Im letzten Video-Tutorial haben wir gelernt, dass der Grad einer Basis ein Ausdruck ist, der das Produkt der Basis und sich selbst ist, genommen in einem Betrag, der dem Exponenten entspricht. Lassen Sie uns nun einige der wichtigsten Eigenschaften und Operationen von Potenzen untersuchen.

Lassen Sie uns zum Beispiel zwei verschiedene Potenzen mit derselben Basis multiplizieren:

Schauen wir uns dieses Stück in seiner Gesamtheit an:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Nachdem wir den Wert dieses Ausdrucks berechnet haben, erhalten wir die Zahl 32. Andererseits kann, wie aus demselben Beispiel ersichtlich ist, 32 als Produkt derselben Basis (zwei) dargestellt werden, das fünfmal genommen wird. Und tatsächlich, wenn Sie zählen, dann:

Somit kann mit Sicherheit festgestellt werden, dass:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Diese Regel funktioniert erfolgreich für alle Indikatoren und Gründe. Diese Eigenschaft der Multiplikation des Grades folgt aus der Regel der Erhaltung der Bedeutung von Ausdrücken bei Transformationen im Produkt. Für jede Basis a ist das Produkt zweier Ausdrücke (a) x und (a) y gleich a (x + y). Mit anderen Worten, wenn Ausdrücke mit derselben Basis erzeugt werden, hat das letzte Monom einen Gesamtgrad, der durch Addieren des Grades des ersten und des zweiten Ausdrucks gebildet wird.

Die vorgestellte Regel funktioniert auch hervorragend beim Multiplizieren mehrerer Ausdrücke. Die Hauptbedingung ist, dass die Grundlagen für alle gleich sind. Zum Beispiel:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Es ist unmöglich, mit zwei Elementen des Ausdrucks, wenn ihre Grundlagen unterschiedlich sind, Grade hinzuzufügen und tatsächlich irgendwelche Kraftverbindungshandlungen auszuführen.
Wie unser Video zeigt, werden aufgrund der Ähnlichkeit der Prozesse von Multiplikation und Division die Regeln für die Addition von Potenzen während eines Produkts perfekt auf das Divisionsverfahren übertragen. Betrachten Sie dieses Beispiel:

Lassen Sie uns den Ausdruck Term für Term in eine vollständige Form umwandeln und dieselben Elemente im Dividenden und Divisor reduzieren:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Das Endergebnis dieses Beispiels ist nicht so interessant, weil bereits im Verlauf seiner Lösung klar ist, dass der Wert des Ausdrucks gleich dem Quadrat von zwei ist. Und es ist die Zwei, die man erhält, indem man den Grad des zweiten Ausdrucks vom Grad des ersten subtrahiert.

Um den Grad des Quotienten zu bestimmen, muss der Grad des Divisors vom Grad des Dividenden subtrahiert werden. Die Regel arbeitet mit der gleichen Grundlage für alle ihre Werte und für alle natürlichen Kräfte. In abstrakter Form haben wir:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Die Definition für den Nullgrad folgt aus der Regel zur Teilung identischer Basen durch Potenzen. Offensichtlich lautet der folgende Ausdruck:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Wenn wir andererseits visueller dividieren, erhalten wir:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Beim Reduzieren aller sichtbaren Elemente eines Bruchs erhält man immer den Ausdruck 1/1, also Eins. Daher wird allgemein akzeptiert, dass jede mit der Nullpotenz erhobene Basis gleich Eins ist:

Unabhängig vom Wert von a.

Es wäre jedoch absurd, wenn 0 (was immer noch 0 für jede Multiplikation ergibt) irgendwie gleich eins ist, sodass ein Ausdruck wie (0) 0 (Null zum Nullgrad) einfach keinen Sinn ergibt und Formel (a) 0 = 1 füge eine Bedingung hinzu: "wenn a ungleich 0 ist".

Machen wir die Übung. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks finden:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Da die Basis überall gleich ist und gleich 34 ist, wird der Endwert mit einem Grad dieselbe Basis haben (gemäß den obigen Regeln):

Mit anderen Worten:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Antwort: Der Ausdruck ist gleich eins.

Wenn zwei Potenzen multipliziert (oder dividiert) werden, die unterschiedliche Basen haben, aber die gleichen Indikatoren, dann können ihre Basen multipliziert (oder dividiert) werden, und der Exponent des Ergebnisses sollte der gleiche bleiben wie der der Faktoren (oder Dividende und Divisor).

Im Allgemeinen werden diese Regeln in mathematischer Sprache wie folgt geschrieben:
ein m × b m = (ab) m
ein m ÷ b m = (a/b) m

Beim Dividieren kann b nicht gleich 0 sein, d. h. die zweite Regel muss um die Bedingung b ≠ 0 ergänzt werden.

Beispiele:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Anhand dieser konkreten Beispiele werden wir nun beweisen, dass die Regeleigenschaften von Graden mit denselben Exponenten wahr sind. Lösen wir diese Beispiele, als ob wir die Eigenschaften von Potenzen nicht kennen:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Wie wir sehen können, stimmten die Antworten mit denen überein, die bei Anwendung der Regeln erhalten wurden. Die Kenntnis dieser Regeln ermöglicht es uns, Berechnungen zu vereinfachen.

Beachten Sie, dass der Ausdruck 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 wie folgt geschrieben werden kann:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Dieser Ausdruck wiederum ist etwas anderes als (2 × 3) 3. also 6 3 .

Die betrachteten Eigenschaften von Graden mit gleichen Exponenten können in umgekehrter Richtung verwendet werden. Was ist zum Beispiel 18 2 ?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Die Eigenschaften von Graden werden auch beim Lösen von Beispielen verwendet:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664

Die Regel der Gradteilung. Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis gleich und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert. Beispiele:

Folie 11 aus der Präsentation "Teilung und Multiplikation von Potenzen" zum Algebra-Unterricht zum Thema "Grad"

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Machtteilungsregel

1. Der Grad des Produkts von zwei oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren (mit demselben Indikator):

(abc…) n = ein n b n c n …

Beispiel 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Beispiel 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

In der Praxis ist die Rücktransformation wichtiger:

ein n b n c n … = (abc …) n

jene. das Produkt derselben Potenzen mehrerer Größen ist gleich der gleichen Potenz des Produkts dieser Größen.

Beispiel 3 Beispiel 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Der Grad des Quotienten (Bruch) ist gleich dem Quotienten der Teilung desselben Grades des Teilbaren durch denselben Grad des Divisors:

Beispiel 5 Beispiel 6

Rücktransformation:. Beispiel 7 . Beispiel 8 .

3. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen werden die Exponenten addiert:

Beispiel 9.2 2 2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Beispiel 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x) 5 .

4. Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis wird der Exponent des Divisors vom Exponenten des Dividenden subtrahiert

Beispiel 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Beispiel 12. (x-y) 3:(x-y) 2 = x-y.

5. Beim Potenzieren eines Grades werden die Exponenten multipliziert:

Beispiel 13. (2 3) 2 =2 6 =64. Beispiel 14

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Potenzen

Addition und Subtraktion von Potenzen

Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 - b n und h 5 - d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen durchgeführt, nur müssen die Vorzeichen des Subtrahenten entsprechend geändert werden.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Indem wir mehrere Zahlen (Variablen) mit Potenzen vergleichen, können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

So, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten − sind Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gradteilung

Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem sie vom Divisor subtrahiert oder in Bruchform gebracht werden.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac $. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Exponenten in $\frac $ reduzieren Antwort: $\frac $.

2. Reduzieren Sie die Exponenten in $\frac$. Antwort: $\frac $ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

Algebra - 7. Klasse. Multiplikation und Teilung der Potenzen

Lektion zum Thema: „Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Potenzen mit gleichen und unterschiedlichen Exponenten. Beispiele»

Zusätzliche Materialien
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Multiplikation und Teilung der Potenzen

Der Zweck der Lektion: lernen, wie man Operationen mit Potenzen einer Zahl durchführt.

Erinnern wir uns zunächst an das Konzept der „Macht einer Zahl“. Ein Ausdruck wie $\underbrace_$ kann als $a^n$ dargestellt werden.

Das Gegenteil gilt auch: $a^n= \underbrace_ $.

Diese Gleichheit wird als "Erfassen des Abschlusses als Produkt" bezeichnet. Es wird uns helfen zu bestimmen, wie man Potenzen multipliziert und dividiert.
Erinnern:
a- die Grundlage des Abschlusses.
n- Exponent.
Wenn ein n=1, was die Zahl bedeutet a einmal genommen bzw.: $a^n= 1$.
Wenn ein n=0, dann $a^0= 1$.

Warum das so ist, erfahren wir, wenn wir uns mit den Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Potenzen vertraut machen.

Multiplikationsregeln

a) Wenn Potenzen mit gleicher Basis multipliziert werden.
Für $a^n * a^m$ schreiben wir die Grade als Produkt: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Die Abbildung zeigt, dass die Nummer a hat genommen n+m mal, dann $a^n * a^m = a^ $.

Beispiel.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Diese Eigenschaft ist bequem zu verwenden, um die Arbeit zu vereinfachen, wenn eine Zahl hoch potenziert wird.
Beispiel.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Wenn Potenzen mit unterschiedlicher Basis, aber gleichem Exponenten multipliziert werden.
Für $a^n * b^n$ schreiben wir die Potenzen als Produkt: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Wenn wir die Faktoren vertauschen und die resultierenden Paare zählen, erhalten wir: $\underbrace_ $.

Also $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Beispiel.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Teilungsregeln

a) Die Basis des Grades ist dieselbe, die Exponenten sind unterschiedlich.
Erwägen Sie, einen Grad mit einem größeren Exponenten zu teilen, indem Sie einen Grad mit einem kleineren Exponenten teilen.

Wir schreiben die Grade als Bruch:

Der Einfachheit halber schreiben wir die Division als einfachen Bruch.

Jetzt kürzen wir den Bruch.

Es stellt sich heraus: $\underbrace_ = a^ $.
Meint, $\frac =a^$ .

Diese Eigenschaft hilft, die Situation zu erklären, in der eine Zahl mit Null potenziert wird. Nehmen wir das an n=m, dann $a^0= a^ =\frac =1$.

b) Die Grundlagen des Abschlusses sind unterschiedlich, die Indikatoren sind die gleichen.
Nehmen wir an, Sie brauchen $\frac $. Wir schreiben die Potenzen von Zahlen als Bruch:

Stellen wir uns der Einfachheit halber vor.

Unter Verwendung der Brucheigenschaft teilen wir einen großen Bruch in ein Produkt kleiner Brüche, wir erhalten.
$\underbrace* \frac *\ldots*\frac >_ $.
Dementsprechend: $\frac =(\frac )^n$.

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Grade und Wurzeln

Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,

Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

Operationen mit Grad.

1. Beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

bin · ein n = ein m + n .

2. Bei der Teilung von Graden mit der gleichen Basis, ihre Indikatoren abgezogen .

3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.

4. Der Grad des Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden (Zähler) und des Divisors (Nenner):

(a/b) n = ein n / b n .

5. Wenn Sie einen Grad zu einer Potenz erheben, werden ihre Indikatoren multipliziert:

Alle obigen Formeln werden in beiden Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.

BEISPIEL (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Betriebe mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel(radikaler Ausdruck ist positiv).

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis der Wurzeln des Dividenden und des Divisors:

3. Wenn eine Wurzel zu einer Potenz erhoben wird, reicht es aus, diese Potenz zu erheben Stammnummer:

4. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache erhöhen und gleichzeitig die Zahl der Wurzel auf den m-ten Grad erhöhen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Grad der Wurzel um m-mal reduzieren und gleichzeitig die Wurzel des m-ten Grades aus der Wurzelzahl ziehen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Erweiterung des Gradbegriffs. Bisher haben wir Abschlüsse nur mit einem natürlichen Indikator betrachtet; aber Operationen mit Kräften und Wurzeln können auch dazu führen Negativ, Null und Bruchteil Indikatoren. Alle diese Exponenten bedürfen einer zusätzlichen Definition.

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem negativen (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten gleich dem Absolutwert des negativen Exponenten:

Jetzt die Formel bin : ein = ein m-n kann nicht nur für verwendet werden m, mehr als n, sondern auch bei m, weniger als n .

BEISPIEL a 4: a 7 = ein 4 — 7 = ein — 3 .

Wenn wir die Formel wollen bin : ein = bin — n war fair bei m = n, brauchen wir eine Definition des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Der Grad jeder Zahl ungleich Null mit Exponent Null ist 1.

BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Um eine reelle Zahl a mit m / n zu potenzieren, müssen Sie die Wurzel des n-ten Grades aus der m-ten Potenz dieser Zahl a ziehen:

Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke.

wo a ≠ 0 , existiert nicht.

In der Tat, wenn wir davon ausgehen x eine bestimmte Zahl ist, dann gilt gemäß der Definition der Divisionsoperation: a = 0· x, d.h. a= 0, was der Bedingung widerspricht: a ≠ 0

— irgendeine Nummer.

In der Tat, wenn wir annehmen, dass dieser Ausdruck gleich einer Zahl ist x, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 x. Aber diese Gleichheit gilt für irgendeine Zahl x, was zu beweisen war.

0 0 — irgendeine Nummer.

Lösung: Betrachten Sie drei Hauptfälle:

1) x = 0 – dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht

2) wann x> 0 erhalten wir: x / x= 1, d.h. 1 = 1, woraus folgt,

was x- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen

unser Fall x> 0 ist die Antwort x > 0 ;

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Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen durchgeführt, nur müssen die Vorzeichen des Subtrahenten entsprechend geändert werden.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

So, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gradteilung

Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem sie vom Divisor subtrahiert oder in Bruchform gebracht werden.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.

Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Anzahl c ist ein n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer bestimmten Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.