Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion zweier Variablen
1. Die Funktion sei in einer Umgebung des Punktes stetig differenzierbar und habe stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung (rein und gemischt).
2. Bezeichne durch die Determinante zweiter Ordnung
Extremum variable Vortragsfunktion
Satz
Wenn der Punkt mit Koordinaten ein stationärer Punkt für die Funktion ist, dann:
A) Wenn es sich um einen Punkt mit lokalem Extremum handelt und bei einem lokalen Maximum ein lokales Minimum;
C) wenn der Punkt kein lokaler Extrempunkt ist;
C) wenn, vielleicht beides.
Nachweisen
Wir schreiben die Taylor-Formel für die Funktion, wobei wir uns auf zwei Glieder beschränken:
Da der Punkt nach der Bedingung des Satzes stationär ist, sind die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung gleich Null, d.h. und. Dann
Bezeichnen
Dann nimmt das Inkrement der Funktion die Form an:
Aufgrund der Stetigkeit partieller Ableitungen zweiter Ordnung (rein und gemischt) können wir gemäß der Bedingung des Satzes an einem Punkt schreiben:
Wo oder; ,
1. Seien und, d.h. oder.
2. Wir multiplizieren das Inkrement der Funktion und dividieren durch, wir erhalten:
3. Ergänzen Sie den Ausdruck in geschweiften Klammern zum vollen Quadrat der Summe:
4. Der Ausdruck in geschweiften Klammern ist nichtnegativ, da
5. Also, wenn und daher, und, dann und, daher ist der Punkt laut Definition ein Punkt mit lokalem Minimum.
6. Wenn und bedeutet, und dann ist ein Punkt mit Koordinaten per Definition ein lokaler Maximumpunkt.
2. Betrachten Sie ein quadratisches Trinom, seine Diskriminante, .
3. Wenn, dann gibt es solche Punkte, dass das Polynom
4. Das Gesamtinkrement der Funktion an einem Punkt gemäß dem in I erhaltenen Ausdruck schreiben wir in der Form:
5. Aufgrund der Stetigkeit der partiellen Ableitungen zweiter Ordnung können wir dies durch die Bedingung des Satzes an einem Punkt schreiben
Daher gibt es eine Umgebung eines Punktes, so dass für jeden Punkt das quadratische Trinom größer als Null ist:
6. Betrachten Sie - die Nachbarschaft des Punktes.
Wählen wir einen beliebigen Wert, das ist also der Punkt. Unter der Annahme, dass in der Formel für das Inkrement der Funktion
Was wir bekommen:
7. Seitdem.
8. Wenn wir ähnlich für die Wurzel argumentieren, erhalten wir, dass es in jeder Umgebung des Punktes einen Punkt gibt, für den es daher in der Umgebung des Punktes kein Vorzeichen gibt, daher gibt es an dem Punkt kein Extremum.
Bedingtes Extremum einer Funktion zweier Variablen
Bei der Suche nach Extrema einer Funktion zweier Variablen treten häufig Probleme im Zusammenhang mit dem sogenannten bedingten Extremum auf. Dieses Konzept kann am Beispiel einer Funktion zweier Variablen erklärt werden.
Gegeben sei eine Funktion und eine Gerade L auf der Ebene 0xy. Die Aufgabe besteht darin, einen solchen Punkt P (x, y) auf der Linie L zu finden, an dem der Wert der Funktion am größten oder am kleinsten ist im Vergleich zu den Werten dieser Funktion an den nahe gelegenen Punkten der Linie L der Punkt P. Solche Punkte P heißen bedingte Extrempunkte Funktionen auf der Linie L. Im Gegensatz zum üblichen Extrempunkt wird der Wert der Funktion am bedingten Extrempunkt nicht an allen Punkten mit den Werten der Funktion verglichen von einigen seiner Nachbarschaft, aber nur von denen, die auf der Linie L liegen.
Es ist ziemlich klar, dass der Punkt des gewöhnlichen Extremums (man spricht auch vom unbedingten Extremum) auch der Punkt des bedingten Extremums für jede Linie ist, die durch diesen Punkt verläuft. Das Gegenteil gilt natürlich nicht: Ein bedingter Extremwert ist möglicherweise kein konventioneller Extremwert. Veranschaulichen wir das Gesagte an einem Beispiel.
Beispiel 1. Der Graph der Funktion ist die obere Hemisphäre (Abb. 2).
Reis. 2.
Diese Funktion hat am Ursprung ein Maximum; es entspricht dem Scheitelpunkt M der Halbkugel. Wenn die Linie L eine Gerade ist, die durch die Punkte A und B geht (ihre Gleichung), dann ist es geometrisch klar, dass für die Punkte dieser Linie der Maximalwert der Funktion an dem Punkt erreicht wird, der in der Mitte zwischen den Punkten A und liegt B. Dies ist das bedingte Extremum (Maximum) Punktfunktionen auf dieser Linie; er entspricht dem Punkt M 1 auf der Halbkugel, und aus der Figur ist ersichtlich, dass hier von keinem gewöhnlichen Extremum die Rede sein kann.
Beachten Sie, dass man im letzten Teil des Problems, den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich zu finden, die Extremalwerte der Funktion an der Grenze dieses Bereichs finden muss, d.h. auf irgendeiner Geraden und lösen damit das Problem für ein bedingtes Extremum.
Bestimmung 1. Sie sagen, dass wo ein bedingtes oder relatives Maximum (Minimum) an einem Punkt hat, der die Gleichung erfüllt: Wenn für irgendetwas, das die Gleichung erfüllt, die Ungleichung
Bestimmung 2. Eine Gleichung der Form wird als Nebenbedingungsgleichung bezeichnet.
Satz
Wenn die Funktionen und in der Nähe eines Punktes stetig differenzierbar sind und die partielle Ableitung und der Punkt der Punkt des bedingten Extremums der Funktion in Bezug auf die Nebenbedingungsgleichung sind, dann ist die Determinante zweiter Ordnung gleich Null:
Nachweisen
1. Da, gemäß der Bedingung des Satzes, die partielle Ableitung und der Wert der Funktion, dann in einem Rechteck
implizite Funktion definiert
Eine komplexe Funktion zweier Variablen an einem Punkt hat daher ein lokales Extremum oder.
2. Tatsächlich gemäß der Invarianzeigenschaft der Differentialformel erster Ordnung
3. Die Verbindungsgleichung kann in dieser Form dargestellt werden, das heißt
4. Multipliziere Gleichung (2) mit und (3) mit und addiere sie
Daher wann
willkürlich. h.t.d.
Folge
Die Suche nach bedingten Extrempunkten einer Funktion zweier Veränderlicher erfolgt in der Praxis durch Lösen eines Gleichungssystems
So haben wir im obigen Beispiel Nr. 1 aus der Kommunikationsgleichung. Von hier aus ist es einfach zu überprüfen, was bei ein Maximum erreicht. Aber dann von der Gleichung der Kommunikation. Wir erhalten den geometrisch gefundenen Punkt P.
Beispiel #2. Finden Sie die bedingten Extrempunkte der Funktion in Bezug auf die Nebenbedingungsgleichung.
Finden wir die partiellen Ableitungen der gegebenen Funktion und die Verbindungsgleichung:
Machen wir eine Determinante zweiter Ordnung:
Schreiben wir das Gleichungssystem zum Auffinden bedingter Extrempunkte auf:
daher gibt es vier bedingte Extrempunkte der Funktion mit Koordinaten: .
Beispiel #3. Finden Sie die Extrempunkte der Funktion.
Wenn wir die partiellen Ableitungen mit Null gleichsetzen: , finden wir einen stationären Punkt - den Ursprung. Hier,. Daher ist der Punkt (0, 0) auch kein Extremumpunkt. Die Gleichung ist die Gleichung eines hyperbolischen Paraboloids (Abb. 3), die Abbildung zeigt, dass der Punkt (0, 0) kein Extremumpunkt ist.
Reis. 3.
Der größte und kleinste Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich
1. Die Funktion sei in einem beschränkten abgeschlossenen Gebiet D definiert und stetig.
2. Die Funktion habe in diesem Bereich endliche partielle Ableitungen, mit Ausnahme einzelner Punkte des Bereichs.
3. Nach dem Satz von Weierstraß gibt es in diesem Bereich einen Punkt, an dem die Funktion den größten und den kleinsten Wert annimmt.
4. Wenn diese Punkte innere Punkte des Bereichs D sind, dann ist es offensichtlich, dass sie ein Maximum oder ein Minimum haben werden.
5. In diesem Fall gehören die für uns interessanten Punkte zu den verdächtigen Punkten am Extremum.
6. Die Funktion kann aber auch am Rand des Bereichs D den maximalen oder minimalen Wert annehmen.
7. Um den größten (kleinsten) Wert der Funktion im Bereich D zu finden, müssen Sie alle für ein Extremum verdächtigen internen Punkte finden, den Wert der Funktion in ihnen berechnen und dann mit dem Wert der Funktion bei vergleichen die Grenzpunkte des Bereichs, und der größte aller gefundenen Werte wird der größte in der geschlossenen Region D sein.
8. Das Verfahren zum Auffinden eines lokalen Maximums oder Minimums wurde bereits in Abschnitt 1.2 betrachtet. und 1.3.
9. Es bleibt die Methode zum Ermitteln der Maximal- und Minimalwerte der Funktion an der Grenze der Region zu betrachten.
10. Bei einer Funktion aus zwei Variablen stellt sich die Fläche meist als durch eine Kurve oder mehrere Kurven begrenzt heraus.
11. Entlang einer solchen Kurve (oder mehrerer Kurven) hängen die Variablen und entweder voneinander ab, oder beide hängen von einem Parameter ab.
12. Somit erweist sich die Funktion am Rand als von einer Variablen abhängig.
13. Die Methode, den größten Wert einer Funktion einer Variablen zu finden, wurde bereits besprochen.
14. Die Grenze der Region D sei durch die parametrischen Gleichungen gegeben:
Dann ist auf dieser Kurve die Funktion zweier Variablen eine komplexe Funktion des Parameters: . Für eine solche Funktion wird der größte und kleinste Wert durch das Verfahren zur Bestimmung des größten und kleinsten Werts für eine Funktion einer Variablen bestimmt.
Notwendige und hinreichende Bedingungen für das Extremum von Funktionen zweier Variablen. Ein Punkt wird als Minimum- (Maximum-) Punkt einer Funktion bezeichnet, wenn in irgendeiner Umgebung des Punktes die Funktion definiert ist und die Ungleichung erfüllt (entsprechend werden die Maximum- und Minimumpunkte Extrempunkte der Funktion genannt).
Eine notwendige Bedingung für ein Extremum. Hat die Funktion am Extremum erste partielle Ableitungen, so verschwinden sie an diesem Punkt. Daraus folgt, dass man, um die Extrempunkte einer solchen Funktion zu finden, das Gleichungssystem lösen sollte Punkte, deren Koordinaten dieses System erfüllen, werden kritische Punkte der Funktion genannt. Unter ihnen kann es Maximalpunkte, Minimalpunkte sowie Punkte geben, die keine Extrempunkte sind.
Ausreichende Extrembedingungen werden verwendet, um Extrempunkte aus dem Satz kritischer Punkte auszuwählen, und sind unten aufgeführt.
Die Funktion habe am kritischen Punkt stetige zweite partielle Ableitungen. Wenn an dieser Stelle
Bedingung, dann ist es ein Minimumpunkt bei und ein Maximumpunkt bei.Wenn es an einem kritischen Punkt ist, dann ist es kein Extremumpunkt. In diesem Fall ist eine subtilere Untersuchung der Art des kritischen Punkts erforderlich, der in diesem Fall ein Extrempunkt sein kann oder nicht.
Extrema von Funktionen von drei Variablen. Im Fall einer Funktion von drei Variablen wiederholen die Definitionen von Extrempunkten wörtlich die entsprechenden Definitionen für eine Funktion von zwei Variablen. Wir beschränken uns darauf, das Verfahren zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum vorzustellen. Beim Lösen des Gleichungssystems sollte man die kritischen Punkte der Funktion finden und dann an jedem der kritischen Punkte die Größen berechnen
Wenn alle drei Größen positiv sind, dann ist der betrachtete kritische Punkt ein Minimumpunkt; wenn dann der gegebene kritische Punkt ein maximaler Punkt ist.
Bedingtes Extremum einer Funktion zweier Variablen. Der Punkt wird als bedingter minimaler (maximaler) Punkt der Funktion bezeichnet, sofern es eine Umgebung des Punktes gibt, an dem die Funktion definiert ist, und in der (jeweils) für alle Punkte, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen
Verwenden Sie die Lagrange-Funktion, um bedingte Extrempunkte zu finden
wobei die Zahl Lagrange-Multiplikator genannt wird. Lösen des Dreigleichungssystems
Finden Sie die kritischen Punkte der Lagrange-Funktion (sowie den Wert des Hilfsfaktors A). An diesen kritischen Punkten kann es zu einem bedingten Extremum kommen. Das obige System gibt nur notwendige Bedingungen für ein Extremum an, aber keine hinreichenden: Es kann durch die Koordinaten von Punkten erfüllt werden, die keine Punkte eines bedingten Extremums sind. Ausgehend vom Wesen des Problems ist es jedoch oft möglich, die Art des kritischen Punkts festzustellen.
Bedingtes Extremum einer Funktion mehrerer Variablen. Betrachten Sie eine Funktion von Variablen unter der Bedingung, dass sie durch die Gleichungen in Beziehung stehen
BEDINGUNG EXTREM
Der minimale oder maximale Wert, der von einer bestimmten Funktion (oder Funktion) erreicht wird, vorausgesetzt, dass einige andere Funktionen (Funktionen) Werte aus einer bestimmten zulässigen Menge annehmen. Wenn es keine Bedingungen gibt, die Änderungen unabhängiger Variablen (Funktionen) im angegebenen Sinne begrenzen, dann spricht man von einem unbedingten Extremum.
Klassisch Aufgabe für W. e. ist das Problem, das Minimum einer Funktion mehrerer Variablen zu bestimmen
Vorausgesetzt, einige andere Funktionen nehmen die angegebenen Werte an:
In diesem Problem G, zu dem die Werte der Vektorfunktion g=(g1, ...,gm),
in den Nebenbedingungen (2) enthalten ist ein Fixpunkt c=(c1, ..., mit t) im m-dimensionalen euklidischen Raum
Wenn in (2) zusammen mit dem Gleichheitszeichen Ungleichheitszeichen zulässig sind
Dies führt zu dem Problem Nichtlineare Programmierung(dreizehn). In Aufgabe (1), (3) ist die Menge G der zulässigen Werte der Vektorfunktion g eine bestimmte krummlinige , die zu der durch m 1 definierten (n-m 1)-dimensionalen Hyperfläche gehört , m 1
Ein Spezialfall von Problem (1), (3) auf einem U.v. ist die Aufgabe Lineares Programmieren, in der alle betrachteten Funktionen f und gi sind linear in x l , ... , x p. Bei einem linearen Programmierproblem ist die Menge G der möglichen Werte einer Vektorfunktion g, in den Bedingungen enthalten, die den Variablenbereich x 1 begrenzen, ..... x n , ist , die zu der (n-t 1)-dimensionalen Hyperebene gehört, die durch m 1 Gleichheitstypbedingungen in (3) definiert ist.
In ähnlicher Weise stellen die meisten Optimierungsprobleme für Funktionale praktische dar Interesse, wird auf Aufgaben auf U. e reduziert. (cm. Isoperimetrisches Problem, Ringproblem, Lagrange-Problem, Manner-Problem).
Genau wie in Mathe. Programmierung, die Hauptprobleme der Variationsrechnung und der Theorie der optimalen Steuerung sind Probleme auf dem konvexen e.
Beim Lösen von Problemen in den U. e., insbesondere bei der Betrachtung des Theoretischen. Bei Fragen zu Problemen mit C. e. erweist es sich als sehr nützlich, unbestimmt zu verwenden Lagrange-Multiplikatoren, wodurch das Problem auf U reduziert werden kann. e. auf das Unbedingte und vereinfachen die notwendigen Optimalitätsbedingungen. Die Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren liegt den meisten klassischen Methoden zugrunde Methoden zur Problemlösung in U. e.
Zündete.: Hadley J., Nonlinear und , übers. aus dem Englischen, M., 1967; Bliss G.A., Vorlesungen zur Variationsrechnung, übers. aus dem Englischen, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2. Aufl., M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.
Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradov. 1977-1985.
Sehen Sie, was "CONDITIONAL EXTREME" in anderen Wörterbüchern ist:
Relatives Extremum, Extremum der Funktion f (x1,..., xn + m) von n + m Variablen, unter der Annahme, dass diese Variablen m weiteren Kopplungsgleichungen (Bedingungen) unterliegen: φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (siehe Extremum).… …
Seien einer offenen Menge und on gegebene Funktionen. Lassen. Diese Gleichungen werden Zwangsgleichungen genannt (die Terminologie ist der Mechanik entlehnt). Lassen Sie eine Funktion auf G ... Wikipedia definieren
- (von lat. extremum extrem) Wert einer stetigen Funktion f (x), der entweder ein Maximum oder ein Minimum ist. Genauer: Eine im Punkt x0 stetige Funktion f (x) hat ein Maximum (Minimum) im Punkt x0, wenn es eine Umgebung (x0 + δ, x0 δ) zu diesem Punkt gibt, ... ... Große sowjetische Enzyklopädie
Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Extreme (Bedeutungen). Extremum (lat. extremum extrem) ist in der Mathematik der maximale oder minimale Wert einer Funktion auf einer gegebenen Menge. Der Punkt, an dem das Extremum erreicht ist, ist ... ... Wikipedia
Eine Funktion, die zur Lösung von Problemen für ein bedingtes Extremum von Funktionen mehrerer Variablen und Funktionale verwendet wird. Mit Hilfe von L. f. die notwendigen Optimalitätsbedingungen werden in Aufgaben für ein bedingtes Extremum niedergeschrieben. Es ist nicht nötig, nur Variablen auszudrücken ... Mathematische Enzyklopädie
Eine mathematische Disziplin, die sich der Suche nach Extremwerten (Maximal- und Minimalwerten) von Funktionalen von Variablen widmet, abhängig von der Wahl einer oder mehrerer Funktionen. In und. ist eine natürliche Weiterentwicklung dieses Kapitels … … Große sowjetische Enzyklopädie
Variablen, mit deren Hilfe die Lagrange-Funktion bei der Untersuchung von Problemen für ein bedingtes Extremum konstruiert wird. Die Verwendung von L. m. und der Lagrange-Funktion ermöglicht es, die notwendigen Optimalitätsbedingungen in Problemen für ein bedingtes Extremum auf einheitliche Weise zu erhalten ... Mathematische Enzyklopädie
Die Variationsrechnung ist ein Zweig der Funktionsanalyse, der die Variationen von Funktionalen untersucht. Die typischste Aufgabe der Variationsrechnung ist es, eine Funktion zu finden, auf der ein gegebenes Funktional ... ... Wikipedia
Ein Zweig der Mathematik, der sich dem Studium von Methoden zum Auffinden von Extrema von Funktionalen widmet, die von der Wahl einer oder mehrerer Funktionen unter verschiedenen Arten von Einschränkungen (Phase, Differential, Integral usw.) abhängen, die diesen auferlegt werden ... ... Mathematische Enzyklopädie
Die Variationsrechnung ist ein Zweig der Mathematik, der die Variationen von Funktionalen untersucht. Die typischste Aufgabe der Variationsrechnung besteht darin, eine Funktion zu finden, bei der das Funktional einen Extremwert erreicht. Methoden ... ... Wikipedia
Bücher
- Vorlesungen zur Steuerungstheorie. Band 2. Optimale Kontrolle, V. Boss. Die klassischen Probleme der Optimalsteuerungstheorie werden betrachtet. Die Präsentation beginnt mit den grundlegenden Konzepten der Optimierung in endlichdimensionalen Räumen: bedingtes und unbedingtes Extremum, ...
Definition1: Eine Funktion hat an einem Punkt ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass für jeden Punkt M mit Koordinaten (x, y) Ungleichung erfüllt ist: . In diesem Fall also das Inkrement der Funktion< 0.
Definition2: Eine Funktion hat an einem Punkt ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung des Punktes gibt, so dass für jeden Punkt M mit Koordinaten (x, y) Ungleichung erfüllt ist: . In diesem Fall also das Inkrement der Funktion > 0.
Bestimmung 3: Lokale Minimum- und Maximumpunkte werden aufgerufen Extrempunkte.
Bedingte Extreme
Bei der Suche nach Extrema einer Funktion mit vielen Variablen treten oft Probleme im Zusammenhang mit den sogenannten auf Bedingtes Extrem. Dieses Konzept kann am Beispiel einer Funktion zweier Variablen erklärt werden.
Gegeben sei eine Funktion und eine Gerade L auf der Oberfläche 0xy. Die Aufgabe ist es, Linie L einen solchen Punkt finden P(x,y), in denen der Wert der Funktion im Vergleich zu den Werten dieser Funktion an den Punkten der Linie am größten oder am kleinsten ist L befindet sich in der Nähe des Punktes P. Solche Punkte P namens bedingte Extrempunkte Linienfunktionen L. Im Gegensatz zum üblichen Extrempunkt wird der Funktionswert am bedingten Extrempunkt nicht an allen Punkten seiner Nachbarschaft mit den Funktionswerten verglichen, sondern nur an denen, die auf der Geraden liegen L.
Es ist ziemlich klar, dass der Punkt des üblichen Extremums (man sagt auch unbedingtes Extremum) ist auch ein bedingter Extrempunkt für jede Linie, die durch diesen Punkt verläuft. Das Gegenteil gilt natürlich nicht: Ein bedingter Extremwert ist möglicherweise kein konventioneller Extremwert. Lassen Sie mich dies an einem einfachen Beispiel erläutern. Der Graph der Funktion ist die obere Hemisphäre (Anhang 3 (Abb. 3)).
Diese Funktion hat am Ursprung ein Maximum; es entspricht der Spitze M Halbkugeln. Wenn die Linie L Es gibt eine Linie, die durch die Punkte geht SONDERN und BEIM(Ihre Gleichung x+y-1=0), so ist geometrisch klar, dass für die Punkte dieser Geraden der Maximalwert der Funktion an dem Punkt erreicht wird, der in der Mitte zwischen den Punkten liegt SONDERN und BEIM. Dies ist der Punkt des bedingten Extremums (Maximums) der Funktion auf der gegebenen Linie; er entspricht dem Punkt M 1 auf der Halbkugel, und aus der Figur ist ersichtlich, dass hier von keinem gewöhnlichen Extremum die Rede sein kann.
Beachten Sie, dass wir im letzten Teil des Problems, den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich zu finden, die Extremalwerte der Funktion an der Grenze dieses Bereichs finden müssen, d.h. auf irgendeiner Geraden und lösen damit das Problem für ein bedingtes Extremum.
Fahren wir nun mit der praktischen Suche nach den Punkten des bedingten Extremums der Funktion Z= f(x, y) fort, vorausgesetzt, dass die Variablen x und y durch die Gleichung (x, y) = 0 verbunden sind. Diese Beziehung wird sein wird als Nebenbedingungsgleichung bezeichnet. Wenn y aus der Verbindungsgleichung explizit durch x ausgedrückt werden kann: y \u003d (x), erhalten wir eine Funktion einer Variablen Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).
Nachdem wir den Wert von x gefunden haben, bei dem diese Funktion ein Extremum erreicht, und dann die entsprechenden Werte von y aus der Verbindungsgleichung bestimmt haben, erhalten wir die gewünschten Punkte des bedingten Extremums.
Im obigen Beispiel haben wir also aus der Kommunikationsgleichung x+y-1=0 y=1-x. Von hier
Es ist leicht zu überprüfen, dass z sein Maximum bei x = 0,5 erreicht; dann aber aus der Verbindungsgleichung y = 0,5, und wir bekommen genau den Punkt P, gefunden aus geometrischen Überlegungen.
Das Problem des bedingten Extremums wird sehr einfach gelöst, selbst wenn die Nebenbedingungsgleichung durch Parametergleichungen x=x(t), y=y(t) dargestellt werden kann. Indem wir die Ausdrücke für x und y in diese Funktion einsetzen, kommen wir wieder zu dem Problem, das Extremum einer Funktion einer Variablen zu finden.
Wenn die Zwangsgleichung eine komplexere Form hat und wir weder eine Variable explizit durch eine andere ausdrücken noch durch parametrische Gleichungen ersetzen können, wird das Problem, ein bedingtes Extremum zu finden, schwieriger. Wir nehmen weiterhin an, dass im Ausdruck der Funktion z= f(x, y) die Variable (x, y) = 0 ist. Die totale Ableitung der Funktion z= f(x, y) ist gleich:
Wo ist die Ableitung y`, gefunden durch die Ableitungsregel der impliziten Funktion. An den Punkten des bedingten Extremums muss die gefundene Gesamtableitung gleich Null sein; dies ergibt eine Gleichung, die x und y betrifft. Da sie auch die Nebenbedingungsgleichung erfüllen müssen, erhalten wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
Lassen Sie uns dieses System in ein viel bequemeres umwandeln, indem wir die erste Gleichung als Proportion schreiben und eine neue Hilfsunbekannte einführen:
(Der Einfachheit halber ist ein Minuszeichen vorangestellt). Von diesen Gleichheiten kann man leicht zu folgendem System übergehen:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
die zusammen mit der Nebenbedingungsgleichung (x, y) = 0 ein System aus drei Gleichungen mit den Unbekannten x, y und bildet.
Diese Gleichungen (*) lassen sich am einfachsten mit der folgenden Regel merken: um Punkte zu finden, die Punkte des bedingten Extremums der Funktion sein können
Z= f(x, y) mit der Nebenbedingungsgleichung (x, y) = 0 müssen Sie eine Hilfsfunktion bilden
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
Wo ist eine Konstante, und schreiben Sie Gleichungen, um die Extrempunkte dieser Funktion zu finden.
Das angegebene Gleichungssystem liefert in der Regel nur die notwendigen Bedingungen, d.h. nicht jedes Paar von x- und y-Werten, das dieses System erfüllt, ist notwendigerweise ein bedingter Extrempunkt. Ich werde keine hinreichenden Bedingungen für bedingte Extrempunkte angeben; Sehr oft legt der spezifische Inhalt des Problems selbst nahe, was der gefundene Punkt ist. Die beschriebene Technik zum Lösen von Problemen für ein bedingtes Extremum wird als Methode der Lagrange-Multiplikatoren bezeichnet.
Bedingtes Extrem.
Extrema einer Funktion mehrerer Variablen
Methode der kleinsten Quadrate.
Lokales Extremum von FNP
Lassen Sie die Funktion und= f(P), RÎDÌR n und der Punkt Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., ein p) –intern Punkt des Satzes D.
Definition 9.4.
1) Der Punkt P 0 wird aufgerufen Höchstpunkt Funktionen und= f(P) falls es eine Umgebung dieses Punktes U(P 0) Ì D gibt, so dass für jeden Punkt P( X 1 , X 2 , ..., x n)í U(P 0) , ¹Р 0 , die Bedingung f(P) £ f(P0) . Bedeutung f(P 0) Funktionen am Maximalpunkt aufgerufen Funktion maximal und bezeichnet f(P 0) = max f(P) .
2) Der Punkt P 0 wird aufgerufen Mindestpunkt Funktionen und= f(P) falls es eine Umgebung dieses Punktes U(P 0)Ì D gibt, so dass für jeden Punkt P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , die Bedingung f(P)³ f(P0) . Bedeutung f(P 0) Funktionen am Minimalpunkt aufgerufen Funktion minimal und bezeichnet f(P 0) = min f(P).
Die minimalen und maximalen Punkte einer Funktion werden aufgerufen Extrempunkte werden die Werte der Funktion an den Extrempunkten genannt Funktion Extrema.
Wie aus der Definition folgt, sind die Ungleichungen f(P) £ f(P0) , f(P)³ f(P 0) muss nur in einer bestimmten Umgebung des Punktes P 0 durchgeführt werden und nicht im gesamten Definitionsbereich der Funktion, was bedeutet, dass die Funktion mehrere Extrema des gleichen Typs (mehrere Minima, mehrere Maxima) haben kann. Daher werden die oben definierten Extrema genannt lokal(lokale) Extreme.
Satz 9.1 (notwendige Bedingung für das Extremum der FNP)
Wenn die Funktion und= f(X 1 , X 2 , ..., x n) an der Stelle P 0 ein Extremum hat, dann sind ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung an dieser Stelle entweder gleich Null oder existieren nicht.
Nachweisen. Sei am Punkt Р 0 ( a 1 , a 2 , ..., ein p) Funktion und= f(P) hat ein Extrem, wie beispielsweise ein Maximum. Lassen Sie uns die Argumente beheben X 2 , ..., x n, setzen X 2 =a 2 ,..., x n = ein p. Dann und= f(P) = f 1 ((X 1 , a 2 , ..., ein p) ist eine Funktion einer Variablen X ein . Da diese Funktion hat X 1 = a 1 Extremum (Maximum), dann f 1 ¢=0 oder existiert nicht wenn X 1 =a 1 (eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums einer Funktion einer Variablen). Aber , dann existiert oder nicht am Punkt P 0 - dem Punkt des Extremums. Ebenso können wir partielle Ableitungen in Bezug auf andere Variablen betrachten. CHTD.
Die Punkte des Definitionsbereichs einer Funktion, an denen die partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null sind oder nicht existieren, werden genannt kritische Punkte diese Funktion.
Wie aus Satz 9.1 folgt, sind die Extrempunkte der FNP unter den kritischen Punkten der Funktion zu suchen. Aber wie bei einer Funktion einer Variablen ist nicht jeder kritische Punkt ein Extremumpunkt.
Satz 9.2
Sei Р 0 ein kritischer Punkt der Funktion und= f(P) und 
ist das Differential zweiter Ordnung dieser Funktion. Dann
und wenn d 2 u(P 0) > 0 für , dann ist Р 0 ein Punkt Minimum Funktionen und= f(P);
b) wenn d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximal Funktionen und= f(P);
c) wenn d 2 u(P 0) nicht durch Vorzeichen definiert ist, dann ist P 0 kein Extremumspunkt;
Wir betrachten diesen Satz ohne Beweis.
Beachten Sie, dass der Satz nicht den Fall berücksichtigt, wann d 2 u(P 0) = 0 oder existiert nicht. Das bedeutet, dass die Frage nach dem Vorhandensein eines Extremums am Punkt P 0 unter solchen Bedingungen offen bleibt – zusätzliche Studien sind erforderlich, beispielsweise die Untersuchung des Zuwachses der Funktion an diesem Punkt.
In vertiefenden Mathematikkursen wird das insbesondere für die Funktion nachgewiesen z = f(x,j) von zwei Variablen, deren Differential zweiter Ordnung eine Summe der Form ist
die Untersuchung des Vorhandenseins eines Extremums am kritischen Punkt Р 0 kann vereinfacht werden.
Bezeichnen Sie , , . Bilden Sie die Determinante
.
Es stellt sich heraus:
d 2 z> 0 am Punkt P 0 , d.h. P 0 - Minimalpunkt, wenn EIN(P 0) > 0 und D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если EIN(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
wenn D(P 0)< 0, то d 2 z in der Nähe des Punktes Р 0 ändert sich das Vorzeichen und es gibt kein Extremum am Punkt Р 0;
wenn D(Р 0) = 0, dann sind auch zusätzliche Untersuchungen der Funktion in der Nähe des kritischen Punktes Р 0 erforderlich.
Also für die Funktion z = f(x,j) zwei Variablen haben wir den folgenden Algorithmus (nennen wir ihn "Algorithmus D") zum Finden des Extremums:
1) Finde den Definitionsbereich D( f) Funktionen.
2) Finden Sie kritische Punkte, d.h. Punkte von D( f), für die und gleich Null sind oder nicht existieren.
3) Überprüfen Sie an jedem kritischen Punkt Р 0 die hinreichenden Bedingungen für das Extremum. Finden Sie dazu , wobei , , und D(Р 0) berechnen und SONDERN(P 0) Dann:
wenn D(Ð 0) >0, dann gibt es an der Stelle Ð 0 ein Extremum, außerdem, wenn SONDERN(P 0) > 0 - dann ist dies ein Minimum, und wenn SONDERN(P0)< 0 – максимум;
wenn D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Wenn D(Р 0) = 0 ist, sind zusätzliche Studien erforderlich.
4) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den gefundenen Extrempunkten.
Beispiel 1.
Finden Sie das Extremum einer Funktion z = x 3 + 8j 3 – 3xy .
Entscheidung. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die gesamte Koordinatenebene. Lassen Sie uns die kritischen Punkte finden.
, 
, 
Þ Ð 0 (0,0) , .
Prüfen wir die Erfüllung hinreichender Extremumsbedingungen. Lass uns finden
6X, = -3, = 48beim und 
= 288hu – 9.
Dann D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - es gibt ein Extremum am Punkt Р 1 und seitdem SONDERN(P 1) = 3 > 0, dann ist dieses Extremum ein Minimum. Also mind z=z(P1) = 
.
Beispiel 2
Finden Sie das Extremum einer Funktion 
.
Lösung: D( f) = R2. Kritische Punkte: 
; existiert nicht bei beim= 0, also ist P 0 (0,0) der kritische Punkt dieser Funktion.
2, = 0, = , = , aber D(Р 0) ist nicht definiert, daher ist es unmöglich, sein Vorzeichen zu studieren.
Aus dem gleichen Grund ist es unmöglich, Satz 9.2 direkt anzuwenden − d 2 z existiert an dieser Stelle nicht.
Betrachten Sie das Inkrement der Funktion f(x, j) am Punkt Р 0 . Wenn d f =f(P)- f(P 0)>0 "P, dann ist P 0 der Minimalpunkt, wenn D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Wir haben in unserem Fall
D f = f(x, j) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D j) – f(0, 0) = .
Bei D x= 0,1 und D j= -0,008 erhalten wir D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 und D j= 0,001D f= 0,01 + 0,1 > 0, d.h. in der Nähe des Punktes Р 0 weder die Bedingung D f <0 (т.е. f(x, j) < f(0, 0) und daher ist P 0 kein Maximumpunkt), noch die Bedingung D f>0 (d.h. f(x, j) > f(0, 0) und dann ist Р 0 kein Minimumpunkt). Daher hat diese Funktion per Definition eines Extremums keine Extrema.
Bedingtes Extrem.
Das betrachtete Extremum der Funktion wird aufgerufen bedingungslos, da den Funktionsargumenten keine Einschränkungen (Bedingungen) auferlegt werden.
Definition 9.2. Funktionsextremum und = f(X 1 , X 2 , ... , x n), unter der Bedingung, dass seine Argumente X 1 , X 2 , ... , x n erfüllen die Gleichungen j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, wobei P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), wird genannt bedingtes Extremum .
Gleichungen j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, werden genannt Verbindungsgleichungen.
Betrachten Sie die Funktionen z = f(x,j) von zwei Variablen. Wenn es nur eine Nebenbedingungsgleichung gibt, d.h. , dann bedeutet das Finden eines bedingten Extremums, dass das Extremum nicht im gesamten Definitionsbereich der Funktion gesucht wird, sondern auf einer Kurve, die in D( f) (d. h. es werden nicht die höchsten oder niedrigsten Punkte der Oberfläche gesucht z = f(x,j), und die höchsten oder niedrigsten Punkte unter den Schnittpunkten dieser Fläche mit dem Zylinder , Abb. 5).
Bedingtes Extremum der Funktion z = f(x,j) von zwei Variablen kann folgendermaßen gefunden werden ( Eliminationsverfahren). Drücken Sie aus der Gleichung eine der Variablen als Funktion der anderen aus (schreiben Sie zum Beispiel ) und setzen Sie diesen Wert der Variablen in die Funktion ein und schreiben Sie letztere als Funktion einer Variablen (im betrachteten Fall 
). Finden Sie das Extremum der resultierenden Funktion einer Variablen.
