Die Verhältnisse zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen - Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens - sind angegeben trigonometrische Formeln. Und da es zwischen trigonometrischen Funktionen recht viele Zusammenhänge gibt, erklärt dies auch die Fülle an trigonometrischen Formeln. Einige Formeln verbinden die trigonometrischen Funktionen desselben Winkels, andere - die Funktionen eines Mehrfachwinkels, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu verringern, die vierte - um alle Funktionen durch die Tangente eines halben Winkels auszudrücken usw.

In diesem Artikel listen wir der Reihe nach alle grundlegenden trigonometrischen Formeln auf, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der trigonometrischen Probleme zu lösen. Zur leichteren Einprägung und Verwendung gruppieren wir sie nach ihrem Zweck und tragen sie in Tabellen ein.

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Grundlegende trigonometrische Identitäten

Grundlegende trigonometrische Identitäten Stellen Sie die Beziehung zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels ein. Sie ergeben sich aus der Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Begriff des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, eine trigonometrische Funktion durch eine andere auszudrücken.

Eine ausführliche Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihre Herleitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Gießen Sie Formeln

Gießen Sie Formeln folgen aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, dh sie spiegeln die Eigenschaft der Periodizität trigonometrischer Funktionen, die Eigenschaft der Symmetrie und auch die Eigenschaft der Verschiebung um einen bestimmten Winkel wider. Mit diesen trigonometrischen Formeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln zwischen null und 90 Grad wechseln.

Die Gründe für diese Formeln, eine Merkregel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können im Artikel studiert werden.

Additionsformeln

Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie die trigonometrischen Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel durch die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.

Formeln für doppelt, dreifach usw. Ecke

Formeln für doppelt, dreifach usw. Winkel (sie werden auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen von doppelt, dreifach usw. Winkel () werden als trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Herleitung basiert auf Additionsformeln.

Genauere Informationen sind in den Artikelformeln für doppelt, dreifach usw. gesammelt. Winkel .

Halbwinkelformeln

Halbwinkelformeln zeigen, wie die trigonometrischen Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzzahligen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln folgen aus den Doppelwinkelformeln.

Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Reduktionsformeln

Trigonometrische Formeln für abnehmende Grade sollen den Übergang von natürlichen Potenzen trigonometrischer Funktionen zu Sinus und Cosinus im ersten Grad, aber mehreren Winkeln erleichtern. Mit anderen Worten, sie erlauben es, die Potenzen trigonometrischer Funktionen auf die erste zu reduzieren.

Formeln für die Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Der Hauptzweck Summen- und Differenzenformeln für trigonometrische Funktionen besteht im Übergang zum Produkt von Funktionen, was bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke sehr nützlich ist. Diese Formeln werden auch häufig zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet, da sie die Faktorisierung der Summe und Differenz von Sinus und Cosinus ermöglichen.

Formeln für das Produkt von Sinus, Kosinus und Sinus mal Kosinus

Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zur Summe oder Differenz erfolgt über die Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.

Universelle trigonometrische Substitution

Wir vervollständigen die Wiederholung der Grundformeln der Trigonometrie mit Formeln, die trigonometrische Funktionen in Bezug auf die Tangente eines halben Winkels ausdrücken. Dieser Ersatz wird aufgerufen universelle trigonometrische Substitution. Seine Bequemlichkeit liegt in der Tatsache, dass alle trigonometrischen Funktionen durch die Tangente eines halben Winkels rational ohne Wurzeln ausgedrückt werden.

Referenzliste.

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• Bashmakov M.I. Algebra und Beginn der Analysis: Proc. für 10-11 Zellen. durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
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• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

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BEIM identische Transformationen trigonometrische Ausdrücke Die folgenden algebraischen Tricks können verwendet werden: Addieren und Subtrahieren identischer Terme; Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus Klammern; Multiplikation und Division mit demselben Wert; Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln; Auswahl eines vollen Quadrats; Faktorisierung eines quadratischen Trinoms; Einführung neuer Variablen zur Vereinfachung von Transformationen.

Beim Konvertieren von trigonometrischen Ausdrücken, die Brüche enthalten, können Sie die Eigenschaften Proportion, Brüche kürzen oder Brüche auf einen gemeinsamen Nenner kürzen. Darüber hinaus können Sie die Auswahl des ganzzahligen Teils des Bruchs nutzen, indem Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit demselben Wert multiplizieren, und auch, wenn möglich, die Einheitlichkeit des Zählers oder Nenners berücksichtigen. Bei Bedarf kannst du einen Bruch als Summe oder Differenz mehrerer einfacher Brüche darstellen.

Darüber hinaus muss bei der Anwendung aller erforderlichen Methoden zum Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke der Bereich der zulässigen Werte der konvertierten Ausdrücke ständig berücksichtigt werden.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 1

Berechnen Sie A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Entscheidung.

Aus den Reduktionsformeln folgt:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d Sünde x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

Sünde (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Daraus erhalten wir aufgrund der Formeln für die Addition von Argumenten und der trigonometrischen Grundidentität

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Antwort 1.

Beispiel 2

Wandle den Ausdruck M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ in ein Produkt um.

Entscheidung.

Aus den Formeln für die Addition von Argumenten und den Formeln für die Umwandlung der Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt haben wir nach der entsprechenden Gruppierung

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Antwort: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Beispiel 3.

Zeigen Sie, dass der Ausdruck A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) für alle x von R eins nimmt und den gleichen Wert. Finden Sie diesen Wert.

Entscheidung.

Wir stellen zwei Methoden zur Lösung dieses Problems vor. Wenden wir die erste Methode an, indem wir das volle Quadrat isolieren und die entsprechenden trigonometrischen Grundformeln verwenden, erhalten wir

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Um das Problem auf die zweite Art zu lösen, betrachten Sie A als eine Funktion von x aus R und berechnen Sie ihre Ableitung. Nach Transformationen erhalten wir

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sünde 2(x + π/6) + Sünde ((x + π/6) + (x - π/6)) - Sünde 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Daher schließen wir aufgrund des Kriteriums der Konstanz einer auf einem Intervall differenzierbaren Funktion, dass

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Antwort: A = 3/4 für x € R.

Die wichtigsten Methoden zum Beweis trigonometrischer Identitäten sind:

a) Reduktion der linken Seite der Identität auf die rechte Seite durch entsprechende Transformationen;
b) Reduktion der rechten Seite der Identität nach links;
in) Reduktion des rechten und linken Teils der Identität auf die gleiche Form;
G) Reduzierung der Differenz zwischen dem linken und dem rechten Teil der zu beweisenden Identität auf Null.

Beispiel 4

Überprüfe, dass cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Entscheidung.

Wenn wir die rechte Seite dieser Identität gemäß den entsprechenden trigonometrischen Formeln transformieren, haben wir

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Die rechte Seite der Identität wird auf die linke Seite reduziert.

Beispiel 5

Beweisen Sie, dass sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2, wenn α, β, γ Innenwinkel eines Dreiecks sind.

Entscheidung.

Unter Berücksichtigung, dass α, β, γ Innenwinkel eines Dreiecks sind, erhalten wir das

α + β + γ = π und somit γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Die ursprüngliche Gleichheit ist bewiesen.

Beispiel 6

Beweisen Sie, dass es notwendig und ausreichend ist, dass sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0 ist, damit einer der Winkel α, β, γ des Dreiecks gleich 60° ist.

Entscheidung.

Die Bedingung dieses Problems setzt den Nachweis sowohl der Notwendigkeit als auch der Hinlänglichkeit voraus.

Zuerst beweisen wir brauchen.

Das lässt sich zeigen

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Unter Berücksichtigung von cos (3/2 60°) = cos 90° = 0 erhalten wir also, dass wenn einer der Winkel α, β oder γ gleich 60° ist, dann

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 und somit sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Beweisen wir es jetzt Angemessenheit den angegebenen Zustand.

Wenn sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, dann ist cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, und daher

entweder cos (3α/2) = 0 oder cos (3β/2) = 0 oder cos (3γ/2) = 0.

Somit,

oder 3α/2 = π/2 + πk, d.h. α = π/3 + 2πk/3,

oder 3β/2 = π/2 + πk, d.h. β = π/3 + 2πk/3,

oder 3γ/2 = π/2 + πk,

jene. γ = π/3 + 2πk/3, wobei k ϵ Z.

Aus der Tatsache, dass α, β, γ die Winkel eines Dreiecks sind, haben wir

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Daher gilt für α = π/3 + 2πk/3 oder β = π/3 + 2πk/3 bzw

γ = π/3 + 2πk/3 von allen kϵZ passt nur k = 0.

Daraus folgt, dass entweder α = π/3 = 60° oder β = π/3 = 60° oder γ = π/3 = 60°.

Die Behauptung ist bewiesen.

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Um einige Probleme zu lösen, ist eine Tabelle mit trigonometrischen Identitäten hilfreich, die die Transformation von Funktionen erheblich erleichtert:

Die einfachsten trigonometrischen Identitäten

Der Quotient der Division des Sinus des Winkels Alpha durch den Kosinus desselben Winkels ist gleich dem Tangens dieses Winkels (Formel 1). Siehe auch den Beweis der Richtigkeit der Transformation der einfachsten trigonometrischen Identitäten.
Der Quotient der Division des Kosinus des Winkels Alpha durch den Sinus desselben Winkels ist gleich dem Kotangens desselben Winkels (Formel 2)
Die Sekante eines Winkels ist gleich eins dividiert durch den Kosinus desselben Winkels (Formel 3)
Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus desselben Winkels ist gleich eins (Formel 4). siehe auch den Beweis der Quadratsumme von Cosinus und Sinus.
Die Summe der Einheit und des Tangens des Winkels ist gleich dem Verhältnis der Einheit zum Quadrat des Kosinus dieses Winkels (Formel 5)
Die Einheit plus der Kotangens des Winkels ist gleich dem Quotienten der Division der Einheit durch das Sinusquadrat dieses Winkels (Formel 6)
Das Produkt aus Tangens und Kotangens desselben Winkels ist gleich eins (Formel 7).

Konvertieren negativer Winkel trigonometrischer Funktionen (gerade und ungerade)

Um den negativen Wert des Gradmaßes des Winkels bei der Berechnung von Sinus, Cosinus oder Tangens loszuwerden, können Sie die folgenden trigonometrischen Transformationen (Identitäten) verwenden, die auf den Prinzipien von geraden oder ungeraden trigonometrischen Funktionen basieren.

Wie gesehen, Kosinus und Sekante ist gleiche Funktion, Sinus, Tangens und Kotangens sind ungerade Funktionen.

Der Sinus eines negativen Winkels ist gleich dem negativen Wert des Sinus desselben positiven Winkels (minus dem Sinus von Alpha).
Der Kosinus "minus Alpha" ergibt den gleichen Wert wie der Kosinus des Winkels Alpha.
Tangens minus Alpha ist gleich Tangens minus Alpha.

Formeln zur Reduktion von Doppelwinkeln (Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Doppelwinkels)

Wenn Sie den Winkel halbieren müssen oder umgekehrt, gehen Sie von einem Doppelwinkel zu einem Einzelwinkel, Sie können die folgenden trigonometrischen Identitäten verwenden:

Doppelwinkelumwandlung (Doppelwinkelsinus, Doppelwinkelkosinus und Doppelwinkeltangens) in eins erfolgt nach folgenden Regeln:

Sinus eines Doppelwinkels ist gleich dem doppelten Produkt aus Sinus und Cosinus eines einzelnen Winkels

Kosinus eines Doppelwinkels ist gleich der Differenz zwischen dem Quadrat des Kosinus eines einzelnen Winkels und dem Quadrat des Sinus dieses Winkels

Kosinus eines Doppelwinkels gleich dem doppelten Quadrat des Kosinus eines einzelnen Winkels minus eins

Kosinus eines Doppelwinkels gleich eins minus dem doppelten Sinusquadrat eines einzelnen Winkels

Doppelte Winkeltangente ist gleich einem Bruch, dessen Zähler das Doppelte des Tangens eines einzelnen Winkels ist und dessen Nenner gleich eins minus dem Tangens des Quadrats eines einzelnen Winkels ist.

Doppelwinkelkotangens ist gleich einem Bruch, dessen Zähler das Quadrat des Kotangens eines einzelnen Winkels minus eins ist, und dessen Nenner gleich dem doppelten Kotangens eines einzelnen Winkels ist

Universelle trigonometrische Substitutionsformeln

Die folgenden Umrechnungsformeln können nützlich sein, wenn Sie das Argument der trigonometrischen Funktion (sin α, cos α, tg α) durch zwei teilen und den Ausdruck auf den Wert des halben Winkels bringen müssen. Aus dem Wert von α erhalten wir α/2 .

Diese Formeln werden aufgerufen Formeln der universellen trigonometrischen Substitution. Ihr Wert liegt darin, dass der trigonometrische Ausdruck mit ihrer Hilfe auf den Ausdruck des Tangens eines halben Winkels reduziert wird, unabhängig davon, welche trigonometrischen Funktionen (sin cos tg ctg) ursprünglich im Ausdruck enthalten waren. Danach ist die Gleichung mit dem Tangens eines halben Winkels viel einfacher zu lösen.

Trigonometrische Halbwinkeltransformationsidentitäten

Das Folgende sind die Formeln für die trigonometrische Umwandlung des halben Werts eines Winkels in seinen ganzzahligen Wert.
Der Wert des Arguments der trigonometrischen Funktion α/2 wird auf den Wert des Arguments der trigonometrischen Funktion α reduziert.

Trigonometrische Formeln zum Addieren von Winkeln

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangens und Kotangens der Winkelsumme alpha und beta können nach folgenden Regeln zur Umrechnung trigonometrischer Funktionen umgerechnet werden:

Tangens der Winkelsumme gleich einem Bruch ist, dessen Zähler die Summe der Tangente des ersten und der Tangente des zweiten Winkels ist, und dessen Nenner eins minus dem Produkt der Tangente des ersten Winkels und der Tangente des zweiten Winkels ist.

Winkeldifferenz tangens ist gleich einem Bruch, dessen Zähler gleich der Differenz zwischen der Tangente des reduzierten Winkels und der Tangente des zu subtrahierenden Winkels ist, und der Nenner ist eins plus das Produkt der Tangenten dieser Winkel.

Kotangens der Winkelsumme gleich einem Bruch ist, dessen Zähler gleich dem Produkt der Kotangens dieser Winkel plus eins ist, und dessen Nenner gleich der Differenz zwischen dem Kotangens des zweiten Winkels und dem Kotangens des ersten Winkels ist.

Kotangens der Winkeldifferenz gleich einem Bruch ist, dessen Zähler das Produkt der Kotangenten dieser Winkel minus eins ist, und dessen Nenner gleich der Summe der Kotangenten dieser Winkel ist.

Diese trigonometrischen Identitäten sind bequem zu verwenden, wenn Sie beispielsweise den Tangens von 105 Grad (tg 105) berechnen müssen. Wenn es als tg (45 + 60) dargestellt wird, können Sie die angegebenen identischen Transformationen des Tangens der Winkelsumme verwenden, danach ersetzen Sie einfach die Tabellenwerte des Tangens von 45 und des Tangens von 60 Grad.

Formeln zur Umrechnung der Summe oder Differenz trigonometrischer Funktionen

Ausdrücke, die die Summe der Form sin α + sin β darstellen, können mit den folgenden Formeln umgewandelt werden:

Dreifachwinkelformeln - konvertieren Sie sin3α cos3α tg3α in sinα cosα tgα

Manchmal ist es notwendig, den dreifachen Wert des Winkels so umzuwandeln, dass der Winkel α anstelle von 3α zum Argument der trigonometrischen Funktion wird.
In diesem Fall können Sie die Formeln (Identitäten) zur Transformation des Tripelwinkels verwenden:

Formeln zur Transformation des Produkts trigonometrischer Funktionen

Wenn es notwendig wird, das Produkt von Sinus verschiedener Winkel in Kosinus verschiedener Winkel oder sogar das Produkt von Sinus und Kosinus umzuwandeln, können Sie die folgenden trigonometrischen Identitäten verwenden:


In diesem Fall wird das Produkt der Sinus-, Cosinus- oder Tangensfunktionen verschiedener Winkel in eine Summe oder Differenz umgewandelt.

Formeln zur Reduktion trigonometrischer Funktionen

Sie müssen die Besetzungstabelle wie folgt verwenden. Wählen Sie in der Zeile die Funktion aus, die uns interessiert. Die Spalte ist ein Winkel. Zum Beispiel der Sinus des Winkels (α+90) am Schnittpunkt der ersten Zeile und der ersten Spalte, wir finden heraus, dass sin (α+90) = cos α .

Wird für alle Werte des Arguments (aus dem allgemeinen Bereich) ausgeführt.

Universelle Substitutionsformeln.

Mit diesen Formeln ist es einfach, jeden Ausdruck, der verschiedene trigonometrische Funktionen eines Arguments enthält, in einen rationalen Ausdruck einer Funktion umzuwandeln. tg (α /2):

Formeln zur Umrechnung von Summen in Produkte und von Produkten in Summen.

Bisher wurden die obigen Formeln verwendet, um Berechnungen zu vereinfachen. Sie berechneten mit logarithmischen Tabellen und später - einem Rechenschieber, da Logarithmen am besten zum Multiplizieren von Zahlen geeignet sind. Deshalb wurde jeder ursprüngliche Ausdruck auf eine Form reduziert, die für Logarithmen geeignet wäre, dh für Produkte, Zum Beispiel:

2 Sünde α Sünde b = cos (α - b) - cos (α + b);

2 cos α cos b = cos (α - b) + cos (α + b);

2 Sünde α cos b = Sünde (α - b) + Sünde (α + b).

wo ist der Winkel, für den insbesondere

Formeln für die Tangens- und Kotangensfunktionen erhält man leicht aus dem Obigen.

Formeln zur Gradreduzierung.

Sünde 2 α \u003d (1 - cos 2α) / 2;	cos2α = (1 + cos2α)/2;
Sünde 3α = (3 Sündeα - Sünde 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Mit Hilfe dieser Formeln lassen sich trigonometrische Gleichungen leicht auf Gleichungen mit niedrigerem Grad reduzieren. In gleicher Weise werden Absenkungsformeln für höhere Grade hergeleitet Sünde und cos.

Ausdruck trigonometrischer Funktionen durch eine von ihnen mit demselben Argument.

Das Vorzeichen vor der Wurzel hängt vom Viertel des Winkels ab α .