aus seiner Definition abgeleitet. Und damit der Logarithmus der Zahl b aus grund a definiert als der Exponent, zu dem eine Zahl erhöht werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung ax=b. Zum Beispiel, Protokoll 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das zu begründen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich mit. Es ist auch klar, dass das Thema des Logarithmus eng mit dem Thema der Potenz einer Zahl zusammenhängt.

Mit Logarithmen kannst du, wie mit allen Zahlen, durchführen Operationen der Addition, Subtraktion und auf jede erdenkliche Weise umwandeln. Aber in Anbetracht der Tatsache, dass Logarithmen keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gelten hier eigene Sonderregeln, die genannt werden Grundeigenschaften.

Addition und Subtraktion von Logarithmen.

Nimm zwei Logarithmen mit derselben Basis: Protokoll x und log a y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

log a x+ log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = Protokoll x 1 + Protokoll x 2 + Protokoll x 3 + ... + Log a x k.

Aus Quotienten-Logarithmus-Theoreme Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann erhalten werden. Es ist bekannt, dass log a 1 = 0, also

Protokoll a 1 /b= anmelden a 1 - Protokoll ein b= -log ein b.

Es gibt also eine Gleichheit:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmen zweier reziproker Zahlen auf der gleichen Basis unterscheiden sich nur im Vorzeichen. So:

Protokoll 3 9= - Protokoll 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logarithmische Ausdrücke, Lösung von Beispielen. In diesem Artikel werden wir Probleme im Zusammenhang mit der Lösung von Logarithmen betrachten. Die Aufgaben werfen die Frage auf, den Wert des Ausdrucks zu finden. Es sollte beachtet werden, dass das Konzept des Logarithmus in vielen Aufgaben verwendet wird und es äußerst wichtig ist, seine Bedeutung zu verstehen. Wie bei der USE wird der Logarithmus beim Lösen von Gleichungen, bei angewandten Problemen und auch bei Aufgaben im Zusammenhang mit dem Studium von Funktionen verwendet.

Hier sind Beispiele, um die eigentliche Bedeutung des Logarithmus zu verstehen:

Logarithmische Grundidentität:

Eigenschaften von Logarithmen, die Sie sich immer merken müssen:

*Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

* * *

* Der Logarithmus des Quotienten (Bruch) ist gleich der Differenz der Logarithmen der Faktoren.

* * *

* Der Logarithmus des Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis.

* * *

*Übergang zur neuen Basis

* * *

Weitere Eigenschaften:

* * *

Das Berechnen von Logarithmen ist eng mit der Verwendung der Eigenschaften von Exponenten verbunden.

Wir listen einige davon auf:

Die Essenz dieser Eigenschaft besteht darin, dass sich beim Übertragen des Zählers auf den Nenner und umgekehrt das Vorzeichen des Exponenten in das Gegenteil ändert. Zum Beispiel:

Folge dieser Eigenschaft:

* * *

Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis gleich, aber die Exponenten werden multipliziert.

* * *

Wie Sie sehen können, ist das eigentliche Konzept des Logarithmus einfach. Die Hauptsache ist, dass eine gute Übung erforderlich ist, die eine bestimmte Fähigkeit verleiht. Formelkenntnisse sind natürlich obligatorisch. Wenn die Fähigkeit, elementare Logarithmen umzuwandeln, nicht ausgebildet ist, kann man beim Lösen einfacher Aufgaben leicht einen Fehler machen.

Übe, löse zuerst die einfachsten Beispiele aus dem Mathekurs und gehe dann zu komplexeren über. In Zukunft werde ich auf jeden Fall zeigen, wie die „hässlichen“ Logarithmen gelöst werden, solche gibt es bei der Klausur nicht, aber sie sind interessant, nicht verpassen!

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh

P.S: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie in sozialen Netzwerken über die Website berichten.

Und der Logarithmus sind eng verwandt. Und in der Tat ist eine mathematische Notation der Definition Logarithmus. Lassen Sie uns im Detail analysieren, was ein Logarithmus ist, woher er kommt.

Betrachten Sie eine algebraische Aktion - die Berechnung des Exponenten X nach vorgegebenen spezifischen Werten Grad b und Stiftung a. Diese Aufgabe ist grundsätzlich Lösung der Gleichung ein x = b, wo a und b sind einige vorgegebene Werte, x - unbekannter Wert. Beachten Sie, dass es für dieses Problem nicht immer Lösungen gibt.

Wenn zum Beispiel in der Gleichung ein x = b Anzahla positiv, und die Zahl b Negativ, dann hat diese Gleichung keine Wurzeln. Aber wenn nur a und b positiv sind und a ≠ 1, dann hat sie sicherlich nur eine Eindeutigkeit Wurzel. Es ist eine ziemlich bekannte Tatsache, dass Exponentialfunktionsgraph y = ein x schneidet sich sicherlich mit gerade y = b und nur an einer stelle. Die Abszisse des Schnittpunktes und wird die Wurzel der Gleichung.

Zu benennen Wurzel der Gleichung ein x = b es ist üblich, log a b zu verwenden (wir sagen: der Logarithmus der Zahl b zur Basis a).

Logarithmus Zahlen b aus grund a Das Exponent, auf die Sie die Zahl erhöhen möchten a um die Nummer zu bekommen b und a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Basierend auf der Definition erhalten wir grundlegende logarithmische Identität :

Beispiele:

Folge grundlegende logarithmische Identität ist das Folgende Regel.

Aus der Gleichheit von zwei reelle Logarithmen wir bekommen die Gleichheit logarithmisch Ausdrücke.

In der Tat, wenn log a b = log a c, dann , wo, b = c.

Überlegen Sie, warum für logarithmische Identität Einschränkungen getroffen werden a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

Erste Bedingung a ≠ 1.

Es ist allgemein bekannt, dass die Einheit in jedem Grad Einheit sein, und die Gleichheit x = log a b kann nur für existieren b = 1, aber zur selben Zeit Protokoll 1 1 wird jeder sein reelle Zahl. Um diese Zweideutigkeit zu vermeiden, wird es akzeptiert a ≠ 1.

Begründen Sie die Notwendigkeit der Bedingung a > 0.

Beim a = 0 An Definition des Logarithmus kann nur existieren, wenn b = 0. Und deshalb dann Protokoll 0 0 kann alles andere als null sein reelle Zahl, da null hoch jede andere Potenz als null null ist. Um diese Mehrdeutigkeit zu verhindern, ist die Bedingung a ≠ 0. Und wann a< 0 wir müssten auf das Parsen verzichten rational und irrational Logarithmuswerte, da Grad mit rational und irrationaler Indikator nur aus positiven Gründen definiert. Aus diesem Grund ist die Bedingung a > 0.

Und die letzte Bedingung b > 0 ist eine Folge der Ungleichheit a > 0, da x = log a b und der Gradwert mit positiver Basis a immer positiv.

Eines der Elemente der primitiven Algebra ist der Logarithmus. Der Name kommt aus der griechischen Sprache von dem Wort „Zahl“ oder „Grad“ und bedeutet den Grad, um den es notwendig ist, die Zahl an der Basis zu erhöhen, um die endgültige Zahl zu finden.

Arten von Logarithmen

• log a b ist der Logarithmus der Zahl b zur Basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - dezimaler Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10, a = 10);
• ln b - natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, a = e).

Wie löst man Logarithmen?

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist ein Exponent, der erfordert, dass die Basis a zur Zahl b erhoben wird. Das Ergebnis wird so ausgesprochen: „Logarithmus von b zur Basis von a“. Die Lösung für logarithmische Probleme besteht darin, dass Sie den angegebenen Grad durch die Zahlen durch die angegebenen Zahlen bestimmen müssen. Es gibt einige Grundregeln, um den Logarithmus zu bestimmen oder zu lösen, sowie die Notation selbst umzuwandeln. Mit ihnen werden logarithmische Gleichungen gelöst, Ableitungen gefunden, Integrale gelöst und viele andere Operationen durchgeführt. Grundsätzlich ist die Lösung des Logarithmus selbst seine vereinfachte Notation. Nachfolgend sind die wichtigsten Formeln und Eigenschaften aufgeführt:

Für ein ; a > 0; a ≠ 1 und für jedes x ; y > 0.

• a log a b = b ist die grundlegende logarithmische Identität
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , für k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - Formel für den Übergang zu einer neuen Basis
• log a x = 1/log x a

Logarithmen lösen - Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Lösen

• Schreiben Sie zuerst die benötigte Gleichung auf.

Bitte beachten Sie: Wenn der Basislogarithmus 10 ist, wird der Datensatz gekürzt, es wird ein Dezimallogarithmus erhalten. Wenn es eine natürliche Zahl e gibt, schreiben wir sie auf und reduzieren sie auf einen natürlichen Logarithmus. Das bedeutet, dass das Ergebnis aller Logarithmen die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert wird, um die Zahl b zu erhalten.

Die Lösung liegt direkt in der Berechnung dieses Grades. Bevor ein Ausdruck mit einem Logarithmus gelöst wird, muss er gemäß der Regel vereinfacht werden, dh mit Formeln. Sie können die wichtigsten Identitäten finden, indem Sie im Artikel ein wenig zurückgehen.

Ersetzen Sie beim Addieren und Subtrahieren von Logarithmen mit zwei verschiedenen Zahlen, aber mit derselben Basis, durch einen einzelnen Logarithmus mit dem Produkt oder der Division der Zahlen b bzw. c. In diesem Fall können Sie die Übergangsformel auf eine andere Basis anwenden (siehe oben).

Wenn Sie Ausdrücke verwenden, um den Logarithmus zu vereinfachen, müssen einige Einschränkungen berücksichtigt werden. Und das heißt: Die Basis des Logarithmus a ist nur eine positive Zahl, aber nicht gleich eins. Die Zahl b muss wie a größer als Null sein.

Es gibt Fälle, in denen Sie nach Vereinfachung des Ausdrucks den Logarithmus nicht in numerischer Form berechnen können. Es kommt vor, dass ein solcher Ausdruck keinen Sinn ergibt, weil viele Grade irrationale Zahlen sind. Belassen Sie unter dieser Bedingung die Potenz der Zahl als Logarithmus.

Die Haupteigenschaften des Logarithmus, der Graph des Logarithmus, der Definitionsbereich, die Wertemenge, die Grundformeln, die Zunahme und Abnahme werden angegeben. Das Finden der Ableitung des Logarithmus wird betrachtet. Sowie Integral, Potenzreihenentwicklung und Darstellung mittels komplexer Zahlen.

Definition von Logarithmus

Logarithmus mit Basis a ist die y-Funktion (x) = log x, invers zur Exponentialfunktion mit Basis a: x (y) = ein y.

Dezimaler Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis der Zahl 10 : log x ≡ log 10 x.

natürlicher Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis von e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Der Graph des Logarithmus wird aus dem Graphen der Exponentialfunktion durch Spiegelreflexion um die Gerade y \u003d x erhalten. Links sind Graphen der Funktion y (x) = log x für vier Werte Basen des Logarithmus:a= 2 , ein = 8 , ein = 1/2 und ein = 1/8 . Die Grafik zeigt das für ein > 1 der Logarithmus ist monoton steigend. Mit steigendem x verlangsamt sich das Wachstum deutlich. Beim 0 < a < 1 der Logarithmus ist monoton fallend.

Eigenschaften des Logarithmus

Domäne, Wertemenge, aufsteigend, absteigend

Der Logarithmus ist eine monotone Funktion, hat also keine Extrema. Die Haupteigenschaften des Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Wertebereich	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	steigt monoton an	nimmt monoton ab
Nullen, y= 0	x= 1	x= 1
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	Nein	Nein
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Private Werte

Der Logarithmus zur Basis 10 wird aufgerufen dezimaler Logarithmus und ist so gekennzeichnet:

Basislogarithmus e namens natürlicher Logarithmus:

Grundlegende Logarithmusformeln

Eigenschaften des Logarithmus aus der Definition der Umkehrfunktion:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Logarithmus ist die mathematische Operation des Logarithmierens. Beim Logarithmieren werden die Produkte von Faktoren in Summen von Termen umgewandelt.

Potenzierung ist die zum Logarithmus inverse mathematische Operation. Beim Potenzieren wird die gegebene Basis mit dem Ausdruck potenziert, auf dem die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in Produkte von Faktoren umgewandelt.

Beweis der Grundformeln für Logarithmen

Logarithmische Formeln ergeben sich aus Formeln für Exponentialfunktionen und aus der Definition einer Umkehrfunktion.

Betrachten Sie die Eigenschaft der Exponentialfunktion
.
Dann
.
Wende die Eigenschaft der Exponentialfunktion an
:
.

Lassen Sie uns die Basisänderungsformel beweisen.
;
.
Wenn wir c = b setzen, haben wir:

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des Logarithmus zur Basis a ist die Exponentialfunktion mit dem Exponenten a.

Wenn, dann

Wenn, dann

Ableitung des Logarithmus

Ableitung des Logarithmus modulo x :
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Um die Ableitung eines Logarithmus zu finden, muss dieser auf die Basis reduziert werden e.
;
.

Integral

Das Integral des Logarithmus wird durch partielle Integration berechnet: .
So,

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie die komplexe Zahlenfunktion z:
.
Lassen Sie uns eine komplexe Zahl ausdrücken züber Modul r und Argument φ :
.
Dann haben wir unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus:
.
Oder

Allerdings das Argument φ nicht klar definiert. Wenn wir setzen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
dann wird es die gleiche Nummer für verschiedene sein n.

Daher ist der Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Für erfolgt die Erweiterung:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.