Определение 2.7. это пара случайных чисел (X, Y), или точка на координатной плоскости (рис. 2.11).
Рис. 2.11.
Двумерная случайная величина - это частный случай многомерной случайной величины, или случайного вектора.
Определение 2.8. Случайный вектор - это случайная функция?,(/) с конечным множеством возможных значений аргумента t, значение которой при любом значении t является случайной величиной.
Двумерная случайная величина называется непрерывной, если ее координаты непрерывны, и дискретной, если ее координаты дискретны.
Задать закон распределения двумерных случайных величин - это значит установить соответствие между ее возможными значениями и вероятностью этих значений. По способам задания случайные величины делятся на непрерывные и дискретные, хотя есть общие способы задания закона распределения любой СВ.
Дискретная двумерная случайная величина
Дискретная двумерная случайная величина задается с помощью таблицы распределений (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Таблица распределения (совместное распределение) СВ (X , У)
Элементы таблицы определяются формулой
Свойства элементов таблицы распределения:
Распределение по каждой координате называется одномерным или маргинальным:
р 1> = Р(Х = .г,) - маргинальное распределение СВ X ;
р^ 2) = P(Y= у,) - маргинальное распределение СВ У.
Связь совместного распределения СВ X и У, заданного множеством вероятностей [р {) }, i = 1,..., n,j = 1,..., т (таблицей распределения), и маргинального распределения.
Аналогично для СВ Ур- 2) = X р, г
Задача 2.14. Дано:
Непрерывная двумерная случайная величина
/(х, y)dxdy - элемент вероятности для двумерной случайной величины (X, У) - вероятность попадания случайной величины (X, У) в прямоугольник со сторонами cbc, dy при dx, dy -* 0:
f(x, у) - плотность распределения двумерной случайной величины (X, У). Заданием /(х, у) мы даем полную информацию о распределении двумерной случайной величины.
Маргинальные распределения задаются следующим образом: по X - плотностью распределения СВ X/,(х); по Y - плотностью распределения СВ Уf>(y).
Задание закона распределения двумерной случайной величины функцией распределения
Универсальным способом задания закона распределения для дискретной или непрерывной двумерной случайной величины является функция распределения F(x, у).
Определение 2.9. Функция распределения F(x, у) - вероятность совместного появления событий {Ху}, т.е. F(x 0 ,y n) = = Р(Х у), брошенной на координатную плоскость, попасть в бесконечный квадрант с вершиной в точке М(х 0 , у и) (в заштрихованную на рис. 2.12 область).
Рис. 2.12. Иллюстрация функции распределения F(х, у)
Свойства функции F(x, у)
- 1) 0 1;
- 2) F(-oo, -оо) = F(x, -оо) = F(-oo, у) = 0; F(оо, оо) = 1;
- 3) F(x, у) - неубывающая по каждому аргументу;
- 4) F(x, у) - непрерывна слева и снизу;
- 5) согласованность распределений:
F(x, X: F(x, оо) = F,(x); F(y, оо) - маргинальное распределение по Y F(оо, у) = F 2 (y). Связь /(х, у) с F(x, у):
Связь совместной плотности с маргинальной. Дана f(x, у). Получим маргинальные плотности распределения f(x),f 2 {y)".
Случай независимых координат двумерной случайной величины
Определение 2.10. СВ X и Yнезависимы (нз), если независимы любые события, связанные с каждой из этих СВ. Из определения нз СВ следует:
- 1 )Pij = p X) pf
- 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).
Оказывается, что для независимых СВ X и Y выполнено и
3 )f(x,y) = J(x)f,(y).
Докажем, что для независимых СВ X и Y 2) 3). Доказательство, а) Пусть выполнено 2), т.е.
в то же время F(x,y) = f J f(u,v)dudv, откуда и следует 3);
б) пусть теперь выполнено 3), тогда
т.е. верно 2).
Рассмотрим задачи.
Задача 2.15. Распределение задано следующей таблицей:
Строим маргинальные распределения:
Получаем Р(Х = 3, У = 4) = 0,17 * Р(Х = 3)Р(У = 4) = 0,1485 => => СВ X и Узависимы.
Функция распределения:
Задача 2.16. Распределение задано следующей таблицей:
Получаем P tl = 0,2 0,3 = 0,06; Р 12 = 0,2 ? 0,7 = 0,14; P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; Р 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => СВ X и Y нз.
Задача 2.17. Дана /(х, у) = 1/я ехр| -0,5(д" + 2ху + 5г/ 2)]. Найти А(х) и /Ау)-
Решение
(досчитайте самостоятельно).
Довольно часто при изучении случайных величин приходится иметь дело с двумя, тремя и даже большим числом случайных величин. Например, двумерной случайной величиной $\left(X,\ Y\right)$ будет описываться точка попадания снаряда, где случайные величины $X,\ Y$ абсцисса и ордината соответственно. Успеваемость наудачу взятого студента в период сессии характеризуется $n$-мерной случайной величиной $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, где случайные величины $X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n$ - это оценки, проставленные в зачетной книжке по различным дисциплинам.
Набор $n$ случайных величин $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ называется случайным вектором . Мы ограничимся рассмотрением случая $\left(X,\ Y\right)$.
Пусть $X$ - дискретная случайная величина с возможными значениями $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$, а $Y$ - дискретная случайная величина с возможными значениями $y_1,y_2,\ \dots ,\ y_n$.
Тогда дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ может принимать значения $\left(x_i,\ y_j\right)$ с вероятностями $p_{ij}=P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Здесь $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ - это условная вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y_j$ при условии, что случайная величина $X$ приняла значение $x_i$.
Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение $x_i$, равна $p_i=\sum_j{p_{ij}}$. Вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y_j$, равна $q_j=\sum_i{p_{ij}}$.
$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)={{P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)}\over {P\left(Y=y_j\right)}}={{p_{ij}}\over {q_j}}.$$
$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)={{P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right)}\over {P\left(X=x_i\right)}}={{p_{ij}}\over {p_i}}.$$
Пример 1 . Задано распределение двумерной случайной величины:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end{array}$
Определим законы распределения случайных величин $X$ и $Y$. Найдем условные распределения случайной величины $X$ при условии $Y=2$ и случайной величины $Y$ при условии $X=0$.
Заполним следующую таблицу:
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 2 & 3 & p_i & p_{ij}/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_{ij}/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end{array}$
Поясним, как заполняется таблица. Значения первых трех столбцов первых четырех строк взяты из условия. Сумму чисел $2$-го и $3$-го столбцов $2$-й ($3$-й) строки укажем в $4$-м столбце $2$-й ($3$-й) строки. Сумму чисел $2$-го и $3$-го столбцов $4$-й строки укажем в $4$-м столбце $4$-й строки.
Сумму чисел $2$-й, $3$-й и $4$-й строк $2$-го ($3$-го) столбца запишем в $5$-й строке $2$-го ($3$-го) столбца. Каждое число $2$-го столбца делим на $q_1=0,52$, результат округляем до двух цифр после запятой и пишем в $5$-м столбце. Числа из $2$-го и $3$-го столбцов $3$-й строки делим на $p_2=0,41$, результат округляем до двух цифр после запятой и пишем в последней строке.
Тогда закон распределения случайной величины $X$ имеет следующий вид.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 & 0,19 \\
\hline
\end{array}$
Закон распределения случайной величины $Y$.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 \\
\hline
\end{array}$
Условное распределение случайной величины $X$ при условии $Y=2$ имеет следующий вид.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_{ij}/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end{array}$
Условное распределение случайной величины $Y$ при условии $X=0$ имеет следующий вид.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
Y & 2 & 3 \\
\hline
p_{ij}/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end{array}$
Пример 2 . Имеем шесть карандашей, среди которых два красных. Раскладываем карандаши в две коробки. В первую кладут $2$ штуки, а во вторую тоже два. $X$ - количество красных карандашей в первой коробке, a $Y$ - во второй. Написать закон распределения системы случайных величин $(X,\ Y)$.
Пусть дискретная случайная величина $X$ - количество красных карандашей в первой коробке, а дискретная случайная величина $Y$ - количество красных карандашей во второй коробке. Возможные значения случайных величин $X,\ Y$ соответственно $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Тогда дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ может принимать значения $\left(x,\ y\right)$ с вероятностями $P=P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, где $P\left(Y=y|X=x\right)$ - условная вероятность того, что случайная величина $Y$ примет значение $y$ при условии, что случайная величина $X$ приняла значение $x$. Изобразим соответствие между значениями $\left(x,\ y\right)$ и вероятностями $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)$ в виде следующей таблицы.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\
\hline
0 & {{1}\over {15}} & {{4}\over {15}} & {{1}\over {15}} \\
\hline
1 & {{4}\over {15}} & {{4}\over {15}} & 0 \\
\hline
2 & {{1}\over {15}} & 0 & 0 \\
\hline
\end{array}$
По строкам такой таблицы указываются значения $X$, а по столбцам значения $Y$, тогда вероятности $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right)\right)$ указываются на пересечении соответствующей строки и столбца. Рассчитаем вероятности, используя классическое определение вероятности и теорему произведения вероятностей зависимых событий.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{1}\over {6}}={{1}\over {15}};$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^1_2\cdot C^1_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{2\cdot 2}\over {6}}={{4}\over {15}};$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)={{C^2_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_2}\over {C^2_4}}={{6}\over {15}}\cdot {{1}\over {6}}={{1}\over {15}};$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^1_2\cdot C^1_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_3}\over {C^2_4}}={{2\cdot 4}\over {15}}\cdot {{3}\over {6}}={{4}\over {15}};$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)={{C^1_2\cdot C^1_4}\over {C^2_6}}\cdot {{C^1_1\cdot C^1_3}\over {C^2_4}}={{2\cdot 4}\over {15}}\cdot {{1\cdot 3}\over {6}}={{4}\over {15}};$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)={{C^2_2}\over {C^2_6}}\cdot {{C^2_4}\over {C^2_4}}={{1}\over {15}}\cdot 1={{1}\over {15}}.$$
Поскольку в законе распределения (полученной таблице) все множество событий образует полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1. Проверим это:
$$\sum_{i,\ j}{p_{ij}}={{1}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{1}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{4}\over {15}}+{{1}\over {15}}=1.$$
Функция распределения двумерной случайной величины
Функцией распределения двумерной случайной величины $\left(X,\ Y\right)$ называется функция $F\left(x,\ y\right)$, которая для любых действительных чисел $x$ и $y$ равна вероятности совместного выполнения двух событий $\left\{X < x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\ y\right)=P\left\{X < x,\ Y < y\right\}.$$
Для дискретной двумерной случайной величины функция распределения находится путем суммирования всех вероятностей $p_{ij}$, для которых $x_i < x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\ y\right)=\sum_{x_i < x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Свойства функции распределения двумерной случайной величины.
1 . Функция распределения $F\left(x,\ y\right)$ является ограниченной, то есть $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\ y\right)$ не убывающая для каждого из своих аргументов при фиксированном другом, то есть $F\left(x_2,\ y\right)\ge F\left(x_1,\ y\right)$ при $x_2>x_1$, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ при $y_2>y_1$.
3 . Если хотя бы один из аргументов принимает значение $-\infty $, то функция распределения будет равна нулю, то есть $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x,\ -\infty \right),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Если оба аргумента принимают значение $+\infty $, то функция распределения будет равна $1$, то есть $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . В том случае, когда ровно один из аргументов принимает значение $+\infty $, функция распределения $F\left(x,\ y\right)$ становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому элементу, то есть $F\left(x,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y\left(y\right)=F_Y\left(y\right)$.
6 . $F\left(x,\ y\right)$ является непрерывной слева для каждого из своих аргументов, то есть
$${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} F\left(x,\ y\right)\ }=F\left(x_0,\ y\right),\ {\mathop{lim}_{y\to y_0-0} F\left(x,\ y\right)\ }=F\left(x,\ y_0\right).$$
Пример 3 . Пусть дискретная двумерная случайная величина $\left(X,\ Y\right)$ задана рядом распределения.
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
X\backslash Y & 0 & 1 \\
\hline
0 & {{1}\over {6}} & {{2}\over {6}} \\
\hline
1 & {{2}\over {6}} & {{1}\over {6}} \\
\hline
\end{array}$
Тогда функция распределения:
$F(x,y)=\left\{\begin{matrix}
0,\ при\ x\le 0,\ y\le 0 \\
0,\ при\ x\le 0,\ 0 < y\le 1 \\
0,\ при\ x\le 0,\ y>1 \\
0,\ при\ 0 < x\le 1,\ y\le 0 \\
{{1}\over {6}},\ при\ 0 < x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}={{1}\over {2}},\ при\ 0 < x\le 1,\ y>1 \\
0,\ при\ x>1,\ y\le 0 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}={{1}\over {2}},\ при\ x>1,\ 0 < y\le 1 \\
{{1}\over {6}}+{{2}\over {6}}+{{2}\over {6}}+{{1}\over {6}}=1,\ при\ x>1,\ y>1 \\
\end{matrix}\right.$
двумерный дискретный распределение случайный
Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х 1 - температура, Х 2 - давление, Х 3 - влажность воздуха, Х 4 - скорость ветра.
В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин.
Рассмотрим двумерную случайную величину, возможные значения которой есть пары чисел. Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости.
Если составляющие Х и Y - дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y - непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение x i , а составляющая Y - значение y j .
Таблица 6.1.1.
|
y 1 |
y 2 |
y j |
y m |
|||
|
x 1 |
p 11 |
p 12 |
p 1j |
p 1m |
||
|
x 2 |
p 21 |
p 22 |
p 2j |
p 2m |
||
|
x i |
p i1 |
p i2 |
p ij |
p im |
||
|
x n |
p n1 |
p n2 |
p nj |
p nm |
Так как события, составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.
Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y .
Пример 6.1.1 . Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.
Таблица 6.1.2.
Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y .
Пример 6.1.2 . По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии; б) условный закон распределения Y при условии, что.
Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам
Условный закон распределения Х при условии имеет вид
Контроль: .
Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х , и при этом Y примет значение, меньшее y :
Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).
Отметим свойства.
- 1. Область значений функции - , т.е. .
- 2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.
- 3. Имеют место предельные соотношения:
При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х , т.е. .
Аналогично, .
Зная, можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD.
А именно,
Пример 6.1.3 . Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения
Найти функцию распределения.
Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j , для которых, . Тогда, если и, то (события и - невозможны). Аналогично получаем:
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то;
если и, то.
Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений:
Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности
Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:
3. Функция распределения может быть выражена через по формуле
4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна
5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:
Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины
Упорядоченная пара (X , Y) случайных величин X и Y называется двумерной случайной величиной, или случайным вектором двумерного пространства. Двумерная случайная величина (X,Y) называется также системой случайных величина X и Y. Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины. Дискретная двумерная случайная величина (X , Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Назначение сервиса . С помощью сервиса по заданному закону распределения можно найти:
- ряды распределения X и Y, математическое ожидание M[X], M[Y], дисперсию D[X], D[Y];
- ковариацию cov(x,y), коэффициент корреляции r x,y , условный ряд распределения X, условное математическое ожидание M;
Инструкция . Укажите размерность матрицы распределения вероятностей (количество строк и столбцов) и ее вид. Полученное решение сохраняется в файле Word .
Пример №1 . Двумерная дискретная случайная величина имеет таблицу распределения:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Решение. Величину q найдем из условия Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0.91+q = 1. Откуда q = 0.09
Пользуясь формулой ∑P(xi
,yj
) = pi
(j=1..n), находим ряд распределения X.
M[y] = 1*0.05 + 2*0.46 + 3*0.34 + 4*0.15 = 2.59
Дисперсия D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Среднее квадратическое отклонение σ(y) = sqrt(D[Y]) = sqrt(0.64) = 0.801
Ковариация
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y] = 2·10·0.11 + 3·10·0.12 + 4·10·0.03 + 2·20·0.13 + 3·20·0.09 + 4·20·0.02 + 1·30·0.02 + 2·30·0.11 + 3·30·0.08 + 4·30·0.01 + 1·40·0.03 + 2·40·0.11 + 3·40·0.05 + 4·40·0.09 - 25.2 · 2.59 = -0.068
Коэффициент корреляции
r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0.068/(11.531*0.801) = -0.00736
Пример 2 . Данные статистической обработки сведений относительно двух показателей X и Y отражены в корреляционной таблице. Требуется:
- написать ряды распределения для X и Y и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения;
- написать условные ряды распределения Y/x и вычислить условные средние Y/x;
- изобразить графически зависимость условных средних Y/x от значений X;
- рассчитать выборочный коэффициент корреляции Y на X;
- написать выборочное уравнение прямой регрессии;
- изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.
Множество всех возможных значений дискретной случайной величины с их вероятностями называется законом распределения этой случайной величины.
Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) считается заданной, если известен ее закон распределения:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m
| X / Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Зависимость случайных величин X и Y .
Находим ряды распределения X и Y.
Пользуясь формулой ∑P(xi ,yj ) = pi (j=1..n), находим ряд распределения X. Математическое ожидание M[Y] .
M[y] = (20*6 + 30*9 + 40*55 + 50*16 + 60*14)/100 = 42.3
Дисперсия D[Y] .
D[Y] = (20 2 *6 + 30 2 *9 + 40 2 *55 + 50 2 *16 + 60 2 *14)/100 - 42.3 2 = 99.71
Среднее квадратическое отклонение σ(y) .
Поскольку, P(X=11,Y=20) = 2≠2·6, то случайные величины X и Y зависимы .
2. Условный закон распределения X .
Условный закон распределения X(Y=20) .
P(X=11/Y=20) = 2/6 = 0.33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0.67
P(X=21/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=26/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=31/Y=20) = 0/6 = 0
P(X=36/Y=20) = 0/6 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0.33 + 16*0.67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14.33
Условная дисперсия D = 11 2 *0.33 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14.33 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=30) .
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0.67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0.33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0.67 + 21*0.33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17.67
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0.67 + 21 2 *0.33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17.67 2 = 5.56
Условный закон распределения X(Y=40) .
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0.11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0.82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0.0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0.11 + 26*0.82 + 31*0.0727 + 36*0 = 25.82
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.11 + 26 2 *0.82 + 31 2 *0.0727 + 36 2 *0 - 25.82 2 = 4.51
Условный закон распределения X(Y=50) .
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0.13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0.5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0.38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0.13 + 26*0.5 + 31*0.38 + 36*0 = 27.25
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0.13 + 26 2 *0.5 + 31 2 *0.38 + 36 2 *0 - 27.25 2 = 10.94
Условный закон распределения X(Y=60) .
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0.29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0.5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0.21
Условное математическое ожидание M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0.29 + 31*0.5 + 36*0.21 = 30.64
Условная дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0.29 + 31 2 *0.5 + 36 2 *0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. Условный закон распределения Y .
Условный закон распределения Y(X=11) .
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Условная дисперсия D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Условный закон распределения Y(X=16) .
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0.4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0.6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*0.4 + 30*0.6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Условная дисперсия D = 20 2 *0.4 + 30 2 *0.6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Условный закон распределения Y(X=21) .
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0.27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0.55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0.18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0.27 + 40*0.55 + 50*0.18 + 60*0 = 39.09
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0.27 + 40 2 *0.55 + 50 2 *0.18 + 60 2 *0 - 39.09 2 = 44.63
Условный закон распределения Y(X=26) .
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0.79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0.14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0.0702
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0.79 + 50*0.14 + 60*0.0702 = 42.81
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.79 + 50 2 *0.14 + 60 2 *0.0702 - 42.81 2 = 34.23
Условный закон распределения Y(X=31) .
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0.24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0.35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0.41
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0.24 + 50*0.35 + 60*0.41 = 51.76
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0.24 + 50 2 *0.35 + 60 2 *0.41 - 51.76 2 = 61.59
Условный закон распределения Y(X=36) .
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Условное математическое ожидание M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Условная дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
Ковариация .
cov(X,Y) = M - M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 - 25.3 · 42.3 = 38.11
Если случайные величины независимы, то их ковариации равна нулю. В нашем случае cov(X,Y) ≠ 0.
Коэффициент корреляции .
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
Найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42.3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25.3
Дисперсии:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25.3 2 = 24.01
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σ x = 9.99 и σ y = 4.9
и ковариация:
Cov(x,y) = (20·11·2 + 20·16·4 + 30·16·6 + 30·21·3 + 40·21·6 + 50·21·2 + 40·26·45 + 50·26·8 + 60·26·4 + 40·31·4 + 50·31·6 + 60·31·7 + 60·36·3)/100 - 42.3 · 25.3 = 38.11
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
и вычисляя, получаем:
y x = 0.38 x + 9.14
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
и вычисляя, получаем:
x y = 1.59 y + 2.15
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (42.3; 25.3) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции .
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим t крит:
t крит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
Если t набл > t критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t набл > t крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.
Задание
. Количество попаданий пар значений случайных величин X и Y в соответствующие интервалы приведены в таблице. По этим данным найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y .
Решение
Пример
. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) задано таблицей. Найти законы распределения составляющих величин X, Y и коэффициент корреляции p(X, Y).
Скачать решение
Задание . Двумерная дискретная величина (X, Y) задана законом распределения. Найти законы распределения составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.
