Основные понятия

В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:

• угол;
• развёрнутый и неразвёрнутый угол;
• градус, минута и секунда;
• градусная мера угла;
• прямой, острый и тупой углы.

Углом называют такую геометрическую фигуру, которая представляет собой точку (вершину) и исходящие из неё два луча (стороны). Угол называют развёрнутым, если оба луча лежат на одной прямой.

Благодаря градусной мере угла можно произвести измерение углов. Измерение углов проводится аналогично измерению отрезков. Так же, как и при измерении отрезков, при измерении углов используется специальная единица измерения. Чаще всего это градус.

Определение 1

Градус - это единица измерения. В геометрии он представляет собой угол, с которым сравнивают другие углы. Градус равен $\frac{1}{180}$ от развёрнутого угла.

Теперь можно дать определение градусной мере угла.

Определение 2

Градусная мера угла - это такое положительное число, которое обозначает, сколько раз градус помещается в данном угле.

Для измерения углов используют транспортир.

Пример записи градусной меры: $\angle ABC = 150^{\circ}$. На рисунке эта запись означает следующее:

В устной форме говорят так: "Угол АВС равен 150 градусам".

Некоторые части градуса имеют свои специальные названия. Минутой называют $\frac{1}{60}$ часть градуса, для обозначения используется знак $"$. Секундой называют $\frac{1}{60}$ часть минуты, для обозначения используют $""$. Пример записи угла в 75 градусов, 45 минут и 28 секунд: $75^{\circ}45"28""$.

Равными называют те углы, у которых градусные меры равны. Соответственно, углы можно сравнивать, говоря, что один угол меньше другого или один угол больше другого.

Выше было дано определение развернутому углу. Владея понятием градусной меры, мы можем описать разницу между развернутым и неразвернутым углом. Развернутый угол всегда равен $180^{\circ}$. Неразвернутый угол - это любой угол меньше $180^{\circ}$.

Различают прямой, острый и тупой углы. Прямой угол равен $90^{\circ}$, острый - меньше $90^{\circ}$, тупой - больше $90^{\circ}$ и меньше $180^{\circ}$.

Рисунок 4. Прямой, острый и тупой углы. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

В повседневной жизни есть примеры необходимости и важности умения измерять углы и понимать градусную меру. Измерение углов необходимо в различных исследованиях, в том числе в астрономии при определении положения небесных тел.

Для практики, попробуйте начертить хотя бы три неразвёрнутых угла и один развёрнутый разными способами, измерьте с помощью транспортира углы и запишите эти результаты. Можно задать случайные числа и попрактиковаться в точности черчения углов с помощью транспортира, деления их с помощью биссектрисы (биссектриса - это луч, исходящий из вершины данного угла и делящий угол пополам).

Примеры задач

Пример 1

Задача . Есть рисунок:

Лучи $DE$ и $DF$ - биссектрисы соответствующих углов $ADB$ и $BDC$. Требуется найти угол $ADC$, если $\angle EDF = 75^{\circ}$.

Решение . Так как угол $EDF$ содержит по половинке от каждого угла $ADB$ и $BDC$, то можем сделать вывод, что $EDF$ - это ровно половина самого угла $ADC$. Получаем простые вычисления: $\angle ADC=75\cdot 2=150^{\circ}$.

Ответ : $150^{\circ}$.

Приведём ещё один интересный пример.

Пример 2

Задача . Дан рисунок.

Угол $ABC$ прямой. Углы $ABE$, $EBD$ и $DBC$ равны. Требуется найти угол, образованный биссектрисами $ABE$ и $DBC$.

Решение . Так как $ABC$ - прямой угол, то, значит, он равен $90^{\circ}$. Угол $\angle EBD=90/3=30^{\circ}$. Так как углы $ABE$, $EBD$ и $DBC$ равны, то любой из них будет равен $30^{\circ}$. Биссектриса любого из этих углов поделит любой из этих углов на два угла, равных $15^{\circ}$. Так как две половины углов $ABE$ и $DBC$ принадлежат искомому углу, то мы можем утверждать, что искомый угол равен $30+15+15=60^{\circ}$.

Ответ . $60^{\circ}$

В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.

Как найти градусную меру угла?

Для многих в школе геометрия - это настоящее испытание. Одной из базовых геометрических фигур является угол. Под этим понятием подразумевают два луча, которые берут начало в одной точке. Для измерения значения (величины) угла используют градусы или радианы. Как найти градусную меру угла, вы узнаете из нашей статьи.

Виды углов

Допустим, у нас есть угол. Если мы его разложим в прямую, тогда его величина будет равняться 180 градусам. Такой угол называют развернутым, а одним градусом считают 1/180 его часть.

Кроме развернутого угла различают еще острые (меньше 90 градусов), тупые (больше 90 градусов) и прямые (равные 90 градусам) углы. Эти термины используют для характеристики величины градусной меры угла.

Измерение угла

Величину угла измеряют с помощью транспортира. Это специальный прибор, на котором полукруг уже разбит на 180 частей. Приложите транспортир к углу так, чтобы одна из сторон угла совпадала с нижней частью транспортира. Второй луч должен пересекать дугу транспортира. Если этого не происходит, уберите транспортир и с помощью линейки удлините луч. Если угол «открывается» вправо от вершины, считывают его значение по верхней шкале, если влево - по нижней.

В системе СИ принято измерять величину угла в радианах, а не в градусах. В развернутом угле помещается всего 3,14 радиана, поэтому эта величина неудобна и на практике почти не применяется. Именно поэтому необходимо знать, как перевести радианы в градусы. Для этого существует формула:

• Градусы = радианы/π х 180

Например, величина угла равняется 1,6 радиана. Переводим в градусы: 1,6/3,14 * 180 = 92

Свойства углов

Теперь вы знаете, как измерять и пересчитывать градусные меры углов. Но для решения задач необходимо еще знать свойства углов. На сегодняшний день сформулированы следующие аксиомы:

• Любой угол можно выразить в градусной мере, большей нуля. Величина развернутого угла - 360.
• Если угол состоит из нескольких углов, то его градусная мера равняется сумме всех углов.
• В заданную полуплоскость от любого луча можно построить угол заданной величины, меньший 180 градусов, причем только один.
• Величины равных углов одинаковы.
• Чтобы сложить два угла, надо сложить их величины.

Понимание этих правил и умение измерять углы - ключ к успешному изучению геометрии.

Углом называется фигура, которая состоит из точки - вершины угла и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла (рис. 14). Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми, то угол называется развернутым.

Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют

символом Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами:

Говорят, что луч с проходит между сторонами угла если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

На рисунке 15 луч с проходит между сторонами угла так как он пересекает отрезок

В случае развернутого угла любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Углы измеряются в градусах. Если взять развернутый угол и разделить его на 180 равных углов то градусная мера каждого из этих углов называется градусом.

Основные свойства измерения углов выражены в следующей аксиоме:

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла то угол равен сумме углов

Градусная мера угла находится при помощи транспортира.

Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Сформулируем основное свойство откладывания углов.

От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Рассмотрим полупрямую а. Продлим ее за начальную точку А. Полученная прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке 16 показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.

Т. 1. 2. Если от данной полупрямой отложить в одну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой, проходит между сторонами большего угла.

Пусть - углы, отложенные от данной полупрямой а в одну полуплоскость, и пусть угол меньше угла . В теореме 1. 2 утверждается, что луч проходит между сторонами угла (рис. 17).

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между сторонами и делит угол пополам. На рисунке 18 луч - биссектриса угла

В геометрии существует понятие плоского угла. Плоским углом называется часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла. Существуют два плоских угла с данными сторонами. Они называются дополнительными. На рисунке 19 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и

Лекция: Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

Мерой угла называют величину, на которую отклоняется некоторый луч относительно первоначального положения.

Мера угла может измеряться двумя величинами: градусами и радианами, отсюда и название единиц – градусная и радианная мера угла.

Градусная мера угла

Градусная мера дает возможность оценить, какое количество градусов, минут или секунд помещается в тот или иной угол.

Расчет углов в градусах производится с точки зрения того, что полный поворот луча – это 360°. Половина поворота 180° - развернутый угол, четверть – 90° - прямой угол и т.д.

Радианная мера угла

А теперь давайте же разберемся, что такое радианная мера угла. Как известно из физики, существуют дополнительные единицы. Например, для измерения температуры основной единицей являются Кельвины, а дополнительной градусы Цельсия. Для измерения длины мы используем метры, а англичане используют футы. Данный список можно продолжать и далее. Смысл в том, чтобы Вы поняли, что, кроме градусной меры измерения угла, существует радианная мера, которая так же имеет право на существование.

Для определения радианной меры угла используют окружность. Считается, что радианная мера – это длина дуги окружности, описанная центральным углом.

Напомним, что центральный угол – это угол, вершина которого находится в центре окружности, а лучи опираются на некоторую дугу.

Итак, угол в 1 рад имеет градусную меру в 57,3°. Радианная мера угла описывается либо натуральными числами, или же с использованием числа π ≈ 3,14.

Для геометрии удобнее использовать градусную меру угла, однако для тригонометрии используют радианную меру.

Математика, геометрия – многим эти науки, как, впрочем, и большинство других точных, даются крайне тяжело. Людям трудно разобраться в формулах и странной терминологии. Что скрывается под этим странным понятием?

Определение

Для начала, нужно рассмотреть просто меру угла. В этом поможет изображение луча и прямой линии. Сначала нужно провести, например, горизонтальную прямую линию. Затем от её первой точки проводится луч, не параллельный прямой. Таким образом, между прямой и лучом появляется некоторое расстояние, небольшой угол. Мера угла – это размер этого самого поворота луча.

Это понятие обозначает определенное цифровое значение, которое будет больше нуля. Оно выражается в градусах, а также его составных частях, то есть минутах и секундах. То количество градусов, которое поместится в угол между лучом и прямой, и будет градусной мерой.

Свойства углов

• Абсолютно каждый угол будет иметь определённую градусную меру .
• Если он полностью развернут, то число будет равняться 180 градусам.
• Для нахождения градусной меры рассматривается сумма всех углов, которые разбил луч.
• С помощью любого луча можно создать полуплоскость, в которой реально сделать угол. Он будет иметь градусную меру, величина которой будет менее 180, и такой угол может быть лишь один.

Как узнать меру угла?

Как правило, минимальной градусной мерой является 1 градус, который составит 1/180 от развернутого угла. Однако иногда нельзя получить настолько четкую цифру. В этих случаях применяют секунды и минуты.

При их нахождении значение можно перевести в градусы, таким образом получится доля градуса. Иногда применяют дробные числа, вроде 80,7 градуса.

Также важно запомнить ключевые величины. Прямой угол всегда будет равняться 90 градусам. Если мера больше, то он будет считаться тупым, а если меньше, то острым.