Unter allen Dreiecken gibt es zwei besondere Arten: rechtwinklige Dreiecke und gleichschenklige Dreiecke. Warum sind diese Arten von Dreiecken so besonders? Nun, erstens entpuppen sich solche Dreiecke sehr oft als die Hauptakteure in den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens des ersten Teils. Und zweitens sind Probleme mit rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecken viel einfacher zu lösen als andere Probleme in der Geometrie. Sie müssen nur ein paar Regeln und Eigenschaften kennen. Das Interessanteste wird im entsprechenden Thema besprochen, und jetzt werden wir gleichschenklige Dreiecke betrachten. Und vor allem, was ist ein gleichschenkliges Dreieck. Oder, wie Mathematiker sagen, was ist die Definition eines gleichschenkligen Dreiecks?
Sehen Sie, wie es aussieht:
Wie ein rechtwinkliges Dreieck hat auch ein gleichschenkliges Dreieck spezielle Namen für seine Seiten. Zwei gleiche Seiten werden aufgerufen Seiten, und der Dritte Basis.
Und schau dir nochmal das Bild an:
Das könnte natürlich so sein:
Also sei vorsichtig: seitliche Seite - eine von zwei gleichen Seiten in einem gleichschenkligen Dreieck und die Basis ist ein Dritter.
Warum ist ein gleichschenkliges Dreieck so gut? Um dies zu verstehen, zeichnen wir die Höhe zur Basis. Erinnerst du dich, was Höhe ist?
Was ist passiert? Aus einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei rechtwinklige geworden.
Das ist schon gut, aber das wird in jedem „schrägsten“ Dreieck passieren.
Was ist der Unterschied zwischen dem Bild für ein gleichschenkliges Dreieck? Schau nochmal:
Nun, erstens reicht es diesen seltsamen Mathematikern natürlich nicht, einfach nur zu sehen - sie müssen sicher beweisen. Und dann sind diese Dreiecke plötzlich etwas anders, und wir werden sie als gleich betrachten.
Aber keine Sorge: In diesem Fall ist das Beweisen fast so einfach wie das Sehen.
Sollen wir anfangen? Schauen Sie genau hin, wir haben:
Und deshalb,! Wieso den? Ja, wir finden einfach und, und aus dem Satz des Pythagoras (wobei wir uns gleichzeitig daran erinnern)
Bist du sicher? Nun, jetzt haben wir
Und auf drei Seiten - das einfachste (dritte) Zeichen für die Gleichheit von Dreiecken.
Nun, unser gleichschenkliges Dreieck ist in zwei identische rechteckige geteilt.
Sehen Sie, wie interessant? Es stellte sich heraus, dass:
Wie ist es üblich, dass Mathematiker darüber sprechen? Gehen wir der Reihe nach vor:
(Wir erinnern uns hier daran, dass die Mittellinie eine Linie ist, die vom Scheitelpunkt aus gezogen wird, der die Seite halbiert, und die Winkelhalbierende der Winkel ist.)
Nun, hier haben wir besprochen, was gut zu sehen ist, wenn ein gleichschenkliges Dreieck gegeben ist. Wir haben gefolgert, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Winkel an der Basis gleich sind und die Höhe, die Winkelhalbierende und die zur Basis gezogene Mittellinie gleich sind.
Und jetzt stellt sich noch eine Frage: Wie erkennt man ein gleichschenkliges Dreieck? Das ist, wie Mathematiker sagen, was sind Anzeichen für ein gleichschenkliges Dreieck?
Und es stellt sich heraus, dass Sie nur alle Aussagen ins Gegenteil „umdrehen“ müssen. Das passiert natürlich nicht immer, aber ein gleichschenkliges Dreieck ist trotzdem eine tolle Sache! Was passiert nach der „Umkehr“?
Na schau mal hier:
Wenn Höhe und Median gleich sind, dann:
Wenn Höhe und Winkelhalbierende gleich sind, dann: 
Wenn Winkelhalbierende und Median gleich sind, dann:
Nun, nicht vergessen und verwenden:
- Wenn ein gleichschenkliges Dreieck gegeben ist, zeichne gerne eine Höhe, erhalte zwei rechtwinklige Dreiecke und löse schon die Aufgabe über ein rechtwinkliges Dreieck.
- Wenn das gegeben ist zwei Winkel sind gleich, dann das Dreieck exakt gleichschenklig und Sie können eine Höhe zeichnen und .... (Das Haus, das Jack gebaut hat ...).
- Wenn sich herausstellt, dass die Höhe durch die Seite halbiert wird, ist das Dreieck mit allen daraus resultierenden Boni gleichschenklig.
- Wenn sich herausstellt, dass die Höhe den Winkel zu den Böden teilt - auch gleichschenklig!
- Wenn die Winkelhalbierende die Seite oder den Median in zwei Hälften teilt - den Winkel, dann passiert dies auch nur in einem gleichschenkligen Dreieck
Mal sehen, wie es in Aufgaben aussieht.
Aufgabe 1(das einfachste)
In einem Dreieck sind die Seiten und gleich, a. Finden.
Wir entscheiden:
Zuerst eine Zeichnung.
Was ist hier die Grundlage? Sicherlich, .
Wir erinnern uns daran, wenn, dann und.
Zeichnung aktualisiert:
Lassen Sie uns für benennen. Wie groß ist die Winkelsumme des Dreiecks? ?
Wir gebrauchen:
Das ist Antworten: .
Einfach richtig? Ich musste nicht einmal hoch gehen.
Aufgabe 2(Auch nicht sehr schwierig, aber Sie müssen das Thema wiederholen)
In einem Dreieck, Finden.
Wir entscheiden:
Das Dreieck ist gleichschenklig! Wir zeichnen die Höhe (das ist der Fokus, mit dessen Hilfe jetzt alles entschieden wird).
Jetzt "löschen wir aus dem Leben", wir werden nur überlegen.
Also, in haben wir:
Wir erinnern uns an die Tabellenwerte der Kosinuswerte (na ja, oder schauen Sie sich den Spickzettel an ...)
Es bleibt zu finden: .
Antworten: .
Beachten Sie, dass wir hier sind sehr erforderliche Kenntnisse über das rechtwinklige Dreieck und die "tabellarischen" Sinus und Cosinus. Sehr oft passiert das: Die Themen „Gleichschenkliges Dreieck“ und in Rätseln gehen in Bündeln, aber sie sind nicht sehr freundlich zu anderen Themen.
Gleichschenkligen Dreiecks. Mittelstufe.
Diese zwei gleiche Seiten namens Seiten, a die dritte Seite ist die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks.
Betrachten Sie das Bild: und - die Seiten, - die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks.
Lassen Sie uns in einem Bild sehen, warum das so ist. Zeichnen Sie eine Höhe von einem Punkt.
Das bedeutet, dass alle entsprechenden Elemente gleich sind.
Alles! Auf einen Schlag (Höhe) waren alle Aussagen auf einmal bewiesen.
Und Sie erinnern sich: Um das Problem des gleichschenkligen Dreiecks zu lösen, ist es oft sehr nützlich, die Höhe auf die Basis des gleichschenkligen Dreiecks zu verringern und es in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke zu teilen.
Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks
Es gelten auch die umgekehrten Aussagen:
Fast alle diese Aussagen lassen sich wieder „auf einen Schlag“ belegen.
1. Also sei v gleich und.
Nehmen wir die Höhe. Dann
2. a) Lassen Sie nun ein Dreieck ein gleiche Höhe und Winkelhalbierende.
2. b) Und wenn Höhe und Median gleich sind? Alles ist fast gleich, nichts komplizierter!
 |
- auf zwei Beinen |
2. c) Aber wenn es keine Höhe gibt, die auf die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks abgesenkt wird, dann gibt es zunächst keine rechtwinkligen Dreiecke. Schlecht!
Aber es gibt einen Ausweg - lesen Sie ihn auf der nächsten Theorieebene, weil der Beweis hier komplizierter ist, aber denken Sie vorerst daran, dass, wenn die Mittellinie und die Winkelhalbierende zusammenfallen, das Dreieck auch gleichschenklig ist und die Höhe fallen immer noch mit dieser Winkelhalbierenden und dem Median zusammen.
Zusammenfassen:
- Wenn das Dreieck gleichschenklig ist, dann sind die Winkel an der Basis gleich, und die Höhe, Winkelhalbierende und Mittellinie, die zur Basis gezogen werden, sind gleich.
- Wenn es in einem Dreieck zwei gleiche Winkel gibt oder zwei der drei Geraden (Halbierende, Mittellinie, Höhe) zusammenfallen, dann ist ein solches Dreieck gleichschenklig.
Gleichschenkligen Dreiecks. Kurze Beschreibung und grundlegende Formeln
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, das zwei gleiche Seiten hat.
Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks:
- Wenn ein Dreieck zwei gleiche Winkel hat, dann ist es gleichschenklig.
- Wenn in einem Dreieck zusammenfallen:
a) Höhe und Winkelhalbierende oder
b) Höhe und Median oder
in) Median und Winkelhalbierende,
auf eine Seite gezogen, dann ist ein solches Dreieck gleichschenklig.
DIE RESTLICHEN 2/3 ARTIKEL SIND NUR FÜR YOUCLEVER STUDENTEN VERFÜGBAR!
Werde Schüler von YouClever,
Bereiten Sie sich auf die OGE oder USE in Mathematik zum Preis von "einer Tasse Kaffee pro Monat" vor,
Außerdem erhalten Sie uneingeschränkten Zugriff auf das „YouClever“-Lehrbuch, das „100gia“-Trainingsprogramm (Lösungsbuch), die unbegrenzte Testversion von USE und OGE, 6000 Aufgaben mit Analyse der Lösungen und andere YouClever- und 100gia-Dienste.
Die ersten Historiker unserer Zivilisation – die alten Griechen – erwähnen Ägypten als Geburtsort der Geometrie. Es ist schwierig, ihnen zu widersprechen, wenn man weiß, mit welcher erstaunlichen Genauigkeit die riesigen Gräber der Pharaonen errichtet wurden. Die gegenseitige Anordnung der Ebenen der Pyramiden, ihre Proportionen, die Orientierung an den Himmelsrichtungen - es wäre undenkbar, eine solche Perfektion zu erreichen, ohne die Grundlagen der Geometrie zu kennen.
Schon das Wort „Geometrie“ kann mit „Messung der Erde“ übersetzt werden. Außerdem erscheint das Wort "Erde" nicht als Planet - Teil des Sonnensystems, sondern als Ebene. Die Markierung von Flächen für die Landwirtschaft ist höchstwahrscheinlich die ursprüngliche Grundlage der Wissenschaft geometrischer Formen, ihrer Arten und Eigenschaften.
Ein Dreieck ist die einfachste räumliche Figur der Planimetrie und enthält nur drei Punkte - Eckpunkte (es gibt nicht weniger). Das Fundament von Fundamenten ist vielleicht der Grund, warum etwas Mysteriöses und Altes darin zu sein scheint. Das allsehende Auge in einem Dreieck ist eines der frühesten bekannten okkulten Zeichen, und die Geographie seiner Verbreitung und seines Zeitrahmens sind einfach erstaunlich. Von alten ägyptischen, sumerischen, aztekischen und anderen Zivilisationen bis hin zu moderneren Gemeinschaften okkulter Liebhaber, die auf der ganzen Welt verstreut sind.
Was sind dreiecke
Ein gewöhnliches ungleichmäßiges Dreieck ist eine geschlossene geometrische Figur, die aus drei Segmenten unterschiedlicher Länge und drei Winkeln besteht, von denen keines gerade ist. Darüber hinaus gibt es mehrere Sondertypen.
Bei einem spitzen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90 Grad. Mit anderen Worten, alle Winkel eines solchen Dreiecks sind spitz.
Das rechtwinklige Dreieck, über das Schulkinder schon immer wegen der Fülle an Sätzen geweint haben, hat einen Winkel mit einem Wert von 90 Grad oder, wie es auch genannt wird, einen rechten.
Ein stumpfes Dreieck zeichnet sich dadurch aus, dass einer seiner Winkel stumpf ist, dh sein Wert beträgt mehr als 90 Grad.
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. In einer solchen Figur sind auch alle Winkel gleich.
Und schließlich sind in einem gleichschenkligen Dreieck mit drei Seiten zwei einander gleich.
Unterscheidungsmerkmale
Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks bestimmen auch seinen Hauptunterschied - die Gleichheit der beiden Seiten. Diese gleichen Seiten werden normalerweise als Hüften (oder häufiger als Seiten) bezeichnet, aber die dritte Seite wird als „Basis“ bezeichnet.
In der betrachteten Figur ist a = b.
Das zweite Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks folgt aus dem Sinussatz. Da die Seiten a und b gleich sind, sind auch die Sinus ihrer gegenüberliegenden Winkel gleich:
a/sin γ = b/sin α, woraus gilt: sin γ = sin α.
Aus der Gleichheit der Sinus folgt die Gleichheit der Winkel: γ = α.
Das zweite Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks ist also die Gleichheit zweier Winkel neben der Basis.
Drittes Zeichen. In einem Dreieck werden Elemente wie Höhe, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende unterschieden.
Wenn sich bei der Lösung des Problems herausstellt, dass im betrachteten Dreieck zwei dieser Elemente zusammenfallen: die Höhe mit der Winkelhalbierenden; Winkelhalbierende mit Median; Median mit Höhe - wir können definitiv schlussfolgern, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Geometrische Eigenschaften einer Figur
1. Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks. Eine der charakteristischen Eigenschaften der Figur ist die Gleichheit der Winkel neben der Basis:
<ВАС = <ВСА.
2. Eine weitere oben diskutierte Eigenschaft: Median, Winkelhalbierende und Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck sind gleich, wenn sie von der Spitze bis zur Basis gebaut werden.
3. Die Gleichheit der von den Eckpunkten an der Basis gezogenen Winkelhalbierenden:
Wenn AE die Winkelhalbierende des Winkels BAC und CD die Winkelhalbierende des Winkels BCA ist, dann gilt: AE = DC.
4. Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks sorgen auch für die Gleichheit der Höhen, die von den Eckpunkten an der Basis gezogen werden.
Wenn wir die Höhen des Dreiecks ABC (mit AB = BC) aus den Eckpunkten A und C bilden, dann sind die resultierenden Segmente CD und AE gleich.
5. Die Mediane, die von den Ecken an der Basis gezogen werden, werden ebenfalls gleich ausfallen.
Wenn also AE und DC Mediane sind, d. h. AD = DB und BE = EC, dann ist AE = DC.
Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks
Die Gleichheit der Seiten und Winkel an ihnen führt einige Merkmale in die Berechnung der Längen der Elemente der betreffenden Figur ein.
Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck teilt die Figur in 2 symmetrische rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenusen die Seiten sind. Die Höhe wird in diesem Fall nach dem Satz des Pythagoras als Bein bestimmt.
Ein Dreieck kann alle drei Seiten gleich haben, dann wird es gleichseitig genannt. Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wird auf ähnliche Weise bestimmt, nur für Berechnungen reicht es aus, nur einen Wert zu kennen - die Seitenlänge dieses Dreiecks.
Sie können die Höhe auch auf andere Weise bestimmen, indem Sie beispielsweise die Basis und den angrenzenden Winkel kennen.
Median eines gleichschenkligen Dreiecks
Der betrachtete Dreieckstyp wird aufgrund geometrischer Merkmale ganz einfach durch den minimalen Satz von Anfangsdaten gelöst. Da der Median in einem gleichschenkligen Dreieck sowohl seiner Höhe als auch seiner Winkelhalbierenden entspricht, unterscheidet sich der Algorithmus zu seiner Bestimmung nicht von der Reihenfolge, in der diese Elemente berechnet werden.
Beispielsweise können Sie die Länge des Medians durch die bekannte laterale Seite und den Wert des Winkels am Scheitelpunkt bestimmen.
So bestimmen Sie den Umfang
Da die betrachtete planimetrische Figur zwei immer gleiche Seiten hat, reicht es zur Bestimmung des Umfangs aus, die Länge der Basis und die Länge einer der Seiten zu kennen.
Betrachten Sie ein Beispiel, wenn Sie den Umfang eines Dreiecks bei bekannter Basis und Höhe bestimmen müssen.
Der Umfang ist gleich der Summe aus Grundfläche und doppelter Seitenlänge. Die laterale Seite wiederum wird nach dem Satz des Pythagoras als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bestimmt. Seine Länge ist gleich der Quadratwurzel der Summe aus dem Quadrat der Höhe und dem Quadrat der halben Grundfläche.
Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks
Verursacht in der Regel keine Schwierigkeiten und die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks. Die universelle Regel zur Bestimmung der Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe gilt natürlich auch in unserem Fall. Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks erleichtern die Aufgabe jedoch wieder.
Nehmen wir an, wir kennen die Höhe und den Winkel neben der Basis. Sie müssen den Bereich der Figur bestimmen. Sie können es so machen.
Da die Summe der Winkel jedes Dreiecks 180° beträgt, ist es nicht schwierig, die Größe des Winkels zu bestimmen. Ferner wird unter Verwendung des gemäß dem Sinussatz ermittelten Anteils die Länge der Basis des Dreiecks bestimmt. Alles, Basis und Höhe - genügend Daten um die Fläche zu bestimmen - sind vorhanden.
Andere Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks
Die Lage des Mittelpunktes eines um ein gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises hängt vom Winkel der Spitze ab. Wenn also ein gleichschenkliges Dreieck spitzwinklig ist, liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb der Figur.
Der Mittelpunkt eines um ein stumpfes gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises liegt außerhalb davon. Und schließlich, wenn der Winkel am Scheitelpunkt 90° beträgt, liegt der Mittelpunkt genau in der Mitte der Grundfläche, und der Durchmesser des Kreises geht durch die Grundfläche selbst hindurch.
Um den Radius eines um ein gleichschenkliges Dreieck umschriebenen Kreises zu bestimmen, genügt es, die Seitenlänge durch den doppelten Kosinus des halben Winkels an der Spitze zu teilen.
Die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks drücken die folgenden Sätze aus.
Satz 1. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.
Satz 2. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Winkelhalbierende der Median und die Höhe.
Satz 3. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Seitenhalbierende die Winkelhalbierende und die Höhe.
Satz 4. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Höhe die Winkelhalbierende und die Seitenhalbierende.
Lassen Sie uns einen davon beweisen, zum Beispiel Satz 2.5.
Nachweisen. Betrachten Sie ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis BC und beweisen Sie, dass ∠ B = ∠ C. Sei AD die Winkelhalbierende des Dreiecks ABC (Abb. 1). Die Dreiecke ABD und ACD sind gemäß dem ersten Gleichheitszeichen von Dreiecken gleich (AB = AC nach Bedingung, AD ist die gemeinsame Seite, ∠ 1 = ∠ 2, da AD die Winkelhalbierende ist). Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt ∠ B = ∠ C. Der Satz ist bewiesen.
Unter Verwendung von Satz 1 stellen wir den folgenden Satz auf.
Satz 5. Das dritte Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken. Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich (Abb. 2).
Kommentar. Die in den Beispielen 1 und 2 aufgestellten Sätze drücken die Eigenschaften der Mittelsenkrechten zum Segment aus. Aus diesen Vorschlägen folgt, dass die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beispiel 1 Beweisen Sie, dass der von den Enden der Strecke äquidistante Punkt der Ebene auf der Mittelsenkrechten zu dieser Strecke liegt.
Entscheidung. Der Punkt M sei gleich weit von den Enden der Strecke AB entfernt (Abb. 3), d. h. AM = VM.
Dann ist ΔAMV gleichschenklig. Lassen Sie uns eine Linie p durch den Punkt M und den Mittelpunkt O der Strecke AB ziehen. Konstruktionsbedingt ist die Strecke MO der Median des gleichschenkligen Dreiecks AMB und damit (Satz 3) und die Höhe, d. h. die Gerade MO, die Mittelsenkrechte auf der Strecke AB.
Beispiel 2 Beweisen Sie, dass jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke gleich weit von ihren Enden entfernt ist.
Entscheidung. Sei p die Mittelsenkrechte zum Segment AB und Punkt O der Mittelpunkt des Segments AB (siehe Abb. 3).
Betrachten Sie einen beliebigen Punkt M, der auf der Linie p liegt. Lassen Sie uns die Segmente AM und VM zeichnen. Die Dreiecke AOM und VOM sind gleich, da ihre Winkel an der Spitze O gerade sind, der Schenkel OM gemeinsam ist und der Schenkel OA bedingt gleich dem Schenkel OB ist. Aus der Gleichheit der Dreiecke AOM und BOM folgt AM = BM.
Beispiel 3 Im Dreieck ABC (siehe Abb. 4) AB \u003d 10 cm, BC \u003d 9 cm, AC \u003d 7 cm; im Dreieck DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.
Vergleiche die Dreiecke ABC und DEF. Finden Sie entsprechend gleiche Winkel.
Entscheidung. Diese Dreiecke sind im dritten Kriterium gleich. Entsprechend gleiche Winkel: A und E (sie liegen den gleichen Seiten BC und FD gegenüber), B und F (sie liegen den gleichen Seiten AC und DE gegenüber), C und D (sie liegen den gleichen Seiten AB und EF gegenüber).
Beispiel 4 In Abbildung 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.
Winkel D finden.
Entscheidung. Betrachten Sie die Dreiecke ABC und ADC. Sie sind im dritten Merkmal gleich (AB = DC, BC = AD nach Bedingung und Seite AC ist gemeinsam). Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt ∠ B = ∠ D, aber der Winkel B ist 100°, also ist der Winkel D 100°.
Beispiel 5 In einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit Basis AC beträgt der Außenwinkel an der Spitze C 123°. Finden Sie den Winkel ABC. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.
Videolösung.
