Wird ein Körper durch eine Kraft in Rotation versetzt, so erhöht sich seine Energie um die aufgewendete Arbeit. Wie bei der Translationsbewegung hängt diese Arbeit von der erzeugten Kraft und dem erzeugten Weg ab. Die Verschiebung ist jetzt jedoch winkelig und der Ausdruck für das Arbeiten beim Verschieben eines Materialpunkts ist nicht anwendbar. weil Ist der Körper absolut starr, so ist die Arbeit der Kraft, obwohl sie punktuell angreift, gleich der Arbeit, die für die Drehung des ganzen Körpers aufgewendet wird.
Beim Drehen um einen Winkel legt der Angriffspunkt der Kraft eine Bahn zurück. In diesem Fall ist die Arbeit gleich dem Produkt der Projektion der Kraft auf die Verschiebungsrichtung mit der Größe der Verschiebung: ; Von Abb. Es ist ersichtlich, dass dies der Arm der Kraft und das Moment der Kraft ist.
Dann elementare Arbeit: . Wenn, dann .
Die Rotationsarbeit erhöht die kinetische Energie des Körpers
; Durch Einsetzen von erhalten wir: oder unter Berücksichtigung der Dynamikgleichung: , ist klar, dass , d.h. der gleiche Ausdruck.
6. Nicht-Trägheits-Bezugssysteme
Feierabend -
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Kinematik der Translationsbewegung
Physikalische Grundlagen der Mechanik.. Kinematik der translatorischen Bewegung.. Mechanische Bewegung als Existenzform..
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mechanische Bewegung
Materie existiert bekanntlich in zwei Formen: als Substanz und als Feld. Der erste Typ umfasst Atome und Moleküle, aus denen alle Körper aufgebaut sind. Der zweite Typ umfasst alle Arten von Feldern: Gravitation
Raum und Zeit
Alle Körper existieren und bewegen sich in Raum und Zeit. Diese Konzepte sind grundlegend für alle Naturwissenschaften. Jeder Körper hat Abmessungen, d.h. seine räumliche Ausdehnung
Referenzsystem
Um die Position eines Körpers zu einem beliebigen Zeitpunkt eindeutig zu bestimmen, ist es notwendig, ein Bezugssystem zu wählen - ein Koordinatensystem, das mit einer Uhr ausgestattet und starr mit einem absolut starren Körper verbunden ist
Kinematische Bewegungsgleichungen
Wenn sich t.M bewegt, ändern sich seine Koordinaten mit der Zeit, daher ist es notwendig, um das Bewegungsgesetz festzulegen, die Art von zu spezifizieren
Bewegung, elementare Bewegung
Der Punkt M soll sich entlang einer gekrümmten Bahn AB von A nach B bewegen. Im Anfangsmoment ist sein Radiusvektor gleich
Beschleunigung. Normale und tangentiale Beschleunigungen
Die Bewegung eines Punktes ist auch durch Beschleunigung gekennzeichnet - die Geschwindigkeit der Geschwindigkeitsänderung. Ist die Geschwindigkeit eines Punktes in einer beliebigen Zeit
translatorische Bewegung
Die einfachste Form der mechanischen Bewegung eines starren Körpers ist die Translationsbewegung, bei der sich die gerade Linie, die zwei beliebige Punkte des Körpers verbindet, mit dem Körper bewegt und dabei parallel | bleibt es ist
Trägheitsgesetz
Die klassische Mechanik basiert auf den drei Newtonschen Gesetzen, die von ihm in dem 1687 erschienenen Werk „Mathematical Principles of Natural Philosophy“ formuliert wurden. Diese Gesetze waren das Ergebnis eines Genies
Trägheitsbezugssystem
Es ist bekannt, dass mechanische Bewegung relativ ist und ihre Art von der Wahl des Bezugssystems abhängt. Das erste Newtonsche Gesetz gilt nicht in allen Bezugsrahmen. Zum Beispiel Körper, die auf einer glatten Oberfläche liegen
Gewicht. Newtons zweites Gesetz
Die Hauptaufgabe der Dynamik besteht darin, die Eigenschaften der Bewegung von Körpern unter Einwirkung von auf sie wirkenden Kräften zu bestimmen. Aus Erfahrung ist bekannt, dass unter Gewalteinwirkung
Das Grundgesetz der Dynamik eines materiellen Punktes
Die Gleichung beschreibt die Änderung der Bewegung eines Körpers mit endlichen Abmessungen unter der Einwirkung einer Kraft ohne Verformung und wenn es
Newtons drittes Gesetz
Beobachtungen und Experimente zeigen, dass die mechanische Einwirkung eines Körpers auf einen anderen immer eine Wechselwirkung ist. Wenn Körper 2 auf Körper 1 einwirkt, dann wirkt Körper 1 diesen zwangsläufig entgegen
Galileische Transformationen
Sie erlauben es, die kinematischen Größen beim Übergang von einem inertialen Bezugssystem zu einem anderen zu bestimmen. Lass uns nehmen
Galileis Relativitätsprinzip
Die Beschleunigung eines beliebigen Punktes in allen Bezugssystemen, die sich geradlinig und gleichmäßig zueinander bewegen, ist gleich:
Konservierte Mengen
Jeder Körper oder jedes System von Körpern ist eine Ansammlung von materiellen Punkten oder Partikeln. Der Zustand eines solchen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Mechanik wird durch die Eingabe der Koordinaten und Geschwindigkeiten bestimmt
Massezentrum
In jedem Teilchensystem gibt es einen Punkt, der Massenmittelpunkt genannt wird
Bewegungsgleichung des Massenmittelpunktes
Das Grundgesetz der Dynamik kann in einer anderen Form geschrieben werden, wenn man den Begriff des Massenschwerpunkts des Systems kennt:
Konservative Kräfte
Wirkt an jedem Punkt im Raum eine Kraft auf ein dort platziertes Teilchen, so sagt man, dass sich das Teilchen in einem Kraftfeld befindet, beispielsweise im Bereich der Gravitation, Gravitation, Coulomb und anderer Kräfte. Feld
Zentrale Kräfte
Jedes Kraftfeld wird durch die Wirkung eines bestimmten Körpers oder Körpersystems verursacht. Die auf ein Teilchen in diesem Feld wirkende Kraft beträgt ca
Potentielle Energie eines Teilchens in einem Kraftfeld
Die Tatsache, dass die Arbeit einer konservativen Kraft (für ein stationäres Feld) nur von der Anfangs- und Endposition des Teilchens im Feld abhängt, ermöglicht es uns, das wichtige physikalische Konzept des Potenzials einzuführen
Beziehung zwischen potentieller Energie und Kraft für ein konservatives Feld
Die Wechselwirkung eines Teilchens mit umgebenden Körpern kann auf zwei Arten beschrieben werden: mit dem Begriff der Kraft oder mit dem Begriff der potentiellen Energie. Die erste Methode ist allgemeiner, weil es gilt für Kräfte
Kinetische Energie eines Teilchens in einem Kraftfeld
Lassen Sie ein Teilchen mit Masse sich in Kräften bewegen
Gesamte mechanische Energie eines Teilchens
Es ist bekannt, dass das Inkrement der kinetischen Energie eines Teilchens bei Bewegung in einem Kraftfeld gleich der Elementararbeit aller auf das Teilchen einwirkenden Kräfte ist:
Erhaltungssatz der mechanischen Energie eines Teilchens
Aus dem Ausdruck folgt, dass sich in einem stationären Feld konservativer Kräfte die mechanische Gesamtenergie eines Teilchens ändern kann
Kinematik
Drehen Sie den Körper um einen Winkel
Der Drehimpuls des Teilchens. Moment der Macht
Neben Energie und Impuls gibt es noch eine weitere physikalische Größe, mit der der Erhaltungssatz verbunden ist – das ist der Drehimpuls. Teilchendrehimpuls
Impulsmoment und Kraftmoment um die Achse
Nehmen wir als Bezugsrahmen an, dass wir an einer beliebigen festen Achse interessiert sind
Das Gesetz der Impulserhaltung des Systems
Betrachten wir ein System bestehend aus zwei wechselwirkenden Teilchen, auf die auch äußere Kräfte einwirken und
Der Drehimpuls eines geschlossenen Teilchensystems bleibt also konstant, ändert sich nicht mit der Zeit
Dies gilt für jeden Punkt im Trägheitsbezugssystem: . Winkelmomente einzelner Systemteile m
Trägheitsmoment eines starren Körpers
Stellen Sie sich einen starren Körper vor, der dies kann
Rotationsdynamikgleichung für starre Körper
Die Gleichung der Rotationsdynamik eines starren Körpers kann erhalten werden, indem die Momentengleichung für einen starren Körper geschrieben wird, der sich um eine beliebige Achse dreht
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers
Stellen Sie sich einen absolut starren Körper vor, der sich um eine feste Achse dreht, die durch ihn hindurchgeht. Zerlegen wir es in Teilchen mit kleinen Volumina und Massen
Zentrifugalkraft der Trägheit
Stellen Sie sich eine Scheibe vor, die sich mit einer Kugel auf einer Feder dreht, die auf einer Speiche sitzt, Abb.5.3. Der Ball ist
Corioliskraft
Wenn sich ein Körper relativ zu einem rotierenden CO bewegt, tritt zusätzlich eine andere Kraft auf - die Coriolis-Kraft oder die Coriolis-Kraft
Kleine Schwankungen
Stellen Sie sich ein mechanisches System vor, dessen Position mit einer einzigen Größe, sagen wir x, bestimmt werden kann. In diesem Fall hat das System einen Freiheitsgrad. Der Wert von x kann sein
Harmonische Schwingungen
Die Gleichung des 2. Newtonschen Gesetzes in Abwesenheit von Reibungskräften für eine quasielastische Kraft der Form hat die Form:
Mathematisches Pendel
Dies ist ein materieller Punkt, der an einem undehnbaren Faden aufgehängt ist, dessen Länge in einer vertikalen Ebene oszilliert.
physikalisches Pendel
Dabei handelt es sich um einen starren Körper, der um eine dem Körper zugeordnete feste Achse schwingt. Die Achse steht senkrecht auf der Zeichnung und
gedämpfte Schwingungen
In einem realen schwingungsfähigen System gibt es Widerstandskräfte, deren Wirkung zu einer Abnahme der potentiellen Energie des Systems führt, und die Schwingungen werden im einfachsten Fall gedämpft
Eigenschwingungen
Bei gedämpften Schwingungen nimmt die Energie des Systems allmählich ab und die Schwingungen hören auf. Um sie ungedämpft zu machen, ist es notwendig, die Energie des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt von außen wieder aufzufüllen
Erzwungene Schwingungen
Wird das schwingungsfähige System zusätzlich zu den Widerstandskräften der Einwirkung einer äußeren periodischen Kraft ausgesetzt, ändert sich diese nach dem harmonischen Gesetz
Resonanz
Die Kurve der Abhängigkeit der Amplitude von erzwungenen Schwingungen führt dazu, dass für einige spezifische für ein bestimmtes System
Wellenausbreitung in einem elastischen Medium
Wenn eine Schwingungsquelle an einer beliebigen Stelle eines elastischen Mediums (fest, flüssig, gasförmig) platziert wird, breitet sich die Schwingung aufgrund der Wechselwirkung zwischen Teilchen im Medium von Teilchen zu Stunde aus
Gleichung von ebenen und sphärischen Wellen
Die Wellengleichung drückt die Abhängigkeit der Auslenkung eines schwingenden Teilchens von seinen Koordinaten aus,
Wellengleichung
Die Wellengleichung ist eine Lösung einer Differentialgleichung, die Wellengleichung genannt wird. Um es festzustellen, finden wir die zweiten partiellen Ableitungen nach Zeit und Koordinaten aus der Gleichung
Dabei ist der Drehimpuls relativ zur Rotationsachse, also die Projektion des Drehimpulses auf die Achse, relativ zu einem zur Achse gehörigen Punkt definiert (siehe Vorlesung 2). - Dies ist das Moment äußerer Kräfte relativ zur Rotationsachse, dh die Projektion des resultierenden Moments äußerer Kräfte auf die Achse, das relativ zu einem zur Achse gehörenden Punkt definiert ist, und die Wahl dieses Punktes auf der Achse , wie im Fall von c, spielt keine Rolle. Tatsächlich (Abb. 3.4), 
wo ist die Komponente der auf den starren Körper ausgeübten Kraft, senkrecht zur Rotationsachse, ist die Schulter der Kraft relativ zur Achse.
 |
| Reis. 3.4. |
Da ( ist das Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Rotationsachse), können wir stattdessen schreiben
| (3.8) |
Der Vektor ist immer entlang der Rotationsachse gerichtet und ist die Komponente des Vektors des Kraftmoments entlang der Achse.
In dem Fall erhalten wir jeweils und der Drehimpuls um die Achse bleibt erhalten. Gleichzeitig der Vektor selbst L, definiert relativ zu einem Punkt auf der Rotationsachse, kann variieren. Ein Beispiel für eine solche Bewegung ist in Abb. 3.5.
 |
| Reis. 3.5. |
Der im Punkt A angelenkte Stab AB dreht sich durch Trägheit so um eine vertikale Achse, dass der Winkel zwischen der Achse und dem Stab konstant bleibt. Impulsvektor L, relativ zum Punkt A bewegt sich jedoch der Vorsprung entlang einer Kegelfläche mit halbem Öffnungswinkel L auf der vertikalen Achse bleibt konstant, da das Gravitationsmoment um diese Achse Null ist.
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers und die Arbeit äußerer Kräfte (die Rotationsachse ist stationär).
Geschwindigkeit des i-ten Teilchens des Körpers
| (3.11) |
wo ist der Abstand des Teilchens zur Rotationsachse Kinetische Energie
| (3.12) |
als Winkelgeschwindigkeit Rotation für alle Punkte ist gleich.
Gemäß das Gesetz der Änderung der mechanischen Energie System ist die elementare Arbeit aller äußeren Kräfte gleich der Zunahme der kinetischen Energie des Körpers:
Lassen wir aus, dass sich die Schleifscheibe durch Trägheit mit Winkelgeschwindigkeit dreht und stoppen wir sie, indem wir einen Gegenstand mit konstanter Kraft gegen den Rand der Scheibe drücken. In diesem Fall wirkt auf die Scheibe eine Kraft konstanter Größe, die senkrecht zu ihrer Achse gerichtet ist. Die Arbeit dieser Kraft
wo ist das Trägheitsmoment der Scheibe, die zusammen mit dem Anker des Elektromotors geschärft wird.
Kommentar. Wenn die Kräfte so sind, dass sie keine Arbeit leisten.
freie Achsen. Stabilität der freien Rotation.
Wenn sich ein Körper um eine feste Achse dreht, wird diese Achse durch Lager in einer konstanten Position gehalten. Wenn sich die unausgeglichenen Teile der Mechanismen drehen, erfahren die Achsen (Wellen) eine gewisse dynamische Belastung, Vibrationen, Schütteln treten auf und die Mechanismen können zusammenbrechen.
Dreht man einen starren Körper um eine beliebige, fest mit dem Körper verbundene Achse und löst sich die Achse aus den Lagern, so ändert sich allgemein gesagt ihre Richtung im Raum. Damit eine beliebige Rotationsachse des Körpers ihre Richtung unverändert beibehält, müssen bestimmte Kräfte auf sie ausgeübt werden. Die daraus resultierenden Situationen sind in Abb. 3.6.
 |
| Reis. 3.6. |
Als Rotationskörper wird hier ein massiver homogener Stab AB verwendet, der an einer ausreichend elastischen Achse befestigt ist (durch doppelt gestrichelte Linien dargestellt). Die Elastizität der Achse macht es möglich, die dynamischen Belastungen zu visualisieren, denen sie ausgesetzt ist. In allen Fällen ist die Rotationsachse vertikal, starr mit der Stange verbunden und in Lagern fixiert; der Stab wird um diese Achse gesponnen und sich selbst überlassen.
In dem in Abb. 3.6a, die Drehachse ist die Hauptachse für den Punkt B der Stange, aber nicht die zentrale, die Achse biegt sich, von der Seite der Achse wirkt die Kraft, die ihre Drehung sicherstellt, auf die Stange (in der NISO zugeordnet mit der Stange gleicht diese Kraft die Zentrifugalkraft der Trägheit aus). Von der Seite der Stange wirkt eine Kraft auf die Achse, die durch die Kräfte von der Seite der Lager ausgeglichen wird.
Im Fall von Abb. 3.6b geht die Rotationsachse durch den Schwerpunkt des Stabes und ist für diesen zentral, aber nicht der Hauptachse. Der Drehimpuls um den Massenmittelpunkt O ist nicht erhalten und beschreibt eine Kegelfläche. Die Achse wird auf komplexe Weise verformt (bricht), Kräfte wirken von der Seite der Achse auf die Stange und deren Moment sorgt für ein Inkrement (Bei der mit der Stange verbundenen NISO kompensiert das Moment der elastischen Kräfte das Moment von zentrifugale Trägheitskräfte, die auf die eine und die andere Stangenhälfte wirken). Von der Seite der Stange wirken Kräfte auf die Achse und sind entgegengesetzt zu den Kräften gerichtet und Das Moment der Kräfte und wird durch das Moment der Kräfte ausgeglichen und entsteht in den Lagern.
Und nur wenn die Rotationsachse mit der zentralen Hauptträgheitsachse des Körpers zusammenfällt (Abb. 3.6c), hat die unverdrillte und sich selbst überlassene Stange keine Wirkung auf die Lager. Solche Achsen werden Freiachsen genannt, weil sie, wenn die Lager entfernt werden, ihre Richtung im Raum unverändert beibehalten.
Eine andere Frage ist, ob diese Drehung gegenüber kleinen Störungen stabil ist, die unter realen Bedingungen immer auftreten. Experimente zeigen, dass die Drehung um die Hauptmittelachsen mit den größten und kleinsten Trägheitsmomenten stabil ist und die Drehung um eine Achse mit einem mittleren Wert des Trägheitsmoments instabil ist. Dies kann verifiziert werden, indem man einen Körper in Form eines Quaders aufwirft, der um eine der drei senkrecht zueinander stehenden Hauptmittelachsen aufgedreht ist (Abb. 3.7). Achse AA" entspricht dem größten, Achse BB" - dem mittleren und Achse CC" - dem kleinsten Trägheitsmoment des Quaders. ziemlich stabil. Versuche, den Körper um die Achse BB "rotieren zu lassen, führen nicht zum Erfolg - Der Körper bewegt sich auf komplexe Weise und taumelt im Flug.
- starrer Körper - Euler-Winkel
Rotationsarbeit. Moment der Macht
Betrachten Sie die Arbeit, die während der Drehung eines materiellen Punktes um einen Kreis unter der Wirkung der Projektion der wirkenden Kraft auf die Verschiebung (die tangentiale Komponente der Kraft) geleistet wird. Gemäß (3.1) und Abb. 4.4, Übergang von den Parametern der Translationsbewegung zu den Parametern der Rotationsbewegung (dS = Rdcp)
Hier wird der Begriff des Kraftmoments um die Rotationsachse OOi als Produkt der Kraft eingeführt Fs auf der Schulter der Kraft R:
Wie aus Beziehung (4.8) ersichtlich ist, Kraftmoment bei Rotationsbewegung ist analog zur Kraft bei Translationsbewegung, da beide Parameter mit Analoga multipliziert werden DCP und dS Arbeit geben. Offensichtlich muss auch das Kraftmoment vektoriell angegeben werden, und bezüglich des Punktes O ist seine Definition durch das Vektorprodukt gegeben und hat die Form
Endlich: Die Arbeit während der Rotationsbewegung ist gleich dem Skalarprodukt aus dem Moment der Kraft und der Winkelverschiebung:
Kinetische Energie bei Rotationsbewegung. Trägheitsmoment
Stellen Sie sich einen absolut starren Körper vor, der sich um eine feste Achse dreht. Teilen wir diesen Körper gedanklich in unendlich kleine Stücke mit unendlich kleinen Größen und Massen mi, m2, Shz..., die sich im Abstand R b R 2 , R3 ... von der Achse befinden. Wir finden die kinetische Energie eines rotierenden Körpers als Summe der kinetischen Energie seiner kleinen Teile
wobei Y das Trägheitsmoment eines starren Körpers relativ zu einer gegebenen Achse ist OOj.
Aus einem Vergleich der Formeln für die kinetische Energie von Translations- und Rotationsbewegungen geht das hervor Trägheitsmoment bei Rotationsbewegung ist analog zur Masse bei Translationsbewegung. Formel (4.12) eignet sich zur Berechnung des Trägheitsmoments von Systemen, die aus einzelnen Materialpunkten bestehen. Um das Trägheitsmoment fester Körper zu berechnen, können wir unter Verwendung der Definition des Integrals (4.12) in die Form umwandeln
Es ist leicht einzusehen, dass das Trägheitsmoment von der Wahl der Achse abhängt und sich mit ihrer parallelen Translation und Rotation ändert. Wir präsentieren die Werte der Trägheitsmomente für einige homogene Körper.
Aus (4.12) sieht man das Trägheitsmoment eines materiellen Punktes gleich
wo t- Punktmasse;
R- Abstand zur Rotationsachse.
Das Trägheitsmoment lässt sich leicht berechnen hohler dünnwandiger Zylinder(oder ein Sonderfall eines Zylinders mit geringer Höhe - dünner Ring) Radius R um die Symmetrieachse. Der Abstand aller Punkte zur Rotationsachse eines solchen Körpers ist gleich, gleich dem Radius und kann aus dem Summenzeichen (4.12) entnommen werden:
massiver Zylinder(oder ein Sonderfall eines Zylinders mit geringer Höhe - Scheibe) Radius R zur Berechnung des Trägheitsmoments um die Symmetrieachse erfordert die Berechnung des Integrals (4.13). Die Masse ist in diesem Fall im Durchschnitt etwas dichter konzentriert als im Fall eines Hohlzylinders, und die Formel wird ähnlich wie (4.15) sein, aber ein Koeffizient kleiner als eins wird darin erscheinen. Finden wir diesen Koeffizienten.
Ein Vollzylinder habe eine Dichte R und Höhe h. Lassen Sie es uns aufschlüsseln in
Hohlzylinder (dünne Zylinderflächen) dick DR(Abb. 4.5) zeigt eine Projektion senkrecht zur Symmetrieachse). Das Volumen eines solchen Hohlzylinders von Radius G ist gleich der Oberfläche multipliziert mit der Dicke: 
Last: 
und der Augenblick
Trägheit nach (4.15): Gesamtmoment
Trägheitsmoment eines Vollzylinders erhält man durch Integration (Summierung) der Trägheitsmomente von Hohlzylindern: 
. Bedenkt man, dass die Masse auf einen Vollzylinder bezogen ist
Dichte formel t = 7iR 2 PS haben wir schließlich das Trägheitsmoment eines Vollzylinders:
Ähnlich gesucht Trägheitsmoment eines dünnen Stabes Länge L und die Massen t, wenn die Rotationsachse senkrecht zum Stab steht und durch dessen Mitte geht. Teilen wir einen solchen Stab gemäß Abb. 4.6
in dicke Stücke dl. Die Masse eines solchen Stückes ist dm=m dl/L, und das Trägheitsmoment nach Paul
Das neue Trägheitsmoment eines dünnen Stabes ergibt sich aus der Integration (Summierung) der Trägheitsmomente der Teile: 
Wenn m.t. dreht sich im Kreis, dann wirkt eine Kraft darauf, dann wird beim Drehen um einen bestimmten Winkel elementare Arbeit geleistet:
(22)
Wenn die wirkende Kraft potentiell ist, dann
dann (24)
Drehkraft
Während der Rotation des Körpers entwickelte Momentanleistung:
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers
Kinetische Energie eines materiellen Punktes. Kinetische Energie von materiellen Punkten 
. weil erhalten wir den Ausdruck für die kinetische Rotationsenergie:
Bei einer flachen Bewegung (der Zylinder rollt eine schiefe Ebene hinunter) beträgt die Gesamtgeschwindigkeit:
wo ist die Geschwindigkeit des Schwerpunkts des Zylinders.
Die Summe ist gleich der Summe der kinetischen Energie der Translationsbewegung seines Massenschwerpunkts und der kinetischen Energie der Rotationsbewegung des Körpers relativ zum Massenschwerpunkt, d. h.:
(28)
Fazit:
Und jetzt, nachdem wir das gesamte Vorlesungsmaterial betrachtet haben, fassen wir zusammen und vergleichen die Größen und Gleichungen der Rotations- und Translationsbewegung des Körpers:
| translatorische Bewegung | Drehbewegung | ||
| Gewicht | m | Trägheitsmoment | ich |
| Weg | S | Drehwinkel | |
| Geschwindigkeit | Winkelgeschwindigkeit | ||
| Impuls | Drehimpuls | ||
| Beschleunigung | Winkelbeschleunigung | ||
| Resultierende äußerer Kräfte | F | Die Summe der Momente äußerer Kräfte | M |
| Grundgleichung der Dynamik | Grundgleichung der Dynamik | ||
| Arbeit | fds | Rotationsarbeit | |
| Kinetische Energie | Kinetische Rotationsenergie |
Anhang 1:
Eine Person steht in der Mitte der Schukowski-Bank und dreht sich durch Trägheit mit. Rotationsfrequenz n 1 \u003d 0,5 s -1 . Trägheitsmoment j o menschlichen Körper relativ zu
relativ zur Rotationsachse beträgt 1,6 kg m 2. In seitlich ausgestreckten Armen hält eine Person eine Kettlebell mit Masse m=2 kg pro Stück. Abstand zwischen den Gewichten l 1 \u003d l,6 m. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit n 2 , Bänke mit einer Person, wenn er seine Hände nach unten legt und die Entfernung l 2 zwischen den Gewichten beträgt 0,4 m. Vernachlässigen Sie das Trägheitsmoment der Bank.
Symmetrieeigenschaften und Erhaltungssätze.
Energie sparen.
Die in der Mechanik betrachteten Erhaltungssätze beruhen auf den Eigenschaften von Raum und Zeit.
Die Energieerhaltung hängt mit der Homogenität der Zeit zusammen, die Impulserhaltung mit der Homogenität des Raums und schließlich die Drehimpulserhaltung mit der Isotropie des Raums.
Wir beginnen mit dem Energieerhaltungssatz. Das Teilchensystem befinde sich in konstanten Bedingungen (dies geschieht, wenn das System geschlossen ist oder einem konstanten äußeren Kraftfeld ausgesetzt ist); Verbindungen (falls vorhanden) sind ideal und stationär. In diesem Fall Die Zeit kann aufgrund ihrer Homogenität nicht explizit in die Lagrange-Funktion eingehen. Wirklich Homogenität bedeutet die Gleichwertigkeit aller Zeitmomente. Daher sollte das Ersetzen eines Zeitpunkts durch einen anderen ohne Änderung der Werte von Koordinaten und Teilchengeschwindigkeiten die mechanischen Eigenschaften des Systems nicht ändern. Dies gilt natürlich dann, wenn die Ersetzung eines Zeitpunkts durch einen anderen die Bedingungen, in denen sich das System befindet, nicht ändert, wenn also das äußere Feld zeitunabhängig ist (insbesondere kann dieses Feld fehlen).
Also für ein geschlossenes System, das sich in einem geschlossenen Kraftfeld befindet, .
Arbeit und Leistung bei Rotation eines starren Körpers.
Lassen Sie uns einen Ausdruck für die Arbeit während der Drehung des Körpers finden. Lassen Sie die Kraft an einem Punkt angreifen, der sich in einem Abstand von der Achse befindet - dem Winkel zwischen der Richtung der Kraft und dem Radiusvektor . Da der Körper absolut starr ist, ist die Arbeit dieser Kraft gleich der Arbeit, die für die Drehung des ganzen Körpers aufgewendet wird. Wenn sich der Körper um einen unendlich kleinen Winkel dreht, passiert der Angriffspunkt den Weg und die Arbeit ist gleich dem Produkt der Projektion der Kraft auf die Verschiebungsrichtung mit dem Betrag der Verschiebung:
Der Modul des Kraftmoments ist gleich:
dann erhalten wir folgende Formel zur Berechnung der Arbeit:
Die Arbeit bei der Drehung eines starren Körpers ist also gleich dem Produkt aus dem Moment der wirkenden Kraft und dem Drehwinkel.
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers.
Trägheitsmoment mat.t. namens körperlich der Wert ist numerisch gleich dem Produkt der Masse von mat.t. durch das Quadrat des Abstands dieses Punktes zur Rotationsachse W ki \u003d m i V 2 i / 2 V ich -Wr i Wi \u003d miw 2 r 2 i / 2 \u003d w 2 / 2 * m i r i 2 I i \u003d m i r 2 i Trägheitsmoment eines starren Körpers ist gleich der Summe aller Mat.t I=S ich m i r 2 i das Trägheitsmoment eines starren Körpers wird genannt. physischer Wert gleich der Summe der Produkte von mat.t. durch die Quadrate der Abstände dieser Punkte zur Achse. W ich - ich ich W 2 /2 W k \u003d IW 2 /2
W k \u003d S i W ki Trägheitsmoment während der Drehbewegung yavl. Analogon der Masse in Translationsbewegung. I = mR 2 /2
21. Nicht-Trägheitsbezugssysteme. Trägheitskräfte. Das Äquivalenzprinzip. Bewegungsgleichung in nicht-trägen Bezugsrahmen.
Nicht-Trägheits-Bezugssystem- ein beliebiges Bezugssystem, das nicht inertial ist. Beispiele für nicht inertiale Bezugsrahmen: ein sich geradlinig mit konstanter Beschleunigung bewegender Rahmen sowie ein rotierender Rahmen.
Bei der Betrachtung der Bewegungsgleichungen eines Körpers in einem nicht trägen Bezugssystem müssen zusätzliche Trägheitskräfte berücksichtigt werden. Die Newtonschen Gesetze gelten nur in Trägheitsbezugssystemen. Um die Bewegungsgleichung in einem nicht-trägen Bezugssystem zu finden, ist es notwendig, die Gesetze der Transformation von Kräften und Beschleunigungen beim Übergang von einem inertialen System zu einem beliebigen nicht-trägen System zu kennen.
Die klassische Mechanik postuliert die folgenden zwei Prinzipien:
Zeit ist absolut, das heißt, die Zeitintervalle zwischen zwei beliebigen Ereignissen sind in allen sich willkürlich bewegenden Bezugsrahmen gleich;
Der Raum ist absolut, das heißt, der Abstand zwischen zwei beliebigen materiellen Punkten ist in allen sich willkürlich bewegenden Bezugsrahmen gleich.
Diese beiden Prinzipien ermöglichen es, die Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes in Bezug auf jeden nicht-trägen Bezugsrahmen aufzuschreiben, in dem das erste Newtonsche Gesetz nicht gilt.
Die Grundgleichung der Dynamik der Relativbewegung eines materiellen Punktes hat die Form:
wo ist die Masse des Körpers, ist die Beschleunigung des Körpers relativ zum nicht-trägen Bezugssystem, ist die Summe aller äußeren Kräfte, die auf den Körper einwirken, ist die tragbare Beschleunigung des Körpers, ist die Coriolis-Beschleunigung der Karosserie.
Diese Gleichung lässt sich in der bekannten Form des zweiten Newtonschen Gesetzes schreiben, indem man fiktive Trägheitskräfte einführt:
Tragbare Trägheitskraft
Corioliskraft
Trägheitskraft- fiktive Kraft, die in einen nicht-trägen Bezugsrahmen eingeführt werden kann, so dass die Gesetze der Mechanik darin mit den Gesetzen der Trägheitsrahmen übereinstimmen.
Bei mathematischen Berechnungen erfolgt die Einführung dieser Kraft durch Umformung der Gleichung
F 1 +F 2 +…F n = ma zum Formular
F 1 + F 2 + ... F n –ma = 0 Wobei F i die tatsächliche Kraft und –ma die „Trägheitskraft“ ist.
Zu den Trägheitskräften gehören:
einfach Trägheitskraft;
Zentrifugalkraft, die die Tendenz von Körpern erklärt, in rotierenden Bezugsrahmen vom Zentrum wegzufliegen;
die Coriolis-Kraft, die die Tendenz von Körpern erklärt, bei radialer Bewegung in rotierenden Bezugssystemen vom Radius abzuweichen;
Aus Sicht der Allgemeinen Relativitätstheorie Gravitationskräfte an jedem Punkt sind die Trägheitskräfte an einem gegebenen Punkt in Einsteins gekrümmtem Raum
Zentrifugalkraft- die Trägheitskraft, die in ein rotierendes (nicht träges) Bezugssystem eingeführt wird (um die Newtonschen Gesetze anzuwenden, nur für Trägheits-FRs berechnet) und die von der Rotationsachse aus gerichtet ist (daher der Name).
Das Prinzip der Äquivalenz von Schwerkraft und Trägheit- ein heuristisches Prinzip, das von Albert Einstein zur Ableitung der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet wurde. Eine der Optionen für seine Präsentation: „Die Kräfte der gravitativen Wechselwirkung sind proportional zur schweren Masse des Körpers, während die Trägheitskräfte proportional zur trägen Masse des Körpers sind. Wenn die Trägheits- und die Gravitationsmasse gleich sind, ist es unmöglich zu unterscheiden, welche Kraft auf einen bestimmten Körper wirkt - Gravitations- oder Trägheitskraft.
Einsteins Formulierung
Historisch wurde das Relativitätsprinzip von Einstein wie folgt formuliert:
Alle Phänomene im Gravitationsfeld treten genauso auf wie im entsprechenden Feld der Trägheitskräfte, wenn die Stärke dieser Felder zusammenfällt und die Anfangsbedingungen für die Körper des Systems gleich sind.
22. Galileis Relativitätsprinzip. Galileische Transformationen. Klassischer Geschwindigkeitsadditionssatz. Invarianz der Newtonschen Gesetze in Trägheitsbezugsrahmen.
Galileis Relativitätsprinzip- das ist das Prinzip der physikalischen Gleichheit von Trägheitsbezugssystemen in der klassischen Mechanik, das sich darin manifestiert, dass die Gesetze der Mechanik in allen solchen Systemen gleich sind.
Mathematisch drückt das Relativitätsprinzip von Galileo die Invarianz (Invarianz) der Gleichungen der Mechanik in Bezug auf Transformationen der Koordinaten von sich bewegenden Punkten (und Zeit) aus, wenn sie sich von einem Inertialsystem zu einem anderen bewegen - Galilei-Transformationen.
Es gebe zwei Trägheitsbezugsrahmen, von denen wir einen, S, als ruhend betrachten werden; das zweite System, S", bewegt sich in Bezug auf S mit einer konstanten Geschwindigkeit u, wie in der Abbildung gezeigt. Dann haben die Galilei-Transformationen für die Koordinaten eines materiellen Punktes in den Systemen S und S" die Form:
x" = x - ut, y" = y, z" = z, t" = t (1)
(Die gestrichenen Größen beziehen sich auf das S-System, die nicht gestrichenen Größen beziehen sich auf S.) Daher wird die Zeit in der klassischen Mechanik sowie der Abstand zwischen festen Punkten in allen Bezugssystemen als gleich angesehen.
Aus den Transformationen von Galileo kann man die Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten eines Punktes und seinen Beschleunigungen in beiden Systemen erhalten:
v" = v - u, (2)
ein" = ein.
In der klassischen Mechanik wird die Bewegung eines materiellen Punktes durch das zweite Newtonsche Gesetz bestimmt:
F = ma, (3)
wobei m die Masse des Punktes und F die Resultierende aller darauf wirkenden Kräfte ist.
In diesem Fall sind Kräfte (und Massen) in der klassischen Mechanik Invarianten, also Größen, die sich nicht ändern, wenn man sich von einem Bezugsrahmen in einen anderen bewegt.
Daher ändert sich Gleichung (3) unter Galilei-Transformationen nicht.
Dies ist der mathematische Ausdruck des Galileischen Relativitätsprinzips.
GALILEOS TRANSFORMATIONEN.
In der Kinematik sind alle Bezugsrahmen einander gleich und Bewegung kann in jedem von ihnen beschrieben werden. Bei der Untersuchung von Bewegungen ist es manchmal notwendig, von einem Bezugssystem (mit dem Koordinatensystem OXYZ) zu einem anderen zu wechseln - (О`Х`У`Z`). Betrachten wir den Fall, dass sich das zweite Bezugssystem relativ zum ersten gleichförmig und geradlinig mit der Geschwindigkeit V=const bewegt.
Um die mathematische Beschreibung zu erleichtern, nehmen wir an, dass die entsprechenden Koordinatenachsen parallel zueinander sind, dass die Geschwindigkeit entlang der X-Achse gerichtet ist und dass zum Anfangszeitpunkt (t=0) die Ursprünge beider Systeme zusammenfallen. Unter der in der klassischen Physik gerechtfertigten Annahme eines gleichen Zeitflusses in beiden Systemen ist es möglich, die Beziehungen aufzuschreiben, die die Koordinaten eines Punktes A(x, y, z) und A (x`, y `, z`) in beiden Systemen. Einen solchen Übergang von einem Bezugssystem zu einem anderen nennt man Galilei-Transformation):
OXYZ O`X`U`Z`
x = x` + V x t x` = x - V x t
x = v' x + V x v' x = v x - V x
ein x = ein` x ein` x = ein x
Die Beschleunigung ist in beiden Systemen gleich (V=const). Die tiefe Bedeutung von Galileos Transformationen wird in der Dynamik verdeutlicht. Galileos Transformation von Geschwindigkeiten spiegelt das Prinzip der Unabhängigkeit von Verschiebungen wider, das in der klassischen Physik stattfindet.
Addition von Geschwindigkeiten in SRT
Das klassische Geschwindigkeitsadditionsgesetz kann nicht gelten, weil es widerspricht der Aussage über die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Wenn der Zug mit hoher Geschwindigkeit fährt v und eine Lichtwelle breitet sich im Waggon in Richtung des Zuges aus, dann ist ihre Geschwindigkeit relativ zur Erde still c, und nicht v+c.
Betrachten wir zwei Bezugssysteme.
Im System K 0 Der Körper bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v ein . Was das System angeht K es bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v 2. Nach dem Geschwindigkeitsadditionsgesetz in SRT: 
Wenn ein v<<c und v 1 << c, dann kann der Term vernachlässigt werden und wir erhalten das klassische Geschwindigkeitsadditionsgesetz: v 2 = v 1 + v.
Beim v 1 = c Geschwindigkeit v 2 gleich c, wie es das zweite Postulat der Relativitätstheorie fordert: 
Beim v 1 = c und bei v = c Geschwindigkeit v 2 entspricht wieder Geschwindigkeit c. 
Eine bemerkenswerte Eigenschaft des Additionsgesetzes ist dies bei jeder Geschwindigkeit v 1 und v(nicht mehr c), resultierende Geschwindigkeit v 2 nicht überschreitet c. Die Bewegungsgeschwindigkeit realer Körper ist größer als die Lichtgeschwindigkeit, es ist unmöglich.
Addition von Geschwindigkeiten
Bei der Betrachtung einer komplexen Bewegung (d. h. wenn sich ein Punkt oder Körper in einem Bezugsrahmen bewegt und sich relativ zu einem anderen bewegt) stellt sich die Frage nach dem Verhältnis der Geschwindigkeiten in zwei Bezugsrahmen.
klassische Mechanik
In der klassischen Mechanik ist die absolute Geschwindigkeit eines Punktes gleich der Vektorsumme seiner Relativ- und Translationsgeschwindigkeit:
Im Klartext: Die Geschwindigkeit eines Körpers relativ zu einem festen Bezugssystem ist gleich der Vektorsumme der Geschwindigkeit dieses Körpers relativ zu einem sich bewegenden Bezugssystem und der Geschwindigkeit des beweglichsten Bezugssystems relativ zu einem festen Bezugssystem.
