(aus dem Griechischen λόγος - "Wort", "Beziehung" und ἀριθμός - "Zahl") Zahlen b aus grund a(Log α b) wird eine solche Zahl genannt c, und b= ein c, also log α b=c und b=ac sind gleichwertig. Der Logarithmus ist sinnvoll, wenn a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Mit anderen Worten Logarithmus Zahlen b aus grund a als Exponent formuliert, zu dem eine Zahl erhoben werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x= log α b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung a x = b.

Zum Beispiel:

log 2 8 = 3, weil 8=2 3 .

Wir stellen fest, dass die angegebene Formulierung des Logarithmus eine sofortige Bestimmung ermöglicht logarithmischer Wert wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine bestimmte Potenz der Basis ist. Tatsächlich ermöglicht die Formulierung des Logarithmus dies zu rechtfertigen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmus eng mit dem Thema verbunden ist Grad der Zahl.

Auf die Berechnung des Logarithmus wird verwiesen Logarithmus. Der Logarithmus ist die mathematische Operation des Logarithmierens. Beim Logarithmieren werden die Produkte von Faktoren in Summen von Termen umgewandelt.

Potenzierung ist die zum Logarithmus inverse mathematische Operation. Beim Potenzieren wird die gegebene Basis mit dem Ausdruck potenziert, auf dem die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in das Produkt der Faktoren umgewandelt.

Häufig werden reelle Logarithmen mit den Basen 2 (binär), e Euler-Zahl e ≈ 2,718 (natürlicher Logarithmus) und 10 (dezimal) verwendet.

In diesem Stadium ist es eine Überlegung wert Proben von Logarithmen Protokoll 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

Und die Einträge lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter das Vorzeichen des Logarithmus gestellt wird, im zweiten eine negative Zahl die Basis und in der dritten - und eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und der Einheit in der Basis.

Bedingungen zur Bestimmung des Logarithmus.

Es lohnt sich, die Bedingungen a > 0, a ≠ 1, b > 0 gesondert zu betrachten. Definition eines Logarithmus. Lassen Sie uns überlegen, warum diese Einschränkungen getroffen werden. Dies hilft uns bei einer Gleichheit der Form x = log α b, genannt die grundlegende logarithmische Identität, die direkt aus der oben gegebenen Definition des Logarithmus folgt.

Nehmen Sie die Bedingung a≠1. Da Eins gleich Eins zu jeder Potenz ist, ist die Gleichheit x=log α b kann nur existieren, wenn b=1, aber log 1 1 ist eine beliebige reelle Zahl. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, nehmen wir a≠1.

Beweisen wir die Notwendigkeit der Bedingung a>0. Beim a=0 nach der Formulierung des Logarithmus nur wann existieren kann b=0. Und dann entsprechend Protokoll 0 0 kann jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null hoch jede Potenz ungleich Null gleich Null ist. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, die Bedingung a≠0. Und wann a<0 die Analyse rationaler und irrationaler Werte des Logarithmus müssten wir ablehnen, da der Exponent mit rationalem und irrationalem Exponenten nur für nicht-negative Basen definiert ist. Aus diesem Grund ist die Bedingung a>0.

Und die letzte Bedingung b>0 folgt aus der Ungleichung a>0, denn x=log α b, und den Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv.

Merkmale von Logarithmen.

Logarithmen gekennzeichnet durch unverwechselbar Merkmale, was zu ihrer weit verbreiteten Verwendung führte, um sorgfältige Berechnungen erheblich zu erleichtern. Beim Übergang "in die Welt der Logarithmen" wird die Multiplikation in eine viel einfachere Addition, die Division in eine Subtraktion und Potenzieren und Wurzelziehen in eine Multiplikation bzw. Division mit einem Exponenten umgewandelt.

Die Formulierung von Logarithmen und eine Tabelle ihrer Werte (für trigonometrische Funktionen) wurde erstmals 1614 von dem schottischen Mathematiker John Napier veröffentlicht. Logarithmische Tabellen, die von anderen Wissenschaftlern vergrößert und detailliert wurden, wurden häufig in wissenschaftlichen und technischen Berechnungen verwendet und blieben relevant, bis elektronische Taschenrechner und Computer verwendet wurden.

Mit der Entwicklung der Gesellschaft, der Komplexität der Produktion, entwickelte sich auch die Mathematik. Bewegung von einfach bis komplex. Aus der üblichen Rechenmethode der Addition und Subtraktion mit ihrer wiederholten Wiederholung gelangten sie zum Begriff der Multiplikation und Division. Die Reduktion der mehrfach wiederholten Operation wurde zum Begriff der Potenzierung. Die ersten Tabellen der Abhängigkeit von Zahlen von der Basis und der Anzahl der Potenzierungen wurden bereits im 8. Jahrhundert vom indischen Mathematiker Varasena zusammengestellt. Aus ihnen können Sie die Zeit des Auftretens von Logarithmen zählen.

Historischer Abriß

Die Wiederbelebung Europas im 16. Jahrhundert beflügelte auch die Entwicklung der Mechanik. T erforderte einen großen Rechenaufwand verbunden mit der Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen. Die antiken Tafeln leisteten gute Dienste. Sie ermöglichten es, komplexe Operationen durch einfachere zu ersetzen - Addition und Subtraktion. Ein großer Schritt nach vorn war das 1544 veröffentlichte Werk des Mathematikers Michael Stiefel, in dem er die Idee vieler Mathematiker verwirklichte. Damit war es möglich, Tabellen nicht nur für Grade in Form von Primzahlen, sondern auch für beliebige rationale zu verwenden.

1614 führte der Schotte John Napier, der diese Ideen entwickelte, erstmals den neuen Begriff "Logarithmus einer Zahl" ein. Es wurden neue komplexe Tabellen zur Berechnung der Logarithmen von Sinus und Cosinus sowie von Tangenten erstellt. Dies reduzierte die Arbeit der Astronomen erheblich.

Es tauchten neue Tabellen auf, die von Wissenschaftlern drei Jahrhunderte lang erfolgreich verwendet wurden. Es verging viel Zeit, bis die neue Operation in der Algebra ihre fertige Form annahm. Der Logarithmus wurde definiert und seine Eigenschaften untersucht.

Erst im 20. Jahrhundert, mit dem Aufkommen des Taschenrechners und des Computers, gab die Menschheit die alten Tabellen auf, die im 13. Jahrhundert erfolgreich funktioniert hatten.

Heute nennen wir den Logarithmus von b, um a auf die Zahl x zu stützen, die die Potenz von a ist, um die Zahl b zu erhalten. Dies wird als Formel geschrieben: x = log a(b).

Beispielsweise ist log 3(9) gleich 2. Dies ist offensichtlich, wenn Sie der Definition folgen. Wenn wir 3 hoch 2 erhöhen, erhalten wir 9.

Die formulierte Definition setzt also nur eine Einschränkung, die Zahlen a und b müssen reell sein.

Sorten von Logarithmen

Die klassische Definition heißt reeller Logarithmus und ist eigentlich eine Lösung der Gleichung a x = b. Die Option a = 1 ist grenzwertig und uninteressant. Hinweis: 1 hoch beliebig ist 1.

Reeller Wert des Logarithmus nur definiert, wenn die Basis und das Argument größer als 0 sind, und die Basis darf nicht gleich 1 sein.

Besonderer Platz im Bereich Mathematik spielen Logarithmen, die nach dem Wert ihrer Basis benannt werden:

Regeln und Einschränkungen

Die grundlegende Eigenschaft von Logarithmen ist die Regel: Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der logarithmischen Summe. log abp = log a(b) + log a(p).

Als Variante dieser Aussage gilt: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), die Quotientenfunktion ist gleich der Differenz der Funktionen.

Aus den beiden vorherigen Regeln ist leicht ersichtlich, dass: log a(b p) = p * log a(b).

Weitere Eigenschaften sind:

Kommentar. Machen Sie keinen allgemeinen Fehler - der Logarithmus der Summe ist nicht gleich der Summe der Logarithmen.

Viele Jahrhunderte lang war die Suche nach dem Logarithmus eine ziemlich zeitaufwändige Aufgabe. Mathematiker verwendeten die bekannte Formel der logarithmischen Theorie der Entwicklung in ein Polynom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), wobei n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, die die Genauigkeit der Berechnung bestimmt.

Logarithmen mit anderen Basen wurden mit dem Satz über den Übergang von einer Basis zur anderen und der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts berechnet.

Da diese Methode sehr aufwendig ist u bei der Lösung praktischer Probleme schwierig zu implementieren, verwendeten sie vorkompilierte Logarithmentabellen, was die gesamte Arbeit erheblich beschleunigte.

In einigen Fällen wurden speziell zusammengestellte Logarithmendiagramme verwendet, die weniger genau waren, aber die Suche nach dem gewünschten Wert erheblich beschleunigten. Die Kurve der Funktion y = log a(x), die auf mehreren Punkten aufgebaut ist, ermöglicht es, mit dem üblichen Lineal die Werte der Funktion an jedem anderen Punkt zu finden. Lange Zeit nutzten Ingenieure für diese Zwecke das sogenannte Millimeterpapier.

Im 17. Jahrhundert erschienen die ersten analogen Hilfsrechner, die im 19. Jahrhundert eine fertige Form angenommen hatten. Das erfolgreichste Gerät hieß Rechenschieber. Trotz der Einfachheit des Geräts hat sein Erscheinungsbild den Prozess aller technischen Berechnungen erheblich beschleunigt, und dies ist schwer zu überschätzen. Derzeit sind nur wenige Menschen mit diesem Gerät vertraut.

Das Aufkommen von Taschenrechnern und Computern machte es sinnlos, andere Geräte zu verwenden.

Gleichungen und Ungleichungen

Die folgenden Formeln werden verwendet, um verschiedene Gleichungen und Ungleichungen mit Hilfe von Logarithmen zu lösen:

• Übergang von einer Basis zur anderen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Als Folge der vorherigen Version: log a(b) = 1 / log b(a).

Um Ungleichungen zu lösen, ist es nützlich zu wissen:

• Der Wert des Logarithmus ist nur dann positiv, wenn sowohl die Basis als auch das Argument größer oder kleiner als eins sind; wenn mindestens eine Bedingung verletzt wird, ist der Wert des Logarithmus negativ.
• Wenn die Logarithmusfunktion auf die rechte und linke Seite der Ungleichung angewendet wird und die Basis des Logarithmus größer als eins ist, wird das Vorzeichen der Ungleichung beibehalten; andernfalls ändert es sich.

Aufgabenbeispiele

Betrachten Sie mehrere Optionen für die Verwendung von Logarithmen und ihren Eigenschaften. Beispiele zum Lösen von Gleichungen:

Betrachten Sie die Möglichkeit, den Logarithmus in den Grad zu stellen:

• Aufgabe 3. Berechnen Sie 25^log 5(3). Lösung: Unter den Bedingungen des Problems ähnelt die Notation der folgenden (5^2)^log5(3) oder 5^(2 * log 5(3)). Schreiben wir es anders: 5^log 5(3*2), oder das Quadrat einer Zahl als Funktionsargument kann als Quadrat der Funktion selbst geschrieben werden (5^log 5(3))^2. Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen ist dieser Ausdruck 3^2. Antwort: Als Ergebnis der Berechnung erhalten wir 9.

Praktischer Nutzen

Als rein mathematisches Werkzeug scheint es weit entfernt vom wirklichen Leben, dass der Logarithmus plötzlich eine große Bedeutung bei der Beschreibung von Objekten in der realen Welt erlangt hat. Es ist schwierig, eine Wissenschaft zu finden, wo sie nicht verwendet wird. Dies gilt uneingeschränkt nicht nur für die naturwissenschaftlichen, sondern auch für die geisteswissenschaftlichen Wissensgebiete.

Logarithmische Abhängigkeiten

Hier sind einige Beispiele für numerische Abhängigkeiten:

Mechanik und Physik

Historisch gesehen haben sich Mechanik und Physik immer mit mathematischen Forschungsmethoden entwickelt und dienten gleichzeitig als Ansporn für die Entwicklung der Mathematik, einschließlich der Logarithmen. Die Theorie der meisten Gesetze der Physik ist in der Sprache der Mathematik geschrieben. Wir geben nur zwei Beispiele für die Beschreibung physikalischer Gesetze mit Hilfe des Logarithmus.

Es ist möglich, das Problem der Berechnung einer so komplexen Größe wie der Geschwindigkeit einer Rakete mit der Tsiolkovsky-Formel zu lösen, die den Grundstein für die Theorie der Weltraumforschung legte:

V = I * ln(M1/M2), wobei

• V ist die Endgeschwindigkeit des Flugzeugs.
• I ist der spezifische Impuls des Motors.
• M 1 ist die Anfangsmasse der Rakete.
• M 2 - Endmasse.

Ein weiteres wichtiges Beispiel- dies ist die Verwendung in der Formel eines anderen großen Wissenschaftlers, Max Planck, die dazu dient, den Gleichgewichtszustand in der Thermodynamik zu bewerten.

S = k * ln (Ω), wobei

• S ist eine thermodynamische Eigenschaft.
• k ist die Boltzmann-Konstante.
• Ω ist das statistische Gewicht verschiedener Zustände.

Chemie

Weniger offensichtlich wäre die Verwendung von Formeln in der Chemie, die das Verhältnis von Logarithmen enthalten. Hier nur zwei Beispiele:

• Die Nernst-Gleichung, die Bedingung des Redoxpotentials des Mediums in Bezug auf die Aktivität von Stoffen und die Gleichgewichtskonstante.
• Auch die Berechnung von Konstanten wie dem Autoprolyseindex und der Acidität der Lösung ist ohne unsere Funktion nicht vollständig.

Psychologie und Biologie

Und es ist völlig unverständlich, was die Psychologie damit zu tun hat. Es stellt sich heraus, dass die Stärke der Empfindung durch diese Funktion gut als umgekehrtes Verhältnis des Intensitätswerts des Reizes zum niedrigeren Intensitätswert beschrieben wird.

Nach den obigen Beispielen ist es nicht mehr verwunderlich, dass das Thema Logarithmen auch in der Biologie weit verbreitet ist. Ganze Bände können über biologische Formen geschrieben werden, die logarithmischen Spiralen entsprechen.

Andere Gebiete

Es scheint, dass die Existenz der Welt ohne Verbindung mit dieser Funktion unmöglich ist, und sie regelt alle Gesetze. Vor allem, wenn die Naturgesetze mit einem geometrischen Verlauf verbunden sind. Es lohnt sich, auf die MatProfi-Website zu verweisen, und es gibt viele solcher Beispiele in den folgenden Tätigkeitsbereichen:

Die Liste könnte endlos sein. Wenn Sie die Grundgesetze dieser Funktion beherrschen, können Sie in die Welt der unendlichen Weisheit eintauchen.

Eines der Elemente der primitiven Algebra ist der Logarithmus. Der Name kommt aus der griechischen Sprache von dem Wort „Zahl“ oder „Grad“ und bedeutet den Grad, um den es notwendig ist, die Zahl an der Basis zu erhöhen, um die endgültige Zahl zu finden.

Arten von Logarithmen

• log a b ist der Logarithmus der Zahl b zur Basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - dezimaler Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10, a = 10);
• ln b - natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, a = e).

Wie löst man Logarithmen?

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist ein Exponent, der erfordert, dass die Basis a zur Zahl b erhoben wird. Das Ergebnis wird so ausgesprochen: „Logarithmus von b zur Basis von a“. Die Lösung für logarithmische Probleme besteht darin, dass Sie den angegebenen Grad durch die Zahlen durch die angegebenen Zahlen bestimmen müssen. Es gibt einige Grundregeln, um den Logarithmus zu bestimmen oder zu lösen, sowie die Notation selbst umzuwandeln. Mit ihnen werden logarithmische Gleichungen gelöst, Ableitungen gefunden, Integrale gelöst und viele andere Operationen durchgeführt. Grundsätzlich ist die Lösung des Logarithmus selbst seine vereinfachte Notation. Nachfolgend sind die wichtigsten Formeln und Eigenschaften aufgeführt:

Für ein ; a > 0; a ≠ 1 und für jedes x ; y > 0.

• a log a b = b ist die grundlegende logarithmische Identität
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , für k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - Formel für den Übergang zu einer neuen Basis
• log a x = 1/log x a

Logarithmen lösen - Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Lösen

• Schreiben Sie zuerst die benötigte Gleichung auf.

Bitte beachten Sie: Wenn der Basislogarithmus 10 ist, wird der Datensatz gekürzt, es wird ein Dezimallogarithmus erhalten. Wenn es eine natürliche Zahl e gibt, schreiben wir sie auf und reduzieren sie auf einen natürlichen Logarithmus. Das bedeutet, dass das Ergebnis aller Logarithmen die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert wird, um die Zahl b zu erhalten.

Die Lösung liegt direkt in der Berechnung dieses Grades. Bevor ein Ausdruck mit einem Logarithmus gelöst wird, muss er gemäß der Regel vereinfacht werden, dh mit Formeln. Sie können die wichtigsten Identitäten finden, indem Sie im Artikel ein wenig zurückgehen.

Ersetzen Sie beim Addieren und Subtrahieren von Logarithmen mit zwei verschiedenen Zahlen, aber mit derselben Basis, durch einen einzelnen Logarithmus mit dem Produkt oder der Division der Zahlen b bzw. c. In diesem Fall können Sie die Übergangsformel auf eine andere Basis anwenden (siehe oben).

Wenn Sie Ausdrücke verwenden, um den Logarithmus zu vereinfachen, müssen Sie einige Einschränkungen beachten. Und das heißt: Die Basis des Logarithmus a ist nur eine positive Zahl, aber nicht gleich eins. Die Zahl b muss wie a größer als Null sein.

Es gibt Fälle, in denen Sie nach Vereinfachung des Ausdrucks den Logarithmus nicht in numerischer Form berechnen können. Es kommt vor, dass ein solcher Ausdruck keinen Sinn ergibt, weil viele Grade irrationale Zahlen sind. Belassen Sie unter dieser Bedingung die Potenz der Zahl als Logarithmus.

Der Logarithmus einer Zahl N aus grund a heißt Exponent X , auf die Sie erhöhen müssen a um die Nummer zu bekommen N

Unter der Vorraussetzung, dass
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt, dass
, d.h.
- diese Gleichheit ist die grundlegende logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden Dezimallogarithmen genannt. Anstatt
schreiben
.

Basislogarithmen e heißen natürlich und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Der Logarithmus der Einheit für jede Basis ist Null

Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

3) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen

Faktor
wird der Übergangsmodul von Logarithmen an der Basis genannt a zu Logarithmen an der Basis b .

Mit den Eigenschaften 2-5 ist es oft möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen mit Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen des Logarithmus heißen Logarithmen. Reziproke Transformationen von Logarithmen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Funktionsgrenze
ist eine endliche Zahl A, wenn, beim Streben xx 0 für jeden vorgegebenen
, es gibt eine Nummer
das sobald
, dann
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich davon um einen infinitesimalen Betrag:
, wobei - b.m.w., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j geht auf null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Die Grenze eines konstanten Werts ist gleich diesem konstanten Wert

.

Der Grenzwert der Summe (Differenz) endlich vieler Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert eines Produkts endlich vieler Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners ungleich Null ist.

Bemerkenswerte Grenzen

,
, wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings lassen sich nicht alle Limits so einfach berechnen. Häufiger wird die Berechnung des Limits auf die Offenlegung der Typunsicherheit reduziert: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Streit bekam etwas Auftrieb
. Dann wird die Funktion inkrementiert
.

Argumentwert entspricht dem Wert der Funktion
.

Argumentwert
entspricht dem Wert der Funktion .

Somit, .

Lassen Sie uns den Grenzwert dieser Beziehung bei finden
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition der 3. Ableitung einer gegebenen Funktion
durch argument wird die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments genannt, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null geht.

Ableitung der Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Finden der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Differenzierung.

2.1. Die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Betrachten Sie die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann lassen bewegender Punkt
war auf Distanz aus der Startposition
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück weit
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes
. Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses unter Berücksichtigung dessen
.

Folglich reduziert sich die Bestimmung der momentanen Geschwindigkeit eines materiellen Punktes auf die Bestimmung der Ableitung der Bahn nach der Zeit.

2.2. Geometrischer Wert der Ableitung

Angenommen, wir haben eine grafisch definierte Funktion
.

Reis. 1. Die geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn ein
, dann der Punkt
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Somit
, d.h. der Wert der Ableitung bei gegebenem Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem gegebenen Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Umgekehrte trigonometrische Funktion

2.4. Abgrenzungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung einer komplexen Funktion.

Lassen Sie die Funktion
so dass es dargestellt werden kann

und
, wobei die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel2.

3. Funktionsdifferential.

Lass es sein
, differenzierbar in einem gewissen Intervall
Loslassen beim Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann kannst du schreiben

(1),

wo - eine unendlich kleine Menge,

denn bei

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Woher
- b.m.v. Auftrag von oben.

Wert
heißt Differential der Funktion
und bezeichnet

.

3.1. Der geometrische Wert des Differentials.

Lassen Sie die Funktion
.

Abb.2. Die geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an dem gegebenen Punkt.

3.2. Derivate und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Wenn es gibt
, dann
heißt erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung n-ter Ordnung der Funktion
heißt Ableitung der Ordnung (n-1) und lautet:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird als zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung bezeichnet.

.

.

3.3 Lösen biologischer Probleme durch Differenzieren.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen dem Gesetz gehorcht
, wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), t – Zeit (Tage).

b) Wird die Bevölkerung der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antworten. Die Kolonie wird an Größe zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu kontrollieren. Durch t Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration durch das Verhältnis bestimmt

.

Wann wird die Mindestkonzentration an Bakterien im See erreicht und es wird möglich sein, darin zu schwimmen?

Lösung Eine Funktion erreicht Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns bestimmen, ob das Maximum oder Minimum in 6 Tagen sein wird. Dazu nehmen wir die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.

Definition von Logarithmus

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist der Exponent, auf den du a erhöhen musst, um b zu erhalten.

Die Zahl E In der Mathematik ist es üblich, die Grenze anzugeben, zu der der Ausdruck tendiert

Zahl z ist ein irrationale Zahl- eine mit eins inkommensurable Zahl, die weder als Ganzes noch als Bruch genau ausgedrückt werden kann rational Anzahl.

Buchstabe e- der erste Buchstabe eines lateinischen Wortes entlasten- zur Schau stellen, daher der Name in der Mathematik exponentiell- Exponentialfunktion.

Anzahl e weit verbreitet in der Mathematik und in allen Wissenschaften, die auf die eine oder andere Weise mathematische Berechnungen für ihre Bedürfnisse verwenden.

Logarithmen. Eigenschaften von Logarithmen

Definition: Der Basislogarithmus einer positiven Zahl b ist der Exponent c, mit dem die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Logarithmische Grundidentität:

7) Formel für den Übergang zu einer neuen Basis:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Aufgaben und Tests zum Thema „Logarithmen. Eigenschaften von Logarithmen»

• Logarithmen - Wichtige Themen zur Wiederholung der Klausur in Mathematik

Um Aufgaben zu diesem Thema erfolgreich abzuschließen, müssen Sie die Definition des Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen, die grundlegende logarithmische Identität, die Definitionen von Dezimal- und natürlichen Logarithmen kennen. Die Haupttypen von Aufgaben zu diesem Thema sind Aufgaben zum Berechnen und Umwandeln von logarithmischen Ausdrücken. Betrachten wir ihre Lösung anhand der folgenden Beispiele.

Entscheidung: Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen erhalten wir

Entscheidung: Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades erhalten wir

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Eigenschaften von Logarithmen, Formulierungen und Beweise.

Logarithmen haben eine Reihe charakteristischer Eigenschaften. In diesem Artikel werden wir die wichtigsten analysieren Eigenschaften von Logarithmen. Hier geben wir ihre Formulierungen an, schreiben die Eigenschaften von Logarithmen in Form von Formeln auf, zeigen Anwendungsbeispiele und geben auch Beweise für die Eigenschaften von Logarithmen.

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Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen, Formeln

Zur Erleichterung des Erinnerns und Verwendens präsentieren wir grundlegende Eigenschaften von Logarithmen als Formelliste. Im nächsten Abschnitt geben wir ihre Formulierungen, Beweise, Anwendungsbeispiele und notwendige Erklärungen.

Unit-Log-Eigenschaft: log a 1=0 für alle a>0 , a≠1 .

Der Logarithmus einer Zahl gleich der Basis: log a a=1 für a>0 , a≠1 .

Eigenschaft des Basisgradlogarithmus: log a a p = p , wobei a>0 , a≠1 und p eine beliebige reelle Zahl ist.

Der Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
und die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts von n positiven Zahlen: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x1 >0, x2 >0, …, xn >0 .

Private Logarithmus-Eigenschaft: , wobei a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Logarithmus der Potenz einer Zahl: log a b p = p log a |b| , wobei a > 0 , a ≠ 1 , b und p solche Zahlen sind, dass der Grad von b p sinnvoll und b p > 0 ist.

Folge: , wobei a>0 , a≠1 , n eine natürliche Zahl größer als eins ist, b>0 .

Folge 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Folge 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p und q sind reelle Zahlen, q≠0 insbesondere für b=a gilt .

Aussagen und Eigenschaftsnachweise

Wir gehen zur Formulierung und zum Beweis der aufgezeichneten Eigenschaften von Logarithmen über. Alle Eigenschaften von Logarithmen werden anhand der Definition des Logarithmus und der daraus folgenden logarithmischen Grundidentität sowie der Gradeigenschaften bewiesen.

Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus der Einheit. Seine Formulierung lautet wie folgt: Der Logarithmus der Einheit ist gleich Null, das heißt, log eine 1=0 für jedes a>0 , a≠1 . Der Beweis ist einfach: Da a 0 =1 für jedes a, das die obigen Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt aus der Definition des Logarithmus sofort die bewiesene Gleichheit log a 1=0.

Lassen Sie uns Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft geben: log 3 1=0 , lg1=0 und .

Kommen wir zur nächsten Eigenschaft: Der Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ist gleich eins, also, log a a = 1 für a>0 , a≠1 . In der Tat, da a 1 = a für jedes a , dann ist nach der Definition des Logarithmus log a a = 1 .

Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind log 5 5=1 , log 5.6 5.6 und lne=1 .

Der Logarithmus der Potenz einer Zahl gleich der Basis des Logarithmus ist gleich dem Exponenten. Diese Eigenschaft des Logarithmus entspricht einer Formel der Form log a a p = p, wobei a>0 , a≠1 und p eine beliebige reelle Zahl ist. Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition des Logarithmus. Beachten Sie, dass Sie den Wert des Logarithmus sofort angeben können. Wenn es möglich ist, die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus als Grad der Basis darzustellen, werden wir im Artikel Logarithmen berechnen mehr darüber sprechen.

Zum Beispiel log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 und .

Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Grades a log a x + log a y =a log a x a log a y , und da nach der logarithmischen Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y , dann ist a log a x a log a y =x y . Also a log a x+log a y = x y , woraus die geforderte Gleichheit durch die Definition des Logarithmus folgt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

Die Eigenschaft des Produktlogarithmus lässt sich verallgemeinern auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Diese Gleichheit lässt sich leicht mit der Methode der mathematischen Induktion beweisen.

Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus eines Produkts durch die Summe dreier natürlicher Logarithmen der Zahlen 4 , e , und ersetzt werden.

Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y sind gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Eigenschaft des Quotientenlogarithmus entspricht einer Formel der Form , wobei a>0 , a≠1 , x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel wird wie die Formel für den Logarithmus des Produkts bewiesen: seit , dann durch die Definition des Logarithmus .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Gradlogarithmus. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Wir schreiben diese Eigenschaft des Gradlogarithmus in Form einer Formel: log a b p = p log a |b|, wobei a > 0 , a ≠ 1 , b und p solche Zahlen sind, dass der Grad von b p sinnvoll und b p > 0 ist.

Wir beweisen diese Eigenschaft zunächst für positives b . Die grundlegende logarithmische Identität erlaubt es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann ist b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p log a b . So gelangen wir zur Gleichung b p = a p log a b , woraus wir durch die Definition des Logarithmus schließen, dass log a b p = p log a b .

Es bleibt diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier bemerken wir, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grads b p größer als Null sein muss, sonst macht der Logarithmus keinen Sinn), und in diesem Fall b p = |b| p . Dann ist b p = |b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , woher log a b p = p log a |b| .

Zum Beispiel, und ln(–3) 4 =4 ln|–3|=4 ln3 .

Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: der Logarithmus der Wurzel n-ten Grades ist gleich dem Produkt aus dem Bruch 1/n und dem Logarithmus des Wurzelausdrucks, d. h. wobei a>0, a≠1, n eine natürliche Zahl größer als eins ist, b>0.

Der Beweis basiert auf einer Gleichheit (siehe Exponentendefinition mit gebrochenem Exponenten), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Gradlogarithmus: .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

Jetzt beweisen wir es Umrechnungsformel zur neuen Basis des Logarithmus nett . Dazu genügt es, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität erlaubt es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt die Eigenschaft des Logarithmus des Grades zu verwenden: log c a log a b = log a b log c a . Damit ist die Gleichheit log c b=log a b log c a bewiesen, womit auch die Formel für den Übergang auf eine neue Basis des Logarithmus bewiesen ist .

Lassen Sie uns ein paar Beispiele für die Anwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Beispielsweise kann damit auf natürliche oder dezimale Logarithmen umgeschaltet werden, um den Wert des Logarithmus aus einer Logarithmentabelle zu berechnen. Die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu finden, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

Häufig wird ein Sonderfall der Übergangsformel zu einer neuen Basis des Logarithmus für c=b der Form verwendet. Dies zeigt, dass log a b und log b a zueinander inverse Zahlen sind. Z.B, .

Die Formel wird auch oft verwendet, was praktisch ist, um Logarithmuswerte zu finden. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie der Wert des Logarithmus des Formulars damit berechnet wird. Wir haben . Zum Beweis der Formel genügt es, die Übergangsformel zur neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

Es bleibt noch, die Vergleichseigenschaften von Logarithmen zu beweisen.

Wenden wir die umgekehrte Methode an. Angenommen, dass für a 1 >1 , a 2 >1 und a 1 2 und für 0 1 log a 1 b ≤ log a 2 b wahr ist. Durch die Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤ log b a 2 bzw. log b a 1 ≥ log b a 2 ist. Dann müssen aufgrund der Eigenschaften von Potenzen mit gleichen Basen die Gleichungen b log b a 1 ≥ b log b a 2 und b log b a 1 ≥ b log b a 2 erfüllt sein, dh a 1 ≥ a 2 . Damit sind wir bei einem Widerspruch zur Bedingung a 1 2 angelangt. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

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Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und log a y . Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an - und sehen Sie:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 6 4 + log 6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, diese Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:

[Bilderüberschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus log a x. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

[Bilderüberschrift]

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

[Bilderüberschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass die Basis und das Argument des Logarithmus vertauscht werden können, aber der gesamte Ausdruck „umgedreht“ wird, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

[Bilderüberschrift]

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

[Bilderüberschrift]

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

[Bilderüberschrift]

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

1. n = log ein ein n

2. Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

   Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es wird die grundlegende logarithmische Identität genannt.

   Was passiert in der Tat, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Zahl b mit dieser Potenz die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Zahl a . Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele "hängen" daran.

   Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

   [Bilderüberschrift]

   Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 - nehmen Sie einfach das Quadrat der Basis und das Argument des Logarithmus. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

   [Bilderüberschrift]

   Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

   Logarithmische Einheit und logarithmische Null

   Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

   1. log a a = 1 ist die logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
   2. log a 1 = 0 ist logarithmisch Null. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn eine 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

   Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Lade den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucke ihn aus – und löse die Aufgaben.

   Logarithmus. Eigenschaften des Logarithmus (Addition und Subtraktion).

   Eigenschaften des Logarithmus aus seiner Definition folgen. Und damit der Logarithmus der Zahl b aus grund a definiert als der Exponent, zu dem eine Zahl erhöht werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

   Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung ax=b. Zum Beispiel, Protokoll 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das zu begründen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich mit. Klar ist auch, dass das Thema Logarithmus eng mit dem Thema der Potenz einer Zahl zusammenhängt.

   Mit Logarithmen kannst du, wie mit allen Zahlen, durchführen Addition, Subtraktionsoperationen und auf jede erdenkliche Weise umwandeln. Aber in Anbetracht der Tatsache, dass Logarithmen keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gelten hier eigene Sonderregeln, die genannt werden Grundeigenschaften.

   Addition und Subtraktion von Logarithmen.

   Nimm zwei Logarithmen mit derselben Basis: Protokoll x und log a y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

   Wie wir sehen, Summe der Logarithmen gleich dem Logarithmus des Produkts, und Unterschied Logarithmen- der Logarithmus des Quotienten. Und das ist wahr, wenn die Zahlen a, X und beim positiv u a ≠ 1.

   Es ist wichtig zu beachten, dass der Hauptaspekt in diesen Formeln die gleichen Basen sind. Weichen die Basen voneinander ab, gelten diese Regeln nicht!

   Die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen mit gleichen Basen werden nicht nur von links nach rechts gelesen, sondern auch umgekehrt. Als Ergebnis haben wir die Sätze für den Logarithmus des Produkts und den Logarithmus des Quotienten.

   Logarithmus des Produkts zwei positive Zahlen ist gleich der Summe ihrer Logarithmen ; Wenn wir diesen Satz umschreiben, erhalten wir Folgendes, wenn die Zahlen a, x und beim positiv u a ≠ 1, dann:

   Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors. Mit anderen Worten, wenn die Zahlen a, X und beim positiv u a ≠ 1, dann:

   Zur Lösung wenden wir die obigen Sätze an Beispiele:

   Wenn Zahlen x und beim sind dann negativ Produkt Logarithmus Formel wird bedeutungslos. Es ist also verboten zu schreiben:

   da die Ausdrücke log 2 (-8) und log 2 (-4) überhaupt nicht definiert sind (die logarithmische Funktion beim= Protokoll 2 X nur für positive Werte des Arguments definiert X).

   Produktsatz gilt nicht nur für zwei, sondern für eine unbegrenzte Anzahl von Faktoren. Das bedeutet für jeden Naturmenschen k und alle positiven Zahlen x 1 , x 2 , . . . ,x n Es gibt eine Identität:

   Aus Quotienten-Logarithmus-Theoreme Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann erhalten werden. Es ist bekannt, dass log a 1 = 0, also

   Es gibt also eine Gleichheit:

   Logarithmen zweier reziproker Zahlen auf der gleichen Basis unterscheiden sich nur im Vorzeichen. So:

   Logarithmus. Eigenschaften von Logarithmen

   Logarithmus. Eigenschaften von Logarithmen

   Denken Sie an Gleichberechtigung. Nennen Sie uns die Werte und und wir wollen den Wert von finden.

   Das heißt, wir suchen nach einem Exponenten, zu dem Sie einen Hahn bekommen müssen.

   Lassen die Variable jeden realen Wert annehmen kann, dann werden den Variablen die folgenden Beschränkungen auferlegt: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Wenn wir die Werte von und kennen und vor der Aufgabe stehen, das Unbekannte zu finden, wird zu diesem Zweck eine mathematische Operation eingeführt, die aufgerufen wird Logarithmus.

   Um den Wert zu finden, nehmen wir Logarithmus einer Zahl An Stiftung :

   Der Logarithmus einer Zahl zur Basis ist der Exponent, auf den Sie erhöhen müssen, um zu erhalten.

   Also grundlegende logarithmische Identität:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   ist im Wesentlichen eine mathematische Notation Logarithmus Definitionen.

   Die mathematische Operation Logarithmus ist also die Umkehrung der Potenzierung Eigenschaften von Logarithmen sind eng mit den Eigenschaften des Grades verbunden.

   Wir listen die wichtigsten auf Eigenschaften von Logarithmen:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=“d1″/>

   4.

   5.

   Die folgende Gruppe von Eigenschaften ermöglicht es Ihnen, den Exponenten des Ausdrucks unter dem Vorzeichen des Logarithmus darzustellen oder an der Basis des Logarithmus als Koeffizient vor dem Vorzeichen des Logarithmus zu stehen:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Die nächste Gruppe von Formeln ermöglicht es Ihnen, von einem Logarithmus mit einer bestimmten Basis zu einem Logarithmus mit einer beliebigen Basis zu gehen, und wird aufgerufen Übergangsformeln auf eine neue Basis:

   10.

   12. (Folge aus Eigenschaft 11)

   

   Die folgenden drei Eigenschaften sind nicht sehr bekannt, werden aber häufig beim Lösen von logarithmischen Gleichungen oder beim Vereinfachen von Ausdrücken verwendet, die Logarithmen enthalten:

   13.

   14.

   15.

   Spezialfälle:

   — dezimaler Logarithmus

   — natürlicher Logarithmus

   Bei der Vereinfachung von Ausdrücken, die Logarithmen enthalten, wird ein allgemeiner Ansatz angewendet:

   1. Wir stellen Dezimalbrüche in Form gewöhnlicher Brüche dar.

   2. Wir stellen gemischte Zahlen als unechte Brüche dar.

   3. Die Zahlen an der Basis des Logarithmus und unter dem Vorzeichen des Logarithmus werden in Primfaktoren zerlegt.

   4. Wir versuchen, alle Logarithmen auf dieselbe Basis zu bringen.

   5. Wende die Eigenschaften von Logarithmen an.

   Schauen wir uns Beispiele für die Vereinfachung von Ausdrücken an, die Logarithmen enthalten.

   Beispiel 1

   Berechnung:

   Vereinfachen wir alle Exponenten: Unsere Aufgabe ist es, sie in Logarithmen zu bringen, deren Basis dieselbe Zahl ist wie die Basis des Exponenten.

   ==(durch Eigenschaft 7)=(durch Eigenschaft 6) =

   Setzen Sie die erhaltenen Indikatoren in den ursprünglichen Ausdruck ein. Wir bekommen:

   Antwort: 5.25

   Beispiel 2 Berechnen:

   

   Wir bringen alle Logarithmen zur Basis 6 (in diesem Fall „wandern“ die Logarithmen vom Nenner des Bruchs zum Zähler):

   Zerlegen wir die Zahlen unter dem Vorzeichen des Logarithmus in Primfaktoren:

   Eigenschaften 4 und 6 anwenden:

   Wir stellen den Ersatz vor

   Wir bekommen:

   Antwort 1

   Logarithmus . Grundlegende logarithmische Identität.

   Eigenschaften von Logarithmen. Dezimaler Logarithmus. natürlicher Logarithmus.

   Logarithmus positive Zahl N in der Basis (b > 0, b 1) wird der Exponent x genannt, auf den Sie b erhöhen müssen, um N zu erhalten .

   Dieser Eintrag entspricht dem Folgenden: b x = N .

   BEISPIELE: log 3 81 = 4 seit 3 ​​4 = 81 ;

   Protokoll 1/3 27 = – 3 weil (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Die obige Definition des Logarithmus kann als Identität geschrieben werden:

   

   Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

   2) log 1 = 0 weil b 0 = 1 .

   3) Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:

   4) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors:

   5) Der Logarithmus des Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis:

   Die Konsequenz dieser Eigenschaft ist die folgende: Log-Root ist gleich dem Logarithmus der Wurzelzahl dividiert durch die Potenz der Wurzel:

   

   6) Wenn die Basis des Logarithmus eine Potenz ist, dann der Wert der Kehrwert des Exponenten lässt sich aus dem Reimlogzeichen entnehmen:

   

   Die letzten beiden Eigenschaften können zu einer kombiniert werden:

   

   7) Die Formel für den Übergangsmodul (also den Übergang von einer Basis des Logarithmus zu einer anderen Basis):

   

   Im Einzelfall wann N = ein wir haben:

   

   Dezimaler Logarithmus namens Basislogarithmus 10. Es wird mit lg bezeichnet, d.h. Protokoll 10 N= anmelden N. Logarithmen der Zahlen 10, 100, 1000, . p sind jeweils 1, 2, 3, …, d.h. habe so viel positives

   Einheiten, wie viele Nullen sind in der Logarithmuszahl nach eins. Logarithmen der Zahlen 0,1, 0,01, 0,001, . p sind jeweils –1, –2, –3, …, d.h. so viele negative Einsen haben, wie es Nullen in der Logarithmuszahl vor der Eins gibt (einschließlich ganzer Nullen). Die Logarithmen der restlichen Zahlen haben einen Bruchteil namens Mantisse. Der ganzzahlige Teil des Logarithmus wird aufgerufen charakteristisch. Für praktische Anwendungen sind dezimale Logarithmen am bequemsten.

   natürlicher Logarithmus namens Basislogarithmus e. Es wird mit ln bezeichnet, d.h. Protokoll e N=ln N. Anzahl e irrational ist, ist sein ungefährer Wert 2,718281828. Es ist die Grenze, auf die die Zahl (1 + 1 / n) n mit unbegrenzter Steigerung n(cm. erste wunderbare Grenze auf der Seite Nummernkreislimits).
   So seltsam es scheinen mag, natürliche Logarithmen haben sich als sehr praktisch erwiesen, wenn verschiedene Operationen im Zusammenhang mit der Analyse von Funktionen durchgeführt wurden. Basislogarithmen berechnen e viel schneller als jede andere Basis.

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