Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.

Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.

Разберем конкретный пример: а log a x = x, где a › 0, a ≠ 1.

Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:

Логарифмирование

Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.

Примеры:

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1. В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:

• область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
• ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка (— ∞; +∞);
• если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
• если основание логарифма 0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
• логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
• кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y= а x . Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log 2⁡ x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log 2 ⁡(x+2)-3 и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Примеры решения типовых задач ЕГЭ

Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.

Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.

F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.

Поэтому график y=-log 3⁡ x убывает на всей области определения, а y= -log (1/3) ⁡x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.

Ответ : 3,4,5.

Ответ : 4.

Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.

Задание 3.

Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.

Y = log 0.7 ⁡(0,1x-5)

Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля. Решим неравенство:

Ответ : область определения D(x) – интервал (50; + ∞).

Ответ : 3, 1, оси OX, направо.

Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.

Задание 5 . Найти область значений для функции:

Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств.

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Модульный урок по теме:

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства.

Цели урока:

Образовательные цели:

Учебный элемент №1.

Ц1. Повторить и закрепить свойства функции у= log a x при различных а.

Учебный элемент №2.

Ц2. Закрепить решение логарифмических уравнений, корректировать знания.

Ц3. Закрепить решение логарифмических неравенств, корректировать.

Учебный элемент №3.

Ц4. Научить применение полученных знаний в нестандартных ситуациях.

Развивающие цели:

Научить учащихся грамотно, доступно излагать свои мысли, развивать математическую речь, формировать навыки самообучения, самоорганизации и самооценки.

Воспитательные цели:

Воспитать у учащихся любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Примерный план урока

Организационное начало.

Знакомство, мотивация, эпиграф.

Устные упражнения.

Объявление темы урока, плана.

Учебный элемент №1

Исторические сведения, применение логарифма.

Промежуточная диагностика.

Взаимопроверка.

Учебный элемент №2

Повторение теоретической части.

Промежуточная диагностика.

Самопроверка.

Учебный элемент №3

Решение задачи.

Промежуточная диагностика.

Коррекция.

Подведение итогов, оценивание.

Домашнее задание.

Оборудование: опорные сигналы, памятки, формулы–справочники; карточки с заданиями; тесты.

Тип урока : урок обобщения и систематизации знаний.

ХОД УРОКА

Мотивация

Дорогие ребята! Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением: Математика – интересный и нужный предмет.

Сегодняшнему уроку я посвятила свое стихотворение, которое назвала «Признание»:

Математика! Как я люблю тебя,

В течение очень многих лет.

Таинственней, величавей, строже

Чем ты, на свете предметов нет.

С тобой я узнала радость познанья,

Наслаждаясь красотой твоей,

Постигала тайны мирозданья,

Ты стала смыслом жизни моей!

Как сияют лица вдохновеньем,

Когда с волненьем я веду урок

О логарифмических уравнениях,

Об изяществе формул царицы наук.

И не знаю я момента лучшего,

Чем тот, когда мой юный друг,

Склоняясь над задачей вдумчиво,

Ничего не замечает вокруг.

Математика!

В тебе мысли глубина и точность,

В тебе числам и задачам простор.

Теорем и определений строгость,

Совершенство и гармония фигур.

В самом деле, душой математики является красота и гармония. Я хочу, чтобы вы чувствовали эту красоту и это чувство помогало вам в изучении такого замечательного предмета, как математика. Тем более вы все собираетесь связывать свою жизнь так или иначе с этим предметом. О гармонии в математики, о ее красоте говорили очень многие. Об этом говорил и известный геометр 20 века

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение логарифма

Логарифм с основанием a - это функция y(x) = log a x , обратная к показательной функции с основанием a: x(y) = a y .

Десятичный логарифм - это логарифм по основанию числа 10 : lg x ≡ log 10 x .

Натуральный логарифм - это логарифм по основанию числа e : ln x ≡ log e x .

2,718281828459045... ;
.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x . Слева изображены графики функции y(x) = log a x для четырех значений основания логарифма : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Область определения	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значений	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом :

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если , то

Если , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e .
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ :
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Логарифмической функцией комплексного переменного z называется функция, обратная показательной.

Так как показательная функция ez не является однолистной в C, то обратная к ней функция будет многозначной. Эта многозначная логарифмическая функция обозначается Ln z. Таким образом, если w = Ln z, то z = ew . Заметим, что так как ez 6= 0; 8z 2 C, то Ln 0 не существует. Положим

w = u + iv; z = rei" = rei Arg z ;

re i Arg z= z = e w= e u+iv= e ue iv:

Сравнивая числа, стоящие слева и справа этой цепочки, заключаем, что

Каждому комплексному числу z, отличному от 0 и 1, формула (4.16) ставит в соответствие бесконечное множество значений Ln z, отличающихся друг от друга на величину 2 ki, где k любое целое число. Удобно представить Arg z в виде

Arg z = arg z + 2 k;

где arg z главное значение аргумента. Тогда формула (4.16) примет вид:

Ln z = ln jzj + i(arg z + 2 k); k 2 C:

Пример 4.5. Решить уравнение e 2
	Очевидно z =			2i) = 2i Ln(2 2i).

Чтобы привести это число к алгебраическому виду, воспользуемся формулой (4.17).

2i Ln(2 2i) = 2i (ln j2 2ij + i Arg(2 2i)) =

	2i ln(2p 2) + i

где k 2 Z:

Для каждого значения k функция Ln z является непрерывной однозначной функцией в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной части действительной оси; она также и аналитична в этой области как функция, обратная аналитической функции ez . Таким образом, для каждого фиксированного k формула(4.17) определяет регулярную ветвь многозначной функции Ln z. Эта ветвь взаимно-однозначно отображает плоскость с разрезом по отрицательной части действительной оси в полосу

2 k < Im w < + 2 k:

Ветвь, которая получается при k = 0, обозначается ln z и называется главным значением многозначной функции Ln z:

ln z = ln jzj + i arg z:

Главная ветвь логарифма будет отображать луч arg z = c в прямую Im w = c, угол c1 < arg z < c2 в полосу c1 < Im w < c2 .

Чтобы представить себе риманову поверхность функции Ln z, возьмем бесконечное количество экземпляров ("листов") плоскости с разрезом по отрицательной части действительной оси и склеим их так, как показано на рис. 4.14.

Рис. 4.14

Над каждой точкой плоскости, кроме точек z = 0 и z = 1, располагается бесконечно много точек римановой поверхности. В точках 0 и 1 функция Ln z не определена, и точек поверхности над ними нет. Точки z = 0 и z = 1 называются точками ветвления бесконечного порядка.

Рис. 4.14 наглядно демонстрирует причину того, что ln(1 + i 0) 6= ln(1 i 0). Если предположить, что точки1 ih находятся на одном и том же листе римановой поверхности и устремить h к нулю, то предельные положения1 + i 0 и 1 i 0 этих точек окажутся на разных листах римановой поверхности.

Выделить регулярную ветвь логарифма можно не только в области D, являющейся плоскостью с разрезом по отрицательной части действительной оси. Если сделать разрез плоскости по любому лучу, то полученная область также допускает выделение в ней регулярной ветви. Пусть разрез сделан по лучу, идущему под углом к оси OX. Тогда регулярные ветви будут задаваться следующей формулой: при z = rei" , < " < + 2 Ln z = ln r + i(" + 2 k): Формула(4.17) является частным случаем при = .

В заключение отметим, что производная каждой регулярной ветви f(z) логарифма находится по формуле

f0 (z) =z 1 ;

аналогичной формуле для производной логарифма действительного переменного. Этот факт выводится из равенства (ez )0 = ez и формулы производной обратной функции.

4.6. Общая степенная функция

Общая степенная функция w = za , где a = + i фиксированное комплексное число, определяется соотношением

Отсюда следует, что значения степенной функции отличаются лишь аргументами k = (" + 2 k). Если рациональное число, т.е. оно представимо несократимой дробью =m n (m

и n целые числа), то среди k имеется лишь n значений, определяющих различные значения za :

При k = n; n + 1; : : : мы получим значения k , отличающиеся от уже известных на числа, кратные 2 . Значит, для таких значений k мы не получим новых точек za . Итак, при a = m=n формула(4.19) дает (мы пользуемся также равенством eln r = r для действительных чисел r,):

		cos, то =k 2 k 1 и, следова-тельно, рациональное число, что противоречило бы сделан- ному предположению.) Поэтому для иррациональных чисел a функция za бесконечнозначна. Ее риманова поверхность такая же, как и риманова поверхность логарифма. Общая степенная функция w = za в силу своего определения допускает выделение регулярных ветвей там же, где логарифм; например, в плоскости с разрезом по лучу. Ветвь e a ln z= e a(ln jzj+i arg z); выделенная в плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, называется главной ветвью степенной функции. В силу теоремы о производной сложной функции для каждой регулярной ветви степенной функции справедливы равенства dz d za =dz d eaf(z) = eaf(z) af0 (z) = za az 1 = aza 1 ; где f(z) регулярная ветвь логарифмической функции Ln z. Мы получили обычную формулу для производной степен- ной функции: (za )0 = aza 1 . Пример 4.6. Представить в алгебраической форме комплексное число (1 + i)2i .