Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную в результате последовательного совмещения с плоскостью чертежа всех граней многогранника.
Рассмотрим построение разверток некоторых простейших тел.
Начнем с наиболее характерного объема - куба (рис. 4). У куба все ребра и грани равны, боковая поверхность состоит из четырех равных квадратов, основания куба - два квадрата, тождественные квадратам боковой поверхности. Построим на листе развертку боковой поверхности и граней основания. Затем по металлической линейке делаем надрезы глубиной примерно на 1/3 листа ватмана или тонкого картона. Затем развертку вырезаем. Для того чтобы собрать полученную развертку при достаточной плотности бумаги, грани можно склеить встык друг с другом.
Рис. 4
Однако при недостаточном опыте в макетировании лучше использовать следующий прием. На развертке у каждой грани куба делают отвороты краев, т.е. откладывают от каждой стороны полоски шириной 3-5 мм. Затем делают с наружной стороны надрезы макетным ножом по металлической линейке по линиям сгиба ребер. После этого вырезают развертку вместе с отворотами, осторожно сгибают по ребрам и надрезанным отворотам, аккуратно смазывают отгибы клеем ПВА и прижимают их к противоположенным граням. При достаточной аккуратности выполнения и точности вычерчивания развертки макет получится качественным.
Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная шестиугольная призма (рис. 5, а). Боковые грани призмы представляют собой равные между собой прямоугольники шириной а и высотой Н, а основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а. Так как размеры граней известны, построение развертки нетрудно выполнить. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания а шестиугольника, т. е. 5а. Из полученных точек восстанавливают перпендикуляры длиной, равной высоте призмы Н. Соединяя полученные отрезки, проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н/6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуру оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной тонкой с двумя точками.
С помощью подобного построения можно вычертить развертки прямых призм с любой фигурой в основании. Разница будет лишь в количестве и ширине граней боковой поверхности.
Аналогично строится и развертка поверхности цилиндра (рис. 5, б). Только ширина ее равняется pd (длине окружности основания).
Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера взята правильная четырехугольная пирамида (рис. 6, а). Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как их ребра не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому начинают построение с определения величины ребра SA способом вращения (см. рис. 6, в). Определив длину наклонного ребра SA, равную s"a¢ 1 , проводят из произвольной точки s, как из центра, дугу окружности радиусом s"a¢ 1 . По этой дуге откладывают четыре отрезка, равных стороне основания пирамиды, которое на чертеже спроецировалось в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой s. Получив, таким образом, развертку боковой поверхности, пристраивают к основанию одного из треугольников квадрат, равный основанию пирамиды.
Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 6, б).
Построение выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, очерчивают радиусом R 1 , равным образующей конуса s"a", дугу окружности. Затем подсчитывают угол сектора по формуле a = 360° × R/L, где R - радиус окружности основания конуса; L- длина образующей боковой поверхности конуса. В примере a = 360°× 15/38 = 142,2°.
Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S. К полученному сектору пристраивают круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.
Рис. 6. Построение разверток поверхностей пирамиды и конуса
Развертка поверхности конуса - это плоская фигура, полученная путем совмещения боковой поверхности и основания конуса с некоторой плоскостью.
Варианты построения развертки:
Развертка прямого кругового конуса
Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.
В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.
Алгоритм построения
- Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
- Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников . Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.
Пример
На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.
Рассмотрим треугольник S 0 A 0 B 0 . Длины его сторон S 0 A 0 и S 0 B 0 равны образующей l конической поверхности. Величина A 0 B 0 соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S 0 A 0 B 0 в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S 0 A 0 =l, после чего из точек S 0 и A 0 проводим окружности радиусом S 0 B 0 =l и A 0 B 0 = A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B 0 с точками A 0 и S 0 .
Грани S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S 0 A 0 B 0 .
Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.
Развертка наклонного конуса
Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).
Алгоритм
- Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
- Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’ 1 занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π 2 . Соответственно, S’’5’’ 1 – натуральная величина S5. - Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 , S 0 2 0 1 0 . Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S 0 1 0 6 0 длина S 0 1 0 =S’’1’’ 0 , S 0 6 0 =S’’6’’ 1 , 1 0 6 0 =1’6’.
Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.
Перенос линии с поверхности конуса на развертку
Линия n, лежащая на поверхности конуса, образована в результате его пересечения с некоторой плоскостью (рисунок ниже). Рассмотрим алгоритм построения линии n на развертке.
Алгоритм
- Находим проекции точек A, B и C, в которых линия n пересекает ребра вписанной в конус пирамиды S123456.
- Определяем натуральную величину отрезков SA, SB, SC способом вращения вокруг проецирующей прямой. В рассматриваемом примере SA=S’’A’’, SB=S’’B’’ 1 , SC=S’’C’’ 1 .
- Находим положение точек A 0 , B 0 , C 0 на соответствующих им ребрах пирамиды, откладывая на развертке отрезки S 0 A 0 =S’’A’’, S 0 B 0 =S’’B’’ 1 , S 0 C 0 =S’’C’’ 1 .
- Соединяем точки A 0 , B 0 , C 0 плавной линией.
Развертка усеченного конуса
Описываемый ниже способ построения развертки прямого кругового усеченного конуса основан на принципе подобия.
Вам понадобится
- Карандаш Линейка угольник циркуль транспортир Формулы вычисления угла по длине дуги и радиусу Формулы вычисления сторон геомтрических фигур
Инструкция
На листе бумаги постройте основание нужного геометрического тела. Если вам даны паралеллепипед или , измерьте длину и ширину основания и начертите на листе бумаги прямоугольник с соответствующими параметрами. Для построения развертки а или цилиндра вам необходимо радиус окружности основания. Если она не задана в условии, измерьте и вычислите радиус.
Рассмотрите паралеллепипед. Вы увидите, что все его грани расположены под углом к основанию, но параметры этих граней разные. Измерьте высоту геометрического тела и с помощью угольника начертите два перпендикуляра к длине основания. Отложите на них высоту паралеллепипеда. Концы получившихся отрезков соедините прямой. То же самое сделайте с противоположной стороны исходного .
От точек пересечения сторон исходного прямоугольника проведите перпендикуляры и к его ширине. Отложите на этих прямых высоту паралеллепипеда и соедините полученные точки прямой. То же самое сделайте и с другой стороны.
От внешнего края любого из новых прамоугольников, длина которого совпадает с длиной основания, постройте верхнюю грань паралеллепипеда. Для этого из точек пересечеения линий длины и ширины, расположенных на внешней стороне, проведите перпендикуляры. Отложите на них ширину основания и соедините точки прямой.
Для построения развертки конуса через центр окружности основания проведите радиус через любую точку окружности и продолжите его. Измерьте расстояние от основания до вершины конуса. Отложите это расстояние от точки пересечения радиуса и окружности. Отметьте точку вершины боковой поверхности. По радиусу боковой поверхности и длине дуги, которая равняется длине окружности основания, вычислите угол развертки и отложите его от уже проведенное через вершину основания прямой. С помощью циркуля соедините найденную ранее точку пересечения радиуса и окружности с этой новой точкой. Развертка конуса готова.
Для построения развертки пирамиды измерьте высоты ее сторон. Для этого найдите середину каждой стороны основания и измерьте длину перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды к этой точке. Начертив на листе основание пирамиды, найдите середины сторон и проведите к этим точкам перпендикуляры. Соредините полученные точки с точками пересечения сторон пирамиды.
Развертка цилиндра представляет собой две окружности и расположенный между ними прямоугольник, длина которого равна длине окружности, а высота - высоте цилиндра.
Цилиндром (прямым круговым цилиндром) называется тело, состоящее из двух кругов (оснований цилиндра), совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие при параллельном переносе точки этих кругов. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра.
Вот другое определение:
Цилиндр - тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, пересекающими образующие данной поверхности.
Цилиндрическая поверхность - поверхность, которая образуется движением прямой линии вдоль некоторой кривой. Прямую называют образующей цилиндрической поверхности, а кривую линию - направляющей цилиндрической поверхности.
Боковая поверхность цилиндра - часть цилиндрической поверхности, которая ограничена параллельными плоскостями.
Основания цилиндра - части параллельных плоскостей, отсекаемые боковой поверхностью цилиндра.
Рис.1 мини
Цилиндр называется прямым (См.Рис.1 ), если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае цилиндр называется наклонным .
Круговой цилиндр - цилиндр, основания которого являются кругами.
Прямой круговой цилиндр (просто цилиндр) – это тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. См.Рис.1 .
Радиус цилиндра – радиус его основания.
Образующая цилиндра - образующая цилиндрической поверхности.
Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением .
Ось цилиндра параллельна его образующей и является осью симметрии цилиндра.
Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра . См.Рис.2 .
Развёртка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник со сторонами, равными высоте цилиндра и длине окружности основания.
Площадь боковой поверхности цилиндра - площадь развёртки боковой поверхности. $$S_{бок}=2\pi\cdot rh$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.
Площадь полной поверхности цилиндра - площадь, которая равна сумме площадей двух оснований цилиндра и его боковой поверхности, т.е. выражается формулой: $$S_{полн}=2\pi\cdot r^2 + 2\pi\cdot rh = 2\pi\cdot r(r+h)$$ , где h – высота цилиндра, а r – радиус основания.
Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $$V = S\cdot h$$ Объем круглого цилиндра : $$V=\pi r^2 \cdot h$$ , где (r - радиус основания).
Призма есть частный вид цилиндра (образующие параллельны боковым ребрам; направляющая - многоугольник, лежащий в основании). С другой стороны, произвольный цилиндр можно рассматривать как выродившуюся («сглаженную») призму с очень большим числом очень узких граней. Практически цилиндр неотличим от такой призмы. Все свойства призмы сохраняются и в цилиндре.
16.1. Чертежи разверток поверхностей призм и цилиндров .
Для изготовления ограждений станков, вентиляционных труб и некоторых других изделий вырезают из листового материала их развертки.
Развертка поверхностей любой прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух оснований - многоугольников.
Например, у развертки поверхностей шестиугольной призмы (рис. 139, б) все грани - равные между собой прямоугольники шириной а и высотой h, а основания - правильные шестиугольники со стороной, равной а.
Рис. 139. Построение чертежа развертки поверхностей призмы: а - два вида; б - развертка поверхностей
Таким образом, можно построить чертеж развертки поверхностей любой призмы.
Развертка поверхностей цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов (рис. 140, б). Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра, другая - длине окружности основания. На чертеже развертки к прямоугольнику пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.
Рис. 140. Построение чертежа развертки поверхностей цилиндра: а - два вида; б - развертка поверхностей
16.2. Чертежи разверток поверхностей конуса и пирамиды .
Развертка поверхностей конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса (рис. 141, 6).
Рис. 141. Построение чертежа развертки поверхностей конуса: а - два вида; б - развертка поверхностей
Построения выполняются так:
- Проводят осевую линию и из точки s" на ней описывают радиусом, равным длине s"a" образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса.
Точку s" соединяют с концевыми точками дуги.
- К полученной фигуре - сектору пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса.
Длину окружности при построении сектора можно определить по формуле C = 3.14xD.
Угол а подсчитывают по формуле а = 360°хD/2L, где D - диаметр окружности основания, L -длина образующей конуса, ее можно подсчитать по теореме Пифагора.
Рис. 142. Построение чертежа развертки поверхностей пирамиды: а - два вида; б - развертка поверхностей
Чертеж развертки поверхностей пирамиды строят так (рис. 142, б):
Из произвольной точки О описывают дугу радиуса L, равного длине бокового ребра пирамиды. На этой дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания. Крайние точки соединяют прямыми с точкой О. Затем пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.
Обратите внимание, как оформляют чертежи разверток. Над изображением выносят специальный знак. От линий сгиба, которые проводят штрихпунктирнои с двумя точками, проводят линии-выноски и пишут на полке «Линии сгиба».
- Как построить чертеж развертки поверхностей цилиндра?
- Какие надписи наносят на чертежах разверток поверхностей предметов?