Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №56 с углубленным изучением математики» города Магнитогорска

Методическая разработка урока

по математике

Первообразные и определённый интеграл на ЕГЭ. Обзор заданий ЕГЭ на тему «Первообразная»)

для учащихся 11 класса

(обобщающий урок)

Филимонова Татьяна Михайловна

Магнитогорск 2018

Аннотация

Занятие предназначено для обучающихся 11класса. Тема урока «Первообразная и определенный интеграл на ЕГЭ. Обзор заданий ЕГЭ на тему «Первообразная». Этап обучения по данной теме - завершающий. Мотивация изучения данной темы обеспечивается за счет, применения ИКТ, использования различных видов заданий, привлечения заданий ФИПИ и заданий сайта Решу ЕГЭ. Приоритетная цель на уроке применение полученных знаний, отработка умений, решение задач с ЕГЭ.

Пояснительная записка

Методическая разработка представляет собой разработку конкретного урока по математике с использованием средств ИКТ. Актуальность разработки заключается в том, что учащиеся решают задачу нахождения площади фигуры разными методами Различные способы решения одной задачи, наглядность, исторические сведения и наличие межпредметных связей способствуют развитию познавательного интереса к математике, осознание значения математики в повседневной жизни человека.

В процессе выполнения теста обучающиеся повторяют теоретические сведения о первообразной и интеграле, что поможет им систематизировать теорию по данной теме, подготовиться к предстоящему экзамену.

Конспект урока

Тип урока: обобщающий урок.

Цели:

Образовательные:

Формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме « Первообразная. Интеграл».

Развивающие :

Формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.

Воспитательные :

Формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.

Оборудование: ПК, проектор, экран.

Ход урока

I. Организационный момент:

Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Ц ель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме «Первообразная. Интеграл», подготовиться к предстоящему ЕГЭ.

II . Проверка домашнего задания:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 , у=. Решение приготовлено на слайде.

На доске заранее приготовлено задание по выведению формулы объема шара.

2 человека по очереди выходят к доске кратко объясняют решение, которое

Остальные в это время проверяют.

I II . Разминка.

Каждому ученику раздается тест.

Заполненные тесты собрать.

Разбор заданий проводится фронтально по выведенным заданиям на экране.

I V . Математическая эстафета.

Теперь в путь! Подъем к «Пику знаний» будет нелегким, могут быть и завалы, и обвалы, и заносы. Но есть и привалы, где вас ждут не только задания. Чтобы продвинуться вперед, надо показать знания.

Учащиеся на каждую парту получают листы с заданиями по теме «Первообразная».

1. Значение первообразной F ( x ) функции f ( x )=11 x +5 в точке 0 равно 6. Найдите F (-3).

2. Значение первообразной F ( x ) функции f ( x )=8 cos x в точке -π равно 13. Найдите F ( π /6).

3. Значение первообразной функции F ( x ) функции f ( x )=6 в точке 0 равно -18. Найдите F(ln3) .

4. На рисунке изображен график первообразной y = F ( x ) функции f ( x ) и восемь точек на оси абсцисс: , , …, . В скольких из этих точек функция f ( x ) положительна?

5. На рисунке изображен график первообразной у= F ( x ) функции f ( x ) и восемь точек на оси абсцисс: , , , …,. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

V . Привал.

«Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов» (Луи Пастер).

Зачитываются сведения из истории интегрального исчисления. Демонстрируются газеты, приготовленные учащимися по истории интегрального исчисления. Газеты посвящены Ньютону и Лейбницу.

VI. Самое трудное восхождение.

Следующее задание предполагается выполнять в письменной форме, поэтому учащиеся работают в тетрадях.

Задача. Сколькими способами можно найти площадь фигуры, ограниченной линиями (слайд)

У кого есть предложения? (фигура состоит из двух криволинейных трапеций и прямоугольника) (выбирайте способ решения, слайд)

После обсуждения данной проблемы на слайде появляется запись

1 способ: S=S 1 +S 2 +S

2 способ: S=S 1 +S ABCD -S OCD

Двое учащихся решают у доски с последующим объяснением решения, остальные учащиеся работают в тетрадях, выбрав один из способов решения.

Вывод (делают учащиеся): мы нашли два способа решения данной задачи, получив один и тот же результат. Обсудить какой способ проще.

Все очень устали, но чем ближе к цели, тем задания становятся все легче и легче.

VШ. Итог урока (слайды)

«Мышление начинается с удивления», - заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления - могучий источник желания знать; от удивления к знаниям - один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Интегралы используются при:

решении задач из области физики;

решении экономических задач (на оптимизацию работы фирмы в условиях конкуренции, расчет о доходности потребительского кредита);

решении социально - демографических задач (математическая модель народонаселения Земли и др.).

IX . Домашнее задание. (слайд)

Задание составленное учителем на сайте «Решу ЕГЭ».

X . Выставление отметок.

Список литературы

Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В. Ч.2. (профильный уровень). - М.: Мнемозина, 2009. - 264 с.

Александрова Л.А. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Самостоятельные работы. - М.: Мнемозина, 2009. - 100 с.

3. Шипова Т.А. Алгебра и начала анализа: Производная. Определенный интеграл. Тесты. - М.: Школа-Пресс, 1996. - 64 с.

4. Сайт metaschool.ru разработки уроков.

5. Сайт Решу ЕГЭ, каталог заданий, первообразная.

\(\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\)\(\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\)

Содержание

Элементы содержания

Производная, касательная, первообразная, графики функций и производных.

Производная Пусть функция \(f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_0\).

Производной функции \(f\) в точке \(x_0\) называется предел

\(f"(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\)

если этот предел существует.

Производная функции в точке характеризует скорость изменения этой функции в данной точке.

Таблица производных

Функция	Производная
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^{n-1}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln{a}\)
\(\ln{x}\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\log_a{x}\)	\(\dfrac{1}{x\ln{a}}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac{1}{\sin^2x}\)

Правила дифференцирования \(f\) и \(g\) - функции, зависящие от переменной \(x\); \(c\) - число.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac{f}{g}\right)"=\dfrac{f"g-g"f}{g^2}\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - производная сложной функции

Геометрический смысл производной Уравнение прямой - не параллельной оси \(Oy\) можно записать в виде \(y=kx+b\). Коэффициент \(k\) в этом уравнении называют угловым коэффициентом прямой . Он равен тангенсу угла наклона этой прямой.

Угол наклона прямой - угол между положительным направлением оси \(Ox\) и данной прямой, отсчитываемый в направлении положительных углов (то есть, в направлении наименьшего поворота от оси \(Ox\) к оси \(Oy\)).

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)

Если \(f"(x_0)=0\), то касательная к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) параллельна оси \(Ox\).

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Монотонность функции Если производная функции положительна во всех точках промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.

Если производная функции отрицательна во всех точках промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Точки минимума, максимума и перегиба положительного на отрицательное в этой точке, то \(x_0\) - точка максимума функции \(f\).

Если функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0\), а значение производной этой функции \(f"\) меняется с отрицательного на положительное в этой точке, то \(x_0\) - точка минимума функции \(f\).

Точки, в которых производная \(f"\) равна нулю или не существует называются критическими точками функции \(f\).

Внутренние точки области определения функции \(f(x)\), в которых \(f"(x)=0\) могут быть точками минимума, максимума или перегиба.

Физический смысл производной Если материальная точка движется прямолинейно и её координата изменяется в зависимости от времени по закону \(x=x(t)\), то скорость этой точки равна производной координаты по времени:

Ускорение материальной точки в равно производной скорости этой точки по времени:

\(a(t)=v"(t).\)

Функция F(x ) называется первообразной для функции f(x ) на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

F"(x ) = f (x ) .

Например, функция F(x) = х 2 f(x ) = 2х , так как

F"(x) = (х 2 )" = 2x = f(x). ◄

Основное свойство первообразной

Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С , где С — произвольная постоянная.

Например. Функция F(x) = х 2 + 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 + 1 )" = 2 x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 1 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 1)" = 2x = f(x) ; функция F(x) = х 2 - 3 является первообразной для функции f(x ) = 2х , так как F"(x) = (х 2 - 3)" = 2 x = f(x) ; любая функция F(x) = х 2 + С , где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x ) = 2х . ◄

Правила вычисления первообразных

1. Если F(x) — первообразная для f(x) , а G(x) — первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x) . Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных .
2. Если F(x) — первообразная для f(x) , и k — постоянная, то k ·F(x) — первообразная для k ·f(x) . Иными словами, постоянный множитель можно выносить за знак производной .
3. Если F(x) — первообразная для f(x) , и k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то 1 / k · F(k x + b ) — первообразная для f (k x + b ) .

Неопределённый интеграл

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С , то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x) . Обозначается неопределённый интеграл так:

∫ f(x) dx = F(x) + С ,

f(x) — называют подынтегральной функцией ;

f(x) dx — называют подынтегральным выражением ;

x — называют переменной интегрирования ;

F(x) — одна из первообразных функции f(x) ;

С — произвольная постоянная.

Например, ∫ 2 x dx = х 2 + С , ∫ cos x dx = sin х + С и так далее. ◄

Слово "интеграл" происходит от латинского слова integer , что означает "восстановленный". Считая неопределённый интеграл от 2 x , мы как бы восстанавливаем функцию х 2 , производная которой равна 2 x . Восстановление функции по её производной, или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Основные свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Если k , b — постоянные, причём k ≠ 0 , то

∫ f (k x + b ) dx = 1 / k · F(k x + b ) + С .

Таблица первообразных и неопределённых интегралов

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + С
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$	$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$
IV.	$$\frac{1}{x}$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac{1}{\cos^2x}$$	$$\textrm{tg} ~x+C$$	$$\int\frac{dx}{\cos^2x}=\textrm{tg} ~x+C$$
VIII.	$$\frac{1}{\sin^2x}$$	$$-\textrm{ctg} ~x+C$$	$$\int\frac{dx}{\sin^2x}=-\textrm{ctg} ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac{a^x}{\ln a}+C$$	$$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$
XI.	$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$	$$\arcsin \frac{x}{a}+C$$	$$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$$
XIII.	$$\frac{1}{1+x^2}$$	$$\textrm{arctg} ~x+C$$	$$\int \frac{dx}{1+x^2}=\textrm{arctg} ~x+C$$
XIV.	$$\frac{1}{a^2+x^2}$$	$$\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$	$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\textrm{arctg} ~\frac{x}{a}+C$$
XV.	$$\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$$	$$\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$	$$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C$$
XVI.	$$\frac{1}{x^2-a^2}~(a\neq0)$$	$$\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$	$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \begin{vmatrix}\frac{x-a}{x+a}\end{vmatrix}+C$$
XVII.	$$\textrm{tg} ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm{tg} ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm{ctg} ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm{ctg} ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac{1}{\sin x} $$	$$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$	$$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg} ~\frac{x}{2}\end{vmatrix}+C $$
XX.	$$ \frac{1}{\cos x} $$	$$\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$	$$\int \frac{dx}{\cos x}=\ln \begin{vmatrix}\textrm{tg}\left (\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right) \end{vmatrix}+C $$
Первообразные и неопределённые интегралы, приведённые в этой таблице, принято называть табличными первообразными и табличными интегралами .

Определённый интеграл

Пусть на промежутке [a ; b ] задана непрерывная функция y = f(x) , тогда определённым интегралом от a до b функции f(x) называется приращение первообразной F(x) этой функции, то есть

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)|{_a^b} = ~~F(a)-F(b).$$

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Основные правила вычисления определённого интеграла

1. \(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\);

2. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=- \int_{b}^{a}f(x)dx\);

3. \(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx,\) где k — постоянная;

4. \(\int_{a}^{b}(f(x) ± g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x) dx±\int_{a}^{b}g(x) dx \);

5. \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\);

6. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\), где f(x) — четная функция;

7. \(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\), где f(x) — нечетная функция.

Замечание . Во всех случаях предполагается, что подынтегральные функции интегрируемые на числовых промежутках, границами которых являются пределы интегрирования.

Геометрический и физический смысл определённого интеграла

Геометрический смысл определённого интеграла	Физический смысл определённого интеграла
Площадь S криволинейной трапеции (фигура, ограниченная графиком непрерывной положительной на промежутке [a ; b ] функции f(x) , осью Ox и прямыми x=a , x=b ) вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}f(x)dx.$$	Путь s , который преодолела материальная точка, двигаясь прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону v(t) , за промежуток времени a ; b ] , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и прямыми x = a , x = b , вычисляется по формуле $$S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx.$$
	Например. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 и y = 2 - x . Изобразим схематически графики данных функций и выделим другим цветом фигуру, площадь которой необходимо найти. Для нахождения пределов интегрирования решим уравнение: x 2 = 2 - x ; x 2 + x - 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_{-2}^{1}((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_{-2}^{1}(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{2} \right)\bigm|{_{-2}^{~1}}=4\frac{1}{2}. $$ ◄

Объём тела вращения

	Если тело получено в результате вращения около оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на промежутке [a ; b ] функции y = f(x) и прямыми x = a и x = b , то его называют телом вращения . Объём тела вращения вычисляется по формуле $$V=\pi\int_{a}^{b}f^2(x)dx.$$ Если тело вращения получено в результате вращения фигуры, ограниченной сверху и снизу графиками функций y = f(x) и y = g(x) , соответственно, то $$V=\pi\int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Например. Вычислим объём конуса с радиусом r и высотой h . Расположим конус в прямоугольной системе координат так, чтобы его ось совпадала с осью Ox , а центр основания располагался в начале координат. Вращение образующей AB определяет конус. Так как уравнение AB $$\frac{x}{h}+\frac{y}{r}=1,$$ $$y=r-\frac{rx}{h}$$
и для объёма конуса имеем $$V=\pi\int_{0}^{h}(r-\frac{rx}{h})^2dx=\pi r^2\int_{0}^{h}(1-\frac{x}{h})^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac{(1-\frac{x}{h})^3}{3}|{_0^h}=-\pi r^2h\left (0-\frac{1}{3} \right)=\frac{\pi r^2h}{3}.$$ ◄

51. На рисунке изображён график y=f "(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 4; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x ) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней.

Ответ: 5

52. На рисунке изображён график y=F(x) f(x) f(x) положительна?

Ответ: 7

53. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x ) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?

Ответ: 3

54. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены десять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 . В скольких из этих точек функция f(x) положительна?

Ответ: 6

55. На рисунке изображён график y=F(x f(x), определённой на интервале (− 7; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [− 5; 2].

Ответ: 3

56. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 8; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)= 0 на отрезке [− 5; 5].

Ответ: 4

57. На рисунке изображён график y=F (x ) одной из первообразных некоторой функции f (x ), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x )=0 на отрезке .

Ответ: 4

58. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−8), где F(x) f(x).

Ответ: 20

59. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x ) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(−1)−F(−9), где F(x) - одна из первообразных функции f(x).

Ответ: 24

60. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x ). Функция

-одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры .

Ответ: 6

61. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция

Одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 14,5

параллельна касательной к графику функции

Ответ:0,5

Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: -1

является касательной к графику функции

Найдите c .

Ответ: 20

является касательной к графику функции

Найдите a .

Ответ:0,125

является касательной к графику функции

Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Ответ: -33

67. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 96 м/с?

Ответ: 18

68. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 48 м/с?

Ответ: 9

69. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x t t =6 с.

Ответ: 20

70. Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t =3 с.

Ответ: 59

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x) , определённой на интервале (-5; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-3; 4].

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 4], в которых производная функции F(x) равна нулю. Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 7 (четыре точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(5)-F(0), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=5 и x=0. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 5 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{5+3}{2}\cdot 3=12.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-5; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x)=0 на отрезке (-3; 3].

Показать решение

Решение

Согласно определению первообразной выполняется равенство: F"(x)=f(x). Поэтому уравнение f(x)=0 можно записать в виде F"(x)=0. Так как на рисунке изображён график функции y=F(x), то надо найти те точки промежутка [-3; 3], в которых производная функции F(x) равна нулю.

Из рисунка видно, что это будут абсциссы экстремальных точек (максимума или минимума) графика F(x). Их на указанном промежутке ровно 5 (две точки минимума и три точки максимума).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-x^3+4,5x^2-7 — одна из первообразных функции f(x).

Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Показать решение

Решение

Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=1 и x=3. По формуле Ньютона-Лейбница её площадь S равна разности F(3)-F(1), где F(x) — указанная в условии первообразная функции f(x). Поэтому S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Первообразная функции

Условие

На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=x^3+6x^2+13x-5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.