Выражения, преобразование выражений
Как освободиться от иррациональности в знаменателе? Способы, примеры, решения
В 8 классе на уроках алгебры в рамках темы преобразование иррациональных выражений заходит разговор про освобождение от иррациональности в знаменателе дроби . В этой статье мы разберем, что это за преобразование, рассмотрим, какие действия позволяют освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, и приведем решения характерных примеров с детальными пояснениями.
Навигация по странице.
Что значит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби?
Сначала нужно разобраться, что такое иррациональность в знаменателе и что значит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. В этом нам поможет информация из школьных учебников . Заслуживают внимания следующие моменты.
Когда запись дроби содержит в знаменателе знак корня (радикал), то говорят, что в знаменателе присутствует иррациональность
. Вероятно, это связано с тем, что записанные при помощи знаков корней числа часто являются . В качестве примера приведем дроби , , 
, , очевидно, знаменатели каждой из них содержат знак корня, а значит и иррациональность. В старших классах неизбежна встреча с дробями, иррациональность в знаменатели которых вносят не только знаки квадратных корней, но и знаки кубических корней, корней четвертой степени и т.д. Вот примеры таких дробей: , 
.
Учитывая приведенную информацию и смысл слова «освободиться», очень естественно воспринимается следующее определение:
Определение.
Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби – это преобразование, при котором дробь с иррациональностью в знаменателе заменяется тождественно равной дробью, не содержащей в знаменателе знаков корней.
Часто можно слышать, что говорят не освободиться, а избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Смысл при этом не меняется.
Например, если от дроби перейти к дроби , значение которой равно значению исходной дроби и знаменатель которой не содержит знака корня, то можно констатировать, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби. Еще пример: замена дроби тождественно равной ей дробью 
есть освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
Итак, начальная информация получена. Остается узнать, что нужно делать, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.
Способы освобождения от иррациональности, примеры
Обычно для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби используют два преобразования дроби : умножение числителя и знаменателя на отличное от нуля число или выражение и преобразование выражения в знаменателе. Ниже мы рассмотрим, как эти преобразования дробей используются в рамках основных способов, позволяющих избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Затронем следующие случаи.
В самых простых случаях достаточно преобразовать выражение в знаменателе. В качестве примера можно привести дробь, в знаменателе которой находится корень из девяти. В этом случае замена его значением 3 освобождает знаменатель от иррациональности.
В более сложных случаях приходится предварительно выполнять умножение числителя и знаменателя дроби на некоторое отличное от нуля число или выражение, что впоследствии позволяет преобразовать знаменатель дроби к виду, не содержащему знаков корней. Например, после умножения числителя и знаменателя дроби на , дробь принимает вид 
, а дальше выражение в знаменателе можно заменить выражением без знаков корней x+1
. Таким образом, после освобождения от иррациональности в знаменателе дробь принимает вид .
Если говорить про общий случай, то чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, приходится прибегать к различным допустимым преобразованиям, иногда, довольно специфическим.
А теперь подробно.
Преобразование выражения в знаменателе дроби
Как уже было отмечено, один из способов избавления от иррациональности в знаменателе дроби состоит в преобразовании знаменателя. Рассмотрим решения примеров.
Пример.
Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби 
.
Решение.
Раскрыв скобки в знаменателе, придем к выражению 
. Дальше позволяют перейти к дроби 
. Вычислив значения под знаками корней, имеем 
. Очевидно, в полученном выражении можно , что дает дробь , которая равна 1/16
. Так мы избавились от иррациональности в знаменателе.
Обычно решение записывают кратко без пояснения, так как выполняемые действия довольно просты:
Ответ:
.
Пример.
Решение.
Когда мы говорили про преобразование иррациональных выражений с использованием свойств корней , то отметили, что для любого выражения A
при четных n
(в нашем случае n=2
) выражение можно заменить выражением |A|
на всей ОДЗ переменных для исходного выражения. Поэтому, можно выполнить такое преобразование заданной дроби: 
, которое освобождает от иррациональности в знаменателе.
Ответ:
.
Умножение числителя и знаменателя на корень
Когда выражение в знаменателе дроби имеет вид , где выражение A не содержит знаков корней, то освободиться от иррациональности в знаменателе позволяет умножение числителя и знаменателя на . Это действие возможно, так как не обращается в нуль на ОДЗ переменных для исходного выражения. При этом в знаменателе получается выражение , которое легко преобразовать к виду без знаков корней: 
. Покажем применение этого подхода на примерах.
Пример.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) , б) .
Решение.
а) Умножив числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трех, получим 
.
б) Чтобы избавиться от знака квадратного корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на , после чего проведем преобразования в знаменателе:
Ответ:
а) , б) 
.
В случае, когда в знаменателе находятся множители или , где m и n некоторые натуральные числа, числитель и знаменатель надо умножить на такой множитель, чтобы после этого выражение в знаменателе можно было преобразовать к виду или , где k – некоторое натуральное число, соответственно. Дальше легко перейти к дроби без иррациональности в знаменателе. Покажем применение описанного способа избавления от иррациональности в знаменателе на примерах.
Пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: а) , б) .
Решение.
а) Ближайшее натуральное число, превосходящее 3
и делящееся на 5
, есть 5
. Чтобы показатель шестерки стал равен пяти, выражение в знаменателе надо умножить на . Следовательно, освобождению от иррациональности в знаменателе дроби будет способствовать выражение , на которое надо умножить числитель и знаменатель:
б) Очевидно, что ближайшее натуральное число, которое превосходит 15
и при этом делится без остатка на 4
, это 16
. Чтобы получить показатель степени в знаменателе стал равен 16
, нужно умножить находящееся там выражение на . Таким образом, умножение числителя и знаменателя исходной дроби на (заметим, значение этого выражения не равно нулю при при каких действительных x
) позволит избавиться от иррациональности в знаменателе:
Ответ:
а) 
, б) 
.
Умножение на сопряженное выражение
Следующий способ освобождения от иррациональности в знаменателе дроби покрывает случаи, когда в знаменателе находятся выражения вида , , , , или . В этих случаях, чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, надо числитель и знаменатель дроби умножить на так называемое сопряженное выражение .
Осталось узнать, какие выражения являются сопряженными для указанных выше. Для выражения сопряженным выражением является , а для выражения сопряженным является выражение . Аналогично, для выражения сопряженным является , а для выражения сопряженным является . И для выражения сопряженным является , а для выражения сопряженным является . Итак, выражение, сопряженное данному выражению, отличается от него знаком перед вторым слагаемым.
Давайте посмотрим, к чему приводит умножение выражения на сопряженное ему выражение. Для примера рассмотрим произведение 
. Его можно заменить разностью квадратов, то есть, , откуда дальше можно перейти к выражению a−b
, которое не содержит знаков корней.
Теперь становится понятно, как умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю, позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим решения характерных примеров.
Пример.
Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит радикала: а) , б) .
Решение.
а) Выражение, сопряженное знаменателю, это . Умножим на него числитель и знаменатель, что позволит нам освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
б) Для выражения сопряженным является . Умножая на него числитель и знаменатель, получаем
Можно было сначала вынести знак минус из знаменателя, а уже после этого умножать числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:
Ответ:
а) 
, б) 
.
Обратите внимание: при умножении числителя и знаменателя дроби на выражение с переменными, сопряженное знаменателю, нужно позаботиться, чтобы оно не обращалось в нуль ни при каком наборе значений переменных из ОДЗ для исходного выражения.
Пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби .
Решение.
Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной x . Она определяется условиями x≥0 и , из которых заключаем, что ОДЗ есть множество x≥0 .
Выражение, сопряженное знаменателю, есть . Мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби при условии, что , которое на ОДЗ равносильно условию x≠16
. При этом имеем
А при x=16
имеем 
.
Таким образом, для всех значений переменной x
из ОДЗ, кроме x=16
, 
, а при x=16
имеем .
Ответ:
Использование формул сумма кубов и разность кубов
Из предыдущего пункта мы узнали, что умножение числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное знаменателю, проводится для того, чтобы в дальнейшем применить формулу разность квадратов и тем самым освободиться от иррациональности в знаменателе. В некоторых случаях для освобождения от иррациональности в знаменателе оказываются полезными и другие формулы сокращенного умножения . Например, формула разность кубов a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2)
позволяет избавиться от иррациональности, когда в знаменателе дроби находятся выражения с кубическими корнями вида или 
, где A
и B
– некоторые числа или выражения. Для этого числитель и знаменатель дроби умножается на неполный квадрат суммы или на разность соответственно. Аналогично примеряется и формула сумма кубов a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2)
.
Пример.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) , б) 
.
Решение.
а) Несложно догадаться, что в данном случае освободиться от иррациональности в знаменателе позволяет умножение числителя и знаменателя на неполный квадрат суммы чисел и , так как в дальнейшем это позволит преобразовать выражение в знаменателе по формуле разность кубов:
б) Выражение в знаменателе дроби можно представить в виде 
, из которого хорошо видно, что это неполный квадрат разности чисел 2
и . Таким образом, если числитель и знаменатель дроби умножить на сумму , то знаменатель можно будет преобразовать по формуле сумма кубов, что позволит освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Это возможно сделать при условии , которое равносильно условию и дальше x≠−8
:
А при подстановке x=−8
в исходную дробь имеем 
.
Таким образом, для всех x
из ОДЗ для исходной дроби (в данном случае это множество R
), кроме x=−8
, имеем 
, а при x=8
имеем 
.
Ответ:
Использование различных способов
В примерах посложнее обычно не получается в одно действие освободиться от иррациональности в знаменателе, а приходится последовательно применять метод за методом, в том числе и из разобранных выше. Иногда могут потребоваться и какие-нибудь нестандартные приемы решения. Довольно интересные задания по обсуждаемой теме можно найти в учебнике под авторством Колягина Ю. Н. Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М. : Просвещение, 2010.- 368 с. : ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Раскрытие неопределенности $\frac{0}{0}$.
Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
- Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое "сопряжённое" выражение;
- При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
- Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Термин "сопряжённое выражение", использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
\begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}
Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:
\begin{equation} ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation}
Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.
Пример №1
Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.
Так как $\lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0$ и $\lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0$, то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое "сопряжённое выражение". Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$
Чтобы раскрыть скобки применим , подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:
$$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x.$$
Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$
Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$
Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:
$$ \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2}=\frac{-1}{\sqrt{7-3}+2}=-\frac{1}{\sqrt{4}+2}=-\frac{1}{4}.$$
Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру - в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.
Ответ : $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}=-\frac{1}{4}$.
Пример №2
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$.
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})=\sqrt{2^2+5}-\sqrt{7\cdot 2^2-19}=3-3=0$ и $\lim_{x\to 2}(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}$ на выражение $\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}$, сопряжённое к знаменателю:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})} $$
Вновь, как и в примере №1, нужно использовать для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{x^2+5}$, $b=\sqrt{7x^2-19}$, получим такое выражение для знаменателя:
$$ \left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}\right)\left(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19}\right)=\\ =\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2-\left(\sqrt{7x^2-19}\right)^2=x^2+5-(7x^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$
Вернёмся к нашему пределу:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19})(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}= \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{-6\cdot(x^2-4)}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} $$
В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать . Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:
$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5-7}{6}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3};\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot3}=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2. \end{aligned} $$
Подставляя $x_1=-\frac{1}{3}$, $x_2=2$ в , будем иметь:
$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac{1}{3}\right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$
Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся , подставив в неё $a=x$, $b=2$:
$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$
Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x^2-5x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x^2-4} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} $$
Сокращая на скобку $x-2$ получим:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(x-2)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)} =-\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}. $$
Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:
$$ -\frac{1}{6}\cdot \lim_{x\to 2}\frac{(3x+1)(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{7x^2-19})}{x+2}=\\ =-\frac{1}{6}\cdot\frac{(3\cdot 2+1)(\sqrt{2^2+5}+\sqrt{7\cdot 2^2-19})}{2+2}= -\frac{1}{6}\cdot\frac{7(3+3)}{4}=-\frac{7}{4}. $$
Ответ : $\lim_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{\sqrt{x^2+5}-\sqrt{7x^2-19}}=-\frac{7}{4}$.
В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.
Пример №3
Найти $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}$.
Так как $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})=\sqrt{9}-\sqrt{9}=0$ и $\lim_{x\to 5}(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})=\sqrt{16}-\sqrt{16}=0$, то мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16}$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}$, сопряжённое знаменателю.
$$ \lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9})(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})} $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin{aligned} & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac{-1-\sqrt{81}}{-2}=\frac{-10}{-2}=5;\\ & x_2=\frac{-1+\sqrt{81}}{-2}=\frac{8}{-2}=-4. \end{aligned} \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$
Для выражения $x^2-8x+15$ получим:
$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin{aligned} & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac{-(-8)-\sqrt{4}}{2}=\frac{6}{2}=3;\\ & x_2=\frac{-(-8)+\sqrt{4}}{2}=\frac{10}{2}=5. \end{aligned}\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$
Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:
$$ \lim_{x\to 5}\frac{(-x^2+x+20)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x^2-8x+15)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \lim_{x\to 5}\frac{-(x-5)(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(x-5)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}=\\ =\lim_{x\to 5}\frac{-(x+4)(\sqrt{x^2-3x+6}+\sqrt{5x-9})}{(x-3)(\sqrt{x+4}+\sqrt{x^2-16})}= \frac{-(5+4)(\sqrt{5^2-3\cdot 5+6}+\sqrt{5\cdot 5-9})}{(5-3)(\sqrt{5+4}+\sqrt{5^2-16})}=-6. $$
Ответ : $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x^2-16}}{\sqrt{x^2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.
В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения - избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.
Данни Перич Кампана
Еще одна интересная книга для школьников, интересующихся , к сожалению, не переведенная на русский язык, — это книга “Математические приключения Даниэля” (Las Aventuras Matemáticas de Daniel) чилийского учителя математики Данни Перича Кампаны (Danny Perich Campana), человека весьма неординарного и интересного. Он не только учит ребятишек, но и пишет песни, выкладывает в Интеренет различные обучающие материалы по математике. Их можно найти на youtube, и на сайте http://www.sectormatematica.cl/ (разумеется, все материалы на испанском языке).
Здесь выкладываю одну главу из книги Данни Перича. Мне она показалась довольно интересной и полезной для школьников. Чтобы было понятно, о чем идет речь, скажу, что Даниэль и Камила работают в школе, они учителя.
Тайна избавления от иррациональности
— Камила, у меня сейчас возникает много проблем, когда пытаюсь объяснить, для чего применяется то, что проходим на уроке, — сказал Даниэль.
— Не очень понимаю, о чем ты говоришь.
— Я о том, что есть во всех школьных учебниках и даже книгах университетского уровня. Меня все равно не оставляют сомнения: зачем нужно избавляться от иррациональности в знаменателе? И я терпеть не могу рассказывать то, чего не понимаю уже столько времени, — жаловался Даниэль.
— Я тоже не знаю, откуда это идет и зачем это нужно, но должно быть какое-то логическое объяснение этому.
— Как-то я прочитал в одном научном журнале, что избавление от иррациональности в знаменателе позволяет получить результат с большей точностью, но никогда больше не встречал этого и не уверен, что это так и есть.
— А почему бы нам это не проверить? — спросила Камила.
— Ты права, — согласился Даниэль. — Вместо того, чтобы жаловаться, нужно попытаться самим сделать выводы. Тогда помоги мне…
— Конечно, теперь мне самой это интересно.
— Мы должны взять какие-нибудь выражения и избавиться от иррациональности в знаменателе, потом заменить корень на его значение и найти результат выражения до избавления от иррациональности в знаменателе и после и посмотреть, изменится ли что-нибудь.
— Разумеется, — согласилась Камила. — Давай так и сделаем.
— Возьмем, например, выражение , — сказал Даниэль и взял лист бумаги, чтобы записывать происходящее. — Умножим числитель и знаменатель на и получим .
— Будет правильно и может помочь нам сделать выводы, если мы рассмотрим другие иррациональные выражения, равные данному, — предложила Камила.
— Согласен, — сказал Даниэль, — я поделю числитель и знаменатель на , а ты домножь их на .
— У меня получилось . А у тебя?
— У меня , — ответил Даниэль. — Теперь вычислим исходное выражение и полученные, заменяя на его значение со всеми десятичными знаками, которые дает калькулятор. Получим:
— Не вижу ничего особенного, — сказала Камила. — Я ожидала какого-либо различия, которое оправдало бы избавление от иррациональности.
— Как я тебе уже говорил, я когда-то читал об этом в связи с приближением. Что ты скажешь, если мы заменим на менее точное число, например, на ?
— Пробуем и смотрим, что получилось.
Решение уравнений с дробями
рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, .
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.
Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.
Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.
Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25
Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:
Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.
Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:
- значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
- нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.
Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.
Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.
Например, требуется решить дробное уравнение:
Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.
Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х
И решаем обычное уравнение
5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3
Ответ: х = 1/3
Решим уравнение посложнее:
Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.
Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.
Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую - на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):
Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше
Запишем это же уравнение, но несколько по-другому
Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:
х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ
Ответ: х = 2.
Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями , то отписывайтесь в комментариях.
