Fraktale sind seit fast einem Jahrhundert bekannt, gut untersucht und haben zahlreiche Anwendungen im Leben. Diesem Phänomen liegt eine ganz einfache Idee zugrunde: Mit nur zwei Operationen – Kopieren und Skalieren – lassen sich aus relativ einfachen Strukturen unendlich viele Figuren in Schönheit und Vielfalt gewinnen.

Dieses Konzept hat keine strenge Definition. Daher ist das Wort „Fraktal“ kein mathematischer Begriff. Dies ist normalerweise der Name einer geometrischen Figur, die eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt:

• hat bei jeder Vergrößerung eine komplexe Struktur;
• ist (annähernd) selbstähnlich;
• hat eine gebrochene Hausdorff-(Fraktal-)Dimension, die größer als die topologische ist;
• kann durch rekursive Prozeduren aufgebaut werden.

An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war die Untersuchung von Fraktalen eher episodisch als systematisch, da frühere Mathematiker hauptsächlich „gute“ Objekte untersuchten, die mit allgemeinen Methoden und Theorien untersucht werden konnten. 1872 konstruierte der deutsche Mathematiker Karl Weierstraß ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Seine Konstruktion war jedoch völlig abstrakt und schwer zu verstehen. Daher hat der Schwede Helge von Koch 1904 eine durchgehende Kurve erfunden, die nirgendwo tangiert und die ganz einfach zu zeichnen ist. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften eines Fraktals hat. Eine Variation dieser Kurve wird Koch-Schneeflocke genannt.

Die Ideen der Selbstähnlichkeit von Figuren wurden von dem Franzosen Paul Pierre Levy, dem späteren Mentor von Benoit Mandelbrot, aufgegriffen. 1938 wurde sein Artikel „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole“ veröffentlicht, in dem ein weiteres Fraktal beschrieben wird – die Lévy C-Kurve. Alle oben genannten Fraktale können bedingt einer Klasse konstruktiver (geometrischer) Fraktale zugeordnet werden.

Eine andere Klasse sind dynamische (algebraische) Fraktale, zu denen die Mandelbrot-Menge gehört. Die ersten Studien in dieser Richtung gehen auf den Beginn des 20. Jahrhunderts zurück und sind mit den Namen der französischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou verbunden. 1918 wurden fast zweihundert Seiten von Julias Arbeit veröffentlicht, die Iterationen komplexer rationaler Funktionen gewidmet sind, in denen Julia-Mengen beschrieben werden - eine ganze Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Diese Arbeit wurde mit dem Preis der französischen Akademie ausgezeichnet, enthielt jedoch keine einzige Illustration, sodass die Schönheit der entdeckten Objekte nicht gewürdigt werden konnte. Obwohl diese Arbeit Julia unter den damaligen Mathematikern berühmt machte, geriet sie schnell in Vergessenheit.

Erst ein halbes Jahrhundert später, mit dem Aufkommen von Computern, richtete sich die Aufmerksamkeit auf die Arbeit von Julia und Fatou: Sie waren es, die den Reichtum und die Schönheit der Welt der Fraktale sichtbar machten. Schließlich konnte Fatou die Bilder, die wir heute als Bilder des Mandelbrot-Sets kennen, niemals betrachten, weil die erforderliche Anzahl von Berechnungen nicht manuell durchgeführt werden kann. Der erste, der dafür einen Computer benutzte, war Benoit Mandelbrot.

1982 erschien Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“, in dem der Autor fast alle damals verfügbaren Informationen über Fraktale sammelte, systematisierte und auf einfache und zugängliche Weise präsentierte. Mandelbrot legte den Schwerpunkt seiner Präsentation nicht auf schwerfällige Formeln und mathematische Konstruktionen, sondern auf die geometrische Intuition der Leser. Dank computergenerierter Illustrationen und historischer Geschichten, mit denen der Autor die wissenschaftliche Komponente der Monographie geschickt verwässerte, wurde das Buch zum Bestseller und die Fraktale einer breiten Öffentlichkeit bekannt. Ihr Erfolg bei Nichtmathematikern ist vor allem darauf zurückzuführen, dass mit Hilfe von sehr einfachen Konstruktionen und Formeln, die selbst ein Gymnasiast verstehen kann, Bilder von erstaunlicher Komplexität und Schönheit entstehen. Als PCs leistungsfähig genug wurden, tauchte sogar ein ganzer Trend in der Kunst auf - Fraktalmalerei, und fast jeder Computerbesitzer konnte es tun. Jetzt im Internet können Sie leicht viele Websites finden, die sich diesem Thema widmen.

Fraktale Theorie

Seltsame Attraktoren haben immer eine fraktale Dimension. Zur Beschreibung chaotischer Attraktoren wird daher der Apparat der fraktalen Geometrie verwendet, der die „Strukturen des Chaos“ beschreibt.

Der Begriff „Fraktal“ gehört Benoit Mandelbrot. In drei seiner Bücher („Fractal Objects: Form, Chance and Dimension“, 1975; „Fractals: Form, Chance and Dimension“, 1977; „Fractal Geometry of Nature“, 1977) schlug Mandelbrot eine nicht-euklidische Geometrie des Non vor - glatt, rau, gezackt, narbig und Löcher, rau, etc. Objekte. Es sind die "falschen" Objekte, die die überwiegende Mehrheit der Objekte in der Natur ausmachen. B. Mandelbrot selbst beschrieb die von ihm geschaffene Theorie als eine Morphologie des Formlosen.

„The Fractal Geometry of Nature“ von B. Mandelbrot beginnt mit den folgenden Worten: „Warum wird Geometrie oft als „kalt“ und „trocken“ bezeichnet? Ein Grund dafür ist ihre Unfähigkeit, die Form einer Wolke, eines Berges, einer Küste oder eines Baumes zu beschreiben. Wolken sind keine Kugeln, Berge sind keine Kegel, Küstenlinien sind keine Kreise, Baumrinde ist nicht glatt, Blitze bewegen sich nicht in einer geraden Linie. Allgemeiner argumentiere ich, dass viele Objekte in der Natur so unregelmäßig und fragmentiert sind, dass die Natur im Vergleich zu Euklid – ein Begriff, der in dieser Arbeit die gesamte Standardgeometrie bedeutet – nicht nur mehr Komplexität, sondern ein völlig anderes Komplexitätsniveau aufweist. Die Anzahl der unterschiedlichen Längenskalen natürlicher Objekte für alle praktischen Zwecke ist unendlich“ Danilov Yu.A. Die Schönheit von Fraktalen. Internet: http://sky.kuban.ru/socio_etno/iphrRAS/~mifs/work.htm.

Euklid reduzierte die Natur auf reine und symmetrische Objekte: einen Punkt, eine eindimensionale Linie, eine zweidimensionale Ebene, einen dreidimensionalen Körper. Keines dieser Objekte weist Löcher und äußere Unregelmäßigkeiten auf. Jeder hat die richtige glatte Form. Natürliche Objekte grober Formen sind keine Spielarten reiner euklidischer Strukturen. Die meisten natürlichen Formen und Zeitreihen lassen sich am besten durch Fraktale beschreiben.

Mandelbrot prägte den Begriff Fraktal (vom lateinischen Wort "fractus" - fraktioniert, fragmentiert), basierend auf der Besikovich-Hausdorff-Theorie der fraktalen (fraktionierten) Dimension, die 1919 vorgeschlagen wurde.

Die Besicovich-Hausdorff-Dimension fällt mit der euklidischen für reguläre geometrische Objekte zusammen (für Kurven, Flächen und Körper, die im modernen Lehrbuch der euklidischen Geometrie untersucht werden). Die Besicovich-Hausdorff-Dimension des seltsamen Lorentz-Attraktors ist größer als 2, aber kleiner als 3: Der Lorentz-Attraktor ist keine glatte Oberfläche mehr, aber noch kein dreidimensionaler Körper.

Wir neigen dazu zu denken, dass jedes flache Objekt zweidimensional ist. Mathematisch gesehen ist dies jedoch nicht der Fall. Die euklidische Ebene ist eine ebene Fläche ohne Risse und Brüche. Ebenso nehmen wir an, dass ein Objekt mit Tiefe dreidimensional ist. Aber in der euklidischen Geometrie ist ein dreidimensionales Objekt ein fester Körper ohne Löcher oder Risse. Die meisten realen Objekte sind nicht massiv – sie haben Lücken und Hohlräume und befinden sich einfach im dreidimensionalen Raum. Zum Beispiel haben Berge und Wolken Dimensionen zwischen zwei und drei. Eines der Merkmale fraktaler Objekte ist, dass sie ihre eigene Dimension verlassen, wenn sie in einem Raum platziert werden, dessen Dimension größer ist als ihr Fraktal. Zufällige Verteilungen (weißes Rauschen) haben diese Eigenschaft nicht. Weißes Rauschen füllt seinen Raum, so wie ein Gas ein Volumen füllt. Wenn eine bestimmte Menge Gas in einen Behälter mit größerem Volumen gegeben wird, breitet sich das Gas einfach in einem größeren Raum aus, da nichts die Gasmoleküle aneinander bindet. Andererseits hat ein Festkörper Moleküle, die aneinander gebunden sind. In ähnlicher Weise werden in einer fraktalen Zeitreihe die Positionen von Punkten durch Korrelationen bestimmt, die in einer zufälligen Reihe nicht vorhanden sind. Eine Zeitreihe ist nur dann zufällig, wenn sie das Ergebnis einer großen Anzahl gleichwahrscheinlicher Ereignisse ist. In Bezug auf die Statistik - es hat eine große Anzahl von Freiheitsgraden. Eine nicht zufällige Zeitreihe wird die nicht zufällige Natur der Einflüsse widerspiegeln. Die Sprünge in den Daten stimmen mit den Sprüngen in den Einflussfaktoren überein und spiegeln ihre inhärente Korrelation wider. Mit anderen Worten, die Zeitreihe wird ein Fraktal sein. Die fraktale Dimension wird dadurch definiert, wie ein Objekt oder eine Zeitreihe den Raum füllt. Ein fraktales Objekt füllt den Raum ungleichmäßig aus, da seine Teile voneinander abhängig oder korreliert sind. Um eine fraktale Dimension zu definieren, müssen wir definieren, wie ein Objekt in seinem Peters-Raum gruppiert ist. E. Chaos und Ordnung auf den Kapitalmärkten. Eine neue analytische Perspektive auf Zyklen, Preise und Marktvolatilität. M.: Mir, 2000. S.80..

Je näher wir in der euklidischen Geometrie ein Objekt betrachten, desto einfacher wird es. Der 3D-Block wird zu einer 2D-Ebene, dann zu einer 1D-Linie, bis er zu einem Punkt wird. Bei fraktalen (natürlichen) Objekten werden mit zunehmender Vergrößerung immer mehr Details enthüllt. Ein charakteristisches Merkmal fraktaler Objekte ist, dass jedes der Details eine gemeinsame Struktur enthält. Eine der Definitionen eines Fraktals lautet: Ein Fraktal ist eine selbstähnliche Struktur. Selbstähnlichkeit (Skaleninvarianz) ist ein Phänomen, das darin besteht, dass kleine Teile eines Objekts qualitativ gleich oder ähnlich dem ganzen Objekt sind, mit anderen Worten, diese Eigenschaft sieht auf jedem beliebigen, beliebig kleinen Maßstab ungefähr gleich aus. In fraktalen Zeitreihen sind kleine Zeitintervalle statistisch großen Intervallen ähnlich. Fraktale Formen weisen räumliche Selbstähnlichkeit auf. Fraktale Zeitreihen haben statistische Selbstähnlichkeit in der Zeit.

Wir sind also bereits zwei Definitionen eines Fraktals begegnet (durch die gebrochene Dimension und durch die Eigenschaft der Skaleninvarianz). Die endgültige Definition eines Fraktals wurde noch nicht gefunden. Es ist möglich, dass dies nie passieren wird, da die fraktale Geometrie die Geometrie der Natur ist.

Wie Sie wissen, bestimmt das Iterationsverfahren die Position eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt durch seine Position zum vorherigen Zeitpunkt, d. h. Rückkopplung funktioniert. In Form eines Algorithmus lässt sich dies wie folgt darstellen: „Anfangszustände“ + „Erzeugendes Schritt-für-Schritt-Verfahren“ = „entfaltete fraktale Struktur“. Fraktale Mengen werden mit Hilfe von nichtlinearen Gleichungen spezifiziert, die dynamische Rückkopplungssysteme beschreiben. Ein Fraktal ist die Begrenzungsmenge einer Erzeugungsregel. Ein Fraktal ist eine selbstorganisierende Struktur, und die generative Regel kann als Replikant wahrgenommen werden, ein "Subjekt" der Selbstorganisation.

Die fraktale Geometrie ist im Prinzip eine völlig unabhängige Wissenschaft, aber ihre Ideen sind bereits weitgehend von der Synergetik "assimiliert", und die Synergetik inspirierte einst Benoit Mandelbrot zum Studium fraktaler Objekte. Daher werden wir keine harten Grenzen zwischen dem synergetischen Ansatz und der Theorie der Fraktale ziehen.

Es gibt zwei Arten von Fraktal: deterministisch und zufällig. Deterministische Fraktale sind in den meisten Fällen symmetrisch. Aber die Natur lehnt Symmetrie ab, also werden natürliche Objekte mit zufälligen Fraktalen beschrieben. Zufällige Fraktale enthalten nicht immer Teile, die wie das Ganze aussehen. Teile und Ganzes lassen sich qualitativ in Beziehung setzen. Zufällige Fraktale sind eine Kombination generativer Regeln, die zufällig in verschiedenen Maßstäben ausgewählt werden.

Wie in den letzten Jahrzehnten (im Zusammenhang mit der Entwicklung der Theorie der Selbstorganisation) deutlich geworden ist, tritt Selbstähnlichkeit in einer Vielzahl von Objekten und Phänomenen auf. Selbstähnlichkeit kann zum Beispiel in den Ästen von Bäumen und Sträuchern, in der Teilung einer befruchteten Zygote, Schneeflocken, Eiskristallen, in der Entwicklung von Wirtschaftssystemen, in der Struktur von Gebirgssystemen, Wolken beobachtet werden.

Alle aufgelisteten Objekte und andere, die ihnen in ihrer Struktur ähnlich sind, sind fraktal. Das heißt, sie haben die Eigenschaften der Selbstähnlichkeit oder Skaleninvarianz. Und das bedeutet, dass einige Fragmente ihrer Struktur in bestimmten räumlichen Abständen streng wiederholt werden. Offensichtlich können diese Objekte beliebiger Art sein, und ihr Aussehen und ihre Form bleiben unabhängig vom Maßstab unverändert. Sowohl in der Natur als auch in der Gesellschaft kommt es in ausreichend großem Umfang zu Selbstwiederholungen. Die Wolke wiederholt also ihre zerrissene Struktur von 10 4 m (10 km) bis 10 -4 m (0,1 mm). Die Verzweigung wiederholt sich in Bäumen von 10 -2 bis 10 2 m. Die kollabierenden Materialien, die Risse erzeugen, wiederholen auch ihre Selbstähnlichkeit auf mehreren Skalen. Die Schneeflocke, die auf die Hand fällt, schmilzt. Während der Schmelzzeit, dem Übergang von einer Phase zur anderen, ist der Schneeflockentropfen ebenfalls ein Fraktal.

Ein Fraktal ist ein Objekt von unendlicher Komplexität, das es Ihnen ermöglicht, aus der Nähe nicht weniger Details zu sehen als aus der Ferne. Das klassische Beispiel dafür ist die Erde. Aus dem Weltraum sieht es aus wie ein Ball. Wenn wir uns ihm nähern, finden wir Ozeane, Kontinente, Küsten und Gebirgszüge. Später tauchen kleinere Details auf: ein Stück Land auf der Oberfläche eines Berges, so komplex und uneben wie der Berg selbst. Dann erscheinen winzige Erdpartikel, von denen jedes selbst ein fraktales Objekt ist.

Ein Fraktal ist eine nichtlineare Struktur, die Selbstähnlichkeit beibehält, wenn sie unendlich hoch- oder herunterskaliert wird. Erst bei kleinen Längen geht die Nichtlinearität in Linearität über. Besonders deutlich wird dies im mathematischen Verfahren der Differentiation.

Man kann also sagen, dass Fraktale als Modelle verwendet werden, wenn das reale Objekt nicht in Form klassischer Modelle dargestellt werden kann. Und das bedeutet, dass wir es mit nichtlinearen Beziehungen und der nichtdeterministischen Natur der Daten zu tun haben. Nichtlinearität im ideologischen Sinne bedeutet die Multivarianz von Entwicklungspfaden, die Verfügbarkeit einer Wahlmöglichkeit aus alternativen Pfaden und ein bestimmtes Evolutionstempo sowie die Unumkehrbarkeit evolutionärer Prozesse. Im mathematischen Sinne ist Nichtlinearität eine bestimmte Art von mathematischen Gleichungen (nichtlineare Differentialgleichungen), die gewünschte Größen in Potenzen größer als eins oder Koeffizienten enthalten, die von den Eigenschaften des Mediums abhängen. Das heißt, wenn wir klassische Modelle (z. B. Trend, Regression usw.) anwenden, sagen wir, dass die Zukunft eines Objekts eindeutig bestimmt ist. Und wir können es vorhersagen, wenn wir die Vergangenheit des Objekts kennen (die Ausgangsdaten für die Modellierung). Und Fraktale werden verwendet, wenn das Objekt mehrere Entwicklungsmöglichkeiten hat und der Zustand des Systems durch die Position bestimmt wird, an der es sich gerade befindet. Das heißt, wir versuchen, eine chaotische Entwicklung zu simulieren.

Wenn sie vom Determinismus eines bestimmten Systems sprechen, meinen sie, dass sein Verhalten durch einen eindeutigen kausalen Zusammenhang gekennzeichnet ist. Das heißt, wenn man die Anfangsbedingungen und das Bewegungsgesetz des Systems kennt, ist es möglich, seine Zukunft genau vorherzusagen. Es ist diese Vorstellung von Bewegung im Universum, die charakteristisch für die klassische Newtonsche Dynamik ist. Chaos hingegen impliziert einen chaotischen, zufälligen Prozess, bei dem der Ablauf der Ereignisse weder vorhergesagt noch reproduziert werden kann.

Chaos wird durch die intrinsische Dynamik eines nichtlinearen Systems erzeugt - seine Eigenschaft, willkürlich nahe Bahnen exponentiell schnell zu trennen. Dadurch hängt die Form der Trajektorien sehr stark von den Anfangsbedingungen ab. Bei der Untersuchung von Systemen, die sich auf den ersten Blick chaotisch entwickeln, verwenden sie oft die Theorie der Fraktale, weil Dieser Ansatz macht es möglich, ein bestimmtes Muster im Auftreten von "zufälligen" Abweichungen in der Entwicklung des Systems zu erkennen.

Das Studium natürlicher fraktaler Strukturen gibt uns die Möglichkeit, die Prozesse der Selbstorganisation und Entwicklung nichtlinearer Systeme besser zu verstehen. Wir haben bereits festgestellt, dass sich überall um uns herum natürliche Fraktale verschiedenster, verschlungener Linien finden. Dies ist die Meeresküste, Bäume, Wolken, Blitzentladung, Metallstruktur, menschliches Nerven- oder Gefäßsystem. Diese verschlungenen Linien und rauen Oberflächen gerieten ins Blickfeld der wissenschaftlichen Forschung, weil uns die Natur eine ganz andere Komplexität zeigte als in idealen geometrischen Systemen. Die untersuchten Strukturen erwiesen sich in der räumlich-zeitlichen Beziehung als selbstähnlich. Sie wiederholten sich endlos selbst und wiederholten sich auf verschiedenen Längen- und Zeitskalen. Jeder nichtlineare Prozess führt schließlich zu einer Gabelung. Das System wählt in diesem Fall am Verzweigungspunkt den einen oder anderen Weg. Die Trajektorie der Entwicklung des Systems wird wie ein Fraktal aussehen, dh eine unterbrochene Linie, deren Form als verzweigter, komplizierter Pfad beschrieben werden kann, der seine eigene Logik und sein eigenes Muster hat.

Die Verzweigung eines Systems kann mit der Verzweigung eines Baumes verglichen werden, wobei jeder Zweig einem Drittel des gesamten Systems entspricht. Durch die Verzweigung kann eine lineare Struktur einen dreidimensionalen Raum füllen, oder genauer gesagt: Eine fraktale Struktur koordiniert verschiedene Räume. Ein Fraktal kann wachsen und den umgebenden Raum ausfüllen, genauso wie ein Kristall in einer übersättigten Lösung wächst. In diesem Fall wird die Art der Verzweigung nicht mit dem Zufall, sondern mit einem bestimmten Muster in Verbindung gebracht.

Die fraktale Struktur wiederholt sich ähnlich auf anderen Ebenen, auf einer höheren Organisationsebene des menschlichen Lebens, beispielsweise auf der Ebene der Selbstorganisation eines Kollektivs oder Teams. Die Selbstorganisation von Netzwerken und Formen bewegt sich von der Mikroebene auf die Makroebene. Zusammen stellen sie eine ganzheitliche Einheit dar, bei der man das Ganze nach den Teilen beurteilen kann. In dieser Kursarbeit werden exemplarisch die fraktalen Eigenschaften sozialer Prozesse betrachtet, was auf die Universalität der Theorie der Fraktale und ihre Loyalität zu unterschiedlichen Wissenschaftsgebieten hinweist.

Es wird geschlussfolgert, dass ein Fraktal ein Weg der organisierten Interaktion von Räumen unterschiedlicher Dimensionen und Beschaffenheit ist. Hinzu kommt, dass nicht nur räumlich, sondern auch zeitlich. Dann werden sogar das menschliche Gehirn und die neuronalen Netze eine fraktale Struktur sein.

Die Natur liebt fraktale Formen sehr. Ein fraktales Objekt hat eine ausgedehnte, verfeinerte Struktur. Betrachtet man solche Objekte mit zunehmender Vergrößerung, erkennt man, dass sie ein Muster aufweisen, das sich auf verschiedenen Ebenen wiederholt. Wir haben bereits gesagt, dass ein fraktales Objekt genau gleich aussehen kann, unabhängig davon, ob wir es im Meter-, Millimeter- oder Mikrometermaßstab (1:1.000.000 Meter) betrachten. Die Symmetrieeigenschaft fraktaler Objekte manifestiert sich in der Maßstabsinvarianz. Fraktale sind symmetrisch um das Zentrum der Streckung oder Neuskalierung, genauso wie runde Körper symmetrisch um die Rotationsachse sind.

Heute werden Entwicklungen im Rahmen der Theorie der Fraktale in jeder bestimmten Wissenschaft durchgeführt - Physik, Soziologie, Psychologie, Linguistik usw. Dann sind Gesellschaft und soziale Institutionen und Sprache und sogar Gedanken Fraktale.

Die moderne Wissenschaft hat die Theorie der Fraktale ziemlich erfolgreich für verschiedene Wissensgebiete adaptiert. In der Wirtschaftswissenschaft wird die Theorie der Fraktale also bei der technischen Analyse von Finanzmärkten verwendet, die in den entwickelten Ländern der Welt seit mehr als hundert Jahren existieren. Zum ersten Mal wurde von C. Dow die Fähigkeit festgestellt, das zukünftige Verhalten von Aktienkursen vorherzusagen, wenn ihre Richtung für einen bestimmten Zeitraum bekannt ist. In den 1990er Jahren bemerkte Dow nach der Veröffentlichung einer Reihe von Artikeln, dass Aktienkurse zyklischen Schwankungen unterliegen: Auf einen langen Anstieg folgt ein langer Rückgang, dann wieder ein Anstieg und ein Rückgang.

Mitte des 20. Jahrhunderts, als die gesamte wissenschaftliche Welt von der neu aufkommenden Theorie der Fraktale fasziniert war, schlug ein anderer bekannter amerikanischer Finanzier, R. Elliot, seine Theorie des Aktienkursverhaltens vor, die auf der Verwendung von Fraktal basierte Theorie. Elliot ging davon aus, dass die Geometrie von Fraktalen nicht nur in der belebten Natur, sondern auch in sozialen Prozessen stattfindet. Auch den Aktienhandel an der Börse führte er auf gesellschaftliche Prozesse zurück.

Grundlage der Theorie ist das sogenannte Wellendiagramm. Diese Theorie ermöglicht es, das weitere Verhalten des Preistrends vorherzusagen, basierend auf der Kenntnis der Vorgeschichte seines Verhaltens und unter Beachtung der Regeln für die Entwicklung des massenpsychologischen Verhaltens.

Die Theorie der Fraktale hat auch in der Biologie Anwendung gefunden. Viele, wenn nicht alle biologischen Strukturen und Systeme von Pflanzen, Tieren und Menschen haben eine fraktale Natur, einige Ähnlichkeiten damit: das Nervensystem, das Lungensystem, das Kreislauf- und Lymphsystem usw. Es hat sich gezeigt, dass auch die Entwicklung eines bösartigen Tumors nach dem fraktalen Prinzip abläuft. Fraktale Objekte zeichnen sich auch durch ein Merkmal wie die Manifestation von Komplementarität aus. Komplementarität in der Biochemie ist die gegenseitige Entsprechung in der chemischen Struktur zweier Makromoleküle, die ihre Wechselwirkung gewährleistet - die Paarung zweier DNA-Stränge, die Verbindung eines Enzyms mit einem Substrat, eines Antigens mit einem Antikörper. Komplementäre Strukturen passen zusammen wie ein Schlüssel zum Schloss. Diese Eigenschaft besitzen DNA-Polynukleotidketten.

Eine der mächtigsten Anwendungen von Fraktalen liegt in der Computergrafik. Dies ist erstens eine fraktale Komprimierung von Bildern und zweitens die Konstruktion von Landschaften, Bäumen, Pflanzen und die Generierung fraktaler Texturen. Gleichzeitig ist für die Komprimierung, das Aufzeichnen von Informationen eine selbstähnliche Abnahme des Fraktals erforderlich, bzw. für sein Lesen eine selbstähnliche Zunahme.

Die Vorteile von fraktalen Bildkomprimierungsalgorithmen sind eine sehr kleine Größe der gepackten Datei und eine kurze Bildwiederherstellungszeit. Fraktal gepackte Bilder können ohne Verpixelung skaliert werden. Aber der Komprimierungsprozess dauert sehr lange und dauert manchmal Stunden. Der verlustbehaftete fraktale Packalgorithmus ermöglicht es Ihnen, die Komprimierungsstufe einzustellen, ähnlich wie beim JPEG-Format. Der Algorithmus basiert darauf, große Teile des Bildes zu finden, die einigen kleinen Teilen ähneln. Und nur Informationen über die Ähnlichkeit eines Teils mit einem anderen werden in die Ausgabedatei geschrieben. Beim Komprimieren wird meist ein quadratisches Raster verwendet, was beim Wiederherstellen des Bildes zu einer leichten Winkligkeit führt, ein hexagonales Raster hat diesen Nachteil nicht.

Oft können brillante Entdeckungen in der Wissenschaft unser Leben radikal verändern. So kann beispielsweise die Erfindung eines Impfstoffs viele Menschen retten, und die Entwicklung einer neuen Waffe führt zu Mord. Buchstäblich gestern (im Maßstab der Geschichte) hat ein Mensch die Elektrizität "gezähmt", und heute kann er sich sein Leben ohne sie nicht mehr vorstellen. Es gibt jedoch auch solche Entdeckungen, die, wie sie sagen, im Schatten bleiben, obwohl sie auch einen gewissen Einfluss auf unser Leben haben. Eine dieser Entdeckungen war das Fraktal. Die meisten Menschen haben noch nicht einmal von einem solchen Konzept gehört und werden seine Bedeutung nicht erklären können. In diesem Artikel werden wir versuchen, uns mit der Frage zu befassen, was ein Fraktal ist, und die Bedeutung dieses Begriffs vom Standpunkt der Wissenschaft und Natur aus betrachten.

Ordnung im Chaos

Um zu verstehen, was ein Fraktal ist, sollte man die Nachbesprechung von der Position der Mathematik aus beginnen, aber bevor wir uns damit befassen, philosophieren wir ein wenig. Jeder Mensch hat eine natürliche Neugier, dank derer er die Welt um sich herum lernt. In seinem Verlangen nach Wissen versucht er oft, mit Logik in seinen Urteilen zu operieren. Er analysiert also die Prozesse, die um ihn herum stattfinden, versucht, die Zusammenhänge zu berechnen und bestimmte Muster abzuleiten. Die klügsten Köpfe der Welt sind damit beschäftigt, diese Probleme zu lösen. Grob gesagt suchen unsere Wissenschaftler nach Mustern, wo sie nicht sind und nicht sein sollten. Trotzdem gibt es auch im Chaos einen Zusammenhang zwischen bestimmten Ereignissen. Diese Verbindung ist das Fraktal. Betrachten Sie als Beispiel einen abgebrochenen Ast, der auf der Straße liegt. Wenn wir es genau betrachten, sehen wir, dass es mit all seinen Ästen und Ästen selbst wie ein Baum aussieht. Diese Ähnlichkeit eines separaten Teils mit einem einzigen Ganzen zeugt vom sogenannten Prinzip der rekursiven Selbstähnlichkeit. Fraktale sind in der Natur immer wieder anzutreffen, da viele anorganische und organische Formen auf ähnliche Weise entstehen. Dies sind Wolken und Muscheln und Schneckenhäuser und Baumkronen und sogar das Kreislaufsystem. Diese Liste lässt sich beliebig fortführen. All diese zufälligen Formen lassen sich leicht durch den Fraktalalgorithmus beschreiben. Hier kommen wir dazu zu betrachten, was ein Fraktal vom Standpunkt der exakten Wissenschaften aus ist.

Ein paar trockene Fakten

Das Wort „Fraktal“ selbst wird aus dem Lateinischen als „teilweise“, „geteilt“, „fragmentiert“ übersetzt, und für den Inhalt dieses Begriffs gibt es keine Formulierung als solche. Normalerweise wird es als eine selbstähnliche Menge behandelt, als ein Teil des Ganzen, das sich durch seine Struktur auf der Mikroebene wiederholt. Dieser Begriff wurde in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts von Benoit Mandelbrot geprägt, der als Vater anerkannt wird.Heute bedeutet der Begriff eines Fraktals eine grafische Darstellung einer bestimmten Struktur, die, wenn sie vergrößert wird, sich selbst ähnlich ist. Die mathematische Grundlage für die Entstehung dieser Theorie wurde jedoch schon vor der Geburt Mandelbrots selbst gelegt, konnte sich aber erst entwickeln, als elektronische Computer auftauchten.

Historische Referenz oder Wie alles begann

An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war das Studium der Natur von Fraktalen episodisch. Dies liegt daran, dass Mathematiker bevorzugt Objekte untersuchten, die auf der Grundlage allgemeiner Theorien und Methoden untersucht werden können. 1872 konstruierte der deutsche Mathematiker K. Weierstraß ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Diese Konstruktion erwies sich jedoch als völlig abstrakt und schwer verständlich. Als nächstes kam der Schwede Helge von Koch, der 1904 eine durchgehende Kurve baute, die nirgendwo tangiert ist. Es ist recht einfach zu zeichnen und zeichnet sich, wie sich herausstellte, durch fraktale Eigenschaften aus. Eine der Varianten dieser Kurve wurde nach ihrem Autor benannt - "Kochs Schneeflocke". Darüber hinaus wurde die Idee der Selbstähnlichkeit von Figuren vom zukünftigen Mentor von B. Mandelbrot, dem Franzosen Paul Levy, entwickelt. 1938 veröffentlichte er die Abhandlung „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole“. Darin beschrieb er eine neue Spezies – die Levy C-Kurve. Alle oben genannten Figuren beziehen sich bedingt auf eine solche Form wie geometrische Fraktale.

Dynamische oder algebraische Fraktale

Das Mandelbrot-Set gehört zu dieser Klasse. Die französischen Mathematiker Pierre Fatou und Gaston Julia waren die ersten Forscher in dieser Richtung. 1918 veröffentlichte Julia eine Arbeit, die auf der Untersuchung von Iterationen rationaler komplexer Funktionen basierte. Hier beschrieb er eine Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Trotz der Tatsache, dass diese Arbeit den Autor unter Mathematikern verherrlichte, geriet sie schnell in Vergessenheit. Und nur ein halbes Jahrhundert später erhielt Julias Werk dank Computern ein zweites Leben. Computer machten es möglich, jedem Menschen die Schönheit und den Reichtum der Welt der Fraktale sichtbar zu machen, die Mathematiker "sehen" konnten, indem sie sie durch Funktionen darstellten. Mandelbrot war der erste, der mit einem Computer Berechnungen durchführte (es ist unmöglich, ein solches Volumen manuell durchzuführen), die es ermöglichten, ein Bild dieser Zahlen zu erstellen.

Mann mit räumlichem Vorstellungsvermögen

Mandelbrot begann seine wissenschaftliche Laufbahn am IBM Research Center. Bei der Untersuchung der Möglichkeiten der Datenübertragung über große Entfernungen waren die Wissenschaftler mit der Tatsache konfrontiert, dass große Verluste aufgrund von Rauschstörungen auftraten. Benoit suchte nach Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Beim Durchsehen der Messergebnisse machte er auf ein merkwürdiges Muster aufmerksam, nämlich: Die Rauschkurven sahen auf verschiedenen Zeitskalen gleich aus.

Ein ähnliches Bild wurde sowohl für einen Tag als auch für sieben Tage oder für eine Stunde beobachtet. Benoit Mandelbrot selbst wiederholte oft, dass er nicht mit Formeln arbeite, sondern mit Bildern spiele. Dieser Wissenschaftler zeichnete sich durch einfallsreiches Denken aus, er übersetzte jedes algebraische Problem in einen geometrischen Bereich, in dem die richtige Antwort offensichtlich ist. So ist es nicht verwunderlich, dass es von den Reichen ausgezeichnet wurde und zum Vater der fraktalen Geometrie wurde. Schließlich kann das Bewusstsein für diese Figur nur entstehen, wenn Sie die Zeichnungen studieren und über die Bedeutung dieser seltsamen Wirbel nachdenken, die das Muster bilden. Fraktale Zeichnungen haben keine identischen Elemente, aber sie sind in jedem Maßstab ähnlich.

Julia - Mandelbrot

Eine der ersten Zeichnungen dieser Figur war eine grafische Interpretation des Sets, die dank der Arbeit von Gaston Julia geboren und von Mandelbrot fertiggestellt wurde. Gaston versuchte sich vorzustellen, wie eine Menge aussieht, wenn sie aus einer einfachen Formel aufgebaut ist, die durch eine Rückkopplungsschleife iteriert wird. Versuchen wir, das Gesagte in menschlicher Sprache sozusagen an den Fingern zu erklären. Für einen bestimmten Zahlenwert finden wir mithilfe der Formel einen neuen Wert. Wir setzen es in die Formel ein und finden Folgendes. Das Ergebnis ist sehr groß.Um eine solche Menge darzustellen, müssen Sie diese Operation sehr oft ausführen: Hunderte, Tausende, Millionen. Das hat Benoit getan. Er verarbeitete die Sequenz und übertrug die Ergebnisse in grafische Form. Anschließend färbte er die resultierende Figur (jede Farbe entspricht einer bestimmten Anzahl von Iterationen). Dieses grafische Bild wird Mandelbrot-Fraktal genannt.

L. Carpenter: Kunst von der Natur geschaffen

Die Theorie der Fraktale fand schnell praktische Anwendung. Da es sehr eng mit der Visualisierung von selbstähnlichen Bildern verwandt ist, waren die ersten, die die Prinzipien und Algorithmen zur Konstruktion dieser ungewöhnlichen Formen übernahmen, Künstler. Die erste davon war die spätere Gründerin des Pixar-Studios Lauren Carpenter. Während er an der Präsentation von Flugzeugprototypen arbeitete, kam ihm die Idee, das Bild von Bergen als Hintergrund zu verwenden. Heute kann fast jeder Computerbenutzer eine solche Aufgabe bewältigen, und in den siebziger Jahren des letzten Jahrhunderts waren Computer nicht in der Lage, solche Prozesse auszuführen, da es zu dieser Zeit keine grafischen Editoren und Anwendungen für dreidimensionale Grafiken gab. Loren stieß auf Mandelbrots Fractals: Shape, Randomness, and Dimension. Darin gab Benois viele Beispiele, die zeigten, dass es Fraktale in der Natur gibt (fiva), er beschrieb ihre verschiedenen Formen und bewies, dass sie leicht durch mathematische Ausdrücke beschrieben werden können. Der Mathematiker führte diese Analogie als Argument für die Nützlichkeit der Theorie an, die er als Reaktion auf eine Welle der Kritik seiner Kollegen entwickelte. Sie argumentierten, dass ein Fraktal nur ein schönes Bild ohne Wert sei, ein Nebenprodukt elektronischer Maschinen. Carpenter beschloss, diese Methode in der Praxis auszuprobieren. Nachdem er das Buch sorgfältig studiert hatte, begann der zukünftige Animator nach einer Möglichkeit zu suchen, die fraktale Geometrie in der Computergrafik zu implementieren. Er brauchte nur drei Tage, um ein absolut realistisches Bild der Berglandschaft auf seinem Computer darzustellen. Und heute ist dieses Prinzip weit verbreitet. Wie sich herausstellte, erfordert das Erstellen von Fraktalen nicht viel Zeit und Mühe.

Zimmermanns Lösung

Das von Lauren verwendete Prinzip erwies sich als einfach. Sie besteht darin, größere in kleinere Elemente zu teilen und diese in ähnliche kleinere und so weiter. Carpenter zerkleinerte sie mit großen Dreiecken in 4 kleine und so weiter, bis er eine realistische Berglandschaft erhielt. So war er der erste Künstler, der den fraktalen Algorithmus in der Computergrafik anwendete, um das erforderliche Bild zu konstruieren. Heute wird dieses Prinzip genutzt, um verschiedene naturgetreue Formen zu simulieren.

Die erste 3D-Visualisierung basierend auf dem Fraktal-Algorithmus

Einige Jahre später wandte Lauren seine Arbeit in einem groß angelegten Projekt an – einem animierten Video Vol Libre, das 1980 auf Siggraph gezeigt wurde. Dieses Video schockierte viele und sein Schöpfer wurde eingeladen, bei Lucasfilm zu arbeiten. Hier konnte sich der Animator voll entfalten, er schuf dreidimensionale Landschaften (den ganzen Planeten) für den Spielfilm „Star Trek“. Jedes moderne Programm ("Fraktale") oder Anwendung zum Erstellen dreidimensionaler Grafiken (Terragen, Vue, Bryce) verwendet denselben Algorithmus zum Modellieren von Texturen und Oberflächen.

Tom Bedard

Als ehemaliger Laserphysiker und jetzt digitaler Künstler und Künstler schuf Beddard eine Reihe höchst faszinierender geometrischer Formen, die er Faberges Fraktale nannte. Äußerlich ähneln sie den dekorativen Eiern eines russischen Juweliers, sie haben das gleiche brillante, komplizierte Muster. Beddard verwendete eine Vorlagenmethode, um seine digitalen Renderings der Modelle zu erstellen. Die daraus resultierenden Produkte bestechen durch ihre Schönheit. Obwohl viele es ablehnen, ein handgefertigtes Produkt mit einem Computerprogramm zu vergleichen, muss man zugeben, dass die resultierenden Formen ungewöhnlich schön sind. Das Highlight ist, dass jeder ein solches Fraktal mit der WebGL-Softwarebibliothek erstellen kann. Es ermöglicht Ihnen, verschiedene fraktale Strukturen in Echtzeit zu erkunden.

Fraktale in der Natur

Nur wenige Menschen achten darauf, aber diese erstaunlichen Figuren sind überall. Die Natur besteht aus selbstähnlichen Figuren, wir bemerken es nur nicht. Es reicht aus, durch ein Vergrößerungsglas auf unsere Haut oder ein Blatt eines Baumes zu schauen, und wir werden Fraktale sehen. Oder nehmen Sie zum Beispiel eine Ananas oder sogar einen Pfauenschwanz - sie bestehen aus ähnlichen Figuren. Und die Brokkoli-Sorte Romanescu fällt generell ins Auge, denn sie kann wirklich als Wunderwerk der Natur bezeichnet werden.

Musikalische Pause

Es stellt sich heraus, dass Fraktale nicht nur geometrische Formen sind, sie können auch Klänge sein. Der Musiker Jonathan Colton schreibt also Musik mit fraktalen Algorithmen. Er beansprucht, der natürlichen Harmonie zu entsprechen. Der Komponist veröffentlicht alle seine Werke unter der CreativeCommons Attribution-Noncommercial-Lizenz, die die kostenlose Verteilung, Vervielfältigung und Übertragung von Werken durch andere Personen vorsieht.

Fraktal-Indikator

Diese Technik hat eine sehr unerwartete Anwendung gefunden. Auf seiner Grundlage wurde ein Instrument zur Analyse des Börsenmarktes geschaffen, das infolgedessen auf dem Devisenmarkt eingesetzt wurde. Jetzt ist der Fraktal-Indikator auf allen Handelsplattformen zu finden und wird in einer Handelstechnik namens Preisausbruch verwendet. Bill Williams hat diese Technik entwickelt. Wie der Autor seine Erfindung kommentiert, ist dieser Algorithmus eine Kombination mehrerer "Kerzen", bei denen die mittlere den maximalen oder umgekehrt den minimalen Extrempunkt widerspiegelt.

Abschließend

Also haben wir uns überlegt, was ein Fraktal ist. Es stellt sich heraus, dass es in dem Chaos, das uns umgibt, tatsächlich ideale Formen gibt. Die Natur ist der beste Architekt, der ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch angeordnet, und wenn wir kein Muster finden können, heißt das nicht, dass es nicht existiert. Vielleicht müssen Sie sich einen anderen Maßstab ansehen. Wir können mit Zuversicht sagen, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, die wir noch entdecken müssen.

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung

"Siverskaya Sekundarschule Nr. 3"

Forschung

Mathematik.

Hat den Job gemacht

Schüler der 8. Klasse

Emeline Pawel

Wissenschaftlicher Leiter

Mathematiklehrer

Tupitsyna Natalya Alekseevna

S. Siversky

Jahr 2014

Mathematik ist ganz von Schönheit und Harmonie durchdrungen,

Diese Schönheit muss man einfach gesehen haben.

B. Mandelbrot

Einführung

Kapitel 1. Die Entstehungsgeschichte von Fraktalen _______ 5-6 S.

Kapitel 2. Klassifizierung von Fraktalen.______6-10 Seiten.

geometrische Fraktale

Algebraische Fraktale

Stochastische Fraktale

Kapitel 3. "Fraktale Geometrie der Natur" ______ 11-13 Seiten.

Kapitel 4. Anwendung von Fraktalen _______________13-15pp.

Kapitel 5 Praktische Arbeit __________________ 16-24 S.

Fazit_________________________________25.Seite

Literaturverzeichnis und Internetquellen _______ 26 p.

Einführung

Mathematik,

wenn man es richtig sieht,

spiegelt nicht nur die Wahrheit wider,

sondern auch unvergleichliche Schönheit.

Bertrand Russell

Das Wort „Fraktal“ ist etwas, über das heutzutage viele Menschen sprechen, von Wissenschaftlern bis hin zu Gymnasiasten. Es erscheint auf dem Cover vieler mathematischer Lehrbücher, wissenschaftlicher Zeitschriften und Computersoftware-Boxen. Farbbilder von Fraktalen sind heute überall zu finden: von Postkarten, T-Shirts bis hin zu Bildern auf dem Desktop eines Personal Computers. Also, was sind diese farbigen Formen, die wir sehen?

Mathematik ist die älteste Wissenschaft. Den meisten Menschen schien die Geometrie in der Natur auf so einfache Formen wie eine Linie, einen Kreis, ein Polygon, eine Kugel und so weiter beschränkt zu sein. Wie sich herausstellte, sind viele natürliche Systeme so komplex, dass es hoffnungslos erscheint, sie nur mit vertrauten Objekten gewöhnlicher Geometrie zu modellieren. Wie baut man zum Beispiel ein Modell einer Bergkette oder einer Baumkrone geometrisch? Wie lässt sich die Vielfalt der biologischen Vielfalt beschreiben, die wir in der Welt der Pflanzen und Tiere beobachten? Wie kann man sich die ganze Komplexität des Kreislaufsystems vorstellen, das aus vielen Kapillaren und Gefäßen besteht und jede Zelle des menschlichen Körpers mit Blut versorgt? Stellen Sie sich die Struktur der Lunge und der Nieren vor, die Bäumen mit einer verzweigten Krone in der Struktur ähneln?

Fraktale sind ein geeignetes Mittel, um den gestellten Fragen nachzugehen. Was wir in der Natur sehen, fasziniert uns oft mit der endlosen Wiederholung des gleichen Musters, das mehrmals vergrößert oder verkleinert wird. Zum Beispiel hat ein Baum Zweige. Diese Zweige haben kleinere Zweige und so weiter. Theoretisch wiederholt sich das "Fork"-Element unendlich oft und wird dabei immer kleiner. Dasselbe kann man sehen, wenn man sich ein Foto eines bergigen Geländes ansieht. Versuchen Sie, die Bergkette ein wenig heranzuzoomen – Sie werden die Berge wieder sehen. So manifestiert sich die für Fraktale charakteristische Eigenschaft der Selbstähnlichkeit.

Das Studium von Fraktalen eröffnet wunderbare Möglichkeiten, sowohl beim Studium einer unendlichen Zahl von Anwendungen als auch auf dem Gebiet der Mathematik. Die Verwendung von Fraktalen ist sehr umfangreich! Immerhin sind diese Objekte so schön, dass sie von Designern, Künstlern verwendet werden, mit deren Hilfe viele Elemente von Bäumen, Wolken, Bergen usw. in Grafiken gezeichnet werden. Aber in vielen Handys werden Fraktale sogar als Antennen verwendet.

Für viele Chaologen (Wissenschaftler, die Fraktale und Chaos studieren) ist dies nicht nur ein neues Wissensgebiet, das Mathematik, theoretische Physik, Kunst und Computertechnologie kombiniert – es ist eine Revolution. Dies ist die Entdeckung einer neuen Art von Geometrie, der Geometrie, die die Welt um uns herum beschreibt und die nicht nur in Lehrbüchern, sondern auch in der Natur und überall im grenzenlosen Universum zu sehen ist..

Auch bei meiner Arbeit habe ich mich entschieden, die Welt der Schönheit zu „berühren“ und für mich entschieden…

Zielsetzung: Erstellen von Objekten, die der Natur sehr ähnlich sind.

Forschungsmethoden Schlüsselwörter: vergleichende Analyse, Synthese, Modellierung.

Aufgaben:

Bekanntschaft mit Konzept, Entstehungsgeschichte und Forschung von B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky und andere;

Vertrautheit mit verschiedenen Arten von fraktalen Mengen;

Studium der populärwissenschaftlichen Literatur zu diesem Thema, Bekanntschaft mit

wissenschaftliche Hypothesen;

Bestätigung der Theorie der Fraktalität der umgebenden Welt zu finden;

Studium der Verwendung von Fraktalen in anderen Wissenschaften und in der Praxis;

ein Experiment durchführen, um Ihre eigenen Fraktalbilder zu erstellen.

Kernfrage des Jobs:

Zeigen Sie, dass Mathematik kein trockenes, seelenloses Fach ist, sondern die geistige Welt eines Menschen individuell und in der Gesellschaft als Ganzes ausdrücken kann.

Gegenstand der Studie: Fraktale Geometrie.

Studienobjekt: Fraktale in der Mathematik und in der realen Welt.

Hypothese: Alles, was in der realen Welt existiert, ist ein Fraktal.

Forschungsmethoden: analytisch, suchen.

Relevanz des erklärten Themas wird in erster Linie durch den Forschungsgegenstand, nämlich die fraktale Geometrie, bestimmt.

Erwartete Ergebnisse: Im Laufe der Arbeit werde ich in der Lage sein, mein Wissen auf dem Gebiet der Mathematik zu erweitern, die Schönheit der fraktalen Geometrie zu sehen und mit der Arbeit an der Erstellung meiner eigenen Fraktale zu beginnen.

Das Ergebnis der Arbeit wird die Erstellung einer Computerpräsentation, eines Bulletins und einer Broschüre sein.

Kapitel 1

B Enua Mandelbrot

Der Begriff „Fraktal“ wurde von Benoit Mandelbrot geprägt. Das Wort kommt vom lateinischen „fractus“, was „gebrochen, zerschmettert“ bedeutet.

Fraktal (lat. fractus - zerkleinert, gebrochen, gebrochen) - ein Begriff, der eine komplexe geometrische Figur mit der Eigenschaft der Selbstähnlichkeit bezeichnet, dh aus mehreren Teilen besteht, von denen jeder der gesamten Figur als Ganzes ähnlich ist.

Die mathematischen Objekte, auf die es sich bezieht, zeichnen sich durch äußerst interessante Eigenschaften aus. In der gewöhnlichen Geometrie hat eine Linie eine Dimension, eine Fläche hat zwei Dimensionen und eine räumliche Figur ist dreidimensional. Fraktale hingegen sind keine Linien oder Flächen, sondern, wenn man sich das vorstellen kann, etwas dazwischen. Mit zunehmender Größe nimmt auch das Volumen des Fraktals zu, aber seine Dimension (Exponent) ist keine ganze Zahl, sondern ein Bruchwert, und daher ist die Grenze der fraktalen Figur keine Linie: Bei starker Vergrößerung wird sie deutlich dass es verschwommen ist und aus Spiralen und Locken besteht, die den Maßstab der Figur selbst im Kleinen wiederholen. Eine solche geometrische Regelmäßigkeit wird Skaleninvarianz oder Selbstähnlichkeit genannt. Sie bestimmt die gebrochene Dimension fraktaler Figuren.

Vor dem Aufkommen der fraktalen Geometrie befasste sich die Wissenschaft mit Systemen, die in drei räumlichen Dimensionen enthalten sind. Dank Einstein wurde klar, dass der dreidimensionale Raum nur ein Modell der Realität ist und nicht die Realität selbst. Tatsächlich befindet sich unsere Welt in einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum.
Dank Mandelbrot wurde klar, wie ein vierdimensionaler Raum aussieht, bildlich gesprochen das fraktale Gesicht des Chaos. Benoit Mandelbrot entdeckte, dass die vierte Dimension nicht nur die ersten drei Dimensionen umfasst, sondern auch (das ist sehr wichtig!) die Intervalle zwischen ihnen.

Rekursive (oder fraktale) Geometrie ersetzt die Euklidische. Die neue Wissenschaft ist in der Lage, die wahre Natur von Körpern und Phänomenen zu beschreiben. Die euklidische Geometrie befasste sich nur mit künstlichen, imaginären Objekten, die zu drei Dimensionen gehören. Erst die vierte Dimension kann sie Wirklichkeit werden lassen.

Flüssig, gasförmig, fest sind die drei üblichen physikalischen Zustände der Materie, die in der dreidimensionalen Welt existieren. Aber wie groß sind die Rauchschwaden, die Wolken bzw. ihre Grenzen, die durch turbulente Luftbewegungen ständig verwischt werden?

Grundsätzlich werden Fraktale in drei Gruppen eingeteilt:

Algebraische Fraktale

Stochastische Fraktale

geometrische Fraktale

Lassen Sie uns einen genaueren Blick auf jeden von ihnen werfen.

Kapitel 2. Klassifizierung von Fraktalen

geometrische Fraktale

Benoit Mandelbrot schlug ein fraktales Modell vor, das bereits zu einem Klassiker geworden ist und oft verwendet wird, um sowohl ein typisches Beispiel für das Fraktal selbst als auch die Schönheit von Fraktalen zu demonstrieren, was auch Forscher, Künstler und einfach Interessierte anzieht.

Mit ihnen begann die Geschichte der Fraktale. Diese Art von Fraktalen wird durch einfache geometrische Konstruktionen erhalten. Üblicherweise geht man beim Konstruieren dieser Fraktale folgendermaßen vor: Man nimmt einen „Samen“ – ein Axiom – eine Menge von Segmenten, auf deren Grundlage das Fraktal aufgebaut wird. Außerdem wird auf diesen „Samen“ eine Reihe von Regeln angewendet, die ihn in eine geometrische Figur verwandeln. Ferner wird derselbe Satz von Regeln wieder auf jeden Teil dieser Figur angewendet. Mit jedem Schritt wird die Figur immer komplexer, und wenn wir (zumindest gedanklich) unendlich viele Transformationen durchführen, erhalten wir ein geometrisches Fraktal.

Fraktale dieser Klasse sind am visuellsten, weil sie in jedem Beobachtungsmaßstab sofort sichtbare Selbstähnlichkeit sind. Im zweidimensionalen Fall können solche Fraktale erhalten werden, indem eine unterbrochene Linie angegeben wird, die als Generator bezeichnet wird. In einem Schritt des Algorithmus wird jedes der Segmente, die die unterbrochene Linie bilden, durch einen Generator für unterbrochene Linien im geeigneten Maßstab ersetzt. Als Ergebnis der endlosen Wiederholung dieses Vorgangs (genauer gesagt, beim Überschreiten des Limits) wird eine fraktale Kurve erhalten. Bei der offensichtlichen Komplexität der resultierenden Kurve ist ihre allgemeine Form nur durch die Form des Generators gegeben. Beispiele für solche Kurven sind: Koch-Kurve (Abb.7), Peano-Kurve (Abb.8), Minkowski-Kurve.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts suchten Mathematiker nach Kurven, die an keiner Stelle eine Tangente hatten. Dadurch änderte die Kurve schlagartig ihre Richtung, und zwar mit enorm hoher Geschwindigkeit (die Ableitung ist gleich unendlich). Die Suche nach diesen Kurven wurde nicht nur durch das müßige Interesse der Mathematiker verursacht. Tatsache ist, dass sich die Quantenmechanik zu Beginn des 20. Jahrhunderts sehr schnell entwickelt hat. Der Forscher M. Brown skizzierte die Flugbahn von Schwebeteilchen im Wasser und erklärte dieses Phänomen folgendermaßen: Zufällig bewegte Flüssigkeitsatome treffen auf Schwebeteilchen und setzen sie dadurch in Bewegung. Nach einer solchen Erklärung der Brownschen Bewegung standen die Wissenschaftler vor der Aufgabe, eine Kurve zu finden, die die Bewegung der Brownschen Teilchen am besten wiedergibt. Dazu musste die Kurve folgende Eigenschaften erfüllen: an keiner Stelle eine Tangente haben. Der Mathematiker Koch schlug eine solche Kurve vor.

Zu Die Koch-Kurve ist ein typisches geometrisches Fraktal. Der Prozess seiner Konstruktion ist wie folgt: Wir nehmen ein einzelnes Segment, teilen es in drei gleiche Teile und ersetzen das mittlere Intervall durch ein gleichseitiges Dreieck ohne dieses Segment. Als Ergebnis wird eine unterbrochene Linie gebildet, die aus vier Gliedern der Länge 1/3 besteht. Im nächsten Schritt wiederholen wir die Operation für jeden der vier resultierenden Links und so weiter ...

Die Grenzkurve ist Koch-Kurve.

Schneeflocke Koch. Indem Sie eine ähnliche Transformation an den Seiten eines gleichseitigen Dreiecks durchführen, können Sie ein fraktales Bild einer Koch-Schneeflocke erhalten.

T
Ein weiterer einfacher Vertreter eines geometrischen Fraktals ist Sierpinski-Platz. Es ist ganz einfach aufgebaut: Das Quadrat wird durch gerade Linien parallel zu seinen Seiten in 9 gleichgroße Quadrate geteilt. Das zentrale Quadrat wird aus dem Quadrat entfernt. Es stellt sich ein Satz heraus, der aus 8 verbleibenden Quadraten des "ersten Ranges" besteht. Wenn wir dasselbe mit jedem der Quadrate des ersten Ranges tun, erhalten wir einen Satz, der aus 64 Quadraten des zweiten Ranges besteht. Wenn wir diesen Vorgang unbegrenzt fortsetzen, erhalten wir eine unendliche Folge oder ein Sierpinski-Quadrat.

Algebraische Fraktale

Dies ist die größte Gruppe von Fraktalen. Algebraische Fraktale haben ihren Namen, weil sie mit einfachen algebraischen Formeln aufgebaut sind.

Sie werden unter Verwendung nichtlinearer Prozesse in erhalten n-dimensionale Räume. Es ist bekannt, dass nichtlineare dynamische Systeme mehrere stabile Zustände haben. Der Zustand, in dem sich das dynamische System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen befindet, hängt von seinem Anfangszustand ab. Daher hat jeder stabile Zustand (oder, wie sie sagen, ein Attraktor) einen bestimmten Bereich von Anfangszuständen, aus denen das System notwendigerweise in die betrachteten Endzustände fällt. Somit wird der Phasenraum des Systems unterteilt Anziehungspunkte Attraktoren. Wenn der Phasenraum zweidimensional ist, kann man durch Einfärben der Anziehungsbereiche mit unterschiedlichen Farben erhalten Farbphasenporträt dieses System (iterativer Prozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus können Sie komplexe Fraktalmuster mit ausgefallenen mehrfarbigen Mustern erhalten. Eine Überraschung für Mathematiker war die Fähigkeit, mit primitiven Algorithmen sehr komplexe Strukturen zu erzeugen.

Betrachten Sie als Beispiel die Mandelbrot-Menge. Es wird mit komplexen Zahlen aufgebaut.

Teil der Grenze der Mandelbrot-Menge, 200-fach vergrößert.

Das Mandelbrot-Set enthält Punkte, die währendendlos die Anzahl der Iterationen geht nicht gegen unendlich (schwarze Punkte). Punkte, die zur Grenze der Menge gehören(hier entstehen komplexe Strukturen) gehen in endlich vielen Iterationen ins Unendliche, und außerhalb der Menge liegende Punkte gehen nach mehreren Iterationen ins Unendliche (weißer Hintergrund).

P



Ein Beispiel für ein weiteres algebraisches Fraktal ist die Julia-Menge. Es gibt 2 Varianten dieses Fraktals.Überraschenderweise werden die Julia-Mengen nach der gleichen Formel wie die Mandelbrot-Menge gebildet. Die Julia-Menge wurde von dem französischen Mathematiker Gaston Julia erfunden, nach dem die Menge benannt wurde.

Und
interessante Tatsache, einige algebraische Fraktale ähneln auffallend Bildern von Tieren, Pflanzen und anderen biologischen Objekten, weshalb sie als Biomorphe bezeichnet werden.

Stochastische Fraktale

Eine weitere bekannte Klasse von Fraktalen sind stochastische Fraktale, die erhalten werden, wenn einer ihrer Parameter in einem iterativen Prozess zufällig geändert wird. Dies führt zu Objekten, die den natürlichen sehr ähnlich sind - asymmetrische Bäume, zerklüftete Küsten usw.

Ein typischer Vertreter dieser Gruppe von Fraktalen ist "Plasma".

D
Um es zu konstruieren, wird ein Rechteck genommen und für jede seiner Ecken eine Farbe bestimmt. Als nächstes wird der Mittelpunkt des Rechtecks ​​gefunden und in einer Farbe angemalt, die gleich dem arithmetischen Mittel der Farben an den Ecken des Rechtecks ​​plus einer Zufallszahl ist. Je größer die Zufallszahl, desto "zerrissener" wird das Bild. Wenn wir davon ausgehen, dass die Farbe des Punktes die Höhe über dem Meeresspiegel ist, erhalten wir anstelle von Plasma eine Bergkette. Nach diesem Prinzip werden Berge in den meisten Programmen modelliert. Mit einem Plasma-ähnlichen Algorithmus wird eine Höhenkarte erstellt, verschiedene Filter werden darauf angewendet, eine Textur wird angewendet und fertig sind fotorealistische Berge.

E
Wenn wir uns dieses Fraktal in einem Abschnitt ansehen, dann werden wir sehen, dass dieses Fraktal voluminös ist und eine „Rauheit“ hat, gerade wegen dieser „Rauheit“ gibt es eine sehr wichtige Anwendung dieses Fraktals.

Angenommen, Sie möchten die Form eines Berges beschreiben. Gewöhnliche Figuren aus der euklidischen Geometrie helfen hier nicht weiter, weil sie die Oberflächentopographie nicht berücksichtigen. Aber wenn Sie herkömmliche Geometrie mit fraktaler Geometrie kombinieren, können Sie die „Rauheit“ des Berges selbst erhalten. Plasma muss auf einen gewöhnlichen Kegel aufgetragen werden, und wir erhalten die Erleichterung des Berges. Solche Operationen können mit vielen anderen Objekten in der Natur durchgeführt werden, dank stochastischer Fraktale kann die Natur selbst beschrieben werden.

Lassen Sie uns nun über geometrische Fraktale sprechen.

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Kapitel 3 „Die fraktale Geometrie der Natur“

Warum wird Geometrie oft als „kalt" und „trocken" bezeichnet? Ein Grund dafür ist ihre Unfähigkeit, die Form einer Wolke, eines Berges, einer Küste oder eines Baumes zu beschreiben. Wolken sind keine Kugeln, Berge sind keine Kegel, Küstenlinien sind keine Kreise, Bäume Rinde ist nicht glatt, sondern Komplexität auf einem ganz anderen Niveau Die Zahl der unterschiedlichen Längenskalen natürlicher Objekte für alle praktischen Zwecke ist unendlich.

(Benoit Mandelbrot „Die fraktale Geometrie der Natur“ ).

Zu Die Schönheit von Fraktalen ist zweierlei: Sie erfreut das Auge, wie zumindest die weltweite Ausstellung fraktaler Bilder beweist, die von einer Gruppe Bremer Mathematiker unter der Leitung von Peitgen und Richter organisiert wurde. Später wurden die Exponate dieser grandiosen Ausstellung in Illustrationen für das Buch "The Beauty of Fractals" der gleichen Autoren festgehalten. Aber es gibt einen anderen, abstrakteren oder erhabeneren Aspekt der Schönheit von Fraktalen, der laut R. Feynman nur dem mentalen Blick des Theoretikers zugänglich ist, in diesem Sinne sind Fraktale schön mit der Schönheit eines schwierigen mathematischen Problems. Benoit Mandelbrot wies seine Zeitgenossen (und vermutlich auch seine Nachkommen) auf eine unglückliche Lücke in Euklids Elementen hin, wonach die Menschheit, ohne die Lücke zu bemerken, fast zwei Jahrtausende lang die Geometrie der umgebenden Welt verstanden und deren mathematische Strenge gelernt hatte Präsentation. Natürlich sind beide Aspekte der Schönheit von Fraktalen eng miteinander verbunden und schließen sich nicht aus, sondern ergänzen sich gegenseitig, obwohl jeder von ihnen autark ist.

Die fraktale Geometrie der Natur ist nach Mandelbrot eine reelle Geometrie, die der in F. Kleins „Erlanger Programm“ vorgeschlagenen Definition von Geometrie genügt. Tatsache ist, dass vor dem Aufkommen der nichteuklidischen Geometrie N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, es gab nur eine Geometrie - die in den "Anfängen" dargelegte, und die Frage, was Geometrie ist und welche der Geometrien die Geometrie der realen Welt ist, stellte sich nicht und konnte nicht auftreten entstehen. Aber mit dem Aufkommen einer anderen Geometrie stellte sich die Frage, was Geometrie überhaupt ist und welche der vielen Geometrien der realen Welt entspricht. Laut F. Klein untersucht die Geometrie solche Eigenschaften von Objekten, die unter Transformationen invariant sind: Euklidisch - Invarianten der Bewegungsgruppe (Transformationen, die den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten nicht ändern, d.h. eine Überlagerung paralleler Translationen und Rotationen mit oder darstellen ohne Orientierungsänderung) , Lobatschewski-Bolyai-Geometrie - Invarianten der Lorentz-Gruppe. Die fraktale Geometrie befasst sich mit der Untersuchung von Invarianten der Gruppe der selbstaffinen Transformationen, d.h. Eigenschaften, die durch Potenzgesetze ausgedrückt werden.

Was die Entsprechung zur realen Welt betrifft, so beschreibt die fraktale Geometrie eine sehr breite Klasse von natürlichen Prozessen und Phänomenen, und daher können wir mit B. Mandelbrot zu Recht von der fraktalen Geometrie der Natur sprechen. Neu - Fraktale Objekte haben ungewöhnliche Eigenschaften. Die Längen, Flächen und Volumen einiger Fraktale sind gleich Null, andere gehen gegen Unendlich.

Die Natur erschafft oft erstaunliche und schöne Fraktale mit perfekter Geometrie und einer solchen Harmonie, dass Sie vor Bewunderung einfach erstarren. Und hier sind ihre Beispiele:

Muscheln

Blitz bewundern ihre Schönheit. Die vom Blitz erzeugten Fraktale sind nicht zufällig oder regelmäßig.

fraktale Form Unterart des Blumenkohls(Brassica cauliflora). Diese besondere Art ist ein besonders symmetrisches Fraktal.

P Farn ist auch ein gutes Beispiel für ein Fraktal unter Flora.

Pfauen Jeder ist bekannt für sein buntes Gefieder, in dem solide Fraktale verborgen sind.

Eis, Frostmuster an den Fenstern sind dies auch Fraktale

Ö
t vergrößertes Bild Flugblatt, Vor Äste- Sie können Fraktale in allem finden

Fraktale sind überall und überall in der Natur um uns herum. Das gesamte Universum ist nach überraschend harmonischen Gesetzen mit mathematischer Präzision aufgebaut. Ist es danach möglich zu glauben, dass unser Planet eine zufällige Ansammlung von Teilchen ist? Kaum.

Kapitel 4

Fraktale finden immer mehr Anwendungen in der Wissenschaft. Der Hauptgrund dafür ist, dass sie die reale Welt manchmal sogar besser beschreiben als traditionelle Physik oder Mathematik. Hier sind einige Beispiele:

Ö
Tage der mächtigsten Anwendungen von Fraktalen liegen vor uns Computergrafik. Dies ist eine fraktale Komprimierung von Bildern. Die moderne Physik und Mechanik fängt gerade erst an, das Verhalten fraktaler Objekte zu untersuchen.

Die Vorteile von fraktalen Bildkomprimierungsalgorithmen sind eine sehr kleine Größe der gepackten Datei und eine kurze Bildwiederherstellungszeit. Fraktal gepackte Bilder können skaliert werden, ohne dass eine Verpixelung auftritt (schlechte Bildqualität – große Quadrate). Aber der Komprimierungsprozess dauert sehr lange und dauert manchmal Stunden. Der verlustbehaftete fraktale Packalgorithmus ermöglicht es Ihnen, die Komprimierungsstufe einzustellen, ähnlich wie beim JPEG-Format. Der Algorithmus basiert auf der Suche nach großen Teilen des Bildes, die einigen kleinen Teilen ähneln. Und nur welches Stück welchem ​​ähnlich ist, wird in die Ausgabedatei geschrieben. Beim Komprimieren wird in der Regel ein quadratisches Raster verwendet (Stücke sind Quadrate), was zu einer leichten Winkligkeit beim Wiederherstellen des Bildes führt; ein sechseckiges Raster ist von einem solchen Nachteil frei.

Iterated hat ein neues Bildformat namens „Sting“ entwickelt, das Fraktal- und „Wellen“- (z. B. jpeg) verlustfreie Komprimierung kombiniert. Mit dem neuen Format können Sie Bilder mit der Möglichkeit einer anschließenden Skalierung in hoher Qualität erstellen, und das Volumen von Grafikdateien beträgt 15-20% des Volumens von unkomprimierten Bildern.

In Mechanik und Physik Fraktale werden aufgrund der einzigartigen Eigenschaft verwendet, die Umrisse vieler natürlicher Objekte zu wiederholen. Fraktale ermöglichen es Ihnen, Bäume, Bergoberflächen und Risse mit höherer Genauigkeit anzunähern als Annäherungen mit Liniensegmenten oder Polygonen (mit der gleichen Menge an gespeicherten Daten). Fraktale Modelle haben wie natürliche Objekte "Rauigkeit", und diese Eigenschaft bleibt bei einer beliebig großen Vergrößerung des Modells erhalten. Das Vorhandensein eines einheitlichen Maßes für Fraktale ermöglicht die Anwendung der Integration, der Potentialtheorie, um sie anstelle von Standardobjekten in den bereits untersuchten Gleichungen zu verwenden.

T
Fraktale Geometrie wird auch verwendet Design von Antennengeräten. Dies wurde zuerst von dem amerikanischen Ingenieur Nathan Cohen verwendet, der damals im Zentrum von Boston lebte, wo die Installation von Außenantennen an Gebäuden verboten war. Cohen schnitt eine Koch-Kurvenform aus Aluminiumfolie aus und klebte sie dann auf ein Stück Papier, bevor er sie an einem Empfänger befestigte. Es stellte sich heraus, dass eine solche Antenne nicht schlechter funktioniert als eine herkömmliche. Und obwohl die physikalischen Grundlagen einer solchen Antenne bisher nicht untersucht wurden, hinderte dies Cohen nicht daran, eine eigene Firma zu gründen und deren Serienproduktion aufzubauen. Aktuell hat die amerikanische Firma „Fractal Antenna System“ einen neuen Antennentyp entwickelt. Jetzt können Sie aufhören, abstehende externe Antennen in Mobiltelefonen zu verwenden. Die sogenannte Fraktalantenne befindet sich direkt auf der Hauptplatine im Inneren des Geräts.

Auch über die Verwendung von Fraktalen gibt es viele Hypothesen – so haben beispielsweise auch das Lymph- und Kreislaufsystem, die Lunge und vieles mehr fraktale Eigenschaften.

Kapitel 5. Praktische Arbeit.

Konzentrieren wir uns zunächst auf die Fraktale „Necklace“, „Victory“ und „Square“.

Zuerst - "Halskette"(Abb. 7). Der Kreis ist der Initiator dieses Fraktals. Dieser Kreis besteht aus einer bestimmten Anzahl gleicher, aber kleinerer Kreise, und er selbst ist einer von mehreren gleichen, aber größeren Kreisen. Der Bildungsprozess ist also endlos und kann sowohl in die eine als auch in die entgegengesetzte Richtung durchgeführt werden. Jene. die Figur kann vergrößert werden, indem man nur einen kleinen Bogen nimmt, oder sie kann verkleinert werden, indem man ihre Konstruktion aus kleineren betrachtet.

Reis. 7.

Fraktal "Halskette"

Das zweite Fraktal ist "Sieg"(Abb. 8). Er bekam diesen Namen, weil er äußerlich dem lateinischen Buchstaben „V“ ähnelt, also „Sieg“-Sieg. Dieses Fraktal besteht aus einer bestimmten Anzahl kleiner „v“, die ein großes „V“ ergeben, und in der linken Hälfte, in der die kleinen so platziert sind, dass ihre linken Hälften eine gerade Linie bilden, wird der rechte Teil gebaut auf die gleiche Weise. Jedes dieser "v" ist gleich aufgebaut und setzt dies bis ins Unendliche fort.

Abb.8. Fraktal "Sieg"

Das dritte Fraktal ist "Quadrat" (Abb. 9). Jede seiner Seiten besteht aus einer Reihe von Zellen, die wie Quadrate geformt sind, deren Seiten auch Reihen von Zellen darstellen, und so weiter.

Abb. 9. Fraktal "Quadrat"

Das Fraktal wurde aufgrund seiner äußeren Ähnlichkeit mit dieser Blume "Rose" (Abb. 10) genannt. Die Konstruktion eines Fraktals ist mit der Konstruktion einer Reihe konzentrischer Kreise verbunden, deren Radius sich proportional zu einem gegebenen Verhältnis ändert (in diesem Fall R m / R b = ¾ = 0,75). Danach wird in jeden Kreis ein regelmäßiges Sechseck eingeschrieben, dessen Seite gleich dem Radius des um ihn herum beschriebenen Kreises ist.

Reis. 11. Fraktal "Rose *"

Als nächstes wenden wir uns dem regulären Fünfeck zu, in dem wir seine Diagonalen zeichnen. Dann zeichnen wir in dem am Schnittpunkt der entsprechenden Segmente erhaltenen Fünfeck erneut Diagonalen. Setzen wir diesen Vorgang bis ins Unendliche fort und erhalten das "Pentagramm"-Fraktal (Abb. 12).

Lassen Sie uns ein Element der Kreativität einführen und unser Fraktal wird die Form eines eher visuellen Objekts annehmen (Abb. 13).

R
ist. 12. Fraktal "Pentagramm".

Reis. 13. Fraktal "Pentagramm *"

Reis. 14 Fraktal "Schwarzes Loch"

Experiment Nr. 1 "Baum"

Jetzt, da ich verstehe, was ein Fraktal ist und wie man eines baut, habe ich versucht, meine eigenen Fraktalbilder zu erstellen. In Adobe Photoshop habe ich eine kleine Unterroutine oder Aktion erstellt. Die Besonderheit dieser Aktion besteht darin, dass sie die von mir ausgeführten Aktionen wiederholt, und so erhalte ich ein Fraktal.

Zunächst habe ich einen Hintergrund für unser zukünftiges Fraktal mit einer Auflösung von 600 x 600 erstellt. Dann habe ich 3 Linien auf diesen Hintergrund gezeichnet - die Basis unseres zukünftigen Fraktals.

Mit Der nächste Schritt besteht darin, das Skript zu schreiben.

Ebene duplizieren ( Ebene > duplizieren) und ändern Sie den Mischungstyp in " Bildschirm" .

Nennen wir ihn“ fr1". Diese Ebene duplizieren (" fr1“) noch 2 mal.

Jetzt müssen wir zur letzten Ebene wechseln (fr3) und füge es zweimal mit dem vorherigen zusammen ( Strg+e). Ebenenhelligkeit verringern ( Bild > Anpassungen > Helligkeit/Kontrast , Helligkeit eingestellt 50% ). Verschmelzen Sie erneut mit der vorherigen Ebene und schneiden Sie die Kanten der gesamten Zeichnung ab, um unsichtbare Teile zu entfernen.

Als letzten Schritt habe ich dieses Bild kopiert und verkleinert und gedreht eingefügt. Hier ist das Endergebnis.

Fazit

Diese Arbeit ist eine Einführung in die Welt der Fraktale. Wir haben nur den kleinsten Teil dessen betrachtet, was Fraktale sind, auf der Grundlage ihrer Konstruktionsprinzipien.

Fraktale Grafiken sind nicht nur eine Reihe sich selbst wiederholender Bilder, sie sind ein Modell der Struktur und des Prinzips eines jeden Wesens. Unser ganzes Leben wird durch Fraktale repräsentiert. Die ganze Natur um uns herum besteht aus ihnen. Es sei darauf hingewiesen, dass Fraktale in Computerspielen weit verbreitet sind, wo Terrains oft fraktale Bilder sind, die auf dreidimensionalen Modellen komplexer Mengen basieren. Fraktale erleichtern das Zeichnen von Computergrafiken erheblich, mit Hilfe von Fraktalen werden viele Spezialeffekte, verschiedene fabelhafte und unglaubliche Bilder usw. erstellt. Außerdem werden mit Hilfe der fraktalen Geometrie Bäume, Wolken, Küsten und alle andere Natur gezeichnet. Fraktale Grafiken werden überall benötigt, und die Entwicklung von „Fraktal-Technologien“ ist heute eine der wichtigsten Aufgaben.

In Zukunft möchte ich lernen, wie man algebraische Fraktale baut, wenn ich komplexe Zahlen genauer untersuche. Ich möchte auch versuchen, mein Fraktalbild in der Programmiersprache Pascal mithilfe von Zyklen zu erstellen.

Es sollte beachtet werden, dass Fraktale in der Computertechnologie verwendet werden, zusätzlich zum einfachen Erstellen schöner Bilder auf einem Computerbildschirm. Fraktale werden in der Computertechnik in folgenden Bereichen eingesetzt:

1. Bilder und Informationen komprimieren

2. Ausblenden von Informationen im Bild, im Ton, ...

3. Datenverschlüsselung mit fraktalen Algorithmen

4. Erstellen von fraktaler Musik

5. Systemmodellierung

In unserer Arbeit werden nicht alle Bereiche des menschlichen Wissens angegeben, in denen die Theorie der Fraktale ihre Anwendung gefunden hat. Wir wollen nur sagen, dass seit dem Aufkommen der Theorie nicht mehr als ein Dritteljahrhundert vergangen ist, aber in dieser Zeit sind Fraktale für viele Forscher zu einem plötzlichen hellen Licht in der Nacht geworden, das bisher unbekannte Tatsachen und Muster gezielt beleuchtete Datenbereiche. Mit der Theorie der Fraktale begannen sie, die Evolution der Galaxien und die Entwicklung der Zelle, die Entstehung von Bergen und die Bildung von Wolken, die Kursbewegungen an der Börse und die Entwicklung von Gesellschaft und Familie zu erklären. Vielleicht war diese Leidenschaft für Fraktale anfangs sogar zu stürmisch und Versuche, alles mit der Theorie der Fraktale zu erklären, waren unberechtigt. Aber ohne Zweifel hat diese Theorie das Recht zu existieren, und wir bedauern, dass sie in letzter Zeit irgendwie in Vergessenheit geraten ist und das Los der Elite geblieben ist. Bei der Vorbereitung dieser Arbeit war es für uns sehr interessant, Anwendungen der THEORIE in der PRAXIS zu finden. Denn sehr oft entsteht das Gefühl, dass theoretisches Wissen von der Lebenswirklichkeit abweicht.

Damit wird das Konzept der Fraktale nicht nur zu einem Teil der "reinen" Wissenschaft, sondern auch zu einem Element der menschlichen Kultur. Die Fraktalwissenschaft ist noch sehr jung und hat eine große Zukunft vor sich. Die Schönheit der Fraktale ist noch lange nicht erschöpft und wird uns noch viele Meisterwerke bescheren – solche, die das Auge erfreuen, und solche, die dem Geist wahre Freude bereiten.

10. Referenzen

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Mandelbrot B. Fraktale Geometrie der Natur. - M.: "Institut für Computerforschung", 2002.

Morozov A.D. Einführung in die Theorie der Fraktale. Nischni Nowgorod: Verlag Nischegorod. Universität 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Die Schönheit der Fraktale. - M.: "Mir", 1993.

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