(aus dem Griechischen λόγος - "Wort", "Beziehung" und ἀριθμός - "Zahl") Zahlen b aus grund a(Log α b) wird eine solche Zahl genannt c, und b= ein c, also log α b=c und b=ac sind gleichwertig. Der Logarithmus ist sinnvoll, wenn a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Mit anderen Worten Logarithmus Zahlen b aus grund a als Exponent formuliert, zu dem eine Zahl erhoben werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x= log α b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung a x = b.

Zum Beispiel:

log 2 8 = 3, weil 8=2 3 .

Wir stellen fest, dass die angegebene Formulierung des Logarithmus eine sofortige Bestimmung ermöglicht logarithmischer Wert wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine bestimmte Potenz der Basis ist. Tatsächlich ermöglicht die Formulierung des Logarithmus dies zu rechtfertigen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmus eng mit dem Thema verbunden ist Grad der Zahl.

Auf die Berechnung des Logarithmus wird verwiesen Logarithmus. Der Logarithmus ist die mathematische Operation des Logarithmierens. Beim Logarithmieren werden die Produkte von Faktoren in Summen von Termen umgewandelt.

Potenzierung ist die zum Logarithmus inverse mathematische Operation. Beim Potenzieren wird die gegebene Basis mit dem Ausdruck potenziert, auf dem die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in das Produkt der Faktoren umgewandelt.

Häufig werden reelle Logarithmen mit den Basen 2 (binär), e Euler-Zahl e ≈ 2,718 (natürlicher Logarithmus) und 10 (dezimal) verwendet.

In diesem Stadium ist es eine Überlegung wert Proben von Logarithmen Protokoll 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Und die Einträge lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter das Vorzeichen des Logarithmus gestellt wird, im zweiten eine negative Zahl die Basis und in der dritten - und eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und der Einheit in der Basis.

Bedingungen zur Bestimmung des Logarithmus.

Es lohnt sich, die Bedingungen a > 0, a ≠ 1, b > 0 gesondert zu betrachten. Definition eines Logarithmus. Lassen Sie uns überlegen, warum diese Einschränkungen getroffen werden. Dies hilft uns bei einer Gleichheit der Form x = log α b, genannt die grundlegende logarithmische Identität, die direkt aus der oben gegebenen Definition des Logarithmus folgt.

Nehmen Sie die Bedingung a≠1. Da Eins gleich Eins zu jeder Potenz ist, ist die Gleichheit x=log α b kann nur existieren, wenn b=1, aber log 1 1 ist eine beliebige reelle Zahl. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, nehmen wir a≠1.

Beweisen wir die Notwendigkeit der Bedingung a>0. Beim a=0 nach der Formulierung des Logarithmus nur wann existieren kann b=0. Und dann entsprechend Protokoll 0 0 kann jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null hoch jede Potenz ungleich Null gleich Null ist. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, die Bedingung a≠0. Und wann a<0 die Analyse von rationalen und irrationalen Werten des Logarithmus müssten wir ablehnen, da der Exponent mit rationalem und irrationalem Exponenten nur für nicht-negative Basen definiert ist. Aus diesem Grund ist die Bedingung a>0.

Und die letzte Bedingung b>0 folgt aus der Ungleichung a>0, da x=log α b, und den Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv.

Merkmale von Logarithmen.

Logarithmen gekennzeichnet durch unverwechselbar Merkmale, was zu ihrer weit verbreiteten Verwendung führte, um sorgfältige Berechnungen erheblich zu erleichtern. Beim Übergang "in die Welt der Logarithmen" wird die Multiplikation in eine viel einfachere Addition, die Division in eine Subtraktion und Potenzieren und Wurzelziehen in eine Multiplikation bzw. Division mit einem Exponenten umgewandelt.

Die Formulierung von Logarithmen und eine Tabelle ihrer Werte (für trigonometrische Funktionen) wurde erstmals 1614 von dem schottischen Mathematiker John Napier veröffentlicht. Logarithmische Tabellen, die von anderen Wissenschaftlern vergrößert und detailliert wurden, wurden häufig in wissenschaftlichen und technischen Berechnungen verwendet und blieben relevant, bis elektronische Taschenrechner und Computer verwendet wurden.

Der Schwerpunkt dieses Artikels liegt Logarithmus. Hier geben wir die Definition des Logarithmus, zeigen die akzeptierte Schreibweise, geben Beispiele für Logarithmen und sprechen über natürliche und dezimale Logarithmen. Betrachten Sie danach die grundlegende logarithmische Identität.

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Definition von Logarithmus

Das Konzept eines Logarithmus entsteht bei der Lösung eines Problems in einem bestimmten Sinne invers, wenn Sie den Exponenten aus einem bekannten Wert des Grades und einer bekannten Basis finden müssen.

Aber genug der Vorrede, es ist Zeit, die Frage „Was ist ein Logarithmus“ zu beantworten? Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Logarithmus von b zur Basis a, wobei a>0 , a≠1 und b>0 der Exponent ist, auf den Sie die Zahl a erhöhen müssen, um als Ergebnis b zu erhalten.

An dieser Stelle stellen wir fest, dass das gesprochene Wort „Logarithmus“ sofort zwei Folgefragen aufwerfen sollte: „welche Zahl“ und „auf welcher Grundlage“. Mit anderen Worten, es gibt einfach keinen Logarithmus, sondern nur den Logarithmus einer Zahl in irgendeiner Basis.

Wir werden sofort vorstellen logarithmische Schreibweise: Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a wird üblicherweise als log a b bezeichnet. Der Logarithmus der Zahl b zur Basis e und der Logarithmus zur Basis 10 haben ihre eigenen speziellen Bezeichnungen lnb bzw. lgb, das heißt, sie schreiben nicht log e b , sondern lnb und nicht log 10 b , sondern lgb .

Jetzt können Sie Folgendes mitbringen: .
Und die Aufzeichnungen machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, im zweiten - eine negative Zahl in der Basis und im dritten - sowohl eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus als auch eine Einheit in der Basis.

Jetzt reden wir darüber Regeln zum Lesen von Logarithmen. Der Eintrag log a b wird gelesen als "Logarithmus von b zur Basis a". Beispielsweise ist log 2 3 der Logarithmus von drei zur Basis 2 und der Logarithmus von zwei ganzen Zahlen zwei Basisdrittel der Quadratwurzel von fünf. Der Logarithmus zur Basis e wird aufgerufen natürlicher Logarithmus, und die Notation lnb wird als "der natürliche Logarithmus von b" gelesen. Zum Beispiel ist ln7 der natürliche Logarithmus von sieben, und wir werden ihn als den natürlichen Logarithmus von Pi lesen. Der Logarithmus zur Basis 10 hat auch einen besonderen Namen - dezimaler Logarithmus, und die Notation lgb wird gelesen als "dezimaler Logarithmus b". Beispielsweise ist lg1 der dezimale Logarithmus von eins und lg2,75 der dezimale Logarithmus von zwei Komma fünfundsiebzig Hundertstel.

Es lohnt sich, gesondert auf die Bedingungen a>0, a≠1 und b>0 einzugehen, unter denen die Definition des Logarithmus gegeben ist. Lassen Sie uns erklären, woher diese Einschränkungen kommen. Dabei hilft uns eine Gleichheit der Form namens , die direkt aus der oben gegebenen Definition des Logarithmus folgt.

Beginnen wir mit a≠1 . Da eins hochgradig eins ist, kann die Gleichheit nur für b=1 gelten, aber log 1 1 kann jede reelle Zahl sein. Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, wird a≠1 akzeptiert.

Untermauern wir die Zweckmäßigkeit der Bedingung a>0 . Mit a=0 hätten wir nach Definition des Logarithmus Gleichheit, was nur mit b=0 möglich ist. Aber dann kann log 0 0 jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null hoch jede Potenz ungleich Null gleich Null ist. Diese Mehrdeutigkeit kann durch die Bedingung a≠0 vermieden werden. Und für ein<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Schließlich folgt aus der Ungleichung a>0 die Bedingung b>0, da , und der Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv ist.

Zum Abschluss dieses Absatzes sagen wir, dass die stimmhafte Definition des Logarithmus es Ihnen ermöglicht, den Wert des Logarithmus sofort anzugeben, wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus einen bestimmten Basisgrad hat. Tatsächlich erlaubt uns die Definition des Logarithmus zu behaupten, dass wenn b=a p , der Logarithmus der Zahl b zur Basis a gleich p ist. Das heißt, das Gleichheitslog a a p = p ist wahr. Wir wissen zum Beispiel, dass 2 3 =8 , dann log 2 8=3 . Wir werden im Artikel mehr darüber sprechen.

Mit der Entwicklung der Gesellschaft, der Komplexität der Produktion, entwickelte sich auch die Mathematik. Bewegung von einfach bis komplex. Aus der üblichen Rechenmethode der Addition und Subtraktion mit ihrer wiederholten Wiederholung gelangten sie zum Begriff der Multiplikation und Division. Die Reduktion der mehrfach wiederholten Operation wurde zum Begriff der Potenzierung. Die ersten Tabellen der Abhängigkeit von Zahlen von der Basis und der Anzahl der Potenzierungen wurden bereits im 8. Jahrhundert vom indischen Mathematiker Varasena zusammengestellt. Aus ihnen können Sie die Zeit des Auftretens von Logarithmen zählen.

Historischer Abriß

Die Wiederbelebung Europas im 16. Jahrhundert beflügelte auch die Entwicklung der Mechanik. T erforderte einen großen Rechenaufwand verbunden mit der Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen. Die antiken Tafeln leisteten gute Dienste. Sie ermöglichten es, komplexe Operationen durch einfachere zu ersetzen - Addition und Subtraktion. Ein großer Schritt nach vorne war das 1544 veröffentlichte Werk des Mathematikers Michael Stiefel, in dem er die Idee vieler Mathematiker verwirklichte. Damit war es möglich, Tabellen nicht nur für Grade in Form von Primzahlen, sondern auch für beliebige rationale zu verwenden.

1614 führte der Schotte John Napier, der diese Ideen entwickelte, erstmals den neuen Begriff "Logarithmus einer Zahl" ein. Es wurden neue komplexe Tabellen zur Berechnung der Logarithmen von Sinus und Cosinus sowie von Tangenten erstellt. Dies reduzierte die Arbeit der Astronomen erheblich.

Es tauchten neue Tabellen auf, die von Wissenschaftlern drei Jahrhunderte lang erfolgreich verwendet wurden. Es verging viel Zeit, bis die neue Operation in der Algebra ihre fertige Form annahm. Der Logarithmus wurde definiert und seine Eigenschaften untersucht.

Erst im 20. Jahrhundert, mit dem Aufkommen des Taschenrechners und des Computers, gab die Menschheit die alten Tabellen auf, die im 13. Jahrhundert erfolgreich funktioniert hatten.

Heute nennen wir den Logarithmus von b, um a auf die Zahl x zu stützen, die die Potenz von a ist, um die Zahl b zu erhalten. Dies wird als Formel geschrieben: x = log a(b).

Beispielsweise ist log 3(9) gleich 2. Dies ist offensichtlich, wenn Sie der Definition folgen. Wenn wir 3 hoch 2 erhöhen, erhalten wir 9.

Die formulierte Definition setzt also nur eine Einschränkung, die Zahlen a und b müssen reell sein.

Sorten von Logarithmen

Die klassische Definition heißt reeller Logarithmus und ist eigentlich eine Lösung der Gleichung a x = b. Die Option a = 1 ist grenzwertig und uninteressant. Hinweis: 1 hoch beliebig ist 1.

Reeller Wert des Logarithmus nur definiert, wenn die Basis und das Argument größer als 0 sind, und die Basis darf nicht gleich 1 sein.

Besonderer Platz im Bereich Mathematik spielen Logarithmen, die nach dem Wert ihrer Basis benannt werden:

Regeln und Einschränkungen

Die grundlegende Eigenschaft von Logarithmen ist die Regel: Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der logarithmischen Summe. log abp = log a(b) + log a(p).

Als Variante dieser Aussage lautet es: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), die Quotientenfunktion ist gleich der Differenz der Funktionen.

Aus den beiden vorherigen Regeln ist leicht ersichtlich, dass: log a(b p) = p * log a(b).

Weitere Eigenschaften sind:

Kommentar. Machen Sie keinen allgemeinen Fehler - der Logarithmus der Summe ist nicht gleich der Summe der Logarithmen.

Viele Jahrhunderte lang war die Suche nach dem Logarithmus eine ziemlich zeitaufwändige Aufgabe. Mathematiker verwendeten die bekannte Formel der logarithmischen Theorie der Entwicklung in ein Polynom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), wobei n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, die die Genauigkeit der Berechnung bestimmt.

Logarithmen mit anderen Basen wurden mit dem Satz über den Übergang von einer Basis zur anderen und der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts berechnet.

Da diese Methode sehr aufwendig ist u bei der Lösung praktischer Probleme schwierig zu implementieren, verwendeten sie vorkompilierte Logarithmentabellen, was die gesamte Arbeit erheblich beschleunigte.

In einigen Fällen wurden speziell zusammengestellte Logarithmendiagramme verwendet, die weniger genau waren, aber die Suche nach dem gewünschten Wert erheblich beschleunigten. Die Kurve der Funktion y = log a(x), die auf mehreren Punkten aufgebaut ist, ermöglicht es, mit dem üblichen Lineal die Werte der Funktion an jedem anderen Punkt zu finden. Lange Zeit nutzten Ingenieure für diese Zwecke das sogenannte Millimeterpapier.

Im 17. Jahrhundert erschienen die ersten analogen Hilfsrechner, die im 19. Jahrhundert eine fertige Form angenommen hatten. Das erfolgreichste Gerät hieß Rechenschieber. Trotz der Einfachheit des Geräts hat sein Erscheinungsbild den Prozess aller technischen Berechnungen erheblich beschleunigt, und dies ist schwer zu überschätzen. Derzeit sind nur wenige Menschen mit diesem Gerät vertraut.

Das Aufkommen von Taschenrechnern und Computern machte es sinnlos, andere Geräte zu verwenden.

Gleichungen und Ungleichungen

Die folgenden Formeln werden verwendet, um verschiedene Gleichungen und Ungleichungen mit Hilfe von Logarithmen zu lösen:

• Übergang von einer Basis zur anderen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Als Folge der vorherigen Version: log a(b) = 1 / log b(a).

Um Ungleichungen zu lösen, ist es nützlich zu wissen:

• Der Wert des Logarithmus ist nur dann positiv, wenn sowohl die Basis als auch das Argument größer oder kleiner als eins sind; wenn mindestens eine Bedingung verletzt wird, ist der Wert des Logarithmus negativ.
• Wenn die Logarithmusfunktion auf die rechte und linke Seite der Ungleichung angewendet wird und die Basis des Logarithmus größer als eins ist, wird das Vorzeichen der Ungleichung beibehalten; andernfalls ändert es sich.

Aufgabenbeispiele

Betrachten Sie mehrere Optionen für die Verwendung von Logarithmen und ihren Eigenschaften. Beispiele zum Lösen von Gleichungen:

Betrachten Sie die Möglichkeit, den Logarithmus in den Grad zu stellen:

• Aufgabe 3. Berechnen Sie 25^log 5(3). Lösung: Unter den Bedingungen des Problems ähnelt die Notation der folgenden (5^2)^log5(3) oder 5^(2 * log 5(3)). Schreiben wir es anders: 5^log 5(3*2), oder das Quadrat einer Zahl als Funktionsargument kann als Quadrat der Funktion selbst geschrieben werden (5^log 5(3))^2. Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen ist dieser Ausdruck 3^2. Antwort: Als Ergebnis der Berechnung erhalten wir 9.

Praktischer Nutzen

Als rein mathematisches Werkzeug scheint es weit entfernt vom wirklichen Leben, dass der Logarithmus plötzlich eine große Bedeutung bei der Beschreibung von Objekten in der realen Welt erlangt hat. Es ist schwierig, eine Wissenschaft zu finden, wo sie nicht verwendet wird. Dies gilt uneingeschränkt nicht nur für die naturwissenschaftlichen, sondern auch für die geisteswissenschaftlichen Wissensgebiete.

Logarithmische Abhängigkeiten

Hier sind einige Beispiele für numerische Abhängigkeiten:

Mechanik und Physik

Historisch gesehen haben sich Mechanik und Physik immer mit mathematischen Forschungsmethoden entwickelt und dienten gleichzeitig als Ansporn für die Entwicklung der Mathematik, einschließlich der Logarithmen. Die Theorie der meisten Gesetze der Physik ist in der Sprache der Mathematik geschrieben. Wir geben nur zwei Beispiele für die Beschreibung physikalischer Gesetze mit Hilfe des Logarithmus.

Es ist möglich, das Problem der Berechnung einer so komplexen Größe wie der Geschwindigkeit einer Rakete mit der Tsiolkovsky-Formel zu lösen, die den Grundstein für die Theorie der Weltraumforschung legte:

V = I * ln(M1/M2), wobei

• V ist die Endgeschwindigkeit des Flugzeugs.
• I ist der spezifische Impuls des Motors.
• M 1 ist die Anfangsmasse der Rakete.
• M 2 - Endmasse.

Ein weiteres wichtiges Beispiel- dies ist die Verwendung in der Formel eines anderen großen Wissenschaftlers, Max Planck, die dazu dient, den Gleichgewichtszustand in der Thermodynamik zu bewerten.

S = k * ln (Ω), wobei

• S ist eine thermodynamische Eigenschaft.
• k ist die Boltzmann-Konstante.
• Ω ist das statistische Gewicht verschiedener Zustände.

Chemie

Weniger offensichtlich wäre die Verwendung von Formeln in der Chemie, die das Verhältnis von Logarithmen enthalten. Hier nur zwei Beispiele:

• Die Nernst-Gleichung, die Bedingung des Redoxpotentials des Mediums in Bezug auf die Aktivität von Stoffen und die Gleichgewichtskonstante.
• Auch die Berechnung von Konstanten wie dem Autoprolyseindex und der Acidität der Lösung ist ohne unsere Funktion nicht vollständig.

Psychologie und Biologie

Und es ist völlig unverständlich, was die Psychologie damit zu tun hat. Es stellt sich heraus, dass die Empfindungsstärke durch diese Funktion gut als das umgekehrte Verhältnis des Reizintensitätswerts zum niedrigeren Intensitätswert beschrieben wird.

Nach den obigen Beispielen ist es nicht mehr verwunderlich, dass das Thema Logarithmen auch in der Biologie weit verbreitet ist. Ganze Bände können über biologische Formen geschrieben werden, die logarithmischen Spiralen entsprechen.

Andere Gebiete

Es scheint, dass die Existenz der Welt ohne Verbindung mit dieser Funktion unmöglich ist, und sie regelt alle Gesetze. Vor allem, wenn die Naturgesetze mit einem geometrischen Verlauf verbunden sind. Es lohnt sich, auf die MatProfi-Website zu verweisen, und es gibt viele solcher Beispiele in den folgenden Tätigkeitsbereichen:

Die Liste könnte endlos sein. Wenn Sie die Grundgesetze dieser Funktion beherrschen, können Sie in die Welt der unendlichen Weisheit eintauchen.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lass es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, mit der \(2\) potenziert werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:		\(\log_(5)(25)=2\)		da \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		da \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		da \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende "Anatomie":

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt geschrieben, näher am Vorzeichen des Logarithmus. Und dieser Eintrag wird so gelesen: "der Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis von fünf."

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Um wie viel muss die Basis angehoben werden, um das Argument zu erhalten?

zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mit welcher Potenz muss \(4\) potenziert werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das Zweite. So:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(5)\) potenziert werden, um \(1\) zu erhalten? Und welcher Grad macht eine beliebige Zahl zu einer Einheit? Null natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(7)\) potenziert werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Im ersten - jede Zahl im ersten Grad ist gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mit welcher Potenz muss \(3\) potenziert werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Von wir wissen, dass dies eine gebrochene Potenz ist, und daher ist die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechne den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Entscheidung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Lassen Sie uns nun die Definition des Logarithmus verwenden: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Gradeigenschaften: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir fahren mit der Gleichheit der Indikatoren fort
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antworten : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich \(x=2\).

Löse nun die Gleichung: \(3^(x)=8\) Wozu ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Genialsten werden sagen: "X ist etwas kleiner als zwei." Wie genau ist diese Zahl zu schreiben? Um diese Frage zu beantworten, haben sie sich den Logarithmus ausgedacht. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass sowohl \(\log_(3)(8)\), als auch Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es als Dezimalzahl schreiben wollten, würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Entscheidung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf dieselbe Basis reduziert werden. Hier kommt man also nicht ohne den Logarithmus aus. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehe die Gleichung um, sodass x links steht
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen Sie \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine normale Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Hier ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber die Antwort ist nicht gewählt.

Antworten : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimal und natürlicher Logarithmus

Wie in der Definition des Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer Eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: Ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimaler Logarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt "Basic Logarithmic Identity" und sieht so aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel aussah.

Erinnern Sie sich an die kurze Definition des Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir \(\log_(a)(c)\) statt \(b\) in die Formel \(a^(b)=c\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) - die wichtigste logarithmische Identität.

Sie können den Rest der Eigenschaften von Logarithmen finden. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen vereinfachen und berechnen, die sich nur schwer direkt berechnen lassen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Entscheidung :

Antworten : \(25\)

Wie schreibt man eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Auch die Umkehrung gilt: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Zum Beispiel wissen wir, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie statt zwei auch \(\log_(2)(4)\) schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), also kannst du auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben. Ähnlich mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\), usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Daher können wir bei Bedarf die beiden als Logarithmus mit jeder Basis irgendwo schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) - wir schreiben einfach die Basis zum Quadrat als Argument.

Dasselbe gilt für ein Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\), oder als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schreiben wir die Basis in den Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Entscheidung :

Antworten : \(1\)

Grundeigenschaften.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

gleiche Gründe

log6 4 + log6 9.

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig.

Beispiele zum Lösen von Logarithmen

Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x >

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Übergang in eine neue Stiftung

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Siehe auch:

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

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Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.

3.

4. wo .

Beispiel 2 Finde x wenn

Beispiel 3. Gegeben sei der Wert von Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner.

Formeln von Logarithmen. Logarithmen sind Beispiele für Lösungen.

Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Siehe auch:

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a bezeichnet den Ausdruck. Den Logarithmus zu berechnen bedeutet, eine solche Potenz x () zu finden, bei der die Gleichheit wahr ist

Grundlegende Eigenschaften des Logarithmus

Die obigen Eigenschaften müssen bekannt sein, da auf ihrer Grundlage fast alle Probleme und Beispiele mit Logarithmen gelöst werden. Die restlichen exotischen Eigenschaften können durch mathematische Manipulationen mit diesen Formeln abgeleitet werden

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Bei der Berechnung der Formeln für die Summe und Differenz von Logarithmen (3.4) begegnet man recht häufig. Der Rest ist etwas komplex, aber bei einer Reihe von Aufgaben sind sie unverzichtbar, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen und ihre Werte zu berechnen.

Häufige Fälle von Logarithmen

Einige der gewöhnlichen Logarithmen sind solche, bei denen die Basis sogar zehn, exponentiell oder zwei ist.
Der Logarithmus zur Basis zehn wird normalerweise als Logarithmus zur Basis zehn bezeichnet und einfach mit lg(x) bezeichnet.

Aus dem Protokoll ist ersichtlich, dass die Grundlagen nicht im Protokoll festgehalten sind. Beispielsweise

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus, dessen Basis der Exponent ist (als ln(x) bezeichnet).

Der Exponent ist 2,718281828…. Um sich an den Exponenten zu erinnern, können Sie die Regel studieren: Der Exponent ist 2,7 und das Doppelte des Geburtsjahres von Leo Tolstoi. Wenn Sie diese Regel kennen, kennen Sie sowohl den genauen Wert des Exponenten als auch das Geburtsdatum von Leo Tolstoi.

Und ein weiterer wichtiger Logarithmus zur Basis zwei ist

Die Ableitung des Logarithmus der Funktion ist gleich Eins dividiert durch die Variable

Der Integral- oder Stammlogarithmus wird durch die Abhängigkeit bestimmt

Das obige Material reicht aus, um eine breite Klasse von Problemen im Zusammenhang mit Logarithmen und Logarithmen zu lösen. Um das Material zu verstehen, werde ich nur einige gängige Beispiele geben Lehrplan und Universitäten.

Beispiele für Logarithmen

Nimm den Logarithmus von Ausdrücken

Beispiel 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Bei Eigenschaften rechnen wir mit 3,5

2.
Durch die Differenzeneigenschaft von Logarithmen haben wir

3.
Unter Verwendung der Eigenschaften 3.5 finden wir

4. wo .

Ein scheinbar komplexer Ausdruck, der eine Reihe von Regeln verwendet, wird zur Form vereinfacht

Logarithmuswerte finden

Beispiel 2 Finde x wenn

Entscheidung. Für die Berechnung wenden wir die Eigenschaften 5 und 13 bis zum letzten Term an

Ersatz in der Aufzeichnung und trauern

Da die Basen gleich sind, setzen wir die Ausdrücke gleich

Logarithmen. Erste Ebene.

Gegeben seien die Werte der Logarithmen

Berechnen Sie log(x), wenn

Lösung: Nimm den Logarithmus der Variablen, um den Logarithmus durch die Summe der Terme zu schreiben

Dies ist nur der Anfang der Bekanntschaft mit Logarithmen und ihren Eigenschaften. Üben Sie Rechnen, bereichern Sie Ihre praktischen Fähigkeiten – schon bald benötigen Sie das erworbene Wissen, um logarithmische Gleichungen zu lösen. Nachdem wir die grundlegenden Methoden zum Lösen solcher Gleichungen studiert haben, erweitern wir Ihr Wissen um ein weiteres ebenso wichtiges Thema - logarithmische Ungleichungen ...

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: logax und logay. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x:y).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log6 4 + log6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log2 48 − log2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log3 135 − log3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben.

Logarithmen lösen

Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log7 496.

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 24; 49 = 72. Wir haben:

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben die gleiche Zahl: log2 7. Da log2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus logax. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log5 16 log2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es heißt so:

Was wird in der Tat passieren, wenn die Zahl b so weit erhöht wird, dass die Zahl b in diesem Grad die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

Beachten Sie, dass log25 64 = log5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. logaa = 1 ist. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Loga 1 = 0 ist. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn a0 = 1 folgt direkt aus der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.