Aufgabe 4.

Eine der Diagonalen eines Parallelogramms der Länge 4√6 bildet mit der Basis einen Winkel von 60°, und die zweite Diagonale bildet mit derselben Basis einen Winkel von 45°. Finden Sie die zweite Diagonale.

Entscheidung.

1. AO = 2√6.

2. Wende den Sinussatz auf das Dreieck AOD an.

AO/Sünde D = OD/Sünde A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Antwort: 12.

Aufgabe 5.

Bei einem Parallelogramm mit den Seiten 5√2 und 7√2 ist der kleinere Winkel zwischen den Diagonalen gleich dem kleineren Winkel des Parallelogramms. Finden Sie die Summe der Längen der Diagonalen.

Entscheidung.

Seien d 1, d 2 die Diagonalen des Parallelogramms und der Winkel zwischen den Diagonalen und dem kleineren Winkel des Parallelogramms sei φ.

1. Lassen Sie uns zwei verschiedene zählen
Wege seiner Gegend.

S ABCD \u003d AB AD Sünde A \u003d 5√2 7√2 Sünde f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD Sünde AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 Sünde f.

Wir erhalten die Gleichheit 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Unter Verwendung des Verhältnisses zwischen den Seiten und Diagonalen des Parallelogramms schreiben wir die Gleichheit

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Machen wir ein System:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d1 + d2 = 140.

Multipliziere die zweite Gleichung des Systems mit 2 und addiere sie zur ersten.

Wir erhalten (d 1 + d 2) 2 = 576. Daher ist Id 1 + d 2 I = 24.

Da d 1, d 2 die Längen der Diagonalen des Parallelogramms sind, ist d 1 + d 2 = 24.

Antwort: 24.

Aufgabe 6.

Die Seiten des Parallelogramms sind 4 und 6. Der spitze Winkel zwischen den Diagonalen beträgt 45 o. Finden Sie die Fläche des Parallelogramms.

Entscheidung.

1. Aus dem Dreieck AOB schreiben wir unter Verwendung des Kosinussatzes die Beziehung zwischen der Seite des Parallelogramms und den Diagonalen.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Analog schreiben wir die Beziehung für das Dreieck AOD.

Das berücksichtigen wir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Wir erhalten die Gleichung d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Wir haben ein System
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung, erhalten wir 2d 1 d 2 √2 = 80 oder

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD Sünde AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 Sünde α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Notiz: Bei diesem und dem vorherigen Problem besteht keine Notwendigkeit, das System vollständig zu lösen, da wir voraussehen, dass wir bei diesem Problem das Produkt der Diagonalen benötigen, um die Fläche zu berechnen.

Antwort: 10.

Aufgabe 7.

Die Fläche des Parallelogramms ist 96 und seine Seiten sind 8 und 15. Finden Sie das Quadrat der kleineren Diagonale.

Entscheidung.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Machen wir eine Substitution in der Formel.

Wir erhalten 96 = 8 15 sin VAD. Also sin VAD = 4/5.

2. Finde cos SCHLECHT. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 SCHLECHT = 1. cos 2 SCHLECHT = 9/25.

Je nach Problemstellung finden wir die Länge der kleineren Diagonalen. Die Diagonale BD wird kleiner, wenn der Winkel BAD spitz ist. Dann ist cos BAD = 3 / 5.

3. Aus dem Dreieck ABD finden wir mit Hilfe des Kosinussatzes das Quadrat der Diagonalen BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos SCHLECHT.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Antwort: 145.

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Parallelogramm ist ein Viereck, dessen Seiten paarweise parallel sind.

In dieser Figur sind gegenüberliegende Seiten und Winkel einander gleich. Die Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich in einem Punkt und halbieren ihn. Parallelogramm-Flächenformeln ermöglichen es Ihnen, den Wert durch die Seiten, die Höhe und die Diagonalen zu finden. In Sonderfällen kann auch das Parallelogramm dargestellt werden. Sie gelten als Rechteck, Quadrat und Raute.
Betrachten wir zunächst ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms nach Höhe und der Seite, auf die es abgesenkt wird.

Dieser Fall gilt als Klassiker und bedarf keiner weiteren Untersuchung. Es ist besser, die Formel zur Berechnung der Fläche durch zwei Seiten und des Winkels zwischen ihnen zu berücksichtigen. Die gleiche Methode wird bei der Berechnung verwendet. Wenn die Seiten und der Winkel zwischen ihnen angegeben sind, wird die Fläche wie folgt berechnet:

Angenommen, wir haben ein Parallelogramm mit den Seiten a = 4 cm, b = 6 cm, der Winkel zwischen ihnen ist α = 30°. Suchen wir den Bereich:

Fläche eines Parallelogramms in Bezug auf Diagonalen

Die Formel für die Fläche eines Parallelogramms in Diagonalen ermöglicht es Ihnen, den Wert schnell zu finden.
Für Berechnungen benötigen Sie den Wert des Winkels, der sich zwischen den Diagonalen befindet.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms durch Diagonalen. Gegeben sei ein Parallelogramm mit den Diagonalen D = 7 cm, d = 5 cm, der Winkel zwischen ihnen sei α = 30°. Ersetzen Sie die Daten in der Formel:

Ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms durch eine Diagonale ergab ein hervorragendes Ergebnis - 8,75.

Wenn Sie die Formel für die Fläche eines Parallelogramms in Bezug auf eine Diagonale kennen, können Sie viele interessante Probleme lösen. Schauen wir uns einen von ihnen an.

Aufgabe: Bei einem Parallelogramm mit einer Fläche von 92 qm. siehe Punkt F befindet sich in der Mitte seiner Seite BC. Lassen Sie uns die Fläche des trapezförmigen ADFB finden, die in unserem Parallelogramm liegen wird. Lassen Sie uns zunächst alles zeichnen, was wir gemäß den Bedingungen erhalten haben.
Kommen wir zur Lösung:

Gemäß unseren Bedingungen ist ah \u003d 92, und dementsprechend ist die Fläche unseres Trapezes gleich

Die Ableitung der Formel für die Fläche eines Parallelogramms reduziert sich auf die Konstruktion eines Rechtecks, das flächenmäßig einem gegebenen Parallelogramm entspricht. Wir nehmen eine Seite des Parallelogramms als Basis, und die von einem beliebigen Punkt der gegenüberliegenden Seite zu der die Basis enthaltenden Geraden gezogene Senkrechte wird die Höhe des Parallelogramms genannt. Dann ist die Fläche des Parallelogramms gleich dem Produkt aus Basis und Höhe.

Satz.Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt seiner Grundfläche mal seiner Höhe.

Nachweisen. Betrachten Sie ein Parallelogramm mit Fläche. Nehmen wir die Seite für die Basis und zeichnen die Höhen (Abbildung 2.3.1). Das ist nachzuweisen.

Abbildung 2.3.1

Beweisen wir zunächst, dass der Flächeninhalt des Rechtecks ​​ebenfalls gleich ist. Ein Trapez besteht aus einem Parallelogramm und einem Dreieck. Andererseits besteht es aus einem Rechteck NVSK und einem Dreieck. Rechtwinklige Dreiecke sind jedoch in Hypotenuse und spitzem Winkel gleich (ihre Hypotenusen sind gleich wie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms, und die Winkel 1 und 2 sind gleich wie die entsprechenden Winkel am Schnittpunkt paralleler Sekanten), sodass ihre Flächen gleich sind. Daher sind auch die Flächen des Parallelogramms und des Rechtecks ​​gleich, dh die Fläche des Rechtecks ​​ist gleich. Nach dem Rechteck-Flächen-Satz aber da, dann.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel 2.3.1.

In eine Raute mit einer Seite und einem spitzen Winkel ist ein Kreis eingeschrieben. Bestimmen Sie die Fläche eines Vierecks, dessen Eckpunkte die Tangentenpunkte des Kreises mit den Seiten der Raute sind.

Entscheidung:

Der Radius eines in eine Raute einbeschriebenen Kreises (Abbildung 2.3.2), da das Viereck ein Rechteck ist, da seine Ecken auf dem Durchmesser des Kreises basieren. Sein Bereich, wo (das Bein liegt an der Ecke).

Abbildung 2.3.2

So,

Antworten:

Beispiel 2.3.2.

Gegeben eine Raute, deren Diagonalen 3 cm und 4 cm betragen Höhen und werden vom Scheitelpunkt eines stumpfen Winkels gezeichnet Berechnen Sie die Fläche des Vierecks

Entscheidung:

Rautenbereich (Abbildung 2.3.3).

So,

Antworten:

Beispiel 2.3.3.

Die Fläche eines Vierecks ist Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, dessen Seiten gleich und parallel zu den Diagonalen des Vierecks sind.

Entscheidung:

Da und (Abbildung 2.3.4), dann ist ein Parallelogramm und daher.

Abbildung 2.3.4

Ebenso erhalten wir, woraus folgt.

Antworten:.

2.4 Fläche eines Dreiecks

Es gibt mehrere Formeln zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks. Betrachten Sie diejenigen, die in der Schule studiert werden.

Die erste Formel folgt aus der Formel für die Fläche eines Parallelogramms und wird den Schülern in Form eines Satzes angeboten.

Satz.Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus seiner Grundfläche mal seiner Höhe..

Nachweisen. Sei die Fläche des Dreiecks. Nehmen Sie die Seite der Basis des Dreiecks und zeichnen Sie die Höhe. Beweisen wir das:

Abbildung 2.4.1

Wir werden das Dreieck wie in der Abbildung gezeigt zu einem Parallelogramm vervollständigen. Dreiecke sind in drei Seiten gleich (- ihre gemeinsame Seite und als gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms), also sind ihre Flächen gleich. Daher ist die Fläche S des Dreiecks ABC gleich der Hälfte der Fläche des Parallelogramms, d.h.

Der Satz ist bewiesen.

Es ist wichtig, die Aufmerksamkeit der Schüler auf zwei Konsequenzen dieses Theorems zu lenken. Nämlich:

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hälfte des Produkts seiner Schenkel.

Wenn die Höhen zweier Dreiecke gleich sind, dann werden ihre Flächen als Basen in Beziehung gesetzt.

Diese beiden Folgerungen spielen eine wichtige Rolle bei der Lösung verschiedener Arten von Problemen. Auf der Grundlage dieses Satzes beweisen wir einen weiteren Satz, der bei der Lösung von Problemen weit verbreitet ist.

Satz. Wenn der Winkel eines Dreiecks gleich dem Winkel eines anderen Dreiecks ist, dann verhalten sich ihre Flächen wie die Produkte der Seiten, die gleiche Winkel enthalten.

Nachweisen. Seien und die Flächen von Dreiecken u, deren Winkel und gleich sind.

Abbildung 2.4.2

Beweisen wir das: .

Lass uns ein Dreieck machen. auf dem Dreieck, so dass der Scheitelpunkt mit dem Scheitelpunkt ausgerichtet ist und die Seiten sich jeweils auf den Strahlen überlappen.

Abbildung 2.4.3

Dreiecke und haben daher eine gemeinsame Höhe. Dreiecke haben auch eine gemeinsame Höhe - also z. Durch Multiplizieren der resultierenden Gleichheiten erhalten wir .

Der Satz ist bewiesen.

Zweite Formel.Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner beiden Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Formel zu beweisen, und ich werde eine davon verwenden.

Nachweisen. Aus der Geometrie ist ein Satz bekannt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich dem halben Produkt aus der Basis und der auf diese Basis abgesenkten Höhe ist:

Im Fall eines spitzen Dreiecks . Bei einem stumpfen Winkel. Ho, und deshalb . Also in beiden Fällen. Wenn wir stattdessen die geometrische Formel für die Fläche eines Dreiecks einsetzen, erhalten wir die trigonometrische Formel für die Fläche eines Dreiecks:

Der Satz ist bewiesen.

Dritte Formel für die Fläche eines Dreiecks - Heron's Formel, benannt nach dem antiken griechischen Wissenschaftler Heron von Alexandria, der im ersten Jahrhundert nach Christus lebte. Mit dieser Formel können Sie die Fläche eines Dreiecks ermitteln, indem Sie seine Seiten kennen. Es ist insofern praktisch, als Sie keine zusätzlichen Konstruktionen vornehmen und keine Winkel messen können. Seine Schlussfolgerung basiert auf der zweiten der Dreiecksflächenformeln, die wir betrachtet haben, und dem Kosinussatz: und.

Bevor wir mit der Umsetzung dieses Plans fortfahren, stellen wir dies fest

Ebenso haben wir:

Nun drücken wir den Kosinus durch und aus:

Da jeder Winkel in einem Dreieck größer oder kleiner ist, dann. Meint, .

Jetzt wandeln wir jeden der Faktoren separat in den radikalen Ausdruck um. Wir haben:

Setzen wir diesen Ausdruck in die Flächenformel ein, erhalten wir:

Das Thema "Fläche eines Dreiecks" hat im Schulmathematikunterricht eine große Bedeutung. Das Dreieck ist die einfachste geometrische Form. Sie ist ein „Strukturelement“ der Schulgeometrie. Die überwiegende Mehrheit der geometrischen Probleme läuft auf die Lösung von Dreiecken hinaus. Das Problem, die Fläche eines regelmäßigen und beliebigen n-Ecks zu finden, ist keine Ausnahme.

Beispiel 2.4.1.

Wie groß ist die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn seine Grundfläche und seine Seite gleich sind?

Entscheidung:

-gleichschenklig,

Abbildung 2.4.4

Lassen Sie uns auf die Eigenschaft eines gleichschenkligen Dreiecks zurückgreifen - Median und Höhe. Dann

In nach dem Satz des Pythagoras:

Die Fläche eines Dreiecks finden:

Antworten:

Beispiel 2.4.2.

In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Winkelhalbierende eines spitzen Winkels das gegenüberliegende Bein in Segmente mit einer Länge von 4 und 5 cm. Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks.

Entscheidung:

Let (Abbildung 2.4.5). Dann (weil BD eine Winkelhalbierende ist). Daher haben wir , also. Meint,

Abbildung 2.4.5

Antworten:

Beispiel 2.4.3.

Finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn seine Basis gleich ist und die Länge der zur Basis gezogenen Höhe gleich der Länge des Segments ist, das die Mittelpunkte der Basis und der Seite verbindet.

Entscheidung:

Nach Bedingung - die mittlere Linie (Abbildung 2.4.6). Seit wem:

oder , woher daher,

Bevor wir lernen, wie man die Fläche eines Parallelogramms findet, müssen wir uns daran erinnern, was ein Parallelogramm ist und was seine Höhe genannt wird. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind (auf parallelen Linien liegen). Die von einem beliebigen Punkt auf der gegenüberliegenden Seite zu der diese Seite enthaltenden Linie gezogene Senkrechte heißt die Höhe des Parallelogramms.

Quadrat, Rechteck und Raute sind Spezialfälle von Parallelogrammen.

Die Fläche eines Parallelogramms wird mit (S) bezeichnet.

Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Parallelogramms

S=a*h, wobei a die Basis ist, h die Höhe ist, die zur Basis gezogen wird.

S=a*b*sinα, wobei a und b die Basen sind und α der Winkel zwischen den Basen a und b ist.

S \u003d p * r, wobei p der Halbumfang ist, r der Radius des Kreises ist, der in das Parallelogramm eingeschrieben ist.

Die Fläche des durch die Vektoren a und b gebildeten Parallelogramms ist gleich dem Modul des Produkts der gegebenen Vektoren, nämlich:

Betrachten Sie Beispiel Nr. 1: Gegeben ist ein Parallelogramm mit einer Seitenlänge von 7 cm und einer Höhe von 3 cm. Um die Fläche des Parallelogramms zu ermitteln, benötigen wir eine Lösungsformel.

Also S= 7x3. S=21. Antwort: 21 cm 2.

Betrachten Sie Beispiel Nr. 2: Die Basen sind 6 und 7 cm groß, und der Winkel zwischen den Basen beträgt 60 Grad. Wie findet man die Fläche eines Parallelogramms? Zur Lösung verwendete Formel:

Also finden wir zuerst den Sinus des Winkels. Sinus 60 \u003d 0,5 bzw. S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Antwort: 21 cm 2.

Ich hoffe, dass diese Beispiele Ihnen bei der Lösung von Problemen helfen werden. Und denken Sie daran, die Hauptsache ist Formelwissen und Aufmerksamkeit