Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом - базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, - совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик - математик Курт Гёдель - взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, - и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой,или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность - исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный - никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?

Курт ГЁДЕЛЬ
Kurt Gödel, 1906–78

Австрийский, затем американский математик. Родился в г. Брюнн (Brünn, ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался преподавателем кафедры математики (с 1930 года - профессором). В 1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. Будучи человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни. В 1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и женился. В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить.

Комментарии: 0

Как развивается научная модель в естественных науках? Накапливается житейский либо научный опыт, его вехи аккуратно формулируются в виде постулатов и образуют базу модели: набор утверждений, принимаемых всеми, кто работает в рамках этой модели.

Анатолий Вассерман

В 1930 году Курт Гедель доказал две теоремы, которые в переводе с математического языка на человеческий означают примерно следующее: Любая система аксиом, достаточно богатая, чтобы с ее помощью можно было определить арифметику, будет либо не полна, либо противоречива. Не полная система – это значит, что в системе можно сформулировать утверждение, которое средствами этой системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Но Бог, по определению, есть конечная причина всех причин. С точки зрения математики это означает, что введение аксиомы о Боге делает всю нашу аксиоматику полной. Если есть Бог, значит любое утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть, ссылаясь, так или иначе, на Бога. Но по Геделю полная система аксиом неизбежно противоречива. То есть, если мы считаем, что Бог существует, то мы вынуждены прийти к выводу, что в природе возможны противоречия. А поскольку противоречий нет, иначе бы весь наш мир рассыпался от этих противоречий, приходиться прийти к выводу, что существование Бога не совместимо с существованием природы.

Сосинский А. Б.

Теорема Гёделя, наряду с открытием теории относительности, квантовой механики и ДНК, обычно рассматривается как крупнейшее научное достижение ХХ века. Почему? В чем ее суть? Каково ее значение? Эти вопросы в своей лекции в рамках проекта «Публичные лекции "Полит.ру"» раскрывает Алексей Брониславович Сосинский, математик, профессор Независимого московского университета, офицер Ордена академических пальм Французской Республики, лауреат премии Правительства РФ в области образования 2012 года. В частности, были даны несколько разных ее формулировок, описаны три подхода к ее доказательству (Колмогорова, Чейтина и самого Гёделя), и объяснено ее значение для математики, физики, компьютерной науки и философии.

Успенский В. А.

Лекция посвящена синтаксической версии Теоремы Гёделя о неполноте. Сам Гёдель доказал синтаксическую версию, используя более сильное, чем непротиворечивость, предположение, а именно так называемую омега-непротиворечивость.

Успенский В. А.

Лекции летней школы «Современная математика», г. Дубна.

Теорема Геделя о неполноте

Успенский В.А.

Пожалуй, теорема Геделя о неполноте является воистину уникальной. Уникальной в том, что на нее ссылаются, когда хотят доказать "все на свете" - от наличия богов до отсутствия разума. Меня всегда интересовал более "первичный вопрос" - а кто из ссылающихся на теорему о неполноте смог-бы не только сформулировать ее, но и доказать? Я публикую данную статью по той причине, что в ней изложена вполне доступная формулировка теоремы Геделя. Рекомендую предварительно ознакомиться со статьей Туллио Редже Курт Гедель и его знаменитая теорема

Вывод о невозможности универсального критерия истины является непосредственным следствием результата, полученного Тарским путем соединения теоремы Геделя о неразрешимости с его собственной теорией истины, согласно которому универсального критерия истины не может быть даже для относительно узкой области теории чисел, а значит, и для любой науки, использующей арифметику. Естественно, что этот результат применим a fortiori к понятию истины в любой нематематической области знания, в которой широко используется арифметика.

Карл Поппер

Успенский Влaдимиp Aндpеевич pодился 27 ноябpя 1930 г. в г. Москве. Окончил мехaнико-мaтемaтический фaкультет МГУ (1952). Доктоp физико-мaтемaтических нaук (1964). Пpофессоp, заведующий кaфедpой мaтемaтической логики и теоpии aлгоpитмов мехaнико-мaтемaтического фaкультетa (1966). Читает курсы лекций "Введение в математическую логику", "Вычислимые функции", "Теорема Геделя о полноте". Подготовил 25 кандидатов и 2 докторов наук

1. Постановка задачи

Теорема о неполноте, точную формулировку которой мы дадим в конце этой главки, а быть может позже (в случае возникновения к этому интереса у читателя) и доказательство, утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом языке существуют истинные, но недоказуемые утверждения.

Когда мы таким образом формулируем теорему, почти каждое слово требует некоторых пояснений. Поэтому мы начнем с того, что объясним значение слов, используемых нами в этой формулировке.

1.1. Язык

Мы не будем давать наиболее общее из возможных определений языка, предпочтя ограничиться теми языковыми концепциями, которые нам понадобятся впоследствии. Есть два таких понятия: "алфавит языка" и "множество истинных утверждений языка".

1.1.1. Алфавит

Под алфавитом мы понимаем конечный набор элементарных знаков (то есть - вещей, которые невозможно разбить на составные части). Эти знаки называются буквами алфавита. Под словом алфавита мы понимаем конечную последовательность букв. Например, обыкновенные слова в английском языке (включая имена собственные) являются словами 54-хбуквенного алфавита (26 маленьких букв, 26 прописных, тире и апостроф). Другой пример - натуральные числа в десятичной записи являются словами 10-тибуквенного алфавита, чьи буквы - знаки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для обозначения алфавитов мы будем использовать обыкновенные заглавные буквы. Если L - алфавит, то L? будет обозначать множество всех слов алфавита L, - слов, образованных из его букв. Мы предположим, что любой язык имеет свой алфавит, так что все выражения этого языка (т. е. - имена различных объектов, утверждения относительно этих объектов и т.д.) являются словами этого алфавита. Например, любое предложение английского языка, равно как и любой текст, написанный по-английски, может рассматриваться как слово расширенного алфавита из 54-х букв, включающего также знаки пунктуации, междусловный пробел, знак красной строки и, возможно, некоторые другие полезные знаки. Предполагая, что выражения языка являются словами некоторого алфавита, мы, таким образом, исключаем из рассмотрения "многослойные" выражения типа???f(x)dx. Однако, это ограничение не слишком существенно, так как любое подобное выражение, при использовании подходящих конвенций, может быть "растянуто" в линейную форму. Любое множество М, содержащееся в L? называется словным множеством алфавита L. Если мы просто говорим, что М - словное множество, то мы подразумеваем, что оно является словом некоторого алфавита. Теперь сформулированное выше предположение о языке может быть перефразировано следующим образом: в любом языке любое множество выражений является словным множеством.

1.1.2. Множество истинных утверждений

Мы предположим, что нам задано подмножество Т множества L? (где L алфавит некоторого рассматриваемого нами языка), которое называется множеством "истинных утверждений" (или просто "истин"). Переходя непосредственно к подмножеству Т, мы опускаем следующие промежуточные шаги рассуждения: во-первых, какие именно слова алфавита L являются корректно образованными выражениями языка, то есть - имеющими определенное значение в нашей интерпретации этого языка (например, 2+3, х+3, х=у, х=3, 2=3, 2=2 являются корректно образованными выражениями, в то время как выражения типа +=х таковыми не являются); во-вторых, какие именно выражения являются формулами, т.е. могут зависеть от параметра (например, х=3, х=у, 2=3, 2=2); в третьих, какие именно из формул являются закрытыми формулами, т.е. утверждениями, не зависящими параметров (например, 2=3, 2=2); и наконец, какие именно закрытые формулы являются истинными утверждениями (например, 2=2).

1.1.3. Фундаментальная пара языка

1.2. "Недоказуемые"

"Недоказуемые" значит не имеющие доказательства.

1.3. Доказательство

Несмотря на то что термин "доказательство" является, возможно, одним из важнейших в математике (Бурбаки начинают свою книгу "Основания математики" словами: "Со времени древних греков сказать "математика" значило то же, что сказать "доказательство""), он не имеет своей точной дефиниции. В целом, понятие доказательства со всеми его смысловыми ответвлениями относится, скорей, к области психологии, нежели к математике. Но как бы то ни было, доказательство - это просто аргумент, который мы сами находим вполне убедительным для того, чтобы убедить всех остальных.

Будучи записано, доказательство становится словом в некотором алфавите Р, так же как любой английский текст является словом алфавита L, пример которого был приведен выше. Множество всех доказательств образуют подмножество (и довольно-таки обширное подмножество) множества Р?. Мы не будем пытаться дать точное определение этой одновременно "наивной" и "абсолютной" концепции доказательства, или - что равносильно - дать определение соответствующему подмножеству Р?. Вместо этого мы рассмотрим формальный аналог этого смутного понятия, для обозначения которого в дальнейшем мы все же будем пользоваться термином "доказательство". Этот аналог имеет две весьма важные особенности, кои отличают его от интуитивного понятия (хотя интуитивная идея доказательства все же отражает в некоторой степени эти особенности). Прежде всего мы допустим, что существуют разные концепции доказательства, то есть - допустимы разные подмножества доказательств в Р?, и даже больше того: мы, на деле, будем допускать, что сам алфавит доказательств Р может изменяться. Далее мы потребуем, чтобы для каждой такой концепции доказательства существовал эффективный метод, другими словами, алгоритм, который бы с необходимостью определял, является ли данное слово алфавита Р доказательством или нет. Мы также предположим, что существует алгоритм, с помощью которого всегда можно определить, какое именно утверждение доказывает данное доказательство. (Во многих ситуациях доказываемым утверждением просто является последнее утверждение в последовательности шагов, образующих доказательство.)

Таким образом, наша окончательная формулировка определения выглядит следующим образом:

(1) У нас имеются алфавит L (алфавит языка) и алфавит Р (алфавит доказательства).

(2) Нам дано множество Р, являющееся подмножеством Р?, и чьи элементы называются "доказательствами". В дальнейшем мы будем предполагать, что также у нас имеется алгоритм, который позволяет нам определить является ли произвольное слово алфавита Р элементом множества Р, то есть доказательством, или нет.

(3) Также у нас есть функция? (для нахождения того, что именно было доказано), чья область определения? удовлетворяет условию Р???Р?, и чья область значений находится в Р?. Мы предполагаем, что у нас есть алгоритм, который вычисляет эту функцию (точное значение слов "алгоритм вычисляет функцию" следующее: значения функции получаются при помощи этого алгоритма - набора специальных правил преобразования). Мы будем говорить, что элемент р? Р есть доказательство слова?(р) алфавита L.

Тройка <Р, Р, ?>, удовлетворяющая условиям (1)-(3) называется дедуктивной системой над алфавитом L.

Для читателя, знакомого с обычным способом определения "доказательства" в терминах "аксиома" и "правило вывода", мы сейчас поясним, как этот метод может рассматриваться в качестве специального случая определения, данного в параграфе 1.3.2. То есть - доказательство обычно определяется как последовательность таких выражений языка, каждое из которых является либо аксиомой, либо ранее полученным из уже существующих утверждений при помощи одного из правил вывода. Если мы добавим новое слово * к алфавиту нашего языка, то мы сможем записать такое доказательство в виде слова составленного при помощи полученного в результате такой модификации алфавита: последовательность выражений становится словом C1*C2*...*Cn. В таком случае, функция, определяющая, что именно было доказано, своим значением имеет часть этого слова, стоящую сразу за последней в последовательности буквой *. Алгоритм, существование которого требуется в части 1.3.2. определения, может легко быть сконструирован, как только мы точно определим какое-либо из принятых значений слов "аксиома" и "правила вывода".

1.4.Попытки точной формулировки теоремы о неполноте

1.4.1. Первая попытка

"При определенных условиях для фундаментальной пары языка алфавита L и дедуктивной системы <Р, Р, ?> над L - всегда существует слово в Т, не имеющее доказательства". Этот вариант все еще выглядит смутным. В частности, мы могли бы запросто придумать сколько угодно дедуктивных систем, имеющих очень немного доказуемых слов. Например, в пустой дедуктивной системе (где Р = ?) совсем нет слов, у которых были бы доказательства.

1.4.2. Вторая попытка

Есть другой, более естественный подход. Предположим, нам задан язык - в том смысле, что нам задана фундаментальная пара этого языка. Теперь мы будем искать такую дедуктивную систему над L (интуитивно, мы ищем технику доказательства), при помощи которой мы могли бы доказать как можно больше слов из Т, в пределе все слова из Т. Теорема Геделя описывает ситуацию, в которой такая дедуктивная система (посредством коей, каждое слово в Т было бы доказуемо) не существует. Таким образом, нам бы хотелось сформулировать следующее утверждение:

"При определенных условиях относительно фундаментальной пары не существует такой дедуктивной системы, в которой бы каждое слово из Т имело бы доказательство".

Однако такое утверждение, очевидно, ложно, так как необходимо лишь взять такую дедуктивную систему, в которой Р = L, Р = Р? и?(р) = р для всех р из Р?; тогда каждое слово из L? является тривиально доказуемым. Следовательно, нам нужно принять некоторое ограничение на то, какими дедуктивными системами мы пользуемся.

1.5. Непротиворечивость

Было бы вполне естественно потребовать, что только "истинные утверждения", то есть только слова из Т, могут быть доказаны. Мы будем говорить, что дедуктивная система <Р, Р, ?> является непротиворечивой относительно фундаментальной пары, если?(Р)?Т. Во всех последующих рассуждениях нас будут интересовать только такие непротиворечивые дедуктивные системы. Если же нам задан язык, то было бы чрезвычайно соблазнительно найти такую непротиворечивую дедуктивную систему, в которой каждое истинное утверждение имело бы доказательство. Интересующий нас вариант теоремы Геделя в точности утверждает, что при определенных условиях относительно фундаментальной пары, невозможно найти такую дедуктивную систему.

1.6. Полнота

Говорится, что дедуктивная система <Р,Р,?> полна относительно фундаментальной пары, при условии если?(Р)?Т. Тогда наша формулировка теоремы о неполноте приобретает следующий вид:

При определенных условиях относительно фундаментальной пары, не существует такой дедуктивной системы <Р,Р,?> над L, которая была бы одновременно полна и непротиворечива относительно.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://filosof.historic.ru

09Сен

Всякая система математических аксиом, начиная с определенного уровня сложности, либо внутренне противоречива, либо неполна.

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом - базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, - совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик - математик Курт Гёдель - взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так называемой «математической логики». После долгих и сложных математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее. Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот, Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо». То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть приходиться мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, - и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой, или слабой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения» . Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)» .

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность - исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный - никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Теоремы Гёделя о неполноте

Теоремы Гёделя о неполноте

Теоремы Гёделя о неполноте - две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой достаточно сильной теории первого порядка .

Первая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула.

Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой теории.

Первая теорема Гёделя о неполноте

Утверждение первой теоремы Гёделя о неполноте можно сформулировать следующим образом:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней существует такая замкнутая формула G, что ни G, ни её отрицание ¬G не являются выводимыми в S.

При доказательстве теоремы Гёдель построил формулу G в явном виде, иногда её называют гёделевой неразрешимой формулой. В стандартной интерпретации предложение G утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если теория S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел, формула G верна, но в S невыводима.

Доказательство Гёделя можно провести и для любой теории, полученной из S добавлением новых аксиом, например, формулы G в качестве аксиомы. Поэтому любая непротиворечивая теория, являющаяся расширением формальной арифметики, будет неполна.

Для доказательства первой теоремы о неполноте Гёдель сопоставил каждому символу, выражению и последовательности выражений формальной арифметики определенный номер. Поскольку формулы и теоремы являются предложениями арифметики, а формальные выводы теорем являются последовательностями формул, то стало возможным говорить о теоремах и доказательствах в терминах натуральных чисел. Например, пусть гёделева неразрешимая формула G имеет номер m , тогда она эквивалентна следующему утверждению на языке арифметики: "нет такого натурального числа n , что n есть номер вывода формулы с номером m ". Подобное сопоставление формул и натуральных чисел называется арифметизацией математики и было осуществлено Гёделем впервые. Эта идея впоследствии стала ключом к решению многих важных задач математической логики.

Набросок доказательства

Зафиксируем некоторую формальную систему PM, в которой можно представить элементарные математические понятия .

Выражения формальной системы являются, если смотреть извне, конечными последовательностями примитивных символов (переменных, логических постоянных, и скобок или точек) и нетрудно строго уточнить какие последовательности примитивных символов являются формулами, а какие нет. Аналогично, с формальной точки зрения, доказательства есть ни что иное, как конечные последовательности формул (со строго заданными свойствами). Для математического рассмотрения не имеет значения, какие объекты взять в качестве примитивных символов, и мы решаем использовать для этих целей натуральные числа. Соответственно, формула является конечной последовательностью натуральных чисел, вывод формулы - конечной последовательностью конечных последовательностей натуральных чисел. Математические понятия (утверждения) таким образом становятся понятиями (утверждениями) о натуральных числах или их последовательностях, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы PM (по крайней мере частично). Может быть показано, в частности, что понятия "формула", "вывод", "выводимая формула" определимы внутри системы PM, то есть можно восстановить, например, формулу F (v ) в PM с одной свободной переменной v (тип которой - числовая последовательность) такую, что F (v ), в интуитивной интерпретации, означает: v - выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы PM, то есть предложение A , для которого ни A , ни не-A невыводимы, следующим образом:

Формулу в PM с точно одной свободной переменной, тип которой натуральное число (класс классов), будем называть класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n -е через R (n ), и заметим, что понятие "класс-выражение", также как и отношение упорядочения R можно определить в системе PM. Пусть α будет произвольным класс-выражением; через [α;n ] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа n . Тернарное отношение x = [y ;z ] тоже оказывается определимым в PM. Теперь мы определим класс K натуральных чисел следующим образом:

n ∈ K ≡ ¬Bew[R (n );n ] (*)

(где Bew x означает: x - выводимая формула). Так как все понятия, встречающиеся в этом определении, можно выразить в PM, то это же верно и для понятия K , которое из них строится, то есть имеется такое класс-выражение S , что формула [S ;n ], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K . Как класс-выражение, S идентична некоторому определенному R (q ) в нашей нумерации, то есть

S = R (q )

выполняется для некоторого определенного натурального числа q . Теперь покажем, что предложение [R (q );q ] неразрешимо в PM. Так, если предложение [R (q );q ] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответсвии со сказанным выше, q будет принадлежать K , то есть, в соответствии с (*), ¬Bew[R (q );q ] будет выполняться, что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если бы отрицание [R (q );q ] было выводимым, то будет иметь место ¬ n ∈ K , то есть Bew[R (q );q ] будет истинным. Следовательно, [R (q );q ] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно.

Полиномиальная форма

Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение (θ + 2z − b 5) 2 + (u + t θ − l ) 2 + (y + m θ − e ) 2 + (n − q 16) 2 + ((g + e q 3 + l q 5 + (2(e − z λ)(1 + g ) 4 + λb 5 + λb 5 q 4)q 4)(n 2 − n ) + (q 3 − b l + l + θλq 3 + (b 5 − 2)q 5)(n 2 − 1) − r ) 2 + (p − 2w s 2 r 2 n 2) 2 + (p 2 k 2 − k 2 + 1 − τ 2) 2 + (4(c − k s n 2) 2 + η − k 2) 2 + (r + 1 + h p − h − k ) 2 + (a − (w n 2 + 1)r s n 2) 2 + (2r + 1 + φ − c ) 2 + (b w + c a − 2c + 4αγ − 5γ − d ) 2 + ((a 2 − 1)c 2 + 1 − d 2) 2 + ((a 2 − 1)i 2 c 4 + 1 − f 2) 2 + (((a + f 2 (d 2 − a )) 2 − 1)(2r + 1 + j c ) 2 + 1 − (d + o f ) 2) 2 + (((z + u + y ) 2 + u ) 2 + y − K ) 2 = 0 не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо .

Вторая теорема Гёделя о неполноте

В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справеливо утверждение второй теоремы Гёделя:

Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.

Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако существуют доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.

Набросок доказательства

Сначала строится формула Con , содержательно выражающая невозможность вывода в теории S какой-либо формулы вместе с ее отрицанием. Тогда утверждение первой теоремы Гёделя выражается формулой Con ⊃ G , где G - Гёделева неразрешимая формула. Все рассуждения для доказательства первой теоремы могут быть выражены и проведены средствами S, то есть в S выводима формула Con ⊃ G . Отсюда, если в S выводима Con , то в ней выводима и G . Однако, согласно первой теореме Гёделя, если S непротиворечива, то G в ней невыводима. Следовательно, если S непротиворечива, то в ней невыводима и формула Con .

Примечания

См. также

Ссылки

• В. А. Успенский Теорема Гёделя о неполноте . - М.: Наука, 1982. - 110 с. - (Популярные лекции по математике).
• Академик Ю. Л. Ершов «Доказательность в математике» , программа А. Гордона от 16 июня 2003 года
• А. Б. Сосинский Теорема Геделя // летняя школа «Современная математика» . - Дубна: 2006.
• П. Дж. Коэн Об основаниях теории множеств // Успехи математических наук . - 1974. - Т. 29. - № 5(179). - С. 169–176.
• М. Кордонский Конец истины . - ISBN 5-946448-001-04
• В. А. Успенский Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // летняя школа «Современная математика» . - Дубна: 2007.
• Зенкин А. А. Принцип разделения времени и анализ одного класса квазифинитных правдоподобных рассуждений (на примере теоремы Г. Кантора о несчётности) // ДАН . - 1997. - Т. 356. - № 6. - С. 733-735.
• Чечулин В. Л. О кратком варинте доказательства теорем Гёделя // «Фундаментальные проблемы математики и информационных наук», материалы XXXIV Дальневосточной Математической Школы-семинара имени академика Е.В. Золотова . - Хабаровск, Россия: 2009. - С. 60-61.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теоремы Гёделя о неполноте" в других словарях:

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Гёделя. Теорема Гёделя о неполноте и вторая теорема Гёделя[ 1] две теоремы математической логики о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой… … Википедия

Теоремы Гёделя о неполноте две теоремы математической логики о неполноте формальных систем определённого рода. Содержание 1 Первая теорема Гёделя о неполноте 2 Вторая теорема Гёделя о неполноте … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Гёделя. Теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов является одной из фундаментальных теорем математической логики: она устанавливает однозначную связь между логической истинностью… … Википедия

Общее название двух теорем, установленных К. Гёделем . Первая Г. т. о н. утверждает, что в любой непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум арифметики (знаки и обычные правила обращения с ними), найдется формально неразрешимое… … Математическая энциклопедия

на тему: «ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ»

Курт Гёдель

Курт Гёдель – крупнейший специалист по математической логике – родился 28 апреля 1906 г. В Брюнне (ныне г. Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где защитил докторскую диссертацию, был доцентом в 1933–1938 гг. После аншлюса эмигрировал в США. С 1940 по 1963 г. Гёдель работал в Принстонском институте высших исследований. Гёдель – почетный доктор Йельского и Гарвардского университетов, член Национальной академии наук США и Американского философского общества.

В 1951 г. Курт Гёдель был удостоен высшей научной награды США – Эйнштейновской премии. В статье, посвященной этому событию, другой крупнейший математик нашего времени Джон фон Нейман писал : «Вклад Курта Гёделя в современную логику поистине монументален. Это – больше, чем просто монумент. Это веха, разделяющая две эпохи… Без всякого преувеличения можно сказать, что работы Гёделя коренным образом изменили сам предмет логики как науки».

Действительно, даже сухой перечень достижений Гёделя в математической логике показывает, что их автор по существу заложил основы целых разделов этой науки: теории моделей (1930 г.; так называемая теорема о полноте узкого исчисления предикатов, показывающая, грубо говоря, достаточность средств «формальной логики» для доказательства всех выражаемых на ее языке истинных предложений), конструктивной логики (1932–1933 гг.; результаты о возможности сведения некоторых классов предложений классической логики к их интуиционистским аналогам, положившие начало систематическому употреблению «погружающих операций», позволяющих осуществлять такое сведение различных логических систем друг другу), формальной арифметики (1932–1933 гг.; результаты о возможности сведения классической арифметики в интуиционистскую, показывающие в некотором смысле непротиворечивость первой относительно второй), теории алгоритмов и рекурсивных функций (1934 г.; определение понятия общерекурсивной функции, сыгравшего решающую роль в установлении алгоритмической неразрешимости ряда важнейших проблем математики, с одной стороны. И в реализации логико-математических задач на электронно-вычислительных машинах – с другой), аксиоматической теории множеств (1938 г.; доказательство относительной непротиворечивости аксиомы выбора и континуум-гипотезы Кантора от аксиом теории множеств, положившее начало серии важнейших результатов об относительной непротиворечивости и независимости теоретико-множественных принципов).

Теорема Гёделя о неполноте

Введение

В 1931 г. В одном из немецких научных журналов появилась сравнительно небольшая статья с довольно устрашающим названием «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем». Автором ее был двадцатипятилетний математик из Венского университета Курт Гедель, впоследствии работавший в Принстонском институте высших исследований. Работа эта сыграла решающую роль в истории логики и математики. В решении Гарвардского университета о присуждении Гёделю почетной докторской степени (1952) она была охарактеризована как одно из величайших достижений современной логики.

Однако в момент опубликования ни название гёделевской работы. Ни содержание ее ничего не говорили большинству математиков. Упомянутые в ее названии Principia Mathematica – это монументальных трехтомный трактат Альфреда Норта Уайтхеда и Бертрана Рассела, посвященный математической логике и основаниям математики; знакомство с трактатом отнюдь не являлось необходимым условием для успешной работы в большей части разделов математики. Интерес к разбираемым в работе Гёделя вопросам всегда был уделом весьма немногочисленной группы учёных. В то же время рассуждения, приведенные Гёделем в его доказательствах, были для своего времени столь необычными. Что для полного их понимания требовалось исключительное владение предметом и знакомство с литературой, посвященной этим весьма специфическим проблемам.

Первая теорема о неполноте

Первая теорема Гёделя о неполноте , по всей видимости, является наиболее знаменательным результатом в математической логике. Она звучит следующим образом:

Для произвольной непротиворечивой формальной и вычислимой теории, в которой можно доказать базовые арифметические высказывания, может быть построено истинноеарифметическое высказывание, истинность которого не может быть доказана в рамках теории . Другими словами, любая вполне полезная теория, достаточная для представления арифметики, не может быть одновременно непротиворечивой и полной.

Здесь слово «теория» обозначает «бесконечное множество» высказываний, некоторые из которых полагаются истинными без доказательств (такие высказывания называются аксиомами), а другие (теоремы) могут быть выведены из аксиом, а потому полагаются (доказываются) истинными. Словосочетание «доказуемый в теории» обозначает «выводимый из аксиом и примитивов теории (константных символов алфавита) при помощи стандартной логики (первого порядка)». Теория является непротиворечивой (согласованной), если в ней невозможно доказатьпротиворечивое высказывание. Словосочетание «может быть построено» обозначает, что существует некоторая механическая процедура (алгоритм), которая может построить высказывание на основе аксиом, примитивов и логики первого порядка. «Элементарная арифметика» заключается в наличии операций сложения и умножения над натуральными числами. Результирующее истинное, но недоказуемое высказывание часто обозначается для заданной теории как «последовательность Гёделя», однако существует бесконечно количество других высказываний в теории, которые имеют такое же свойство: недоказуемая в рамках теории истинность.

Предположение о том, что теория вычислима, обозначает, что в принципе возможно реализовать компьютерный алгоритм (компьютерную программу), которая (если ей разрешено вычислять произвольно долгое врея, вплоть до бесконечности) вычислит список всех теорем теории. Фактически, достаточно вычислить только список аксиом, и все теоремы могут быть эффективно получены из такого списка.

Первая теорема о неполноте была озаглавлена как «Теорема VI» в статье Гёделя от 1931 года On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I . В оригинальной записи Гёделя она звучала как:

«Общий вывод о существовании неразрешимых пропозиций заключается в следующем:

Теорема VI .

Для каждого ω-согласованного рекурсивного класса k ФОРМУЛ существуют рекурсивные ЗНАКИ r такие, что ни (v Genr ), ни ¬(v Genr )не принадлежат Flg (k )(где v есть СВОБОДНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ r ) ».

Обозначение Flg происходит от нем. Folgerungsmenge – множество последовательностей, Gen происходит от нем. Generalisation – обобщение.

Грубо говоря, высказывание Гёделя G утверждает: «истинность G не может быть доказана». Если бы G можно было доказать в рамках теории, то в таком случае теория содержала бы теорему, которая противоречит сама себе, а потому теория была бы противоречива. Но если G недоказуемо, то оно истинно, а потому теория неполна (высказывание G невыводимо в ней).

Это пояснение на обычном естественном языке, а потому не совсем математически строго. Для предоставления строгого доказательства, Гёдель пронумеровал высказывания при помощи натуральных чисел. В этом случае теория, описывающая числа, также принадлежит множеству высказываний. Вопросы о доказуемости высказываний представимы в данном случае в виде вопросов о свойствах натуральных чисел, которые должны быть вычислимы, если теория полна. В этих терминах высказывание Гёделя гласит, что не существует числа с некоторым определённым свойством. Число с этим свойством будет являться доказательством противоречивости теории. Если такое число существует, теория противоречива вопреки первоначальному предположению. Так что предполагая, что теория непротиворечива (как предполагается в посылке теоремы), получается, что такого числа не существует, и высказывание Гёделя истинно, но в рамках теории этого доказать невозможно (следовательно, теория неполна). Важное концептуальное замечание состоит в том, что необходимо предположить, что теория непротиворечива, для того чтобы объявить высказывание Гёделя истинным.

Вторая теорема Гёделя о неполноте

Вторая теорема Гёделя о неполноте звучит следующим образом:

Для любой формально рекурсивно перечислимой (то есть эффективно генерируемой) теории T, включая базовые арифметические истинностные высказывания и определённые высказывания о формальной доказуемости, данная теория T включает в себя утверждение о своей непротиворечивости тогда и только тогда, когда теория T противоречива.

Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т.д.

Использовать эту теорему для доказательства того, что разумная деятельность не сводится к вычислениям, пытались многие. Например, еще в 1961 году известный логик Джон Лукас (John Lucas) выступал с подобной программой. Его рассуждения оказались довольно уязвимыми – однако он и задачу ставил более широко. Роджер Пенроуз использует несколько другой подход, который излагается в книге полностью, «с нуля».

Дискуссии

Следствия теорем затрагивают философию математики, особенно такие формализмы, которые используют формальную логику для определения своих принципов. Можно перефразировать первую теорему о неполноте следующим образом: «невозможно найти всеохватывающую систему аксиом, которая была бы способна доказать все математические истины, и ни одной лжи ». С другой стороны, с точки зрения строгой формальности, эта переформулировка не имеет особого смысла, поскольку она предполагает понятия «истина» и «ложь» определёнными в абсолютном смысле, нежели в относительном для каждой конкретной системы.