Die Definition einer Zahlenfolge ist gegeben. Beispiele für unendlich ansteigende, konvergente und divergente Folgen werden betrachtet. Betrachtet wird eine Folge, die alle rationalen Zahlen enthält.

Inhalt

Siehe auch:

Definition

Numerische Folge ( x n )- Dies ist das Gesetz (Regel), nach dem für jede natürliche Zahl n = 1, 2, 3, . . . eine Zahl x n wird zugewiesen.
Das Element x n heißt das n-te Glied oder Element der Folge.

Die Sequenz wird als n-tes Mitglied bezeichnet, das in geschweiften Klammern eingeschlossen ist: . Folgende Bezeichnungen sind ebenfalls möglich: . Sie sagen ausdrücklich, dass der Index n zur Menge der natürlichen Zahlen gehört und dass die Folge selbst unendlich viele Mitglieder hat. Hier sind einige Beispiele für Sequenzen:
, , .

Mit anderen Worten, eine Zahlenfolge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist. Die Anzahl der Elemente in der Folge ist unendlich. Unter den Elementen kann es auch Glieder geben, die den gleichen Wert haben. Die Folge kann auch als eine nummerierte Menge von Zahlen betrachtet werden, die aus einer unendlichen Anzahl von Mitgliedern besteht.

Uns interessiert vor allem die Frage, wie sich Folgen verhalten, wenn n gegen unendlich geht: . Dieses Material wird im Abschnitt Folgengrenze - Grundlegende Sätze und Eigenschaften vorgestellt. Und hier sehen wir uns einige Beispiele für Sequenzen an.

Sequenzbeispiele

Beispiele für unendlich ansteigende Folgen

Betrachten wir eine Sequenz. Der allgemeine Begriff dieser Sequenz ist . Lassen Sie uns die ersten paar Begriffe ausschreiben:
.
Es ist ersichtlich, dass mit wachsender Zahl n die Elemente unendlich zu positiven Werten hin zunehmen. Wir können sagen, dass diese Sequenz dazu tendiert: at .

Betrachten Sie nun eine Folge mit einem gemeinsamen Term . Hier sind einige der ersten Mitglieder:
.
Mit wachsender Zahl n nehmen die Elemente dieser Folge im Betrag unendlich zu, haben aber kein konstantes Vorzeichen. Das heißt, diese Sequenz tendiert zu : at .

Beispiele für Folgen, die gegen eine endliche Zahl konvergieren

Betrachten wir eine Sequenz. Sein gemeinsames Mitglied Die ersten Terme lauten wie folgt:
.
Es ist ersichtlich, dass sich die Elemente dieser Folge mit wachsender Zahl n ihrem Grenzwert a nähern = 0 : bei . Jeder nachfolgende Term ist also näher an Null als der vorherige. In gewissem Sinne können wir davon ausgehen, dass es einen Näherungswert für die Zahl a gibt = 0 mit einem Fehler. Es ist klar, dass dieser Fehler mit zunehmendem n gegen Null geht, dh durch Wahl von n kann der Fehler beliebig klein gemacht werden. Außerdem gilt für jeden gegebenen Fehler ε > 0 es ist möglich, eine solche Zahl N anzugeben, dass für alle Elemente mit Zahlen größer als N : die Abweichung der Zahl vom Grenzwert a den Fehler ε : nicht überschreitet.

Betrachten Sie als Nächstes die Reihenfolge. Sein gemeinsames Mitglied Hier sind einige der ersten Mitglieder:
.
In dieser Sequenz sind geradzahlige Terme Null. Mitglieder mit ungeradem n sind . Daher nähern sich ihre Werte mit wachsendem n dem Grenzwert a = 0 . Dies folgt auch daraus, dass
.
Wie im vorigen Beispiel können wir einen beliebig kleinen Fehler ε angeben > 0 , für die es möglich ist, eine solche Zahl N zu finden, dass Elemente mit Zahlen größer als N vom Grenzwert a abweichen = 0 um einen Wert, der den angegebenen Fehler nicht überschreitet. Daher konvergiert diese Folge gegen den Wert a = 0 : bei .

Beispiele für divergierende Sequenzen

Betrachten Sie eine Sequenz mit dem folgenden gemeinsamen Begriff:

Hier sind die ersten Mitglieder:


.
Es ist ersichtlich, dass die Terme mit geraden Zahlen:
,
konvergieren gegen den Wert a 1 = 0 . Mitglieder mit ungeraden Nummern:
,
konvergieren gegen den Wert a 2 = 2 . Die Folge selbst konvergiert mit wachsendem n zu keinem Wert.

Folge mit im Intervall (0;1) verteilten Termen

Betrachten Sie nun eine interessantere Sequenz. Nimm ein Segment auf dem Zahlenstrahl. Teilen wir es in zwei Hälften. Wir bekommen zwei Segmente. Lassen
.
Jedes der Segmente wird wiederum in zwei Hälften geteilt. Wir erhalten vier Segmente. Lassen
.
Teilen Sie jedes Segment erneut in zwei Hälften. Lass uns nehmen


.
Usw.

Als Ergebnis erhalten wir eine Folge, deren Elemente in einem offenen Intervall verteilt sind (0; 1) . Welchen Punkt auch immer wir aus dem geschlossenen Intervall nehmen , können wir immer Glieder der Folge finden, die beliebig nahe an diesem Punkt liegen oder mit ihm zusammenfallen.

Dann kann man aus der ursprünglichen Folge eine Teilfolge herausgreifen, die zu einem beliebigen Punkt aus dem Intervall konvergiert . Das heißt, wenn die Zahl n wächst, werden die Mitglieder der Unterfolge dem vorgewählten Punkt immer näher kommen.

Zum Beispiel für Punkt a = 0 Sie können die folgende Teilsequenz wählen:
.
= 0 .

Für Punkt a = 1 Wählen Sie die folgende Teilsequenz:
.
Die Mitglieder dieser Teilfolge konvergieren gegen den Wert a = 1 .

Da es Teilfolgen gibt, die zu unterschiedlichen Werten konvergieren, konvergiert die ursprüngliche Folge selbst zu keiner Zahl.

Folge, die alle rationalen Zahlen enthält

Lassen Sie uns nun eine Folge konstruieren, die alle rationalen Zahlen enthält. Darüber hinaus wird jede rationale Zahl unendlich oft in einer solchen Folge enthalten sein.

Die rationale Zahl r lässt sich wie folgt darstellen:
,
wo ist eine ganze Zahl; - natürlich.
Wir müssen jeder natürlichen Zahl n ein Zahlenpaar p und q zuordnen, damit jedes Paar aus p und q in unserer Folge enthalten ist.

Zeichnen Sie dazu die Achsen p und q in die Ebene. Wir zeichnen Gitterlinien durch ganzzahlige Werte p und q . Dann entspricht jeder Knoten dieses Gitters einer rationalen Zahl. Die gesamte Menge rationaler Zahlen wird durch eine Menge von Knoten dargestellt. Wir müssen einen Weg finden, alle Knoten zu nummerieren, damit wir keinen einzigen Knoten übersehen. Das geht ganz einfach, wenn wir die Knoten nach den Quadraten nummerieren, deren Mittelpunkte auf dem Punkt liegen (0; 0) (siehe Bild). In diesem Fall sind die unteren Teile der Quadrate mit q < 1 brauchen wir nicht. Daher sind sie in der Figur nicht gezeigt.

Für die obere Seite des ersten Quadrats gilt also:
.
Als nächstes nummerieren wir den oberen Teil des nächsten Quadrats:

.
Wir nummerieren den oberen Teil des nächsten Quadrats:

.
Usw.

Auf diese Weise erhalten wir eine Folge, die alle rationalen Zahlen enthält. Es ist ersichtlich, dass jede rationale Zahl unendlich oft in dieser Folge vorkommt. Tatsächlich enthält diese Sequenz zusammen mit dem Knoten auch Knoten , wobei eine natürliche Zahl ist. Aber alle diese Knoten entsprechen der gleichen rationalen Zahl.

Dann können wir aus der konstruierten Folge eine Teilfolge (mit einer unendlichen Anzahl von Elementen) auswählen, deren alle Elemente gleich einer vorbestimmten rationalen Zahl sind. Da die Folge, die wir konstruiert haben, Teilfolgen hat, die zu verschiedenen Zahlen konvergieren, konvergiert die Folge zu keiner Zahl.

Fazit

Hier haben wir eine genaue Definition der Zahlenfolge gegeben. Wir haben auch die Frage seiner Konvergenz auf der Grundlage intuitiver Ideen berührt. Die genaue Definition der Konvergenz wird auf der Seite Bestimmung des Grenzwerts einer Folge diskutiert. Verwandte Eigenschaften und Theoreme werden auf der Seite Sequenzlimit - Grundlegende Theoreme und Eigenschaften beschrieben.

Siehe auch:

Lassen X (\ displaystyle X) ist entweder die Menge der reellen Zahlen R (\displaystyle \mathbb (R)), oder die Menge der komplexen Zahlen C (\displaystyle \mathbb (C)). Dann die Reihenfolge ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) Elemente setzen X (\ displaystyle X) genannt Zahlenfolge.

Beispiele

Operationen auf Sequenzen

Untersequenzen

Folge Sequenzen (xn) (\displaystyle (x_(n))) ist die Folge (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), wo (nk) (\displaystyle (n_(k))) ist eine aufsteigende Folge von Elementen der Menge der natürlichen Zahlen.

Mit anderen Worten, eine Teilfolge wird aus einer Folge erhalten, indem eine endliche oder abzählbare Anzahl von Elementen entfernt wird.

Beispiele

• Die Folge der Primzahlen ist eine Teilfolge der Folge der natürlichen Zahlen.
• Die Folge der natürlichen Zahlen, die Vielfache von sind, ist eine Teilfolge der Folge der geraden natürlichen Zahlen.

Eigenschaften

Grenzpunkt der Sequenz ist ein Punkt in irgendeiner Umgebung, von dem es unendlich viele Elemente dieser Folge gibt. Bei konvergenten Zahlenfolgen fällt der Grenzwertpunkt mit dem Grenzwert zusammen.

Sequenzlimit

Sequenzlimit ist das Objekt, dem sich die Mitglieder der Folge mit zunehmender Zahl nähern. In einem beliebigen topologischen Raum ist der Grenzwert einer Folge also ein Element, in dessen Nachbarschaft alle Mitglieder der Folge liegen, beginnend bei einem. Insbesondere bei numerischen Folgen ist der Grenzwert eine Zahl, in deren Nachbarschaft alle Mitglieder der Folge liegen, beginnend bei einer Eins.

Grundlegende Sequenzen

Grundlegende Reihenfolge (selbstkonvergierende Folge , Cauchy-Folge ) ist eine Folge von Elementen eines metrischen Raums , in dem es für jeden vorgegebenen Abstand ein solches Element gibt, dessen Abstand zu einem der ihm folgenden Elemente den gegebenen nicht überschreitet. Für numerische Folgen sind die Konzepte von fundamentalen und konvergenten Folgen äquivalent, aber im allgemeinen Fall ist dies nicht der Fall.

Mathematik ist die Wissenschaft, die die Welt baut. Sowohl der Wissenschaftler als auch der Normalbürger - niemand kann darauf verzichten. Erst wird kleinen Kindern das Zählen beigebracht, dann addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren, ab der Mittelstufe kommen Buchstabenbezeichnungen ins Spiel, bei den älteren sind sie nicht mehr wegzudenken.

Aber heute werden wir darüber sprechen, worauf alle bekannte Mathematik basiert. Über die Zahlengemeinschaft namens "Folgegrenzen".

Was sind Sequenzen und wo ist ihre Grenze?

Die Bedeutung des Wortes "Sequenz" ist nicht schwer zu interpretieren. Das ist so eine Konstruktion von Dingen, wo sich jemand oder etwas in einer bestimmten Reihenfolge oder Warteschlange befindet. Beispielsweise ist die Warteschlange für Eintrittskarten für den Zoo eine Sequenz. Und es kann nur einen geben! Wenn Sie sich beispielsweise die Warteschlange zum Laden ansehen, ist dies eine Sequenz. Und wenn eine Person plötzlich diese Warteschlange verlässt, dann ist dies eine andere Warteschlange, eine andere Reihenfolge.

Das Wort "Grenze" ist auch leicht zu interpretieren - das ist das Ende von etwas. In der Mathematik sind die Grenzen von Folgen jedoch diejenigen Werte auf dem Zahlenstrahl, zu denen eine Zahlenfolge tendiert. Warum strebt und endet nicht? Es ist ganz einfach, der Zahlenstrahl hat kein Ende, und die meisten Folgen, wie Strahlen, haben nur einen Anfang und sehen so aus:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Daher ist die Definition einer Folge eine Funktion des natürlichen Arguments. Einfacher ausgedrückt handelt es sich um eine Reihe von Mitgliedern einer Menge.

Wie ist eine Zahlenfolge aufgebaut?

Das einfachste Beispiel einer Zahlenfolge könnte so aussehen: 1, 2, 3, 4, …n…

In den meisten Fällen werden Folgen aus praktischen Gründen aus Zahlen aufgebaut, und jedes nächste Glied der Reihe, nennen wir es mit X, hat seinen eigenen Namen. Zum Beispiel:

x 1 - das erste Mitglied der Sequenz;

x 2 - das zweite Mitglied der Sequenz;

x 3 - das dritte Mitglied;

x n ist das n-te Mitglied.

Bei praktischen Verfahren wird die Sequenz durch eine allgemeine Formel angegeben, in der es eine Variable gibt. Zum Beispiel:

X n \u003d 3n, dann sieht die Zahlenreihe selbst so aus:

Denken Sie daran, dass Sie in der allgemeinen Notation von Sequenzen alle lateinischen Buchstaben und nicht nur X verwenden können. Zum Beispiel: y, z, k usw.

Arithmetische Progression als Teil von Sequenzen

Bevor man nach den Grenzen von Folgen sucht, ist es ratsam, sich eingehender mit dem eigentlichen Konzept einer solchen Zahlenreihe zu befassen, die jedermann begegnete, als er in der Mittelschicht lebte. Eine arithmetische Folge ist eine Reihe von Zahlen, bei denen die Differenz zwischen benachbarten Gliedern konstant ist.

Aufgabe: „Lassen Sie a 1 \u003d 15 und den Schritt der Progression der Zahlenreihe d \u003d 4. Baue die ersten 4 Mitglieder dieser Reihe"

Lösung: a 1 = 15 (durch Bedingung) ist das erste Glied der Progression (Zahlenreihe).

und 2 = 15 + 4 = 19 ist das zweite Mitglied der Progression.

und 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 ist der dritte Term.

und 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 ist der vierte Term.

Allerdings ist es mit dieser Methode schwierig, große Werte zu erreichen, beispielsweise bis zu 125. . Speziell für solche Fälle wurde eine für die Praxis geeignete Formel abgeleitet: a n \u003d a 1 + d (n-1). In diesem Fall 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Sequenztypen

Die meisten Sequenzen sind endlos, es lohnt sich, sich ein Leben lang daran zu erinnern. Es gibt zwei interessante Arten von Zahlenreihen. Die erste ist durch die Formel a n = (–1) n gegeben. Mathematiker beziehen sich oft auf diese Flasher-Sequenzen. Wieso den? Lassen Sie uns seine Zahlen überprüfen.

1, 1, -1 , 1, -1, 1 usw. An diesem Beispiel wird deutlich, dass sich Zahlen in Folge leicht wiederholen können.

Fakultätsfolge. Es ist leicht zu erraten, dass es in der Formel, die die Folge definiert, eine Fakultät gibt. Zum Beispiel: und n = (n+1)!

Dann sieht die Reihenfolge so aus:

und 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

und 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 usw.

Eine durch eine arithmetische Folge gegebene Folge heißt unendlich fallend, wenn für alle ihre Glieder die Ungleichung -1 gilt

und 3 \u003d - 1/8 usw.

Es gibt sogar eine Folge, die aus der gleichen Nummer besteht. Also, und n \u003d 6 besteht aus unendlich vielen Sechsen.

Bestimmen des Limits einer Sequenz

In der Mathematik gibt es seit langem Folgengrenzen. Natürlich verdienen sie ein eigenes kompetentes Design. Zeit also, die Definition von Sequenzgrenzen zu lernen. Betrachten Sie zunächst den Grenzwert für eine lineare Funktion im Detail:

1. Alle Grenzen werden mit lim abgekürzt.
2. Der Grenzwerteintrag besteht aus dem Kürzel lim, einer Variablen, die gegen eine bestimmte Zahl, Null oder Unendlich tendiert, sowie der Funktion selbst.

Es ist leicht zu verstehen, dass die Definition des Grenzwerts einer Folge wie folgt formuliert werden kann: Es ist eine bestimmte Zahl, an die sich alle Glieder der Folge unendlich annähern. Einfaches Beispiel: und x = 4x+1. Dann sieht die Sequenz selbst so aus.

5, 9, 13, 17, 21 … x …

Somit wird diese Folge unendlich zunehmen, was bedeutet, dass ihre Grenze für x→∞ gleich unendlich ist, und dies sollte wie folgt geschrieben werden:

Wenn wir eine ähnliche Folge nehmen, aber x gegen 1 tendiert, erhalten wir:

Und die Zahlenreihe wird so aussehen: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 usw. Jedes Mal müssen Sie die Zahl immer näher an eins ersetzen (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Aus dieser Reihe ist ersichtlich, dass die Grenze der Funktion fünf ist.

In diesem Teil ist es wichtig, sich daran zu erinnern, was die Grenze einer Zahlenfolge ist, die Definition und Methode zum Lösen einfacher Aufgaben.

Allgemeine Notation für den Grenzwert von Folgen

Nachdem wir den Grenzwert der Zahlenfolge, ihre Definition und Beispiele analysiert haben, können wir zu einem komplexeren Thema übergehen. Absolut alle Grenzen von Sequenzen lassen sich durch eine Formel formulieren, die in der Regel im ersten Semester analysiert wird.

Also, was bedeutet dieser Satz von Buchstaben, Modulen und Ungleichheitszeichen?

∀ ist ein universeller Quantifizierer und ersetzt die Ausdrücke „für alle“, „für alles“ usw.

∃ ist ein Existenzquantor, in diesem Fall bedeutet dies, dass es einen Wert N gibt, der zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Ein langer vertikaler Stab nach N bedeutet, dass die gegebene Menge N "so dass" ist. In der Praxis kann es "so dass", "so dass" usw. bedeuten.

Um das Material zu festigen, lesen Sie die Formel laut vor.

Unsicherheit und Gewissheit der Grenze

Das oben diskutierte Verfahren zum Finden des Grenzwerts von Folgen ist zwar einfach anzuwenden, aber in der Praxis nicht so rational. Versuchen Sie, die Grenze für diese Funktion zu finden:

Wenn wir verschiedene x-Werte einsetzen (jedes Mal steigend: 10, 100, 1000 usw.), dann erhalten wir ∞ im Zähler, aber auch ∞ im Nenner. Es stellt sich ein ziemlich seltsamer Bruch heraus:

Aber ist es wirklich so? Die Berechnung des Grenzwerts der Zahlenfolge scheint in diesem Fall einfach genug. Es wäre möglich, alles so zu lassen, wie es ist, weil die Antwort fertig ist und zu vernünftigen Bedingungen erhalten wurde, aber es gibt speziell für solche Fälle einen anderen Weg.

Lassen Sie uns zuerst den höchsten Grad im Zähler des Bruchs finden - das ist 1, da x als x 1 dargestellt werden kann.

Lassen Sie uns nun den höchsten Grad im Nenner finden. Auch 1.

Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die Variable bis zum höchsten Grad. In diesem Fall teilen wir den Bruch durch x 1.

Lassen Sie uns als Nächstes herausfinden, zu welchem ​​Wert jeder Term tendiert, der die Variable enthält. In diesem Fall werden Brüche berücksichtigt. Für x→∞ tendiert der Wert jedes Bruchteils gegen Null. Bei der Erstellung einer schriftlichen Arbeit lohnt es sich, die folgenden Fußnoten zu machen:

Man erhält folgenden Ausdruck:

Natürlich wurden die x enthaltenden Brüche nicht zu Nullen! Ihr Wert ist jedoch so gering, dass es durchaus zulässig ist, ihn bei den Berechnungen nicht zu berücksichtigen. Tatsächlich wird x in diesem Fall niemals gleich 0 sein, da Sie nicht durch Null teilen können.

Was ist eine Nachbarschaft?

Nehmen wir an, der Professor verfüge über eine komplexe Folge, die offensichtlich durch eine nicht weniger komplexe Formel gegeben ist. Der Professor hat die Antwort gefunden, aber passt sie? Schließlich machen alle Menschen Fehler.

Auguste Cauchy hat einen großartigen Weg gefunden, um die Grenzen von Folgen zu beweisen. Seine Methode hieß Nachbarschaftsoperation.

Angenommen, es gibt einen Punkt a, dessen Nachbarschaft in beiden Richtungen auf der reellen Linie gleich ε ("Epsilon") ist. Da die letzte Variable der Abstand ist, ist ihr Wert immer positiv.

Setzen wir nun eine Folge x n und nehmen an, dass das zehnte Glied der Folge (x 10) in der Nachbarschaft von a enthalten ist. Wie schreibt man diese Tatsache in mathematischer Sprache?

Angenommen, x 10 liegt rechts von Punkt a, dann ist der Abstand x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Jetzt ist es an der Zeit, die oben erwähnte Formel in der Praxis zu erklären. Es ist fair, eine bestimmte Zahl als Endpunkt einer Folge zu bezeichnen, wenn die Ungleichung ε > 0 für eine ihrer Grenzen gilt und die gesamte Nachbarschaft ihre eigene natürliche Zahl N hat, so dass alle Mitglieder der Folge mit höheren Zahlen dies tun innerhalb der Folge |x n - a| sein< ε.

Mit diesem Wissen ist es einfach, die Grenzen einer Folge zu lösen, eine fertige Antwort zu beweisen oder zu widerlegen.

Sätze

Sätze über die Grenzen von Folgen sind ein wichtiger Bestandteil der Theorie, ohne die die Praxis nicht möglich ist. Es gibt nur vier Haupttheoreme, wenn Sie sich daran erinnern, dass Sie den Prozess des Lösens oder Beweisens erheblich erleichtern können:

1. Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Folge. Jede Folge kann nur einen Grenzwert haben oder gar keinen. Dasselbe Beispiel mit einer Warteschlange, die nur ein Ende haben kann.
2. Wenn eine Reihe von Zahlen eine Grenze hat, dann ist die Folge dieser Zahlen begrenzt.
3. Der Grenzwert der Summe (Differenz, Produkt) von Folgen ist gleich der Summe (Differenz, Produkt) ihrer Grenzwerte.
4. Der Quotient Grenzwert zweier Folgen ist genau dann gleich dem Quotient der Grenzwerte, wenn der Nenner nicht verschwindet.

Sequenzbeweis

Manchmal ist es erforderlich, ein inverses Problem zu lösen, um einen gegebenen Grenzwert einer Zahlenfolge zu beweisen. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beweisen Sie, dass der Grenzwert der durch die Formel gegebenen Folge gleich Null ist.

Nach obiger Regel gilt für jede Folge die Ungleichung |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Lassen Sie uns n in Form von „Epsilon“ ausdrücken, um die Existenz einer bestimmten Zahl zu zeigen und die Existenz einer Folgengrenze zu beweisen.

An dieser Stelle ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass „epsilon“ und „en“ positive Zahlen und nicht gleich Null sind. Jetzt können Sie weitere Transformationen mit dem in der High School erworbenen Wissen über Ungleichheiten fortsetzen.

Daraus ergibt sich, dass n > -3 + 1/ε. Da es sich hier um natürliche Zahlen handelt, kann das Ergebnis gerundet werden, indem man es in eckige Klammern setzt. Somit wurde bewiesen, dass für jeden Wert der „Epsilon“-Nachbarschaft des Punktes a = 0 ein Wert gefunden wurde, so dass die anfängliche Ungleichung erfüllt ist. Daraus können wir mit Sicherheit behaupten, dass die Zahl a der Grenzwert der gegebenen Folge ist. Q.E.D.

Mit einer so bequemen Methode können Sie die Grenze einer Zahlenfolge beweisen, egal wie kompliziert es auf den ersten Blick erscheinen mag. Die Hauptsache ist, beim Anblick der Aufgabe nicht in Panik zu geraten.

Oder gibt es ihn vielleicht gar nicht?

Das Vorhandensein einer Sequenzgrenze ist in der Praxis nicht erforderlich. Es ist leicht, solche Zahlenreihen zu finden, die wirklich kein Ende haben. Zum Beispiel der gleiche Blinker x n = (-1) n . Es ist offensichtlich, dass eine Folge, die nur aus zwei sich zyklisch wiederholenden Ziffern besteht, keine Grenze haben kann.

Die gleiche Geschichte wiederholt sich mit Folgen, die aus einer einzigen Zahl bestehen, Bruchzahlen, die im Laufe der Berechnungen eine Unsicherheit beliebiger Ordnung aufweisen (0/0, ∞/∞, ∞/0 usw.). Es ist jedoch zu bedenken, dass auch eine fehlerhafte Berechnung stattfindet. Manchmal hilft Ihnen das erneute Überprüfen Ihrer eigenen Lösung, die Grenze der Sukzessionen zu finden.

monotone Folge

Oben haben wir mehrere Beispiele für Sequenzen und Methoden zu ihrer Lösung betrachtet, und jetzt wollen wir versuchen, einen spezifischeren Fall zu nehmen und ihn eine "monotone Sequenz" zu nennen.

Definition: Es ist fair, jede Folge als monoton steigend zu bezeichnen, wenn sie die strikte Ungleichung x n erfüllt< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Neben diesen beiden Bedingungen gibt es auch ähnliche nicht strenge Ungleichungen. Dementsprechend ist x n ≤ x n +1 (nicht abfallende Folge) und x n ≥ x n +1 (nicht ansteigende Folge).

Aber es ist einfacher, dies anhand von Beispielen zu verstehen.

Die durch die Formel x n \u003d 2 + n gegebene Folge bildet die folgende Zahlenreihe: 4, 5, 6 usw. Dies ist eine monoton ansteigende Folge.

Und wenn wir x n \u003d 1 / n nehmen, erhalten wir eine Reihe: 1/3, ¼, 1/5 usw. Dies ist eine monoton abnehmende Folge.

Grenzwert der konvergenten und beschränkten Folge

Eine beschränkte Folge ist eine Folge, die einen Grenzwert hat. Eine konvergente Folge ist eine Reihe von Zahlen, die einen infinitesimalen Grenzwert hat.

Somit ist der Grenzwert einer beschränkten Folge eine beliebige reelle oder komplexe Zahl. Denken Sie daran, dass es nur eine Grenze geben kann.

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eine infinitesimale Größe (reell oder komplex). Wenn Sie ein Sequenzdiagramm zeichnen, wird es an einem bestimmten Punkt sozusagen konvergieren und dazu neigen, sich in einen bestimmten Wert zu verwandeln. Daher der Name - konvergente Folge.

Grenze der monotonen Folge

Eine solche Sequenz kann eine Grenze haben oder nicht. Erstens ist es nützlich zu verstehen, wann dies der Fall ist. Von hier aus können Sie beginnen, wenn Sie das Fehlen einer Grenze beweisen.

Unter monotonen Folgen werden konvergente und divergente unterschieden. Konvergent - Dies ist eine Folge, die durch die Menge x gebildet wird und in dieser Menge eine reelle oder komplexe Grenze hat. Divergent – ​​eine Folge, die keine Begrenzung in ihrer Menge hat (weder reell noch komplex).

Außerdem konvergiert die Folge, wenn ihre Ober- und Untergrenzen in einer geometrischen Darstellung konvergieren.

Der Grenzwert einer konvergenten Folge kann in vielen Fällen gleich Null sein, da jede infinitesimale Folge einen bekannten Grenzwert (Null) hat.

Welche konvergente Folge Sie auch nehmen, sie sind alle begrenzt, aber bei weitem nicht alle begrenzten Folgen konvergieren.

Die Summe, die Differenz, das Produkt zweier konvergenter Folgen ist auch eine konvergente Folge. Der Quotient kann aber auch konvergieren, wenn er definiert ist!

Verschiedene Aktionen mit Limits

Grenzwerte von Sequenzen haben (in den meisten Fällen) den gleichen signifikanten Wert wie Zahlen und Zahlen: 1, 2, 15, 24, 362 usw. Es stellt sich heraus, dass einige Operationen mit Grenzwerten ausgeführt werden können.

Erstens können die Grenzen jeder Sequenz, genau wie Ziffern und Zahlen, addiert und subtrahiert werden. Basierend auf dem dritten Satz über die Grenzwerte von Folgen gilt die folgende Gleichheit: Der Grenzwert der Summe von Folgen ist gleich der Summe ihrer Grenzwerte.

Zweitens gilt aufgrund des vierten Satzes über die Grenzen von Folgen die folgende Gleichheit: Der Grenzwert des Produkts der n-ten Anzahl von Folgen ist gleich dem Produkt ihrer Grenzen. Dasselbe gilt für die Division: Der Grenzwert des Quotienten zweier Folgen ist gleich dem Quotienten ihrer Grenzwerte, sofern der Grenzwert nicht gleich Null ist. Wenn die Grenze der Folgen gleich Null ist, ergibt sich schließlich eine Division durch Null, was unmöglich ist.

Eigenschaften von Sequenzwerten

Es scheint, dass die Grenze der Zahlenfolge bereits ausführlich analysiert wurde, aber Ausdrücke wie „unendlich kleine“ und „unendlich große“ Zahlen werden mehr als einmal erwähnt. Offensichtlich, wenn es eine Folge 1/x gibt, wo x→∞, dann ist ein solcher Bruch unendlich klein, und wenn die gleiche Folge, aber der Grenzwert gegen Null geht (x→0), dann wird der Bruch ein unendlich großer Wert . Und solche Werte haben ihre eigenen Eigenschaften. Die Eigenschaften der Grenze einer Folge mit beliebigen kleinen oder großen Werten sind wie folgt:

1. Auch die Summe beliebig vieler beliebig kleiner Mengen wird eine kleine Menge sein.
2. Die Summe beliebig vieler großer Werte wird ein unendlich großer Wert sein.
3. Das Produkt beliebig kleiner Mengen ist unendlich klein.
4. Das Produkt beliebig großer Zahlen ist eine unendlich große Menge.
5. Wenn die ursprüngliche Folge gegen eine unendliche Zahl tendiert, dann wird der Kehrwert davon infinitesimal sein und gegen Null gehen.

Tatsächlich ist die Berechnung des Grenzwerts einer Folge keine so schwierige Aufgabe, wenn Sie einen einfachen Algorithmus kennen. Aber die Grenzen von Sequenzen sind ein Thema, das höchste Aufmerksamkeit und Ausdauer erfordert. Natürlich reicht es aus, einfach die Essenz der Lösung solcher Ausdrücke zu erfassen. Klein anfangen, im Laufe der Zeit können Sie große Höhen erreichen.

Numerische Folge heißt eine numerische Funktion, die auf der Menge der natürlichen Zahlen definiert ist .

Wenn die Funktion auf der Menge der natürlichen Zahlen gegeben ist
, dann ist die Wertemenge der Funktion zählbar und jede Zahl
Nummer passt
. In diesem Fall sagen wir das gegeben Zahlenfolge. Nummern werden angerufen Elemente oder Mitglieder einer Sequenz, und die Nummer - allgemein oder -tes Glied der Folge. Jedes Element hat einen Anhänger
. Dies erklärt die Verwendung des Begriffs "Sequenz".

Die Sequenz wird normalerweise entweder durch Auflisten ihrer Elemente oder durch Angabe des Gesetzes angegeben, nach dem das Element mit der Nummer berechnet wird , d.h. Angabe der Formel Mitglied .

Beispiel.Folge
kann durch die Formel gegeben werden:
.

Gewöhnlich werden Sequenzen wie folgt bezeichnet: etc., wobei die Formel von its Mitglied.

Beispiel.Folge
‑das ist die Reihenfolge

Die Menge aller Elemente einer Folge
bezeichnet
.

Lassen
und
- zwei Sequenzen.

AUS umma Sequenzen
und
Rufen Sie die Sequenz auf
, wo
, d.h.

R Aznosti dieser Sequenzen wird als Sequenz bezeichnet
, wo
, d.h.

Wenn ein und ‑ Konstanten, dann die Sequenz
,
genannt lineare Kombination Sequenzen
und
, d.h.

Arbeit Sequenzen
und
Rufen Sie die Sequenz auf -tes Mitglied
, d.h.
.

Wenn ein
, dann ist es möglich, zu bestimmen Privatgelände
.

Summe, Differenz, Produkt und Quotient von Folgen
und
Sie heißen algebraischKompositionen.

Beispiel.Betrachten Sie die Sequenzen
und
, wo. Dann
, d.h. Folge
hat alle Elemente gleich Null.

,
, d.h. alle Elemente des Produkts und des Quotienten sind gleich
.

Wenn wir einige Elemente der Sequenz streichen
so dass unendlich viele Elemente übrig bleiben, dann erhalten wir eine weitere Folge, genannt Folge Sequenzen
. Wenn wir die ersten paar Elemente der Sequenz streichen
, dann wird die neue Sequenz aufgerufen Rest.

Folge
begrenztOben(von unten) wenn der Satz
von oben (von unten) begrenzt. Die Sequenz wird aufgerufen begrenzt wenn es nach oben und unten begrenzt ist. Eine Folge ist genau dann beschränkt, wenn einer ihrer Reste beschränkt ist.

Konvergierende Folgen

Sie sagen, dass Folge
konvergiert, wenn es eine Zahl gibt so dass für alle
es gibt solche
, was für alle
, gilt die folgende Ungleichung:
.

Nummer genannt Sequenzlimit
. Gleichzeitig nehmen sie auf
oder
.

Beispiel.
.

Lassen Sie uns das zeigen
. Stellen Sie eine beliebige Zahl ein
. Ungleichheit
durchgeführt für
, so dass
dass die Definition der Konvergenz für die Zahl gilt
. Meint,
.

Mit anderen Worten
bedeutet, dass alle Mitglieder der Sequenz
bei genügend großen Zahlen unterscheidet sich wenig von der Zahl , d.h. ab irgendeiner Zahl
(wann) die Elemente der Folge im Intervall liegen
, Was heisst -Nachbarschaft des Punktes .

Folge
, dessen Grenzwert gleich Null ist (
, oder
bei
) wird genannt unendlich klein.

Angewendet auf Infinitesimale sind die folgenden Aussagen wahr:

Die Summe von zwei Infinitesimalen ist Infinitesimal;

Das Produkt eines Infinitesimal durch einen begrenzten Wert ist ein Infinitesimal.

Satz .Zur Reihenfolge
hatte eine Grenze, es ist notwendig und ausreichend, dass
, wo - konstant; - unendlich klein .

Haupteigenschaften konvergenter Folgen:

Eigenschaften 3. und 4. verallgemeinern auf den Fall beliebig vieler konvergenter Folgen.

Beachten Sie, dass bei der Berechnung des Grenzwerts eines Bruchs, dessen Zähler und Nenner lineare Kombinationen von Potenzen sind , ist der Grenzwert des Bruchs gleich dem Grenzwert des Verhältnisses der höchsten Terme (d. h. der Terme mit den größten Potenzen). Zähler und Nenner).

Folge
genannt:

Alle diese Folgen werden aufgerufen eintönig.

Satz . Wenn die Reihenfolge
wächst monoton und wird von oben begrenzt, dann konvergiert sie und ihre Grenze ist gleich ihrer größten oberen Grenze; Wenn die Folge abnimmt und nach unten begrenzt ist, konvergiert sie gegen ihre größte untere Grenze.

Wenn eine Funktion auf der Menge der natürlichen Zahlen N definiert ist, wird eine solche Funktion als unendliche Zahlenfolge bezeichnet. Üblicherweise wird eine Zahlenfolge als (Xn) bezeichnet, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Die Zahlenfolge kann durch eine Formel angegeben werden. Zum Beispiel Xn=1/(2*n). Wir ordnen also jeder natürlichen Zahl n ein bestimmtes Element der Folge (Xn) zu.

Wenn wir nun nacheinander n gleich 1,2,3, …. nehmen, erhalten wir die Folge (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), ….

Sequenztypen

Die Sequenz kann begrenzt oder unbegrenzt, steigend oder fallend sein.

Die Sequenz (Xn) ruft auf begrenzt wenn es zwei Zahlen m und M gibt, so dass für jedes n, das zur Menge der natürlichen Zahlen gehört, die Gleichheit m gilt<=Xn

Folge (Xn), nicht limitiert, heißt unbeschränkte Folge.

zunehmend wenn für alle positiven ganzen Zahlen n folgende Gleichheit gilt: X(n+1) > Xn. Mit anderen Worten, jedes Mitglied der Sequenz, beginnend mit dem zweiten, muss größer sein als das vorherige Mitglied.

Die Folge (Xn) wird aufgerufen abnehmend, wenn für alle positiven ganzen Zahlen n folgende Gleichheit gilt X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Sequenzbeispiel

Prüfen wir, ob die Folgen 1/n und (n-1)/n abnehmen.

Wenn die Folge abnimmt, dann ist X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Also ist die Folge (n-1)/n zunehmend.