Der Friseur rasiert. Bertrand Russells Paradoxon

Das berühmteste der bereits in unserem Jahrhundert entdeckten Paradoxien ist die von B. Russell entdeckte Antinomie. Die Idee lag in der Luft, und ihre Veröffentlichung erweckte den Eindruck einer explodierenden Bombe. Dieses Paradox hat in der Mathematik, so D. Hilbert, „die Wirkung einer vollständigen Katastrophe“. Die einfachsten und wichtigsten logischen Methoden, die gebräuchlichsten und nützlichsten Konzepte sind bedroht. Es zeigte sich sofort, dass weder in der Logik noch in der Mathematik in der ganzen langen Geschichte ihres Bestehens irgendetwas entschieden herausgearbeitet wurde, was als Grundlage für die Beseitigung der Antinomie dienen könnte. Offensichtlich war eine Abkehr von gewohnten Denkweisen notwendig.

Russells Paradoxon in seiner ursprünglichen Form ist mit dem Konzept einer Menge oder einer Klasse verbunden. Wir können von Mengen verschiedener Objekte sprechen, zum Beispiel von der Menge aller Menschen oder von der Menge der natürlichen Zahlen. Ein Element der ersten Menge ist jede einzelne Person, ein Element der zweiten - jede natürliche Zahl. Es ist auch möglich, Mengen selbst als einige Objekte zu betrachten und von Mengen von Mengen zu sprechen. Man kann sogar Begriffe wie die Menge aller Mengen oder die Menge aller Begriffe einführen. In Bezug auf jede willkürlich genommene Menge erscheint es vernünftig zu fragen, ob sie ihr eigenes Element ist oder nicht. Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten, werden gewöhnlich genannt. Zum Beispiel ist die Menge aller Menschen keine Person, genauso wie die Menge der Atome kein Atom ist. Mengen, die echte Elemente sind, werden ungewöhnlich sein. Beispielsweise ist eine Menge, die alle Mengen vereint, eine Menge und enthält sich daher selbst als Element. Offensichtlich ist jedes Set entweder gewöhnlich oder ungewöhnlich.

Betrachten Sie nun die Menge aller gewöhnlichen Mengen. Da es sich um ein Set handelt, kann man auch danach fragen, ob es gewöhnlich oder ungewöhnlich ist. Die Antwort ist jedoch entmutigend. Wenn es gewöhnlich ist, muss es sich per Definition selbst als Element enthalten, da es alle gewöhnlichen Mengen enthält. Dies bedeutet jedoch, dass es sich um ein ungewöhnliches Set handelt. Die Annahme, dass unsere Menge eine gewöhnliche Menge ist, führt also zu einem Widerspruch. Normal kann es also nicht sein. Andererseits kann es auch nicht ungewöhnlich sein: Eine ungewöhnliche Menge enthält sich selbst als Element, und die Elemente unserer Menge sind nur gewöhnliche Mengen. Als Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass die Menge aller gewöhnlichen Mengen weder gewöhnlich noch außergewöhnlich sein kann.

Die Menge aller Mengen, die keine echten Elemente sind, ist also genau dann ein echtes Element, wenn sie kein solches Element ist. Das ist ein klarer Widerspruch.

Der Widerspruch besagt, dass eine solche Menge einfach nicht existiert. Aber warum kann es das nicht geben? Schließlich besteht es aus Objekten, die eine genau definierte Bedingung erfüllen, und die Bedingung selbst scheint nicht irgendwie außergewöhnlich oder obskur zu sein. Wenn eine so einfach und klar definierte Menge nicht existieren kann, was ist dann eigentlich der Unterschied zwischen möglichen und unmöglichen Mengen? Die Schlussfolgerung über die Nichtexistenz der betrachteten Menge klingt unerwartet und weckt Besorgnis. Es macht unsere allgemeine Vorstellung von einer Menge amorph und chaotisch, und es gibt keine Garantie dafür, dass es nicht zu einigen neuen Paradoxien führen kann.

Russells Paradoxon ist wegen seiner extremen Allgemeingültigkeit bemerkenswert. Für seine Konstruktion sind keine komplexen technischen Konzepte erforderlich, da bei einigen anderen Paradoxien die Konzepte "Menge" und "Element der Menge" ausreichen. Aber diese Einfachheit spricht nur von ihrer grundlegenden Natur: Sie berührt die tiefsten Grundlagen unseres Denkens über Mengen, da sie nicht von einigen Sonderfällen spricht, sondern von Mengen im Allgemeinen.

Russells Paradoxon ist nicht spezifisch mathematisch. Es verwendet das Konzept einer Menge, berührt aber keine speziellen Eigenschaften, die speziell mit der Mathematik verbunden sind. Dies wird deutlich, wenn das Paradoxon rein logisch umformuliert wird.

Bei jeder Eigenschaft kann man aller Wahrscheinlichkeit nach fragen, ob sie auf sich selbst anwendbar ist oder nicht. Die Eigenschaft, heiß zu sein, gilt beispielsweise nicht für sich selbst, da es selbst nicht heiß ist; auch die Eigenschaft, konkret zu sein, bezieht sich nicht auf sich selbst, denn sie ist eine abstrakte Eigenschaft. Aber die Eigenschaft, abstrakt zu sein, abstrakt zu sein, ist auf einen selbst anwendbar. Nennen wir diese auf sich selbst nicht anwendbaren Eigenschaften nicht anwendbar. Gilt die Eigenschaft, auf sich selbst nicht anwendbar zu sein? Es stellt sich heraus, dass eine Unanwendbarkeit nur dann unanwendbar ist, wenn sie es nicht ist. Das ist natürlich paradox, denn die logische, eigenschaftsbezogene Variante von Russells Antinomie ist ebenso paradox wie die mathematische, mengenbezogene Variante.

B. Russell schlug auch die folgende populäre Version des von ihm entdeckten Paradoxons vor. „Der Barbier rasiert alle und nur die Einwohner der Stadt, die sich nicht selbst rasieren. Wer rasiert den Friseur?" Das Paradox des Barbiers liegt darin, dass es angeblich unmöglich ist, diese Frage zu beantworten.

Um die Situation zu verstehen, werden wir die Einwohner der Stadt in drei Gruppen einteilen. Diese Aufteilung ist in der linken Abbildung dargestellt: Diejenigen, die sich selbst rasieren, sind oben; diejenigen, die rasiert sind - von unten; diejenigen, die sich überhaupt nicht rasieren (Mönche, Kinder, Frauen...) befinden sich außerhalb der Ellipse.

Betrachten Sie zunächst die Wirkung von Bedingung (1). Lassen Sie den Barbier alle rasieren, die sich nicht selbst rasieren, also die gesamte untere Hälfte der Ellipse (Schraffur markiert die Kunden des Barbiers). Aber Bedingung (1) erlaubt ihm, sich zu rasieren, und derjenige, der sich selbst rasiert, dh sich selbst. Bedingung (1) erlaubt ihm, sich in der oberen Hälfte der Ellipse zu positionieren, wo sich die Bewohner selbst rasieren, und sich dort zu rasieren. Dies ist im mittleren Bild dargestellt.

Wenn Bedingung (2) zutrifft und der Barbier nur diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren, bedeutet dies, dass er einen Teil der unteren Hälfte der Ellipse rasiert und sich selbst nicht rasiert, dh sich nicht in der oberen Hälfte der Ellipse befindet . Aber die Bewohner der unteren Hälfte dürfen nicht von einem Barbier rasiert werden, sondern von jemand anderem. Unter diesen Menschen kann auch ein Barbier sein (Abbildung rechts). So kann der Barbier seinen Freund rasieren, und der Barbier rasiert den schattierten Teil der unteren Hälfte der Ellipse.

Aber wenn beide Bedingungen (1) und (2) zutreffen, dann hat der Barbier keinen Platz in der Ellipse. Er rasiert sich überhaupt nicht. Und hier gibt es kein Paradoxon. Er ist daher entweder ein Mönch oder ein Roboter oder ein Kind oder eine Frau oder ein Nicht-Bewohner der Stadt ... Und wenn es in der Stadt niemanden gibt außer Rasiermännern und daher den Wenn die Ellipse leer ist, dann existiert einfach kein Barbier, der die Bedingungen (1) und (2) erfüllt. Es ist absurd, in diesem Fall zu fragen, wer ihn rasiert. Viele solcher Friseure sind leer.

Und hier werden wir feststellen, dass die gestellte Frage „Wer rasiert den Friseur?“ von Anfang an falsch war, genau wie die klassische Frage: „Warum schlagen Sie Ihren Vater?“ Bevor man fragt, wer den Barbier rasiert, muss man zustimmen, dass ihn jemand rasiert.

Der Streit um den Friseur kann als Pseudo-Paradoxon bezeichnet werden. In seinem Verlauf ist es streng analog zu Russells Paradox, und das macht es interessant. Aber es ist immer noch kein echtes Paradoxon.

Ein weiteres Beispiel für dasselbe Pseudo-Paradoxon ist das bekannte Katalogargument.

Eine bestimmte Bibliothek beschloss, einen bibliografischen Katalog zu erstellen, der all jene und nur jene bibliografischen Kataloge enthalten würde, die keine Verweise auf sich selbst enthalten. Sollte ein solches Verzeichnis einen Link zu sich selbst enthalten? Es ist leicht zu zeigen, dass die Idee, einen solchen Katalog zu erstellen, nicht realisierbar ist; es kann einfach nicht existieren, weil es gleichzeitig einen Verweis auf sich selbst enthalten und nicht enthalten muss. Es ist interessant festzustellen, dass das Katalogisieren aller Verzeichnisse, die keine Verweise auf sich selbst enthalten, als endloser, nie endender Prozess angesehen werden kann.

Nehmen wir an, dass irgendwann ein Verzeichnis kompiliert wurde, sagen wir K1, das alle anderen Verzeichnisse enthielt, die keine Verweise auf sich selbst enthielten. Mit der Erstellung von K1 erschien ein weiteres Verzeichnis, das keinen Verweis auf sich selbst enthält. Da das Ziel darin besteht, einen vollständigen Katalog aller Verzeichnisse zu erstellen, die sich selbst nicht erwähnen, ist es offensichtlich, dass K1 nicht die Lösung ist. Er erwähnt eines dieser Verzeichnisse nicht - sich selbst. Mit dieser Erwähnung von sich selbst in K1 erhalten wir den K2-Katalog. Es erwähnt K1, aber nicht K2 selbst. Wenn wir eine solche Erwähnung zu K2 hinzufügen, erhalten wir K3, das wiederum unvollständig ist, da es sich selbst nicht erwähnt. Und so weiter ohne Ende.

gekürztes und geändertes Kapitel aus dem Werk
„Logische Paradoxien. Lösungen»

B. Russells Paradox "Über den Friseur (Friseur, Friseur)"

Rasierter Barbier oder nochmal zum Friseur

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckte Bertrand Russell ein logisches Paradoxon. Er berichtete darüber in seinem Brief an den berühmten Mathematiker, Philosophen und Logiker Gottlob Frege – den Begründer der modernen logischen Semantik – als dieser „schon 1902 den zweiten Band der Grundlagen der Arithmetik zum Druck eingereicht hatte“. Der Brief „meldete einen formalen Widerspruch in Freges vorgeschlagener Rechtfertigung der Arithmetik (Russellsches Paradoxon), den Frege bis zu seinem Lebensende vergeblich zu lösen versuchte. Es war jedoch Russell, der Frege zu großem Ruhm verhalf, denn in Russells Vortrag (Sonderbeilage zu den Foundations of Mathematics, 1903) wurde Freges Konzept einem breiten Leserkreis zugänglich. Ende des Zitats http://www.krugosvet.ru/articles/92/1009213/1009213a1.htm).
Nicht nur Frege, sondern seit mehr als hundert Jahren ist es bis heute niemandem gelungen, dieses logische Paradoxon zu lösen. Niemand außer mir.

"Russells Paradoxon in seiner ursprünglichen Form ist mit dem Konzept einer Menge oder Klasse verbunden" (Ivin A. A. Die Kunst des richtigen Denkens. - M .: Bildung. - 1998). In dieser Form steht die Lösung in einem anderen Artikel: Russells Paradoxon – die Originalversion – über Mengen, aber die ganze Welt kennt es in einer anderen Formulierung. Russell „bot die folgende populäre Version des Paradoxons an, das er in der mathematischen Mengenlehre entdeckte.
Stellen wir uns vor, dass der Rat eines Dorfes die Pflichten des Barbiers dieses Dorfes wie folgt definiert hat: alle Männer des Dorfes zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese Männer. Soll er sich rasieren? (Ivin A. A. Die Kunst des richtigen Denkens. - M .: Education. - 1990, S. 205 - 206, http://www.koob.ru/books/iskusstvo_pravilno_mislit.rar).

Es gab viele Verzerrungen des Paradoxons sowie Versuche, diesen Widerspruch aufzulösen, aber im Grunde liefen alle Lösungen auf das Folgende hinaus.
„Wenn ja (d.h. der Barbier muss sich rasieren – mein Einschub), dann wird er auf diejenigen verweisen, die sich selbst rasieren, und diejenigen, die sich rasieren, soll er nicht rasieren. Wenn nicht, dann gehört er zu denen, die sich nicht rasieren, und muss sich deshalb selbst rasieren. Wir kommen also zu dem Schluss, dass dieser Barbier sich genau dann rasiert, wenn er sich nicht rasiert. Was natürlich unmöglich ist.

Das Argument über den Barbier basiert auf der Annahme, dass es einen solchen Barbier gibt. Der daraus resultierende Widerspruch bedeutet, dass diese Annahme falsch ist und es keinen Dorfbewohner gibt, der all diejenigen rasieren würde, und nur diejenigen seiner Bewohner, die sich nicht selbst rasieren. Die Aufgaben eines Friseurs erscheinen auf den ersten Blick nicht widersprüchlich, daher klingt der Schluss, dass es keinen geben kann, etwas unerwartet. Diese Schlussfolgerung ist jedoch nicht paradox. Die Bedingung, die der Dorffriseur erfüllen muss, ist in der Tat widersprüchlich und daher unmöglich. Einen solchen Friseur kann es in einem Dorf aus dem gleichen Grund nicht geben, dass es dort keine Person gibt, die älter als er selbst wäre oder die vor seiner Geburt geboren wäre. Der Streit um den Friseur kann als Pseudo-Paradoxon bezeichnet werden." Ende des Zitats (ebd.).

ENTSCHEIDUNG

1992, am 19. Dezember, wurde das Fernsehspiel „Was? Woher? Wann?". Beim Stand von 2:6 entstand wie so oft eine strittige, ja sogar Konfliktsituation. Und dann stellte Vladimir Yakovlevich Voroshilov eine Frage, die Experten Sieg oder Niederlage bringen sollte. Es war die Barbierfrage, Russells Paradoxon. Natürlich haben die Experten verloren, obwohl sie hätten gewinnen können. Denn er stellte eine leicht verzerrte Version der Frage: „Die Frage ist: Rasiert sich der Barbier selbst, wenn der Barbier jeden rasiert, der sich nicht rasiert?
Die Antwort der Experten: Nein, er rasiert sich nicht. (Chronik / "Was? Wo? Wann? Produktionszentrum IGRA-TV", http://chgk.tvigra.ru/letopis/?19921219#cur). Sie mussten antworten: „Aus der Information, dass ein Friseur jeden rasiert, der sich nicht selbst rasiert, lässt sich nicht schließen, ob er sich selbst rasiert, ob ihn jemand anderes rasiert oder ob er sich überhaupt nicht rasiert. Denn für solche Schlussfolgerungen gibt es keine hinreichenden Gründe.
Aber dieses Paradoxon verfolgte mich. Es schien, als würde sich die Antwort in meinem Kopf drehen, Sie müssen es nur "am Schwanz packen". Und nach einer Weile gelang es mir.

Die Entscheidung ist, wie so oft, einfach der Wahnsinn. Die ganze Diskussion im Detail und unter Berücksichtigung verzerrter Optionen nimmt mehrere Seiten ein. Ich werde nur eine gekürzte Version des Arguments geben.

Die Antwort auf die Frage nach Russells Paradoxon ist möglich, wenn wir den Barbier irgendeiner Klasse von Männern zuordnen: „sie rasieren sich selbst“ oder „sie rasieren sich nicht“. Aber nach einer logischen Analyse der möglichen Gründe für die Zuordnung von Gruppen von Menschen zu diesen Klassen folgt die einzige Schlussfolgerung, dass dies unmöglich ist, weil ein solcher logisch gerechtfertigter Grund nicht existiert. Basierend auf dieser Schlussfolgerung kamen viele, einschließlich A. A. Ivin, zu dem Schluss, dass das Paradoxon unlösbar ist, und nannten es ein Pseudo-Paradoxon. Aber dann sollten alle anderen Paradoxien auf diese Weise ein für alle Mal „gelöst“ werden. Schließlich denkt niemand, dass es in Wirklichkeit eine Gesprächssituation zwischen einer Mutter und einem Krokodil, einem Missionar und Kannibalen und anderen geben kann. Daher ist die Negation der logischen Annahme keine Lösung. Und die Lösung ist:

Wenn es nicht möglich ist, einen Friseur einer der Klassen „selbst rasieren“ und „nicht rasieren“ zuzuordnen, muss er in die dritte Klasse – „NICHT RASIEREN“ – aufgenommen werden. Und dann verstößt der Friseur gegen keine der logischen Bedingungen, weil sie auf diese Männerklasse nicht zutreffen.

Alle Männer des Dorfes

A. RASIEREN 1 – sie selbst, 2 – nicht sie selbst B. NICHT RASIEREN

Und jetzt ist der Barbier dazu bestimmt, bärtig zu sterben.

Für ein korrektes Verständnis dieser Aufgabe war es lediglich notwendig, das Teilchen „nicht“ vor dem Verb „rasieren“ gedanklich an die Stelle danach zu ordnen. Und dann würde die Bedeutung des paradoxen Zustands des Problems erscheinen, wie auf Fotopapier während des Druckens. Immerhin nahm der Satz „nicht selbst rasieren“ sofort die Form einer absolut einfachen, nicht verwirrenden und für jedermann verständlichen Form an. Nämlich - "Sich NICHT rasieren" bedeutet "Sich NICHT rasieren", das heißt, sie rasieren sich immer noch, wenn auch nicht mit ihren eigenen Händen. Und so erscheint sofort ein offensichtlicher und grober Fehler in der logischen Argumentation all jener, die versucht haben, dieses Paradoxon zu lösen. Ich habe diese Art von Fehler als „falsche Schlussfolgerung“ bezeichnet, wenn aus der logisch notwendigen Schlussfolgerung eine absolut falsche und sogar entgegengesetzte Schlussfolgerung gezogen wird („Logische Paradoxien. Lösungen“, Kapitel „Denkfehler - falsche Schlussfolgerung“). Bei diesem Problem ist der „Falschschluss“, dass der Satz im logischen Denken nicht so klingen sollte: „Wenn der Barbier sich nicht rasieren soll, dann wird er sich auf diejenigen beziehen, die sich nicht selbst rasieren“, was falsch ist, aber in der Form: "Wenn ein Barbier sich nicht rasieren soll, dann bezieht er sich auf diejenigen, die sich nicht rasieren oder NICHT RASIEREN."

Nach der Lösung des „Russell-Paradoxons“ löste ich auch andere bekannte Paradoxe, indem ich zwei allgemeine Postulate darauf anwendete: 1. Wenn man sich der Lösung eines Problems nähert, ist ein klares Verständnis des Problems selbst in all seinen Details erforderlich; 2. Wissen ist ein relativer Begriff („Logische Paradoxien. Lösungswege“, Kapitel „Über die Prinzipien der Lösung von Paradoxien“,

Das berühmteste der bereits im letzten Jahrhundert entdeckten Paradoxien ist die von Bertrand Russell entdeckte und von ihm in einem Brief an G. Ferge mitgeteilte Antinomie. Russell entdeckte 1902 sein Paradoxon im Bereich der Logik und Mathematik. Dieselbe Antinomie wurde gleichzeitig in Göttingen von den deutschen Mathematikern Z. Zermelo (1871-1953) und D. Hilbert diskutiert. Die Idee lag in der Luft und ihre Veröffentlichung erweckte den Eindruck einer explodierenden Bombe Miroshnichenko P.N. Was hat Russells Paradox in Freges System zerstört? // Moderne Logik: Probleme der Theorie, Geschichte und Anwendung in der Wissenschaft. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Dieses Paradoxon bewirkte in der Mathematik, so Hilbert, die Wirkung einer völligen Katastrophe. Die einfachsten und wichtigsten logischen Methoden, die gebräuchlichsten und nützlichsten Konzepte sind bedroht. Es stellte sich heraus, dass es in Cantors Mengenlehre, die von den meisten Mathematikern begeistert angenommen wurde, seltsame Widersprüche gibt, die unmöglich oder zumindest sehr schwer zu beseitigen sind. Russells Paradox brachte diese Widersprüche besonders deutlich ans Licht. Die herausragendsten Mathematiker jener Jahre arbeiteten an ihrer Auflösung sowie an der Auflösung anderer gefundener Paradoxien der Cantorschen Mengenlehre. Es zeigte sich sofort, dass weder in der Logik noch in der Mathematik in der ganzen langen Geschichte ihres Bestehens irgendetwas entschieden herausgearbeitet wurde, was als Grundlage für die Beseitigung der Antinomie dienen könnte. Offensichtlich war eine Abkehr von gewohnten Denkweisen notwendig. Aber woher und in welche Richtung? Courant R., Robbins G. Was ist Mathematik? - CH. II, § 4.5.

Wie radikal sollte die Ablehnung etablierter Theorien sein? Mit dem weiteren Studium der Antinomie wuchs die Überzeugung von der Notwendigkeit eines grundlegend neuen Ansatzes stetig. Bereits ein halbes Jahrhundert nach ihrer Entdeckung stellten die Logik- und Mathematik-Spezialisten L. Frenkel und I. Bar-Hillel vorbehaltlos fest: , bislang stets gescheitert, reichen für diesen Zweck offensichtlich nicht aus. Der moderne amerikanische Logiker H. Curry schrieb etwas später über dieses Paradoxon: „Nach der im 19. Jahrhundert bekannten Logik widersetzte sich die Situation einfach jeder Erklärung, obwohl es natürlich in unserem gebildeten Zeitalter Menschen geben kann, die sehen (bzw denken, sie sehen ), was ist der Fehler?“ Miroshnichenko P.N. Was hat Russells Paradox in Freges System zerstört? // Moderne Logik: Probleme der Theorie, Geschichte und Anwendung in der Wissenschaft. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Da es sich um ein Set handelt, kann man auch danach fragen, ob es gewöhnlich oder ungewöhnlich ist. Die Antwort ist jedoch entmutigend. Wenn es gewöhnlich ist, muss es sich per Definition selbst als Element enthalten, da es alle gewöhnlichen Mengen enthält. Dies bedeutet jedoch, dass es sich um ein ungewöhnliches Set handelt. Die Annahme, dass unsere Menge eine gewöhnliche Menge ist, führt also zu einem Widerspruch. Normal kann es also nicht sein. Andererseits kann es auch nicht ungewöhnlich sein: Eine ungewöhnliche Menge enthält sich selbst als Element, und die Elemente unserer Menge sind nur gewöhnliche Mengen. Als Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass die Menge aller gewöhnlichen Mengen weder gewöhnlich noch außergewöhnlich sein kann.

Die Menge aller Mengen, die keine echten Elemente sind, ist also genau dann ein echtes Element, wenn sie kein solches Element ist. Das ist ein klarer Widerspruch. Und es wurde auf der Grundlage der plausibelsten Annahmen und mit Hilfe scheinbar unbestreitbarer Schritte erzielt. Der Widerspruch besagt, dass eine solche Menge einfach nicht existiert. Aber warum kann es das nicht geben? Schließlich besteht es aus Objekten, die eine genau definierte Bedingung erfüllen, und die Bedingung selbst scheint nicht irgendwie außergewöhnlich oder obskur zu sein. Wenn eine so einfach und klar definierte Menge nicht existieren kann, was ist dann eigentlich der Unterschied zwischen möglichen und unmöglichen Mengen? Die Schlussfolgerung, dass die betrachtete Menge nicht existiert, klingt unerwartet und besorgniserregend. Es macht unsere allgemeine Vorstellung von einer Menge amorph und chaotisch, und es gibt keine Garantie dafür, dass es nicht zu einigen neuen Paradoxien führen kann.

Russells Paradoxon zeichnet sich durch seine extreme Allgemeingültigkeit aus. Courant R., Robbins G. Was ist Mathematik? - CH. II, § 4.5. . Für seine Konstruktion sind keine komplexen technischen Konzepte erforderlich, da bei einigen anderen Paradoxien die Konzepte "Menge" und "Element der Menge" ausreichen. Aber diese Einfachheit spricht nur von ihrer grundlegenden Natur: Sie berührt die tiefsten Grundlagen unseres Denkens über Mengen, da sie nicht von einigen Sonderfällen spricht, sondern von Mengen im Allgemeinen.

Andere Varianten des Paradoxons Russells Paradoxon ist nicht spezifisch mathematisch. Es verwendet das Konzept einer Menge, berührt aber keine speziellen Eigenschaften, die speziell mit der Mathematik verbunden sind.

Dies wird deutlich, wenn das Paradoxon rein logisch umformuliert wird. Bei jeder Eigenschaft kann man aller Wahrscheinlichkeit nach fragen, ob sie auf sich selbst anwendbar ist oder nicht. Die Eigenschaft, heiß zu sein, gilt beispielsweise nicht für sich selbst, da es selbst nicht heiß ist; auch die Eigenschaft, konkret zu sein, bezieht sich nicht auf sich selbst, denn sie ist eine abstrakte Eigenschaft. Aber die Eigenschaft, abstrakt zu sein, abstrakt zu sein, ist auf einen selbst anwendbar.

Nennen wir diese auf sich selbst nicht anwendbaren Eigenschaften nicht anwendbar. Gilt die Eigenschaft, auf sich selbst nicht anwendbar zu sein? Es stellt sich heraus, dass die Unanwendbarkeit nur dann unanwendbar ist, wenn dies nicht der Fall ist. Das ist natürlich paradox. Die logische, eigenschaftsbezogene Variante von Russells Antinomie ist ebenso paradox wie die mathematische, mengenbezogene Variante.

Russell schlug auch die folgende populäre Version des von ihm entdeckten Paradoxons vor Katrechko S.L. Russells Barber's Paradox und Platon-Aristoteles' Dialektik // Moderne Logik: Probleme der Theorie, Geschichte und Anwendung in der Wissenschaft. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Stellen wir uns vor, dass der Rat eines Dorfes die Pflichten des Friseurs so definiert hat: alle Männer des Dorfes zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese Männer. Soll er sich rasieren? Wenn ja, bezieht es sich auf diejenigen, die sich selbst rasieren, und diejenigen, die sich selbst rasieren, er sollte sich nicht rasieren. Wenn nicht, wird er zu denen gehören, die sich nicht rasieren, und deshalb wird er sich selbst rasieren müssen. Wir kommen also zu dem Schluss, dass dieser Barbier sich genau dann rasiert, wenn er sich nicht rasiert. Das ist natürlich unmöglich.

Das Argument über den Barbier basiert auf der Annahme, dass es einen solchen Barbier gibt. Der daraus resultierende Widerspruch bedeutet, dass diese Annahme falsch ist und es keinen Dorfbewohner gibt, der all jene rasieren würde, und nur diejenigen Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren. Die Aufgaben eines Friseurs scheinen auf den ersten Blick nicht widersprüchlich zu sein, daher klingt die Schlussfolgerung, dass es keine geben kann, etwas unerwartet. Diese Schlussfolgerung ist jedoch nicht paradox. Die Bedingung, die der Dorffriseur erfüllen muss, ist in der Tat widersprüchlich und daher unmöglich. Einen solchen Friseur kann es im Dorf aus dem gleichen Grund nicht geben, dass es dort keine Person gibt, die älter als er selbst wäre oder vor seiner Geburt geboren wurde Miroshnichenko P.N. Was hat Russells Paradox in Freges System zerstört? // Moderne Logik: Probleme der Theorie, Geschichte und Anwendung in der Wissenschaft. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Der Streit um den Barbier kann als Pseudoparadoxon bezeichnet werden. In seinem Verlauf ist es streng analog zu Russells Paradox, und das macht es interessant. Aber es ist immer noch kein echtes Paradoxon.

Ein weiteres Beispiel für dasselbe Pseudo-Paradoxon ist das bekannte Katalogargument. Eine bestimmte Bibliothek beschloss, einen bibliografischen Katalog zu erstellen, der all jene und nur jene bibliografischen Kataloge enthalten würde, die keine Verweise auf sich selbst enthalten. Sollte ein solches Verzeichnis einen Link zu sich selbst enthalten? Es ist leicht zu zeigen, dass die Idee, einen solchen Katalog zu erstellen, nicht realisierbar ist; es kann einfach nicht existieren, weil es gleichzeitig einen Verweis auf sich selbst enthalten und nicht enthalten muss.

Es ist interessant festzustellen, dass das Katalogisieren aller Verzeichnisse, die keine Verweise auf sich selbst enthalten, als endloser, nie endender Prozess angesehen werden kann. Nehmen wir an, dass irgendwann ein Verzeichnis, sagen wir K1, kompiliert wurde, einschließlich aller anderen Verzeichnisse, die keine Verweise auf sich selbst enthalten. Mit der Erstellung von K1 erschien ein weiteres Verzeichnis, das keinen Link zu sich selbst enthält. Da das Ziel darin besteht, einen vollständigen Katalog aller Verzeichnisse zu erstellen, die sich selbst nicht erwähnen, ist es offensichtlich, dass K1 nicht die Lösung ist. Er erwähnt eines dieser Verzeichnisse nicht – sich selbst. Mit dieser Erwähnung von sich selbst in K1 erhalten wir den K2-Katalog. Es erwähnt K1, aber nicht K2 selbst. Wenn wir eine solche Erwähnung zu K2 hinzufügen, erhalten wir KZ, das wiederum nicht vollständig ist, da es sich selbst nicht erwähnt. Und weiter ohne Ende.

Ein weiteres logisches Paradoxon kann erwähnt werden – das Paradoxon der niederländischen Bürgermeister, ähnlich dem Paradoxon des Barbiers. Jede Gemeinde in Holland muss einen Bürgermeister haben und zwei verschiedene Gemeinden können nicht denselben Bürgermeister haben. Manchmal stellt sich heraus, dass der Bürgermeister nicht in seiner Gemeinde wohnt. Nehmen wir an, es wird ein Gesetz erlassen, das ein Gebiet S ausschließlich solchen Bürgermeistern zuweist, die nicht in ihrer Gemeinde leben, und alle diese Bürgermeister anweist, sich in diesem Gebiet niederzulassen. Nehmen wir weiter an, dass es so viele dieser Bürgermeister gibt, dass das Gebiet S selbst eine eigene Gemeinde bildet. Wo soll der Bürgermeister dieser Sondergemeinde S wohnen? Einfache Argumentation zeigt, dass, wenn der Bürgermeister einer Sondergemeinde im Gebiet S lebt, er dort nicht leben sollte, und umgekehrt, wenn er nicht im Gebiet lebt, dann muss er in diesem Gebiet leben. Dass dieses Paradoxon dem Barbierparadoxon entspricht, ist ziemlich offensichtlich.

Russell war einer der ersten, der eine Lösung für „sein“ Paradoxon vorschlug. Die von ihm vorgeschlagene Lösung wurde "Typentheorie" genannt: Eine Menge (Klasse) und ihre Elemente gehören zu verschiedenen logischen Typen, der Typ einer Menge ist höher als der Typ ihrer Elemente, was Russells Paradoxon beseitigt (Typentheorie wurde auch von verwendet Russell, um das berühmte „Lügner“-Paradoxon zu lösen). Viele Mathematiker akzeptierten Russells Lösung jedoch nicht, weil sie glaubten, dass sie den mathematischen Aussagen von Katrechko S.L. zu strenge Beschränkungen auferlegt. Russells Barber's Paradox und Platon-Aristoteles' Dialektik // Moderne Logik: Probleme der Theorie, Geschichte und Anwendung in der Wissenschaft. - St. Petersburg, 2002. - S. 239-242 ..

Ähnlich verhält es sich mit anderen logischen Paradoxien. „Die Antinomien der Logik“, schreibt von Wright, „haben uns seit ihrer Entdeckung verwirrt und werden uns wahrscheinlich immer rätseln. Wir sollten sie meiner Meinung nach nicht so sehr als Probleme betrachten, die gelöst werden müssen, sondern als unerschöpflichen Rohstoff für Gedanken. Sie sind wichtig, weil das Nachdenken über sie die grundlegendsten Fragen aller Logik und damit alles Denkens berührt.“ Wrigt G.Kh. Hintergrund. Logik und Philosophie im 20. Jahrhundert // Vopr. Philosophie. 1992. Nr. 8..

Russells Paradoxon (Russells Antinomie, zudem Russell-Zermelo-Paradoxon) - ein mengentheoretisches Paradoxon (Antinomie), das 1901 von Bertrand Russell entdeckt wurde und die Widersprüchlichkeit von Freges logischem System demonstriert, das ein früher Versuch war, die naive Mengenlehre von Georg Cantor zu formalisieren. Zuvor entdeckt, aber nicht veröffentlicht von Ernst Zermelo.

In der Umgangssprache lässt sich das Paradoxon wie folgt beschreiben. Vereinbaren wir, eine Menge „gewöhnlich“ zu nennen, wenn sie nicht ihr eigenes Element ist. Beispielsweise ist die Menge aller Personen „normal“, da die Menge selbst keine Person ist. Ein Beispiel für eine "ungewöhnliche" Menge ist die Menge aller Mengen, da sie selbst eine Menge und daher selbst ein echtes Element ist.

Man kann sich eine Menge vorstellen, die nur aus allen "gewöhnlichen" Mengen besteht, eine solche Menge heißt Russell-Satz . Ein Paradox tritt auf, wenn man versucht zu bestimmen, ob diese Menge „gewöhnlich“ ist oder nicht, das heißt, ob sie sich selbst als Element enthält. Es gibt zwei Möglichkeiten.

Einerseits, wenn es "gewöhnlich" ist, dann muss es sich selbst als Element enthalten, da es per Definition aus allen "gewöhnlichen" Mengen besteht. Aber dann kann es nicht "gewöhnlich" sein, da "gewöhnliche" Mengen diejenigen sind, die sich selbst nicht enthalten.
Es bleibt davon auszugehen, dass dieses Set „ungewöhnlich“ ist. Es kann sich jedoch nicht selbst als Element enthalten, da es per Definition nur aus "gewöhnlichen" Mengen bestehen darf. Aber wenn es sich selbst nicht als Element enthält, dann ist es eine "gewöhnliche" Menge.

In jedem Fall ergibt sich ein Widerspruch.

Enzyklopädisches YouTube

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✪ Vorlesung 1. Definition einer Menge. Gesetze von De Morgan. Russells Paradoxon. Satz von Weierstraß

✪ 3 Russells Paradoxon

✪ Bertrand Russell Ratschläge für zukünftige Generationen

✪ Vorlesung 21: Naive Mengenlehre und Fuzzy-Logik

✪ Monty Hall Paradox - Zahlenphil

Untertitel

Formulierung des Paradoxons

Russells Paradox kann in der naiven Mengenlehre formuliert werden. Daher ist die naive Mengenlehre inkonsistent. Ein widersprüchliches Fragment der naiven Mengenlehre, die als Theorie erster Ordnung mit einer binären Zugehörigkeitsrelation definiert werden kann ∈ (\displaystyle\in) und Auswahlschema: Für jede logische Formel mit einer freien Variablen in der naiven Mengenlehre gibt es ein Axiom

∃ y ∀ x (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff P(x))).

Dieses Axiomenschema sagt das für jede Bedingung P (x) (\ displaystyle P (x)) da sind viele y , (\displaystyle y,) bestehend aus denen x , (\displaystyle x,) die die Bedingung erfüllen P (x) (\ displaystyle P (x)) .

Dies reicht aus, um Russells Paradoxon wie folgt zu formulieren. Lassen P (x) (\ displaystyle P (x)) es gibt eine formel x ∉ x . (\displaystyle x\notin x.)(Also P (x) (\ displaystyle P (x)) bedeutet, dass viele x (\displaystyle x) enthält sich selbst nicht als Element oder ist in unserer Terminologie eine "gewöhnliche" Menge.) Dann gibt es nach dem Axiom der Auswahl eine Menge y (\displaystyle y)(Russell-Satz) so dass

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Da trifft das auf jeden zu x , (\displaystyle x,) das gilt auch für x = y. (\displaystyle x=y.) Also

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

Daraus folgt, dass in der naiven Mengenlehre ein Widerspruch abgeleitet wird.

Das Paradoxon würde nicht entstehen, wenn wir annehmen würden, dass die Russell-Menge nicht existiert. Diese Annahme selbst ist jedoch paradox: In Cantors Mengenlehre wird angenommen, dass jede Eigenschaft die Menge der Elemente bestimmt, die diese Eigenschaft erfüllen. Da die Eigenschaft einer Menge, „gewöhnlich“ zu sein, wohldefiniert zu sein scheint, muss es eine Menge aller „gewöhnlichen“ Mengen geben. Diese Theorie heißt jetzt Naive Mengenlehre .

Beliebte Versionen des Paradoxons

Es gibt mehrere Versionen von Russells Paradoxon. Anders als das Paradoxon selbst lassen sie sich in der Regel nicht in einer formalen Sprache ausdrücken.

Lügner-Paradoxon

Russells Paradoxon ist mit dem seit der Antike bekannten Lügnerparadoxon verwandt, das die folgende Frage ist. Angesichts einer Aussage:

Diese Aussage ist falsch.

Ist diese Aussage wahr oder nicht? Es ist leicht zu zeigen, dass diese Aussage weder wahr noch falsch sein kann.

Russell schrieb über dieses Paradoxon:

Russell selbst erklärte das Lügnerparadoxon auf diese Weise. Um etwas über Äußerungen aussagen zu können, muss man zunächst den eigentlichen Begriff „Äußerung“ definieren, darf aber keine noch nicht definierten Begriffe verwenden. So können Aussagen des ersten Typs definiert werden, die nichts über Aussagen aussagen. Dann kann man Aussagen des zweiten Typs definieren, die von Aussagen des ersten Typs sprechen, und so weiter. Die Aussage „diese Aussage ist falsch“ fällt unter keine dieser Definitionen und ergibt daher keinen Sinn.

Das Barbier-Paradoxon

Russell erwähnt die folgende Version des Paradoxons, formuliert als Rätsel, das ihm jemand vorgeschlagen hat.

Laß einen Barbier in einem bestimmten Dorf wohnen, der alle Einwohner des Dorfes rasiert, die sich nicht selbst rasieren, und nur sie. Rasiert sich der Barbier selbst?

Jede Antwort führt zu einem Widerspruch. Russell stellt fest, dass dieses Paradoxon nicht seinem Paradoxon entspricht und leicht zu lösen ist. So wie Russells Paradoxon zeigt, dass es keine Russell-Menge gibt, zeigt das Barbierparadoxon, dass es keinen solchen Barbier gibt. Der Unterschied besteht darin, dass es nichts Überraschendes an der Nichtexistenz eines solchen Barbiers gibt: Nicht für irgendein Eigentum gibt es einen Barbier, der Menschen mit diesem Eigentum rasiert. Die Tatsache, dass es keine Menge von Elementen gibt, die durch eine wohldefinierte Eigenschaft gegeben ist, widerspricht jedoch der naiven Vorstellung von Mengen und erfordert eine Erklärung.

Option über Verzeichnisse

Die Formulierung, die Russells Paradoxon am nächsten kommt, ist die folgende Version seiner Präsentation:

Bibliografische Kataloge sind Bücher, die andere Bücher beschreiben. Einige Verzeichnisse können andere Verzeichnisse beschreiben. Einige Verzeichnisse können sich sogar selbst beschreiben. Ist es möglich, alle Kataloge zu katalogisieren, die sich nicht selbst beschreiben?

Ein Paradox tritt auf, wenn man versucht zu entscheiden, ob dieses Verzeichnis sich selbst beschreiben soll. Trotz der scheinbaren Nähe der Formulierungen (das ist eigentlich Russells Paradoxon, bei dem Kataloge anstelle von Mengen verwendet werden), wird dieses Paradoxon, wie das Barbierparadoxon, einfach gelöst: Ein solcher Katalog kann nicht erstellt werden.

Grelling-Nelson-Paradoxon

Dieses Paradox wurde von deutschen Mathematikern formuliert Kurt Grelling und Leonard Nelson im Jahr 1908. Tatsächlich handelt es sich um eine Übersetzung von Russells ursprünglicher Version des Paradoxons, das von ihm in Begriffen der Prädikatenlogik formuliert wurde (siehe Brief an Frege), in eine nicht-mathematische Sprache.

Nennen wir das Adjektiv reflektierend wenn dieses Adjektiv die durch dieses Adjektiv definierte Eigenschaft hat. Zum Beispiel haben die Adjektive "Russisch", "mehrsilbig" - die Eigenschaften, die sie definieren (das Adjektiv "Russisch" ist russisch und das Adjektiv "mehrsilbig" ist mehrsilbig), also sind sie reflexiv und die Adjektive "deutsch", "einsilbig" - sind nicht reflexiv. Wird das Adjektiv „nicht-reflexiv“ reflexiv sein oder nicht?

Jede Antwort führt zu einem Widerspruch. Im Gegensatz zum Barbier-Paradoxon ist die Lösung dieses Paradoxons nicht so einfach. Man kann nicht einfach sagen, dass ein solches Adjektiv ("nicht-reflexiv") nicht existiert, da wir es gerade definiert haben. Das Paradoxe ergibt sich aus der Tatsache, dass die Definition des Begriffs „nicht-reflexiv“ an sich schon falsch ist. Die Definition dieses Begriffs hängt von ab Werte das Adjektiv, auf das es sich bezieht. Und da das Wort „nicht-reflexiv“ selbst ein Adjektiv in der Definition ist, entsteht ein Teufelskreis.

Geschichte

Russell entdeckte sein Paradoxon wahrscheinlich im Mai oder Juni 1901. Laut Russell selbst versuchte er, einen Fehler in Cantors Beweis der paradoxen Tatsache (bekannt als Cantors Paradox) zu finden, dass es keine maximale Kardinalzahl (oder Menge aller Mengen) gibt. Als Ergebnis erhielt Russell ein einfacheres Paradoxon. Russell teilte sein Paradoxon anderen Logikern mit, insbesondere Whitehead und Peano. In seinem Brief an Frege vom 16. Juni 1902 schrieb er, er habe einen Widerspruch in „ Konzeptkalkül“ - ein Buch von Frege, veröffentlicht 1879. Er legte sein Paradoxon in Begriffen der Logik und dann in Begriffen der Mengenlehre dar, wobei er Freges Definition einer Funktion verwendete:

Ich hatte nur an einer Stelle Schwierigkeiten. Sie behaupten (S. 17), dass eine Funktion selbst als Unbekannte fungieren kann. Das dachte ich früher auch. Nun aber erscheint mir diese Ansicht wegen des folgenden Widerspruchs zweifelhaft. Lassen w Prädikat: "ein Prädikat sein, das nicht auf sich selbst angewendet werden kann." dürfen w auf sich selbst anwendbar sein? Jede Antwort impliziert das Gegenteil. Daher müssen wir darauf schließen w ist kein Prädikat. Ebenso gibt es keine Klasse (als Ganzes) jener Klassen, die als Ganzes genommen nicht zu sich selbst gehören. Daraus schließe ich, dass manchmal eine bestimmte Menge keine ganzheitliche Formation bildet.

Originaltext (deutsch)
Nur in einem Punkt ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es can also the function das unbestimmte element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jetzt scheint jedoch mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädikat, ein Prädikat zu sein, welches von Sich selbst nicht prädiziert werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen, dass w kein Prädikat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen sterben als Ganze sich selbst nicht angehören. Daher schließt ich dass unter bestimmten Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Frege erhielt den Brief gerade zu der Zeit, als er die Arbeit am zweiten Band der Grundgesetze der Arithmetik abschloss. Frege hatte keine Zeit, seine Mengenlehre zu korrigieren. Er fügte dem zweiten Band lediglich einen Anhang mit einer Darstellung und seiner Analyse des Paradoxons hinzu, die mit der berühmten Bemerkung begann:

Es ist unwahrscheinlich, dass einem Wissenschaftler etwas Schlimmeres passieren kann, als wenn ihm in dem Moment, in dem er seine Arbeit beendet hat, der Boden unter den Füßen weggezogen wird. In dieser Lage befand ich mich, als ich einen Brief von Bertrand Russell erhielt, als meine Arbeit bereits abgeschlossen war.

Originaltext (deutsch)
Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In dieser Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte.

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

was besagt, dass es möglich ist, eine Menge von Elementen zu konstruieren, die die Eigenschaft erfüllen P(x) , (\displaystyle P(x),) er schlug vor, das folgende Axiom zu verwenden:

z ∈ ( x: P (x) ) ⟺ P (z) & z ≠ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\Doppelpunkt P(x)\)),

wodurch die Möglichkeit ausgeschlossen wird, dass eine Menge ein Mitglied von sich selbst ist. Allerdings ein kleines [ welche?] Modifikation von Russells Paradoxon beweist, dass auch dieses Axiom zu einem Widerspruch führt.

Russell veröffentlichte sein Paradoxon in seinem Buch „ Prinzipien der Mathematik„1903.

Unten sind einige der möglichen Ansätze zum Aufbau eines Systems von Axiomen, das frei von Russells Paradoxien ist.

Russells Typentheorie

Russell selbst war der erste, der eine Theorie vorschlug, die frei von Russells Paradoxon war. Er entwickelte eine Typentheorie, deren erste Version im Buch von Russell und Whitehead erschien Prinzipien der Mathematik„1903. Diese Theorie basiert auf der folgenden Idee: Einfache Objekte in dieser Theorie haben Typ 0, Mengen einfacher Objekte haben Typ 1, Mengen von Mengen einfacher Objekte haben Typ 2 und so weiter. Somit kann keine Menge sich selbst als Element haben. Weder die Menge aller Mengen noch die Russell-Menge können in dieser Theorie definiert werden. Eine ähnliche Hierarchie wird für Anweisungen und Eigenschaften eingeführt. Aussagen über einfache Gegenstände gehören zu Typ 1, Aussagen über die Eigenschaften von Aussagen von Typ 1 gehören zu Typ 2 und so weiter. Im Allgemeinen ist eine Funktion per Definition von einem höheren Typ als die Variablen, von denen sie abhängt. Mit diesem Ansatz können Sie nicht nur das Russellsche Paradoxon, sondern auch viele andere Paradoxe beseitigen, darunter das Lügnerparadoxon (), das Grelling-Nelson-Paradoxon und das Burali-Forti-Paradoxon. Russell und Whitehead zeigten in ihrer dreibändigen Principia Mathematica, die 1910-1913 veröffentlicht wurde, wie man die gesamte Mathematik auf die Axiome der Typentheorie reduziert.

Dieser Ansatz stieß jedoch auf Schwierigkeiten. Insbesondere treten Probleme bei der Definition solcher Konzepte als beste obere Grenze für Mengen reeller Zahlen auf. Definitionsgemäß ist eine kleinste Obergrenze die kleinste aller Obergrenzen. Daher wird bei der Bestimmung der kleinsten oberen Grenze die Menge der reellen Zahlen verwendet. Daher ist die kleinste obere Grenze ein Objekt eines höheren Typs als die reellen Zahlen. Dies bedeutet, dass es selbst keine reelle Zahl ist. Um dies zu vermeiden, war es notwendig, das sogenannte einzuführen Reduzierbarkeitsaxiom. Wegen seiner Willkür weigerten sich viele Mathematiker, das Reduzierbarkeitsaxiom zu akzeptieren, und Russell selbst nannte es einen Fehler in seiner Theorie. Zudem stellte sich die Theorie als sehr komplex heraus. Infolgedessen hat es keine breite Anwendung gefunden.

Mengenlehre von Zermelo-Frankel

Der bekannteste Ansatz zur Axiomatisierung der Mathematik ist die Zermelo-Fraenkel (ZF) Mengenlehre, die als Erweiterung der entstanden ist Zermelos Theorien(1908). Im Gegensatz zu Russell behielt Zermelo die logischen Prinzipien bei und änderte nur die Axiome der Mengenlehre. Die Idee hinter diesem Ansatz ist, dass nur Mengen verwendet werden dürfen, die aus bereits erstellten Mengen unter Verwendung eines bestimmten Satzes von Axiomen erstellt wurden. Zum Beispiel besagt eines der Axiome von Zermelo, dass es möglich ist, eine Menge – aller – Teilmengen einer gegebenen Menge zu konstruieren (das Boolesche Axiom). Ein weiteres Axiom ( Auswahlschema) besagt, dass es möglich ist, aus jeder Menge eine Teilmenge von Elementen auszuwählen, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Dies ist der Hauptunterschied zwischen der Zermelo-Mengentheorie und der naiven Mengentheorie: In der naiven Mengentheorie können Sie die Menge aller Elemente betrachten, die eine bestimmte Eigenschaft haben, und in der Zermelo-Mengentheorie können Sie nur eine Teilmenge aus einer bereits konstruierten Menge auswählen . In der Zermelo-Mengentheorie ist es unmöglich, eine Menge aller Mengen zu konstruieren. Die Russell-Menge kann also auch dort nicht konstruiert werden.

Klassen

Manchmal ist es in der Mathematik sinnvoll, alle Mengen als Ganzes zu betrachten, zum Beispiel die Gesamtheit aller Gruppen zu betrachten. Dazu kann die Mengenlehre um den Begriff der Klasse erweitert werden, wie beispielsweise im Neumann- Bernays- Gödel (NBG)-System. In dieser Theorie ist die Sammlung aller Mengen Klasse. Diese Klasse ist jedoch keine Menge und gehört keiner Klasse an, wodurch Russells Paradoxon vermieden wird.

Ein stärkeres System, das es erlaubt, Quantoren über Klassen und nicht nur über Mengen zu nehmen, ist zum Beispiel Morsemengentheorie - Kelly(MK) . In dieser Theorie ist das Hauptkonzept das Konzept Klasse, und nicht setzt. Mengen in dieser Theorie werden als solche Klassen betrachtet, die selbst Elemente einiger Klassen sind. In dieser Theorie die Formel z ∈ ( x: P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)) gilt als äquivalent zur Formel

P (z) & ∃y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \existiert y.z\in y).

Als ∃ y . z ∈ y (\displaystyle\exists y.z\in y) in dieser Theorie bedeutet, dass die Klasse z (\displaystyle z) ist ein viele, diese Formel ist zu verstehen als ( x: P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\)) ist die Klasse von allen setzt(nicht Klassen) z (\displaystyle z), so dass P (z) (\ displaystyle P (z)). Russells Paradoxon in dieser Theorie wird durch die Tatsache aufgelöst, dass nicht jede Klasse eine Menge ist.

Man kann weiter gehen und Sammlungen von Klassen betrachten - Konglomerate, Sammlungen von Konglomeraten und so weiter.

Auswirkungen auf die Mathematik

Axiomatisierung der Mathematik

Russells Paradoxon regte zusammen mit anderen mathematischen Antinomien, die zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckt wurden, eine Revision der Grundlagen der Mathematik an, die zur Konstruktion axiomatischer Theorien zur Rechtfertigung der Mathematik führte, von denen einige oben erwähnt wurden.

In allen neu konstruierten axiomatischen Theorien wurden die Mitte des 20. Jahrhunderts bekannten Paradoxien (einschließlich Russells Paradoxon) eliminiert. Zu beweisen, dass in Zukunft keine neuen ähnlichen Paradoxien entdeckt werden können (dies ist das Problem der Konsistenz der konstruierten axiomatischen Theorien), stellte sich jedoch nach dem modernen Verständnis dieses Problems als unmöglich heraus (siehe Gödels Sätze zur Unvollständigkeit). .

Intuitionismus

Parallel dazu entstand ein neuer Trend in der Mathematik, genannt Intuitionismus, dessen Begründer L. E. Ya. Brouwer ist. Der Intuitionismus entstand unabhängig von Russells Paradoxon und anderen Antinomien. Die Entdeckung von Antinomien in der Mengenlehre verstärkte jedoch das Misstrauen der Intuitionisten gegenüber logischen Prinzipien und beschleunigte die Bildung des Intuitionismus. Die Hauptthese des Intuitionismus besagt, dass es notwendig ist, eine Methode zu seiner Konstruktion vorzustellen, um die Existenz eines Objekts zu beweisen. Intuitionisten lehnen solche abstrakten Konzepte wie die Menge aller Mengen ab. Der Intuitionismus verneint das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, es sollte jedoch beachtet werden, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte nicht erforderlich ist, um einen Widerspruch aus Russells Antinomie oder irgendeiner anderen abzuleiten (in jeder Antinomie ist das bewiesen A (\displaystyle A) Verneinung beinhaltet A (\displaystyle A) und Verleugnung A (\displaystyle A) beinhaltet A , (\displaystyle A,) jedoch ab (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)) selbst in der intuitionistischen Logik folgt ein Widerspruch). Es ist auch erwähnenswert, dass in späteren Axiomatisierungen der intuitionistischen Mathematik ähnliche Paradoxien wie Russells gefunden wurden, wie zum Beispiel Girards Paradoxon im Originalwortlaut Martin Löf.

Diagonalargument (Selbstanwendbarkeit)

Trotz der Tatsache, dass Russells Argumentation zu einem Paradoxon führt, wird die Hauptidee dieser Argumentation häufig beim Beweis mathematischer Theoreme verwendet. Wie oben erwähnt, kam Russell zu seinem Paradox, indem er Cantors Beweis für die Nichtexistenz der größten Kardinalzahl analysierte. Diese Tatsache widerspricht der Existenz einer Menge aller Mengen, da ihre Kardinalität maximal sein muss. Allerdings hat nach dem Cantor-Theorem die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge eine größere Kardinalität als die Menge selbst. Der Beweis dieser Tatsache basiert auf dem Folgenden Diagonal Argument?!:

Lassen Sie es eine Eins-zu-eins-Korrespondenz geben, die zu jedem Element x (\displaystyle x) setzt X (\ displaystyle X) entspricht einer Teilmenge s x (\displaystyle s_(x)) setzt x. (\displaystyle X.) Lassen d (\ displaystyle d) wird eine Menge von Elementen sein x (\displaystyle x) so dass x ∈ s x (\displaystyle x\in s_(x)) (diagonal gesetzt). Dann die Ergänzung dieser Menge s = d ¯ (\displaystyle s=(\overline (d))) kann keiner sein s x . (\displaystyle s_(x).) Daher war die Korrespondenz nicht eins zu eins.

Cantor verwendete 1891 das Diagonalargument, um die Nichtzählbarkeit reeller Zahlen zu beweisen. (Dies ist nicht sein erster Beweis für die Abzählbarkeit reeller Zahlen, aber der einfachste).

Anmerkungen

Godhard Link (2004) Ein hundert Jahre Russells Paradoxon, mit. 350, ISBN 9783110174380 , .
Russells Antinomie // Wörterbuch der Logik. Ivin A. A., Nikiforov A. L.- M.: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 S. - ISBN 5-691-00099-3.
Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell "s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
Antinomie- Artikel aus der Mathematischen Enzyklopädie. A. G. Dragalin
A. S. Gerasimov. Kurs mathematische Logik und Theorie Berechenbarkeit. - Dritte, überarbeitete und erweiterte Auflage. - St. Petersburg: LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 S.

In den meisten Allgemeines Paradoxe Form Bertrand Russell sieht so aus:

Sei M die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht als Element enthalten. Frage: Enthält M sich selbst als Element?

Wenn die Antwort "ja" ist, dann darf es nach der Definition von M kein Element von M sein, und wir haben einen Widerspruch.

Wenn die Antwort "nein" ist - dann muss es nach der Definition von M ein Element von M sein - wieder ein Widerspruch ...

„Was ist das Wesen des Widerspruchs? Eine Klasse ist manchmal und manchmal nicht Mitglied ihrer selbst. " Klasse Teelöffel zum Beispiel ist kein weiterer Teelöffel, aber Klassen von Dingen, die keine Teelöffel sind, sind einige der Dinge, die keine Teelöffel sind.

Russells Paradox bezieht sich auf die Verwendung des Begriffs einer Klasse aller echten Klassen. "Own" ist eine Klasse, die sich selbst nicht als Mitglied enthält. "Improper" ist eine Klasse, die sich selbst als Mitglied enthalten soll. Es wird angenommen, dass dies die Klasse aller Klassen ist. Im Hinblick auf die Klasse aller eigentlichen Klassen (die „Russell-Klasse“) stellt sich die Frage: Was ist das – eigentlich oder nicht? Wenn wir davon ausgehen, dass es die eigenen sind, dann sollten sie den nicht eigenen Klassen zugeordnet werden und umgekehrt.

Auf halb scherzhafte Weise präsentiert Russell dieses Paradoxon durch das sogenannte „Barber“-Paradoxon in An Introduction to the Philosophy of Mathematics (1919). Der Dorffriseur muss alle und nur diejenigen Bewohner seines Dorfes rasieren, die sich nicht selbst rasieren. Soll er sich rasieren? Wenn er sich rasiert, dann rasiert er sich und hat kein Recht, sich zu rasieren. Aber wenn er sich nicht selbst rasiert, hat er das Recht, sich selbst zu rasieren. Auf diese Weise kann man auch die Paradoxität „der Menge aller Mengen, die keine echten Elemente sind“ demonstrieren. Anzumerken ist, dass der „Friseur“ kein „reines Paradoxon“ ist, denn daraus folgt nur, dass es einen solchen Friseur gar nicht geben kann, d.h. „für diese Menge von Elementen lässt sich prinzipiell keine eindeutige und widerspruchsfreie Bestimmtheit finden nur in Bezug auf diese Gesamtheit definiert, sowie Elemente, die diese Gesamtheit beinhalten oder implizieren. Das Paradoxon wird durch die Schlussfolgerung beseitigt, dass einige Prämissen, wenn sie zu einem Widerspruch führen, falsch sind.

Russells Antinomie spielte eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Grundlagen der Mathematik. Sie unterminierte die Grundlagen der Mengenlehre, der ganz neuen Logik, wurde zu einer echten Katastrophe und zum Zusammenbruch der Hoffnungen derer, die sich um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert mit den Problemen der Begründung von Mathematik und Logik befassten.

Russell gab 1903 nicht offen zu, dass er die Lösung des Paradoxons entdeckt hatte. Im „Vorwort“ zu „Grundlagen der Mathematik“ stellte er fest, dass die einzige Rechtfertigung für die Veröffentlichung einer Arbeit mit einer Reihe offener Fragen darin bestehe, dass diese Studie es ermögliche, tiefer in das Wesen des Unterrichts einzudringen. Russell schlug eine einfache Typentheorie als mögliche Lösung in "Anhang B" zu dieser Arbeit vor. Für die Zukunft kommt er zu dem Schluss, dass es diese zum System entwickelte Theorie ist, die es ermöglicht, das Paradoxon zu beseitigen.

Kolesnikov A.S., Philosophy of Bertrand Russell, L., Leningrad University Press, 1991, p. 84-85.

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