In diesem Artikel gehen wir ausführlich auf die Grundregeln für ein so wichtiges Thema in einem Mathematikkurs wie das Öffnen von Klammern ein. Sie müssen die Regeln zum Erweitern von Klammern kennen, um Gleichungen, in denen sie verwendet werden, korrekt zu lösen.

So öffnen Sie Klammern beim Hinzufügen richtig

Erweitern Sie die Klammern, denen das „+“-Zeichen vorangestellt ist

Dies ist der einfachste Fall, denn wenn vor den Klammern ein Zusatzzeichen steht, ändern sich beim Öffnen der Klammern die darin enthaltenen Zeichen nicht. Beispiel:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

So öffnen Sie Klammern mit vorangestelltem „-“-Zeichen

In diesem Fall müssen Sie alle Begriffe ohne Klammern neu schreiben, aber gleichzeitig alle darin enthaltenen Zeichen in die entgegengesetzten ändern. Die Vorzeichen ändern sich nur für die Begriffe der Klammern, denen das Zeichen „-“ vorangestellt ist. Beispiel:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Wie öffnet man Klammern beim Multiplizieren?

Den Klammern ist ein Multiplikator vorangestellt

In diesem Fall müssen Sie jeden Term mit einem Faktor multiplizieren und die Klammern öffnen, ohne das Vorzeichen zu ändern. Hat der Multiplikator das Vorzeichen „-“, dann werden beim Multiplizieren die Vorzeichen der Terme vertauscht. Beispiel:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

So öffnen Sie zwei Klammern mit einem Multiplikationszeichen dazwischen

In diesem Fall müssen Sie jeden Term aus der ersten Klammer mit jedem Term aus der zweiten Klammer multiplizieren und dann die Ergebnisse addieren. Beispiel:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Wie man Klammern in einem Quadrat öffnet

Wird die Summe oder Differenz zweier Terme quadriert, sind die Klammern nach folgender Formel zu erweitern:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Bei einem Minus innerhalb der Klammern ändert sich die Formel nicht. Beispiel:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Wie man Klammern in einem anderen Grad öffnet

Wird die Summe oder Differenz der Terme beispielsweise in die 3. oder 4. Potenz erhoben, dann braucht man nur den Grad der Klammer in „Quadrate“ zu zerlegen. Die Potenzen derselben Faktoren werden addiert, und beim Teilen wird der Grad des Divisors vom Grad des Dividenden subtrahiert. Beispiel:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

So öffnen Sie 3 Klammern

Es gibt Gleichungen, bei denen 3 Klammern gleichzeitig multipliziert werden. In diesem Fall müssen Sie zunächst die Terme der ersten beiden Klammern miteinander multiplizieren und dann die Summe dieser Multiplikation mit den Termen der dritten Klammer multiplizieren. Beispiel:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Diese Klammeröffnungsregeln gelten gleichermaßen für lineare und trigonometrische Gleichungen.

Überall, überallhin, allerorts. Überall und überall, wo man hinschaut, gibt es solche Konstruktionen:

Diese "Konstruktionen" bei gebildeten Menschen verursachen eine zweideutige Reaktion. Zumindest wie "Ist es wirklich so - oder?".
Im Allgemeinen kann ich persönlich nicht verstehen, woher die „Mode“ kommt, externe Zitate nicht zu schließen. Die erste und einzige Analogie, die in diesem Zusammenhang auftaucht, ist die Analogie mit Klammern. Dass zwei Klammern hintereinander normal sind, bezweifelt niemand. Zum Beispiel: „Bezahle die gesamte Auflage (200 Stück (davon 100 defekt))“. Aber in der Normalität, zwei Zitate hintereinander zu setzen, zweifelte jemand (ich frage mich, wer der erste war?) ... Und jetzt begannen ausnahmslos alle, Konstruktionen wie LLC Firm Pupkov and Co. mit gutem Gewissen zu produzieren.
Aber selbst wenn Sie die Regel in Ihrem Leben nicht gesehen haben, auf die weiter unten eingegangen wird, wäre die einzige logisch gerechtfertigte Option (am Beispiel der Klammern) die folgende: Firm Pupkov and Co LLC.
Also die Regel selbst:
Stehen am Anfang oder am Ende eines Zitats (gleiches gilt für wörtliche Rede) innere und äußere Anführungszeichen, dann müssen sie sich in einem Muster (den sogenannten „Fischgräten“ und „Niedlich“) voneinander unterscheiden. , und externe Anführungszeichen sollten nicht weggelassen werden, zum Beispiel: C An die Seiten des Schiffes wurde gefunkt: "Leningrad ist in die Tropen eingetreten und setzt seinen Kurs fort." Über Schukowski schreibt Belinsky: „Zeitgenossen aus Schukowskis Jugend betrachteten ihn hauptsächlich als Autor von Balladen, und in einer seiner Botschaften nannte ihn Batjuschkow einen „Balladenspieler“.
© Regeln der russischen Rechtschreibung und Zeichensetzung. - Tula: Autograph, 1995. - 192 p.
Dementsprechend ... wenn Sie keine Möglichkeit haben, Anführungszeichen "Weihnachtsbäume" einzugeben, was können Sie dann tun, müssen Sie solche "" -Symbole verwenden. Die Unmöglichkeit (oder Unwilligkeit), russische Anführungszeichen zu verwenden, ist jedoch keineswegs der Grund, warum Sie die äußeren Anführungszeichen nicht schließen können.

So scheint es, dass sie das falsche Design der Firma Pupkov and Co LLC herausgefunden haben. Es gibt auch Konstruktionen des Typs LLC Firm Pupkov and Co.
Aus der Regel geht ganz klar hervor, dass solche Konstruktionen Analphabeten sind ... (Richtig: LLC Firm Pupkov and Co.

Jedoch!
Milchin's Publisher's and Author's Handbook (Ausgabe 2004) gibt an, dass in solchen Fällen zwei Gestaltungsmöglichkeiten verwendet werden können. Die Verwendung von "Fischgräten" und "Pfoten" und (in Ermangelung technischer Mittel) die Verwendung von nur "Fischgräten": zwei Öffnungen und eine Schließung.
Das Verzeichnis ist „frisch“ und ich persönlich habe hier gleich 2 Fragen. Erstens, mit welcher Freude kann man noch ein Schlusszitat-Fischgrät verwenden (naja, das ist unlogisch, siehe oben), und zweitens fällt besonders die Wendung „mangels technischer Mittel“ auf. Wie ist das, Entschuldigung? Öffnen Sie hier Notepad und geben Sie dort „nur Weihnachtsbäume: zwei öffnende und eine schließende“ ein. Es gibt keine solchen Zeichen auf der Tastatur. Das Drucken eines Weihnachtsbaumes funktioniert nicht... Die Kombination Shift + 2 erzeugt das Zeichen " (was bekanntlich nicht einmal ein Zitat ist). Öffnen Sie nun Microsoft Word und drücken Sie erneut Shift + 2. Das Programm korrigiert " zu " (oder " ). Nun, es stellt sich heraus, dass die seit mehr als einem Dutzend Jahren bestehende Regel unter Microsoft Word übernommen und neu geschrieben wurde? Wie, da das Wort von "Firma" Pupkov und Co "Firma "Pupkov und Co" "macht", dann lass es jetzt akzeptabel und richtig sein ???
Es scheint so. Und wenn ja, dann gibt es allen Grund, an der Richtigkeit einer solchen Neuerung zu zweifeln.

Ja, und noch eine Klarstellung ... über den "Mangel an technischen Mitteln". Tatsache ist, dass es auf jedem Windows-Rechner immer "technische Mittel" gibt, um sowohl "Fischgräten" als auch "Pfoten" einzugeben, also ist diese neue "Regel" (bei mir in Anführungszeichen) von vornherein falsch!

Alle Sonderzeichen in einer Schriftart können leicht eingegeben werden, wenn man die entsprechende Nummer dieses Zeichens kennt. Es genügt, die Alt-Taste gedrückt zu halten und auf der NumLock-Tastatur (NumLock ist gedrückt, die Kontrollleuchte leuchtet) die entsprechende Symbolnummer einzugeben:

„ Alt + 0132 (linker Fuß)
“ Alt + 0147 (rechter Fuß)
« Alt + 0171 (linkes Fischgrätmuster)
» Alt + 0187 (rechts Fischgrät)

In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie einen Ausdruck, der Klammern enthält, in einen Ausdruck umwandeln, der keine Klammern enthält. Sie lernen, wie Sie Klammern öffnen, denen ein Pluszeichen und ein Minuszeichen vorangestellt ist. Wir werden uns daran erinnern, wie man Klammern mit dem Distributivgesetz der Multiplikation öffnet. Die betrachteten Beispiele werden es ermöglichen, neues und zuvor untersuchtes Material zu einem einzigen Ganzen zu verbinden.

Thema: Gleichungen lösen

Lektion: Erweiterung von Klammern

So öffnen Sie Klammern mit vorangestelltem „+“-Zeichen. Anwendung des assoziativen Additionsgesetzes.

Wenn Sie die Summe zweier Zahlen zu einer Zahl addieren müssen, können Sie dieser Zahl den ersten Term und dann den zweiten hinzufügen.

Links vom Gleichheitszeichen steht ein Ausdruck mit Klammern und rechts ein Ausdruck ohne Klammern. Das bedeutet, dass beim Übergang von der linken Seite der Gleichheit zur rechten Seite die Klammern geöffnet wurden.

Betrachten Sie Beispiele.

Beispiel 1

Durch das Erweitern der Klammern haben wir die Reihenfolge der Operationen geändert. Zählen ist bequemer geworden.

Beispiel 2

Beispiel 3

Beachten Sie, dass wir in allen drei Beispielen einfach die Klammern entfernt haben. Formulieren wir die Regel:

Kommentar.

Wenn der erste Begriff in Klammern vorzeichenlos ist, muss er mit einem Pluszeichen geschrieben werden.

Sie können dem Beispiel Schritt für Schritt folgen. Addiere zuerst 445 zu 889. Diese mentale Aktion kann durchgeführt werden, aber es ist nicht sehr einfach. Lassen Sie uns die Klammern öffnen und sehen, dass die geänderte Reihenfolge der Operationen die Berechnungen erheblich vereinfacht.

Wenn Sie die angegebene Reihenfolge der Aktionen befolgen, müssen Sie zuerst 345 von 512 subtrahieren und dann zum Ergebnis 1345 addieren.Durch Erweitern der Klammern ändern wir die Reihenfolge der Aktionen und vereinfachen die Berechnungen erheblich.

Anschauliches Beispiel und Regel.

Betrachten Sie ein Beispiel: . Sie können den Wert des Ausdrucks finden, indem Sie 2 und 5 addieren und dann die resultierende Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen nehmen. Wir bekommen -7.

Andererseits kann das gleiche Ergebnis erhalten werden, indem die entgegengesetzten Zahlen addiert werden.

Formulieren wir die Regel:

Beispiel 1

Beispiel 2

Die Regel ändert sich nicht, wenn nicht zwei, sondern drei oder mehr Begriffe in Klammern stehen.

Beispiel 3

Kommentar. Vorzeichen werden nur vor den Begriffen vertauscht.

Um die Klammern zu öffnen, müssen wir uns in diesem Fall an das Distributivgesetz erinnern.

Multiplizieren Sie zuerst die erste Klammer mit 2 und die zweite mit 3.

Der ersten Klammer ist ein „+“-Zeichen vorangestellt, was bedeutet, dass die Vorzeichen unverändert bleiben müssen. Dem zweiten geht ein „-“-Zeichen voraus, daher müssen alle Vorzeichen vertauscht werden

Referenzliste

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematik Klasse 6. - Gymnasium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. - Aufklärung, 1989.
4. Rurukin A. N., Tschaikowsky I. V. Aufgaben für den Kurs Mathematik Klasse 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tschaikowsky K.G. Mathematik 5-6. Ein Handbuch für Schüler der 6. Klasse der Fernschule MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Mathematik: Lehrbuch-Gesprächspartner für die 5.-6. Klasse des Gymnasiums. Bibliothek des Mathematiklehrers. - Aufklärung, 1989.

1. Online-Mathematiktests ().
2. Sie können die in Abschnitt 1.2 angegebenen herunterladen. Bücher().

Hausaufgaben

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (siehe Link 1.2)
2. Hausaufgaben: Nr. 1254, Nr. 1255, Nr. 1256 (b, d)
3. Andere Aufgaben: Nr. 1258(c), Nr. 1248

Jetzt gehen wir einfach zum Öffnen von Klammern in Ausdrücken über, in denen der Ausdruck in Klammern mit einer Zahl oder einem Ausdruck multipliziert wird. Formulieren wir die Regel für das Öffnen von Klammern mit vorangestelltem Minuszeichen: Die Klammern zusammen mit dem Minuszeichen werden weggelassen, und die Vorzeichen aller Begriffe in Klammern werden durch entgegengesetzte ersetzt.

Eine Art der Ausdruckstransformation ist die Klammererweiterung. Numerische, wörtliche und variable Ausdrücke werden mit Klammern zusammengesetzt, die die Reihenfolge angeben können, in der Aktionen ausgeführt werden, eine negative Zahl enthalten usw. Nehmen wir an, dass es in den oben beschriebenen Ausdrücken anstelle von Zahlen und Variablen beliebige Ausdrücke geben kann.

Und beachten wir noch einen Punkt bezüglich der Besonderheiten beim Schreiben der Lösung beim Öffnen der Klammern. Im vorigen Absatz haben wir uns mit der sogenannten Klammererweiterung beschäftigt. Dazu gibt es Regeln für das Öffnen von Klammern, die wir jetzt überprüfen. Diese Regel wird durch die Tatsache bestimmt, dass es üblich ist, positive Zahlen ohne Klammern zu schreiben, Klammern sind in diesem Fall unnötig. Der Ausdruck (−3.7)−(−2)+4+(−9) kann ohne Klammern als −3.7+2+4−9 geschrieben werden.

Schließlich ist der dritte Teil der Regel einfach auf die Besonderheiten zurückzuführen, negative Zahlen links im Ausdruck zu schreiben (die wir im Abschnitt Klammern zum Schreiben negativer Zahlen erwähnt haben). Sie können auf Ausdrücke stoßen, die aus einer Zahl, Minuszeichen und mehreren Klammerpaaren bestehen. Wenn Sie die Klammern von innen nach außen erweitern, lautet die Lösung: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Wie öffne ich Klammern?

Hier ist eine Erklärung: −(−2 x) ist +2 x, und da dieser Ausdruck zuerst kommt, kann +2 x geschrieben werden als 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x und −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Der erste Teil der schriftlichen Regel zum Öffnen von Klammern folgt direkt aus der Regel zum Multiplizieren negativer Zahlen. Der zweite Teil davon ist eine Folge der Regel zum Multiplizieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Kommen wir zu Beispielen für das Erweitern von Klammern in Produkten und Quotienten zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Klammeröffnung: Regeln, Beispiele, Lösungen.

Die obige Regel berücksichtigt die gesamte Kette dieser Aktionen und beschleunigt das Öffnen von Klammern erheblich. Die gleiche Regel ermöglicht es Ihnen, Klammern in Ausdrücken zu öffnen, die Produkte und Teilausdrücke mit einem Minuszeichen sind, die keine Summen und Differenzen sind.

Betrachten Sie Beispiele für die Anwendung dieser Regel. Wir geben die entsprechende Regel an. Oben sind uns bereits Ausdrücke der Form −(a) und −(−a) begegnet, die ohne Klammern als −a bzw. a geschrieben werden. Zum Beispiel −(3)=3 und. Dies sind Sonderfälle der genannten Regel. Betrachten Sie nun Beispiele für das Öffnen von Klammern, wenn Summen oder Differenzen darin eingeschlossen sind. Wir zeigen Beispiele für die Verwendung dieser Regel. Bezeichne den Ausdruck (b1+b2) als b, danach wenden wir die Regel zum Multiplizieren der Klammer mit dem Ausdruck aus dem vorherigen Absatz an, wir haben (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1b+a2b)=a1b+a2b.

Durch Induktion kann diese Aussage auf eine beliebige Anzahl von Termen in jeder Klammer erweitert werden. Es bleibt, die Klammern im resultierenden Ausdruck zu öffnen, indem wir die Regeln aus den vorherigen Absätzen anwenden, als Ergebnis erhalten wir 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Die Regel in der Mathematik ist das Öffnen von Klammern, wenn (+) und (-) vor der Klammer stehen, eine sehr notwendige Regel

Dieser Ausdruck ist das Produkt aus drei Faktoren (2+4), 3 und (5+7 8). Die Klammern müssen nacheinander geöffnet werden. Jetzt wenden wir die Regel zum Multiplizieren einer Klammer mit einer Zahl an, wir haben ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Grade, deren Basis einige in Klammern geschriebene Ausdrücke sind, mit natürlichen Indikatoren können als Produkt mehrerer Klammern betrachtet werden.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Ausdruck (a+b+c)2 umwandeln. Zuerst schreiben wir es als Produkt zweier Klammern (a + b + c) (a + b + c), jetzt multiplizieren wir die Klammer mit der Klammer, wir erhalten a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Wir sagen auch, dass es ratsam ist, die Binomialformel von Newton zu verwenden, um die Summen und Differenzen zweier Zahlen in eine natürliche Potenz zu erheben. Zum Beispiel (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Es ist nicht weniger bequem, die Division vorläufig durch Multiplikation zu ersetzen und dann die entsprechende Regel zum Öffnen von Klammern im Produkt zu verwenden.

Es bleibt, die Reihenfolge der öffnenden Klammern anhand von Beispielen herauszufinden. Nimm den Ausdruck (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Setzen Sie diese Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Es bleibt nur noch das Öffnen der Klammern zu vervollständigen, als Ergebnis haben wir −5+3 2:4+6 7. Das bedeutet, dass beim Übergang von der linken Seite der Gleichheit zur rechten Seite die Klammern geöffnet wurden.

Beachten Sie, dass wir in allen drei Beispielen einfach die Klammern entfernt haben. Addiere zuerst 445 zu 889. Diese mentale Aktion kann durchgeführt werden, aber es ist nicht sehr einfach. Lassen Sie uns die Klammern öffnen und sehen, dass die geänderte Reihenfolge der Operationen die Berechnungen erheblich vereinfacht.

Wie man Klammern in einem anderen Grad öffnet

Anschauliches Beispiel und Regel. Betrachten Sie ein Beispiel: . Sie können den Wert des Ausdrucks finden, indem Sie 2 und 5 addieren und dann die resultierende Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen nehmen. Die Regel ändert sich nicht, wenn nicht zwei, sondern drei oder mehr Begriffe in Klammern stehen. Kommentar. Vorzeichen werden nur vor den Begriffen vertauscht. Um die Klammern zu öffnen, müssen wir uns in diesem Fall an das Distributivgesetz erinnern.

Einzelne Zahlen in Klammern

Dein Fehler liegt nicht in den Vorzeichen, sondern in der falschen Arbeit mit Brüchen? In der 6. Klasse lernten wir positive und negative Zahlen kennen. Wie lösen wir Beispiele und Gleichungen?

Wie viel steht in Klammern? Was kann man zu diesen Ausdrücken sagen? Natürlich ist das Ergebnis des ersten und zweiten Beispiels dasselbe, also können Sie ein Gleichheitszeichen dazwischen setzen: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Was haben wir also mit den Klammern gemacht?

Demonstration von Folie 6 mit den Regeln zum Öffnen von Klammern. Daher helfen uns die Regeln zum Öffnen von Klammern, Beispiele zu lösen und Ausdrücke zu vereinfachen. Als nächstes werden die Schüler aufgefordert, in Paaren zu arbeiten: Es ist notwendig, den Ausdruck mit Klammern mit dem entsprechenden Ausdruck ohne Klammern mit Pfeilen zu verbinden.

Folie 11 In der Sunny City angekommen, stritten sich Znayka und Dunno darüber, wer von ihnen die Gleichung richtig gelöst hatte. Als nächstes lösen die Schüler die Gleichung selbstständig und wenden die Regeln zum Öffnen von Klammern an. Gleichungen lösen „Unterrichtsziele: pädagogisch (ZUNs zum Thema fixieren:“ Klammern öffnen.

Unterrichtsthema: „Klammern öffnen. In diesem Fall müssen Sie jeden Term aus der ersten Klammer mit jedem Term aus der zweiten Klammer multiplizieren und dann die Ergebnisse addieren. Zuerst werden die ersten beiden Faktoren genommen, in eine weitere Klammer eingeschlossen, und innerhalb dieser Klammern werden die Klammern nach einer der bereits bekannten Regeln geöffnet.

rawalan.freezeet.ru

Klammeröffnung: Regeln und Beispiele (Klasse 7)

Die Hauptfunktion von Klammern besteht darin, die Reihenfolge der Aktionen bei der Berechnung von Werten zu ändern numerische Ausdrücke . zum Beispiel, im numerischen Ausdruck \(5 3+7\) wird zuerst die Multiplikation berechnet und dann die Addition: \(5 3+7 =15+7=22\). Aber im Ausdruck \(5·(3+7)\) wird zuerst die Addition in Klammern berechnet und erst dann die Multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Wenn wir es jedoch zu tun haben Algebraischer Ausdruck enthält Variable- zum Beispiel so: \ (2 (x-3) \) - dann ist es unmöglich, den Wert in der Klammer zu berechnen, die Variable stört. Daher werden in diesem Fall die Klammern „geöffnet“, wobei die entsprechenden Regeln dafür verwendet werden.

Klammererweiterungsregeln

Wenn vor der Klammer ein Pluszeichen steht, wird die Klammer einfach entfernt, der Ausdruck darin bleibt unverändert. Mit anderen Worten:

Hier muss klargestellt werden, dass es in der Mathematik zur Reduzierung von Einträgen üblich ist, das Pluszeichen nicht zu schreiben, wenn es das erste im Ausdruck ist. Wenn wir zum Beispiel zwei positive Zahlen addieren, zum Beispiel sieben und drei, dann schreiben wir nicht \(+7+3\), sondern einfach \(7+3\), obwohl sieben auch eine positive Zahl ist . Ebenso, wenn Sie zum Beispiel den Ausdruck \((5+x)\) sehen - wissen Sie das Vor der Klammer steht ein Plus, das nicht geschrieben wird.

Beispiel . Öffnen Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme ein: \((x-11)+(2+3x)\).
Entscheidung : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Wenn vor der Klammer ein Minuszeichen steht, dann ändert jedes Element des darin enthaltenen Ausdrucks das Vorzeichen in das Gegenteil, wenn die Klammer entfernt wird:

Hier muss klargestellt werden, dass a, obwohl es in Klammern stand, ein Pluszeichen hatte (sie haben es einfach nicht geschrieben) und sich dieses Plus nach dem Entfernen der Klammer in ein Minus geändert hat.

Beispiel : Vereinfachen Sie den Ausdruck \(2x-(-7+x)\).
Entscheidung : Es gibt zwei Begriffe innerhalb der Klammer: \(-7\) und \(x\), und es gibt ein Minus vor der Klammer. Das bedeutet, dass sich die Vorzeichen ändern - und die Sieben wird jetzt mit einem Plus und das x mit einem Minus sein. Öffnen Sie die Halterung und ähnliche Begriffe bringen .

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme \(5-(3x+2)+(2+3x)\) ein.
Entscheidung : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Steht vor der Klammer ein Faktor, so wird jedes Glied der Klammer damit multipliziert, d.h.:

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(5(3-x)\).
Entscheidung : Wir haben \(3\) und \(-x\) in der Klammer und eine Fünf vor der Klammer. Dies bedeutet, dass jedes Glied der Klammer mit \ (5 \) multipliziert wird - ich erinnere Sie daran Das Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und einer Klammer in der Mathematik wird nicht geschrieben, um die Größe von Datensätzen zu reduzieren.

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(-2(-3x+5)\).
Entscheidung : Wie im vorherigen Beispiel werden die Klammern \(-3x\) und \(5\) mit \(-2\) multipliziert.

Es bleibt die letzte Situation zu betrachten.

Beim Multiplizieren von Klammern mit Klammern wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten multipliziert:

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \((2-x)(3x-1)\).
Entscheidung : Wir haben ein Produkt mit Klammern und es kann sofort mit der obigen Formel geöffnet werden. Aber um nicht verwirrt zu werden, machen wir alles Schritt für Schritt.
Schritt 1. Wir entfernen die erste Klammer - jedes ihrer Mitglieder wird mit der zweiten Klammer multipliziert:

Schritt 2. Erweitern Sie die Produkte der Klammer wie oben beschrieben um den Faktor:
- das erste zuerst...

Schritt 3. Jetzt multiplizieren wir und bringen ähnliche Terme:

Es ist nicht notwendig, alle Transformationen im Detail zu malen, Sie können sofort multiplizieren. Aber wenn Sie gerade lernen, Klammern zu öffnen - schreiben Sie detailliert, ist die Wahrscheinlichkeit geringer, einen Fehler zu machen.

Hinweis zum gesamten Abschnitt. Tatsächlich müssen Sie sich nicht alle vier Regeln merken, sondern nur eine, diese hier: \(c(a-b)=ca-cb\) . Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel \((a-b)=a-b\) . Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel \(-(a-b)=-a+b\) . Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.

Klammer in Klammer

In der Praxis gibt es manchmal Probleme mit Klammern, die in anderen Klammern verschachtelt sind. Hier ist ein Beispiel für eine solche Aufgabe: den Ausdruck \(7x+2(5-(3x+y))\) zu vereinfachen.

Um bei diesen Aufgaben erfolgreich zu sein, müssen Sie:
- die Verschachtelung von Klammern genau verstehen - welche in welcher steht;
- Öffnen Sie die Klammern nacheinander, beginnend zum Beispiel mit der innersten.

Es ist wichtig, wenn Sie eine der Klammern öffnen Berühren Sie den Rest des Ausdrucks nicht, schreiben Sie es einfach so um, wie es ist.
Nehmen wir die obige Aufgabe als Beispiel.

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme \(7x+2(5-(3x+y))\) ein.
Entscheidung:

Beginnen wir die Aufgabe, indem wir die innere Klammer (die innere) öffnen. Wenn wir es öffnen, haben wir es nur damit zu tun, dass es direkt damit zusammenhängt - dies ist die Klammer selbst und das Minus davor (grün hervorgehoben). Alles andere (nicht ausgewählt) wird neu geschrieben, wie es war.

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Ein bisschen Theorie.

Das Produkt aus einem Monom und einem Polynom. Das Konzept eines Polynoms

Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:

Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.

Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:

Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:

Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.

Hinter Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Ein Binom hat also einen dritten Grad und ein Trinom einen zweiten.

Normalerweise werden die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:

Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.

Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:

Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wird den Klammern ein „-“ vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom

Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.

Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.

Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat

Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind und, d. h. das Quadrat der Summe, das Quadrat der Differenz und die Differenz der Quadrate. Sie haben bemerkt, dass die Namen dieser Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also zum Beispiel - das ist natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von a und b. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so verbreitet, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.

Ausdrücke lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet:

Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

- Das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und dem Doppelten des Produkts.

- Das Quadrat der Differenz ist gleich der Summe der Quadrate ohne das doppelte Produkt.

- Die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt der Differenz durch die Summe.

Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.

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Klammererweiterung

Wir studieren weiterhin die Grundlagen der Algebra. In dieser Lektion lernen wir, wie man Klammern in Ausdrücken öffnet. Klammern zu erweitern bedeutet, den Ausdruck von diesen Klammern zu befreien.

Um Klammern zu öffnen, müssen Sie nur zwei Regeln auswendig lernen. Mit regelmäßiger Übung können Sie die Klammern mit geschlossenen Augen öffnen, und die Regeln, die auswendig gelernt werden mussten, können getrost vergessen werden.

Die erste Regel der Klammererweiterung

Betrachten Sie den folgenden Ausdruck:

Der Wert dieses Ausdrucks ist 2 . Lassen Sie uns die Klammern in diesem Ausdruck öffnen. Klammern zu erweitern bedeutet, sie loszuwerden, ohne die Bedeutung des Ausdrucks zu beeinflussen. Das heißt, nachdem die Klammern entfernt wurden, der Wert des Ausdrucks 8+(−9+3) sollte immer noch gleich zwei sein.

Die erste Klammererweiterungsregel sieht folgendermaßen aus:

Wenn beim Öffnen von Klammern ein Plus vor den Klammern steht, wird dieses Plus zusammen mit den Klammern weggelassen.

Das sehen wir also im Ausdruck 8+(−9+3) Vor den Klammern steht ein Plus. Dieses Plus muss zusammen mit den Klammern weggelassen werden. Mit anderen Worten, die Klammern verschwinden zusammen mit dem Plus, das davor stand. Und was in Klammern stand, wird unverändert geschrieben:

8−9+3 . Dieser Ausdruck ist gleich 2 , wie der vorherige Ausdruck in Klammern gleich war 2 .

8+(−9+3) und 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Beispiel 2 Klammern in einem Ausdruck erweitern 3 + (−1 − 4)

Da vor den Klammern ein Plus steht, entfällt dieses Plus zusammen mit den Klammern. Was in Klammern stand, bleibt unverändert:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Beispiel 3 Klammern in einem Ausdruck erweitern 2 + (−1)

In diesem Beispiel ist die Erweiterung von Klammern zu einer Art Umkehroperation geworden, bei der Subtraktion durch Addition ersetzt wird. Was bedeutet das?

Im Ausdruck 2−1 Subtraktion tritt auf, kann aber durch Addition ersetzt werden. Dann bekommst du den Ausdruck 2+(−1) . Aber wenn im Ausdruck 2+(−1) Öffne die Klammern, du bekommst das Original 2−1 .

Daher kann die erste Klammererweiterungsregel verwendet werden, um Ausdrücke nach einigen Transformationen zu vereinfachen. Das heißt, befreien Sie es von Klammern und machen Sie es einfacher.

Vereinfachen wir beispielsweise den Ausdruck 2a+a−5b+b .

Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, können wir ähnliche Terme hinzufügen. Denken Sie daran, dass Sie zum Reduzieren gleicher Terme die Koeffizienten gleicher Terme addieren und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multiplizieren müssen:

Habe einen Ausdruck 3a+(−4b). Öffnen Sie in diesem Ausdruck die Klammern. Da vor den Klammern ein Plus steht, verwenden wir die erste Regel zum Öffnen von Klammern, d. h. wir lassen die Klammern zusammen mit dem Plus vor diesen Klammern weg:

Also der Ausdruck 2a+a−5b+b vereinfacht zu 3a–4b .

Nachdem eine Klammer geöffnet wurde, können sich andere auf dem Weg treffen. Wir wenden auf sie die gleichen Regeln an wie auf die erste. Lassen Sie uns beispielsweise die Klammern im folgenden Ausdruck erweitern:

Es gibt zwei Stellen, an denen Sie die Klammern erweitern müssen. In diesem Fall gilt die erste Regel zum Erweitern von Klammern, nämlich das Weglassen der Klammern zusammen mit dem Plus, das vor diesen Klammern steht:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Beispiel 3 Klammern in einem Ausdruck erweitern 6+(−3)+(−2)

An beiden Stellen, an denen Klammern stehen, wird ihnen ein Pluszeichen vorangestellt. Auch hier gilt wieder die erste Klammerausdehnungsregel:

Manchmal wird der erste Begriff in Klammern ohne Vorzeichen geschrieben. Zum Beispiel im Ausdruck 1+(2+3−4) erster Begriff in Klammern 2 ohne Vorzeichen geschrieben. Es stellt sich die Frage, welches Zeichen vor der Zwei steht, nachdem die Klammern und das Plus vor der Klammer weggelassen wurden? Die Antwort liegt auf der Hand - vor der Zwei steht ein Plus.

Tatsächlich steht sogar in Klammern ein Plus vor der Zwei, aber wir sehen es nicht, weil es nicht aufgeschrieben ist. Wir haben bereits gesagt, dass die vollständige Schreibweise positiver Zahlen aussieht +1, +2, +3. Aber die Pluspunkte werden traditionell nicht aufgeschrieben, weshalb wir die uns vertrauten positiven Zahlen sehen. 1, 2, 3 .

Daher zum Öffnen von Klammern in einem Ausdruck 1+(2+3−4) , müssen Sie die Klammern wie üblich zusammen mit dem Plus vor diesen Klammern weglassen, schreiben Sie aber den ersten Begriff, der in Klammern stand, mit einem Pluszeichen:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Beispiel 4 Klammern in einem Ausdruck erweitern −5 + (2 − 3)

Da vor den Klammern ein Plus steht, wenden wir die erste Regel zum Öffnen von Klammern an, nämlich wir lassen die Klammern zusammen mit dem Plus vor diesen Klammern weg. Aber der erste Begriff, der in Klammern mit einem Pluszeichen geschrieben wird:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Beispiel 5 Klammern in einem Ausdruck erweitern (−5)

Vor der Klammer steht ein Plus, das jedoch nicht geschrieben wird, da davor keine anderen Zahlen oder Ausdrücke standen. Unsere Aufgabe ist es, die Klammern zu entfernen, indem wir die erste Regel zum Erweitern von Klammern anwenden, nämlich die Klammern zusammen mit diesem Plus wegzulassen (auch wenn es unsichtbar ist)

Beispiel 6 Klammern in einem Ausdruck erweitern 2a + (−6a + b)

Da vor den Klammern ein Plus steht, entfällt dieses Plus zusammen mit den Klammern. Was in Klammern stand, wird unverändert geschrieben:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Beispiel 7 Klammern in einem Ausdruck erweitern 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

In diesem Ausdruck gibt es zwei Stellen, an denen Sie die Klammern öffnen müssen. In beiden Abschnitten steht ein Plus vor den Klammern, was bedeutet, dass dieses Plus zusammen mit den Klammern weggelassen wird. Was in Klammern stand, wird unverändert geschrieben:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Die zweite Regel zum Öffnen von Klammern

Schauen wir uns nun die zweite Erweiterungsregel für Klammern an. Es wird verwendet, wenn vor den Klammern ein Minuszeichen steht.

Wenn vor den Klammern ein Minus steht, wird dieses Minus mit den Klammern weggelassen, aber die Begriffe, die in den Klammern standen, ändern ihr Vorzeichen in das Gegenteil.

Erweitern wir beispielsweise die Klammern im folgenden Ausdruck

Wir sehen, dass vor den Klammern ein Minus steht. Sie müssen also die zweite Erweiterungsregel anwenden, nämlich die Klammern zusammen mit dem Minus vor diesen Klammern weglassen. In diesem Fall ändern die Begriffe, die in Klammern standen, ihr Vorzeichen in das Gegenteil:

Wir haben einen Ausdruck ohne Klammern 5+2+3 . Dieser Ausdruck ist gleich 10, genau wie der vorherige Ausdruck mit Klammern gleich 10 war.

Also zwischen Ausdrücken 5−(−2−3) und 5+2+3 Sie können ein Gleichheitszeichen setzen, da sie dem gleichen Wert entsprechen:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Beispiel 2 Klammern in einem Ausdruck erweitern 6 − (−2 − 5)

Da vor den Klammern ein Minus steht, wenden wir die zweite Regel zum Öffnen von Klammern an, nämlich dass wir die Klammern zusammen mit dem Minus vor diesen Klammern weglassen. In diesem Fall werden die Begriffe, die in Klammern standen, mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Beispiel 3 Klammern in einem Ausdruck erweitern 2 − (7 + 3)

Da vor den Klammern ein Minus steht, wenden wir die zweite Regel zum Öffnen von Klammern an:

Beispiel 4 Klammern in einem Ausdruck erweitern −(−3 + 4)

Beispiel 5 Klammern in einem Ausdruck erweitern −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Es gibt zwei Stellen, an denen Sie die Klammern erweitern müssen. Im ersten Fall müssen Sie die zweite Regel zum Öffnen von Klammern anwenden und wenn der Ausdruck an der Reihe ist +(−9−2) Sie müssen die erste Regel anwenden:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Beispiel 6 Klammern in einem Ausdruck erweitern −(−a−1)

Beispiel 7 Klammern in einem Ausdruck erweitern −(4a + 3)

Beispiel 8 Klammern in einem Ausdruck erweitern a −(4b + 3) + 15

Beispiel 9 Klammern in einem Ausdruck erweitern 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Es gibt zwei Stellen, an denen Sie die Klammern erweitern müssen. Im ersten Fall müssen Sie die erste Regel zum Erweitern von Klammern anwenden und wenn der Ausdruck an der Reihe ist −(3c+5) Sie müssen die zweite Regel anwenden:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Beispiel 10 Klammern in einem Ausdruck erweitern -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Es gibt drei Stellen, an denen Sie die Klammern erweitern müssen. Zuerst müssen Sie die zweite Regel zum Erweitern von Klammern anwenden, dann die erste und dann wieder die zweite:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Erweiterungsmechanismus für Klammern

Die jetzt betrachteten Regeln zum Öffnen von Klammern basieren auf dem Distributivgesetz der Multiplikation:

Tatsächlich öffnende Klammern Rufen Sie die Prozedur auf, wenn der gemeinsame Faktor mit jedem Term in Klammern multipliziert wird. Als Ergebnis einer solchen Multiplikation verschwinden die Klammern. Erweitern wir beispielsweise die Klammern im Ausdruck 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Wenn Sie also eine Zahl mit einem Ausdruck in Klammern multiplizieren müssen (oder einen Ausdruck in Klammern mit einer Zahl multiplizieren), müssen Sie sagen öffne die Klammern.

Aber wie hängt das Distributivgesetz der Multiplikation mit den Regeln für das Öffnen von Klammern zusammen, die wir zuvor betrachtet haben?

Tatsache ist, dass vor allen Klammern ein gemeinsamer Faktor steht. Im Beispiel 3×(4+5) Gemeinsamkeit ist 3 . Und im Beispiel a(b+c) gemeinsamer Faktor ist eine Variable a.

Wenn vor den Klammern keine Zahlen oder Variablen stehen, dann ist der gemeinsame Teiler 1 oder −1 , je nachdem welches Zeichen vor den Klammern steht. Wenn vor den Klammern ein Plus steht, dann ist der gemeinsame Teiler 1 . Wenn vor den Klammern ein Minus steht, dann ist der gemeinsame Teiler −1 .

Erweitern wir beispielsweise die Klammern im Ausdruck −(3b−1). Da vor den Klammern ein Minus steht, müssen Sie die zweite Regel zum Öffnen von Klammern anwenden, dh die Klammern zusammen mit dem Minus vor den Klammern weglassen. Und der Ausdruck, der in Klammern stand, schreibe mit entgegengesetzten Vorzeichen:

Wir haben die Klammern mit der Klammererweiterungsregel erweitert. Aber dieselben Klammern können mit dem Verteilungsgesetz der Multiplikation geöffnet werden. Dazu schreiben wir zunächst den gemeinsamen Faktor 1 vor die Klammern, der nicht notiert wurde:

Das Minus, das früher vor den Klammern stand, bezog sich auf diese Einheit. Jetzt können Sie die Klammern öffnen, indem Sie das Distributivgesetz der Multiplikation anwenden. Dafür der gemeinsame Faktor −1 Sie müssen mit jedem Term in Klammern multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

Der Einfachheit halber ersetzen wir die Differenz in Klammern durch die Summe:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Wie beim letzten Mal haben wir den Ausdruck bekommen −3b+1. Jeder wird zustimmen, dass diesmal mehr Zeit für die Lösung eines so einfachen Beispiels aufgewendet wurde. Daher ist es sinnvoller, die vorgefertigten Regeln zum Öffnen von Klammern zu verwenden, die wir in dieser Lektion betrachtet haben:

Aber es schadet nicht zu wissen, wie diese Regeln funktionieren.

In dieser Lektion haben wir eine weitere identische Transformation gelernt. Zusammen mit dem Öffnen der Klammern, dem Herausnehmen des Allgemeinen aus den Klammern und dem Einbringen gleicher Begriffe kann man das Spektrum der zu lösenden Aufgaben leicht erweitern. Zum Beispiel:

Hier müssen Sie zwei Aktionen ausführen: Öffnen Sie zuerst die Klammern und bringen Sie dann ähnliche Begriffe. Also der Reihe nach:

1) Erweitern Sie die Klammern:

2) Wir geben ähnliche Begriffe an:

Im resultierenden Ausdruck −10b+(−1) Sie können die Klammern öffnen:

Beispiel 2Öffnen Sie Klammern und fügen Sie ähnliche Begriffe in den folgenden Ausdruck ein:

1) Erweitern Sie die Klammern:

2) Wir präsentieren ähnliche Begriffe. Um Zeit und Platz zu sparen, schreiben wir dieses Mal nicht auf, wie die Koeffizienten mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multipliziert werden

Beispiel 3 Ausdruck vereinfachen 8m+3m und finden Sie seinen Wert bei m=−4

1) Vereinfachen wir zuerst den Ausdruck. Um den Ausdruck zu vereinfachen 8m+3m, können Sie den gemeinsamen Faktor darin herausnehmen m für Klammern:

2) Finden Sie den Wert des Ausdrucks m(8+3) beim m=−4. Dazu im Ausdruck m(8+3) statt einer Variablen m ersetzen Sie die Nummer −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Die Hauptfunktion von Klammern besteht darin, die Reihenfolge der Aktionen bei der Berechnung von Werten zu ändern. zum Beispiel, im numerischen Ausdruck \(5 3+7\) wird zuerst die Multiplikation berechnet und dann die Addition: \(5 3+7 =15+7=22\). Aber im Ausdruck \(5·(3+7)\) wird zuerst die Addition in Klammern berechnet und erst dann die Multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer: \(-(4m+3)\).
Entscheidung : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme \(5-(3x+2)+(2+3x)\) ein.
Entscheidung : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(5(3-x)\).
Entscheidung : Wir haben \(3\) und \(-x\) in der Klammer und fünf vor der Klammer. Dies bedeutet, dass jedes Glied der Klammer mit \ (5 \) multipliziert wird - ich erinnere Sie daran Das Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und einer Klammer in der Mathematik wird nicht geschrieben, um die Größe von Datensätzen zu reduzieren.

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \(-2(-3x+5)\).
Entscheidung : Wie im vorherigen Beispiel werden die Klammern \(-3x\) und \(5\) mit \(-2\) multipliziert.

Beispiel. Vereinfachen Sie den Ausdruck: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Entscheidung : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Es bleibt die letzte Situation zu betrachten.

Beim Multiplizieren von Klammern mit Klammern wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten multipliziert:

\((c+d)(a-b)=c(a-b)+d(a-b)=ca-cb+da-db\)

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern \((2-x)(3x-1)\).
Entscheidung : Wir haben ein Produkt mit Klammern und es kann sofort mit der obigen Formel geöffnet werden. Aber um nicht verwirrt zu werden, machen wir alles Schritt für Schritt.
Schritt 1. Entfernen Sie die erste Klammer - jedes ihrer Mitglieder wird mit der zweiten Klammer multipliziert:

Schritt 2. Erweitern Sie die Produkte der Klammer wie oben beschrieben um den Faktor:
- das erste zuerst...

Dann die zweite.

Schritt 3. Jetzt multiplizieren wir und bringen ähnliche Terme:

Es ist nicht notwendig, alle Transformationen im Detail zu malen, Sie können sofort multiplizieren. Aber wenn Sie gerade lernen, Klammern zu öffnen - schreiben Sie detailliert, ist die Wahrscheinlichkeit geringer, einen Fehler zu machen.

Hinweis zum gesamten Abschnitt. Tatsächlich müssen Sie sich nicht alle vier Regeln merken, sondern nur eine, diese hier: \(c(a-b)=ca-cb\) . Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel \((a-b)=a-b\) . Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel \(-(a-b)=-a+b\) . Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.

Klammer in Klammer

In der Praxis gibt es manchmal Probleme mit Klammern, die in anderen Klammern verschachtelt sind. Hier ist ein Beispiel für eine solche Aufgabe: den Ausdruck \(7x+2(5-(3x+y))\) zu vereinfachen.

Um bei diesen Aufgaben erfolgreich zu sein, müssen Sie:
- die Verschachtelung von Klammern genau verstehen - welche in welcher steht;
- Öffnen Sie die Klammern nacheinander, beginnend zum Beispiel mit der innersten.

Es ist wichtig, wenn Sie eine der Klammern öffnen Berühren Sie den Rest des Ausdrucks nicht, schreiben Sie es einfach so um, wie es ist.
Nehmen wir die obige Aufgabe als Beispiel.

Beispiel. Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme \(7x+2(5-(3x+y))\) ein.
Entscheidung:

Beispiel. Erweitern Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme ein \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Entscheidung :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Dies ist eine dreifache Verschachtelung von Klammern. Wir beginnen mit dem innersten (grün markiert). Da vor der Klammer ein Plus steht, wird es einfach entfernt.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Jetzt müssen Sie die zweite Klammer öffnen, dazwischen. Aber vorher werden wir den Ausdruck vereinfachen, indem wir ähnliche Begriffe in dieser zweiten Klammer einblenden.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Nun öffnen wir die zweite Klammer (blau markiert). Vor der Klammer steht ein Multiplikator – also wird jeder Term in der Klammer damit multipliziert.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Und öffnen Sie die letzte Klammer. Vor der Klammer Minus - also alle Vorzeichen vertauscht.

Das Öffnen von Klammern ist eine Grundfertigkeit in der Mathematik. Ohne diese Fähigkeit ist es unmöglich, in den Klassen 8 und 9 eine Note über drei zu erreichen. Daher empfehle ich ein gutes Verständnis dieses Themas.