Die Lösung angewandter Probleme wird auf die Berechnung des Integrals reduziert, was jedoch nicht immer genau möglich ist. Manchmal ist es notwendig, den Wert eines bestimmten Integrals mit einer gewissen Genauigkeit zu kennen, beispielsweise auf ein Tausendstel.

Es gibt Aufgaben, bei denen es notwendig wäre, den Näherungswert eines bestimmten Integrals mit der erforderlichen Genauigkeit zu finden, dann wird numerische Integration verwendet, z. B. die Simposn-Methode, Trapeze, Rechtecke. Nicht in allen Fällen können wir es mit einer gewissen Genauigkeit berechnen.

Dieser Artikel betrachtet die Anwendung der Newton-Leibniz-Formel. Dies ist für die exakte Berechnung des bestimmten Integrals notwendig. Es werden detaillierte Beispiele gegeben, die Änderung der Variablen im bestimmten Integral betrachtet und die Werte des bestimmten Integrals bei der partiellen Integration ermittelt.

Newton-Leibniz-Formel

Bestimmung 1

Wenn die Funktion y = y (x) vom Segment [ a ; b ], und F (x) ist dann eine der Stammfunktionen der Funktion dieses Segments Newton-Leibniz-Formel als gerecht angesehen. Schreiben wir es so ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Diese Formel wird berücksichtigt die Grundformel der Integralrechnung.

Um diese Formel zu beweisen, ist es notwendig, das Konzept eines Integrals mit der verfügbaren Variablenobergrenze zu verwenden.

Wenn die Funktion y = f (x) vom Segment [ a ; b ] , dann der Wert des Arguments x ∈ a ; b , und das Integral hat die Form ∫ a x f (t) d t und wird als Funktion der Obergrenze betrachtet. Es ist notwendig zu akzeptieren, dass die Notation der Funktion die Form ∫ a x f (t) d t = Φ (x) annehmen wird, sie ist stetig, und die Ungleichung der Form ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) gilt dafür.

Wir legen fest, dass das Inkrement der Funktion Φ (x) dem Inkrement des Arguments ∆ x entspricht, es ist notwendig, die fünfte Haupteigenschaft eines bestimmten Integrals zu verwenden und zu erhalten

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

wobei Wert c ∈ x ; x + ∆x .

Wir legen die Gleichheit in der Form Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) fest. Bei der Definition der Ableitung einer Funktion ist es notwendig, zum Grenzwert als ∆ x → 0 zu gehen, dann erhalten wir eine Formel der Form, die auf [ a ; b ] steht. Andernfalls kann der Ausdruck geschrieben werden

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , wobei der Wert von C konstant ist.

Lassen Sie uns F (a) berechnen, indem wir die erste Eigenschaft des bestimmten Integrals verwenden. Dann bekommen wir das

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , also C = F (a) . Das Ergebnis gilt für die Berechnung von F (b) und wir erhalten:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , mit anderen Worten, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (ein) . Gleichheit beweist die Newton-Leibniz-Formel ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Das Inkrement der Funktion wird als F x a b = F (b) - F (a) genommen. Mit Hilfe der Notation wird die Newton-Leibniz-Formel zu ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Um die Formel anwenden zu können, muss man eine der Stammfunktionen y = F (x) des Integranden y = f (x) aus der Strecke [ a ; b ] , berechnen Sie das Inkrement der Stammfunktion aus diesem Segment. Betrachten Sie einige Beispiele für Berechnungen mit der Newton-Leibniz-Formel.

Beispiel 1

Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫ 1 3 x 2 d x mit der Newton-Leibniz-Formel.

Entscheidung

Bedenken Sie, dass der Integrand der Form y = x 2 vom Intervall [ 1 ; 3 ] , dann ist und auf diesem Segment integrierbar. Gemäß der Tabelle der unbestimmten Integrale sehen wir, dass die Funktion y \u003d x 2 eine Reihe von Stammfunktionen für alle reellen Werte von x hat, was bedeutet, dass x ∈ 1; 3 wird geschrieben als F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Es ist notwendig, die Stammfunktion mit C \u003d 0 zu nehmen, dann erhalten wir das F (x) \u003d x 3 3.

Lassen Sie uns die Newton-Leibniz-Formel verwenden und erhalten, dass die Berechnung des bestimmten Integrals die Form ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 annehmen wird.

Antworten:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Beispiel 2

Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x mit der Newton-Leibniz-Formel.

Entscheidung

Die gegebene Funktion ist stetig vom Segment [ - 1 ; 2 ], was bedeutet, dass es darauf integrierbar ist. Es ist notwendig, den Wert des unbestimmten Integrals ∫ x e x 2 + 1 d x mit der Methode der Summation unter dem Differentialzeichen zu finden, dann erhalten wir ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2+1+C.

Damit haben wir eine Menge Stammfunktionen der Funktion y = x · e x 2 + 1 , die für alle x , x ∈ − 1 gelten; 2.

Es ist notwendig, die Stammfunktion bei C = 0 zu nehmen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden. Dann erhalten wir einen Ausdruck der Form

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Antworten:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Beispiel 3

Berechnen Sie die Integrale ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x und ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Entscheidung

Segment - 4; - 1 2 besagt, dass die Funktion unter dem Integralzeichen stetig, also integrierbar ist. Von hier aus finden wir die Menge der Stammfunktionen der Funktion y = 4 x 3 + 2 x 2 . Das verstehen wir

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Es ist notwendig, die Stammfunktion F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x zu nehmen, dann erhalten wir unter Anwendung der Newton-Leibniz-Formel das Integral, das wir berechnen:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Wir gehen zur Berechnung des zweiten Integrals über.

Aus dem Segment [-1; 1 ] haben wir, dass der Integrand als unbeschränkt gilt, denn lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , dann folgt daraus eine notwendige Bedingung für die Integrierbarkeit aus dem Segment. Dann ist F (x) = 2 x 2 - 2 x keine Stammfunktion für y = 4 x 3 + 2 x 2 aus dem Intervall [ - 1 ; 1 ] , da der Punkt O zum Segment gehört, aber nicht im Definitionsbereich enthalten ist. Das heißt, es gibt ein bestimmtes Integral von Riemann und Newton-Leibniz für die Funktion y = 4 x 3 + 2 x 2 aus dem Intervall [ - 1 ; ein ] .

Antwort: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, es gibt ein bestimmtes Integral von Riemann und Newton-Leibniz für die Funktion y = 4 x 3 + 2 x 2 aus dem Intervall [ - 1 ; ein ] .

Bevor Sie die Newton-Leibniz-Formel verwenden, müssen Sie genau wissen, dass es ein bestimmtes Integral gibt.

Änderung der Variablen in einem bestimmten Integral

Wenn die Funktion y = f (x) definiert und aus dem Segment [ a ; b ] , dann die bestehende Menge [ a ; b ] wird als Bereich der Funktion x = g (z) betrachtet, die auf dem Intervall α definiert ist; β mit der bestehenden stetigen Ableitung, wobei g (α) = a und g β = b , daher erhalten wir ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Diese Formel wird verwendet, wenn es notwendig ist, das Integral ∫ a b f (x) d x zu berechnen, wobei das unbestimmte Integral die Form ∫ f (x) d x hat, wir berechnen mit der Substitutionsmethode.

Beispiel 4

Berechnen Sie ein bestimmtes Integral der Form ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Entscheidung

Der Integrand wird auf dem Integrationsintervall als stetig angesehen, was bedeutet, dass das bestimmte Integral existiert. Geben wir die Notation an, dass 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Der Wert x \u003d 9 bedeutet, dass z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, und für x \u003d 18 erhalten wir, dass z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, dann g α \ u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . Setzen wir die erhaltenen Werte in die Formel ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z ein, erhalten wir das

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Gemäß der Tabelle der unbestimmten Integrale haben wir, dass eine der Stammfunktionen der Funktion 2 z 2 + 9 den Wert 2 3 a r c t g z 3 annimmt. Wenn wir dann die Newton-Leibniz-Formel anwenden, erhalten wir das

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Die Feststellung könnte ohne Verwendung der Formel ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z erfolgen.

Wenn die Ersetzungsmethode ein Integral der Form ∫ 1 x 2 x - 9 d x verwendet, dann können wir zu dem Ergebnis ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C gelangen.

Von hier aus führen wir Berechnungen mit der Newton-Leibniz-Formel durch und berechnen das bestimmte Integral. Das verstehen wir

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Die Ergebnisse stimmten überein.

Antwort: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Teilweise Integration bei der Berechnung eines bestimmten Integrals

Wenn auf dem Segment [ a ; b ] Sind die Funktionen u (x) und v (x) definiert und stetig, dann sind ihre Ableitungen erster Ordnung v " (x) u (x) integrierbar, also aus diesem Intervall für die integrierbare Funktion u " (x) v ( x) die Gleichheit ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x ist wahr.

Die Formel kann dann verwendet werden, es ist notwendig, das Integral ∫ a b f (x) d x zu berechnen, und ∫ f (x) d x war es notwendig, es durch partielle Integration zu finden.

Beispiel 5

Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Entscheidung

Die Funktion x sin x 3 + π 6 ist integrierbar auf dem Segment - π 2; 3 π 2 , also stetig.

Sei u (x) \u003d x, dann d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x und d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x und v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Aus der Formel ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x bekommen wir das

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 Sünde π 2 + π 6 - Sünde - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Die Lösung des Beispiels kann auch auf andere Weise erfolgen.

Ermitteln Sie die Menge der Stammfunktionen der Funktion x sin x 3 + π 6 durch partielle Integration unter Verwendung der Newton-Leibniz-Formel:

∫ x Sünde x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = Sünde x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Antwort: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

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"Ich auch, Newtons Binomial!»

aus Der Meister und Margarita

„Das Pascalsche Dreieck ist so einfach, dass selbst ein zehnjähriges Kind es aufschreiben kann. Gleichzeitig birgt es unerschöpfliche Schätze und verknüpft verschiedene Aspekte der Mathematik, die auf den ersten Blick nichts miteinander zu tun haben. Solche ungewöhnlichen Eigenschaften erlauben es uns, das Pascalsche Dreieck als eines der elegantesten Schemata in der gesamten Mathematik zu betrachten.

Martin Gärtner.

Zielsetzung: Verallgemeinern Sie die Formeln der abgekürzten Multiplikation, zeigen Sie ihre Anwendung zur Lösung von Problemen.

Aufgaben:

1) Informationen zu diesem Thema studieren und systematisieren;

2) Analysieren Sie Beispiele von Problemen für die Verwendung von Newtons Binom und Formeln für die Summe und Differenz von Graden.

Forschungsobjekte: Newtons Binomial, Formeln für die Summe und Differenz von Graden.

Forschungsmethoden:

Umgang mit pädagogischer und populärwissenschaftlicher Literatur, Internetquellen.

Berechnungen, Vergleich, Analyse, Analogie.

Relevanz. Eine Person muss sich oft mit Problemen auseinandersetzen, bei denen es notwendig ist, die Anzahl aller möglichen Wege zu zählen, um einige Objekte anzuordnen, oder die Anzahl aller möglichen Wege, um eine Aktion auszuführen. Verschiedene Wege oder Optionen, die eine Person zu wählen hat, summieren sich zu einer Vielzahl von Kombinationen. Und ein ganzer Zweig der Mathematik, die Kombinatorik, sucht nach Antworten auf die Fragen: Wie viele Kombinationen gibt es in diesem oder jenem Fall?

Vertreter vieler Fachrichtungen müssen sich mit kombinatorischen Größen auseinandersetzen: Wissenschaftler-Chemiker, Biologe, Designer, Dispatcher usw. Das wachsende Interesse an der Kombinatorik in den letzten Jahren ist auf die rasante Entwicklung der Kybernetik und der Computertechnologie zurückzuführen.

Einführung

Wenn sie betonen wollen, dass der Gesprächspartner die Komplexität der ihm gestellten Aufgaben übertreibt, sagen sie: „Ich brauche auch Newtons Binomial!“ Sagen Sie, hier ist Newtons Binomial, es ist schwierig, aber welche Probleme haben Sie! Auch Menschen, deren Interessen nichts mit Mathematik zu tun haben, haben von Newtons Binom gehört.

Das Wort "binomial" bedeutet ein Binomial, d.h. die Summe zweier Terme. Aus dem Schulunterricht sind die sogenannten abgekürzten Multiplikationsformeln bekannt:

( a+b) 2 = ein 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = ein 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Eine Verallgemeinerung dieser Formeln ist eine Formel namens Newtons Binomialformel. Die Formeln zur Faktorisierung der Differenz von Quadraten, der Summe und der Differenz von Kubikzahlen werden auch in der Schule verwendet. Haben sie eine Verallgemeinerung für andere Abschlüsse? Ja, es gibt solche Formeln, sie werden oft zur Lösung verschiedener Probleme verwendet: Teilbarkeit beweisen, Brüche kürzen, ungefähre Berechnungen.

Das Studium verallgemeinernder Formeln entwickelt deduktiv-mathematisches Denken und allgemeine geistige Fähigkeiten.

ABSCHNITT 1. BINOMIALE FORMEL VON NEWTON

Kombinationen und ihre Eigenschaften

Sei X eine Menge bestehend aus n Elementen. Jede Teilmenge Y der Menge X, die k Elemente enthält, wird als Kombination von k Elementen aus n und k ≤ n bezeichnet.

Die Anzahl verschiedener Kombinationen von k Elementen aus n wird als C n k bezeichnet. Eine der wichtigsten Formeln der Kombinatorik ist die folgende Formel für die Zahl C n k:

Es kann nach offensichtlichen Abkürzungen wie folgt geschrieben werden:

Insbesondere,

Dies steht im Einklang mit der Tatsache, dass es in der Menge X nur eine Teilmenge von 0 Elementen gibt – die leere Teilmenge.

Die Zahlen C n k haben eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften.

Es gilt die Formel С n k = С n - k n, (3)

Die Bedeutung von Formel (3) ist, dass es eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen der Menge aller k-Mitglieder-Teilmengen von X und der Menge aller (n - k)-Mitglieder-Teilmengen von X gibt: um diese Korrespondenz herzustellen, es genügt, dass jede k-gliedrige Teilmenge von Y ihrem Komplement in der Menge X entspricht.

Die Formel Ñ 0 n + Ñ 1 n + Ñ 2 n + ... + Ñ n n = 2 n ist gültig (4)

Die Summe auf der linken Seite drückt die Anzahl aller Teilmengen der Menge X aus (C 0 n ist die Anzahl der 0-gliedrigen Teilmengen, C 1 n ist die Anzahl der eingliedrigen Teilmengen usw.).

Für alle k, 1≤ k≤ n, die Gleichheit

C.k.n \u003d C.n.-1k + C.n.-1k-1 (5)

Diese Gleichheit lässt sich leicht mit Formel (1) erreichen. Tatsächlich,

1.2. Ableitung der Binomialformel von Newton

Betrachten Sie die Potenzen der Binomialzahl ein +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(ein +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(ein +b ) 3 = 1 ein 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(ein +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n=5(ein +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Beachten Sie folgende Regelmäßigkeiten:

Die Anzahl der Terme des resultierenden Polynoms ist um eins größer als der Exponent des Binoms;

Der Exponent des ersten Terms nimmt von n auf 0 ab, der Exponent des zweiten Terms steigt von 0 auf n;

Die Grade aller Monome sind gleich den Graden des Binoms in der Bedingung;

Jedes Monom ist das Produkt des ersten und zweiten Ausdrucks in verschiedenen Potenzen und einer bestimmten Zahl - dem Binomialkoeffizienten;

Binomialkoeffizienten mit gleichem Abstand vom Anfang und Ende der Entwicklung sind gleich.

Eine Verallgemeinerung dieser Formeln ist die folgende Formel, die als Binomialformel von Newton bezeichnet wird:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

In dieser Formel n kann jede natürliche Zahl sein.

Wir leiten Formel (6) her. Schreiben wir zunächst:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

wobei die Anzahl der zu multiplizierenden Klammern ist n. Aus der üblichen Regel zum Multiplizieren einer Summe mit einer Summe folgt, dass der Ausdruck (7) gleich der Summe aller möglichen Produkte ist, die wie folgt zusammengesetzt werden können: irgendein Glied in der ersten der Summen a+b multipliziert mit einem beliebigen Term der zweiten Summe a+b, zu jeder Laufzeit der dritten Summe usw.

Aus dem Gesagten geht klar hervor, dass der Begriff im Ausdruck für (a + b ) nÜbereinstimmung (eins zu eins) mit Zeichenfolgen der Länge n, die aus Buchstaben bestehen A und B. Unter den Begriffen wird es ähnliche Begriffe geben; Es ist offensichtlich, dass solche Elemente Zeichenfolgen entsprechen, die dieselbe Anzahl von Buchstaben enthalten a. Aber die Anzahl der Zeilen, die genau das k-fache des Buchstabens enthalten a, ist gleich C n k . Daher ist die Summe aller Terme, die den Buchstaben a mit einem genau k-fachen Faktor enthalten, gleich С n k a n - k b k . Da k die Werte 0, 1, 2, ..., n-1, n annehmen kann, folgt Formel (6) aus unserer Überlegung. Beachten Sie, dass (6) kürzer geschrieben werden kann: (8)

Obwohl Formel (6) Newtons Name genannt wird, wurde sie in Wirklichkeit sogar vor Newton entdeckt (zB Pascal kannte sie). Newtons Verdienst liegt darin, dass er eine Verallgemeinerung dieser Formel für den Fall nicht ganzzahliger Exponenten gefunden hat. Es war I. Newton in den Jahren 1664-1665. leitete eine Formel ab, die den Grad der Binomialzahl für beliebige gebrochene und negative Exponenten ausdrückt.

Die in Formel (6) enthaltenen Zahlen C 0 n , C 1 n , ..., C n n werden gewöhnlich Binomialkoeffizienten genannt, die wie folgt definiert sind:

Aus Formel (6) kann man eine Reihe von Eigenschaften dieser Koeffizienten erhalten. Angenommen zum Beispiel a=1, b = 1, erhalten wir:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

jene. Formel (4). Wenn wir setzen a= 1, b = -1, dann haben wir:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

oder С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Das bedeutet, dass die Summe der Koeffizienten der geraden Terme der Entwicklung gleich der Summe der Koeffizienten der ungeraden Terme der Entwicklung ist; jeder von ihnen ist gleich 2 n -1 .

Die Koeffizienten der Terme, die von den Enden der Entwicklung äquidistant sind, sind gleich. Diese Eigenschaft folgt aus der Beziehung: С n k = С n n - k

Ein interessanter Sonderfall

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

oder kürzer (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Polynomialsatz

Satz.

Nachweisen.

Um nach dem Öffnen der Klammern ein Monom zu erhalten, müssen Sie die Klammern auswählen, aus denen es entnommen wurde, die Klammern, aus denen es entnommen wurde usw. und die Klammern, aus denen es entnommen wird. Der Koeffizient dieses Monoms nach Reduktion ähnlicher Terme ist gleich der Anzahl von Möglichkeiten, auf denen eine solche Wahl getroffen werden kann. Der erste Schritt der Auswahlfolge kann auf Wegen erfolgen, der zweite Schritt - , der dritte - usw., der -te Schritt - auf Wegen. Der gewünschte Koeffizient ist gleich dem Produkt

ABSCHNITT 2. Derivate höherer Ordnung.

Das Konzept der Ableitungen höherer Ordnung.

Die Funktion sei in einem bestimmten Intervall differenzierbar. Dann hängt seine Ableitung im Allgemeinen von ab X, das heißt, ist eine Funktion von X. Daher können wir in Bezug darauf erneut die Frage nach der Existenz eines Derivats aufwerfen.

Definition . Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung oder zweite Ableitung und wird mit dem Symbol oder bezeichnet, d.h.

Definition . Die Ableitung der zweiten Ableitung wird Ableitung dritter Ordnung oder dritte Ableitung genannt und mit dem Symbol oder bezeichnet.

Definition . Derivatn te Bestellung Funktionen heißt die erste Ableitung der Ableitung (n -1)-ter Ordnung dieser Funktion und wird mit dem Symbol oder bezeichnet:

Definition . Ableitungen höherer Ordnung als die erste werden aufgerufen höhere Ableitungen.

Kommentar. Auf ähnliche Weise kann man die Formel erhalten n-te Ableitung der Funktion:

Die zweite Ableitung einer parametrisch definierten Funktion

Wenn eine Funktion parametrisch durch Gleichungen gegeben ist, dann ist es notwendig, um die Ableitung zweiter Ordnung zu finden, den Ausdruck für ihre erste Ableitung als komplexe Funktion einer unabhängigen Variablen zu differenzieren.

Seit damals

und wenn man bedenkt,

Wir verstehen es, das heißt.

Ebenso können wir die dritte Ableitung finden.

Differential von Summe, Produkt und Quotient.

Da das Differential aus der Ableitung durch Multiplikation mit dem Differential einer unabhängigen Variablen erhalten wird, kann man, wenn man die Ableitungen der elementaren Grundfunktionen sowie die Regeln zum Auffinden von Ableitungen kennt, zu ähnlichen Regeln zum Auffinden von Differentialen kommen.

1 0 . Das Differential einer Konstanten ist Null.

2 0 . Das Differential der algebraischen Summe endlich vieler differenzierbarer Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Differentiale dieser Funktionen .

3 0 . Das Differential des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der ersten Funktion und des Differentials der zweiten und der zweiten Funktion und des Differentials der ersten .

Folge. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen des Differentials genommen werden.

2.3. Parametrisch gegebene Funktionen, ihre Differentiation.

Definition . Eine Funktion heißt parametrisch definiert, wenn beide Variablen X und y werden jeweils separat als einwertige Funktionen derselben Hilfsvariable - des Parameters - definiertt :

wot Veränderungen im Inneren.

Kommentar . Wir präsentieren die parametrischen Gleichungen eines Kreises und einer Ellipse.

a) Kreis mit Ursprung und Radius zentriert r hat parametrische Gleichungen:

b) Schreiben wir die Parametergleichungen für die Ellipse:

Durch Ausschließen des Parameters t Aus den parametrischen Gleichungen der betrachteten Linien kann man zu ihren kanonischen Gleichungen gelangen.

Satz . Wenn die Funktion y aus Argument x ist parametrisch durch die Gleichungen gegeben, wobei und bzgl. differenzierbar sindt Funktionen und dann.

2.4. Leibniz-Formel

Um die Ableitung zu finden n Ordnung des Produkts zweier Funktionen ist die Leibniz-Formel von großer praktischer Bedeutung.

Lassen u und v- einige Funktionen aus einer Variablen X mit Derivaten jeglicher Ordnung und j = UV. Äußern n-te Ableitung durch Ableitungen von Funktionen u und v .

Wir haben konsequent

Es ist leicht, die Analogie zwischen den Ausdrücken für die zweite und dritte Ableitung und die Erweiterung von Newtons Binom in die zweite bzw. dritte Potenz zu erkennen, aber anstelle der Exponenten gibt es Zahlen, die die Reihenfolge der Ableitung und der Funktionen bestimmen selbst können als "Ableitungen nullter Ordnung" betrachtet werden. Damit erhalten wir die Leibniz-Formel:

Diese Formel kann durch mathematische Induktion bewiesen werden.

ABSCHNITT 3. ANWENDUNG DER LEIBNIZ-FORMEL.

Um die Ableitung einer beliebigen Ordnung aus dem Produkt zweier Funktionen zu berechnen und die sequentielle Anwendung der Formel zur Berechnung der Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu umgehen, verwenden wir Leibniz-Formel.

Betrachten Sie anhand dieser Formel Beispiele für die Berechnung der n-ten Ableitung des Produkts zweier Funktionen.

Beispiel 1

Finden Sie die zweite Ableitung einer Funktion

Per Definition ist die zweite Ableitung die erste Ableitung der ersten Ableitung, d.h.

Daher finden wir zunächst die Ableitung erster Ordnung der gegebenen Funktion nach Unterscheidungsregeln und verwenden Ableitungstabelle:

Jetzt finden wir die Ableitung der Ableitung erster Ordnung. Dies ist die gewünschte Ableitung zweiter Ordnung:

Antworten:

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung ter Ordnung einer Funktion

Entscheidung.

Wir werden nacheinander Ableitungen der ersten, zweiten, dritten usw. Ordnungen der gegebenen Funktion finden, um ein Muster festzulegen, das auf die -te Ableitung verallgemeinert werden kann.

Wir finden die Ableitung erster Ordnung als Ableitung des Quotienten:

Hier wird der Ausdruck als Fakultät einer Zahl bezeichnet. Die Fakultät einer Zahl ist gleich dem Produkt der Zahlen von eins bis, also

Die zweite Ableitung ist die erste Ableitung der ersten Ableitung, das heißt

Ableitung dritter Ordnung:

Vierte Ableitung:

Beachten Sie die Regelmäßigkeit: Der Zähler enthält die Fakultät einer Zahl, die gleich der Ordnung der Ableitung ist, und der Nenner enthält einen Ausdruck, der um eins größer als die Ordnung der Ableitung ist

Antworten.

Beispiel 3

Finden Sie den Wert der dritten Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Entscheidung.

Entsprechend Tabelle der Derivate höherer Ordnung, wir haben:

In diesem Beispiel erhalten wir also

Beachten Sie, dass ein ähnliches Ergebnis auch durch sukzessives Auffinden von Ableitungen erzielt werden könnte.

An einem bestimmten Punkt ist die dritte Ableitung:

Antworten:

Beispiel 4

Finden Sie die zweite Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Lassen Sie uns zuerst die erste Ableitung finden:

Um die zweite Ableitung zu finden, differenzieren wir den Ausdruck für die erste Ableitung erneut:

Antworten:

Beispiel 5

Finde wenn

Da die gegebene Funktion ein Produkt zweier Funktionen ist, wäre es ratsam, die Leibniz-Formel anzuwenden, um die Ableitung vierter Ordnung zu finden:

Wir finden alle Ableitungen und berechnen die Koeffizienten der Terme.

1) Berechnen Sie die Koeffizienten für die Terme:

2) Finden Sie die Ableitungen der Funktion:

3) Finden Sie die Ableitungen der Funktion:

Antworten:

Beispiel 6

Gegeben ist die Funktion y=x 2 cos3x. Finden Sie die Ableitung dritter Ordnung.

Sei u=cos3x , v=x 2 . Dann finden wir nach der Leibniz-Formel:

Die Ableitungen in diesem Ausdruck sind:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Daher ist die dritte Ableitung der gegebenen Funktion

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Beispiel 7

Derivat finden n Funktion -ter Ordnung y=x 2 cosx.

Wir verwenden die Leibniz-Formel, Einstellungu=cosx, v=x 2 . Dann

Die restlichen Terme der Reihe sind gleich Null, da(x2)(i)=0 für i>2.

Ableitung n Kosinusfunktion -ter Ordnung:

Daher ist die Ableitung unserer Funktion

FAZIT

Die Schule lernt und verwendet die sogenannten abgekürzten Multiplikationsformeln: Quadrate und Kubik der Summe und Differenz zweier Ausdrücke und Formeln zur Faktorisierung der Differenz von Quadraten, der Summe und Differenz der Kubik zweier Ausdrücke. Eine Verallgemeinerung dieser Formeln ist eine Formel namens Newton-Binominalformel und die Formeln zum Faktorisieren der Summe und Differenz von Potenzen. Diese Formeln werden oft verwendet, um verschiedene Probleme zu lösen: Teilbarkeit beweisen, Brüche kürzen, ungefähre Berechnungen. Interessante Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks, die eng mit dem Newtonschen Binomial verwandt sind, werden betrachtet.

Die Arbeit systematisiert Informationen zum Thema, gibt Beispiele für Aufgaben zur Verwendung der Newtonschen Binomialfunktion und Formeln für die Summe und Differenz von Graden. Das Werk kann sowohl für die Arbeit eines mathematischen Kreises als auch für das eigenständige Studium von Mathematikbegeisterten verwendet werden.

LISTE DER VERWENDETEN QUELLEN

1. Wilenkin N. Ya. Kombinatorik - hrsg. "Die Wissenschaft". -M., 1969

2. Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 10: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Organisationen Grund- und Aufbaustufe - M.: Bildung, 2014. - 431 p.

3. Lösen von Problemen in Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 7-9 Zellen / Autor - Compiler V.N. Studenezkaja. - Hrsg. 2., korrigiert, - Wolgograd: Teacher, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebraische Gleichungen höherer Studiengänge / Methodischer Leitfaden für Studierende des Interuniversitären Studienkollegs. - St. Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Wahlfach Mathematik: Problemlösen. Lehrbuch für 10 Zellen. Weiterführende Schule. - M.: Aufklärung, 1989.

6.Wissenschaft und Leben, Newtons Binom und Pascals Dreieck[Elektronische Ressource]. - Zugriffsmodus: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Ableitungen höherer Ordnung

In dieser Lektion lernen wir, wie man Ableitungen höherer Ordnung findet, und schreiben die allgemeine Formel für die „n-te“ Ableitung. Außerdem wird die Leibniz-Formel für eine solche Ableitung betrachtet und, auf vielfachen Wunsch, Ableitungen höherer Ordnung implizite Funktion. Ich schlage vor, dass Sie gleich einen Mini-Test machen:

Hier ist die Funktion: und hier ist seine erste Ableitung:

Falls Sie Schwierigkeiten/Missverständnisse zu diesem Beispiel haben, beginnen Sie bitte mit zwei grundlegenden Artikeln meines Kurses: Wie finde ich die Ableitung? und Ableitung einer zusammengesetzten Funktion. Nachdem Sie elementare Ableitungen gemeistert haben, empfehle ich Ihnen, die Lektion zu lesen Die einfachsten Probleme mit einem Derivat, mit der wir uns insbesondere befasst haben zweite Ableitung.

Es ist nicht einmal schwer zu erraten, dass die zweite Ableitung die Ableitung der 1. Ableitung ist:

Grundsätzlich gilt bereits die zweite Ableitung als Ableitung höherer Ordnung.

Ebenso: Die dritte Ableitung ist die Ableitung der 2. Ableitung:

Die vierte Ableitung ist die Ableitung der 3. Ableitung:

Fünfte Ableitung: , und es ist offensichtlich, dass auch alle Ableitungen höherer Ordnungen gleich Null sein werden:

Neben der römischen Numerierung werden in der Praxis häufig folgende Bezeichnungen verwendet:
, während die Ableitung der „n-ten“ Ordnung mit bezeichnet wird. In diesem Fall muss der hochgestellte Index in Klammern eingeschlossen werden.- um die Ableitung vom "y" im Grad zu unterscheiden.

Manchmal gibt es einen Eintrag wie diesen: - dritte, vierte, fünfte, ..., jeweils "n-te" Ableitung.

Vorwärts ohne Angst und Zweifel:

Beispiel 1

Gegeben eine Funktion. Finden .

Entscheidung: was kannst du sagen ... - vorwärts für die vierte Ableitung :)

Es ist nicht mehr üblich, vier Striche zu setzen, also gehen wir zu numerischen Indizes über:

Antworten:

Okay, jetzt denken wir über diese Frage nach: Was tun, wenn gemäß der Bedingung nicht die 4., sondern beispielsweise die 20. Ableitung gefunden werden soll? Wenn für die Ableitung des 3-4-5 (maximal, 6.-7.) Ordnung, die Lösung ist recht schnell erstellt, dann „kommen“ wir zu den Ableitungen höherer Ordnungen, oh wie nicht bald. Schreiben Sie nicht wirklich 20 Zeilen auf! In einer solchen Situation müssen Sie mehrere gefundene Ableitungen analysieren, das Muster sehen und eine Formel für die „n-te“ Ableitung erstellen. In Beispiel Nr. 1 ist es also leicht zu verstehen, dass bei jeder nachfolgenden Differenzierung ein zusätzliches „Tripel“ vor dem Exponenten „herausspringt“, und bei jedem Schritt ist der Grad des „Tripels“ gleich der Anzahl von die Ableitung also:

Wo ist eine beliebige natürliche Zahl.

Und tatsächlich, wenn , dann erhält man genau die 1. Ableitung: , wenn - dann 2.: usw. Damit ist die zwanzigste Ableitung sofort bestimmt: - und keine "Kilometerblätter"!

Aufwärmen alleine:

Beispiel 2

Merkmale finden. Schreiben Sie die Ordnungsableitung

Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Nach einem belebenden Warm-up betrachten wir komplexere Beispiele, in denen wir den obigen Lösungsalgorithmus erarbeiten. Für diejenigen, die die Lektion gelesen haben Sequenzlimit, es wird etwas einfacher:

Beispiel 3

Suchen Sie nach Funktion .

Entscheidung: Um die Situation zu verdeutlichen, finden wir mehrere Ableitungen:

Wir haben es nicht eilig, die resultierenden Zahlen zu multiplizieren! ;-)


Vielleicht genug. ... Ich habe es sogar ein wenig übertrieben.

Im nächsten Schritt schreibst du am besten die Formel für die „n-te“ Ableitung auf (sobald der Zustand dies nicht erfordert, dann kann man mit einem Entwurf auskommen). Dazu schauen wir uns die erhaltenen Ergebnisse an und identifizieren die Muster, mit denen die jeweils nächste Ableitung erhalten wird.

Zuerst unterschreiben sie. Interleaving bietet "Blitzer", und da die 1. Ableitung positiv ist, geht folgender Faktor in die allgemeine Formel ein: . Eine gleichwertige Option reicht aus, aber als Optimist liebe ich persönlich das Pluszeichen =)

Zweitens im Zähler "Winde" Fakultät, und es „hinter“ der Zahl der Ableitung um eine Einheit:

Und drittens wächst die Zweierpotenz im Zähler, der gleich der Zahl der Ableitung ist. Dasselbe gilt für den Grad des Nenners. Endlich:

Lassen Sie uns zu Überprüfungszwecken beispielsweise ein paar Werte "en" ersetzen und:

Toll, jetzt einen Fehler zu machen ist nur eine Sünde:

Antworten:

Eine einfachere Funktion für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 4

Merkmale finden.

Und ein kniffligeres Problem:

Beispiel 5

Merkmale finden.

Wiederholen wir den Vorgang noch einmal:

1) Zuerst finden wir mehrere Ableitungen. Drei oder vier reichen normalerweise aus, um Muster zu erkennen.

2) Dann empfehle ich dringend das Kompilieren (zumindest im Entwurf)"n-tes" Derivat - es schützt garantiert vor Fehlern. Aber man kann darauf verzichten, d.h. im Kopf schätzen und sofort aufschreiben, zum Beispiel die zwanzigste oder achte Ableitung. Darüber hinaus sind einige Personen in der Regel in der Lage, die betrachteten Probleme mündlich zu lösen. Es sollte jedoch daran erinnert werden, dass "schnelle" Methoden belastet sind und es besser ist, auf Nummer sicher zu gehen.

3) In der letzten Phase überprüfen wir die "n-te" Ableitung - wir nehmen ein Wertepaar "en" (besser als benachbarte) und führen eine Substitution durch. Und noch zuverlässiger ist es, alle zuvor gefundenen Derivate zu überprüfen. Dann setzen wir zum Beispiel den gewünschten Wert oder ein und kämmen das Ergebnis sorgfältig durch.

Kurze Lösung des 4. und 5. Beispiels am Ende der Lektion.

Bei einigen Aufgaben müssen Sie, um Probleme zu vermeiden, ein wenig an der Funktion zaubern:

Beispiel 6

Entscheidung: Ich möchte die vorgeschlagene Funktion überhaupt nicht differenzieren, da sie sich als „schlechter“ Bruch herausstellen wird, was es sehr schwierig machen wird, nachfolgende Ableitungen zu finden.

In diesem Zusammenhang ist es ratsam, vorläufige Transformationen durchzuführen: wir verwenden Differenz der Quadrate Formel und Logarithmus Eigenschaft :

Ganz andere Sache:

Und alte Bekannte:

Ich denke es wird alles angeschaut. Beachten Sie, dass der 2. Bruch signiert ist, der 1. jedoch nicht. Wir bilden die Ordnungsableitung:

Die Kontrolle:

Nun, für die Schönheit nehmen wir die Fakultät aus den Klammern:

Antworten:

Eine interessante Aufgabe für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 7

Schreiben Sie die Ordnungsableitungsformel für die Funktion

Und nun zur unerschütterlichen gegenseitigen Verantwortung, um die uns sogar die italienische Mafia beneiden wird:

Beispiel 8

Gegeben eine Funktion. Finden

Die achtzehnte Ableitung am Punkt . Gerade.

Entscheidung: zuerst müssen Sie natürlich finden . Gehen:

Sie begannen beim Sinus und kamen zum Sinus. Es ist klar, dass sich dieser Kreis bei weiterer Differenzierung bis ins Unendliche fortsetzen wird, und es stellt sich folgende Frage: Wie „kommt“ man am besten an die achtzehnte Ableitung?

Die „Amateur“-Methode: Wir schreiben schnell die Nummern der nachfolgenden Derivate rechts in die Spalte:

Auf diese Weise:

Aber es funktioniert, wenn die Ordnung der Ableitung nicht zu groß ist. Wenn Sie beispielsweise die hundertste Ableitung finden müssen, sollten Sie die Teilbarkeit durch 4 verwenden. Einhundert ist ohne Rest durch 4 teilbar, und es ist leicht zu sehen, dass solche Zahlen auf der untersten Zeile stehen, also: .

Aus ähnlichen Überlegungen lässt sich übrigens auch die 18. Ableitung bestimmen:
Die zweite Zeile enthält Zahlen, die durch 4 mit Rest 2 teilbar sind.

Eine andere, akademischere Methode basiert auf Sinus Periodizität und Reduktionsformeln. Wir verwenden die vorgefertigte Formel „n-te“ Ableitung des Sinus , in die einfach die gewünschte Zahl eingesetzt wird. Zum Beispiel:
(Reduktionsformel ) ;
(Reduktionsformel )

In unserem Fall:

(1) Da der Sinus eine periodische Funktion mit einer Periode ist, kann das Argument schmerzlos um 4 Perioden (d.h.) „herausgeschraubt“ werden.

Die Ordnungsableitung des Produkts zweier Funktionen kann durch die Formel gefunden werden:

Insbesondere:

Du musst dir nichts Besonderes merken, denn je mehr Formeln du kennst, desto weniger verstehst du. Viel besser zu wissen Newtons Binomial, da Leibniz' Formel ihm sehr, sehr ähnlich ist. Nun, die Glücklichen, die die Ableitung der siebten oder höheren Ordnung erhalten (was wirklich unwahrscheinlich ist) wird dazu gezwungen. Allerdings, wenn es soweit ist Kombinatorik- du musst noch =)

Finden wir die dritte Ableitung der Funktion . Wir verwenden die Leibniz-Formel:

In diesem Fall: . Derivate lassen sich leicht verbal anklicken:

Jetzt führen wir die Substitution vorsichtig und SORGFÄLTIG durch und vereinfachen das Ergebnis:

Antworten:

Eine ähnliche Aufgabe für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 11

Merkmale finden

Wenn im vorherigen Beispiel die Lösung "auf der Stirn" noch mit der Leibniz-Formel konkurrierte, dann wird es hier schon richtig unangenehm. Und noch unangenehmer - bei höherer Ordnung der Ableitung:

Beispiel 12

Finden Sie die Ableitung der angegebenen Ordnung

Entscheidung: die erste und wesentliche Bemerkung - so zu entscheiden ist wahrscheinlich nicht notwendig =) =)

Schreiben wir die Funktionen auf und finden ihre Ableitungen bis einschließlich 5. Ordnung. Ich nehme an, dass die Ableitungen der rechten Spalte für Sie mündlich geworden sind:

In der linken Spalte wurden die „lebenden“ Ableitungen schnell „beendet“ und das ist sehr gut - in der Leibniz-Formel werden drei Terme auf Null gesetzt:

Ich werde noch einmal auf das Dilemma eingehen, das in dem Artikel auftauchte komplexe Derivate: um das Ergebnis zu vereinfachen? Im Prinzip kannst du es so lassen - es ist für den Lehrer noch einfacher zu kontrollieren. Aber er kann verlangen, dass er sich die Entscheidung vor Augen führt. Andererseits ist die Vereinfachung aus eigener Initiative mit algebraischen Fehlern behaftet. Wir haben jedoch eine Antwort auf "ursprüngliche" Weise erhalten =) (siehe Link am Anfang) und ich hoffe es ist richtig:

Super, hat alles geklappt.

Antworten:

Fröhliche Aufgabe zur Selbstlösung:

Beispiel 13

Zur Funktion:
a) finde durch direkte Differentiation;
b) Finden Sie mit der Leibniz-Formel;
c) berechnen.

Nein, ich bin überhaupt kein Sadist - Punkt "a" hier ist ganz einfach =)

Aber im Ernst, die „direkte“ Lösung durch sukzessive Differenzierung hat auch das „Recht auf Leben“ – in manchen Fällen ist ihre Komplexität vergleichbar mit der Komplexität der Anwendung der Leibniz-Formel. Verwenden Sie, wie Sie es für richtig halten - dies ist wahrscheinlich kein Grund, die Aufgabe nicht zu zählen.

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Um den letzten Absatz anzuheben, müssen Sie in der Lage sein Implizite Funktionen unterscheiden:

Ableitungen höherer Ordnung von impliziten Funktionen

Viele von uns haben viele Stunden, Tage und Wochen ihres Lebens mit Lernen verbracht Kreise, Parabel, Hyperbel– und manchmal wirkte es sogar wie eine echte Bestrafung. Also lasst uns Rache nehmen und sie richtig differenzieren!

Beginnen wir mit der "Schul"-Parabel in ihrer kanonische Stellung:

Beispiel 14

Eine Gleichung ist gegeben. Finden .

Entscheidung: der erste Schritt ist vertraut:

Dass die Funktion und ihre Ableitung implizit ausgedrückt werden, ändert nichts am Wesen der Sache, die zweite Ableitung ist die Ableitung der 1. Ableitung:

Allerdings gibt es Spielregeln: In der Regel werden Ableitungen 2. und höherer Ordnung ausgedrückt nur über "x" und "y". Daher setzen wir in die resultierende 2. Ableitung ein:

Die dritte Ableitung ist die Ableitung der 2. Ableitung:

Lassen Sie uns in ähnlicher Weise ersetzen:

Antworten:

„Schule“-Übertreibung in kanonische Stellung- für selbstständiges Arbeiten:

Beispiel 15

Eine Gleichung ist gegeben. Finden .

Ich wiederhole, dass die 2. Ableitung und das Ergebnis nur durch „x“ / „y“ ausgedrückt werden sollte!

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Schauen wir uns nach den Streichen der Kinder die deutsche Pornografie @fia an, schauen wir uns mehr Beispiele für Erwachsene an, aus denen wir eine weitere wichtige Lösung lernen:

Beispiel 16

Ellipse selbst.

Entscheidung: Finden Sie die 1. Ableitung:

Und jetzt hören wir auf und analysieren den nächsten Moment: Jetzt müssen wir den Bruch differenzieren, was überhaupt nicht ermutigend ist. In diesem Fall ist es natürlich einfach, aber bei Problemen im wirklichen Leben gibt es nur wenige solcher Gaben. Gibt es eine Möglichkeit, das umständliche Derivat zu vermeiden? Existieren! Wir nehmen die Gleichung und verwenden dieselbe Technik wie beim Ermitteln der 1. Ableitung - wir „hängen“ Striche an beiden Teilen:

Die zweite Ableitung muss nur durch und ausgedrückt werden, also jetzt (im Augenblick) Es ist bequem, die 1. Ableitung loszuwerden. Dazu setzen wir in die resultierende Gleichung ein:

Um unnötige technische Schwierigkeiten zu vermeiden, multiplizieren wir beide Teile mit:

Und erst im Endstadium erstellen wir einen Bruch:

Nun betrachten wir die ursprüngliche Gleichung und stellen fest, dass das erhaltene Ergebnis vereinfacht werden kann:

Antworten:

Wie man irgendwann den Wert der 2. Ableitung findet (was natürlich zur Ellipse gehört), zum Beispiel am Punkt ? Sehr leicht! Dieses Motiv ist uns bereits im Unterricht begegnet normale Gleichung: im Ausdruck der 2. Ableitung müssen Sie ersetzen :

Natürlich können Sie in allen drei Fällen explizit gegebene Funktionen erhalten und sie unterscheiden, aber dann bereiten Sie sich mental darauf vor, mit zwei Funktionen zu arbeiten, die Wurzeln enthalten. Meiner Meinung nach ist die Lösung bequemer "implizit" durchzuführen.

Letztes Beispiel für Selbstlösung:

Beispiel 17

Implizite Funktion finden

Die Leibniz-Formel zur Berechnung der n-ten Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist angegeben. Sein Beweis wird auf zwei Wegen geführt. Es wird ein Beispiel zur Berechnung der Ableitung n-ter Ordnung betrachtet.

Inhalt

Siehe auch: Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Leibniz-Formel

Mit der Leibniz-Formel kannst du die n-te Ableitung des Produkts zweier Funktionen berechnen. Es sieht aus wie das:
(1) ,
wo
sind Binomialkoeffizienten.

Die Binomialkoeffizienten sind die Koeffizienten der Erweiterung des Binomials in Potenzen von und :
.
Auch die Zahl ist die Anzahl der Kombinationen von n bis k .

Beweis der Leibniz-Formel

Zutreffend die Formel für die Ableitung des Produkts zweier Funktionen :
(2) .
Lassen Sie uns Formel (2) in die folgende Form umschreiben:
.
Das heißt, wir nehmen an, dass eine Funktion von der x-Variablen und die andere von der y-Variablen abhängt. Am Ende der Rechnung nehmen wir an. Dann kann die vorherige Formel geschrieben werden als:
(3) .
Da die Ableitung gleich der Summe der Terme ist und jeder Term das Produkt zweier Funktionen ist, können Sie zur Berechnung der Ableitungen höherer Ordnung konsequent die Regel (3) anwenden.

Dann gilt für die Ableitung n-ter Ordnung:

.
Da und erhalten wir die Leibniz-Formel:
(1) .

Beweis durch Induktion

Wir präsentieren den Beweis der Leibniz-Formel durch die Methode der mathematischen Induktion.

Schreiben wir die Leibniz-Formel um:
(4) .
Für n = 1 gilt:
.
Dies ist die Formel für die Ableitung des Produkts zweier Funktionen. Sie ist gerecht.

Nehmen wir an, Formel (4) gilt für die Ableitung n-ter Ordnung. Beweisen wir, dass sie für die Ableitung n + gilt 1 -te Ordnung.

Unterscheiden (4):
;



.
Also fanden wir:
(5) .

Setzen Sie in (5) ein und berücksichtigen Sie Folgendes:

.
Dies zeigt, dass Formel (4) die gleiche Form für die Ableitung n + hat 1 -te Ordnung.

Formel (4) gilt also für n = 1 . Aus der Annahme, dass es für eine Zahl n = m gilt, folgt, dass es für n = m + gilt 1 .
Die Leibniz-Formel hat sich bewährt.

Beispiel

Berechne die n-te Ableitung einer Funktion
.

Wir wenden die Leibniz-Formel an
(2) .
In unserem Fall
;
.

Von Ableitungstabelle wir haben:
.
Anwenden Eigenschaften trigonometrischer Funktionen :
.
Dann
.
Dies zeigt, dass die Differentiation der Sinusfunktion zu ihrer Verschiebung um führt. Dann
.

Wir finden Ableitungen der Funktion .
;
;
;
, .

Da für sind nur die ersten drei Terme in der Leibniz-Formel ungleich Null. Binomialkoeffizienten finden.
;
.

Nach der Leibniz-Formel gilt:

.

Siehe auch: