Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Es zeigt den Graphen der Funktion y = x^3 - 3*x^2. Stellen Sie sich ein Intervall vor, das den Punkt x = 0 enthält, z. B. von -1 bis 1. Ein solches Intervall wird auch als Nachbarschaft des Punktes x = 0 bezeichnet. Wie auf dem Diagramm zu sehen ist, ist in dieser Nachbarschaft die Funktion y = x ^3 - 3*x^2 nimmt genau an der Stelle x = 0 den größten Wert an.

Maximum und Minimum einer Funktion

In diesem Fall wird der Punkt x = 0 als Maximumpunkt der Funktion bezeichnet. Analog dazu wird der Punkt x = 2 als Minimumpunkt der Funktion y = x^3 - 3*x^2 bezeichnet. Weil es eine solche Nachbarschaft dieses Punktes gibt, in der der Wert an diesem Punkt unter allen anderen Werten aus dieser Nachbarschaft minimal sein wird.

Punkt maximal Funktion f(x) heißt Punkt x0, sofern es eine Umgebung des Punktes x0 gibt, so dass für alle x ungleich x0 aus dieser Umgebung die Ungleichung f(x)< f(x0).

Punkt Minimum Funktion f(x) heißt Punkt x0, sofern es eine Umgebung des Punktes x0 gibt, so dass für alle x ungleich x0 aus dieser Umgebung die Ungleichung f(x) > f(x0) erfüllt ist.

An den Maximal- und Minimalpunkten der Funktionen ist der Wert der Ableitung der Funktion gleich Null. Dies ist jedoch keine hinreichende Bedingung für die Existenz einer Funktion an einem maximalen oder minimalen Punkt.

Beispielsweise hat die Funktion y = x^3 am Punkt x = 0 eine Ableitung gleich Null. Aber der Punkt x = 0 ist nicht der Minimal- oder Maximalpunkt der Funktion. Wie Sie wissen, nimmt die Funktion y = x^3 auf der gesamten reellen Achse zu.

Somit befinden sich die Minimum- und Maximumpunkte immer in der Wurzel der Gleichung f’(x) = 0. Aber nicht alle Wurzeln dieser Gleichung sind Maximum- oder Minimumpunkte.

Stationäre und kritische Punkte

Die Punkte, an denen der Wert der Ableitung einer Funktion gleich Null ist, heißen stationäre Punkte. Es kann auch Punkte mit Maximum oder Minimum an Stellen geben, an denen die Ableitung der Funktion überhaupt nicht existiert. Beispiel: y = |x| an der Stelle x = 0 hat ein Minimum, aber die Ableitung existiert an dieser Stelle nicht. Dieser Punkt wird der kritische Punkt der Funktion sein.

Die kritischen Punkte einer Funktion sind die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist, oder die Ableitung an dieser Stelle nicht existiert, d. h. die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist. Um das Maximum oder Minimum einer Funktion zu finden, muss eine hinreichende Bedingung erfüllt sein.

Sei f(x) eine auf dem Intervall (a;b) differenzierbare Funktion. Der Punkt x0 gehört zu diesem Intervall und f'(x0) = 0. Dann gilt:

1. Ändert beim Durchgang durch den stationären Punkt x0 die Funktion f (x) und ihre Ableitung das Vorzeichen von „plus“ nach „minus“, dann ist der Punkt x0 der Maximumpunkt der Funktion.

2. Ändert beim Durchgang durch den stationären Punkt x0 die Funktion f (x) und ihre Ableitung das Vorzeichen von „minus“ nach „plus“, dann ist der Punkt x0 der Minimalpunkt der Funktion.

Im zweidimensionalen Raum schneiden sich zwei Geraden nur in einem Punkt, der durch die Koordinaten (x, y) gegeben ist. Da beide Geraden durch ihren Schnittpunkt gehen, müssen die Koordinaten (x, y) beiden Gleichungen genügen, die diese Geraden beschreiben. Mit einigen fortgeschrittenen Fähigkeiten können Sie die Schnittpunkte von Parabeln und anderen quadratischen Kurven finden.

Schritte

Schnittpunkt zweier Geraden

Schreiben Sie die Gleichung jeder Zeile auf und isolieren Sie die Variable "y" auf der linken Seite der Gleichung. Andere Terme der Gleichung sollten auf der rechten Seite der Gleichung platziert werden. Vielleicht enthält die Gleichung, die Ihnen anstelle von "y" gegeben wird, die Variable f (x) oder g (x); Isolieren Sie in diesem Fall eine solche Variable. Um eine Variable zu isolieren, führen Sie die entsprechenden mathematischen Operationen auf beiden Seiten der Gleichung durch.

• Wenn Ihnen die Gleichungen der Linien nicht gegeben werden, auf der Grundlage der Ihnen bekannten Informationen.
• Beispiel. Gegebene gerade Linien, die durch die Gleichungen und beschrieben werden y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Um das "y" in der zweiten Gleichung zu isolieren, fügen Sie die Zahl 12 zu beiden Seiten der Gleichung hinzu:

1. Gesucht wird der Schnittpunkt beider Geraden, also der Punkt, dessen (x, y)-Koordinaten beide Gleichungen erfüllen. Da sich die Variable "y" auf der linken Seite jeder Gleichung befindet, können die Ausdrücke auf der rechten Seite jeder Gleichung gleichgesetzt werden. Schreiben Sie eine neue Gleichung auf.

   • Beispiel. Als y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) und y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), dann können wir die folgende Gleichheit schreiben: .

2. Finden Sie den Wert der Variablen "x". Die neue Gleichung enthält nur eine Variable "x". Um "x" zu finden, isolieren Sie diese Variable auf der linken Seite der Gleichung, indem Sie die entsprechende Mathematik auf beiden Seiten der Gleichung durchführen. Sie sollten am Ende eine Gleichung wie x = __ haben (wenn Sie das nicht können, lesen Sie diesen Abschnitt).

   • Beispiel. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Hinzufügen 2x (\displaystyle 2x) zu jeder Seite der Gleichung:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Subtrahiere 3 von jeder Seite der Gleichung:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Teilen Sie jede Seite der Gleichung durch 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Verwenden Sie den gefundenen Wert der Variablen "x", um den Wert der Variablen "y" zu berechnen. Setzen Sie dazu den gefundenen Wert "x" in die (beliebige) Gerade der Gleichung ein.

   • Beispiel. x = 3 (\displaystyle x=3) und y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Überprüfen Sie die Antwort. Ersetzen Sie dazu den Wert von "x" in eine andere Gleichung einer geraden Linie und finden Sie den Wert von "y". Wenn Sie unterschiedliche "y"-Werte erhalten, überprüfen Sie, ob Ihre Berechnungen korrekt sind.

   • Beispiel: x = 3 (\displaystyle x=3) und y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Sie haben den gleichen "y"-Wert, also gibt es keine Fehler in Ihren Berechnungen.

5. Notieren Sie die Koordinaten (x, y). Durch die Berechnung der Werte von "x" und "y" haben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Linien gefunden. Notieren Sie die Koordinaten des Schnittpunkts in der Form (x, y).

   • Beispiel. x = 3 (\displaystyle x=3) und y=6 (\displaystyle y=6)
   • Somit schneiden sich zwei Geraden in einem Punkt mit den Koordinaten (3,6).

6. Berechnungen in Sonderfällen. In einigen Fällen kann der Wert der Variablen "x" nicht gefunden werden. Aber das bedeutet nicht, dass Sie einen Fehler gemacht haben. Ein Sonderfall liegt vor, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

   • Wenn zwei Geraden parallel sind, schneiden sie sich nicht. In diesem Fall wird die Variable "x" einfach reduziert und Ihre Gleichung wird zu einer bedeutungslosen Gleichheit (z. B. 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Notieren Sie in diesem Fall in Ihrer Antwort, dass sich die Geraden nicht schneiden oder es keine Lösung gibt.
   • Wenn beide Gleichungen eine Gerade beschreiben, gibt es unendlich viele Schnittpunkte. In diesem Fall wird die Variable "x" einfach reduziert und Ihre Gleichung wird zu einer strikten Gleichheit (z. B. 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Notieren Sie in diesem Fall in Ihrer Antwort, dass die beiden Linien zusammenfallen.

   Probleme mit quadratischen Funktionen

   1. Definition einer quadratischen Funktion. In einer quadratischen Funktion haben eine oder mehrere Variablen einen zweiten Grad (aber nicht höher), zum Beispiel x 2 (\displaystyle x^(2)) oder y 2 (\displaystyle y^(2)). Graphen quadratischer Funktionen sind Kurven, die sich an einem oder zwei Punkten nicht schneiden oder schneiden dürfen. In diesem Abschnitt erklären wir Ihnen, wie Sie den oder die Schnittpunkte von quadratischen Kurven finden.

   2. Schreiben Sie jede Gleichung neu, indem Sie die Variable "y" auf der linken Seite der Gleichung isolieren. Andere Terme der Gleichung sollten auf der rechten Seite der Gleichung platziert werden.

      • Beispiel. Finden Sie die Schnittpunkte der Graphen x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) und
      • Isolieren Sie die Variable "y" auf der linken Seite der Gleichung:
      • und y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • In diesem Beispiel erhalten Sie eine quadratische Funktion und eine lineare Funktion. Denken Sie daran, dass, wenn Sie zwei quadratische Funktionen erhalten, die Berechnungen die gleichen sind wie die Schritte unten.

   3. Setze die Ausdrücke auf der rechten Seite jeder Gleichung gleich. Da sich die Variable "y" auf der linken Seite jeder Gleichung befindet, können die Ausdrücke auf der rechten Seite jeder Gleichung gleichgesetzt werden.

      • Beispiel. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) und y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Übertragen Sie alle Terme der resultierenden Gleichung auf die linke Seite und schreiben Sie 0 auf die rechte Seite. Führen Sie dazu grundlegende mathematische Operationen durch. Dadurch können Sie die resultierende Gleichung lösen.

      • Beispiel. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Subtrahiere "x" von beiden Seiten der Gleichung:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Subtrahiere 7 von beiden Seiten der Gleichung:

   5. Lösen Sie die quadratische Gleichung. Indem Sie alle Terme der Gleichung auf die linke Seite übertragen, erhalten Sie eine quadratische Gleichung. Es kann auf drei Arten gelöst werden: mit einer speziellen Formel und.

      • Beispiel. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Wenn Sie die Gleichung faktorisieren, erhalten Sie zwei Binome, die multipliziert die ursprüngliche Gleichung ergeben. In unserem Beispiel das erste Mitglied x 2 (\displaystyle x^(2)) kann in x*x zerlegt werden. Machen Sie folgenden Eintrag: (x)(x) = 0
      • In unserem Beispiel kann der Schnittpunkt -6 wie folgt faktorisiert werden: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • In unserem Beispiel ist der zweite Term x (oder 1x). Addieren Sie jedes Paar von Intercept-Faktoren (in unserem Beispiel -6), bis Sie 1 erhalten. In unserem Beispiel sind das korrekte Paar von Intercept-Faktoren -2 und 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), als − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Füllen Sie die Lücken mit dem gefundenen Zahlenpaar aus: .

   6. Vergessen Sie nicht den zweiten Schnittpunkt der beiden Graphen. Wenn Sie das Problem schnell und nicht sehr sorgfältig lösen, können Sie den zweiten Schnittpunkt vergessen. So finden Sie die "x"-Koordinaten zweier Schnittpunkte:

      • Beispiel (Factoring). Wenn in der Gleichung (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) Einer der Ausdrücke in Klammern ist gleich 0, dann ist die gesamte Gleichung gleich 0. Daher können wir es so schreiben: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) und x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (das heißt, Sie haben zwei Wurzeln der Gleichung gefunden).
      • Beispiel (Formel oder Quadrat verwenden). Wenn Sie eine dieser Methoden verwenden, erscheint eine Quadratwurzel im Lösungsprozess. Beispielsweise nimmt die Gleichung aus unserem Beispiel die Form an x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Denken Sie daran, dass Sie beim Ziehen der Quadratwurzel zwei Lösungen erhalten. In unserem Fall: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), und 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Schreiben Sie also zwei Gleichungen auf und finden Sie zwei x-Werte.

   7. Graphen schneiden sich an einem Punkt oder gar nicht. Solche Situationen treten auf, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

      • Wenn sich die Graphen an einem Punkt schneiden, wird die quadratische Gleichung in gleiche Faktoren zerlegt, z. B. (x-1) (x-1) = 0, und die Quadratwurzel von 0 erscheint in der Formel ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). In diesem Fall hat die Gleichung nur eine Lösung.
      • Wenn sich die Graphen überhaupt nicht schneiden, wird die Gleichung nicht faktorisiert und die Quadratwurzel einer negativen Zahl erscheint in der Formel (z. B. − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Schreiben Sie in diesem Fall in die Antwort, dass es keine Lösung gibt.

Kritische Punkte sind die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion gleich Null ist oder nicht existiert. Wenn die Ableitung 0 ist, dann nimmt die Funktion an diesem Punkt an lokales Minimum oder Maximum. Auf dem Graphen an solchen Punkten hat die Funktion eine horizontale Asymptote, das heißt, die Tangente ist parallel zur Ox-Achse.

Solche Punkte werden aufgerufen stationär. Wenn Sie auf einem kontinuierlichen Funktionsdiagramm einen „Buckel“ oder ein „Loch“ sehen, denken Sie daran, dass das Maximum oder Minimum am kritischen Punkt erreicht wird. Betrachten Sie die folgende Aufgabe als Beispiel.

Beispiel 1 Finde die kritischen Punkte der Funktion y=2x^3-3x^2+5 .
Entscheidung. Der Algorithmus zum Auffinden kritischer Punkte lautet wie folgt:

Die Funktion hat also zwei kritische Punkte.

Wenn Sie die Funktion untersuchen müssen, bestimmen wir außerdem das Vorzeichen der Ableitung links und rechts vom kritischen Punkt. Ändert die Ableitung beim Durchlaufen eines kritischen Punktes das Vorzeichen von „-“ nach „+“, dann nimmt die Funktion an lokales Minimum. Wenn von "+" auf "-" sollte lokales Maximum.

Die zweite Art von kritischen Punkten Dies sind die Nullstellen des Nenners von gebrochenen und irrationalen Funktionen

Funktionen mit Logarithmen und Trigonometrien, die an diesen Stellen nicht definiert sind


Die dritte Art von kritischen Punkten haben stückweise stetige Funktionen und Module.
Beispielsweise hat jede Modulfunktion an einem Unterbrechungspunkt ein Minimum oder Maximum.

Zum Beispiel Modul y = | x-5 | an der Stelle x = 5 hat ein Minimum (kritischer Punkt).
Die Ableitung existiert darin nicht, nimmt aber rechts und links den Wert 1 bzw. -1 an.

Versuchen Sie, kritische Punkte von Funktionen zu identifizieren

1)
2)
3)
4)
5)

Wenn Sie als Antwort den Wert erhalten
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x = 9;
4) x = Pi*k;
5) x = 1.
dann weißt du es schon wie man kritische Punkte findet und in der Lage sein, mit einer einfachen Kontrolle oder Tests fertig zu werden.

Dies ist der zweite Teil meines Artikels, der sich der Computergeometrie widmet. Ich denke, dieser Artikel wird interessanter als der vorherige, da die Rätsel etwas schwieriger sein werden.

Beginnen wir mit der relativen Position eines Punktes relativ zu einer Geraden, einem Strahl und einer Strecke.

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die relative Position des Punktes und der Linie: liegt über der Linie, auf der Linie, unter der Linie.

Entscheidung
Es ist klar, dass, wenn die Gerade durch ihre Gleichung ax + by + c = 0 gegeben ist, hier nichts zu lösen ist. Es reicht aus, die Koordinaten des Punktes in die Gleichung einer geraden Linie einzusetzen und zu prüfen, womit sie gleich ist. Ist er größer als Null, so liegt der Punkt in der oberen Halbebene, ist er gleich Null, liegt der Punkt auf der Geraden, ist er kleiner als Null, liegt der Punkt in der unteren Halbebene. Interessanter ist der Fall, wenn die Gerade gegeben ist, gegeben durch die Koordinaten zweier Punkte, nennen wir sie P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). In diesem Fall kann man die Koeffizienten a, b und c sicher finden und die vorherige Argumentation anwenden. Aber wir müssen zuerst überlegen, brauchen wir es? Natürlich nicht! Wie gesagt, das Skew-Produkt ist nur ein Juwel der Computergeometrie. Wenden wir es an. Es ist bekannt, dass das Schrägprodukt zweier Vektoren positiv ist, wenn die Drehung vom ersten zum zweiten Vektor gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, gleich Null ist, wenn die Vektoren kollinear sind, und negativ, wenn die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt. Daher genügt es uns, das Schiefprodukt der Vektoren P 1 P 2 und P 1 M zu berechnen und auf der Grundlage seines Vorzeichens eine Schlussfolgerung zu ziehen.

Aufgabe Nr. 2

Bestimmen Sie, ob ein Punkt zu einem Strahl gehört.

Entscheidung
Erinnern wir uns, was ein Strahl ist: Ein Strahl ist eine gerade Linie, die auf der einen Seite von einem Punkt begrenzt und auf der anderen unendlich ist. Das heißt, der Strahl ist durch einen Startpunkt und einen darauf liegenden Punkt gegeben. Der Punkt P 1 (x 1 , y 1) sei der Beginn des Strahls und P 2 (x 2 , y 2) irgendein Punkt, der zu dem Strahl gehört. Es ist klar, dass, wenn ein Punkt zu einem Strahl gehört, er auch zu der Linie gehört, die durch diese Punkte geht, aber nicht umgekehrt. Daher ist die Zugehörigkeit zu einer Linie eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für die Zugehörigkeit zu einem Strahl. Daher kommen wir nicht umhin, das Skew-Produkt zu überprüfen. Für eine hinreichende Bedingung ist es außerdem notwendig, das Skalarprodukt derselben Vektoren zu berechnen. Ist er kleiner als Null, gehört der Punkt nicht zum Strahl, ist er nicht negativ, liegt der Punkt auf dem Strahl. Warum so? Schauen wir uns die Zeichnung an.

Damit also der Punkt M(x, y) auf dem Strahl mit dem Anfangspunkt P 1 (x 1 , y 1 ) liegt, wo P 2 (x 2 , y 2) auf dem Strahl liegt, ist es notwendig und ausreichend, um zwei Bedingungen zu erfüllen:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 ist das Skalarprodukt (der Punkt liegt auf dem Strahl)

Aufgabe Nr. 3

Bestimmen Sie, ob ein Punkt zu einem Segment gehört.

Entscheidung
Die Punkte P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2) seien die Enden des gegebenen Segments. Wiederum ist eine notwendige Bedingung für die Zugehörigkeit eines Punktes zu einem Segment seine Zugehörigkeit zu einer geraden Linie, die durch P 1 , P 2 verläuft. Als nächstes müssen wir bestimmen, ob der Punkt zwischen den Punkten P 1 und P 2 liegt, dabei hilft uns das Skalarprodukt der Vektoren nur dieses Mal andere: (MP 1 , MP 2). Ist er kleiner oder gleich Null, so liegt der Punkt auf dem Segment, ansonsten liegt er außerhalb des Segments. Warum so? Schauen wir uns das Bild an.

Damit also der Punkt M(x, y) auf einer Strecke mit den Enden P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2) liegt, ist es notwendig und ausreichend, die Bedingungen zu erfüllen:
1. \u003d 0 - Schrägprodukt (der Punkt liegt auf der Linie)
2. (MP 1 ,MP 2) ≤ 0 – Skalarprodukt (Punkt liegt zwischen P 1 und P 2)

Aufgabe Nr. 4

Die relative Position zweier Punkte relativ zu einer geraden Linie.

Entscheidung
Bei diesem Problem ist es notwendig, zwei Punkte auf einer oder auf gegenüberliegenden Seiten einer geraden Linie zu bestimmen.

Wenn die Punkte auf gegenüberliegenden Seiten einer Geraden liegen, haben die schiefen Produkte unterschiedliche Vorzeichen, was bedeutet, dass ihr Produkt negativ ist. Liegen die Punkte bezüglich der Geraden auf der gleichen Seite, so fallen die Vorzeichen der Schiefprodukte zusammen, ihr Produkt ist also positiv.
So:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – die Punkte liegen auf der gleichen Seite.
3. * = 0 - einer (oder zwei) der Punkte liegt auf einer geraden Linie.

Übrigens wird das Problem der Bestimmung des Vorhandenseins eines Schnittpunkts einer Linie und eines Segments auf genau dieselbe Weise gelöst. Genauer gesagt handelt es sich um das gleiche Problem: Eine Strecke und eine Gerade schneiden sich, wenn die Enden der Strecke relativ zur Geraden auf unterschiedlichen Seiten liegen oder wenn die Enden der Strecke auf der Geraden liegen, also notwendig ist zu verlangen * ≤ 0.

Aufgabe Nr. 5

Bestimmen Sie, ob sich zwei Geraden schneiden.

Entscheidung
Wir gehen davon aus, dass die Linien nicht zusammenfallen. Es ist klar, dass sich Linien nur dann nicht schneiden, wenn sie parallel sind. Nachdem wir also die Bedingung der Parallelität gefunden haben, können wir bestimmen, ob sich die Linien schneiden.
Angenommen, die Linien sind durch ihre Gleichungen a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 und a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 gegeben. Dann ist die Bedingung für parallele Linien, dass a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Wenn die Linien durch die Punkte P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4) gegeben sind, dann ist die Bedingung denn ihre Parallelität besteht darin, das Schiefprodukt der Vektoren P 1 P 2 und M 1 M 2 zu prüfen: Wenn es gleich Null ist, dann sind die Linien parallel.

Wenn die Linien durch ihre Gleichungen gegeben sind, überprüfen wir im Allgemeinen auch das Schrägprodukt der Vektoren (–b 1 , a 1 ), (–b 2 , a 2 ), die als Richtungsvektoren bezeichnet werden.

Aufgabe Nr. 6

Bestimmen Sie, ob sich zwei Liniensegmente schneiden.

Entscheidung
Das ist die Aufgabe, die ich wirklich mag. Segmente schneiden sich, wenn die Enden jedes Segments auf gegenüberliegenden Seiten des anderen Segments liegen. Schauen wir uns das Bild an:

Wir müssen also überprüfen, ob die Enden jedes der Segmente auf gegenüberliegenden Seiten der relativen Enden des anderen Segments liegen. Wir verwenden das Skew-Produkt von Vektoren. Schauen Sie sich das erste Bild an: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Daher müssen wir noch eine Prüfung machen, nämlich: ob mindestens ein Ende jedes Segments zu einem anderen gehört (zu einem Punkt eines Segments gehört). Wir haben dieses Problem bereits gelöst.

Damit die Segmente gemeinsame Punkte haben, ist es also notwendig und ausreichend:
1. Die Enden der Segmente liegen relativ zu einem anderen Segment auf unterschiedlichen Seiten.
2. Mindestens eines der Enden eines Segments gehört zu einem anderen Segment.

Aufgabe Nr. 7

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Entscheidung
Die Linie sei durch zwei Punkte P 1 (x 1, y 1) und P 2 (x 2, y 2) gegeben.

Im vorherigen Artikel haben wir darüber gesprochen, dass das geometrisch schiefe Produkt die orientierte Fläche des Parallelogramms ist, also S P 1 P 2 M = 0,5 *. Andererseits kennt jeder Schüler die Formel, um die Fläche eines Dreiecks zu finden: halbe Grundlinie mal Höhe.
S P 1 P 2 M \u003d 0,5 * h * P 1 P 2.
Wenn wir diese Bereiche gleichsetzen, finden wir

Modulo wurde genommen, weil der erste Bereich orientiert ist.

Wenn die Linie durch die Gleichung ax + by + c = 0 gegeben ist, dann lautet die Gleichung der Linie, die durch den Punkt M senkrecht zur gegebenen Linie verläuft: a (y - y 0) - b (x - x 0) = 0. Jetzt können Sie das System leicht aus den erhaltenen Gleichungen lösen, ihren Schnittpunkt finden und die Entfernung vom Startpunkt zum gefundenen berechnen: Es wird genau ρ = (ax 0 + durch 0 + c) / √ (a 2 + b2).

Aufgabe Nr. 8

Der Abstand vom Punkt zum Balken.

Entscheidung
Dieses Problem unterscheidet sich vom vorherigen dadurch, dass es in diesem Fall passieren kann, dass die Senkrechte vom Punkt nicht auf den Strahl fällt, sondern auf seine Fortsetzung.

Wenn die Senkrechte nicht auf den Strahl fällt, muss der Abstand vom Punkt zum Anfang des Strahls ermittelt werden - dies ist die Lösung des Problems.

Wie kann man feststellen, ob die Senkrechte auf den Strahl fällt oder nicht? Fällt die Senkrechte nicht auf den Strahl, so ist der Winkel MP 1 P 2 stumpf, sonst spitz (gerade). Daher können wir anhand des Vorzeichens des Skalarprodukts von Vektoren bestimmen, ob die Senkrechte auf den Strahl fällt oder nicht:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 trifft die Senkrechte auf den Strahl

Aufgabe Nr. 9

Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Entscheidung
Wir argumentieren ähnlich wie beim vorherigen Problem. Wenn die Senkrechte nicht auf das Segment fällt, ist die Antwort das Minimum der Entfernungen vom gegebenen Punkt zu den Enden des Segments.

Um zu bestimmen, ob die Senkrechte auf das Segment fällt, muss analog zur vorherigen Aufgabe das Skalarprodukt von Vektoren verwendet werden. Wenn die Senkrechte nicht auf die Strecke fällt, dann ist entweder der Winkel MP 1 P 2 oder der Winkel MP 2 P 1 stumpf. Daher können wir anhand des Vorzeichens der Skalarprodukte feststellen, ob die Senkrechte auf die Strecke fällt oder nicht:
Wenn (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Aufgabe Nr. 10

Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte auf einer Linie und einem Kreis.

Entscheidung
Eine Linie und ein Kreis können null, einen oder zwei Schnittpunkte haben. Schauen wir uns die Bilder an:

Hier ist aus den Zeichnungen alles klar. Wir haben zwei Schnittpunkte, wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Linie kleiner ist als der Radius des Kreises. Ein Berührungspunkt, wenn der Abstand vom Mittelpunkt zur Linie gleich dem Radius ist. Und schließlich kein Schnittpunkt, wenn der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden größer ist als der Radius des Kreises. Da das Problem, den Abstand von einem Punkt zu einer Linie zu finden, bereits von uns gelöst wurde, wurde auch dieses Problem gelöst.

Aufgabe Nr. 11

Gegenseitige Anordnung zweier Kreise.

Entscheidung
Mögliche Anordnungsfälle von Kreisen: schneiden, berühren, nicht schneiden.

Betrachten Sie den Fall, in dem sich die Kreise schneiden, und ermitteln Sie den Bereich ihres Schnittpunkts. Ich liebe dieses Problem sehr, weil ich ziemlich viel Zeit damit verbracht habe, es zu lösen (es ist lange her - im ersten Jahr).

Erinnern wir uns nun daran, was ein Sektor und ein Segment sind.

Der Schnittpunkt von Kreisen besteht aus zwei Segmenten O 1 AB und O 2 AB.

Es scheint, dass es notwendig ist, die Flächen dieser Segmente zu addieren, und das war's. Allerdings ist nicht alles so einfach. Es muss auch festgestellt werden, ob diese Formeln immer wahr sind. Es stellt sich heraus, nicht!

Betrachten Sie den Fall, wenn der Mittelpunkt des zweiten Kreises O 2 mit dem Punkt C zusammenfällt. In diesem Fall ist d 2 = 0, und wir nehmen α = π als Wert von α. In diesem Fall haben wir einen Halbkreis mit der Fläche 1/2 πR 2 2 .

Betrachten wir nun den Fall, dass der Mittelpunkt des zweiten Kreises O 2 zwischen den Punkten O 1 und C liegt. In diesem Fall erhalten wir einen negativen Wert von d 2 . Die Verwendung eines negativen Werts von d 2 führt zu einem negativen Wert von α. In diesem Fall müssen Sie 2π zu α addieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Fazit

Das ist es. Wir haben nicht alle, aber die häufigsten Probleme der Computergeometrie bezüglich der relativen Position von Objekten betrachtet.

Ich hoffe, es hat euch gefallen.

Definitionsbereich einer Funktion, Ableitung berechnen, Definitionsbereich der Ableitung einer Funktion finden Punkte Umwandlung der Ableitung in Null, beweisen, dass die gefundenen Punkte zum Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion gehören.

Beispiel 1 Kritisch identifizieren Punkte Funktionen y = (x - 3)² (x-2).

Lösung: Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion, in diesem Fall gibt es keine Einschränkungen: x ∈ (-∞; +∞); Berechnen Sie die Ableitung y’. Nach den Ableitungsregeln des Zweierprodukts gilt: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Danach wird eine quadratische Gleichung erhalten: y ' \u003d 3 x² - 16 x + 21.

Finden Sie den Definitionsbereich der Ableitung der Funktion: x ∈ (-∞; +∞) Lösen Sie die Gleichung 3 x² - 16 x + 21 = 0, um herauszufinden, wo sie verschwindet: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3, also verschwindet die Ableitung für x-Werte gleich 3 und 7/3.

Bestimmen Sie, ob die gefundenen dazugehören Punkte Domänen der ursprünglichen Funktion. Da x (-∞; +∞), dann beides Punkte sind kritisch.

Beispiel 2 Kritisch identifizieren Punkte Funktionen y = x² - 2/x.

Lösung Definitionsbereich der Funktion: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) da x im Nenner steht Berechnen Sie die Ableitung y’ = 2 x + 2/x².

Der Definitionsbereich der Ableitung der Funktion ist derselbe wie der des Originals: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Lösen Sie die Gleichung 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -eins.

Die Ableitung verschwindet also bei x = -1. Eine notwendige, aber unzureichende Kritikalitätsbedingung ist erfüllt. Da x=-1 in das Intervall (-∞; 0) ∪ (0; +∞) fällt, ist dieser Punkt kritisch.

Quellen:

• Kritisches Verkaufsvolumen, pcsThreshold

Viele Frauen leiden unter dem prämenstruellen Syndrom, das sich nicht nur durch schmerzhafte Empfindungen, sondern auch durch erhöhten Appetit äußert. Dadurch können kritische Tage den Prozess des Abnehmens deutlich verlangsamen.

Ursachen für erhöhten Appetit an kritischen Tagen

Der Grund für die Zunahme des Appetits während der kritischen Tage ist eine Veränderung des allgemeinen hormonellen Hintergrunds im weiblichen Körper. Einige Tage vor Einsetzen der Menstruation steigt der Spiegel des Hormons Progesteron, der Körper stellt sich auf das Mögliche ein und versucht, zusätzliche Energiereserven in Form von Körperfett zu bilden, auch wenn die Frau sitzt. Daher ist eine Gewichtsveränderung an kritischen Tagen ein normales Phänomen.

Wie man während der Menstruation isst

Versuchen Sie, heutzutage keine Süßigkeiten, Süßwaren und andere kalorienreiche Lebensmittel zu essen, die „fast“ enthalten. Ihr Überschuss wird sofort im Fett abgelagert. Viele Frauen möchten in dieser Zeit unbedingt Schokolade essen, in diesem Fall können Sie dunkle Schokolade kaufen und sich ein paar Scheiben gönnen, aber nicht mehr. Während der Menstruation sollten Sie keine alkoholischen Getränke, Marinaden, Gurken, geräuchertes Fleisch, Samen und Nüsse konsumieren. Pickles und geräuchertes Fleisch sollten im Allgemeinen 6-8 Tage vor Beginn der Menstruation in der Ernährung begrenzt werden, da solche Produkte die Wasserreserven im Körper erhöhen und diese Zeit durch eine Zunahme der Flüssigkeitsansammlung gekennzeichnet ist. Um die Salzmenge in der Nahrung zu reduzieren, fügen Sie es Fertiggerichten in einer minimalen Menge hinzu.

Es wird empfohlen, fettarme Milchprodukte, pflanzliche Lebensmittel und Getreide zu verwenden. Hülsenfrüchte, Salzkartoffeln, Reis sind nützlich - Produkte, die "langsame" Kohlenhydrate enthalten. Meeresfrüchte, Leber, Fisch, Rindfleisch, Geflügel, Eier, Hülsenfrüchte und Trockenfrüchte helfen, den Eisenverlust wieder aufzufüllen. Weizenkleie wird nützlich sein. Schwellungen sind eine natürliche Reaktion während der Menstruation. Leichte harntreibende Kräuter helfen, den Zustand zu korrigieren: Basilikum, Dill, Petersilie, Sellerie. Sie können als Gewürz verwendet werden. In der zweiten Hälfte des Zyklus wird empfohlen, Proteinprodukte (mageres Fleisch und Fisch, Milchprodukte) zu konsumieren, und die Menge an Kohlenhydraten in der Ernährung sollte so weit wie möglich reduziert werden.

Das ökonomische Konzept des kritischen Volumens Umsätze entspricht der Position des Unternehmens auf dem Markt, in der der Erlös aus dem Verkauf von Waren minimal ist. Diese Situation wird Break-Even-Punkt genannt, wenn die Nachfrage nach Produkten sinkt und die Gewinne die Kosten kaum decken. Zur Bestimmung des kritischen Volumens Umsätze mehrere Methoden anwenden.

Anweisung

Der Arbeitszyklus beschränkt sich nicht auf seine Aktivitäten - Produktion oder Dienstleistungen. Dies ist eine komplexe Arbeit mit einer bestimmten Struktur, einschließlich der Arbeit von Schlüsselpersonal, Führungskräften, Managern usw. sowie von Ökonomen, deren Aufgabe die Finanzanalyse des Unternehmens ist.

Der Zweck dieser Analyse besteht darin, einige Größen zu berechnen, die sich mehr oder weniger auf die Höhe des Endgewinns auswirken. Dies sind verschiedene Arten von Produktions- und Verkaufsmengen, Gesamt- und Durchschnittswerte, Nachfrageindikatoren usw. Die Hauptaufgabe besteht darin, ein solches Produktionsvolumen zu identifizieren, bei dem ein stabiles Verhältnis zwischen Kosten und Gewinn hergestellt wird.

Minimales Volumen Umsätze, bei der die Einnahmen die Kosten vollständig decken, aber das Eigenkapital des Unternehmens nicht erhöhen, wird als kritisches Volumen bezeichnet Umsätze. Es gibt drei Methoden zur Berechnung der Methode dieses Indikators: die Methode der Gleichungen, des Grenzeinkommens und der Grafik.

Zur Bestimmung des kritischen Volumens Umsätze Stellen Sie nach der ersten Methode eine Gleichung der Form auf: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, wobei: Vp - Einnahmen aus Umsätze und ; Zper und Zpos - variable und fixe Kosten; Pp - Gewinn von Umsätze und.

Gemäß einem anderen Verfahren wird der erste Begriff, Einnahmen aus Umsätze, als Produkt des Grenzeinkommens einer Gütereinheit durch das Volumen darstellen Umsätze Gleiches gilt für variable Kosten. Fixkosten gelten für die gesamte Warencharge, also diese Komponente gemeinsam belassen: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Drücken Sie den Wert von N aus dieser Gleichung aus, und Sie erhalten das kritische Volumen Umsätze:N = Zpos / (MD - Zper1), wobei Zper1 - variable Kosten pro Wareneinheit.

Die grafische Methode beinhaltet die Konstruktion. Zeichnen Sie zwei Linien auf der Koordinatenebene: die Umsatzfunktion von Umsätze minus Kosten- und Gewinnfunktion. Tragen Sie auf der x-Achse das Produktionsvolumen und auf der y-Achse die Einnahmen aus der entsprechenden Warenmenge, ausgedrückt in Geldeinheiten, auf. Der Schnittpunkt dieser Linien entspricht dem kritischen Volumen Umsätze, die Break-Even-Position.

Quellen:

• wie man kritische Arbeit identifiziert

Kritisches Denken ist eine Reihe von Urteilen, auf deren Grundlage bestimmte Schlussfolgerungen gezogen und eine Bewertung der Gegenstände der Kritik vorgenommen werden. Es ist besonders charakteristisch für Forscher und Wissenschaftler aller Wissenschaftszweige. Kritisches Denken nimmt eine höhere Ebene ein als gewöhnliches Denken.

Der Wert der Erfahrung bei der Bildung kritischen Denkens

Es ist schwierig zu analysieren und Schlussfolgerungen darüber zu ziehen, was Sie nicht gut verstehen. Um kritisch denken zu lernen, ist es daher notwendig, Objekte in allen möglichen Verbindungen und Beziehungen zu anderen Phänomenen zu untersuchen. Von großer Bedeutung ist in diesem Fall auch der Besitz von Informationen über solche Objekte, die Fähigkeit, logische Urteilsketten aufzubauen und vernünftige Schlussfolgerungen zu ziehen.

Zum Beispiel kann man den Wert eines Kunstwerks nur beurteilen, wenn man eine ganze Reihe anderer Früchte literarischer Tätigkeit kennt. Gleichzeitig ist es nicht schlecht, ein Experte für die Geschichte der menschlichen Entwicklung, die Entstehung von Literatur und Literaturkritik zu sein. Losgelöst vom historischen Kontext kann das Werk seine Bedeutung verlieren. Damit die Bewertung eines Kunstwerks ausreichend vollständig und begründet ist, ist es auch notwendig, Ihre literarischen Kenntnisse zu nutzen, die die Regeln für den Aufbau eines literarischen Textes innerhalb einzelner Gattungen, ein System verschiedener literarischer Mittel, Klassifizierung und Analyse umfassen bestehender Stilrichtungen und Strömungen in der Literatur etc. Gleichzeitig ist es auch wichtig, die innere Logik der Handlung, die Abfolge von Handlungen, die Platzierung und Interaktion von Charakteren in einem Kunstwerk zu studieren.

Merkmale des kritischen Denkens

Weitere Merkmale des kritischen Denkens sind:
- Wissen über das untersuchte Objekt ist nur der Ausgangspunkt für weitere Gehirnaktivitäten im Zusammenhang mit dem Aufbau logischer Ketten;
- eine konsequent aufgebaute und auf gesundem Menschenverstand basierende Argumentation führt zur Identifizierung wahrer und falscher Informationen über das untersuchte Objekt;
- Kritisches Denken ist immer mit einer Bewertung der verfügbaren Informationen zu einem bestimmten Objekt und den entsprechenden Schlussfolgerungen verbunden, während die Bewertung wiederum mit vorhandenen Fähigkeiten verbunden ist.

Anders als gewöhnliches Denken unterliegt kritisches Denken keinem blinden Glauben. Kritisches Denken ermöglicht es, ein ganzes System von Urteilen über den Gegenstand der Kritik zu verwenden, um sein Wesen zu verstehen, wahres Wissen darüber zu enthüllen und falsches zu widerlegen. Es basiert auf Logik, Tiefe und Vollständigkeit des Studiums, Wahrhaftigkeit, Angemessenheit und Konsistenz der Urteile. Gleichzeitig werden offensichtliche und bewiesene Aussagen als Postulate akzeptiert und bedürfen keiner erneuten Prüfung und Bewertung.