In diesem Artikel werden wir uns damit befassen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addieren. Hier geben wir eine Regel zum Addieren einer positiven und einer negativen Zahl an und betrachten Beispiele für die Anwendung dieser Regel beim Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

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Regel zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen

Beispiele für das Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen

Prüfen Beispiele für das Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen nach der im vorigen Absatz besprochenen Regel. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel.

Beispiel.

Addiere die Zahlen −5 und 2 .

Entscheidung.

Wir müssen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen hinzufügen. Lassen Sie uns alle Schritte befolgen, die durch die Regel zum Addieren positiver und negativer Zahlen vorgeschrieben sind.

Zuerst finden wir die Module der Terme, sie sind gleich 5 bzw. 2.

Der Modul der Zahl −5 ist größer als der Modul der Zahl 2, denken Sie also an das Minuszeichen.

Es bleibt, das auswendig gelernte Minuszeichen vor die resultierende Zahl zu setzen, wir erhalten −3. Damit ist die Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen abgeschlossen.

Antworten:

(−5)+2=−3 .

Um rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren, die keine ganzen Zahlen sind, sollten sie als gewöhnliche Brüche dargestellt werden (Sie können mit Dezimalbrüchen arbeiten, wenn es praktisch ist). Schauen wir uns diesen Punkt im nächsten Beispiel an.

Beispiel.

Addiere eine positive Zahl und eine negative Zahl –1,25.

Entscheidung.

Stellen wir die Zahlen in Form von gewöhnlichen Brüchen dar. Dazu führen wir den Übergang von einer gemischten Zahl zu einem unechten Bruch durch: , und übersetzen den Dezimalbruch in einen gewöhnlichen: .

Jetzt können Sie die Regel zum Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen verwenden.

Die Module der addierten Zahlen sind 17/8 und 5/4. Um weitere Aktionen bequem ausführen zu können, bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, als Ergebnis haben wir 17/8 und 10/8.

Jetzt müssen wir die gemeinsamen Brüche 17/8 und 10/8 vergleichen. Seit 17>10 also . Daher hat der Term mit einem Pluszeichen einen größeren Modulus, denken Sie also an das Pluszeichen.

Jetzt subtrahieren wir den kleineren vom größeren Modul, d.h. wir subtrahieren Brüche mit gleichem Nenner: .

Es bleibt, ein auswendig gelerntes Pluszeichen vor die resultierende Zahl zu setzen, wir bekommen, aber - das ist die Zahl 7/8.

In dieser Lektion lernen wir, was eine negative Zahl ist und welche Zahlen als Gegensätze bezeichnet werden. Wir lernen auch, wie man negative und positive Zahlen (Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen) addiert und analysieren mehrere Beispiele für das Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Sehen Sie sich dieses Zahnrad an (siehe Abb. 1).

Reis. 1. Uhrwerk

Dabei handelt es sich nicht um einen Pfeil, der direkt die Uhrzeit anzeigt, und auch nicht um ein Ziffernblatt (siehe Abb. 2). Aber ohne dieses Detail funktioniert die Uhr nicht.

Reis. 2. Gang in der Uhr

Wofür steht der Buchstabe Y? Nichts als der Ton Y. Aber ohne sie „funktionieren“ viele Wörter nicht. Zum Beispiel das Wort „Maus“. Ebenso negative Zahlen: Sie zeigen keinen Betrag an, aber ohne sie wäre der Berechnungsmechanismus viel schwieriger.

Wir wissen, dass Addition und Subtraktion gleichwertige Operationen sind und in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden können. In direkter Reihenfolge können wir berechnen: , aber es gibt keine Möglichkeit, mit der Subtraktion zu beginnen, da wir uns noch nicht geeinigt haben, aber was ist .

Es ist klar, dass eine Erhöhung der Zahl um und dann eine Verringerung um im Ergebnis eine Verringerung um drei bedeutet. Warum nicht dieses Objekt bezeichnen und auf diese Weise zählen: Addieren ist Subtrahieren. Dann .

Die Zahl kann zum Beispiel Äpfel bedeuten. Die neue Zahl stellt keine reale Menge dar. An sich bedeutet es nichts, wie der Buchstabe Y. Es ist nur ein neues Tool zur Vereinfachung von Berechnungen.

Nennen wir neue Nummern Negativ. Jetzt können wir eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahieren. Technisch gesehen müssen Sie immer noch die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren, aber ein Minuszeichen in die Antwort einfügen: .

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: . Sie können alle Aktionen nacheinander ausführen:.

Es ist jedoch einfacher, die dritte Zahl von der ersten Zahl zu subtrahieren und dann die zweite Zahl zu addieren:

Negative Zahlen können auf andere Weise definiert werden.

Lassen Sie uns zum Beispiel für jede natürliche Zahl eine neue Zahl einführen, die wir bezeichnen, und feststellen, dass sie die folgende Eigenschaft hat: die Summe der Zahl und ist gleich : .

Die Zahl wird als negativ bezeichnet, und die Zahlen und - gegenüber. So haben wir unendlich viele neue Zahlen bekommen, zum Beispiel:

Das Gegenteil von Zahl ;

Das Gegenteil von ;

Das Gegenteil von ;

Das Gegenteil von ;

Subtrahiere die größere Zahl von der kleineren Zahl: Fügen wir zu diesem Ausdruck hinzu: . Wir haben null. Allerdings wird gemäß der Eigenschaft: eine Zahl, die sich zu fünf addiert, Null ergibt, minus fünf bezeichnet:. Daher kann der Ausdruck als bezeichnet werden.

Jede positive Zahl hat eine Zwillingszahl, die sich nur dadurch unterscheidet, dass ihr ein Minuszeichen vorangestellt ist.Solche Zahlen werden genannt Gegenteil(Siehe Abb. 3).

Reis. 3. Beispiele für Gegenzahlen

Eigenschaften von Gegenzahlen

1. Die Summe der entgegengesetzten Zahlen ist gleich Null:.

2. Wenn Sie eine positive Zahl von Null subtrahieren, ist das Ergebnis die entgegengesetzte negative Zahl: .

1. Beide Zahlen können positiv sein, und wir wissen bereits, wie man sie addiert: .

2. Beide Zahlen können negativ sein.

Wir haben die Addition solcher Zahlen bereits in der vorherigen Lektion behandelt, aber wir werden sicherstellen, dass wir verstehen, was mit ihnen zu tun ist. Zum Beispiel: .

Um diese Summe zu finden, addieren Sie entgegengesetzte positive Zahlen und setzen Sie ein Minuszeichen.

3. Eine Zahl kann positiv und eine andere negativ sein.

Wir können die Addition einer negativen Zahl, wenn es für uns bequem ist, durch die Subtraktion einer positiven ersetzen:.

Noch ein Beispiel: . Schreiben Sie die Summe wieder als Differenz. Sie können eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahieren, indem Sie eine kleinere Zahl von einer größeren subtrahieren, aber ein Minuszeichen setzen.

Die Begriffe können vertauscht werden: .

Ein weiteres ähnliches Beispiel: .

In allen Fällen ist das Ergebnis eine Subtraktion.

Um diese Regeln kurz zu formulieren, erinnern wir uns an einen anderen Begriff. Entgegengesetzte Zahlen sind natürlich nicht gleich. Aber es wäre seltsam, nicht zu bemerken, dass sie etwas gemeinsam haben. Diese Gemeinsamkeit haben wir angerufen Modul der Zahl. Der Modul der entgegengesetzten Zahlen ist derselbe: Für eine positive Zahl ist er gleich der Zahl selbst, und für eine negative ist er das Gegenteil, positiv. Zum Beispiel: , .

Um zwei negative Zahlen zu addieren, addieren Sie ihren Modulus und setzen Sie ein Minuszeichen:

Um eine negative und eine positive Zahl zu addieren, müssen Sie das kleinere Modul vom größeren Modul subtrahieren und das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Modul setzen:

Beide Zahlen sind negativ, addieren Sie daher ihre Module und setzen Sie ein Minuszeichen:

Zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, daher subtrahieren wir vom Modul der Zahl (größerer Modul) den Modul der Zahl und setzen ein Minuszeichen (das Vorzeichen der Zahl mit größerem Modul):

Zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, daher subtrahieren wir vom Modul der Zahl (größerer Modul) den Modul der Zahl und setzen ein Minuszeichen (das Vorzeichen der Zahl mit großem Modul): .

Zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen subtrahieren Sie also den Modul der Zahl vom Modul der Zahl (größerer Modul) und setzen Sie ein Pluszeichen (Vorzeichen der Zahl mit großem Modul): .

Positive und negative Zahlen haben historisch unterschiedliche Rollen.

Zuerst haben wir natürliche Zahlen zum Zählen von Objekten eingeführt:

Dann haben wir andere positive Zahlen eingeführt - Brüche, zum Zählen nicht ganzzahliger Mengen, Teile: .

Negative Zahlen erschienen als Hilfsmittel zur Vereinfachung von Berechnungen. Es gab im Leben keine Größen, die wir nicht zählen konnten, und wir erfanden negative Zahlen.

Das heißt, negative Zahlen stammen nicht aus der realen Welt. Sie erwiesen sich einfach als so praktisch, dass sie an einigen Stellen im Leben verwendet wurden. Wir hören zum Beispiel oft von Minustemperaturen. In diesem Fall begegnen wir niemals einer negativen Anzahl von Äpfeln. Was ist der Unterschied?

Der Unterschied besteht darin, dass im wirklichen Leben negative Werte nur zum Vergleich verwendet werden, nicht für Mengen. Wenn im Hotel ein Keller eingerichtet und dort ein Aufzug eingeführt wurde, kann ein Minus im ersten Stock erscheinen, um die übliche Nummerierung der gewöhnlichen Stockwerke zu verlassen. Dieses minus eins bedeutet nur eine Etage unter der Erdoberfläche (siehe Abb. 1).

Reis. 4. Minus der erste und minus der zweite Stock

Eine negative Temperatur ist nur im Vergleich zu Null negativ, was vom Autor der Skala, Anders Celsius, gewählt wurde. Es gibt andere Skalen, und die gleiche Temperatur darf dort nicht mehr negativ sein.

Gleichzeitig verstehen wir, dass es unmöglich ist, den Ausgangspunkt so zu ändern, dass es nicht fünf, sondern sechs Äpfel gibt. So werden im Leben positive Zahlen zur Mengenbestimmung (Äpfel, Kuchen) verwendet.

Wir verwenden sie auch anstelle von Namen. Jedem Telefon könnte ein eigener Name gegeben werden, aber die Anzahl der Namen ist begrenzt, und es gibt keine Nummern. Deshalb verwenden wir Telefonnummern. Auch zum Bestellen (Jahrhundert folgt Jahrhundert).

Negative Zahlen im Leben werden im letzten Sinne verwendet (abzüglich des ersten Stockwerks unter dem Null- und dem ersten Stockwerk).

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematik 6. M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematik Klasse 6. "Gymnasium", 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Hinter den Seiten eines Mathematiklehrbuchs. Moskau: Bildung, 1989.
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5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tschaikowsky K.G. Mathematik 5-6. Ein Leitfaden für Schüler der 6. Klasse der Fernschule MEPhI. M.: ZSh MEPHI, 2011.
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1. Math-prosto.ru ().
2. Youtube().
3. Schulassistent.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Hausaufgaben

"Addition von Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen" - Mathematiklehrbuch Klasse 6 (Vilenkin)

Kurzbeschreibung:

In diesem Abschnitt lernen Sie die Regeln für das Addieren von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen kennen, dh lernen, wie man negative und positive Zahlen addiert.
Sie wissen bereits, wie Sie sie auf einer Koordinatenlinie hinzufügen, aber Sie werden nicht in jedem Beispiel eine Linie zeichnen und entlang dieser zählen? Daher müssen Sie lernen, wie man ohne es hinzufügt.
Versuchen wir mit Ihnen, eine negative Zahl zu einer positiven Zahl zu addieren, zum Beispiel acht minus sechs: 8+(-6). Sie wissen bereits, dass das Hinzufügen einer negativen Zahl dazu führt, dass sich die ursprüngliche Zahl um den Wert der negativen Zahl verringert. Das bedeutet, dass acht um sechs reduziert werden muss, also sechs von acht subtrahiert werden muss: 8-6=2 ergibt zwei. In diesem Beispiel scheint alles klar zu sein, wir ziehen sechs von acht ab.
Und wenn wir dieses Beispiel nehmen: Addieren Sie eine positive Zahl zu einer negativen Zahl. Beispiel: Minus acht addiert sechs: -8+6. Die Essenz bleibt die gleiche: Wir reduzieren die positive Zahl um den Wert der negativen, wir erhalten sechs, wenn wir acht subtrahieren, wird es minus zwei sein: -8+6=-2.
Wie Sie bemerkt haben, wird sowohl im ersten als auch im zweiten Beispiel mit Zahlen subtrahiert. Wieso den? Weil sie unterschiedliche Vorzeichen haben (Plus und Minus). Um beim Hinzufügen von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen keine Fehler zu machen, sollten Sie den folgenden Aktionsalgorithmus ausführen:
1. Zahlenmodule finden;
2. das kleinere Modul vom größeren Modul subtrahieren;
3. Setzen Sie vor dem Ergebnis ein Nummernzeichen mit einem großen Modul (normalerweise wird nur ein Minuszeichen und kein Pluszeichen gesetzt).
Wenn Sie nach diesem Algorithmus Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addieren, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie einen Fehler machen, viel geringer.

Diese Lektion behandelt die Addition und Subtraktion von rationalen Zahlen. Das Thema wird als komplex eingestuft. Hier gilt es, das gesamte Arsenal an bisher erworbenem Wissen einzusetzen.

Die Regeln zum Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen gelten auch für rationale Zahlen. Denken Sie daran, dass rationale Zahlen Zahlen sind, die als Bruch dargestellt werden können, wobei a - ist der Zähler eines Bruchs b ist der Nenner des Bruchs. Dabei, b sollte nicht null sein.

In dieser Lektion werden wir Brüche und gemischte Zahlen zunehmend als einen gemeinsamen Ausdruck bezeichnen - Rationale Zahlen.

Unterrichtsnavigation:

Beispiel 1 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Wir berücksichtigen, dass das im Ausdruck angegebene Plus das Vorzeichen der Operation ist und nicht für Brüche gilt. Dieser Bruch hat ein eigenes Pluszeichen, das unsichtbar ist, weil es nicht aufgeschrieben wird. Aber wir werden es der Übersichtlichkeit halber aufschreiben:

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Um rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren, müssen Sie einen kleineren Modul von einem größeren Modul subtrahieren und das Vorzeichen der rationalen Zahl, deren Modul größer ist, vor das Ergebnis setzen. Und um zu verstehen, welches Modul größer und welches kleiner ist, müssen Sie die Module dieser Brüche vergleichen können, bevor Sie sie berechnen:

Der Modul einer rationalen Zahl ist größer als der Modul einer rationalen Zahl. Daher subtrahieren wir von . Habe eine Antwort bekommen. Wenn wir dann diesen Bruch um 2 reduzieren, erhalten wir die endgültige Antwort.

Einige primitive Aktionen, wie das Setzen von Zahlen in Klammern und das Ablegen von Modulen, können übersprungen werden. Dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

Beispiel 2 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Wir berücksichtigen, dass das Minus zwischen rationalen Zahlen und das Vorzeichen der Operation ist und nicht für Brüche gilt. Dieser Bruch hat ein eigenes Pluszeichen, das unsichtbar ist, weil es nicht aufgeschrieben wird. Aber wir werden es der Übersichtlichkeit halber aufschreiben:

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition. Denken Sie daran, dass Sie dazu zum Minuend die dem Subtrahend entgegengesetzte Zahl hinzufügen müssen:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Um negative rationale Zahlen hinzuzufügen, müssen Sie ihre Module hinzufügen und ein Minus vor die Antwort setzen:

Notiz. Es ist nicht notwendig, jede rationale Zahl in Klammern zu setzen. Dies geschieht der Einfachheit halber, um klar zu sehen, welche Vorzeichen rationale Zahlen haben.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

In diesem Ausdruck haben die Brüche unterschiedliche Nenner. Um es uns einfacher zu machen, bringen wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Wir gehen nicht näher darauf ein, wie das geht. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie die Lektion unbedingt.

Nachdem die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht wurden, nimmt der Ausdruck die folgende Form an:

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wir subtrahieren das kleinere Modul vom größeren Modul und setzen vor der erhaltenen Antwort das Vorzeichen der rationalen Zahl, deren Modul größer ist:

Schreiben wir die Lösung dieses Beispiels kürzer auf:

Beispiel 4 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wir berechnen diesen Ausdruck folgendermaßen: Wir addieren die rationalen Zahlen und und subtrahieren dann die rationale Zahl vom erhaltenen Ergebnis.

Erste Aktion:

Zweite Aktion:

Beispiel 5. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

Stellen wir die Ganzzahl −1 als Bruch dar und übersetzen die gemischte Zahl in einen unechten Bruch:

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein:

Wir haben die Addition von rationalen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wir subtrahieren das kleinere Modul vom größeren Modul und setzen vor der erhaltenen Antwort das Vorzeichen der rationalen Zahl, deren Modul größer ist:

Habe eine Antwort bekommen.

Es gibt auch eine zweite Lösung. Sie besteht darin, ganze Teile separat zusammenzusetzen.

Also zurück zum ursprünglichen Ausdruck:

Schließen Sie jede Zahl in Klammern ein. Für diese gemischte Nummer vorübergehend:

Lassen Sie uns die ganzzahligen Teile berechnen:

(−1) + (+2) = 1

Im Hauptausdruck schreiben wir anstelle von (−1) + (+2) die resultierende Einheit:

Der resultierende Ausdruck. Schreibe dazu die Einheit und den Bruch zusammen:

Lassen Sie uns die Lösung kürzer auf diese Weise schreiben:

Beispiel 6 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wandle die gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. Den Rest schreiben wir unverändert um:

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein:

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Schreiben wir die Lösung dieses Beispiels kürzer auf:

Beispiel 7 Wertausdruck finden

Stellen wir die ganze Zahl −5 als Bruch dar und übersetzen die gemischte Zahl in einen unechten Bruch:

Bringen wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Nachdem sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht wurden, nehmen sie folgende Form an:

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein:

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Wir addieren die Module dieser Zahlen und setzen ein Minus vor die erhaltene Antwort:

Der Wert des Ausdrucks ist also .

Lösen wir dieses Beispiel auf die zweite Art und Weise. Gehen wir zurück zum ursprünglichen Ausdruck:

Schreiben wir die gemischte Zahl in erweiterter Form. Den Rest schreiben wir unverändert um:

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein:

Lassen Sie uns die ganzzahligen Teile berechnen:

Schreiben Sie im Hauptausdruck anstelle der resultierenden Zahl −7

Der Ausdruck ist eine erweiterte Schreibweise einer gemischten Zahl. Schreiben wir die Zahl −7 und den Bruch zusammen, um die endgültige Antwort zu bilden:

Lassen Sie uns diese Lösung kurz schreiben:

Beispiel 8 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein:

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Wir addieren die Module dieser Zahlen und setzen ein Minus vor die erhaltene Antwort:

Somit ist der Wert des Ausdrucks

Dieses Beispiel kann auf dem zweiten Weg gelöst werden. Es besteht darin, ganze und gebrochene Teile getrennt zu addieren. Gehen wir zurück zum ursprünglichen Ausdruck:

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein:

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Wir addieren die Module dieser Zahlen und setzen ein Minus vor die erhaltene Antwort. Aber dieses Mal addieren wir getrennt die ganzzahligen Teile (−1 und −2) und die gebrochenen und

Lassen Sie uns diese Lösung kurz schreiben:

Beispiel 9 Finden Sie Ausdrucksausdrücke

Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln:

Wir schließen die rationale Zahl zusammen mit ihrem Vorzeichen in Klammern ein. Eine rationale Zahl muss nicht in Klammern eingeschlossen werden, da sie bereits in Klammern steht:

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Wir addieren die Module dieser Zahlen und setzen ein Minus vor die erhaltene Antwort:

Somit ist der Wert des Ausdrucks

Versuchen wir nun, dasselbe Beispiel auf die zweite Art zu lösen, nämlich indem wir die ganzzahligen und die gebrochenen Teile separat addieren.

Versuchen wir dieses Mal, um eine kurze Lösung zu erhalten, einige Aktionen zu überspringen, z. B. das Schreiben einer gemischten Zahl in erweiterter Form und das Ersetzen der Subtraktion durch Addition:

Beachten Sie, dass die Bruchteile auf einen gemeinsamen Nenner gebracht wurden.

Beispiel 10 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Der resultierende Ausdruck enthält keine negativen Zahlen, die die Hauptursache für Fehler sind. Und da es keine negativen Zahlen gibt, können wir das Plus vor dem Subtrahend entfernen und auch die Klammern entfernen:

Das Ergebnis ist ein einfacher Ausdruck, der leicht zu berechnen ist. Lassen Sie es uns auf eine für uns bequeme Weise berechnen:

Beispiel 11. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Subtrahieren wir den kleineren Modul vom größeren Modul und setzen wir das Vorzeichen der rationalen Zahl, deren Modul größer ist, vor die erhaltenen Antworten:

Beispiel 12. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Der Ausdruck besteht aus mehreren rationalen Zahlen. Entsprechend müssen Sie zunächst die Aktionen in Klammern ausführen.

Zuerst berechnen wir den Ausdruck , dann den Ausdruck Wir addieren die erhaltenen Ergebnisse.

Erste Aktion:

Zweite Aktion:

Dritte Aktion:

Antworten: Ausdruckswert gleich

Beispiel 13 Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln:

Wir schließen die rationale Zahl zusammen mit ihrem Vorzeichen in Klammern ein. Eine rationale Zahl muss nicht in Klammern eingeschlossen werden, da sie bereits in Klammern steht:

Lassen Sie uns diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Nachdem sie auf einen gemeinsamen Nenner gebracht wurden, nehmen sie folgende Form an:

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

Wir haben die Addition von rationalen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Subtrahieren wir den kleineren Modul vom größeren Modul und setzen wir das Vorzeichen der rationalen Zahl, deren Modul größer ist, vor die erhaltenen Antworten:

Also der Wert des Ausdrucks gleich

Betrachten Sie die Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen, die ebenfalls rationale Zahlen sind und sowohl positiv als auch negativ sein können.

Beispiel 14 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks −3,2 + 4,3

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Wir berücksichtigen, dass das im Ausdruck angegebene Plus das Vorzeichen der Operation ist und nicht für den Dezimalbruch 4.3 gilt. Diese Dezimalstelle hat ein eigenes Pluszeichen, das unsichtbar ist, da es nicht aufgeschrieben wird. Aber wir werden es der Übersichtlichkeit halber aufschreiben:

(−3,2) + (+4,3)

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Um rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu addieren, musst du einen kleineren Modul von einem größeren Modul subtrahieren und die rationale Zahl, deren Modul größer ist, vor das Ergebnis setzen. Und um zu verstehen, welcher Modul größer und welcher kleiner ist, müssen Sie in der Lage sein, die Module dieser Dezimalbrüche zu vergleichen, bevor Sie sie berechnen:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Der Modul von 4,3 ist größer als der Modul von –3,2, also haben wir 3,2 von 4,3 abgezogen. Habe die Antwort 1.1. Die Antwort ist ja, weil der Antwort das Vorzeichen der rationalen Zahl vorangestellt werden muss, deren Betrag größer ist. Und der Modul von 4,3 ist größer als der Modul von –3,2

Somit ist der Wert des Ausdrucks –3,2 + (+4,3) 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Beispiel 15 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3,5 + (−8,3)

Dies ist die Addition rationaler Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wie im vorigen Beispiel subtrahieren wir den kleineren vom größeren Modul und setzen das Vorzeichen der rationalen Zahl, deren Modul größer ist, vor die Antwort:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Somit ist der Wert des Ausdrucks 3,5 + (–8,3) gleich –4,8

Dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Beispiel 16 Finden Sie den Wert des Ausdrucks −7,2 + (−3,11)

Dies ist die Addition negativer rationaler Zahlen. Um negative rationale Zahlen hinzuzufügen, müssen Sie ihre Module hinzufügen und ein Minus vor die Antwort setzen.

Sie können den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Somit ist der Wert des Ausdrucks –7,2 + (–3,11) gleich –10,31

Dieses Beispiel kann kürzer geschrieben werden:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Beispiel 17. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks −0,48 + (−2,7)

Dies ist die Addition negativer rationaler Zahlen. Wir fügen ihre Module hinzu und setzen ein Minus vor die erhaltene Antwort. Sie können den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Beispiel 18. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −4,9 − 5,9

Wir schließen jede rationale Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein. Wir berücksichtigen, dass das Minus, das zwischen den rationalen Zahlen −4,9 und 5,9 steht, das Vorzeichen der Operation ist und nicht für die Zahl 5,9 gilt. Diese rationale Zahl hat ein eigenes Pluszeichen, das unsichtbar ist, weil es nicht aufgeschrieben wird. Aber wir werden es der Übersichtlichkeit halber aufschreiben:

(−4,9) − (+5,9)

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

(−4,9) + (−5,9)

Wir haben die Addition negativer rationaler Zahlen erhalten. Wir fügen ihre Module hinzu und setzen ein Minus vor die erhaltene Antwort:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Somit ist der Wert des Ausdrucks –4,9 – 5,9 gleich –10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Beispiel 19. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 7 − 9,3

Schließen Sie jede Zahl zusammen mit ihren Vorzeichen in Klammern ein

(+7) − (+9,3)

Ersetzen wir die Subtraktion durch die Addition

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Somit ist der Wert des Ausdrucks 7 − 9,3 gleich −2,3

Schreiben wir die Lösung dieses Beispiels kürzer auf:

7 − 9,3 = −2,3

Beispiel 20. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −0,25 − (−1,2)

Ersetzen wir die Subtraktion durch Addition:

−0,25 + (+1,2)

Wir haben die Addition von rationalen Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Wir subtrahieren den kleineren Modul vom größeren Modul und setzen vor die Antwort das Vorzeichen der Zahl, deren Modul größer ist:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Schreiben wir die Lösung dieses Beispiels kürzer auf:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Beispiel 21. Finden Sie den Wert des Ausdrucks -3,5 + (4,1 - 7,1)

Führen Sie die Aktionen in Klammern aus und fügen Sie dann die erhaltene Antwort mit der Zahl −3,5 hinzu

Erste Aktion:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Zweite Aktion:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Antworten: der Wert des Ausdrucks –3,5 + (4,1 – 7,1) ist –6,5.

Beispiel 22. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)

Machen wir die Klammern. Subtrahieren Sie dann von der Zahl, die sich aus der Ausführung der ersten Klammern ergab, die Zahl, die sich aus der Ausführung der zweiten Klammern ergab:

Erste Aktion:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Zweite Aktion:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Dritter Akt

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Antworten: der Wert des Ausdrucks (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) ist 6.

Beispiel 23. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Schließen Sie jede rationale Zahl mit ihren Vorzeichen in Klammern ein

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Lassen Sie uns die Subtraktion nach Möglichkeit durch Addition ersetzen:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Der Ausdruck besteht aus mehreren Begriffen. Wenn der Ausdruck aus mehreren Gliedern besteht, hängt die Summe nach dem assoziativen Additionsgesetz nicht von der Reihenfolge der Aktionen ab. Das bedeutet, dass die Begriffe in beliebiger Reihenfolge hinzugefügt werden können.

Wir erfinden das Rad nicht neu, sondern fügen alle Begriffe von links nach rechts in der Reihenfolge ihres Auftretens hinzu:

Erste Aktion:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Zweite Aktion:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Dritte Aktion:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Antworten: der Wert des Ausdrucks −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 ist gleich 1.

Beispiel 24. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Lassen Sie uns den Dezimalbruch -1,8 in eine gemischte Zahl umwandeln. Den Rest schreiben wir unverändert um:

Praktisch der gesamte Mathematikunterricht basiert auf Operationen mit positiven und negativen Zahlen. Denn sobald wir anfangen, die Koordinatenlinie zu studieren, begegnen uns überall und in jedem neuen Thema Zahlen mit Plus- und Minuszeichen. Es gibt nichts Einfacheres, als gewöhnliche positive Zahlen zu addieren, es ist nicht schwierig, eine von der anderen zu subtrahieren. Auch das Rechnen mit zwei negativen Zahlen ist selten ein Problem.

Viele Menschen sind jedoch verwirrt, wenn sie Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addieren und subtrahieren. Erinnern Sie sich an die Regeln, nach denen diese Aktionen erfolgen.

Addition von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen

Wenn wir zur Lösung des Problems eine negative Zahl "-b" zu einer bestimmten Zahl "a" hinzufügen müssen, müssen wir wie folgt vorgehen.

• Nehmen wir Module beider Zahlen - |a| und |b| - und diese Absolutwerte miteinander vergleichen.
• Beachten Sie, welches der Module größer und welches kleiner ist, und subtrahieren Sie den kleineren Wert vom größeren Wert.
• Vor die resultierende Zahl setzen wir das Vorzeichen der Zahl, deren Betrag größer ist.

Dies wird die Antwort sein. Es kann einfacher ausgedrückt werden: Wenn im Ausdruck a + (-b) der Modul der Zahl „b“ größer ist als der Modul von „a“, dann subtrahieren wir „a“ von „b“ und setzen ein „minus“. “ vor dem Ergebnis. Ist der Modul „a“ größer, so wird „b“ von „a“ subtrahiert – und man erhält die Lösung mit „Plus“-Zeichen.

Es kommt auch vor, dass die Module gleich sind. Wenn ja, dann können Sie an dieser Stelle aufhören – wir sprechen von entgegengesetzten Zahlen, und ihre Summe wird immer Null sein.

Subtraktion von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen

Wir haben die Addition herausgefunden, betrachten Sie nun die Subtraktionsregel. Es ist auch ganz einfach - und außerdem wiederholt es eine ähnliche Regel zum Subtrahieren zweier negativer Zahlen vollständig.

Um von einer bestimmten Zahl "a" - willkürlich, also mit beliebigem Vorzeichen - eine negative Zahl "c" zu subtrahieren, müssen Sie zu unserer willkürlichen Zahl "a" die Zahl gegenüber "c" hinzufügen. Zum Beispiel:

• Wenn „a“ eine positive Zahl und „c“ negativ ist und „c“ von „a“ subtrahiert werden muss, schreiben wir es so: a - (-c) \u003d a + c.
• Wenn „a“ eine negative Zahl und „c“ positiv ist und „c“ von „a“ subtrahiert werden muss, schreiben wir es wie folgt auf: (- a) - c \u003d - a + (-c ).

Wenn wir also Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen subtrahieren, kehren wir schließlich zu den Additionsregeln zurück, und wenn wir Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen addieren, kehren wir zu den Subtraktionsregeln zurück. Wenn Sie sich an diese Regeln erinnern, können Sie Probleme schnell und einfach lösen.