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilen, erhalten Sie eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Lassen Sie uns das Konzept des Grads definieren, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (dh ganzzahlig und positiv).

1. Jede Zahl hoch 1 ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren heißt, sie mit sich selbst multiplizieren:
3. Eine Zahl in die dritte Potenz zu bringen heißt, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl mit einer natürlichen Potenz zu potenzieren heißt, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Grad Eigenschaften

Woher kommen diese Eigenschaften? Ich zeige es dir jetzt.

Mal sehen, was ist und ?

A-Priorat:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben Faktoren zu den Faktoren hinzugefügt, und das Ergebnis sind Faktoren.

Aber per Definition ist dies der Grad einer Zahl mit einem Exponenten, also: , der bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss der selbe grund sein!
Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

nur für Potenzprodukte!

Das darfst du auf keinen Fall schreiben.

2. das heißt -te Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber Sie können dies niemals vollständig tun:

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Abschluss mit negativer Basis

Bis zu diesem Punkt haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Aber was soll die Basis sein?

In Grad von natürlicher Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen ("" oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? SONDERN? ? Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit multiplizieren, stellt sich heraus.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier die Antworten: In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Praxisbeispiele

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten! Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie ausgetauscht würden, könnte die Regel gelten.

Aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

ganz wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem Vorzeichen "") und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es ist nicht anders als natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Wie immer fragen wir uns: Warum ist das so?

Betrachten Sie etwas Macht mit einer Basis. Nimm zum Beispiel und multipliziere mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen dasselbe wie es war -. Mit welcher Zahl muss multipliziert werden, damit sich nichts ändert? Das ist richtig, auf. Meint.

Wir können dasselbe mit einer beliebigen Zahl tun:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Aber von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da - das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss sie beliebig gleich sein – egal wie sehr man Null mit sich selbst multipliziert, man bekommt immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie, wie jede Zahl bis zum Nullgrad, gleich sein. Also, was ist die Wahrheit davon? Die Mathematiker beschlossen, sich nicht einzumischen und weigerten sich, Null mit Null zu potenzieren. Das heißt, jetzt können wir nicht nur durch Null dividieren, sondern auch mit Null potenzieren.

Gehen wir weiter. Zu den ganzen Zahlen gehören neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, machen wir dasselbe wie beim letzten Mal: ​​Wir multiplizieren eine normale Zahl mit derselben in einem negativen Grad:

Von hier aus ist es bereits einfach, das Gewünschte auszudrücken:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Also formulieren wir die Regel:

Eine Zahl zu einer negativen Potenz ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz. Aber zur selben Zeit Basis darf nicht null sein:(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Fassen wir zusammen:

I. Ausdruck ist nicht in Groß-/Kleinschreibung definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Eine Zahl, die nicht gleich Null zu einer negativen Potenz ist, ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz: .

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Nun, wie üblich, Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Aufgabenanalyse zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber bei der Prüfung muss man auf alles gefasst sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie deren Lösung, wenn Sie es nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, wie Sie in der Prüfung leicht damit umgehen können!

Erweitern wir den Kreis der als Exponent „geeigneten“ Zahlen weiter.

Jetzt bedenke Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und außerdem ganze Zahlen sind.

Zu verstehen, was ist "Bruchgrad" Betrachten wir einen Bruch:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung potenzieren:

Erinnere dich jetzt an die Regel „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des 1. Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel des . Grades ist die Umkehroperation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich kann dieser Spezialfall erweitert werden: .

Fügen Sie nun den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort ist mit der Power-to-Power-Regel leicht zu bekommen:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich kann die Wurzel nicht aus allen Zahlen gezogen werden.

Keiner!

Denke an die Regel: Jede gerade Potenzierte Zahl ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, Wurzeln mit geradem Grad aus negativen Zahlen zu ziehen!

Und das bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner auf eine gebrochene Potenz erhoben werden können, dh der Ausdruck macht keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier taucht ein Problem auf.

Die Zahl kann beispielsweise als andere, gekürzte Brüche oder dargestellt werden.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, und dies sind nur zwei verschiedene Datensätze mit derselben Nummer.

Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber sobald wir den Indikator anders schreiben, bekommen wir wieder Ärger: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, bedenken Sie nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Also wenn:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Potenzen mit rationalem Exponenten sind sehr nützlich, um Ausdrücke mit Wurzeln umzuwandeln, zum Beispiel:

5 Praxisbeispiele

Analyse von 5 Beispielen für die Ausbildung

Nun, jetzt - das Schwierigste. Jetzt werden wir analysieren Grad mit einem irrationalen Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für Grade mit einem rationalen Exponenten, mit Ausnahme von

Tatsächlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationalen).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht.

Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird;

...Null Leistung- dies ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur eine gewisse „Vorbereitung von eine Zahl“, nämlich eine Zahl;

...negativer ganzzahliger Exponent- es ist, als hätte ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

WO WIR SICHER SIND, DASS SIE GEHEN WERDEN! (wenn du lernst, wie man solche Beispiele löst :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse von Lösungen:

1. Beginnen wir mit der bereits üblichen Regel zur Anhebung eines Abschlusses auf einen Abschluss:

Sehen Sie sich jetzt die Partitur an. Erinnert er dich an etwas? Wir erinnern uns an die Formel zur abgekürzten Multiplikation der Differenz von Quadraten:

In diesem Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antworten: .

2. Wir bringen Brüche in Exponenten auf die gleiche Form: entweder beide dezimal oder beide gewöhnlich. Wir bekommen zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Definition von Grad

Der Grad ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Basis des Abschlusses;
• - Exponent.

Grad mit natürlichem Exponenten (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl mit der natürlichen Potenz n zu potenzieren bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Potenz mit ganzzahligem Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Anzahl:

Erektion auf Nullleistung:

Der Ausdruck ist unbestimmt, weil einerseits bis zu jedem Grad dies ist und andererseits jede Zahl bis zum ten Grad dies ist.

Wenn der Exponent ist Ganzzahl negativ Anzahl:

(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Noch einmal zu Nullen: Der Ausdruck ist im Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Grad mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Grad Eigenschaften

Um das Lösen von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Beweisen wir sie.

Mal sehen: was ist und?

A-Priorat:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhält man also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Entscheidung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig müssen die gleiche Grundlage haben. Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf ich auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Ordnen wir es so um:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die -te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber das schaffst du nie im Ganzen:!

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Macht mit negativer Basis.

Bis zu diesem Punkt haben wir nur diskutiert, was sein sollte Indikator Grad. Aber was soll die Basis sein? In Grad von natürlich Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen ("" oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? SONDERN? ?

Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir -.

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Sie können diese einfachen Regeln formulieren:

1. sogar Grad, - Zahl positiv.
2. Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
4. Null hoch jede Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier müssen Sie herausfinden, was weniger ist: oder? Wenn Sie sich das merken, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition von Grad:

Alles ist wie immer - wir schreiben die Definition von Graden auf und teilen sie ineinander, teilen sie in Paare und erhalten:

Lassen Sie uns vor der Analyse der letzten Regel einige Beispiele lösen.

Berechnen Sie die Werte von Ausdrücken:

Lösungen :

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten!

Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie umgekehrt wären, könnte Regel 3 angewendet werden, aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Wenn Sie es mit multiplizieren, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt sieht es so aus:

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Es kann nicht durch Änderung ersetzt werden, nur ein beanstandetes Minus an uns!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

Also jetzt die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich, wie immer: Erweitern wir das Konzept des Abschlusses und vereinfachen es:

Nun, lassen Sie uns jetzt die Klammern öffnen. Wie viele Buchstaben werden es sein? mal durch Multiplikatoren - wie sieht es aus? Dies ist nichts anderes als die Definition einer Operation Multiplikation: Insgesamt stellte sich heraus, dass es Multiplikatoren gab. Das heißt, es ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Neben Informationen zu den Abschlüssen für das Durchschnittsniveau werden wir den Abschluss mit einem irrationalen Indikator analysieren. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d.h , irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationale).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht. Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird; eine Zahl bis zum Grad null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur a bestimmte „Vorbereitung einer Nummer“, nämlich eine Nummer; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Indikator - es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, dh die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern geteilt.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (so wie es schwierig ist, sich einen 4-dimensionalen Raum vorzustellen). Vielmehr ist es ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept eines Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, um es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

1. Erinnere dich an die Quadratdifferenz-Formel. Antworten: .
2. Wir bringen Brüche in dieselbe Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnliche. Wir erhalten zum Beispiel: .
3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

ABSCHNITT ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grad heißt ein Ausdruck der Form: , wobei:

Grad mit ganzzahligem Exponenten

Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Grad mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Indikator negative und Bruchzahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

Exponent, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine Wurzel ist.

Grad Eigenschaften

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf sogar Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

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