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Die Bedeutung des Wortes Dispersion

Varianz im Kreuzworträtsel-Wörterbuch

Begriffslexikon der Wirtschaft

Streuung

ein Wert, der den Grad der Streuung quantitativer Messwerte einzelner Teilnehmer einer statistischen Stichprobe (Zufallsvariablen) relativ zum Durchschnittswert dieser Stichprobe charakterisiert.

Erklärendes Wörterbuch der russischen Sprache. DN Uschakow

Streuung

Dispersion, pl. jetzt. (lateinisch dispersio).

Die Divergenz von Lichtstrahlen unterschiedlicher Farbe beim Durchgang durch ein brechendes Medium (opt.).

Der Zustand größerer oder geringerer Fragmentierung von Materie (geschätzt).

Neues erklärendes und abgeleitetes Wörterbuch der russischen Sprache, T. F. Efremova.

Streuung

Gut. Zersetzung, Zerstreuung, Teilung.

Enzyklopädisches Wörterbuch, 1998

Streuung

DISPERSION (von lat. dispersio - Streuung) in der mathematischen Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie ein Maß für die Streuung (Abweichung vom Mittelwert). In der Statistik ist die Varianz das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der beobachteten Werte (x1, x2,...,xn) einer Zufallsvariablen von ihrem arithmetischen Mittel. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Varianz einer Zufallsvariablen die mathematische Erwartung der quadrierten Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung.

Streuung

(von lat. dispersio ≈ Streuung), in der mathematischen Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie das gebräuchlichste Maß für Streuung, also Abweichungen vom Mittelwert. Statistisch gesehen ist D.

ist das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Werte xi von ihrem arithmetischen Mittel

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird eine Zufallsvariable X der mathematische Erwartungswert E (X ≈ mx)2 des Quadrats der Abweichung von X von seinem mathematischen Erwartungswert mx = E (X) genannt. Der d. einer Zufallsvariablen X wird mit D(X) oder mit s2X bezeichnet. Die Quadratwurzel von D. (d. h. s, wenn D. gleich s2 ist) wird als Standardabweichung bezeichnet (siehe Quadratische Abweichung).

Für eine Zufallsvariable X mit einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte p(x) gekennzeichnet ist, wird D. durch die Formel berechnet

Zur Einschätzung von D. aufgrund der Beobachtungsergebnisse siehe Statistische Schätzungen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der Satz von großer Bedeutung: Der Wert der Summe unabhängiger Terme ist gleich der Summe ihrer Werte.Nicht weniger wichtig ist die Tschebyscheff-Ungleichung, die es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit großer Abweichungen eines Zufalls abzuschätzen Variable X von ihrer mathematischen Erwartung.

Lit.: Gnedenko B.V., Course of Probability Theory, 5. Aufl., M., 1969.

Wikipedia

Streuung

Streuung je nach Kontext kann es bedeuten:

• Wellendispersion - in der Physik die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit einer Welle von ihrer Frequenz, sie unterscheiden:
  • Lichtstreuung
  • Schallausbreitung
• Das Dispersionsgesetz ist ein physikalisches Gesetz, das die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit einer Welle von ihrer Frequenz ausdrückt.
• Die Streuung einer Zufallsvariablen ist eine der gemittelten Eigenschaften einer Zufallsvariablen.
• Dispersion - Formationen aus zwei oder mehr Phasen, die sich überhaupt nicht oder praktisch nicht vermischen und chemisch nicht miteinander reagieren
• Dispersion ist ein Begriff, der sich auf die Vielfalt der Merkmale in einer Population bezieht.
• Streuung
• Zweite Viskositätsdispersion

Ausbreitung (Biologie)

Streuung ist ein Begriff, der sich auf die Vielfalt der Merkmale in einer Population bezieht.

Eines der quantitativen Merkmale einer Population. Zur Beschreibung asexuell und hermaphroditisch Populationen, mit Ausnahme der Varianzen für jedes Merkmal ( σ ) müssen Sie auch die Anzahl der Personen kennen ( N) und Mittelwerte von Merkmalen ( Δx).

BEIM zweihäusig Bevölkerung, jedes Geschlecht hat seine eigene Varianz - . Weitere Parameter sind die Anzahl der Individuen ( N), Geschlechterverhältnis und Geschlechtsdimorphismus.

Beispiele für die Verwendung des Wortes Dispersion in der Literatur.

Dazu gehören Woods fast unzählige Ergebnisse zu Beugung, Interferenz, Polarisation, Anomalie Streuung, Absorption.

Nach all den Berechnungen auf dem Weg, nach unzähligen Korrekturen und Überprüfungen von Berechnungen, konnte Erwin den mathematischen Erwartungswert leicht berechnen und Streuung die Zeit des Erscheinens eines anderen glücklichen Mannes auf den Lucky Isles, der entkommen war - und sich nicht dazu bringen konnte, mit der Berechnung zu beginnen, da er das Ergebnis vorhersah.

Normal für das Denken ist Streuung, Schlaf, Tagtraum, Unlogik, gleichzeitiges Wirken verschiedener Denkzentren ohne zentrale Kontrolle.

Absorption, Fluoreszenz, magnetische Rotation und Anomalie Streuung Quecksilberdämpfe.

Julius, ein niederländischer Astronom, der die kühne Theorie aufstellte, dass das Spektrum eines chromosphärischen Ausbruchs durch eine Anomalie verursacht wird Streuung weißes Licht, das von der flüssigen Oberfläche der Sonne ausgestrahlt wird.

Als ich in Madison Vorträge hielt, kam ich auf den Punkt der Anomalie Streuung durch stark absorbierende Medien.

Dann holte ich meinen langen Gasbrenner heraus und nach einer halben Stunde baute ich eine Demonstration mit einer Anomalie auf Streuung in einem langen Natriumdampfrohr.

Über Cyaninprismen und eine neue Methode zum Nachweis von Anomalien Streuung.

Über das Anomale Streuung, Absorption und Oberflächenfärbung von Nitrosodimethylanilin mit Bemerkungen zu Streuung Toluin.

Quantifizierung von abnormal Streuung Natriumdampf im sichtbaren und ultravioletten Bereich.

Ich verwende Hochfrequenzmatrizen mit schnell Streuung und bipolare Verstärker.

Die Streuung einer Zufallsvariablen ist ein Maß für die Streuung der Werte dieser Variablen. Kleine Varianz bedeutet, dass die Werte nahe beieinander liegen. Eine große Varianz weist auf eine starke Streuung der Werte hin. Der Begriff der Streuung einer Zufallsvariablen wird in der Statistik verwendet. Wenn Sie beispielsweise die Varianz der Werte zweier Größen vergleichen (z. B. die Ergebnisse von Beobachtungen männlicher und weiblicher Patienten), können Sie die Signifikanz einiger Variablen testen. Die Varianz wird auch beim Erstellen statistischer Modelle verwendet, da eine kleine Varianz ein Zeichen dafür sein kann, dass Sie Werte überanpassen.

Schritte

Stichprobenabweichungsberechnung

1. Notieren Sie die Probenwerte. In den meisten Fällen stehen den Statistikern nur Stichproben bestimmter Grundgesamtheiten zur Verfügung. Beispielsweise analysieren Statistiker in der Regel nicht die Kosten für die Aufrechterhaltung der Population aller Autos in Russland - sie analysieren eine Zufallsstichprobe von mehreren tausend Autos. Eine solche Stichprobe hilft bei der Bestimmung der durchschnittlichen Kosten pro Auto, aber höchstwahrscheinlich wird der resultierende Wert weit vom tatsächlichen Wert entfernt sein.

   • Analysieren wir zum Beispiel die Anzahl der Brötchen, die in einem Café in 6 Tagen in zufälliger Reihenfolge verkauft wurden. Die Stichprobe hat die folgende Form: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Dies ist eine Stichprobe, keine Grundgesamtheit, da wir keine Daten über die verkauften Brötchen für jeden Tag haben, an dem das Café geöffnet ist.
   • Wenn Sie eine Grundgesamtheit und keine Stichprobe von Werten erhalten, fahren Sie mit dem nächsten Abschnitt fort.

2. Schreiben Sie die Formel zur Berechnung der Stichprobenvarianz auf. Streuung ist ein Maß für die Streuung von Werten einer bestimmten Menge. Je näher der Dispersionswert an Null liegt, desto enger werden die Werte gruppiert. Wenn Sie mit einer Stichprobe von Werten arbeiten, verwenden Sie die folgende Formel, um die Varianz zu berechnen:

   • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x ich (\ displaystyle x_ (i))-x) 2 (\displaystyle^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\displaystyle s^(2)) ist die Streuung. Die Streuung wird in Quadrateinheiten gemessen.
   • x ich (\ displaystyle x_ (i))- jeder Wert in der Probe.
   • x ich (\ displaystyle x_ (i)) Sie müssen x̅ subtrahieren, quadrieren und dann die Ergebnisse addieren.
   • x̅ – Stichprobenmittelwert (Stichprobenmittelwert).
   • n ist die Anzahl der Werte in der Stichprobe.

3. Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert. Es wird mit x̅ bezeichnet. Der Stichprobenmittelwert wird wie ein normaler arithmetischer Mittelwert berechnet: Addieren Sie alle Werte in der Stichprobe und dividieren Sie dann das Ergebnis durch die Anzahl der Werte in der Stichprobe.

   • Addieren Sie in unserem Beispiel die Werte in der Stichprobe: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Teilen Sie nun das Ergebnis durch die Anzahl der Werte in der Stichprobe (in unserem Beispiel sind es 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Stichprobenmittelwert x̅ = 14.
   • Der Stichprobenmittelwert ist der zentrale Wert, um den die Werte in der Stichprobe verteilt sind. Clustern sich die Werte in der Stichprobe um den Stichprobenmittelwert, dann ist die Varianz klein; andernfalls ist die Streuung groß.

4. Subtrahieren Sie den Stichprobenmittelwert von jedem Wert in der Stichprobe. Berechnen Sie nun die Differenz x ich (\ displaystyle x_ (i))- x̅, wo x ich (\ displaystyle x_ (i))- jeder Wert in der Probe. Jedes Ergebnis gibt den Grad der Abweichung eines bestimmten Werts vom Stichprobenmittelwert an, dh wie weit dieser Wert vom Stichprobenmittelwert entfernt ist.

   • In unserem Beispiel:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅ = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- x̅ = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Die Richtigkeit der erhaltenen Ergebnisse ist leicht zu überprüfen, da ihre Summe gleich Null sein muss. Dies hängt mit der Ermittlung des Mittelwerts zusammen, da negative Werte (Abstände vom Mittelwert zu kleineren Werten) durch positive Werte (Abstände vom Mittelwert zu größeren Werten) vollständig ausgeglichen werden.

5. Wie oben erwähnt, die Summe der Differenzen x ich (\ displaystyle x_ (i))- x̅ muss gleich Null sein. Dies bedeutet, dass die mittlere Varianz immer Null ist, was keine Vorstellung von der Streuung der Werte einer Größe gibt. Um dieses Problem zu lösen, quadriere jede Differenz x ich (\ displaystyle x_ (i))- x. Dies führt dazu, dass Sie nur positive Zahlen erhalten, die zusammengenommen niemals 0 ergeben.

   • In unserem Beispiel:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))-x) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2))-x) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Du hast das Quadrat der Differenz gefunden - x̅) 2 (\displaystyle^(2)) für jeden Wert in der Stichprobe.

6. Berechnen Sie die Summe der quadrierten Differenzen. Das heißt, finden Sie den Teil der Formel, der so geschrieben ist: ∑[( x ich (\ displaystyle x_ (i))-x) 2 (\displaystyle^(2))]. Hier bedeutet das Zeichen Σ die Summe der quadrierten Differenzen für jeden Wert x ich (\ displaystyle x_ (i)) in der Probe. Sie haben bereits die quadrierten Differenzen gefunden (x ich (\displaystyle (x_(i))-x) 2 (\displaystyle^(2)) für jeden Wert x ich (\ displaystyle x_ (i)) in der Probe; Fügen Sie jetzt einfach diese Quadrate hinzu.

   • In unserem Beispiel: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Teilen Sie das Ergebnis durch n - 1, wobei n die Anzahl der Werte in der Stichprobe ist. Vor einiger Zeit dividierten Statistiker zur Berechnung der Stichprobenvarianz einfach das Ergebnis durch n; In diesem Fall erhalten Sie den Mittelwert der quadrierten Varianz, was ideal ist, um die Varianz einer bestimmten Stichprobe zu beschreiben. Denken Sie jedoch daran, dass jede Stichprobe nur einen kleinen Teil der allgemeinen Wertepopulation darstellt. Wenn Sie eine andere Probe nehmen und die gleichen Berechnungen durchführen, erhalten Sie ein anderes Ergebnis. Wie sich herausstellt, ergibt eine Division durch n - 1 (anstatt nur durch n) eine bessere Schätzung der Populationsvarianz, worauf Sie hinaus wollen. Die Division durch n - 1 ist alltäglich geworden, daher ist sie in der Formel zur Berechnung der Stichprobenvarianz enthalten.

   • In unserem Beispiel enthält die Stichprobe 6 Werte, also n = 6.
     Probenvarianz = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Die Differenz zwischen der Varianz und der Standardabweichung. Beachten Sie, dass die Formel einen Exponenten enthält, sodass die Varianz in Quadrateinheiten des analysierten Werts gemessen wird. Manchmal ist ein solcher Wert ziemlich schwierig zu handhaben; in solchen Fällen wird die Standardabweichung verwendet, die gleich der Quadratwurzel der Varianz ist. Deshalb wird die Stichprobenvarianz als bezeichnet s 2 (\displaystyle s^(2)), und die Stichproben-Standardabweichung als s (\displaystyle s).

   • In unserem Beispiel beträgt die Standardabweichung der Stichprobe: s = √33,2 = 5,76.

   Populationsvarianzberechnung

   1. Analysieren Sie einige Werte. Das Set enthält alle Werte der betrachteten Menge. Wenn Sie beispielsweise das Alter der Einwohner des Leningrader Gebiets untersuchen, enthält die Bevölkerung das Alter aller Einwohner dieses Gebiets. Bei der Arbeit mit einem Aggregat empfiehlt es sich, eine Tabelle zu erstellen und dort die Werte des Aggregats einzutragen. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

      • Es gibt 6 Aquarien in einem bestimmten Raum. Jedes Aquarium enthält die folgende Anzahl an Fischen:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. Schreiben Sie die Formel zur Berechnung der Populationsvarianz auf. Da die Grundgesamtheit alle Werte einer bestimmten Menge umfasst, können Sie mit der folgenden Formel den genauen Wert der Varianz der Grundgesamtheit erhalten. Um die Populationsvarianz von der Stichprobenvarianz (die nur eine Schätzung ist) zu unterscheiden, verwenden Statistiker verschiedene Variablen:

      • σ 2 (\displaystyle^(2)) = (∑(x ich (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\displaystyle^(2))) / n
      • σ 2 (\displaystyle^(2))- Populationsvarianz (gelesen als "Sigma im Quadrat"). Die Streuung wird in Quadrateinheiten gemessen.
      • x ich (\ displaystyle x_ (i))- jeder Wert insgesamt.
      • Σ ist das Vorzeichen der Summe. Das heißt, für jeden Wert x ich (\ displaystyle x_ (i)) subtrahieren Sie μ, quadrieren Sie es und addieren Sie dann die Ergebnisse.
      • μ ist der Populationsmittelwert.
      • n ist die Anzahl der Werte in der Allgemeinbevölkerung.

   3. Berechnen Sie den Populationsmittelwert. Bei der Arbeit mit der allgemeinen Bevölkerung wird sein Durchschnittswert als μ (mu) bezeichnet. Der Populationsmittelwert wird als übliches arithmetisches Mittel berechnet: Addieren Sie alle Werte in der Population und dividieren Sie dann das Ergebnis durch die Anzahl der Werte in der Population.

      • Beachten Sie, dass Durchschnittswerte nicht immer als arithmetisches Mittel berechnet werden.
      • In unserem Beispiel bedeutet die Population: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Subtrahieren Sie den Mittelwert der Grundgesamtheit von jedem Wert in der Grundgesamtheit. Je näher der Differenzwert bei Null liegt, desto näher liegt der jeweilige Wert am Grundgesamtheitsmittelwert. Finden Sie die Differenz zwischen jedem Wert in der Grundgesamtheit und ihrem Mittelwert, und Sie erhalten einen ersten Blick auf die Verteilung der Werte.

      • In unserem Beispiel:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- μ = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- μ = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- µ = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- µ = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- µ = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Quadriere jedes Ergebnis, das du erhältst. Die Differenzwerte sind sowohl positiv als auch negativ; wenn Sie diese Werte auf einen Zahlenstrahl setzen, dann liegen sie rechts und links vom Mittelwert der Grundgesamtheit. Dies ist nicht gut für die Berechnung der Varianz, da sich positive und negative Zahlen gegenseitig aufheben. Quadrieren Sie daher jede Differenz, um ausschließlich positive Zahlen zu erhalten.

      • In unserem Beispiel:
        (x ich (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\displaystyle^(2)) für jeden Populationswert (von i = 1 bis i = 6):
        (-5,5)2 (\displaystyle^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle^(2)), wo xn (\displaystyle x_(n)) ist der letzte Wert in der Grundgesamtheit.
      • Um den Durchschnittswert der erhaltenen Ergebnisse zu berechnen, müssen Sie ihre Summe finden und durch n dividieren: (( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle^(2)) + ... + (xn (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle^(2))) / n
      • Lassen Sie uns nun die obige Erklärung unter Verwendung von Variablen schreiben: (∑( x ich (\ displaystyle x_ (i)) - μ) 2 (\displaystyle^(2))) / n und erhalten eine Formel zur Berechnung der Populationsvarianz.

Streuung

Ein Indikator für die Streuung von Daten, der dem mittleren Quadrat der Abweichung dieser Daten vom arithmetischen Mittel entspricht. Gleich dem Quadrat der Standardabweichung.

Wörterbuch des praktischen Psychologen. - M.: AST, Ernte. S. Ju Golovin. 1998 .

Streuung

Der Streuungsgrad in einer Reihe von Ergebnissen. geben eine bestimmte Vorstellung von der Variabilität dieser Ergebnisse. Je höher die Varianz, desto mehr Ergebnisse sind um den Mittelwert herum gestreut (anstatt sich um ein einzelnes zentrales Ergebnis zu gruppieren).

Psychologie. UND ICH. Wörterbuch-Nachschlagewerk / Per. aus dem Englischen. K. S. Tkachenko. - M.: FAIR-PRESS. Mike Cordwell. 2000 .

Synonyme:

Sehen Sie, was "Streuung" in anderen Wörterbüchern ist:

Streuung- Etwas verstreuen. In der Mathematik misst die Varianz die Abweichung von Werten vom Mittelwert. Die Streuung von weißem Licht führt zu seiner Zerlegung in Bestandteile. Die Streuung des Schalls ist die Ursache seiner Ausbreitung. Gespeicherte Daten über … … streuen Handbuch für technische Übersetzer

DISPERSION Moderne Enzyklopädie

DISPERSION- (Varianz) Ein Maß für die Streuung der Daten. Die Varianz einer Menge von N Termen wird ermittelt, indem die Quadrate ihrer Abweichungen vom Mittelwert addiert und durch N dividiert werden. Wenn also die Terme xi bei i = 1, 2, ..., N sind und ihr Mittelwert m ist , die Varianz ... ... Wirtschaftslexikon

Streuung- (von lat. dispersio Streuung) Wellen, die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen in einem Stoff von der Wellenlänge (Frequenz). Die Dispersion wird durch die physikalischen Eigenschaften des Mediums bestimmt, in dem sich die Wellen ausbreiten. Zum Beispiel im Vakuum ... ... Illustriertes enzyklopädisches Wörterbuch

DISPERSION- (von lat. dispersio scattering) in der mathematischen Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie ein Maß für die Streuung (Abweichung vom Mittelwert). Varianz ist in der Statistik das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der beobachteten Werte (x1, x2,...,xn) einer zufälligen ... ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Streuung- in der Wahrscheinlichkeitstheorie das gebräuchlichste Maß für die Abweichung vom Mittelwert (Streumaß). Auf Englisch: Dispersion Synonyme: Statistical dispersion Englische Synonyme: Statistical dispersion Siehe auch: Sample populations Financial ... ... Finanzvokabular

DISPERSION- [lat. dispersus verstreut, verstreut] 1) Streuung; 2) chemisch, physikalisch. eine Substanz in sehr kleine Teilchen zerlegen. D. Lichtzerlegung von weißem Licht unter Verwendung eines Prismas in ein Spektrum; 3) Matte. Abweichung vom Durchschnitt. Wörterbuch der Fremdwörter. Komlew N.G.,… … Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

Streuung- Streuung, Dispersion Wörterbuch der russischen Synonyme. Substantiv Dispersion, Anzahl Synonyme: 6 Nanodispersion (1) … Synonymwörterbuch

Streuung ist die Streuungscharakteristik der Werte einer Zufallsvariablen, gemessen am Quadrat ihrer Abweichungen vom Mittelwert (bezeichnet mit d2). D. unterscheidet theoretisch (kontinuierlich oder diskret) und empirisch (auch kontinuierlich und ... ... Wirtschafts- und Mathematikwörterbuch

Streuung- * Dispersion * Dispersion 1. Streuung; streuen; Variante (siehe). 2. Ein theoretisch probabilistisches Konzept, das den Grad der Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung charakterisiert. In der biometrischen Praxis ist die Stichprobenvarianz s2 ... Genetik. Enzyklopädisches Wörterbuch

Bücher

• Anomale Dispersion in breiten Absorptionsbanden, D.S. Weihnachten. Reproduziert in der ursprünglichen Schreibweise des Autors der Ausgabe von 1934 (Verlag "Proceedings of the Academy of Sciences of the UdSSR"). BEIM…

Dieses Merkmal allein reicht jedoch noch nicht aus, um eine Zufallsvariable zu untersuchen. Stellen Sie sich zwei Schützen vor, die auf eine Scheibe schießen. Der eine schießt genau und trifft nah am Zentrum, der andere ... einfach nur Spaß haben und nicht einmal zielen. Aber was lustig ist, ist das Durchschnitt das Ergebnis wird genau das gleiche sein wie beim ersten Schützen! Diese Situation wird durch folgende Zufallsvariablen bedingt veranschaulicht:

Die mathematische Erwartung des "Scharfschützen" ist jedoch für die "interessante Person" gleich: - sie ist ebenfalls Null!

Es muss also quantifiziert werden, wie weit verstreut Kugeln (Werte einer Zufallsvariablen) relativ zum Zentrum des Ziels (Erwartung). gut und Streuungübersetzt aus dem Lateinischen nur als Streuung .

Sehen wir uns an, wie dieses numerische Merkmal in einem der Beispiele des 1. Teils der Lektion bestimmt wird:

Dort fanden wir eine enttäuschende mathematische Erwartung dieses Spiels, und jetzt müssen wir seine Varianz berechnen, die bezeichnet durch .

Lassen Sie uns herausfinden, wie weit die Gewinne/Verluste relativ zum Durchschnittswert „gestreut“ sind. Dazu müssen wir natürlich rechnen Unterschiede zwischen Werte einer Zufallsvariablen und sie mathematische Erwartung:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Nun scheint es notwendig, die Ergebnisse zusammenzufassen, aber dieser Weg ist nicht gut - weil sich die Schwingungen nach links mit den Schwingungen nach rechts gegenseitig aufheben. Also zum Beispiel der "Amateur"-Shooter (Beispiel oben) die unterschiede werden , und wenn sie hinzugefügt werden, ergeben sie Null, sodass wir keine Schätzung der Streuung seines Schießens erhalten.

Um diesen Ärger zu umgehen, sollten Sie überlegen Module Unterschiede, aber aus technischen Gründen hat sich der Ansatz durchgesetzt, wenn sie quadriert werden. Bequemer ist es, die Lösung in einer Tabelle anzuordnen:

Und hier heißt es rechnen gewichteter Durchschnitt der Wert der quadrierten Abweichungen. Was ist es? Es gehört ihnen erwarteter Wert, das ist das Maß der Streuung:

– Definition Streuung. Das geht aus der Definition sofort hervor Varianz kann nicht negativ sein- zur Übung beachten!

Erinnern wir uns, wie man die Erwartung findet. Multiplizieren Sie die quadrierten Differenzen mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (Fortsetzung der Tabelle):
- bildlich gesprochen ist dies "Zugkraft",
und fasse die Ergebnisse zusammen:

Glauben Sie nicht, dass das Ergebnis vor dem Hintergrund der Gewinne zu groß ausgefallen ist? Richtig - wir haben quadriert, und um zur Dimension unseres Spiels zurückzukehren, müssen wir die Quadratwurzel ziehen. Dieser Wert wird aufgerufen Standardabweichung und wird mit dem griechischen Buchstaben „sigma“ bezeichnet:

Manchmal wird diese Bedeutung genannt Standardabweichung .

Was ist seine Bedeutung? Wenn wir von der mathematischen Erwartung nach links und rechts um die Standardabweichung abweichen:

– dann werden die wahrscheinlichsten Werte der Zufallsvariablen auf dieses Intervall „konzentriert“. Was wir tatsächlich sehen:

Allerdings kommt es vor, dass man bei der Analyse der Streuung fast immer mit dem Begriff der Dispersion arbeitet. Mal sehen, was es in Bezug auf Spiele bedeutet. Wenn wir bei Schützen von der "Genauigkeit" von Treffern relativ zur Scheibenmitte sprechen, dann charakterisiert die Streuung hier zwei Dinge:

Erstens ist es offensichtlich, dass mit steigenden Raten auch die Varianz zunimmt. Wenn wir also beispielsweise um das 10-fache erhöhen, erhöht sich die mathematische Erwartung um das 10-fache und die Varianz um das 100-fache (sobald es sich um einen quadratischen Wert handelt). Beachten Sie jedoch, dass sich die Spielregeln nicht geändert haben! Nur die Kurse haben sich geändert, grob gesagt haben wir früher 10 Rubel gesetzt, jetzt 100.

Der zweite, interessantere Punkt ist, dass die Varianz den Spielstil charakterisiert. Fixieren Sie die Spielraten mental auf einem bestimmten Niveau, und sehen Sie hier, was was ist:

Ein Spiel mit geringer Varianz ist ein vorsichtiges Spiel. Der Spieler neigt dazu, die zuverlässigsten Schemata zu wählen, bei denen er nicht zu viel auf einmal verliert/gewinnt. Zum Beispiel das Rot/Schwarz-System beim Roulette (siehe Beispiel 4 des Artikels zufällige Variablen) .

Spiel mit hoher Varianz. Sie wird oft angerufen Streuung Spiel. Dies ist ein abenteuerlicher oder aggressiver Spielstil, bei dem der Spieler "Adrenalin"-Schemata wählt. Erinnern wir uns wenigstens "Martingal", bei dem die Summen, um die es geht, um Größenordnungen höher sind als bei dem „stillen“ Spiel des vorherigen Absatzes.

Die Situation beim Poker ist bezeichnend: Es gibt sogenannte fest Spieler, die dazu neigen, vorsichtig zu sein und mit ihrem Spielgeld zu "schütteln". (Guthaben). Es überrascht nicht, dass ihre Bankroll nicht stark schwankt (geringe Varianz). Umgekehrt, wenn ein Spieler eine hohe Varianz hat, dann ist es der Angreifer. Er geht oft Risiken ein, macht große Wetten und kann sowohl eine riesige Bank sprengen als auch in Stücke gehen.

Dasselbe passiert bei Forex und so weiter – es gibt viele Beispiele.

Darüber hinaus spielt es in allen Fällen keine Rolle, ob das Spiel für einen Penny oder für Tausende von Dollar ist. Jedes Level hat seine Spieler mit niedriger und hoher Varianz. Nun, für den durchschnittlichen Gewinn, wie wir uns erinnern, "verantwortlich" erwarteter Wert.

Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass das Finden der Varianz ein langer und mühsamer Prozess ist. Aber Mathematik ist großzügig:

Formel zum Finden der Varianz

Diese Formel leitet sich direkt aus der Definition der Varianz ab und wir haben sie gleich in Umlauf gebracht. Ich werde die Platte mit unserem Spiel von oben kopieren:

und die gefundene Erwartung .

Wir berechnen die Varianz auf die zweite Weise. Lassen Sie uns zuerst die mathematische Erwartung ermitteln – das Quadrat der Zufallsvariablen . Von Definition der mathematischen Erwartung:

In diesem Fall:

Also nach der Formel:

Spüren Sie den Unterschied, wie sie sagen. Und in der Praxis ist es natürlich besser, die Formel anzuwenden (es sei denn, die Bedingung erfordert etwas anderes).

Wir beherrschen die Technik des Lösens und Entwerfens:

Beispiel 6

Finden Sie den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Diese Aufgabe findet sich überall und entbehrt in der Regel einer sinnvollen Bedeutung.
Man kann sich mehrere Glühbirnen mit Zahlen vorstellen, die mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten in einem Irrenhaus leuchten :)

Entscheidung: Es ist praktisch, die wichtigsten Berechnungen in einer Tabelle zusammenzufassen. Zuerst schreiben wir die Anfangsdaten in die oberen beiden Zeilen. Dann berechnen wir die Produkte, dann und schließlich die Summen in der rechten Spalte:

Eigentlich ist fast alles fertig. In der dritten Zeile wurde eine fertige mathematische Erwartung gezeichnet: .

Die Streuung wird nach folgender Formel berechnet:

Und schließlich die Standardabweichung:
- Ich persönlich runde normalerweise auf 2 Dezimalstellen.

Alle Berechnungen können auf einem Taschenrechner durchgeführt werden, und noch besser - in Excel:

Hier kann man nichts falsch machen :)

Antworten:

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Ein paar Aufgaben zur unabhängigen Lösung:

Beispiel 7

Berechnen Sie per Definition die Varianz der Zufallsvariablen des vorherigen Beispiels.

Und ein ähnliches Beispiel:

Beispiel 8

Eine diskrete Zufallsvariable ist durch ihr eigenes Verteilungsgesetz gegeben:

Ja, die Werte der Zufallsvariablen können recht groß werden (Beispiel aus der realen Arbeit), und verwenden Sie hier, wenn möglich, Excel. Wie übrigens in Beispiel 7 - es ist schneller, zuverlässiger und angenehmer.

Lösungen und Antworten unten auf der Seite.

Zum Abschluss des 2. Teils der Lektion analysieren wir noch eine typische Aufgabe, man könnte sogar sagen, ein kleiner Rebus:

Beispiel 9

Eine diskrete Zufallsvariable kann nur zwei Werte annehmen: und , und . Die Wahrscheinlichkeit, der mathematische Erwartungswert und die Varianz sind bekannt.

Entscheidung: Beginnen wir mit einer unbekannten Wahrscheinlichkeit. Da eine Zufallsvariable nur zwei Werte annehmen kann, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Ereignisse:

und seitdem .

Es bleibt zu finden ..., leicht gesagt :) Aber na ja, es fing an. Per Definition der mathematischen Erwartung:
- ersetzen Sie die bekannten Werte:

- und aus dieser Gleichung lässt sich nichts mehr herausquetschen, außer dass man sie in die übliche Richtung umschreiben kann:

oder:

Über weitere Aktionen, denke ich, kann man raten. Lassen Sie uns das System erstellen und lösen:

Dezimalzahlen sind natürlich eine völlige Schande; beide Gleichungen mit 10 multiplizieren:

und durch 2 teilen:

Das ist viel besser. Aus der 1. Gleichung drücken wir aus:
(das ist der einfachere weg)- Ersatz in der 2. Gleichung:

Wir bauen kariert und vereinfachen:

Wir multiplizieren mit:

Infolge, quadratische Gleichung, finde seine Diskriminante:
- perfekt!

und wir erhalten zwei Lösungen:

1) wenn , dann ;

2) wenn , dann .

Das erste Wertepaar erfüllt die Bedingung. Mit hoher Wahrscheinlichkeit ist alles richtig, aber wir schreiben trotzdem das Verteilungsgesetz auf:

und eine Überprüfung durchführen, nämlich die Erwartung finden:

Streuung in der Statistik findet man als Einzelwerte des Merkmals im Quadrat von . Abhängig von den Ausgangsdaten wird sie durch die einfachen und gewichteten Varianzformeln bestimmt:

1. (für nicht gruppierte Daten) wird nach folgender Formel berechnet:

2. Gewichtete Varianz (für eine Variationsreihe):

wobei n die Frequenz ist (Wiederholbarkeitsfaktor X)

Ein Beispiel zum Finden der Varianz

Diese Seite beschreibt ein Standardbeispiel zum Finden der Varianz, Sie können sich auch andere Aufgaben ansehen, um sie zu finden

Beispiel 1. Wir haben die folgenden Daten für eine Gruppe von 20 Fernstudenten. Es ist notwendig, eine Intervallreihe der Merkmalsverteilung zu erstellen, den Mittelwert des Merkmals zu berechnen und seine Varianz zu untersuchen

Lassen Sie uns eine Intervallgruppierung erstellen. Lassen Sie uns den Bereich des Intervalls durch die Formel bestimmen:

wobei X max der Maximalwert des Gruppierungsmerkmals ist;
X min ist der Mindestwert des Gruppierungsmerkmals;
n ist die Anzahl der Intervalle:

Wir akzeptieren n=5. Der Schritt ist: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6,6

Machen wir eine Intervallgruppierung

Für weitere Berechnungen bauen wir eine Hilfstabelle auf:

X'i ist die Mitte des Intervalls. (zum Beispiel die Mitte des Intervalls 159 - 165,6 = 162,3)

Das durchschnittliche Wachstum der Schüler wird durch die Formel des arithmetisch gewichteten Durchschnitts bestimmt:

Wir bestimmen die Dispersion nach der Formel:

Die Varianzformel lässt sich wie folgt umrechnen:

Aus dieser Formel folgt das die Abweichung ist die Differenz zwischen dem Mittelwert der Quadrate der Optionen und dem Quadrat und dem Mittelwert.

Varianz in Variationsreihen mit gleichen Intervallen nach der Momentenmethode kann auf folgende Weise unter Verwendung der zweiten Eigenschaft der Streuung (Teilung aller Optionen durch den Wert des Intervalls) berechnet werden. Definition von Varianz, berechnet nach der Momentenmethode, nach folgender Formel ist weniger zeitaufwändig:

wobei i der Wert des Intervalls ist;
A - bedingte Null, die praktisch ist, um die Mitte des Intervalls mit der höchsten Frequenz zu verwenden;
m1 ist das Momentenquadrat erster Ordnung;
m2 - Moment zweiter Ordnung

(Wenn sich in der statistischen Grundgesamtheit das Attribut so ändert, dass es nur zwei sich gegenseitig ausschließende Optionen gibt, dann wird diese Variabilität als Alternative bezeichnet) kann durch die Formel berechnet werden:

Setzen wir in diese Dispersionsformel q = 1- p ein, erhalten wir:

Arten der Dispersion

Totale Varianz misst die Variation eines Merkmals über die gesamte Population als Ganzes unter dem Einfluss aller Faktoren, die diese Variation verursachen. Sie ist gleich dem mittleren Quadrat der Abweichungen der Einzelwerte des Merkmals x vom Gesamtmittelwert x und kann als einfache Varianz oder gewichtete Varianz definiert werden.

charakterisiert zufällige Variation, d.h. Teil der Variation, der auf den Einfluss nicht berücksichtigter Faktoren zurückzuführen ist und nicht von dem der Gruppierung zugrunde liegenden Merkmalsfaktor abhängt. Eine solche Varianz ist gleich dem mittleren Quadrat der Abweichungen der Einzelwerte eines Merkmals innerhalb der Gruppe X vom arithmetischen Mittel der Gruppe und kann als einfache Varianz oder als gewichtete Varianz berechnet werden.

Auf diese Weise, Varianzmaße innerhalb der Gruppe Variation eines Merkmals innerhalb einer Gruppe und wird durch die Formel bestimmt:

wo xi - Gruppendurchschnitt;
ni ist die Anzahl der Einheiten in der Gruppe.

Zum Beispiel zeigen gruppeninterne Varianzen, die bei der Untersuchung des Einflusses der Qualifikation der Arbeitnehmer auf das Niveau der Arbeitsproduktivität in einem Geschäft bestimmt werden müssen, Schwankungen im Output in jeder Gruppe, die durch alle möglichen Faktoren verursacht werden (technischer Zustand der Ausrüstung, Verfügbarkeit von Werkzeugen und Materialien, Alter der Arbeiter, Arbeitsintensität usw.), bis auf Unterschiede in der Qualifikationskategorie (innerhalb der Gruppe haben alle Arbeiter die gleiche Qualifikation).

Der Durchschnitt der gruppeninternen Varianzen spiegelt den Zufall wider, d. h. den Teil der Variation, der unter dem Einfluss aller anderen Faktoren mit Ausnahme des Gruppierungsfaktors aufgetreten ist. Es wird nach der Formel berechnet:

Es charakterisiert die systematische Variation des resultierenden Merkmals, die auf den Einfluss des der Gruppierung zugrunde liegenden Merkmalsfaktors zurückzuführen ist. Er ist gleich dem mittleren Quadrat der Abweichungen der Gruppenmittelwerte vom Gesamtmittelwert. Die Varianz zwischen den Gruppen wird nach folgender Formel berechnet:

Varianzadditionsregel in der Statistik

Entsprechend Varianzadditionsregel die Gesamtvarianz ist gleich der Summe des Durchschnitts der Intragruppen- und Intergruppenvarianzen:

Die Bedeutung dieser Regel ist, dass die Gesamtvarianz, die sich unter dem Einfluss aller Faktoren ergibt, gleich der Summe der Varianzen ist, die sich unter dem Einfluss aller anderen Faktoren ergibt, und der Varianz, die sich aufgrund des Gruppierungsfaktors ergibt.

Mit der Formel zur Addition von Varianzen ist es möglich, aus zwei bekannten Varianzen die dritte Unbekannte zu ermitteln und auch die Stärke des Einflusses des Gruppierungsmerkmals zu beurteilen.

Dispersionseigenschaften

1. Wenn alle Werte des Attributs um denselben konstanten Wert verringert (erhöht) werden, ändert sich die Varianz davon nicht.
2. Wenn alle Werte des Attributs um die gleiche Anzahl von n-mal verringert (erhöht) werden, dann wird die Varianz entsprechend um n^2-mal verringert (erhöht).