Если тело бросить вертикально вверх при наличии начальной скорости υ 0 , оно будет двигаться равнозамедленно с ускорением, равным a = - g = - 9 , 81 υ c 2 .

Рисунок 1

Высота подбрасывания h за время t и скорость υ через промежуток t можно определить формулами:

t m a x - это время, за которое тело достигает максимальной высоты h m a x = h , при υ = 0 , а сама высота h m a x может быть определена при помощи формул:

Когда тело достигает высоты, равной h m a x , то оно обладает скоростью υ = 0 и ускорением g . Отсюда следует, что тело не сможет оставаться на этой высоте, поэтому перейдет в состояние свободного падения. То есть, брошенное вверх тело – это равнозамедленное движение, при котором после достижения h m a x изменяются знаки перемещения на противоположные. Важно знать, какая была начальная высота движения h 0 . Общее время тела примет обозначение t , время свободного падения - t п, конечная скорость υ к, отсюда получаем:

Если тело брошено вертикально вверх от уровня земли, то h 0 = 0 .

Время, необходимое для падения тела с высоты, куда предварительно было брошено тело, равняется времени его подъема на максимальную высоту.

Так как в высшей точке скорость равняется нулю видно:

Конечная скорость υ к тела, брошенного от уровня земли вертикально вверх, равна начальной скорости υ 0 по величине и противоположна по направлению, как показано на ниже приведенном графике.

Рисунок 2

Примеры решения задач

Пример 1

Тело было брошено вертикально вверх с высоты 25 метров со скоростью 15 м / с. Через какой промежуток времени оно достигнет земли?

Дано: υ 0 = 15 м / с, h 0 = 25 м, g = 9 , 8 м / с 2 .

Найти: t .

Решение

t = υ 0 + υ 0 2 + g h 0 g = 15 + 15 2 + 9 , 8 · 25 9 , 8 = 3 , 74 с

Ответ: t = 3 , 74 с.

Пример 2

Был брошен камень с высоты h = 4 вертикально вверх. Его начальная скорость равняется υ 0 = 10 м / с. Найти высоту, на которую сможет максимально подняться камень, его время полета и скорость, с которой достигнет поверхности земли, пройденный телом путь.

В 13:15 поступил вопрос в раздел ЕГЭ (школьный), который вызвал затруднения у обучающегося.

Вопрос вызвавший трудности

Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли со скоростью 20 м/с. На какую максимальную высоту оно поднимется?

Ответ подготовленный экспертами Учись.Ru

Для того чтобы дать полноценный ответ, был привлечен специалист, который хорошо разбирается требуемой тематике "ЕГЭ (школьный)". Ваш вопрос звучал следующим образом: "Тело брошено вертикально вверх с поверхности земли со скоростью 20 м/с. На какую максимальную высоту оно поднимется?"

После проведенного совещания с другими специалистами нашего сервиса, мы склонны полагать, что правильный ответ на заданный вами вопрос будет звучать следующим образом:

ответ к заданию по физике

Работы, которые я готовлю для студентов, преподаватели всегда оценивают на отлично. Я занимаюсь написанием студенческих работ уже более 4-х лет. За это время, мне еще ни разу не возвращали выполненную работу на доработку! Если вы желаете заказать у меня помощь оставьте заявку на этом сайте . Ознакомиться с отзывами моих клиентов можно на

Задача по физике - 905

2016-09-17
Тело бросили вертикально вверх с поверхности земли. Расстояние $l$ между этим телом и неподвижным наблюдателем изменяется со временем $t$ по закону, показанному на графике (см. рисунок). На какой высоте над землёй и на каком расстоянии от линии, по которой движется тело, находится наблюдатель? Чему равна начальная скорость тела? Величины $l_{0}, l_{1}$ и $l_{2}$ считайте известными, ускорение свободного падения равно $g$.

Решение:

Пусть наблюдатель находится на высоте $h$ и на расстоянии $a$ от линии, по которой движется тело. При бросании тела возможны два случая:

1) тело не долетает до высоты, на которой находится наблюдатель - в этом случае расстояние $l$ от тела до наблюдателя сначала уменьшается, а затем увеличивается;

2) тело поднимается выше наблюдателя - в этом случае расстояние $l$ сначала уменьшается от $\sqrt{a^{2} + h^{2}}$ до $a$, затем увеличивается до $\sqrt{a^{2} + (H-h)^{2}}$, где $H$ - высота подъёма тела, а потом опять уменьшается до $a$ и увеличивается до $\sqrt{a^{2} + h^{2}}$.

Как видно из приведённого в условии рисунка, реализуется именно второй случай. При этом

$l_{0} = \sqrt{a^{2} + h^{2}}, l_{1} = \sqrt{a^{2} + (H-h)^{2}}$.

Отсюда находим:

$a = l_{2}, h = \sqrt{ l_{0}^{2} - a^{2}} = \sqrt{l_{0}^{2} - l_{2}^{2}}$

$H = h + \sqrt{l_{1}^{2} - a^{2}} = \sqrt{ l_{1}^{2} - a^{2}} = \sqrt{l_{0}^{2} - l_{2}^{2}} + \sqrt{l_{1}^{2} - l_{2}^{2}}$.

Начальную скорость тела можно определить из соотношения $V_{0}^{2} = 2gH$, откуда

$V_{0} = \sqrt{2g \left (\sqrt{l_{0}^{2} - l_{2}^{2}} + \sqrt{ l_{1}^{2} - l_{2}^{2}} \right)}$.

1.2. Прямолинейное движение

1.2.5. Вертикальное движение тела вблизи поверхности Земли

Вертикальное движение тела вблизи поверхности Земли является частным случаем равнопеременного прямолинейного движения. При решении задач о движении тела вблизи поверхности Земли следует считать, что сопротивление воздуха отсутствует.

При вертикальном движении вблизи поверхности Земли в отсутствие сопротивления воздуха ускорение тела a → совпадает с ускорением свободного падения g → , которое при решении задач принято считать равным: a = g ≈ 10 м/с 2 .

Уравнение движения и зависимость проекции скорости от времени

Для тела, свободно падающего с высоты h (рис. 1.19), зависимость координаты y от времени t имеет вид:

y = h − g t 2 2 ,

v y = −gt ,

где g = 10 м/с 2 .

Для тела, брошенного с высоты h вниз с начальной скоростью v → 0 (рис. 1.20), зависимость координаты y от времени t имеет вид:

y = h − v 0 t − g t 2 2 ,

Рис. 1.20

а проекция скорости на ось Oy изменяется по закону

v y = −v 0 − gt ,

где g = 10 м/с 2 .

Для тела, брошенного с высоты h вверх с начальной скоростью v → 0 (рис. 1.21), зависимость координаты y от времени t имеет вид:

y = h + v 0 t − g t 2 2 ,

Рис. 1.21

а проекция скорости на ось Oy изменяется по закону

v y = v 0 − gt ,

где g = 10 м/с 2 .

Для тела, брошенного с поверхности Земли вверх с начальной скоростью v → 0 (рис. 1.22), зависимость координаты y от времени t имеет вид:

y = v 0 t − g t 2 2 ,

Рис. 1.22

а проекция скорости на ось Oy изменяется по закону

v y = v 0 − gt ,

где g = 10 м/с 2 .

Время полета

В момент времени, соответствующий времени полета t = t пол, координата y обращается в ноль:

y (t пол) = 0.

время полета тела .

1) для тела, свободно падающего с высоты h (см. рис. 1.19):

h − g t пол 2 2 = 0 ;

2) для тела, брошенного с высоты h вниз с начальной скоростью v → 0 (см. рис. 1.20):

h − v 0 t пол − g t пол 2 2 = 0 ;

3) для тела, брошенного с высоты h вверх с начальной скоростью v → 0 (см. рис. 1.21):

h + v 0 t пол − g t пол 2 2 = 0 ;

4) для тела, брошенного с поверхности Земли вверх

v 0 t пол − g t пол 2 2 = 0 .

Время подъема до максимальной высоты

Модуль скорости тела при движении вверх уменьшается по закону

v (t ) = |v 0 − gt |.

В момент времени t , соответствующий времени подъема тела t под, скорость тела обращается в ноль; отсюда находим:

t = t под = v 0 g ,

где g = 10 м/с 2 .

Это уравнение позволяет найти время подъема тела до максимальной высоты . Зависимости y -проекции скорости от времени выбираются в соответствии с характером движения тела:

v 0 − g t под = 0 ;

2) для тела, брошенного с поверхности Земли вверх с начальной скоростью v → 0 (см. рис. 1.22):

v 0 − g t под = 0 .

Максимальная высота подъема

В момент времени, соответствующий времени подъема t = t под, координата y принимает максимальное значение, соответствующее максимальной высоте подъема H:

H = y (t под).

Зависимости координаты y от времени выбираются в соответствии с характером движения тела:

1) для тела, брошенного с высоты h вверх с начальной скоростью v → 0 (см. рис. 1.21):

H = h + v 0 t под − g t под 2 2 ;

2) для тела, брошенного с поверхности Земли вверх с начальной скоростью v → 0 (см. рис. 1.22):

H = v 0 t под − g t под 2 2 .

Следует отметить, что для случаев движения тела, свободно падающего с определенной высоты, и тела, брошенного вниз, указанная характеристика движения отсутствует.

Пример 11. Тело, брошенное с поверхности Земли вертикально вверх со скоростью 30 м/с, побывало на высоте 30 м дважды. Найти интервал времени, разделяющий эти события.

Решение. Движение тела, брошенного вертикально вверх с поверхности Земли, описывается уравнением

y (t) = v 0 t − g t 2 2 ,

где v 0 = 30 м/с - модуль начальной скорости тела; g = 10 м/с 2 - модуль ускорения свободного падения.

Подстановка в уравнение движения тела значений начальной скорости и ускорения свободного падения позволяет записать его в виде:

y (t ) = 30t − 5,0t 2 .

При y (t ) = 30 м имеем

30 = 30t − 5,0t 2 ,

или

t 2 − 6t + 6 = 0.

Корни уравнения

t 1 = (3,0 − 3) с и t 2 = (3,0 + 3) с

соответствуют моментам времени, когда тело оказывается на указанной в условии высоте.

Искомый интервал времени определяется разностью

Δ t = t 2 − t 1 = (3,0 + 3) − (3,0 − 3) = 2,0 3 ≈ 3,5 с.

Пример 12. Тело брошено вертикально вверх с высоты 25 м с начальной скоростью 10 м/с. Какую часть времени полета тело двигалось равнозамедленно?

Решение. Движение тела является равнозамедленным до тех пор, пока оно не достигнет максимальной высоты подъема H . Время подъема до максимальной высоты определяется формулой

t под = v 0 g ,

где v 0 = 10 м/с - модуль начальной скорости тела; g = 10 м/с 2 - модуль ускорения свободного падения.

Подстановка в записанную формулу значений начальной скорости и ускорения свободного падения позволяет вычислить время подъема:

t под = 10 10 = 1,0 c.

Для определения времени полета тела запишем уравнение движения тела. Движение тела, брошенного вертикально вверх с определенной высоты, описывается уравнением

y (t) = h + v 0 t − g t 2 2 .

Подстановка значений v 0 = 10 м/с, g = 10 м/с 2 и h = 25 м позволяет записать уравнение движения в явном виде:

y (t) = 25 + 10 t − 5,0 t 2 .

Время полета тела определим из условия y (t пол) = 0, т.е.

25 + 10 t пол − 5,0 t пол 2 = 0 , или t пол 2 − 2,0 t пол − 5,0 = 0 .

Корнями этого уравнения являются t 1 = (1,0 − 6) и t 2 = (1,0 + 6) с, первый из которых не имеет физического смысла. Таким образом, время полета тела равно

t пол = (1,0 + 6) с.

Доля равнозамедленного движения тела определяется отношением времени подъема тела ко времени его полета:

η = t под t пол = 1,0 1,0 + 6 ≈ 0,3 .

Пример 13. Тело проходит последнюю треть пути за 0,5 с. Считая движение тела свободным падением, определить высоту, с которой падало тело.

Решение. Запишем уравнение движения тела в виде

y (t) = H − g t 2 2 ,

где H - искомая высота; g = 10 м/с 2 - модуль ускорения свободного падения.

• Пусть с начала падения до достижения телом высоты H /3 прошло время t 1 . Тогда

  y (t 1) = H 3 , или y (t 1) = H − g t 1 2 2 = H 3 .

Отсюда следует, что тело окажется на высоте, равной H /3, через интервал времени

• Пусть с начала падения до достижения телом поверхности Земли прошло время t 2 , тогда

  y (t 2) = 0, или y (t 2) = H − g t 1 2 2 = 0 .

Отсюда следует, что тело окажется на Земле через интервал времени

• Время движения тела с высоты H/3 до поверхности Земли определяется разностью:

  ∆t = t 2 − t 1

и составляет ∆t = 0,5 с (по условию задачи). Это позволяет записать уравнение, позволяющее определить высоту H :

2 H g − 4 H 3 g = Δ t .

Для нахождения H преобразуем уравнение к виду

2 H g (1 − 2 3) = Δ t ,

возведем обе части в квадрат

2 H g (1 − 2 3) 2 = Δ t 2

и рассчитаем H :

H = g Δ t 2 2 (1 − 2 3) 2 ≈ 10 ⋅ (0,5) 2 0,067 ≈ 37 м.