Unterricht und Präsentation zum Thema: "Gleichungssysteme. Die Substitutionsmethode, die Additionsmethode, die Methode zur Einführung einer neuen Variablen"

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Wege zur Lösung von Ungleichungssystemen

Leute, wir haben Gleichungssysteme studiert und gelernt, wie man sie mit Graphen löst. Sehen wir uns nun an, welche anderen Möglichkeiten es gibt, Systeme zu lösen.
Fast alle Wege, sie zu lösen, unterscheiden sich nicht von denen, die wir in der 7. Klasse gelernt haben. Jetzt müssen wir einige Anpassungen gemäß den Gleichungen vornehmen, die wir zu lösen gelernt haben.
Die Essenz aller in dieser Lektion beschriebenen Methoden besteht darin, das System durch ein äquivalentes System mit einer einfacheren Form und Lösungsmethode zu ersetzen. Leute, denkt daran, was ein äquivalentes System ist.

Substitutionsmethode

Der erste Weg, Gleichungssysteme mit zwei Variablen zu lösen, ist uns bekannt - das ist die Substitutionsmethode. Wir haben diese Methode verwendet, um lineare Gleichungen zu lösen. Sehen wir uns nun an, wie man Gleichungen im allgemeinen Fall löst.

Wie sollte man bei einer Entscheidung vorgehen?
1. Drücken Sie eine der Variablen durch die andere aus. Die in Gleichungen am häufigsten verwendeten Variablen sind x und y. In einer der Gleichungen drücken wir eine Variable durch eine andere aus. Tipp: Schau dir beide Gleichungen genau an, bevor du mit dem Lösen beginnst, und wähle diejenige, bei der sich die Variable leichter ausdrücken lässt.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle der ausgedrückten Variablen in die zweite Gleichung ein.
3. Lösen Sie die erhaltene Gleichung.
4. Setze die resultierende Lösung in die zweite Gleichung ein. Wenn es mehrere Lösungen gibt, müssen sie nacheinander ersetzt werden, um nicht ein paar Lösungen zu verlieren.
5. Als Ergebnis erhalten Sie ein Zahlenpaar $(x;y)$, das als Antwort geschrieben werden muss.

Beispiel.
Lösen Sie ein System mit zwei Variablen mit der Substitutionsmethode: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Entscheidung.
Schauen wir uns unsere Gleichungen genauer an. Offensichtlich ist es viel einfacher, y durch x in der ersten Gleichung auszudrücken.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Setzen Sie den ersten Ausdruck in die zweite Gleichung $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ ein.
Lösen wir die zweite Gleichung separat:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Wir haben zwei Lösungen der zweiten Gleichung $x_1=2$ und $x_2=3$.
Setze sukzessive in die zweite Gleichung ein.
Wenn $x=2$ dann $y=3$. Wenn $x=3$ dann $y=2$.
Die Antwort besteht aus zwei Zahlenpaaren.
Antwort: $(2;3)$ und $(3;2)$.

Algebraische Additionsmethode

Wir haben diese Methode auch in der 7. Klasse studiert.
Es ist bekannt, dass wir eine rationale Gleichung in zwei Variablen mit einer beliebigen Zahl multiplizieren können, wobei wir daran denken, beide Seiten der Gleichung zu multiplizieren. Wir haben eine der Gleichungen mit einer bestimmten Zahl multipliziert, sodass eine der Variablen zerstört wird, wenn die resultierende Gleichung zur zweiten Gleichung des Systems hinzugefügt wird. Dann wurde die Gleichung bezüglich der verbleibenden Variablen gelöst.
Diese Methode funktioniert immer noch, obwohl es nicht immer möglich ist, eine der Variablen zu zerstören. Aber es erlaubt einem, die Form einer der Gleichungen erheblich zu vereinfachen.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Entscheidung.
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 2.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Wie Sie sehen können, ist die Form der resultierenden Gleichung viel einfacher als die ursprüngliche. Jetzt können wir die Substitutionsmethode anwenden.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Lassen Sie uns x bis y in der resultierenden Gleichung ausdrücken.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Habe $y=-1$ und $y=-3$.
Setzen Sie diese Werte nacheinander in die erste Gleichung ein. Wir erhalten zwei Zahlenpaare: $(1;-1)$ und $(-1;-3)$.
Antwort: $(1;-1)$ und $(-1;-3)$.

Methode zur Einführung einer neuen Variablen

Wir haben diese Methode auch studiert, aber schauen wir sie uns noch einmal an.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Entscheidung.
Führen wir die Ersetzung $t=\frac(x)(y)$ ein.
Schreiben wir die erste Gleichung mit einer neuen Variablen um: $t+\frac(2)(t)=3$.
Lösen wir die resultierende Gleichung:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Habe $t=2$ oder $t=1$. Führen wir die umgekehrte Änderung $t=\frac(x)(y)$ ein.
Erhalten: $x=2y$ und $x=y$.

Für jeden der Ausdrücke muss das ursprüngliche System separat gelöst werden:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Wir haben vier Lösungspaare erhalten.
Antwort: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Entscheidung.
Wir führen die Ersetzung ein: $z=\frac(2)(x-3y)$ und $t=\frac(3)(2x+y)$.
Schreiben wir die ursprünglichen Gleichungen mit neuen Variablen um:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Wenden wir die Methode der algebraischen Addition an:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Führen wir die umgekehrte Substitution ein:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Lassen Sie uns die Substitutionsmethode verwenden:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Antwort: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Probleme zu Gleichungssystemen zur unabhängigen Lösung

Systeme lösen:
1. $\begin(cases)2x-2y=6, \\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3, \\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ Ende(Fälle)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

Erinnern wir uns zunächst an die Definition einer Lösung eines Gleichungssystems in zwei Variablen.

Bestimmung 1

Ein Zahlenpaar heißt Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen, wenn beim Einsetzen in die Gleichung die richtige Gleichheit erreicht wird.

Im Folgenden betrachten wir Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen.

Existieren vier grundlegende Möglichkeiten, Gleichungssysteme zu lösen: Substitutionsmethode, Additionsmethode, grafische Methode, neue Variablenverwaltungsmethode. Sehen wir uns diese Methoden anhand konkreter Beispiele an. Um das Prinzip der Verwendung der ersten drei Methoden zu beschreiben, betrachten wir ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten:

Substitutionsmethode

Die Substitutionsmethode ist wie folgt: Jede dieser Gleichungen wird genommen und $y$ wird in Form von $x$ ausgedrückt, dann wird $y$ in die Gleichung des Systems eingesetzt, woraus die Variable $x.$ gefunden wird. Danach können wir die Variable $y.$ leicht berechnen

Beispiel 1

Lassen Sie uns aus der zweiten Gleichung $y$ in Form von $x$ ausdrücken:

Ersetzen Sie in der ersten Gleichung, finden Sie $x$:

\ \ \

Finde $y$:

Antworten: $(-2,\ 3)$

Additionsmethode.

Betrachten Sie diese Methode anhand eines Beispiels:

Beispiel 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 3, wir erhalten:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Jetzt addieren wir beide Gleichungen zusammen:

\ \ \

Finde $y$ aus der zweiten Gleichung:

\[-6-y=-9\] \

Antworten: $(-2,\ 3)$

Bemerkung 1

Beachten Sie, dass bei dieser Methode eine oder beide Gleichungen mit solchen Zahlen multipliziert werden müssen, dass beim Hinzufügen einer der Variablen "verschwindet".

Grafischer Weg

Die grafische Methode ist wie folgt: Beide Gleichungen des Systems werden auf der Koordinatenebene angezeigt und der Punkt ihres Schnittpunkts wird gefunden.

Beispiel 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Lassen Sie uns $y$ aus beiden Gleichungen durch $x$ ausdrücken:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Lassen Sie uns beide Graphen auf derselben Ebene zeichnen:

Bild 1.

Antworten: $(-2,\ 3)$

Wie man neue Variablen einführt

Wir betrachten diese Methode im folgenden Beispiel:

Beispiel 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Entscheidung.

Dieses System entspricht dem System

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Rechts.\]

Seien $2^x=u\ (u>0)$ und $3^y=v\ (v>0)$, wir erhalten:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Wir lösen das resultierende System mit der Additionsmethode. Fügen wir die Gleichungen hinzu:

\ \

Dann bekommen wir das aus der zweiten Gleichung

Zurück zur Ersetzung erhalten wir ein neues System von Exponentialgleichungen:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Wir bekommen:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Betrachten wir zunächst den Fall, dass die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Variablen ist, d.h. m = n. Dann ist die Matrix des Systems quadratisch, und ihre Determinante heißt Determinante des Systems.

Methode der inversen Matrix

Betrachten Sie allgemein das Gleichungssystem AX = B mit einer nichtsingulären quadratischen Matrix A. In diesem Fall gibt es eine inverse Matrix A -1 . Lassen Sie uns beide Seiten mit A -1 auf der linken Seite multiplizieren. Wir bekommen A -1 AX \u003d A -1 B. Von hier EX \u003d A -1 B und

Die letzte Gleichheit ist eine Matrixformel zum Auffinden von Lösungen für solche Gleichungssysteme. Die Verwendung dieser Formel wird als Inverse-Matrix-Methode bezeichnet

Lassen Sie uns diese Methode zum Beispiel verwenden, um das folgende System zu lösen:

;

Am Ende der Lösung des Systems kann eine Überprüfung erfolgen, indem die gefundenen Werte in die Gleichungen des Systems eingesetzt werden. In diesem Fall müssen sie sich in echte Gleichheiten verwandeln.

Lassen Sie uns für dieses Beispiel Folgendes überprüfen:

Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen mit einer quadratischen Matrix unter Verwendung von Cramers Formeln

Sei n=2:

Wenn beide Teile der ersten Gleichung mit a 22 und beide Teile der zweiten mit (-a 12) multipliziert werden und dann die resultierenden Gleichungen addiert werden, schließen wir die Variable x 2 aus dem System aus. Ebenso können Sie die Variable x 1 eliminieren (indem Sie beide Seiten der ersten Gleichung mit (-a 21) und beide Seiten der zweiten mit a 11 multiplizieren). Als Ergebnis erhalten wir das System:

Der Ausdruck in Klammern ist die Determinante des Systems

Bezeichnen

Dann nimmt das System die Form an:

Aus dem resultierenden System folgt, dass, wenn die Determinante des Systems 0 ist, das System konsistent und eindeutig ist. Seine einzigartige Lösung kann durch die Formeln berechnet werden:

Wenn = 0, a 1 0 und/oder  2 0, dann nehmen die Gleichungen des Systems die Form 0*х 1 = 2 und/oder 0*х 1 = 2 an. In diesem Fall wird das System inkonsistent sein.

Für den Fall, dass = 1 = 2 = 0 ist, ist das System konsistent und unbestimmt (es hat eine unendliche Anzahl von Lösungen), da es die Form annimmt:

Satz von Cramer(wir lassen den Beweis weg). Wenn die Determinante der Matrix des Gleichungssystems n  ungleich Null ist, dann hat das System eine eindeutige Lösung, bestimmt durch die Formeln:

,

wobei  j die Determinante der Matrix ist, die man aus der Matrix A erhält, indem man die j-te Spalte durch eine Spalte mit freien Elementen ersetzt.

Die obigen Formeln werden aufgerufen Cramers Formeln.

Als Beispiel verwenden wir diese Methode, um ein System zu lösen, das zuvor mit der Methode der inversen Matrix gelöst wurde:

Nachteile der betrachteten Methoden:

1) erhebliche Komplexität (Berechnung von Determinanten und Auffinden der inversen Matrix);

2) eingeschränkter Anwendungsbereich (für Systeme mit quadratischer Matrix).

Realwirtschaftliche Situationen werden oft durch Systeme modelliert, in denen die Anzahl der Gleichungen und Variablen ziemlich groß ist und es mehr Gleichungen als Variablen gibt, daher ist die folgende Methode in der Praxis üblicher.

Gauss-Methode (Methode der sukzessiven Eliminierung von Variablen)

Dieses Verfahren wird verwendet, um ein System von m linearen Gleichungen mit n Variablen auf allgemeine Weise zu lösen. Sein Wesen besteht darin, ein System äquivalenter Transformationen auf die erweiterte Matrix anzuwenden, mit deren Hilfe das Gleichungssystem in die Form transformiert wird, wenn seine Lösungen (falls vorhanden) leicht zu finden sind.

Dies ist eine solche Ansicht, in der der obere linke Teil der Systemmatrix eine abgestufte Matrix ist. Dies wird unter Verwendung der gleichen Techniken erreicht, die verwendet wurden, um eine abgestufte Matrix zu erhalten, um den Rang zu bestimmen. In diesem Fall werden auf die erweiterte Matrix elementare Transformationen angewendet, die es ermöglichen, ein äquivalentes Gleichungssystem zu erhalten. Danach nimmt die erweiterte Matrix die Form an:

Das Erhalten einer solchen Matrix wird aufgerufen in einer geraden Linie Gauss-Methode.

Das Finden der Werte von Variablen aus dem entsprechenden Gleichungssystem wird aufgerufen rückwärts Gauss-Methode. Betrachten wir es.

Beachten Sie, dass die letzten (m – r) Gleichungen die Form annehmen:

Wenn mindestens eine der Nummern
nicht gleich Null ist, dann ist die entsprechende Gleichheit falsch und das ganze System wird inkonsistent.

Daher für jedes gemeinsame System
. In diesem Fall sind die letzten (m – r) Gleichungen für beliebige Werte der Variablen Identitäten 0 = 0 und können beim Lösen des Systems ignoriert werden (verwerfen Sie einfach die entsprechenden Zeilen).

Danach sieht das System so aus:

Betrachten Sie zunächst den Fall r=n. Dann nimmt das System die Form an:

Aus der letzten Gleichung des Systems kann man x r eindeutig finden.

Wenn man x r kennt, kann man daraus x r -1 eindeutig ausdrücken. Dann können wir aus der vorherigen Gleichung, wenn wir x r und x r -1 kennen, x r -2 ausdrücken und so weiter. bis x 1 .

In diesem Fall wird das System also kooperativ und definitiv sein.

Betrachten Sie nun den Fall, wenn r Basic(grundlegend) und alles andere - nicht basisch(klein, frei). Die letzte Gleichung des Systems sieht folgendermaßen aus:

Aus dieser Gleichung können wir die Grundvariable x r in Form von Nichtgrundvariablen ausdrücken:

Die vorletzte Gleichung sieht so aus:

Durch Ersetzen des resultierenden Ausdrucks anstelle von x r wird es möglich, die Basisvariable x r -1 durch Nicht-Basisvariable auszudrücken. Usw. zu Variable x 1 . Um eine Lösung für das System zu erhalten, können Sie nicht grundlegende Variablen mit beliebigen Werten gleichsetzen und dann die grundlegenden Variablen mithilfe der erhaltenen Formeln berechnen. In diesem Fall ist das System also konsistent und unbestimmt (hat eine unendliche Anzahl von Lösungen).

Lassen Sie uns zum Beispiel das Gleichungssystem lösen:

Der Satz von Basisvariablen wird aufgerufen Basis Systeme. Der Satz von Koeffizientenspalten für sie wird ebenfalls aufgerufen Basis(Grundsäulen) oder grundlegendes Moll Systemmatrizen. Es wird diejenige Lösung des Systems aufgerufen, bei der alle Nichtbasisvariablen gleich Null sind grundlegende Lösung.

Im vorherigen Beispiel ist die Basislösung (4/5; -17/5; 0; 0) (Variablen x 3 und x 4 (c 1 und c 2) werden auf Null gesetzt, und die Basisvariablen x 1 und x 2 werden durch sie berechnet) . Um ein Beispiel für eine nicht grundlegende Lösung zu geben, müssen x 3 und x 4 (c 1 und c 2) gleichzeitig mit beliebigen Zahlen ungleich Null gleichgesetzt und die restlichen Variablen durchgerechnet werden Sie. Zum Beispiel erhalten wir mit c 1 = 1 und c 2 = 0 eine nicht-basische Lösung – (4/5; –12/5; 1; 0). Durch Substitution lässt sich leicht überprüfen, ob beide Lösungen richtig sind.

Offensichtlich kann es in einem unbestimmten System nichtbasischer Lösungen unendlich viele Lösungen geben. Wie viele Basislösungen kann es geben? Jede Zeile der transformierten Matrix muss einer Basisvariablen entsprechen. Insgesamt enthält das Problem n Variablen und r einfache Zeilen. Daher kann die Anzahl der möglichen Sätze von Basisvariablen die Anzahl der Kombinationen von n bis 2 nicht überschreiten. Es kann weniger als sein , weil es nicht immer möglich ist, das System so zu transformieren, dass dieser bestimmte Satz von Variablen zugrunde liegt.

Was ist das für eine Art? Dies ist eine solche Form, wenn die Matrix, die aus den Spalten der Koeffizienten für diese Variablen gebildet wird, schrittweise ist und in diesem Fall aus Zeilen besteht. Jene. der Rang der Koeffizientenmatrix für diese Variablen muss gleich r sein. Sie kann nicht größer sein, da die Anzahl der Spalten gleich r ist. Fällt er kleiner als r aus, deutet dies auf eine lineare Abhängigkeit der Spalten mit Variablen hin. Solche Spalten können keine Grundlage bilden.

Betrachten wir, welche anderen grundlegenden Lösungen in dem obigen Beispiel gefunden werden können. Betrachten Sie dazu alle möglichen Kombinationen von vier Variablen mit zwei grundlegenden. Solche Kombinationen werden
, und einer von ihnen (x 1 und x 2) wurde bereits betrachtet.

Nehmen wir die Variablen x 1 und x 3 . Finden Sie den Rang der Koeffizientenmatrix für sie:

Da es gleich zwei ist, können sie basisch sein. Wir setzen die nicht grundlegenden Variablen x 2 und x 4 mit Null gleich: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. Dann folgt aus der Formel x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4, dass x 1 \u003d 4/5, und aus der Formel x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 folgt x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. Somit erhalten wir die Grundlösung (4/5; 0; 17/5; 0).

In ähnlicher Weise können Sie grundlegende Lösungen für die grundlegenden Variablen x 1 und x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 und x 4 – (0; –9; 0; 4); x 3 und x 4 - (0; 0; 9; 4).

Die Variablen x 2 und x 3 in diesem Beispiel können nicht als grundlegende angesehen werden, da der Rang der entsprechenden Matrix gleich eins ist, d.h. weniger als zwei:

.

Ein anderer Ansatz ist möglich, um zu bestimmen, ob es möglich ist, eine Basis von einigen Variablen zu bilden oder nicht. Bei der Lösung des Beispiels nahm es als Ergebnis der Transformation der Systemmatrix in eine Stufenform die Form an:

Durch die Wahl von Variablenpaaren konnten die entsprechenden Minoren dieser Matrix berechnet werden. Es ist leicht zu sehen, dass alle Paare außer x 2 und x 3 ungleich Null sind, d.h. die Spalten sind linear unabhängig. Und nur für Spalten mit Variablen x 2 und x 3
, was auf ihre lineare Abhängigkeit hinweist.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem

Die Gleichung, die der dritten Zeile der letzten Matrix entspricht, ist also inkonsistent - sie führte zur falschen Gleichheit 0 = -1, daher ist dieses System inkonsistent.

Jordan-Gauß-Verfahren 3 ist eine Weiterentwicklung der Gaußschen Methode. Sein Wesen besteht darin, dass die erweiterte Matrix des Systems in die Form umgewandelt wird, wenn die Koeffizienten der Variablen eine Identitätsmatrix bis zu einer Permutation von Zeilen oder Spalten 4 bilden (wobei der Rang der Systemmatrix ist).

Lassen Sie uns das System mit dieser Methode lösen:

Betrachten Sie die erweiterte Matrix des Systems:

In dieser Matrix wählen wir das Identitätselement aus. Beispielsweise ist der Koeffizient bei x 2 in der dritten Einschränkung 5. Stellen wir sicher, dass in den verbleibenden Zeilen dieser Spalte Nullen stehen, d.h. Machen Sie die Spalte einfach. Im Prozess der Transformationen werden wir dies nennen Säulefreizügig(führend, Schlüssel). Die dritte Einschränkung (die dritte Schnur) wird ebenfalls aufgerufen freizügig. Mich selber Element, die am Schnittpunkt der zulässigen Zeile und Spalte steht (hier ist es eine Einheit), wird auch genannt freizügig.

Die erste Zeile enthält nun den Koeffizienten (-1). Um an ihrer Stelle eine Null zu erhalten, multiplizieren Sie die dritte Zeile mit (-1) und subtrahieren Sie das Ergebnis von der ersten Zeile (d. h. addieren Sie einfach die erste Zeile zur dritten).

Die zweite Zeile enthält einen Koeffizienten von 2. Um an ihrer Stelle Null zu erhalten, multiplizieren Sie die dritte Zeile mit 2 und subtrahieren Sie das Ergebnis von der ersten Zeile.

Das Ergebnis der Transformationen sieht folgendermaßen aus:

Diese Matrix zeigt deutlich, dass eine der ersten beiden Einschränkungen gelöscht werden kann (die entsprechenden Zeilen sind proportional, d. h. diese Gleichungen folgen aufeinander). Streichen wir die zweite:

Es gibt also zwei Gleichungen im neuen System. Eine einzelne Spalte (zweite) wird empfangen, und die Einheit befindet sich hier in der zweiten Zeile. Erinnern wir uns, dass die Basisvariable x 2 der zweiten Gleichung des neuen Systems entspricht.

Wählen wir eine Basisvariable für die erste Zeile. Es kann jede Variable außer x 3 sein (weil bei x 3 die erste Bedingung einen Nullkoeffizienten hat, d. h. die Menge der Variablen x 2 und x 3 kann hier nicht grundlegend sein). Sie können die erste oder vierte Variable nehmen.

Wählen wir x 1. Dann ist das Auflösungselement 5, und beide Seiten der Auflösungsgleichung müssen durch fünf geteilt werden, um eins in der ersten Spalte der ersten Zeile zu erhalten.

Stellen wir sicher, dass die restlichen Zeilen (d. h. die zweite Zeile) in der ersten Spalte Nullen enthalten. Da nun die zweite Zeile nicht Null, sondern 3 ist, müssen von der zweiten Zeile die Elemente der konvertierten ersten Zeile, multipliziert mit 3, abgezogen werden:

Eine Basislösung kann direkt aus der resultierenden Matrix extrahiert werden, indem die Nichtbasisvariablen mit Null und die Basisvariablen mit den freien Termen in den entsprechenden Gleichungen gleichgesetzt werden: (0,8; -3,4; 0; 0). Sie können auch allgemeine Formeln ableiten, die grundlegende Variablen durch nicht grundlegende Variablen ausdrücken: x 1 \u003d 0,8 - 1,2 x 4; x 2 \u003d -3,4 + x 3 + 1,6 x 4. Diese Formeln beschreiben den gesamten unendlichen Satz von Lösungen für das System (indem Sie x 3 und x 4 mit beliebigen Zahlen gleichsetzen, können Sie x 1 und x 2 berechnen).

Beachten Sie, dass das Wesen der Transformationen in jeder Phase der Jordan-Gauß-Methode wie folgt war:

1) die zulässige Zeichenfolge wurde durch das zulässige Element geteilt, um eine Einheit an ihrer Stelle zu erhalten,

2) Von allen anderen Zeilen wurde das transformierte Auflösungsvermögen multipliziert mit dem Element, das sich in der gegebenen Zeile in der Auflösungsspalte befand, subtrahiert, um anstelle dieses Elements Null zu erhalten.

Betrachten Sie noch einmal die transformierte erweiterte Matrix des Systems:

Aus diesem Eintrag ist ersichtlich, dass der Rang der Matrix des Systems A r ist.

Im Zuge der obigen Überlegungen haben wir festgestellt, dass das System genau dann konsistent ist, wenn
. Dies bedeutet, dass die erweiterte Matrix des Systems wie folgt aussehen wird:

Wenn wir Nullzeilen verwerfen, erhalten wir, dass der Rang der erweiterten Matrix des Systems auch gleich r ist.

Satz von Kronecker-Capelli. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann konsistent, wenn der Rang der Matrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix dieses Systems ist.

Denken Sie daran, dass der Rang einer Matrix gleich der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen ist. Daraus folgt, dass, wenn der Rang der erweiterten Matrix kleiner als die Anzahl der Gleichungen ist, die Gleichungen des Systems linear abhängig sind und eine oder mehrere von ihnen aus dem System ausgeschlossen werden können (weil sie linear sind Kombination der anderen). Das Gleichungssystem ist nur dann linear unabhängig, wenn der Rang der erweiterten Matrix gleich der Anzahl der Gleichungen ist.

Darüber hinaus kann für konsistente Systeme linearer Gleichungen argumentiert werden, dass das System eine eindeutige Lösung hat, wenn der Rang der Matrix gleich der Anzahl der Variablen ist, und wenn es weniger als die Anzahl der Variablen ist Das System ist unbestimmt und hat unendlich viele Lösungen.

1Angenommen, die Matrix enthält fünf Zeilen (die anfängliche Zeilenreihenfolge ist 12345). Wir müssen die zweite Zeile und die fünfte ändern. Damit die zweite Zeile an die Stelle der fünften fällt und sich nach unten „bewegt“, ändern wir die benachbarten Zeilen dreimal nacheinander: die zweite und dritte (13245), die zweite und vierte (13425) und die zweite und fünfte (13452). Damit die fünfte Reihe den Platz der zweiten in der ursprünglichen Matrix einnehmen kann, muss die fünfte Reihe nur um zwei aufeinanderfolgende Änderungen nach oben „verschoben“ werden: die fünfte und vierte Reihe (13542) und die fünfte und dritte (15342).

2Anzahl der Kombinationen von n bis r wird die Anzahl aller unterschiedlichen r-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge genannt (unterschiedliche Mengen sind solche, die eine unterschiedliche Zusammensetzung von Elementen haben, die Auswahlreihenfolge ist nicht wichtig). Es wird nach der Formel berechnet:
. Erinnern Sie sich an die Bedeutung des Zeichens „!“ (Fakultät):
0!=1.)

3Da diese Methode gebräuchlicher ist als die zuvor besprochene Gaußsche Methode und im Wesentlichen eine Kombination aus der Vorwärts- und Rückwärts-Gaußschen Methode ist, wird sie manchmal auch Gaußsche Methode genannt, wobei der erste Teil des Namens weggelassen wird.

4Zum Beispiel
.

5Gäbe es keine Einheiten in der Matrix des Systems, dann wäre es zum Beispiel möglich, beide Teile der ersten Gleichung durch zwei zu teilen, und dann würde der erste Koeffizient eins; oder so ähnlich.

Mit diesem mathematischen Programm können Sie ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen mit der Substitutionsmethode und der Additionsmethode lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern liefert auch eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen zu den Lösungsschritten auf zwei Arten: die Substitutionsmethode und die Additionsmethode.

Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, für Eltern nützlich sein, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

Regeln für die Eingabe von Gleichungen

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.

Bei der Eingabe von Gleichungen Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall werden die Gleichungen zunächst vereinfacht. Die Gleichungen nach Vereinfachungen müssen linear sein, d.h. der Form ax+by+c=0 mit der Genauigkeit der Reihenfolge der Elemente.
Zum Beispiel: 6x+1 = 5(x+y)+2

In Gleichungen können Sie nicht nur ganze Zahlen verwenden, sondern auch Bruchzahlen in Form von Dezimalzahlen und gewöhnlichen Brüchen.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Die ganzen und gebrochenen Teile in Dezimalbrüchen können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Zum Beispiel: 2,1n + 3,5m = 55

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &

Beispiele.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Lösen Sie ein Gleichungssystem

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Ein bisschen Theorie.

Lineare Gleichungssysteme lösen. Substitutionsmethode

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode:
1) eine Variable aus irgendeiner Gleichung des Systems durch eine andere ausdrücken;
2) ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck in einer anderen Gleichung des Systems anstelle dieser Variablen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Lassen Sie uns von der ersten Gleichung y bis x ausdrücken: y = 7-3x. Setzen wir den Ausdruck 7-3x anstelle von y in die zweite Gleichung ein, erhalten wir das System:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es ist leicht zu zeigen, dass das erste und das zweite System die gleichen Lösungen haben. Im zweiten System enthält die zweite Gleichung nur eine Variable. Lösen wir diese Gleichung:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Setzen wir die Zahl 1 anstelle von x in die Gleichung y=7-3x ein, finden wir den entsprechenden Wert von y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paar (1;4) - Lösung des Systems

Gleichungssysteme in zwei Variablen, die die gleichen Lösungen haben, werden aufgerufen gleichwertig. Systeme, die keine Lösungen haben, werden ebenfalls als äquivalent betrachtet.

Lineare Gleichungssysteme durch Addition lösen

Betrachten Sie einen anderen Weg, um Systeme linearer Gleichungen zu lösen - die Additionsmethode. Bei der Lösung von Systemen auf diese Weise sowie bei der Lösung nach der Substitutionsmethode gehen wir von einem gegebenen System zu einem anderen äquivalenten System über, in dem eine der Gleichungen nur eine Variable enthält.

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Additionsmethode:
1) Multiplizieren Sie die Gleichungen des Systems Term für Term, indem Sie die Faktoren so wählen, dass die Koeffizienten für eine der Variablen entgegengesetzte Zahlen werden;
2) Addiere Term für Term den linken und rechten Teil der Gleichungen des Systems;
3) löse die resultierende Gleichung mit einer Variablen;
4) Finden Sie den entsprechenden Wert der zweiten Variablen.

Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

In den Gleichungen dieses Systems sind die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen. Wenn wir den linken und den rechten Teil der Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 3x=33. Ersetzen wir eine der Gleichungen des Systems, zum Beispiel die erste, durch die Gleichung 3x=33. Holen wir uns das System
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Aus der Gleichung 3x=33 finden wir x=11. Setzen wir diesen x-Wert in die Gleichung \(x-3y=38 \) ein, erhalten wir eine Gleichung mit der Variablen y: \(11-3y=38 \). Lösen wir diese Gleichung:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Somit haben wir die Lösung des Gleichungssystems gefunden, indem wir hinzugefügt haben: \(x=11; y=-9 \) oder \((11; -9) \)

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass in den Gleichungen des Systems die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen sind, reduzierten wir seine Lösung auf die Lösung eines äquivalenten Systems (durch Summieren beider Teile jeder der Gleichungen des ursprünglichen Symmeme), in dem eins der Gleichungen enthält nur eine Variable.

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Zuverlässiger als die im vorherigen Absatz besprochene grafische Methode.

Substitutionsmethode

Wir haben diese Methode in der 7. Klasse verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Der in der 7. Klasse entwickelte Algorithmus eignet sich gut zum Lösen von Systemen aus zwei beliebigen (nicht unbedingt linearen) Gleichungen mit zwei Variablen x und y (natürlich können die Variablen mit anderen Buchstaben bezeichnet werden, was keine Rolle spielt). Tatsächlich haben wir diesen Algorithmus im vorherigen Absatz verwendet, als das Problem einer zweistelligen Zahl zu einem mathematischen Modell führte, das ein Gleichungssystem ist. Wir haben dieses Gleichungssystem oben mit der Substitutionsmethode gelöst (siehe Beispiel 1 aus § 4).

Algorithmus zur Anwendung der Substitutionsmethode beim Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x, y.

1. Drücken Sie y durch x aus einer Gleichung des Systems aus.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle von y in eine andere Gleichung des Systems ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach x auf.
4. Setze der Reihe nach jede der Wurzeln der im dritten Schritt gefundenen Gleichung anstelle von x in den im ersten Schritt erhaltenen Ausdruck y bis x ein.
5. Schreiben Sie die Antwort in Form von Wertepaaren (x; y) auf, die im dritten bzw. vierten Schritt gefunden wurden.

4) Ersetzen Sie wiederum jeden der gefundenen Werte von y in die Formel x \u003d 5 - Zy. Wenn, dann
5) Paare (2; 1) und Lösungen eines gegebenen Gleichungssystems.

Antwort: (2; 1);

Algebraische Additionsmethode

Diese Methode ist Ihnen ebenso wie die Substitutionsmethode aus dem Algebra-Kurs der 7. Klasse bekannt, wo sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwendet wurde. Wir erinnern uns an das Wesen der Methode im folgenden Beispiel.

Beispiel 2 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Wir multiplizieren alle Terme der ersten Gleichung des Systems mit 3 und lassen die zweite Gleichung unverändert:
Subtrahiere die zweite Gleichung des Systems von seiner ersten Gleichung:

Als Ergebnis der algebraischen Addition zweier Gleichungen des ursprünglichen Systems wurde eine Gleichung erhalten, die einfacher ist als die erste und die zweite Gleichung des gegebenen Systems. Mit dieser einfacheren Gleichung haben wir das Recht, jede Gleichung eines gegebenen Systems zu ersetzen, zum Beispiel die zweite. Dann wird das gegebene Gleichungssystem durch ein einfacheres System ersetzt:

Dieses System kann durch die Substitutionsmethode gelöst werden. Aus der zweiten Gleichung finden wir. Setzen wir diesen Ausdruck anstelle von y in die erste Gleichung des Systems ein, erhalten wir

Es bleibt übrig, die gefundenen Werte von x in die Formel einzusetzen

Wenn x = 2 dann

Somit haben wir zwei Lösungen für das System gefunden:

Verfahren zur Einführung neuer Variablen

Die Methode der Einführung einer neuen Variablen beim Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen haben Sie im Algebrakurs der 8. Klasse kennengelernt. Die Essenz dieser Methode zum Lösen von Gleichungssystemen ist die gleiche, aber aus technischer Sicht gibt es einige Besonderheiten, die wir in den folgenden Beispielen besprechen werden.

Beispiel 3 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Führen wir eine neue Variable ein Dann lässt sich die erste Gleichung des Systems in einfacherer Form umschreiben: Lösen wir diese Gleichung nach der Variablen t:

Diese beiden Werte erfüllen die Bedingung und sind daher die Wurzeln einer rationalen Gleichung mit der Variablen t. Aber das bedeutet entweder, wo wir finden, dass x = 2y, oder
Mit der Methode der Einführung einer neuen Variablen ist es uns also gelungen, die erste Gleichung des Systems, die ziemlich komplex erscheint, in zwei einfachere Gleichungen zu „stratifizieren“:

x = 2y; j - 2x.

Was kommt als nächstes? Und dann muss jede der beiden erhaltenen einfachen Gleichungen wiederum in einem System mit der Gleichung x 2 - y 2 \u003d 3 betrachtet werden, an die wir uns noch nicht erinnert haben. Mit anderen Worten reduziert sich das Problem auf die Lösung zweier Gleichungssysteme:

Es ist notwendig, Lösungen für das erste System, das zweite System zu finden und alle resultierenden Wertepaare in die Antwort aufzunehmen. Lösen wir das erste Gleichungssystem:

Wenden wir die Substitutionsmethode an, zumal hier alles dafür bereit ist: Wir setzen den Ausdruck 2y statt x in die zweite Gleichung des Systems ein. Werden

Da x \u003d 2y ist, finden wir x 1 \u003d 2 bzw. x 2 \u003d 2. Somit werden zwei Lösungen für das gegebene System erhalten: (2; 1) und (-2; -1). Lösen wir das zweite Gleichungssystem:

Wenden wir wieder die Substitutionsmethode an: Wir ersetzen den Ausdruck 2x anstelle von y in der zweiten Gleichung des Systems. Werden

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat. Daher sollten nur die Lösungen des ersten Systems in die Antwort aufgenommen werden.

Antwort: (2; 1); (-2;-1).

Die Methode der Einführung neuer Variablen beim Lösen von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird in zwei Versionen verwendet. Erste Option: Eine neue Variable wird eingeführt und in nur einer Gleichung des Systems verwendet. Genau das ist in Beispiel 3 passiert. Die zweite Option: Zwei neue Variablen werden eingeführt und gleichzeitig in beiden Gleichungen des Systems verwendet. Dies wird in Beispiel 4 der Fall sein.

Beispiel 4 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lassen Sie uns zwei neue Variablen einführen:

Das lernen wir dann

Dies wird es uns ermöglichen, das gegebene System in einer viel einfacheren Form umzuschreiben, aber in Bezug auf die neuen Variablen a und b:

Da a \u003d 1, finden wir aus der Gleichung a + 6 \u003d 2: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Somit erhalten wir für die Variablen a und b eine Lösung:

Kehren wir zu den Variablen x und y zurück, erhalten wir das Gleichungssystem

Wir wenden die algebraische Additionsmethode an, um dieses System zu lösen:

Seitdem finden wir aus der Gleichung 2x + y = 3:
Somit erhalten wir für die Variablen x und y eine Lösung:

Lassen Sie uns diesen Abschnitt mit einer kurzen, aber ziemlich ernsthaften theoretischen Diskussion abschließen. Sie haben bereits Erfahrung im Lösen verschiedener Gleichungen gesammelt: linear, quadratisch, rational, irrational. Sie wissen, dass die Hauptidee beim Lösen einer Gleichung darin besteht, allmählich von einer Gleichung zu einer anderen zu wechseln, die einfacher, aber der gegebenen entspricht. Im vorigen Abschnitt haben wir den Begriff der Äquivalenz für Gleichungen mit zwei Variablen eingeführt. Dieses Konzept wird auch für Gleichungssysteme verwendet.

Definition.

Zwei Gleichungssysteme mit den Variablen x und y heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben oder wenn beide Systeme keine Lösungen haben.

Alle drei Methoden (Substitution, algebraische Addition und Einführung neuer Variablen), die wir in diesem Abschnitt besprochen haben, sind vom Standpunkt der Äquivalenz absolut korrekt. Mit anderen Worten, wir ersetzen mit diesen Methoden ein Gleichungssystem durch ein anderes, einfacheres, aber dem ursprünglichen System gleichwertiges.

Graphisches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen

Wir haben bereits gelernt, Gleichungssysteme auf so gängige und zuverlässige Weise zu lösen, wie die Methode der Substitution, algebraischen Addition und der Einführung neuer Variablen. Und jetzt erinnern wir uns an die Methode, die Sie bereits in der vorherigen Lektion gelernt haben. Wiederholen wir also, was Sie über die grafische Lösungsmethode wissen.

Die Methode zum grafischen Lösen von Gleichungssystemen besteht in der Konstruktion eines Graphen für jede der spezifischen Gleichungen, die in diesem System enthalten sind und sich in derselben Koordinatenebene befinden, und auch dort, wo es erforderlich ist, den Schnittpunkt der Punkte dieser Graphen zu finden . Zur Lösung dieses Gleichungssystems dienen die Koordinaten dieses Punktes (x; y).

Es sollte daran erinnert werden, dass es für ein grafisches Gleichungssystem üblich ist, entweder eine einzige richtige Lösung oder eine unendliche Anzahl von Lösungen oder überhaupt keine Lösungen zu haben.

Sehen wir uns nun jede dieser Lösungen genauer an. Und so kann das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung haben, wenn sich die Linien, die die Graphen der Gleichungen des Systems sind, schneiden. Wenn diese Geraden parallel sind, dann hat ein solches Gleichungssystem absolut keine Lösungen. Wenn die direkten Graphen der Gleichungen des Systems zusammenfallen, können Sie mit einem solchen System viele Lösungen finden.

Schauen wir uns nun den Algorithmus zum Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten mit einer grafischen Methode an:

Zunächst erstellen wir zunächst einen Graphen der 1. Gleichung;
Der zweite Schritt besteht darin, einen Graphen zu zeichnen, der sich auf die zweite Gleichung bezieht;
Drittens müssen wir die Schnittpunkte der Graphen finden.
Als Ergebnis erhalten wir die Koordinaten jedes Schnittpunkts, der die Lösung des Gleichungssystems darstellt.

Sehen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels genauer an. Gegeben ist ein zu lösendes Gleichungssystem:

Gleichungen lösen

1. Zuerst erstellen wir einen Graphen dieser Gleichung: x2+y2=9.

Aber es sollte beachtet werden, dass dieser Graph von Gleichungen ein Kreis sein wird, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist, und sein Radius gleich drei sein wird.

2. Unser nächster Schritt wird sein, eine Gleichung zu zeichnen, wie z. B.: y = x - 3.

In diesem Fall müssen wir eine Linie bauen und die Punkte (0;−3) und (3;0) finden.

3. Mal sehen, was wir haben. Wir sehen, dass die Gerade den Kreis an zwei seiner Punkte A und B schneidet.

Nun suchen wir die Koordinaten dieser Punkte. Wir sehen, dass die Koordinaten (3;0) dem Punkt A und die Koordinaten (0;−3) dem Punkt B entsprechen.

Und was bekommen wir als Ergebnis?

Die am Schnittpunkt einer Geraden mit einem Kreis erhaltenen Zahlen (3;0) und (0;−3) sind genau die Lösungen beider Gleichungen des Systems. Und daraus folgt, dass diese Zahlen auch Lösungen dieses Gleichungssystems sind.

Das heißt, die Antwort dieser Lösung sind die Zahlen: (3;0) und (0;−3).