В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений следующий (предполагается, что систематических ошибок нет).
Случай 1. Число измерений меньше пяти.
1) По формуле (6) находится средний результат x , определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.
2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений
.
3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность
.
4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений
.
5) Записывают окончательный результат по следующей форме:
,
при
.
Случай 2 . Число измерений свыше пяти.
1) По формуле (6) находится средний результат
.
2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений
.
3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения
.
4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).
.
5) Записывается окончательный результат по следующей форме
.
Иногда
случайные погрешности измерений могут
оказаться меньше той величины, которую
в
состоянии
зарегистрировать измерительный прибор
(инструмент). В этом случае при любом
числе измерений получается один и тот
же результат. В подобных случаях в
качестве средней абсолютной погрешности
принимают
половину цены деления шкалы прибора
(инструмента). Эту величину иногда
называют предельной или приборной
погрешностью и обозначают 
(для
нониусных приборов и секундомера 
равна
точности прибора).
Оценка достоверности результатов измерений
В любом эксперименте число измерений физической величины всегда по тем или иным причинам ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача оценить достоверность полученного результата. Иными словами, определить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не превосходит наперед заданную величину ε. Упомянутую вероятность принято называть доверительной вероятностью. Обозначим её буквой.
Может
быть поставлена и обратная задача:
определить границы интервала
,
чтобы с заданной вероятностью
можно
было утверждать, что истинное значение
измерений величины 
не
выйдет за пределы указанного, так
называемого доверительного интервала.
Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность. Методы решения этих двух групп задач имеются и особенно подробно разработаны для случая, когда погрешности измерений распределены по нормальному закону. Теория вероятностей даёт также методы для определения числа опытов (повторных измерений), при которых обеспечивается заданная точность и надёжность ожидаемого результата. В данной работе эти методы не рассматриваются (ограничимся только их упоминанием), так как при выполнении лабораторных работ подобные задачи обычно не ставятся.
Особый
интерес, однако, представляет случай
оценки достоверности результата
измерений физических величин при весьма
малом числе повторных измерений.
Например,
.
Это именно тот случай, с которым мы часто
встречаемся при выполнении лабораторных
работ по физике. При решении указанного
рода задач рекомендуется использовать
метод, в основе которого лежит распределение
(закон) Стьюдента.
Для
удобства практического применения
рассматриваемого метода имеются таблицы,
с помощью которых можно определить
доверительный интервал 
,
соответствующий заданной доверительной
вероятности или решить обратную задачу.
Ниже приведены те части упомянутых таблиц, которые могут потребоваться при оценке результатов измерений на лабораторных занятиях.
Пусть,
например, произведено 
равноточных
(в одинаковых условиях) измерений
некоторой физической величины 
и
вычислено её среднее значение .
Требуется
найти доверительный интервал 
,
соответствующий заданной доверительной
вероятности .
Задача
в общем виде решается так.
По формуле с учётом (7) вычисляют
Затем
для заданных значений n
и находят по таблице (табл. 2) величину
.
Искомое значение вычисляется на основе
формулы
(16)
При
решении обратной задачи вначале вычисляют
по формуле (16) параметр. Искомое значение
доверительной вероятности берётся из
таблицы (табл. 3) для заданного числа 
и вычисленного параметра 
.
Таблица
2.
Значение
параметра при заданных числе опытов 
и доверительной вероятности
|
| ||||||||||
Таблица 3 Значение доверительной вероятности при заданном числе опытов n и параметре ε
|
| ||||
Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:
x1, x2, x3, ... xn. (2)
Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим. Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Дx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде
Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Дx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.
Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде
l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)
Это означает, что из 100 шансов - 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм.
Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений, его ошибку Дx и надежность P.
Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.
В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой
где Дx - отклонение от величины истинного значения;
у - истинная среднеквадратичная ошибка;
у 2- дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.
Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.
На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Дx и двумя ординатами из точек Дx1 и Дx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Дx1,Дx2) .
Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)
где - n число измерений.
Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению м измеряемой величины при n > ?.
Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина (6)
Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n > ? S стремится к постоянному пределу у
С увеличением у увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.
Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина(8)
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.
Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины Результат записывается в виде:
Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 - 50 раз.
В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n > ? переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.
Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.
Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что
Дx = · t. (10)
где Дx - абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.
Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице.
Из сказанного следует:
Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
При n > ? > 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение м, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.
Для этого удобнее воспользоваться таблицей коэффициентов Стьюдента, в которой интервалы заданы в долях величины у, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.
При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:
Результат каждого измерения запишите в таблицу.
Вычислите среднее значение из n измерений
Найдите погрешность отдельного измерения
Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений
(Дx 1)2, (Дx 2)2, ... , (Дx n)2.
Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического
Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).
Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.
Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)
Если величина погрешности результата измерения Дx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора д, то в качестве границы доверительного интервала возьмите
Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.
Окончательный результат запишите в виде
Основные положения методов обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями определены в ГОСТ 8.207-76.
За результат измерения принимают среднее арифмети-ческое данных n наблюдений, из которых исключены систематичес-кие погрешности. При этом предполагается, что результаты наблю-дений после исключения из них систематических погрешностей принадлежат нормальному распределению. Для вычисления резуль-тата измерения следует из каждого наблюдения исключить система-тическую погрешность и получить в итоге исправленный результат i –го наблюдения. Затем вычисляется среднее арифметическое этих исправленных результатов, которое принимается за результат измерения. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой измеряемой величины при нормальном распределении данных наблюдений.
Следует отметить, что иногда в литературе вместо термина результат наблюдения иногда применяют термин результат отдельного измерения , из которого исключены систематические погрешности. При этом за результат измерения в данной серии из нескольких измерений понимают среднее арифметическое значение. Это не меняет сути излагаемых ниже процедур обработки результатов.
При статистической обработке групп результатов наблюдений следует выполнять следующие операции :
1. Исключить из каждого наблюдения известную систематическую погрешность и получить исправленный результат отдельного наблюдения x .
2. Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:
3. Вычислить оценку среднего квадратического отклонения
группы наблюдений:
Проверить наличие грубых погрешностей – нет ли значений , которые выходят за пределы ±3S . При нормальном законе распределений с вероятностью, практически равной 1 (0,997), ни одно из значений этой разности не должно выйти за указанные пределы. Если они имеются, то следует исключить из рассмотрения соответствующие значения и заново повторить вычисления и оценку S.
4. Вычислить оценку СКО результата измерения (среднего
арифметического)
5. Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.
Существуют различные приближенные методы проверки нормальности распределения результатов наблюдений. Некоторые из них приведены в ГОСТ 8.207-76. При числе наблюдений меньше 15 в соответствии с этим ГОСТ принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. Доверительные границы случайной погрешности определяют лишь в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат этому распределению. Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму результатов наблюдений. Математические методы проверки нормальности распределения рассматриваются в специальной литературе.
6. Вычислить доверительные границы e случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения
где t q - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений и доверительной вероятности. Например, при n = 14, P = 0,95 t q = 2,16. Значения этого коэффициента приведены в приложении к указанному стандарту.
7. Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерений Q (по формулам раздела 4.6).
8. Проанализировать соотношение Q и :
Если , то НСП по сравнению со случайными погрешностя-ми пренебрегают, и граница погрешности результата D = e.. Если > 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и граница погрешности результата D = Θ. Если оба неравенства не выполняются, то границу погрешности результата находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП по формуле: , где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и НСП; S å - оценка суммарного СКО результата измерения. Оценку суммарного СКО вычисляют по формуле:
.
Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:
.
Доверительная вероятность для вычисления и должна быть одной и той же.
Погрешность от применения последней формулы для композиции равномерного (для НСП) и нормального (для случайной погрешности) распределений достигает 12 % при доверительной вероятности 0,99.
9. Записать результат измерений. Написание результата измерений предусмотрено в двух вариантах, так как следует различать измерения, когда получение значения измеряемой величины является конечной целью, и измерения, результаты которых будут использоваться для дальнейших вычислений или анализа.
В первом случае достаточно знать общую погрешность результата измерения и при симметричной доверительной погреш-ности результаты измерений представляют в форме: , где
где – результат измерения.
Во втором случае должны быть известны характеристики составляющих погрешности измерения – оценка среднего квадратического отклонения результата измерения , границы НСП , число выполненных наблюдений . При отсутствии данных о виде функций распределения составляющих погрешности результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измерений представляют в форме:
Если границы НСП вычислены в соответствии с п.4.6, то дополнительно указывают доверительную вероятность Р.
Оценки , и производные от их величины могут быть выражены как в абсолютной форме, то есть в единицах измеряемой величины, так и относительной, то есть как отношение абсолютного значения данной величины к результату измерения. При этом вычисления по формулам настоящего раздела следует проводить с использованием величин, выраженных только в абсолютной или в относительной форме.
Результатов измерений
Основные понятия, термины и определения
Измерение – определение значения физической величины опытным путем. Измерения подразделяются на две группы: прямые и косвенные. Прямое измерение - нахождение значения физической величины непосредственно с помощью приборов. Косвенное измерение – нахождение искомой величины на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, найденными в процессе прямых измерений. Например, для определения ускорения равноускоренного движения тела можно использовать формулу , гдеS - пройденный путь, t – время движения. Путь и время движения находят непосредственно в ходе эксперимента, то есть в процессе прямых измерений, а ускорение можно рассчитать по приведенной формуле и, следовательно, его значение будет определено в результате косвенного измерения.
Отклонение результата прямого или косвенного измерения от истинного значения искомой величины называется погрешностью измерения . Погрешности прямых измерений обусловлены возможностями измерительных приборов, методикой измерений и условиями проведения эксперимента. Погрешности косвенных измерений обусловлены “переносом” на искомую величину погрешностей прямых измерений тех величин, на основе которых она рассчитывается. По способу числового выражения различают абсолютные погрешности (ΔА ), выраженные в единицах измеряемой величины (А ), и относительные погрешности δA =(ΔA /A )·100%, выраженные в процентах.
Существуют погрешности трех видов: систематические, случайные и промахи.
Под систематическими погрешностями понимают те, причина возникновения которых остается постоянной или закономерно изменяется в течение всего процесса измерения. Источниками систематических погрешностей обычно являются неправильная юстировка приборов, закономерно изменяющиеся внешние факторы, неправильно выбранная методика измерений. Для выявления и исключения систематических погрешностей необходимо предварительно проанализировать условия измерения, провести контрольные поверки измерительных приборов и сопоставить получаемые результаты с данными более точных измерений. К неисключаемым систематическим погрешностям, которые необходимо учитывать при обработке результатов, относят погрешности используемых приборов и инструментов (приборные погрешности).
Приборная погре шность равна половине цены деления прибора ΔA пр = ЦД/2 (для приборов типа линейки, штангенциркуля, микрометра) или определяется по классу точности прибора (для стрелочных электроизмерительных приборов).
Под классом точности прибора γ понимают величину, равную:
где ΔA пр приборная погрешность (максимальная допустимая абсолютная погрешность, одинаковая для всех точек шкалы); A max предел измерения (максимальное значение показаний прибора).
Для электронных приборов формулы для расчета приборной погрешности приводятся в паспорте прибора.
Случайные погрешности возникают в результате действия различных случайных факторов. Этот вид погрешностей обнаруживается при многократном измерении одной и той же величины в одинаковых условиях с помощью одних и тех же приборов: результаты серии измерений несколько отличаются друг от друга случайным образом. Вклад случайных погрешностей в результат измерения учитывают в процессе обработки результатов.
Под промахами понимают большие погрешности, резко искажающие результат измерения. Они возникают как следствие грубых нарушений процесса измерений: неисправности приборов, ошибок экспериментатора, скачков напряжения в электрической цепи и т.д. Результаты измерений, содержащие промахи, должны быть отброшены в процессе предварительного анализа.
С целью выявления промахов и последующего учета вклада случайных и приборных погрешностей прямые измерения искомой величины проводят несколько раз в одних и тех же условиях, то есть проводят серию равноточных прямых измерений. Целью последующей обработки результатов серии равноточных измерений является:
Результат прямого или косвенного измерения должен быть представлен следующим образом:
А= (‹А› ± ΔА ) ед.изм., α = …,
где ‹А› – среднее значение результата измерений, ΔА – полуширина доверительного интервала, α – доверительная вероятность. При этом необходимо учитывать, что численное значение ΔА должно содержать не более двух значащих цифр, а значение ‹А› должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и ΔА .
Пример: Результат измерения времени движения тела имеет вид:
t = (18,5 ± 1,2) c; α = 0,95.
Из этой записи следует, что с вероятностью 95 % истинное значение времени движения лежит в интервале от 17,3 с до 19,7 с.
Физика - наука экспериментальная, это означает, что физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Цель физического практикума заключается в том, чтобы студенты изучили на опыте основные физические явления, научились правильно измерять числовые значения физических величин и сопоставлять их с теоретическими формулами.
Все измерения можно разделить на два вида – прямые и косвенные .
При прямых измерениях значение искомой величины непосредственно получается по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.
Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными .
Измерение любой величины не дает абсолютно точного значения этой величины. Каждое измерение всегда содержит некоторую погрешность (ошибку). Ошибкой называют разность между измеренным и истинным значением.
Ошибки принято делить на систематические и случайные .
Систематической называют ошибку, которая остается постоянной на протяжении всей серии измерений. Такие погрешности обусловлены несовершенством измерительного инструмента (например, смещением нуля прибора) или методом измерений и могут быть, в принципе, исключены из конечного результата введением соответствующей поправки.
К систематическим ошибкам относятся также погрешность измерительных приборов. Точность любого прибора ограничена и характеризуется его классом точности, который, как правило, обозначен на измерительной шкале.
Случайной называется ошибка, которая изменяется в разных опытах и может быть и положительной и отрицательной. Случайные ошибки обусловлены причинами, зависящими как от измерительного устройства, (трение, зазоры, и т. п..), так и от внешних условий (вибрации, колебания напряжения в сети и т.п.).
Случайные ошибки нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат можно уменьшить многократными измерениями.
Вычисление погрешности при прямых измерениях среднее значение и средняя абсолютная ошибка.
Предположим, что мы проводим серию измерений величины Х. Из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений:
Х 1 , Х 2 , Х 3 … Х n
В качестве результата измерений обычно принимают среднее значение
Разность между средним значением и результатом i – го измерения назовем абсолютной ошибкой этого измерения
В качестве меры ошибки среднего значения можно принять среднее значение абсолютной ошибки отдельного измерения
(2)
Величина
называется средней арифметической (или
средней абсолютной) ошибкой.
Тогда результат измерений следует записать в виде
(3)
Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах
(4)
