Problem 1

Lösen Sie ein System linearer Gleichungen auf zwei Arten: mithilfe der Cramer-Formeln und der Gauß-Methode

1) Lösen Sie das inhomogene System linearer algebraischer Gleichungen Ax = B mit der Cramer-Methode

Die Determinante des Systems D ist ungleich Null. Finden wir die Hilfsdeterminanten D 1, D 2, D 3, wenn sie ungleich Null sind, dann gibt es keine Lösungen, wenn sie gleich sind, dann gibt es unendlich viele Lösungen

Ein System aus 3 linearen Gleichungen mit 3 Unbekannten, deren Determinante ungleich Null ist, ist immer konsistent und hat eine eindeutige Lösung, berechnet durch die Formeln:

Antwort: Wir haben die Lösung:

2) Lösen Sie das inhomogene System linearer algebraischer Gleichungen Ax = B mit der Gauß-Methode

Lassen Sie uns eine erweiterte Matrix des Systems erstellen

Nehmen wir die erste Zeile als Orientierung und das Element a 11 = 1 als Orientierung. Mithilfe der Hilfslinie erhalten wir Nullen in der ersten Spalte.

entspricht der Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

Antwort: Wir haben die Lösung:

Problem 2

Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks ABC

Finden:

1) Länge der Seite AB;

4) Gleichung des mittleren AE;

Konstruieren Sie das gegebene Dreieck und alle Linien im Koordinatensystem.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Abstand zwischen den Punkten A( x 1; um 1) und B( x 2; um 2) wird durch die Formel bestimmt

womit wir die Länge der Seite AB ermitteln;

2) Gleichungen der Seiten AB und BC und ihre Winkelkoeffizienten;

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte der Ebene A( x 1; um 1) und B( x 2; um 2) hat die Form

Wenn wir die Koordinaten der Punkte A und B in (2) einsetzen, erhalten wir die Gleichung der Seite AB:

Wir ermitteln den Winkelkoeffizienten k AB der Geraden AB, indem wir die resultierende Gleichung in die Form einer Geradengleichung mit einem Winkelkoeffizienten umwandeln y =kx - B.

, also von wo

Auf ähnliche Weise erhalten wir die Gleichung der Geraden BC und ermitteln ihren Winkelkoeffizienten.

Wenn wir die Koordinaten der Punkte B und C in (2) einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Seite BC:

Wir ermitteln den Winkelkoeffizienten k des BC der Geraden BC, indem wir die resultierende Gleichung in die Form der Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten umwandeln y =kx - B.

, also

3) Innenwinkel am Scheitelpunkt B im Bogenmaß mit einer Genauigkeit von 0,01

Um den Innenwinkel unseres Dreiecks zu ermitteln, verwenden wir die Formel:

Beachten Sie, dass das Verfahren zur Berechnung der Differenz der Winkelkoeffizienten im Zähler dieses Bruchs von der relativen Position der Geraden AB und BC abhängt.

Wenn wir die zuvor berechneten Werte von k BC und k AB in (3) einsetzen, finden wir:

Wenn wir nun die Tabellen mit einem technischen Mikrorechner verwenden, erhalten wir B » 1,11 rad.

4) Gleichung des mittleren AE;

Um die Gleichung des Medians AE aufzustellen, ermitteln wir zunächst die Koordinaten des Punktes E, der in der Mitte des Segments BC liegt

Wenn wir die Koordinaten der Punkte A und E in Gleichung (2) einsetzen, erhalten wir die Mediangleichung:

5) Gleichung und Länge der Höhe CD;

Um die Gleichung für die Höhe CD zu erstellen, verwenden wir die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt M( x 0 ; y 0)mit einer gegebenen Steigung k, das die Form hat

und die Bedingung der Rechtwinkligkeit der Geraden AB und CD, die durch die Beziehung k AB k CD = -1 ausgedrückt wird, woraus k CD = -1/k AB = - 3/4

Ersetzen Sie in (4) anstelle von k den Wert k C D = -3/4 und anstelle von X 0 , j 0 Mit den entsprechenden Koordinaten des Punktes C erhalten wir die Gleichung für die Höhe CD

Um die Länge der Höhe CD zu berechnen, verwenden wir die Formel zum Ermitteln des Abstands d von einem bestimmten Punkt M( x 0 ; y 0) zu einer gegebenen Geraden mit der Gleichung Ax+ By + C = 0, die die Form hat:

Ersetzen Sie stattdessen (5). x 0 ; y 0 Koordinaten des Punktes C und anstelle von A, B, C erhalten wir die Koeffizienten der Gleichung der Geraden AB

6) die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt E parallel zur Seite AB und den Punkt M ihres Schnittpunkts mit der Höhe CD verläuft;

Da die gewünschte Gerade EF parallel zur Geraden AB ist, gilt k EF = k AB = 4/3. Stattdessen wird in Gleichung (4) eingesetzt x 0 ; y 0 Koordinaten des Punktes E, und statt k den Wert k EF erhalten wir die Gleichung der Geraden EF.“

Um die Koordinaten des Punktes M zu finden, lösen wir gemeinsam die Gleichungen der Geraden EF und CD.

Somit ist M(5,48, 0,64).

7) Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Punkt E, der durch den Scheitelpunkt B verläuft

Da der Kreis einen Mittelpunkt im Punkt E(4,5; 2) hat und durch den Scheitelpunkt B(4; 3) verläuft, dann ist sein Radius

Kanonische Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt im Punkt M 0 ( x 0 ; y 0) hat die Form

Dreieck ABC, Höhe CD, Median AE, gerade Linie EF, Punkt M und ein Kreis, konstruiert im x0y-Koordinatensystem in Abb. 1.

Problem 3

Stellen Sie eine Geradengleichung auf, deren Abstand zum Punkt A (2; 5) für jeden Punkt gleich dem Abstand zur Geraden y = 1 ist. Tragen Sie die resultierende Kurve im Koordinatensystem ein

Lösung

Sei M ( X, ja) - aktueller Punkt der gewünschten Kurve. Lassen Sie uns die Senkrechte MB vom Punkt M zur Geraden y = 1 fallen lassen (Abb. 2). Dann ist B(x; 1). Da also MA = MB ist

Wir bilden die Hauptdeterminante für das System

und berechne es.

Dann stellen wir weitere Determinanten zusammen

und berechne sie.

Nach der Cramer-Regel wird die Lösung des Systems mithilfe der Formeln gefunden

;
;
,Wenn

1)

Berechnen wir:

Mit Cramers Formeln finden wir:

Antwort: (1; 2; 3)

2)

Berechnen wir:

Da die Hauptdeterminante
, und mindestens eine weitere Eins ist ungleich Null (in unserem Fall).
), dann hat das System keine Lösung.

3)

Berechnen wir:

Da alle Determinanten gleich Null sind, hat das System unendlich viele Lösungen, die wie folgt gefunden werden können:

Lösen Sie die Systeme selbst:

A)
B)

Antwort: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praxislektion Nr. 3 zum Thema:

Skalarprodukt zweier Vektoren und seine Anwendung

1. Falls angegeben
Und
, dann ermitteln wir das Skalarprodukt mit der Formel:

∙

2.Wenn ja, dann wird das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren durch die Formel ermittelt

1. Gegeben sind zwei Vektoren
Und

Wir finden ihr Skalarprodukt wie folgt:

.

2. Es sind zwei Vektoren gegeben:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Das Skalarprodukt ergibt sich wie folgt:

3.
,

3.1 Ermitteln der Arbeit einer konstanten Kraft auf einem geraden Wegabschnitt

1) Unter dem Einfluss einer Kraft von 15 N bewegte sich der Körper 2 Meter geradlinig. Der Winkel zwischen der Kraft und der Bewegungsrichtung =60 0. Berechnen Sie die Arbeit, die eine Kraft verrichtet, um einen Körper zu bewegen.

Gegeben:

Lösung:

2) Gegeben:

Lösung:

3) Ein Körper bewegte sich unter dem Einfluss einer Kraft von 60 N vom Punkt M(1; 2; 3) zum Punkt N(5; 4; 6). Der Winkel zwischen der Kraftrichtung und dem Verschiebungsvektor =45 0. Berechnen Sie die von dieser Kraft geleistete Arbeit.

Lösung: Finden Sie den Verschiebungsvektor

Ermitteln des Moduls des Verschiebungsvektors:

Nach der Formel
Eine Arbeit finden:

3.2 Bestimmung der Orthogonalität zweier Vektoren

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn
, also

als

1)

– nicht orthogonal

2)

-senkrecht

3) Bestimmen Sie, bei welchem ​​ die Vektoren liegen
Und
zueinander orthogonal.

Als
, Das
, Bedeutet

Entscheide dich selbst:

A)

. Finden Sie ihr Skalarprodukt.

b) Berechnen Sie, wie viel Arbeit die Kraft erzeugt
, wenn sich der Punkt seiner Anwendung geradlinig bewegt hat und sich vom Punkt M (5; -6; 1) zum Punkt N (1; -2; 3) bewegt hat.

c) Bestimmen Sie, ob die Vektoren orthogonal sind
Und

Antworten: a) 1 b) 16 c) ja

3.3. Ermitteln des Winkels zwischen Vektoren

1)

. Finden .

Wir finden

in die Formel einsetzen:

.

1). Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Finden Sie den Winkel am Scheitelpunkt A.

Setzen wir es in die Formel ein:

Entscheide dich selbst:

Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Bestimmen Sie den Innenwinkel am Scheitelpunkt A.

Antwort: 90 o

Praxislektion Nr. 4 zum Thema:

VEKTORPRODUKT AUS ZWEI VEKTOREN UND SEINE ANWENDUNG.

Formel zum Ermitteln des Kreuzprodukts zweier Vektoren:

	sieht aus wie

1) Finden Sie den Modul des Vektorprodukts:

Lassen Sie uns eine Determinante zusammenstellen und berechnen (unter Verwendung der Sarrus-Regel oder des Satzes über die Entwicklung der Determinante in die Elemente der ersten Zeile).

1. Methode: nach der Regel von Sarrus

Methode 2: Erweitern Sie die Determinante in die Elemente der ersten Zeile.

2) Finden Sie den Modul des Vektorprodukts:

4.1. BERECHNUNG DER FLÄCHE EINES PARALLELOGRAMMS, DAS AUF ZWEI VEKTOREN AUFGEBAUT IST.

1) Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms

2). Finden Sie das Vektorprodukt und seinen Modul

4.2. BERECHNUNG DER FLÄCHE EINES DREIECKS

Beispiel: Gegeben sind die Eckpunkte des Dreiecks A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks.

Lassen Sie uns zunächst die Koordinaten zweier Vektoren ermitteln, die von demselben Scheitelpunkt ausgehen.

Finden wir ihr Vektorprodukt

4.3. BESTIMMUNG DER KOLLINEARITÄT ZWEIER VEKTOREN

Wenn der Vektor
Und
sind dann kollinear

, d. h. die Koordinaten der Vektoren müssen proportional sein.

a) Gegebene Vektoren::
,
.

Sie sind kollinear, weil
Und

Nachdem wir jeden Bruch reduziert haben, erhalten wir das Verhältnis

b) Gegebene Vektoren:

.

Sie sind nicht kollinear, weil
oder

Entscheide dich selbst:

a) Bei welchen Werten m und n des Vektors
kollinear?

Antwort:
;

b) Finden Sie das Vektorprodukt und seinen Modul
,
.

Antwort:
,
.

Praxislektion Nr. 5 zum Thema:

GERADE IN EINER FLUGZEUG

Aufgabe Nr. 1. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die parallel zur Geraden durch den Punkt A(-2; 3) verläuft

1. Finden Sie die Steigung der Linie
.

ist die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten und einer Anfangskoordinate (
). Deshalb
.

2. Da die Linien MN und AC parallel sind, sind ihre Winkelkoeffizienten gleich, d.h.
.

3. Um die Gleichung der Geraden AC zu finden, verwenden wir die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt mit einem gegebenen Winkelkoeffizienten verläuft:

. Stattdessen in dieser Formel Und Ersetzen Sie stattdessen die Koordinaten von Punkt A(-2; 3). Ersetzen wir – 3. Als Ergebnis der Substitution erhalten wir:

Antwort:

Aufgabe Nr. 2. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K(1; –2) parallel zur Geraden verläuft.

1. Finden wir die Steigung der Geraden.

Dies ist die allgemeine Gleichung einer Geraden, die im Allgemeinen durch die Formel gegeben ist. Beim Vergleich der Gleichungen stellen wir fest, dass A = 2, B = –3. Die Steigung der durch die Gleichung gegebenen Geraden wird durch die Formel ermittelt
. Wenn wir A = 2 und B = –3 in diese Formel einsetzen, erhalten wir die Steigung der Geraden MN. Also,
.

2. Da die Geraden MN und KS parallel sind, sind ihre Winkelkoeffizienten gleich:
.

3. Um die Gleichung der Geraden KS zu finden, verwenden wir die Formel für die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt mit einem gegebenen Winkelkoeffizienten verläuft
. Stattdessen in dieser Formel Und Ersetzen wir stattdessen die Koordinaten des Punktes K(–2; 3).

Aufgabe Nr. 3. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt K(–1; –3) senkrecht zur Geraden verläuft.

1. ist eine allgemeine Geradengleichung, die in allgemeiner Form durch die Formel gegeben ist.

und wir finden, dass A = 3, B = 4.

Die Steigung der durch die Gleichung gegebenen Geraden ergibt sich aus der Formel:
. Wenn wir A = 3 und B = 4 in diese Formel einsetzen, erhalten wir die Steigung der Geraden MN:
.

2. Da die Linien MN und KD senkrecht stehen, sind ihre Winkelkoeffizienten umgekehrt proportional und haben ein entgegengesetztes Vorzeichen:

.

3. Um die Gleichung der Geraden KD zu finden, verwenden wir die Formel für die Gleichung der Geraden, die mit einer gegebenen Steigung durch den Punkt verläuft

. Stattdessen in dieser Formel Und Ersetzen Sie stattdessen die Koordinaten des Punktes K(–1;–3). lasst uns ersetzen Als Ergebnis der Substitution erhalten wir:

Entscheide dich selbst:

1. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt K(–4; 1) parallel zur Geraden verläuft
.

Antwort:
.

2. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt K(5; –2) parallel zur Geraden verläuft
.

3. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt K(–2, –6) senkrecht zur Geraden verläuft
.

4. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt K(7; –2) senkrecht zur Geraden verläuft
.

Antwort:
.

5. Finden Sie die Gleichung der Senkrechten, die vom Punkt K(–6; 7) zur Geraden fällt
.

2.3.1. Definition.

Gegeben seien lineare Gleichungen:

A 1 X + B 1 j + C 1 z = D 1 , (2.3.1)

A 2 X + B 2 j + C 2 z = D 2 , (2.3.2)

A 3 X + B 3 j + C 3 z = D 3 . (2.3.3)

Wenn es notwendig ist, eine allgemeine Lösung für die Gleichungen (2.3.1) ¾ (2.3.3) zu finden, dann sagt man, dass sie sich bilden System . Das System bestehend aus den Gleichungen (2.3.1) ¾ (2.3.3) wird wie folgt bezeichnet:

Die allgemeine Lösung der Gleichungen, aus denen das System besteht, wird aufgerufen Systemlösung . Lösen Sie das System (2.3.4) ¾ Dies bedeutet, entweder die Menge aller seiner Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine gibt.

Wie in den vorherigen Fällen finden wir im Folgenden Bedingungen, unter denen das System (2.3.4) eine eindeutige Lösung hat, mehr als eine Lösung hat und keine Lösung hat.

2.3.2. Definition. Gegeben sei das System (2.3.4) linearer Gleichungen. Matrizen

heißen entsprechend ( Basic )Matrix Und erweiterte Matrix Systeme.

2.3.3. Definitionen äquivalenter Systeme der Form (2.3.4) sowie Elementartransformationen 1. und 2. Art werden auf die gleiche Weise eingeführt wie für Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei und drei Unbekannten.

Elementare Transformation Der dritte Systemtyp (2.3.4) wird als Vertauschung zweier Gleichungen dieses Systems bezeichnet. Ähnlich wie in den vorherigen Fällen von Systemen aus 2 Gleichungen Mit elementaren Transformationen des Systems erhält man das System,gleichbedeutend damit.

2.3.4. Übung. Gleichungssysteme lösen:

Lösung. A)

(1) Wir haben die erste und zweite Gleichung des Systems vertauscht (Typ-3-Transformation).

(2) Die erste Gleichung multipliziert mit 4 wurde von der zweiten subtrahiert, und die erste Gleichung multipliziert mit 6 wurde von der dritten subtrahiert (Typ-2-Transformation); Daher wurde das Unbekannte aus der zweiten und dritten Gleichung ausgeschlossen X .

(3) Die zweite Gleichung, multipliziert mit 14, wurde von der dritten subtrahiert; das Unbekannte wurde vom dritten ausgeschlossen j .

(4) Aus der letzten Gleichung finden wir z = 1, indem wir which in das zweite einsetzen, finden wir j = 0. Zum Schluss noch das Ersetzen j = 0 und z = 1 in die erste Gleichung, finden wir X = -2.ñ

(1) Wir haben die erste und zweite Gleichung des Systems vertauscht.

(2) Die erste Gleichung multipliziert mit 4 wurde von der zweiten subtrahiert, und die erste Gleichung multipliziert mit 6 wurde von der dritten subtrahiert.

(3) Die zweite und dritte Gleichung stimmten überein. Wir schließen eine davon aus dem System aus (oder, mit anderen Worten, wenn wir die zweite von der dritten Gleichung subtrahieren, dann wird die dritte Gleichung zur Identität 0 = 0; sie wird aus dem System ausgeschlossen. Wir nehmen an z = A .

(4) Ersatz z = A in die zweite und erste Gleichung ein.

(5) Ersetzen j = 12 - 12A in die erste Gleichung finden wir X .

c) Teilt man die erste Gleichung durch 4 und die dritte ¾ durch 6, so erhält man ein äquivalentes System

was der Gleichung entspricht X - 2j - z = -3. Die Lösungen dieser Gleichung sind bekannt (siehe Beispiel 2.2.3 b))

Die letzte Gleichheit im resultierenden System ist widersprüchlich. Daher verfügt das System über keine Lösungen.

Die Transformationen (1) und (2) ¾ sind genau die gleichen wie die entsprechenden Transformationen des Systems b))

(3) Subtrahieren Sie die Sekunde von der letzten Gleichung.

Antwort: a) (-2; 0; 1);

b) (21 - 23 A ; 12 - 12A ; A ), A Î R;

c) ((-3 + 2 A + B ; A ; B )|A , B Î R};

d) Das System hat keine Lösungen.

2.3.5. Aus den vorherigen Beispielen ergibt sich das System mit drei Unbekannten, wie ein System mit zwei Unbekannten, Möglicherweise gibt es nur eine Lösung, eine unendliche Anzahl von Lösungen und keine einzige Lösung. Nachfolgend analysieren wir alle möglichen Fälle. Aber zuerst führen wir etwas Notation ein.

Sei D die Determinante der Systemmatrix:

Sei D 1 die Determinante, die man aus D erhält, indem man die erste Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt:

Lassen Sie uns ähnlich sagen

D 2 = und D 3 = .

2.3.6. Satz. Wenn D¹0, dann das System(2.3.4)hat eine einzigartige Lösung

, , . (2.3.5)

Formeln (2.3.5) werden aufgerufen Formeln = = 0 für alle ich ¹ J und mindestens eine der Determinanten , , ungleich Null, dann hat das System keine Lösungen.

4) Wenn = = = = = = 0 für alle ich ¹ J , dann hat das System unendlich viele Lösungen, abhängig von zwei Parametern.

PRAKTISCHE LEKTION Nr. 7

LÖSUNG EINES SYSTEMS AUS 3 LINEAREN GLEICHUNGEN

MIT DREI VARIABLEN

Ziel:

Entwickeln Sie die Fähigkeit, Matrizen zu transformieren;

Entwickeln Sie Fähigkeiten zur Systemlösung3 lineare Gleichungen in drei Variablen nach der Cramer-Methode;

Kenntnisse über die Eigenschaften von Determinanten 2. und 3. Ordnung festigen;

Materielle und technische Unterstützung: Richtlinien zur Durchführung der Arbeiten;

Vorlaufzeit: 2 akademische Stunden;

Fortschritt der Lektion:

Studieren Sie kurze theoretische Informationen;

Erledige Aufgaben;

Ziehen Sie ein Fazit zur Arbeit;

Bereiten Sie eine Verteidigung Ihrer Arbeit zu Testfragen vor.

Kurze theoretische Informationen:

Eine Matrix ist eine quadratische oder rechteckige Tabelle, gefüllt mit Zahlen. Diese Zahlen werden Matrixelemente genannt.

Matrixelemente, horizontal angeordnet, bilden die Zeilen der Matrix. Matrixelemente, vertikal angeordnet, bilden die Matrixspalten.

Die Zeilen werden von links nach rechts nummeriert, beginnend mit der Zahl1, Die Spalten sind von oben nach unten nummeriert, beginnend mit der Zahl1.

MatrixA , habenM Linien undN Säulen, wird als Matrix bezeichnetGrößeM AnN und ist bezeichnetA m∙n . ElementA ich j MatrizenA = { A ij } steht an der Kreuzungich - oh Zeilen undJ- Spalte.

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix ist die Diagonale, die von der oberen linken Ecke der Matrix zur unteren rechten Ecke führt.Die Seitendiagonale einer quadratischen Matrix ist die Diagonale, die von der unteren linken Ecke der Matrix zur oberen rechten Ecke führt.

Zwei Matrizen gelten als gleich, wenn sie die gleiche Dimension haben und ihre entsprechenden Elemente gleich sind.

Jede Matrix kann mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden, und wennk – Nummer alsok ∙ A ={ k ∙ A ij }.

Matrizen gleicher GrößeA m∙n UndB m∙n faltbar, undA m∙n + B m∙n = { A ij + B ich J }.

Die Matrixadditionsoperation hat die EigenschaftenA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Beispiel 1. Nachdem Operationen an Matrizen durchgeführt wurden, Finden Sie die Matrix C= 2A - B, wobei, .

Lösung.

Berechnen wir die Matrix 2A der Dimension 3x3:

Berechnen wir die Matrix C = 2A – in der Dimension 3x3:

C = 2 A - B .

Determinante einer Matrix dritter Ordnung ist die durch die Gleichung definierte Zahl:

.

Diese Zahl stellt eine algebraische Summe dar, die aus sechs Termen besteht. Jeder Term enthält genau ein Element aus jeder Zeile und jeder Spalte der Matrix. Jeder Term besteht aus dem Produkt von drei Faktoren.

Abb.1.1. Abb.1.2.

Die Vorzeichen, mit denen die Terme der Determinante in die Formel zur Ermittlung der Determinante dritter Ordnung eingehen, lassen sich nach dem gegebenen Schema bestimmen, das Dreiecksregel oder Sarrussche Regel genannt wird. Die ersten drei Terme werden mit einem Pluszeichen genommen und aus Abbildung (1.1.) bestimmt, und die nächsten drei Terme werden mit einem Minuszeichen genommen und aus Abbildung (1.2) bestimmt.

Beispiel 2. Berechnen Sie die Determinante dritter Ordnung mithilfe der Sarrus-Regel:

Lösung:

Beispiel 3. Berechnen Sie die Determinante dritter Ordnung mithilfe der Erweiterungsmethode über die Elemente der ersten Zeile:

Lösung:

Wir verwenden die Formel:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Betrachten wir die Haupteigenschaften von Determinanten:

Eine Determinante mit einer Nullzeile (Spalte) ist gleich Null.

Wenn Sie eine beliebige Zeile (eine beliebige Spalte) einer Matrix mit einer beliebigen Zahl multiplizieren, wird die Determinante der Matrix mit dieser Zahl multipliziert.

Die Determinante ändert sich nicht, wenn die Matrix transponiert wird.

Die Determinante ändert das Vorzeichen, wenn zwei beliebige Zeilen (Spalten) der Matrix neu angeordnet werden.

Die Determinante einer Matrix mit zwei identischen Zeilen (Spalten) ist gleich Null.

Die Determinante ändert sich nicht, wenn zu einer beliebigen Zeile eine weitere Zeile hinzugefügt und mit einer beliebigen Zahl multipliziert wird. Eine ähnliche Aussage gilt für Spalten.

Die Eigenschaften von Matrizen und Determinanten werden häufig bei der Lösung eines Systems aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten verwendet:

,

wo x 1 , X 2 , X 3 sind Variablen und 11 , A 12 ,…, A 33 - numerische Koeffizienten. Es ist zu bedenken, dass beim Lösen eines Systems eine von drei möglichen Antworten möglich ist:

1) Das System hat eine eindeutige Lösung – (x 1 ; X 2 ; X 3 );

2) das System hat unendlich viele Lösungen (undefiniert);

3) Das System hat keine Lösungen (inkonsistent).

Betrachten Sie die Lösung eines Systems aus drei linearen Gleichungen mit drei UnbekanntenCramers Methode, dieermöglicht Ihnen das Findendie einzige Lösung für das System, basierend auf der Fähigkeit, Determinanten dritter Ordnung zu berechnen:

Beispiel 3. Finden Sie eine Lösung für ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten mithilfe der Cramer-Formeln:

Lösung. Finden Sie Determinanten dritter Ordnung mitSarrus-Regel oder Erweiterung um Elemente der ersten Reihe:

Wir finden die Lösung des Systems anhand der Formeln:

Antwort: (- 152; 270; -254)

Aufgaben zur selbstständigen Bearbeitung:

ICH. Finden Sie die Transformationsmatrix.

II. Determinante berechnenIIIBefehl.

III. Lösen Sie das System mit der Cramer-Methode.

Variante 1.

1. C = A +3 B , Wenn, . 2..

Option 2.

1. C =2 A - B ,Wenn, . 2..

Option 3.

1. C = 3 A + B , Wenn, . 2. .

Option 4.

1. C = A - 4 B , Wenn, . 2..

Option 5.

1. C = 4 A - B , Wenn, . 2..

Option 6.

1. C = A +2 B , Wenn, . 2..

Option 7.

1. C =2 A + B , Wenn, . 2..

Option 8.

1. C =3 A - B , Wenn, . 2..

Option 9.

1. C = A - 3 B , Wenn, . 2..

Option 10.

1. C = A - 2 B , Wenn, . 2..

Option 11.

1. C = A +4 B , Wenn, . 2..

Option 12.

1. C =4 A + B , Wenn, . 2..

Option 13.

1. C = A +3 B , Wenn, . 2..

Option 14.

1. C =2 A - B , Wenn, . 2..

Option 15.

1. C =3 A + B , Wenn, . 2..

Fragen zur Selbstkontrolle:

Was ist eine Matrix?

Regeln zur Berechnung von Determinanten dritter Ordnung?

Schreiben Sie Cramers Formeln zur Lösung eines Systems aus drei linearen Gleichungen mit drei Variablen.

Gleichungssysteme werden im Wirtschaftsbereich häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse eingesetzt. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen des Produktionsmanagements und der Produktionsplanung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie zur Lösung von Problemen bei der Ermittlung der Bevölkerungsgröße verwendet.

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, bei der alle Gleichungen zu wahren Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Wenn Sie eine Gleichung durch Auftragen lösen, sieht sie wie eine gerade Linie aus, deren Punkte alle Lösungen des Polynoms sind.

Arten von linearen Gleichungssystemen

Als einfachste Beispiele gelten Systeme linearer Gleichungen mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Gleichungssystem lösen - Dies bedeutet, Werte (x, y) zu finden, bei denen das System zu einer echten Gleichheit wird, oder festzustellen, dass keine geeigneten Werte für x und y existieren.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Koordinaten eines Punktes, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder keine Lösung existiert, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System heterogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei betragen, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Wenn Schüler mit Systemen konfrontiert werden, gehen sie davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, was jedoch nicht der Fall ist. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab; es können beliebig viele davon vorhanden sein.

Einfache und komplexe Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Es gibt keine allgemeine analytische Methode zur Lösung solcher Systeme; alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulmathematikkurs beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution sowie grafische und Matrixmethoden, Lösung nach der Gaußschen Methode.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache besteht nicht darin, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Verwendung einer bestimmten Methode zu verstehen

Das Lösen von Beispielen für lineare Gleichungssysteme im allgemeinbildenden Lehrplan der 7. Klasse ist recht einfach und wird ausführlich erklärt. In jedem Mathematiklehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß- und Cramer-Methode wird in den ersten Studienjahren genauer untersucht.

Lösen von Systemen mit der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine Form mit einer Variablen reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir eine Lösung für ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems der Klasse 7 mit der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel hervorgeht, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die zweite Gleichung des Systems eingesetzt wurde, trug dazu bei, eine Variable Y in der zweiten Gleichung zu erhalten . Das Lösen dieses Beispiels ist einfach und ermöglicht es Ihnen, den Y-Wert zu ermitteln. Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und die Variable als zweite Unbekannte auszudrücken wäre für weitere Berechnungen zu umständlich. Wenn das System mehr als drei Unbekannte enthält, ist die Lösung durch Substitution ebenfalls ungeeignet.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach Systemlösungen mit der Additionsmethode werden Gleichungen Term für Term addiert und mit verschiedenen Zahlen multipliziert. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung in einer Variablen.

Die Anwendung dieser Methode erfordert Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode zu lösen, wenn drei oder mehr Variablen vorhanden sind. Die algebraische Addition ist praktisch, wenn Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer bestimmten Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation sollte einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsmethode durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen erfordert und die Anzahl der Unbekannten ebenfalls nicht mehr als zwei betragen sollte.

Die Methode wird verwendet, um eine der Gleichungen durch Einführung einer neuen Variablen zu vereinfachen. Die neue Gleichung wird nach der eingeführten Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird zur Bestimmung der ursprünglichen Variablen verwendet.

Das Beispiel zeigt, dass es durch die Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante ermitteln.

Der Wert der Diskriminante muss mithilfe der bekannten Formel D = b2 - 4*a*c ermittelt werden, wobei D die gewünschte Diskriminante und b, a, c die Faktoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es eine Lösung: x = -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Visuelle Methode zur Lösung von Systemen

Geeignet für 3 Gleichungssysteme. Die Methode besteht darin, Diagramme jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse zu erstellen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode weist eine Reihe von Nuancen auf. Schauen wir uns einige Beispiele für die visuelle Lösung linearer Gleichungssysteme an.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden im Diagramm markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel muss eine grafische Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer gesamten Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, beim Aufbau wird jedoch deutlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte beachtet werden, dass es nicht immer möglich ist, zu sagen, ob ein System eine Lösung hat oder nicht. Es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Die Matrix und ihre Varianten

Matrizen werden verwendet, um ein System linearer Gleichungen präzise zu schreiben. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrixvektor ist eine Matrix aus einer Spalte mit einer unendlich möglichen Anzahl von Zeilen. Eine Matrix mit Einsen entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird Identität genannt.

Eine inverse Matrix ist eine Matrix, mit der sich die ursprüngliche Matrix in eine Einheitsmatrix verwandelt; eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische Matrix.

Regeln zur Umwandlung eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Terme der Gleichungen als Matrixzahlen geschrieben; eine Gleichung entspricht einer Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterschiedlich ist, muss anstelle der fehlenden Unbekannten eine Null eingegeben werden.

Die Matrixspalten müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, der Koeffizient der Unbekannten y – nur in die zweite.

Bei der Multiplikation einer Matrix werden alle Elemente der Matrix nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Ermitteln der inversen Matrix ist recht einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist ist die Determinante der Matrix. |K| darf nicht gleich Null sein, dann hat das System eine Lösung.

Die Determinante lässt sich für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix leicht berechnen; Sie müssen lediglich die Diagonalelemente miteinander multiplizieren. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich merken, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element entnehmen müssen, damit sich die Anzahl der Spalten und Elementreihen in der Arbeit nicht wiederholt.

Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit der Matrixmethode lösen

Mit der Matrixlösungsmethode können Sie umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit einer großen Anzahl von Variablen und Gleichungen reduzieren.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor, x n sind Variablen und b n sind freie Terme.

Lösen von Systemen mit der Gaußschen Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess der Lösungsfindung für Systeme wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gauß-Methode ähnelt stark den Lösungen durch Substitution und algebraische Addition, ist jedoch systematischer. Im Schulunterricht wird die Lösung nach der Gaußschen Methode für Systeme mit 3 und 4 Gleichungen verwendet. Der Zweck der Methode besteht darin, das System auf die Form eines umgekehrten Trapezes zu reduzieren. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems ermittelt. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten, während 3 und 4 jeweils mit 3 bzw. 4 Variablen sind.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf die sequentielle Substitution bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Lösung nach der Gauß-Methode wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten: 3x 3 -2x 4 =11 und 3x 3 +2x 4 =7. Wenn Sie eine der Gleichungen lösen, können Sie eine der Variablen x n herausfinden.

Der im Text erwähnte Satz 5 besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch äquivalent zum ursprünglichen ist.

Die Gaußsche Methode ist für Schüler der Mittelstufe schwer zu verstehen, aber sie ist eine der interessantesten Möglichkeiten, den Einfallsreichtum von Kindern zu fördern, die in fortgeschrittenen Mathematik- und Physikklassen eingeschrieben sind.

Um die Aufzeichnung zu erleichtern, werden Berechnungen normalerweise wie folgt durchgeführt:

Die Koeffizienten der Gleichungen und freien Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten. Römische Ziffern geben die Nummern der Gleichungen im System an.

Notieren Sie zunächst die Matrix, mit der gearbeitet werden soll, und anschließend alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem „Pfeil“-Zeichen geschrieben und die notwendigen algebraischen Operationen werden fortgesetzt, bis das Ergebnis erreicht ist.

Das Ergebnis sollte eine Matrix sein, in der eine der Diagonalen gleich 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, das heißt, die Matrix wird auf eine Einheitsform reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, Berechnungen mit Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung durchzuführen.

Diese Aufzeichnungsmethode ist weniger umständlich und ermöglicht es Ihnen, sich nicht durch das Auflisten zahlreicher Unbekannter ablenken zu lassen.

Der freie Einsatz jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und etwas Erfahrung. Nicht alle Methoden sind angewandter Natur. Einige Methoden zur Lösungsfindung sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Tätigkeit vorzuziehen, während andere für Bildungszwecke existieren.