Б. В. Булюбаш ,
, МГТУ им. Р.Е.Алексеева, г. Нижний Новгород

Точки Лагранжа

Около 400 лет назад в распоряжении астрономов оказался новый инструмент для изучения мира планет и звёзд – телескоп Галилео Галилея. Прошло совсем немного времени, и к нему добавились открытые Исааком Ньютоном закон всемирного тяготения и три закона механики. Но только после смерти Ньютона были разработаны математические методы, позволившие эффективно использовать открытые им законы и производить точный расчёт траекторий небесных тел. Авторами этих методов стали французские математики. Ключевыми фигурами были Пьер Симон Лаплас (1749–1827) и Жозеф Луи Лагранж (1736–1813). В значительной степени именно их усилиями была создана новая наука – небесная механика. Именно так назвал её Лаплас, для которого небесная механика стала обоснованием философии детерминизма. В частности, широкую известность приобрёл образ описанного Лапласом вымышленного существа, которое, зная скорости и координаты всех частиц во Вселенной, могло однозначно предсказать её состояние в любой будущий момент времени. Это существо – «демон Лапласа» – олицетворяло главную идею философии детерминизма. А звёздный час новой науки наступил 23 сентября 1846 г., с открытием восьмой планеты Солнечной системы – Нептуна. Немецкий астроном Иоганн Галле (1812–1910) обнаружил Нептун именно там, где тот и должен был находиться согласно расчётам, выполненным французским математиком Урбеном Леверье (1811–1877).

Одним из выдающихся достижений небесной механики стало открытие Лагранжем в 1772 г. так называемых точек либрации. Согласно Лагранжу, в системе двух тел имеется в общей сложности пять точек (называемых обычно точками Лагранжа ), в которых сумма сил, действующих на помещённое в точку третье тело (масса которого существенно меньше масс двух других), равна нулю. Естественно, речь идёт о вращающейся системе отсчёта, в которой на тело, помимо сил тяготения, будет также действовать центробежная сила инерции. В точке Лагранжа, таким образом, тело будет находиться в состоянии равновесия. В системе Солнце–Земля точки Лагранжа расположены следующим образом. На прямой, соединяющей Солнце и Землю, расположены три точки из пяти. Точка L 3 расположена на противоположной относительно Солнца стороне земной орбиты. Точка L 2 расположена по ту же сторону от Солнца, что и Земля, но в ней, в отличие от L 3 , Солнце закрыто Землёй. А точка L 1 находится на прямой, соединяющей L 2 и L 3 , но между Землёй и Солнцем. Точки L 2 и L 1 отделяет от Земли одинаковое расстояние – 1,5 млн км. В силу своих особенностей точки Лагранжа привлекают внимание писателей-фантастов. Так, в книге Артура Кларка и Стивена Бакстера «Солнечная буря» именно в точке Лагранжа L 1 космические строители возводят огромный экран, призванный загородить Землю от сверхмощной солнечной бури.

Оставшиеся две точки – L 4 и L 5 – находятся на орбите Земли, одна – перед Землёй, другая – позади. Две эти точки весьма существенно отличаются от остальных, поскольку равновесие оказавшихся в них небесных тел будет устойчивым. Именно по­этому среди астрономов столь популярна гипотеза о том, что в окрестностях точек L 4 и L 5 могут находиться остатки газопылевого облака эпохи формирования планет Солнечной системы, завершившейся 4,5 млрд лет назад.

После того как Солнечную систему начали исследовать автоматические межпланетные станции, интерес к точкам Лагранжа резко возрос. Так, в окрестности точки L 1 проводят исследования солнечного ветра космические аппараты NASA: SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) и Wind (в пер. с англ. – ветер ).

Ещё один аппарат NASA – зонд WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) – находится в окрестности точки L 2 и исследует реликтовое излучение. По направлению к L 2 движутся космические телескопы «Планк» и «Гершель»; в скором будущем к ним присоединится телескоп «Вебб», который должен сменить знаменитый космический долгожитель телескоп «Хаббл». Что же касается точек L 4 и L 5 , то 26–27 сентября 2009 г. зонды-близнецы STEREO-A и STEREO-B передали на Землю многочисленные изображения активных процессов на поверхности Солнца. Первоначальные планы проекта STEREO были недавно существенно расширены, и в настоящее время зонды предполагается также использовать для изучения окрестности точек Лагранжа на предмет наличия там астероидов. Главная цель такого исследования – проверка компьютерных моделей, предсказывающих наличие астероидов в «устойчивых» точках Лагранжа.

В связи с этим следует сказать, что во второй половине XX в., когда появилась возможность численно решать на компьютере сложные уравнения небесной механики, образ стабильной и предсказуемой Солнечной системы (а вместе с ним и философия детерминизма) окончательно ушёл в прошлое. Компьютерное моделирование показало, что из неизбежной неточности в численных значениях скоростей и координат планет в данный момент времени следуют весьма существенные различия в моделях эволюции Солнечной системы. Так, согласно одному из сценариев, Солнечная система через сотни миллионов лет может даже лишиться одной из своих планет.

При этом компьютерные модели предоставляют уникальную возможность реконструировать события, происходившие в удалённую от нас эпоху молодости Солнечной системы. Так, широкую известность получила модель математика Э. Бельбруно и астрофизика Р. Готта (Принстонский университет), согласно которой в одной из точек Лагранжа (L 4 или L 5) в далёком прошлом сформировалась планета Тея (Teia ). Гравитационное воздействие со стороны остальных планет вынудило Тею в некоторый момент покинуть точку Лагранжа, выйти на траекторию движения к Земле и в итоге столкнуться с ней. Модель Готта и Бельбруно наполняет деталями гипотезу, которую разделяют многие астрономы. Согласно ей, Луна состоит из вещества, образовавшегося около 4 млрд лет назад после со­ударения с Землёй космического объекта размером с Марс. У этой гипотезы есть, однако, уязвимое место: вопрос о том, где именно мог образоваться такой объект. Если местом его рождения были удалённые от Земли участки Солнечной системы, то тогда его энергия была бы очень большой и результатом соударения с Землёй стало бы не создание Луны, но разрушение Земли. А следовательно, подобный объект должен был образоваться недалеко от Земли, и окрестности одной из точек Лагранжа вполне для этого подходят.

Но раз события могли так развиваться в прошлом, что запрещает им вновь произойти в будущем? Не вырастет ли, другими словами, в окрестностях точек Лагранжа ещё одна Тея? Проф. П. Вейгерт (Университет Зап. Онтарио, Канада) считает, что это невозможно, поскольку в Солнечной системе в настоящее время пылевых частиц для формирования таких объектов явно недостаточно, а 4 млрд лет назад, когда планеты образовывались из частиц газопылевых облаков, ситуация была принципиально иной. По мнению же Р. Готта, в окрестностях точек Лагранжа вполне могут быть обнаружены астероиды – остатки «строительного вещества» планеты Теи. Такие астероиды могут стать для Земли заметным фактором риска. Действительно, гравитационное воздействие со стороны других планет (и в первую очередь Венеры) может оказаться достаточным для того, чтобы астероид покинул окрестность точки Лагранжа, а в этом случае он вполне может выйти на траекторию столкновения с Землёй. У гипотезы Готта имеется предыстория: ещё в 1906 г. М. Вольфом (Германия, 1863–1932) в точках Лагранжа системы Солнце–Юпитер были обнаружены астероиды, первые за пределами пояса астероидов между Марсом и Юпитером. Впоследствии в окрестности точек Лагранжа системы Солнце–Юпитер их было обнаружено более тысячи. Не столь успешными оказались попытки найти астероиды вблизи других планет Солнечной системы. По-видимому, их всё же нет около Сатурна, и только лишь в последнем десятилетии они были обнаружены недалеко от Нептуна. По этой причине, вполне естественно, вопрос о наличии или отсутствии астероидов в точках Лагранжа системы Земля–Солнце чрезвычайно волнует современных астрономов.

П. Вейгерт с помощью телескопа на Мауна-Кеа (Гавайи, США) уже пытался в начале 90-х гг. ХХ в. отыскать эти астероиды. Его наблюдения отличались скрупулёзностью, однако успеха не принесли. Сравнительно недавно стартовали программы автоматического поиска астероидов, в частности, Линкольновский проект поиска близких к Земле астероидов (Lincoln Near Earth Asteroid Research project) . Однако и они пока результата не дали.

Предполагается, что зонды STEREO выведут подобные поиски на принципиально иной уровень точности. Пролёт зондами окрестностей точек Лагранжа был запланирован в самом начале проекта, а после включения в проект программы поиска астероидов обсуждалась даже возможность навсегда оставить их в окрестности этих точек.

Расчёты, однако, показали, что остановка зондов потребовала бы слишком большого расхода топлива. Учитывая это обстоятельство, руководители проекта STEREO остановились на варианте медленного пролёта данных областей пространства. На это уйдут месяцы. На борту зондов размещены гелиосферные регистраторы, и именно с их помощью будут искать астероиды. Даже в этом случае задача остаётся весьма сложной, поскольку на будущих снимках астероиды будут всего лишь точками, перемещающимися на фоне тысяч звёзд. Руководители проекта STEREO рассчитывают на активную помощь в поисках со стороны астрономов-любителей, которые будут просматривать полученные снимки в Интернете.

Эксперты весьма обеспокоены проблемой безопасности передвижения зондов в окрестности точек Лагранжа. Действительно, столкновение с «пылинками» (которые могут оказаться весьма значительными по своим размерам) может зонды повредить. В своём полёте зонды STEREO уже неоднократно сталкивались с частичками пыли – от разов до нескольких тысяч за сутки.

Главная интрига предстоящих наблюдений состоит в полной неопределённости вопроса о том, сколько астероидов должны «увидеть» зонды STEREO (если увидят вообще). Новые компьютерные модели не сделали ситуацию более предсказуемой: из них следует, что гравитационное воздействие Венеры может не только «вытаскивать» астероиды из точек Лагранжа, но и способствовать перемещению астероидов в эти точки. Общее количество астероидов в окрестности точек Лагранжа не очень велико («речь не идёт о сотнях»), и их линейные размеры на два порядка меньше размеров астероидов из пояса между Марсом и Юпитером. Подтвердятся ли его прогнозы? Ждать осталось совсем немного…

По материалам статьи (пер. с англ.)
S. Clark. Living in weightlessness //New Scientist. 21 February 2009

Какую бы цель вы перед собой не ставили, какую бы миссию не планировали — одним из самых больших препятствий на вашем пути в космосе будет топливо. Очевидно, что какое-то его количество нужно уже для того, чтобы покинуть Землю. Чем больше груза требуется вывести за пределы атмосферы, тем больше нужно горючего. Но из-за этого ракета становится ещё тяжелее, и всё это превращается в замкнутый круг. Именно это мешает нам отправлять несколько межпланетных станций по разным адресам на одной ракете — на ней просто не хватит места для топлива. Однако ещё в 80-х годах прошлого века учёные нашли лазейку — способ путешествовать по Солнечной системе, почти не используя горючее. Он называется «Межпланетная транспортная сеть».

Нынешние способы космических полётов

Сегодня перемещение между объектами Солнечной системы, например, путешествие с Земли на Марс, обычно требует так называемого перелёта по эллипсу Гомана. Носитель запускается, а затем ускоряется до тех пор, пока не оказывается дальше орбиты Марса. Около красной планеты ракета притормаживает и начинает вращаться вокруг цели своего назначения. И для ускорения, и для торможения она сжигает много топлива, но при этом эллипс Гомана остаётся одним из самых эффективных способов перемещения между двумя объектами в космосе.

Эллипс Гомана- Дуга I — перелет с Земли на Венеру. Дуга II-перелет с Венеры на Марс Дуга III- возвращение с Марса на Землю.

Используются также и гравитационные маневры, которые могут быть ещё более эффективными. Совершая их, космический корабль ускоряется, используя силу притяжения крупного небесного тела. Прибавка в скорости получается очень значительной почти без использования горючего. Мы применяем эти маневры всякий раз, когда отправляем свои станции в далёкий путь от Земли. Однако если кораблю после гравитационного маневра нужно выйти на орбиту какой-то планеты, ему всё равно приходится замедляться. Вы, конечно, помните, что это требует топлива.

Ровно поэтому в конце прошлого века некоторые учёные решили подойти к решению проблемы с другой стороны. Они отнеслись к гравитации не как к праще, а как к географическому ландшафту, и сформулировали идею межпланетной транспортной сети. Входными и выходными трамплинами в неё стали точки Лагранжа — пять районов рядом с небесными телами, где гравитация и силы вращения приходят в равновесие. Они существуют в любой системе, в которой одно тело крутится вокруг другого, и без претензий на оригинальность пронумерованы от L1 до L5.

Если мы поместим космический корабль в точку Лагранжа, он будет висеть там бесконечно, так как гравитация не тянет его в одну сторону сильнее, чем в какую-либо другую. Однако не все эти точки, фигурально выражаясь, созданы равными. Некоторые из них стабильны — если вы, находясь внутри, сдвинетесь немного в сторону, гравитация вернёт вас на место — как мяч на дне горной долины. Другие точки Лагранжа нестабильны — стоит немного переместиться, и вас начнёт уносить оттуда. Объекты, находящиеся здесь, напоминают мяч на вершине холма — он будет держаться там, если хорошо установлен или если его там придерживают, но даже лёгкого ветерка хватает, чтобы он, набирая скорость, покатился вниз.

Холмы и долины космического ландшафта

Космические корабли, летающие по Солнечной системе, учитывают все эти «холмы» и «долины» во время полёта и на стадии прокладки маршрута. Однако межпланетная транспортная сеть заставляет их работать на благо общества. Как вы уже знаете, у каждой стабильной орбиты имеется пять точек Лагранжа. Это и система Земля-Луна, и система Солнце-Земля, и системы всех спутников Сатурна с самим Сатурном… Можете продолжить сами, в конце концов, в Солнечной системе много чего вращается вокруг чего-то.

Точки Лагранжа везде и повсюду, хоть они и меняют постоянно своё конкретное местоположение в пространстве. Они всегда следуют по орбите за меньшим объектом системы вращения, и это создаёт постоянно меняющийся ландшафт гравитационных холмов и долин. Другими словами, распределение гравитационных сил в Солнечной системе со временем меняется. Иногда притяжение в тех или иных пространственных координатах направлено в сторону Солнца, в другой момент времени — в сторону какой-либо планеты, а бывает и так, что по ним проходит точка Лагранжа, и в этом месте воцаряется равновесие, когда никто никого никуда не тянет.

Метафора с холмами и долинами помогает нам лучше представить эту абстрактную идею, поэтому мы ещё несколько раз воспользуемся ею. Иногда в космосе происходит так, что один холм проходит рядом с другим холмом или другой долиной. Они могут даже накладываться друг на друга. И вот в этот самый момент космические перемещения становятся особенно эффективными. Например, если ваш гравитационный холм накладывается на долину, вы можете «скатиться» в неё. Если на ваш холм накладывается другой холм, вы можете перескочить с вершины на вершину.

Как использовать Межпланетную транспортную сеть?

Когда точки Лагранжа различных орбит приближаются друг к другу, не нужно почти никаких усилий, чтобы переместиться из одной в другую. Это значит, что если вы никуда не спешите и готовы подождать их сближения, то сможете перепрыгивать с орбиты на орбиту, например, по маршруту Земля-Марс-Юпитер и дальше, почти не тратя топлива. Легко понять, что именно эту идею использует Межпланетная транспортная сеть. Постоянно меняющаяся сеть точек Лагранжа похожа на извилистую дорогу, позволяющую перемещаться между орбитами с мизерным расходом горючего.

В научной среде эти перемещения из точки в точку называются низкозатратными переходными траекториями, и они уже были несколько раз использованы на практике. Одним из самых известных примеров является отчаянная, но успешная попытка спасения японской лунной станции в 1991 году, когда у космического аппарата было слишком мало топлива, чтобы завершить свою миссию традиционным способом. К сожалению, мы не можем использовать этот приём на регулярной основе, так как благоприятного совмещения точек Лагранжа можно ждать десятилетиями, столетиями, и даже дольше.

Но, если время не торопит, мы вполне можем позволить себе отправить в космос зонд, который будет спокойно дожидаться нужных совмещений, а всё остальное время собирать информацию. Дождавшись, он будет перескакивать на другую орбиту, и осуществлять наблюдения, находясь уже на ней. Этот зонд сможет путешествовать по Солнечной системе неограниченное количество времени, регистрируя всё, что происходит поблизости от него, и пополняя научный багаж человеческой цивилизации. Понятно, что это будет принципиально отличаться от того, как мы исследуем космос сейчас, но этот способ выглядит перспективно в том числе и для будущих долговременных миссий.

Точки Лагранжа получили свое название в честь известного математика восемнадцатого века, который описал понятие Проблемы трех тел в своем труде 1772 года. Еще эти поинты называют лагранжевыми точками, а также точками либрации.

Но что такое точка Лагранжа с научной, не исторической точки зрения?

Лагранжевая точка — это некое место в пространстве, где объединенные силы тяжести двух довольно больших тел, к примеру, Земли и Солнца, Земли и Луны, равны центробежной силе, ощущаемой куда более маленьким третьим телом. В результате взаимодействия всех этих тел создается точка равновесия, где космический летательный аппарат может припарковаться и вести свои наблюдения.

Мы знаем о пяти таких точках. Три из них расположены вдоль линии, которая соединяет два больших объекта. Если брать соединение Земли с Солнцем, то первая точка L1 лежит как раз между ними. Расстояние от Земли до нее составляет один миллион миль. С этой точки всегда открыт вид на Солнце. Она на сегодня полностью захвачена «глазами» SOHO — обсерватории Солнца и Гелиосферы, а также обсерватории Климата глубокого Космоса.

Есть еще L2, которая находится в миллионе миль от Земли, как и ее сестра. Однако в противоположном от Солнца направлении. В данной точке с Землей, Солнце и Луной позади нее космический корабль может получить идеальное видение глубокого космоса.

Сегодня ученые измеряют в этой области космическое фоновое излучение, которое возникло в результате Большого взрыва. Планируется в 2018 переместить в этот регион и космический телескоп Джеймса Вебба.

Другая точка Лагранжа — L3 — находится в противоположном от Земли направлении. Она всегда лежит за Солнцем и скрыта на веки вечные. Кстати, большое число научной фантастики рассказывало миру о некой тайной планете Х, как раз находящейся в данной точке. Появился даже голливудский фильм Человек с планеты Х.

Однако стоит заметить, что все три точки нестабильны. У них неустойчивое равновесие. Иными словами, если космический корабль дрейфовал бы в сторону или от Земли, то он неминуемо упал бы либо на Солнце, либо на нашу планету. То есть он был бы в роли тележки, находящейся на острие очень крутого холма. Так что кораблям придется постоянно вносить корректировки, чтобы не случилось трагедии.

Хорошо, что есть более стабильные точки — L4, L5. Их стабильность сравнивается с мячом в большой миске. Расположены эти точки вдоль земной орбиты на шестьдесят градусов позади и впереди нашего дома. Таким образом образуется два равносторонних треугольника, у которых в виде вершин выступают большие массы, к примеру, Земля или Солнце.

Поскольку эти точки стабильны, в их области постоянно накапливаются космическая пыль с астероидами. Причем астероиды называются троянскими, так как названы следующими именами: Агамемнон, Ахилл, Гектор. Находятся они между Солнцем и Юпитером. Как говорят в NASA, существуют тысячи подобных астероидов, к которым относится и известный троянец 2010 TK7.

Считается, что L4, L5 — великолепно подходят для организации там колоний. Особенно из-за того, что они довольно близко к Земному шару.

Привлекательность точек Лагранжа

Вдали от солнечного тепла корабли в точках Лагранжа L1 и 2 могут быть настолько чувствительны, чтобы использовать инфракрасные лучи, исходящие от астероидов. Причем в данном случае не понадобилось бы охлаждение корпуса. Эти инфракрасные сигналы можно применять как направляющие направлений, избегая пути к Солнцу. Также у этих точек довольно высокая пропускная способность. Скорость связи гораздо более высокая, чем при использовании Ка- диапазона. Ведь если корабль находится на гелиоцентрической орбите (вокруг Солнца), то его слишком большая удаленность от Земли плохо скажется на скорости передачи данных.

> Точки Лагранжа

Как выглядят и где искать точки Лагранжа в космосе: история обнаружения, система Земля и Луна, 5 L-точек системы двух массивных тел, влияние гравитации.

Будем откровенны: мы застряли на Земле. Стоит поблагодарить гравитацию за то, что нас не выкинуло в космическое пространство и мы можем ходить по поверхности. Но чтобы вырваться, приходится прикладывать огромное количество энергии.

Однако, во Вселенной есть определенные регионы, где умная система сбалансировала гравитационное влияние. При правильном подходе это можно использовать для более продуктивного и быстрого освоения пространства.

Эти места называют точками Лагранжа (L-точки). Наименование получили от Жозефа Луи Лагранжа, который описал их в 1772 году. Фактически, ему удалось расширить математику Леонарда Ейлера. Ученый первым открыл три таких точки, а Лагранж заявил о следующих двух.

Точки Лагранжа: О чем идет речь?

Когда вы располагаете двумя массивными объектами (например, Солнце и Земля), то их гравитационный контакт замечательно сбалансирован в конкретных 5 участках. В каждом из них можно расположить спутник, который будет удерживаться на месте при минимальных усилиях.

Наиболее примечательная – первая точка Лагранжа L1, сбалансированная между гравитационным притяжением двух объектов. Например, можно установить спутник над поверхностью Луны. Земная тяжесть вталкивает его в Луну, но сила спутника также сопротивляется. Так что аппарату не придется тратить много топлива. Важно понимать, что эта точка есть между всеми объектами.

L2 находится на одной линии с массой, но с другой стороны. Почему же объединенная гравитация не притягивает спутник к Земле? Все дело в орбитальных траекториях. Спутник в точке L2 расположится на более высокой орбите и отстает от Земли, так как перемещается вокруг звезды медленнее. Но земная гравитация подталкивает его и помогает закрепиться на месте.

L3 искать нужно на противоположной стороне от системы. Гравитация между объектами стабилизируется и аппарат с легкостью маневрирует. Такой спутник всегда закрывался бы Солнцем. Стоит отметить, что три описанные точки не считаются устойчивыми, потому любой спутник рано или поздно отклонится. Так что без рабочих двигателей там делать нечего.

Есть также L4 и L5, расположенные спереди и сзади нижнего объекта. Между массами создается равносторонний треугольник, одной из сторон которого будет L4. Если перевернете вверх ногами, то получите L5.

Последние две точки считают стабильными. Это подтверждают найденные астероиды на крупных планетах, вроде Юпитера. Это троянцы, попавшие в гравитационную ловушку между гравитациями Солнца и Юпитера.

Как использовать такие места? Важно понимать, что существует множество разновидностей космического освоения. Например, в точках Земля-Солнце и Земля-Луна уже расположены спутники.

Солнце-Земля L1 – прекрасное место для проживания солнечного телескопа. Аппарат максимально подошел к звезде, но не теряет связи с родной планетой.

В точке L2 планируют разместить будущий телескоп Джеймса Уэбба (в 1.5 миллионах км от нас).

Земля-Луна L1 – отличная точка для лунной станции по дозаправке, которая позволяет экономить на доставке топлива.

Наиболее фантастической идеей будет желание поставить в L4 и L5 космическую станцию Остров III, потому что там она была бы абсолютной стабильной.

Давайте все же поблагодарим гравитацию и ее диковинное взаимодействие с другими объектами. Ведь это позволяет расширить способы освоения пространства.

Когда Жозеф Луи Лагранж работал над задачей двух массивных тел (ограниченной задачей трёх тел), он обнаружил, что в такой системе существует 5 точек, обладающих следующим свойством: если в них расположены тела пренебрежимо малой массы (относительно массивных тел), то эти тела будет неподвижны относительно тех двух массивных тел. Важный момент: массивные тела должны вращаться вокруг общего центра масс, если же они каким-то образом будут просто покоиться, то вся эта теория тут неприменима, сейчас поймете, почему.

Самым удачным примером, конечно же, является Солнце и Земля, их и рассмотрим. Первые три точки L1, L2, L3 находятся на линии, соединяющей центры масс Земли и Солнца.

Точка L1 находится между телами (ближе к Земле). Почему она есть? Представьте, что между Землей и Солнцем какой нибудь маленький астероид, который вращается вокруг Солнца. Как правило, у тел внутри земной орбиты частота обращения выше, чем у Земли (но не обязательно) Так вот, если у нашего астероида частота обращения выше, то он время от времени будет пролетать мимо нашей планеты, и она будет тормозить его своей гравитацией, и в конце концов частота обращения астероида станет такой же, как и у Земли. Если же у Земли частота обращения больше, то она, пролетая время от времени мимо астероида будет тянуть его за собой и разгонять и результат тот же: частоты обращения Земли и астероида сравняются. Но такое возможно только если орбита астероида проходит через точку L1.

Точка L2 находится за Землей. Может показаться, что наш воображаемый астероид в этой точке должен притягиваться к Земле и Солнцу, так как они оказались с одной стороны от него, но нет. Не забывайте, что система вращается, и благодаря этому центробежная сила, действующая на астероид, уравнивается гравитационными силами Земли и Солнца. У тел за пределами земной орбиты, в основном, частота обращения меньше, чем у Земли (опять же, не всегда). Так что суть та же: орбита астероида проходит через L2 и Земля, время от времени пролетая мимо, тянет астероид за собой, в конечном счете уравнивая частоту его обращения со своей.

Точка L3 находится за Солнцем. Помните, раньше у фантастов была такая мысль, что с той стороны Солнца находится ещё одна планета, типа Противоземля? Так вот, точка L3 находится почти там, но чуть-чуть подальше от Солнца, а не ровно на земной орбите, так как центр масс системы "Солнце-Земля" не совпадает с центром масс Солнца. С частотой обращения астероида в точке L3 всё очевидно, она должна быть такой же как у Земли; если будет меньше, астероид упадет на Солнце, если больше - улетит. Кстати, данная точка самая не устойчивая, её шатает из-за влияния других планет, особенно Венеры.

L4 и L5 расположены на орбите, которая чуть больше Земной, причём следующим образом: представьте, что из центра масс системы "Солнце-Земля" мы провели луч к Земле и другой луч, так чтобы угол между этими лучами был 60 градусов. Причем в обе стороны, то есть против часовой стрелки и по ней. Так вот, на одном таком луче находиться L4, а на другом L5. L4 будет перед Землей по ходу движения, то есть как бы убегать от Земли, а L5, соответственно, догонять Землю. Расстояния от любой из этих точек до Земли и до Солнца одинаковы. Теперь, вспомнив закон всемирного тяготения, замечаем, что сила притяжения пропорциональна массе, а значит наш астероид в L4 или L5 будет притягиваться к Земле во столько раз слабее, во сколько Земля легче Солнца. Если чисто геометрически построить векторы этих сил, то их равнодействующая будет направлена ровно на барицентр (центр масс системы "Солнце-Земля"). Солнце с Землей вращаются вокруг барицентра с одинаковой частотой, с той же частотой будут вращаться и астероиды в L4 и L5. L4 называют греками, а L5 - троянцами в честь троянских астероидов Юпитера (подробнее на Вики).