Волновой процесс. Волновое уравнение

Волной называется процесс распространения колебания (или какого-то другого сигнала) в пространстве.

Представим, например, что во всех точках плоскости YOZ некоторый физический параметр меняется во времени по гармоническому закону

Пусть колебания этого абстрактного параметра распространяются вдоль оси OX со скоростью v (рис. 13.1.). Тогда в плоскости с координатой x исходные колебания повторятся вновь, но с запаздыванием на секунд:

Рис. 13.1.

Функция (13.1) называется уравнением плоской волны . Эту важную функцию чаще записывают в таком виде

Здесь: Е 0 и w - амплитуда и частота колебаний в волне,

(wt – kx + - фаза волны,

a - начальная фаза,

Волновое число,

v - скорость распространения волны.

Совокупность всех точек пространства, в которых колебания происходят в одинаковой фазе, определяет фазовую поверхность . В нашем примере это плоскость.

(wt – kx + = F = const - уравнение движения фазовой поверхности в процессе распространения волны. Возьмём производную этого уравнения по времени:

w – k = 0.

Здесь = v ф - скорость движения фазовой поверхности - фазовая скорость .

= v ф = .

Таким образом, фазовая скорость равна скорости распространения волны.

Фазовая поверхность, отделяющая пространство, охваченное волновым процессом, от той части, куда волна еще не дошла, называется фронтом волны. Фронт волны, как одна из фазовых поверхностей, тоже движется с фазовой скоростью. Эта скорость, например, акустической волны в воздухе составляет 330 м/с, а световой (электромагнитной) волны в вакууме - 3×10 8 м/с.

Уравнение волны Е = Е 0 ×cos(wt – kx + j) представляет собой решение дифференциального волнового уравнения . Для отыскания этого дифференциального уравнения, продифференцируем уравнение волны (13.2) дважды по времени, а затем - дважды по координате:

Сравнив эти два выражения, обнаруживаем, что

Но волновое число k = , поэтому

. (13.3)

Это и есть дифференциальное уравнение волнового процесса - волновое уравнение .

Еще раз отметим, что уравнение волны (13.2) есть решение волнового уравнения (13.3).

Волновое уравнение можно записать, конечно, и так

Теперь очевидно, что в волновом уравнении коэффициент при второй производной по координате равен квадрату фазовой скорости волны.

Если, решая задачу о движении, мы получаем дифференциальное уравнение типа

то это означает, что исследуемое движение - собственные затухающие колебания …

Если при решении очередной задачи возникло дифференциальное уравнение

то это означает, что исследуется волновой процесс , и скорость распространения этой волны .

Указание по мерам безопасности

При выполнении лабораторной работы

Внутри используемых в работе электроизмерительных приборов имеется переменное сетевое напряжение 220 В, 50 Гц, представляющее опасность для жизни.

Наиболее опасными местами являются сетевой выключатель, гнезда предохранителей, шнур сетевого питания приборов, соединительные провода, находящиеся под напряжением.

К выполнению лабораторных работ в учебной лаборатории допускаются обучающиеся прошедшие обучение по мерам безопасности при проведении лабораторных работ с обязательным оформлением в журнале протоколов проверки знаний по мерам безопасности при проведении лабораторных работ.

Перед выполнением лабораторной работы обучающимся
необходимо:

Усвоить методику выполнения лабораторной работы, правила ее безопасного выполнения;

Ознакомиться с экспериментальной установкой; знать безопасные методы и приемы обращения с приборами и оборудованием при выполнении данной лабораторной работы;

Проверить качество сетевых шнуров; убедиться, что все токоведущие части приборов закрыты и недоступны для прикосновения;

Проверить надежность соединения клемм на корпусе прибора с шиной заземления;

В случае обнаружения неисправности немедленно доложить преподавателю или инженеру;

Получить у преподавателя допуск к ее выполнению, подтверждая этим усвоение теоретического материала. Обучающийся не получивший допуск к выполнению лабораторной работы не допускается.

Включение приборов производит преподаватель или инженер. Только после того, как он убедится в исправности приборов и правильности их сборки можно приступать к выполнению лабораторной работы.

При выполнении лабораторной работы обучающиеся должны:

Не оставлять без присмотра включенные приборы;

Не наклоняться к ним близко, не передавать через них какие-либо предметы и не опираться на них;

При работе с грузиками надежно закреплять их крепежными винтами на осях.

замену любого элемента установки, присоединение или разъединение разъемных соединений производить только при отключенном электропитании под четким наблюдением преподавателя или инженера.

Обо всех недостатках, обнаруженных во время выполнения лабораторной работы, сообщить преподавателю или инженеру

По окончании работы отключение аппаратуры и приборов от электросети производит преподаватель или инженер.

Лабораторная работа № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

Цель работы:

ознакомиться с основными характеристиками волновых процессов;

изучить условия образования и особенности стоячей волны.

Задачи работы

определить скорость звука в воздухе методом стоячей волны;

определить для воздуха отношение изобарической теплоемкости к изохорической.

Понятие о волнах.

Тело, совершающее механические колебания, передает в окружающую среду за счет сил трения или сопротивления теплоту, что усиливает беспорядочное движение частиц среды. Однако во многих случаях за счет энергии колебательной системы возникает упорядоченное движение соседних частиц окружающей среды – они начинают совершать вынужденные колебания относительно своего исходного положения под действием упругих сил, связывающих частицы друг с другом. Объем пространства, в котором происходят эти колебания, возрастает с течением времени. Такой процесс распространения колебаний в среде называется волновым движением или просто в о л н о й.
В общем случае наличие упругих свойств в среде не является обязательным для распространения в ней волн. Например, электромагнитные и гравитационные волны распространяются и в вакууме. Поэтому в физике в о л н а м и называют всякие распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля. Под возмущением понимают отклонение физических величин от их равновесных состояний.

В твердых телах под возмущением понимают периодически изменяющуюся деформацию, порожденную действием периодической силы и вызывающую отклонение частиц среды от положения равновесия – их вынужденные колебания. При рассмотрении процессов распространения волн в телах обычно отвлекаются от молекулярного строения этих тел и рассматривают тела как сплошную среду, непрерывно распределенную в пространстве. Под частицей среды, совершающей вынужденные колебания, понимают малый элемент объема среды, размеры которого в то же время во много раз больше межмолекулярных расстояний. Вследствие действия упругих сил деформация будет распространяться в среде с определенной скоростью, называемой скоростью волны.

Важно отметить, что частицы среды не увлекаются движущейся волной. Скорость их колебательного движения отличается от скорости волны. Траектория частиц представляет собой замкнутую кривую, а их суммарное отклонение за период равно нулю. Поэтому распространение волн не вызывает переноса вещества, хотя при этом переносится энергия от источника колебаний в окружающее пространство.

В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания частиц, говорят о волнах продольной или поперечной поляризации.

Волны называются продольными, если смещение частиц среды происходит вдоль направления распространения волны (например, при периодическом упругом сжатии или растяжении тонкого стержня вдоль его оси). Продольные волны распространяются в средах, в которых силы упругости возникают при сжатии или растяжении (т. е. в твердых, жидких и газообразных).

Если частицы колеблются в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны, то волны называются поперечными. Они распространяются только в средах, в которых возможна деформация сдвига (только в твердых телах). Кроме того, поперечные волны распространяются на свободной поверхности жидкости (например, волны на поверхности воды) или на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей (например, на границе пресной и соленой воды).

В газовой среде волны представляют собой чередующиеся области более высокого и более низкого давления и плотности. Они возникают в результате вынужденных колебаний частиц газа, происходящих с различной фазой в различных точках. Под действием изменяющегося давления барабанная перепонка уха совершает вынужденные колебания, которые через уникальную сложную систему слухового аппарата вызывают биотоки, протекающие к мозгу.

Уравнение плоской волны. Фазовая скорость

Волновой поверхностью называют геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. В простейших случаях они имеет форму плоскости или сферы, а соответствующая волна называется плоской или сферической. Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых в данный момент времени доходят колебания. Фронт волны разделяет области пространства, уже вовлеченную в волновой процесс и еще не вовлеченную. Волновых поверхностей существует бесконечное множество и они неподвижны, а фронт волны один и он перемещается с течением времени.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х. Пусть частицы среды, лежащие в плоскости x = 0 , начинают в момент t =0 совершать колебания по гармоническому закону относительно исходного положения равновесия. Это значит, что смещение частиц от их исходного положения f изменяется во времени по закону синуса или косинуса, например:

где f - смещение данных частиц от их исходного положения равновесия в момент времени t , А -максимальное значение смещения (амплитуда); ω - циклическая частота.

Пренебрегая затуханием в среде, получим уравнение колебания частиц, расположенных в плоскости, соответствующей произвольному значению x >0). Пусть волна распространяется в направлении возрастания координаты х . Чтобы пройти путь от плоскости x =0 до указанной плоскости, волне требуется время

где v -скорость перемещения поверхности постоянной фазы (фазовая скорость).

Поэтому колебания частиц, лежащих в плоскости х , начнутся в момент t = τ и будут происходить по такому же закону, что и в плоскости х=0, но с отставанием по времени на величину τ , а именно:

(3)

Иначе говоря, смещение частиц, находившихся в момент t =0 в плоскости х, в момент t будут такими же, как в плоскости х =0, но в более ранний момент времени

t 1 = (4)

С учетом (4), выражение (3) преобразуется:

(5)

Уравнение (5) представляет собой уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х . Из него можно определить отклонение частиц среды от равновесия в любой точке пространства с координатой х и в любой момент времени t при распространении указанной волны. Уравнение (5) соответствует случаю, когда частицам в начальный момент была сообщена начальная скорость. Если же в начальный момент частицам сообщено отклонение от положения равновесия без сообщения скорости, в (5) вместо синуса нужно поставить косинус. Аргумент косинуса или синуса называют фазой колебания. Фаза определяет состояние колебательного процесса в данный момент времени (знак и абсолютную величину относительного отклонения частиц от их положения равновесия). Из (5) видно, что фаза колебаний частиц, расположенных в плоскости х , меньше соответствующей величины для частиц, расположенных в плоскости х =0, на величину, равную .

Если плоская волна распространяется в направлении убывания х (налево), то уравнение (5) преобразуется к виду:

(6)

Учитывая, что

запишем (6) в виде:

(8)

где Т - периодколебания, ν - частота.

Расстояние λ, на которое волна распространяется за период Т , называется длиной волны.

Можно также определить длину волны и как расстояние между двумя ближайшими точками, фазы колебаний которых отличаются на 2π (рис.1).

Как отмечено выше, упругие волны в газах представляют собой чередующиеся области с более высоким и более низким давлением и плотностью. Это иллюстрируется рис 1, на котором представлены для некоторого момента времени смещение частиц (а), их скорости (б), давление или плотность (в) в различных точках пространства. Частицы среды движутся со скоростью (не путать с фазовой скоростью v ). Слева и справа от точек A 1 , A 3 , A 5 и др. скорости частиц направлены к этим точкам. Поэтому в данных точках образуются максимумы плотности (давления). Справа и слева от точек A 2 , A 4 , A 6 и др. скорости частиц направлены от данных точек и в них образуются минимумы плотности (давления).

Смещение частиц среды при распространении в ней бегущей волны в различные моменты времени представлены на рис. 2. Как видно, имеется аналогия с волнами на поверхности жидкости. Максимумы и минимумы отклонений от положения равновесия перемещаются в пространстве с течением времени с фазовой скоростью v . С такой же скоростью перемещаются максимумы и минимумы плотности (давления).

Фазовая скорость волны зависит от упругих свойств и плотности среды. Предположим, что имеется длинный упругий стержень (рис. 3) с площадью поперечного сечения, равной S , в котором распространяется продольное возмущение вдоль оси х с плоским волновым фронтом Пусть за промежуток времени от t 0 до t 0 +Δt фронт переместится от точки А до точки В на расстояние АВ = v Δt , где v – фазовая скорость упругой волны. Длительность промежутка Δt возьмем настолько малой, что скорость движения частиц во всем объеме (т.е. между сечениями, проходящими перпендикулярно оси х через точки А и В ) будет одинаковой и равной u . Частицы из точки А за указанный промежуток времени переместятся на расстояние u Δt . Частицы же, расположенные в точке В , в момент t 0 +Δt только начнут движение и их перемещение к данному моменту времени будет равно нулю. Пусть первоначальная длина участка АВ равна l . К моменту t 0 +Δt она изменится на величину u Δt , которая и будет величиной деформации Δl . Масса участка стержня между точками А и В равна Δm = ρSvΔt. Изменение импульса этой массы за промежуток времени от t 0 до t 0 +Δt равно

Δр = ρSvuΔt (10).

Силу, действующую на массу Δm , можно определить из закона Гука:

По второму закону Ньютона , или . Приравни

вая правые части последнего выражения и выражения (10), получим:

откуда следует:

Скорость распространения поперечной волны

где G - модуль сдвига.

Звуковые волны в воздухе являются продольными. Для жидкостей и газов вместо модуля Юнга в формулу (1) входит отношение отклонения давления ΔΡ к относительному изменению объема

(13)

Знак минус означает, что увеличению давления (процессу сжатия среды) соответствует уменьшение объема и наоборот. Полагаяизменения объема и давления бесконечно малыми, можно записать

(14)

При распространении волн в газах давление и плотность периодически повышаются и понижаются (соответственно, при сжатии и разрежении), в результате чего происходит изменение температуры различных участков среды. Сжатие и разрежение происходят так быстро, что смежные участки не успевают обменяться энергией. Процессы, происходящие в системе без теплообмена с окружающей средой, называются адиабатическими. При адиабатическом процессе изменение состояния газа описывается уравнением Пуассона

(15)

Параметр γ называют показателем адиабаты. Он равен отношению молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении C p и постоянном объеме C v:

Взяв дифференциал от обеих частей равенства (15), получаем

откуда следует:

Подставив (6) в (4), получим для модуля упругости газа

Подставив (7) в (1), найдем скорость упругих волн в газах:

Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно выразить плотность газа

, (19)

где - молярная масса.

Подставляя (9) в (8), получим конечную формулу для нахождения скорости звука в газе:

где R - универсальная газовая постоянная, Т - температура газа.

Измерение скорости звука - один из наиболее точных методов определения показателя адиабаты.

Преобразуя формулу (10), получим:

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука.

В дальнейшем более удобно использовать в уравнении волны косинус. Учитывая (19 и 20), уравнение бегущей волны можно представить в виде:

(22)

где - волновое число, показывающее, сколько длин волн укладывается на расстоянии, равном 2π метров.

Для бегущей волны, распространяющейся против положительного направления оси х, получим:

(23)

Особую роль играют гармоническиеволны (см., например, уравнения (5, 6, 22, 23)). Это связано с тем,чтолюбое распространяющееся колебание, какова бы ни была его форма, всегда можно рассматривать как результат суперпозиции (сложения) гармонических волн с соответственно подобранными частотами, амплитудами и фазами.

Стоячие волны.

Особый интерес представляет собой результат интерференции двух волн с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющихся навстречу друг другу. На опыте это можно осуществить, если на пути бегущей волны перпендикулярно к направлению распространения поставить хорошо отражающую преграду. В результате сложения (интерференции) падающей и отраженной волн возникнет так называемая стоячая волна.

Пусть падающая волна описывается уравнением (22), а отраженная – уравнением (23). По принципу суперпозиции суммарное смещение равно сумме смещений, создаваемых обеими волнами. Сложение выражений (22) и (23) дает

Это уравнение, называемое уравнением стоячей волны, удобно в дальнейшем анализировать в виде:

, (25)

где множитель

(26)

является амплитудой стоячей волны. Как видноиз выражения (26), амплитуда стоячей волны зависит от координаты точки, но не зависит от времени. У бегущей плоской волны амплитуда не зависит ни от координаты, ни от времени (при отсутствии затухания).

Из (27) и (28) следует, что расстояние между соседними узлами, как и расстояние между соседними пучностями равно , а расстояние между соседними узлом и пучностью равно .

Из уравнения (25) следует, что все точки среды, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе, причем значение фазы определяется только временем. В частности, они достигают максимального отклонения в один и тот же момент времени. Для бегущей волны как следует из (16), фаза определяется как временем, так и пространственной координатой. В этом еще одно отличие между стоячими и бегущими волнами. При переходе через узел фаза стоячей волны скачкообразно изменяется на 180 о.

Смещение от положения равновесия для различных моментов времени в стоячей волне приведено на рис. 4. За начальный момент времени принят момент, когда частицы среды максимально отклонены от исходного положения равновесия (кривая 1).

И , представленные кривыми 6, 7, 8 и 9, совпадают с отклонениями в соответствующие моменты первого полупериода (т. е. кривая 6 совпадает с кривой 4 и т.д.). Как видно, с момента смещение частиц снова изменяет знак.

При отражении волн на границе двух сред возникает либо узел, либо пучность (в зависимости от так называемых акустических сопротивлений сред). Акустическим сопротивлением среды называют величину , где . – плотность среды, - скорость упругих волн в среде. Если среда, от которой отражается волна, обладает более высоким акустическим сопротивлением, чем та, в которой эта волна возбуждается, то на границе раздела образуется узел (рис. 5). В этом случае фаза волны при отражении меняется на противоположную (на 180°). При отражении волны от среды с меньшим акустическим сопротивлением изменение фазы колебаний не происходит.

В отличие от бегущей волны, которая переносит энергию, в стоячей волне никакого переноса энергии нет. Бегущая волна может двигаться вправо или влево, а у стоячей волны нет направления распространения. Под термином "стоячая волна" нужно понимать особое колебательное состояние среды, образованное интерферирующими волнами.

В момент, когда частицы среды проходят положение равновесия, полная энергия частиц, захваченных колебанием, равна кинетической. Она сосредоточена в окрестностях пучностей. Напротив, в момент, когда отклонение частиц от положения равновесия максимально, их полная энергия является уже потенциальной. Она сосредоточена вблизи узлов. Таким образом, два раза за период происходит переход энергии от пучностей к соседним узлам и наоборот. В результате средний по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.

На правах рукописи

Физика

Конспект лекций

(Часть 5. Волны, волновая оптика)

Для студентов направления 230400

«Информационные системы и технологии»

Электронный образовательный ресурс

Составитель: к.ф.-м.н., доцент В.В. Коноваленко

Протокол № 1 от 04. 09. 2013 г.

Волновые процессы

Основные понятия и определения

Рассмотрим некоторую упругую среду - твёрдую, жидкую или газообразную. Если в каком-либо месте этой среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами, колебания будут, передаваясь от одной частицы среды к другой распространяться в среде с некоторой скоростью . Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .

Если частицы в среде колеблются в направлении распространения волны, то она называется продольной. Если колебания частиц происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, то волна называется поперечной . Поперечные механические волны могут возникнуть только в среде, обладающей ненулевым модулем сдвига. Поэтому в жидкой и газообразной средах могут распространяться только продольные волны . Различие между продольными и поперечными волнами наиболее хорошо видно на примере распространения колебаний в пружине - см. рисунок.

Для характеристики поперечных колебаний необходимо задать положение в пространстве плоскости, проходящей через направление колебаний и направление распространения волны - плоскости поляризации .

Область пространства, в которой колеблются все частицы среды, называется волновым полем . Граница между волновым полем и остальным пространством среды называется фронтом волны . Иначе говоря, фронт волны - геометрическое место точек, до которых колебания дошли к данному моменту времени . В однородной и изотропной среде направление распространения волны перпендикулярно к фронту волны.

Пока в среде существует волна, частицы среды совершают колебания около своих положений равновесия. Пусть эти колебания являются гармоническими, и период этих колебаний равен Т . Частицы, отстоящие друг от друга на расстояние

вдоль направления распространения волны, совершают колебания одинаковым образом, т.е. в каждый данный момент времени их смещения одинаковы. Расстояние называется длиной волны . Другими словами, длина волны есть расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний .

Геометрическое место точек, совершающих колебания в одной фазе называется волновой поверхностью . Фронт волны – частный случай волновой поверхности. Длина волны – минимальное расстояние между двумя волновыми поверхностями, в которых точки колеблются одинаковым образом, или можно сказать, что фазы их колебаний отличаются на .

Если волновые поверхности являются плоскостями, то волна называется плоской , а если сферами – то сферической. Плоская волна возбуждается в сплошной однородной и изотропной среде при колебаниях бесконечной плоскости. Возбуждение сферической можно представить в виде результата радиальных пульсаций сферической поверхности, а также как результат действия точечного источника, размерами которого по сравнению с расстоянием до точки наблюдения можно пренебречь. Поскольку любой реальный источник имеет конечные размеры, на достаточно большом расстоянии от него волна будет близка к сферической. В то же время участок волновой поверхности сферической волны по мере уменьшения его размеров становится сколь угодно близким к участку волновой поверхности плоской волны.

Уравнение плоской волны, распространяющейся

В произвольном направлении

Получим. Пусть колебания в плоскости, параллельной волновым поверхностям и проходящей через начало координат, имеют вид:

В плоскости, отстоящей от начала координат на расстояние l , колебания будут отставать по времени на . Поэтому уравнение колебаний в этой плоскости имеет вид:

Из аналитической геометрии известно, что расстояние от начала координат до некоторой плоскости равно скалярному произведению радиус-вектора некоторой точки плоскости на единичный вектор нормали к плоскости: . Рисунок иллюстрирует данное положение для двумерного случая. Подставим значение l в уравнение (22.13):

(22.14)

Вектор , равный по модулю волновому числу и направленный по нормали к волновой поверхности, называется волновым вектором . Уравнение плоской волны можно теперь записать в виде:

Функция (22.15) даёт отклонение от положения равновесия точки с радиус-вектором в момент времени t . Для того, чтобы представить зависимость от координат и времени в явном виде необходимо учесть, что

. (22.16)

Теперь уравнение плоской волны принимает вид:

Часто оказывается полезным представить уравнение волны в экспоненциальной форме . Для этого воспользуемся формулой Эйлера:

где , запишем уравнение (22.15) в виде:

. (22.19)

Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым . Для того чтобы установить вид этого уравнения, найдем вторые производные по каждому из аргументов уравнения плоской волны (22.17):

, (22.20)

, (22.21)

, (22.22)

Сложим первые три уравнения с производными по координатам:

. (22.24)

Выразим из уравнения (22.23) : , и учтем, что :

(22.25)

Сумму вторых производных в левой части (22.25) представим как результат действия оператора Лапласа на , и в окончательном виде представим волновое уравнение в виде:

(22.26)

Примечательно, что в волновом уравнении квадратный корень из величины, обратной коэффициенту при производной по времени дает скорость распространения волны .

Можно показать, что волновому уравнению (22.26) удовлетворяет любая функция вида:

и каждая из них является уравнением волны и описывает некоторую волну.

Энергия упругой волны

Рассмотрим в среде, в которой распространяется упругая волна (22.10), элементарный объём достаточно малый, чтобы деформацию и скорость движения частиц в нём можно было считать постоянными и равными:

Вследствие распространения в среде волны объём обладает энергией упругой деформации

(22.38)

В соответствии с (22.35) модуль Юнга можно представить в виде . Поэтому:

. (22.39)

Рассматриваемый объём обладает также кинетической энергией:

. (22.40)

Полная энергия объёма:

А плотность энергии:

, а (22.43)

Подставим эти выражения в (22.42) и учтем, что :

Таким образом, плотность энергии различна в разных точках пространства и меняется во времени по закону квадрата синуса .

Среднее значение квадрата синуса равно 1/2, а значит среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды , в которой распространяется волна:

. (22.45)

Выражение (22.45) справедливо для всех видов волн.

Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии . Следовательно, волна переносит с собой энергию .

Х.6 Излучение диполя

Колеблющийся электрический диполь , т.е. диполь, электрический момент которого периодически изменяется, например, по гармоническому закону, является простейшей системой, излучающей электромагнитные волны. Одним из важных примеров колеблющегося диполя является система состоящая из отрицательного заряда , который колеблется вблизи положительного заряда . Именно такая ситуация реализуется при воздействии электромагнитной волны на атом вещества, когда под действием поля волны электроны совершают колебания в окрестности ядра атома.

Предположим, что дипольный момент изменяется по гармоническому закону:

где - радиус-вектор отрицательного заряда, l - амплитуда колебания, - единичный вектор, направленный вдоль оси диполя.

Ограничимся рассмотрением элементарного диполя , размеры которого малы по сравнению с излучаемой длиной волны и рассмотрим волновую зону диполя, т.е. область пространства для которой модуль радиус-вектора точки . В волновой зоне однородной и изотропной среды фронт волны будет сферическим - рисунок 22.4.

Электродинамический расчет показывает, что вектор волны лежит в плоскости, проходящей через ось диполя и радиус-вектор рассматриваемой точки. Амплитуды и зависят от расстояния r и угла между и осью диполя. В вакууме

Поскольку вектор Пойнтинга , то

, (22.33)

и можно утверждать, что сильнее всего диполь излучает в направлениях, соответствующих , и диаграмма направленности излучения диполя имеет вид, показанный на рисунке 22.5. Диаграммой направленности называется графическое изображение распределения интенсивности излучения по различным направлениям в виде кривой построенной так, чтобы длина отрезка луча, проведенного из диполя в некотором направлении до точки кривой, была пропорциональна интенсивности излучения.

Расчеты показывают также, что мощность Р излучения диполя пропорциональнаквадрату второй производной по времени от дипольного момента :

Поскольку

, (22.35)

то средняя мощность

оказывается пропорциональной квадрату амплитуды дипольного момента и четвертой степени частоты .

С другой стороны, учитывая, что и , получаем, что мощность излучения пропорциональна квадрату ускорения :

Это утверждение справедливо не только при колебаниях заряда, но и для произвольного движения заряда.

Волновая оптика

В этом разделе мы будем рассматривать такие световые явления, в которых проявляется волновая природа света. Напомним, что для света характерен корпускулярно-волновой дуализм и существуют явления, объяснимые только на основе представления о свете, как о потоке частиц. Но эти явления мы рассмотрим в квантовой оптике.

Общие сведения о свете

Итак, считаем свет электромагнитной волной. В электромагнитной волне колеблется и . Экспериментально установлено, что физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света определяются вектором световой волны, поэтому его называют световым. Соответственно, будем считать, что световая волна описывается уравнением:

где - амплитуда,

- волновое число (волновой вектор),

Расстояние вдоль направления распространения.

Плоскость, в которой колеблется , называется плоскостью колебаний . Световая волна распространяется со скоростью

, (2)

называется показателем преломления и характеризует отличие скорости света в данной среде от скорости света в вакууме (пустоте).

В большинстве случаев у прозрачных веществ магнитная проницаемость , и почти всегда можно считать, что показатель преломления определяется диэлектрической проницаемостью среды:

Значение n используют для характеристики оптической плотности среды: чем больше n, тем более оптически плотной называется среда .

Видимый свет имеет в вакууме длины волн в интервале и частоты

Гц

Реальные приемники света не в состоянии уследить за столь быстротечными процессами и регистрируют усредненный во времени поток энергии . По определению, интенсивностью света называется модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой световой волной :

(4)

Поскольку в электромагнитной волне

, (6)

Ι ~ ~ ~ (7)

I ~ A 2 (8)

Лучами будем называть линии, вдоль которых распространяется световая энергия.

Вектор среднего потока энергии всегда направлен по касательной к лучу . В изотропных средах совпадает по направлению с нормалью к волновым поверхностям.

В естественном свете имеются волны с самыми различными ориентациями плоскости колебаний. Поэтому, не смотря на поперечность световых волн, излучение обычных источников света не обнаруживает асимметрии относительно направления распространения. Эта особенность света (естественного) объясняется следующим: результирующая световая волна источника складывается из волн, испущенных различными атомами. Каждый атом излучает волну в течение секунд. За это время в пространстве образуется цуг волн (последовательность «горбов и впадин») длиной приблизительно 3 метра.

Плоскость колебаний каждого цуга вполне определённа. Но одновременно свои цуги излучают огромное число атомов, а плоскость колебаний каждого цуга ориентирована независимо от других, случайным образом. Поэтому в результирующей волне от тела колебания различных направлений представлены с равной вероятностью. Это означает, что, если некоторым прибором исследовать интенсивность света с различной ориентацией вектора , то в естественном свете интенсивность не зависит от ориентации .

Измерение интенсивности процесс длительный по сравнению с периодом волны, и рассмотренные представления о природе естественного света удобны при описании достаточно длительных процессов.

Однако в данный момент времени в конкретной точке пространства в результате сложения векторов отдельных цугов образуется некоторый конкретный . Вследствие случайных «включений» и «выключений» отдельных атомов световая волна возбуждает в данной точке колебание, близкое к гармоническому, но амплитуда, частота и фаза колебаний зависят от времени, причем изменяются хаотически. Так же хаотически изменяется и ориентация плоскости колебан ий. Таким образом, колебания светового вектора в данной точке среды можно описать уравнением:

(9)

Причем , и есть хаотически изменяющиеся во времени функц ии. Такое представление о естественном свете удобно, если рассматриваются промежутки времени, сравнимые с периодом световой волны.

Свет, в котором направления колебаний вектора упорядочены каким – либо образом называют поляризованным.

Если колебания светового вектора происходят только в одной плоскости , проходящей через луч, то свет называется плоско - или линейно поляризованным . Другими словами в плоско поляризованном свете плоскость колебаний имеет строго фиксированное положение. Возможны и другие виды упорядочения, то есть виды поляризации света.

Принцип Гюйгенса

В приближении геометрической оптики свет не должен проникать в область геометрической тени. В действительности свет проникает в эту область, и это явление становится тем существенней, чем меньше размеры преград. Если размеры отверстий или щелей сравнимы с длинной волны, то геометрическая оптика неприменима.

Качественно поведение света за преградой объясняется принципом Гюйгенса, который позволяет построить фронт волны в момент по известному положению в момент .

Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, становится точечным источником вторичных волн. Огибающая по фронтам вторичных волн дает положение фронта волны.

Интерференция света

Пусть в некоторой точке среды две волны (плоско поляризованные) возбуждают два колебания одинаковой частоты и одинакового направления :

и . (24.14)

Амплитуда результирующего колебания определяется выражением:

У некогерентных волн изменяется случайно и все значения равновероятны. Поэтому и из (24.15) вытекает:

6 Если же волны когерентные и , то

Но зависит от , – длинны пути от источников волн до данной точки и различно для различных точек среды . Следовательно, при наложении когерентных волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних точках среды интенсивность света увеличивается, , а в других – уменьшается - . Это явление называется интерференцией.

Отсутствие интерференции в быту при использовании нескольких источников света объясняется их некогерентностью . Отдельные атомы излучают импульсами в течение c и длина цуга ≈ 3метра. У нового цуга не только ориентация плоскости поляризации случайна, но и фаза также непредсказуема.

Реально когерентные волны получают путем разделения излучения одного источника на две части. При наложении частей можно наблюдать интерференцию. Но при этом разносить оптических длин не должна быть порядка длины цуга. Иначе интерференции не будет, т.к. накладываются различные цуги.

Пусть разделение происходит в точке O, а наложение – в точке Р. В P возбуждаются колебания.

и (24.17)

Скорости распространения волн в соответствующих средах.

Разносить фаз в точке Р :

где - длина волны света в вакууме.

Величина , т.е. равная разнице оптических длин путей между рассматриваемыми точками называется оптической разностью хода.

то , в (24.16) равен единице, и интенсивность света в будет максимальной.

(24.20)

то , колебания в точке происходят в противофазе, а значит интенсивность света минимальна.

КОГЕРЕНТНОСТЬ

Когерентность – согласованное протекание двух или нескольких волновых процессов. Абсолютной согласованности никогда не бывает, поэтому можно говорить о различной степени когерентности.

Различают временную и пространственную когерентность.

Временная когерентность

Уравнение реальных волн

Мы рассмотрели интерференцию волн, описываемых уравнениями вида:

(1)

Однако такие волны являются математической абстракцией, поскольку волна, описываемая (1), должна быть бесконечной во времени и пространстве. Только в этом случае величины могут быть определенными константами.

Реальная волна, образующаяся в результате наложения цугов от различных атомов, содержит в себе составляющие, частоты которых лежат в конечном диапазоне частот (соответственно волновые векторы в ), а А и a испытывают непрерывные хаотические изменения. Колебания, возбуждаемые в некоторой точке накладывающимися реальными волнами, можно описать выражением:

и (2)

Причем хаотические изменения функций от времени в (2) являются независимыми.

Для простоты анализа положим амплитуды волн постоянными и одинаковыми (экспериментально это условие реализуется достаточно просто):

Изменения частоты и фазы можно свести к изменениям только частоты или только фазы. Действительно, допустим, негармоничность функций (2) обусловлена скачками фазы. Но, по доказываемой в математике теореме Фурье , любую негармоническую функцию можно представить в виде суммы гармонических составляющих, частоты которых заключены в некоторых . В предельном случае сумма переходит в интеграл: любая конечная и интегрируемая функция может быть представлена интегралом Фурье:

, (3)

где есть амплитуда гармонической составляющей частоты , аналитически определяемая соотношением:

(4)

Итак, негармоническая вследствие изменения фазы функция представима в виде суперпозиции гармонических составляющих с частотами в некотором .

С другой стороны, функцию с переменной частотой и фазой можно свести к функции с переменной только фазой:

Поэтому для укрощения дальнейшего анализа будем считать:

т. е. реализуем фазовый подход к понятию «Временная когерентность».

Полосы равного наклона

Пусть тонкая плоскопараллельная пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом. Расположим параллельно пластинке собирающую линзу, в ее фокальной плоскости – экран . В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, падающие под углом , дают по 2 отраженных, которые соберутся в точке . Это справедливо для всех лучей, падающих на поверхность пластинки под данным углом, во всех точках пластинки. Линза обеспечивает сведение всех таких лучей в одну точку, поскольку параллельные лучи, падающие на линзу под определенным углом, собираются ею в одной точке фокальной плоскости, т.е. на экране. В точке О птическая ось линзы пересекает экран. В этой точке собираются лучи, идущие параллельно оптической оси.

Лучи, падающие под углом , но не в плоскости рисунка, а в других плоскостях, соберутся в точках, расположенных на таком же расстоянии от точки , как и точка . В результате интерференции этих лучей на некотором расстоянии от точки образуется окружность с определенной интенсивностью падающего света. Лучи, падающие под другим углом, образуют на экране окружность с другой освещенностью, которая зависит от их оптической разности хода. В результате на экране образуются чередующиеся темные и светлые полосы в форме окружностей. Каждая из окружностей образована лучами, падающими под определенным углом, и они называются полосами равного наклона . Локализованы эти полосы в бесконечности.

Роль линзы может исполнять хрусталик, а экрана – сетчатка глаза. При этом глаз должен быть аккомодирован на бесконечность. В белом свете получаются разноцветные полосы.

Полосы равной толщины

Возьмем пластинку в виде клина. Пусть на нее падает параллельный пучок света . Рассмотрим лучи, отразившиеся от верхней и нижней граней пластинки. Если эти лучи свести линзой в точке , то они будут интерферировать. При небольшом угле между гранями пластинки, разность хода лучей можно вычислять по форму
ле для плоскопараллельной пластинки. Лучи образовавшиеся от падения луча в некоторую другую точку пластинки соберутся линзой в точке . Разность их хода определится толщиной пластинки в соответствующем месте. Можно доказать, что все точки типа Р лежат в одной плоскости, проходящей через вершину клина.

Если расположить экран так, чтобы он был сопряжен с поверхностью, в которой лежат точки P, Р 1 Р 2 то на нем возникнет система светлых и темных полос, каждая из которых образована за счет отражений от пластинки в местах определенной толщины. Поэтому в данном случае полосы называются полосами равной толщины .

При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными. Локализованы полосы равной толщины вблизи поверхности пластинки. При нормальном падении света – на поверхности.

В реальных условиях, при наблюдении окрашивания мыльных и масляных пленок наблюдается полосы смешанного типа.

Дифракция света.

27.1. Дифракция света

Дифракцией называют совокупность явлений, наблюдаемых в среде с резкими оптическими неоднородностями и связанных с отклонениями в распространении света от законов геометрической оптики .

Для наблюдения дифракции на пути световой волны от некоторого источника помещают непрозрачную преграду, закрывающую часть волновой поверхности волны, испущенной источником. Возникающую дифракционную картину наблюдают на экране, расположенном на продолжении лучей.

Различают два вида дифракции. Если лучи, идущие от источника и от преграды в точку наблюдения можно считать почти параллельными, то говорят, что наблюдается дифракция Фраунгофера, или дифракция в параллельных пучках . Если условия дифракции Фраунгофера не выполняются, говорят о дифракции Френеля .

Необходимо отчетливо представлять, что между интерференцией и дифракцией нет принципиального физического отличия. Оба явления обусловлены перераспределением энергии накладывающихся когерентных световых волн. Обычно при рассмотрении конечного числа дискретных источников света, то говорят об интерференции. Если рассматривается наложение волн от непрерывно распределенных в пространстве когерентных источников, то говорят о дифракции.

27.2. Принцип Гюйгенса – Френеля

Принцип Гюйгенса позволяет в принципе объяснит проникновение света в область геометрической тени, однако ничего не говорит об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Френель дополнил принцип Гюйгенса указанием на то как следует рассчитывать интенсивность излучения от элемента волновой поверхности в различных направлениях, а также указанием на то, что вторичные волны являются когерентными, и при расчете интенсивности света в некоторой точке необходимо учитывать интерференцию вторичных волн. .

Волновые процессы

Основные понятия и определения

Уравнения плоской и сферической волн

Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся точки, как функцию координат равновесного положения точки и времени:

Если источник совершает периодические колебания, то функция(22.2) должна быть периодической функцией и координат и времени. Периодичность по времениследует из того, что функция описывает периодические колебания точки с координатами; периодичность по координатам - из того, что точки находящиеся на расстоянии вдоль направления распространения волны, колеблются одинаковым образом

Ограничимся рассмотрением гармонических волн, когда точки среды совершают гармонические колебания. Необходимо отметить, что любую негармоническую функцию можно представить в виде результата наложения гармонических волн. Поэтому рассмотрение только гармонических волн не приводит к принципиальному ухудшению общности получаемых результатов.

Рассмотрим плоскую волну. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны к оси Ох и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение точек среды из положений равновесия будет зависеть только отх и t :

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости имеют вид:

(22.4)

Колебания в плоскости, находящейся на расстоянии х от начала координат, отстают по времени от колебаний в на промежуток времени , необходимый волне для преодоления расстояния х, и описываются уравнением

которое и является уравнением плоской волны, распространяющейся в направлении оси Ох.

При выводе уравнения (22.5) мы предполагали амплитуду колебаний одинаковой во всех точках. В случае плоской волны это выполняется, если энергия волны не поглощается средой.

Рассмотрим некоторое значение фазы, стоящей в уравнении (22.5):

(22.6)

Уравнение (22.6) даёт связь между временем t и местом - х , в котором указанное значение фазы осуществляется в данный момент. Определив из уравнения (22.6) , мы найдём скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Дифференцируя(22.6), получаем:

Откуда следует (22.7)

Уравнение волны – это уравнение, выражающее зависимость смещения колеблющейся частицы, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени:

Эта функция должна быть периодической как относительно времени , так и относительно координат . Кроме того, точки, отстоящие на расстоянии l друг от друга, колеблются одинаковым образом.

Найдём вид функции x в случае плоской волны.

Рассмотрим плоскую гармоническую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси в среде, не поглощающей энергию. В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны оси . Все величины, характеризующие колебательное движение частиц среды, зависят только от времени и координаты . Смещение будет зависеть только от и : . Пусть колебание точки с координатой (источник колебаний) задается функцией . Задача : найти вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению . Для того, чтобы пройти путь от плоскости до этой плоскости, волне требуется время . Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости , будут отставать по фазе на время от колебаний частиц в плоскости . Тогда уравнение колебаний частиц в плоскости будет иметь вид:

В итоге получили уравнение плоской волны распространяющейся в направлении возрастания :

. (3)

В этом уравнении – амплитуда волны; – циклическая частота; – начальная фаза, которая определяется выбором начала отсчета и ; – фаза плоской волны.

Пусть фаза волны будет величиной постоянной (зафиксируем значение фазы в уравнении волны):

Сократим это выражение на и продифференцируем. В итоге получим:

или .

Таким образом, скорость распространения волны в уравнении плоской волны есть не что иное, как скорость распространения фиксированной фазы волны. Такую скорость называют фазовой скоростью .

Для синусоидальной волны скорость переноса энергии равна фазовой скорости. Но синусоидальная волна не несёт никакой информации, а любой сигнал это модулированная волна, т.е. не синусоидальная (не гармоническая). При решении некоторых задач получается, что фазовая скорость больше скорости света. Здесь нет парадокса, т.к. скорость перемещения фазы не есть скорость передачи (распространения) энергии. Энергия, масса не могут двигаться со скоростью больше чем скорость света c .

Обычно уравнению плоской волны придают симметричный относительно и вид. Для этого вводится величина , которая называется волновым числом . Преобразуем выражение для волнового числа. Запишем его в виде (). Подставим это выражение в уравнение плоской волны:

Окончательно получим

Это уравнение плоской волны, распространяющейся в сторону возрастания . Противоположное направление распространения волны будет характеризоваться уравнением, в котором поменяется знак перед членом .

Удобна запись уравнения плоской волны в следующем виде.

Обычно знак Re опускают, подразумевая, что берётся только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме этого вводится комплексное число.

Это число называется комплексной амплитудой. Модуль этого числа даёт амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны.

Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в следующем виде.

Всё рассмотренное выше относилось к среде, где отсутствовало затухание волны. В случае затухания волны, в соответствии с законом Бугера (Пьер Бугер, французский учёный (1698 – 1758)), амплитуда волны будет уменьшаться при её распространении. Тогда уравнение плоской волны будет иметь следующий вид.

a – коэффициент затухания волна. A 0 – амплитуда колебаний в точке с координатами . Это величина обратная расстоянию, при котором амплитуда волны уменьшается в e раз.

Найдем уравнение сферической волны . Будем считать источник колебаний точечным. Это возможно, если ограничиться рассмотрением волны на расстоянии, много большем размеров источника. Волна от такого источника в изотропной и однородной среде будет сферической . Точки лежащие на волновой поверхности радиуса , будут колебаться с фазой

Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не будет оставаться постоянной. Она убывает с расстоянием от источника по закону . Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид:

или

В силу сделанных предположений уравнение справедливо только при , значительно превышающих размеры источника волн. Уравнение (6) неприменимо для малых значений , т.к. амплитуда устремилась бы к бесконечности, а это абсурд.

При наличии затухания в среде уравнение сферической волны запишется следующим образом.

Групповая скорость

Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность "горбов" и "впадин".

Фазовая скорость этой волны или (2)

С помощью такой волны нельзя передать сигнал, т.к. в любой точке волны все "горбы" одинаковы. Сигнал должен отличаться. Быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет гармонической, и не будет описываться уравнением (1). Сигнал (импульс) можно представить согласно теореме Фурье в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, заключёнными в некотором интервале Dw . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте,

называется волновым пакетом или группой волн .

Выражение для группы волн может быть записано следующим образом.

(3)

Значок w подчеркивает, что эти величины зависят от частоты.

Этот волновой пакет может быть суммой волн с мало отличающимися частотами. Там, где фазы волн совпадают, наблюдается усиление амплитуды, а там, где фазы противоположны, наблюдается гашение амплитуды (результат интерференции). Такая картина представлена на рисунке. Чтобы суперпозицию волн можно было считать группой волн необходимо выполнение следующего условия Dw << w 0 .

В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью v . Дисперсия это зависимость фазовой скорости синусоидальной волны в среде от частоты. Явление дисперсии мы рассмотрим позже в разделе "Волновая оптика". В отсутствии дисперсии скорость перемещения волнового пакета совпадает с фазовой скорость v . В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью. Поэтому волновой пакет с течением времени расплывается, его ширина увеличивается.

Если дисперсия невелика, то расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Поэтому движению всего пакета можно приписать некоторую скорость U .

Скорость, с которой перемещается центр волнового пакета (точка с максимальным значением амплитуды) называется групповой скоростью .

В диспергирующей среде v¹ U . Вместе с движением самого волнового пакета происходит движение "горбов" внутри самого пакета. "Горбы" перемещаются в пространстве со скоростью v , а пакет в целом со скоростью U .

Рассмотрим подробнее движение волнового пакета на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными частотами w (разными длинами волн l ).

Запишем уравнения двух волн. Примем для простоты начальные фазы j 0 = 0.

Здесь

Пусть Dw << w , соответственно Dk << k .

Сложим колебания и проведём преобразования с помощью тригонометрической формулой для суммы косинусов:

В первом косинусе пренебрежём Dwt и Dkx , которые много меньше других величин. Учтём, что cos(–a) = cosa . Окончательно запишем.

(4)

Множитель в квадратных скобках изменяется от времени и координаты значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (4) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой, описываемой первым сомножителем. Графически волна, описываемая выражением (4) представлена на рисунке, изображённом выше.

Результирующая амплитуда получается в результате сложения волн, следовательно, будут наблюдаться максимумы и минимумы амплитуды.

Максимум амплитуды будет определяться следующим условием.

(5)

m = 0, 1, 2…

x max – координата максимальной амплитуды.

Косинус принимает максимальное значение по модулю через p .

Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн.

Разрешив (5) относительно x max получим.

Так как фазовая скорость , то называется групповой скоростью. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды волнового пакета. В пределе, выражение для групповой скорости будет иметь следующий вид.

(6)

Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн.

Следует отметить, что при точном учёте всех членов разложения (для произвольного числа волн), выражение для амплитуды получается таким, что из него следует, что волновой пакет со временем расплывается.
Выражению для групповой скорости можно придать другой вид.

В отсутствии дисперсии

Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости.

Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Этот случай наблюдается в области аномальной дисперсии. Это мы будем рассматривать в разделе "Волновая оптика".

Портал для школьника. Самоподготовка

СХОЖИЕ СТАТЬИ