Vorstellung der Unterrichtsdifferenzierung von logarithmischen und exponentiellen Funktionen. Differenzierung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Betrachten wir die Exponentialfunktion y = a x, wobei a > 1. Erstellen wir Graphen für verschiedene Basen a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. Option) 3. y = 10 x (2. Option) 1. Erstellen wir Diagramme für verschiedene Basen a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (Option 1) 3. y = 10 x (Option 2)"> 1. Erstellen wir Diagramme für verschiedene Basen a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (Option 1) 3. y = 10 x (Option 2)"> 1. Lassen Sie uns Diagramme für verschiedene Basen erstellen: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (Option 1 ) 3 . y = 10 x (Option 2)" title=" Betrachten Sie die Exponentialfunktion y = a x, wobei a > 1. Lassen Sie uns Graphen für verschiedene Basen a konstruieren: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (Option 1) 3. y = 10 x (Option 2)"> title="Betrachten wir die Exponentialfunktion y = a x, wobei a > 1. Erstellen wir Graphen für verschiedene Basen a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. Option) 3. y = 10 x (2. Option)"> !}

Mithilfe präziser Konstruktionen von Tangenten an die Graphen kann man feststellen, dass, wenn die Basis a der Exponentialfunktion y = a x die Basis allmählich von 2 auf 10 vergrößert, der Winkel zwischen der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt x = 0 und die Abszisse steigt allmählich von 35 auf 66,5. Daher gibt es eine Basis a, für die der entsprechende Winkel 45 beträgt. Und dieser Wert von a liegt zwischen 2 und 3, weil für a = 2 ist der Winkel gleich 35, für a = 3 ist er gleich 48. Im Laufe der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass diese Basis existiert; sie wird normalerweise mit dem Buchstaben e bezeichnet. Es wurde festgestellt, dass e ist eine irrationale Zahl, d. h. sie stellt einen unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruch dar: e = 2, ... ; In der Praxis wird üblicherweise davon ausgegangen, dass e 2,7 beträgt.

Graph und Eigenschaften der Funktion y = e x: 1) D (f) = (- ; +); 2) ist weder gerade noch ungerade; 3) erhöht sich; 4) nicht von oben begrenzt, von unten begrenzt 5) hat weder den größten noch den kleinsten Wert; 6) kontinuierlich; 7) E (f) = (0; +); 8) konvex nach unten; 9) differenzierbar. Die Funktion y = e x heißt Exponent.

Im Zuge der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass die Funktion y = e x an jedem Punkt x eine Ableitung hat: (e x) = e x (e 5x)" = 5e 5x (e -4x+1)" = -4e -4x- 1 (e x -3)" = e x-3

3) -2 x) x = -2 – maximaler Punkt x = 0 – minimaler Punkt Antwort:

Eigenschaften der Funktion y = ln x: 1) D (f) = (0; +); 2) ist weder gerade noch ungerade; 3) erhöht sich um (0; +); 4) nicht beschränkt; 5) hat weder den größten noch den kleinsten Wert; 6) kontinuierlich; 7) E (f) = (-; +); 8) konvexe Oberseite; 9) differenzierbar. Diagramm und Eigenschaften der Funktion y = ln x

Im Zuge der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass für jeden Wert x>0 die Differenzierungsformel gültig ist 0 die Differenzierungsformel ist gültig"> 0 die Differenzierungsformel ist gültig"> 0 die Differenzierungsformel ist gültig" title="Im Zuge der mathematischen Analyse wird bewiesen, dass für jeden Wert x>0 die Differenzierungsformel gilt gültig"> title="Im Zuge der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass für jeden Wert x>0 die Differenzierungsformel gültig ist"> !} Internetressourcen: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html

Ableitung exponentieller und logarithmischer FunktionenLektion in Klasse 11 „B“
Lehrerin Kopova O.V.

Ableitung berechnen

oral
1.
2.
3.
3x 2 2 x 5
e
2x
3e x
4.
ln x 3
5.
34 x
6.
5 x 2 Sünde x ln 5 x
schriftlich
X
1
y log 5 x 4
7
y x 2 log 1 3x 1
2
3 1
y ln 2 x
X

X
Gegeben sei die Funktion y 2 x e. Ecke finden
Koeffizient der gezeichneten Tangente
Punkt mit Abszisse x0 0 .
Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an
Graph der Funktion f x x 5 ln x am Punkt c
Abszisse x0 1 .

Aufgabe B8 (Nr. 8319)

definiert auf Intervall 5; 10 . Finden Sie die Lücken
zunehmende Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des längsten an
Aus ihnen.

Aufgabe B8 (Nr. 9031)
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion,
definiert auf Intervall 11; 2. Finden Sie einen Punkt
Extremum der Funktion auf dem Segment 10; 5 .

Aufgabe B8 (Nr. 8795)
Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion,
definiert auf Intervall 9; 2. Finden Sie die Menge
Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion verläuft
parallel oder zusammenfallend mit der Linie y x 12.

Prototypenaufgabe B14

Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion y 4x 4 ln x 7 6 .
7 6 x x 2
Finden Sie den größten Wert der Funktion
Jahr 3
Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion
Ja 2 x 6e x 3
auf Segment 1; 2.

Algebra und Beginn der mathematischen Analyse

Differenzierung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Zusammengestellt von:

Mathematiklehrer, Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 203 KhEC

Stadt Nowosibirsk

Vidutova T.V.

Nummer e. Funktion y = e X, seine Eigenschaften, Graph, Differenzierung

1. Lassen Sie uns Diagramme für verschiedene Basen erstellen: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2. Option) (1. Option) " width="640"

Betrachten Sie die Exponentialfunktion y = a X, wobei a 1 ist.

Wir werden für verschiedene Basen bauen A Grafik:

1. y=2 X

3. y=10 X

2. y=3 X

(Option 2)

(1 Option)

1) Alle Graphen gehen durch den Punkt (0; 1);

2) Alle Graphen haben eine horizontale Asymptote y = 0

bei X  ∞;

3) Alle sind konvex nach unten gerichtet;

4) Sie alle haben an allen Punkten Tangenten.

Zeichnen wir eine Tangente an den Graphen der Funktion y=2 X am Punkt X= 0 und messen Sie den Winkel, den die Tangente mit der Achse bildet X

Mithilfe präziser Konstruktionen von Tangenten an die Diagramme können Sie feststellen, dass die Basis A Exponentialfunktion y = a X die Basis nimmt allmählich von 2 auf 10 zu, dann der Winkel zwischen der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt X= 0 und die x-Achse steigt allmählich von 35’ auf 66,5’.

Deshalb gibt es einen Grund A, für den der entsprechende Winkel 45‘ beträgt. Und das ist der Sinn A wird zwischen 2 und 3 geschlossen, weil bei A= 2 beträgt der Winkel 35’, mit A= 3 ist es gleich 48’.

Im Zuge der mathematischen Analyse wird nachgewiesen, dass diese Grundlage existiert; sie wird üblicherweise mit dem Buchstaben bezeichnet e.

Habe das festgestellt e – eine irrationale Zahl, d. h. sie stellt einen unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruch dar:

e = 2,7182818284590… ;

In der Praxis geht man meist davon aus e ≈ 2,7.

Funktionsgraph und Eigenschaften y = e X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) erhöht sich;

4) nicht von oben begrenzt, von unten begrenzt

5) hat weder das größte noch das kleinste

Werte;

6) kontinuierlich;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) konvex nach unten;

9) differenzierbar.

Funktion y = e X angerufen Exponent .

Im Zuge der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass die Funktion y = e X hat an jedem Punkt eine Ableitung X :

(z X ) = e X

(z 5x )" = 5e 5x

(z x-3 )“ = z x-3

(z -4x+1 )" = -4е -4x-1

Beispiel 1 . Zeichnen Sie eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = Bsp

Antwort:

Beispiel 2 .

X = 3.

Beispiel 3 .

Untersuchen Sie die Extremumfunktion

x=0 und x=-2

X= -2 – Maximalpunkt

X= 0 – Mindestpunktzahl

Wenn die Basis eines Logarithmus eine Zahl ist e, dann sagen sie, dass es gegeben ist natürlicher Logarithmus . Für natürliche Logarithmen wurde eine spezielle Schreibweise eingeführt ln (l – Logarithmus, n – natürlich).