Теперь мы знаем, что мгновенная скорость изменения функции N (Z) при Z = +2 равна-0,1079968336. Это означает повышение/понижение за период, поэтому, когда Z = +2, кривая N (Z) повышается на -0,1079968336. Эта ситуация показана на рисунке 3-13.  

Меру "абсолютной" чувствительности можно назвать скоростью изменения функции. Мера чувствительности функции в данной точке ("мгновенная скорость") называется производной.  

Мы можем измерить степень абсолютной чувствительности переменной у к изменениям переменной х, если определим соотношение Ay/Ах. Недостаток такого определения чувствительности состоит в том, что она зависит не только от "начальной" точки XQ, относительно которой рассматривается изменение аргумента, но и от самой величины интервала Dx, на котором определяется скорость. Для устранения этого недостатка вводится понятие производной (скорости изменения функции в точке). При определении скорости изменения функции в точке сближают точки XQ и xj, устремляя интервал Дх к нулю. Скорость изменения функции f(x) в точке XQ и называют производной функции f(x) в точке х Геометрический смысл скорости изменения функции в точке XQ в том, что она определяется углом наклона касательной к графику функции в точке XQ. Производная - это тангенс угла наклона касательной к графику функции.  

Если производную у рассматривать как скорость изменения функции /, то величина у /у является ее относительной скоростью изменения . Поэтому логарифмическую производную (In у)  

Производная по направлению - характеризует скорость изменения функции z - f(x,y) в точке МО(ЖО,УО) по направле-  

Скорость изменения функции относительная 124,188  

До сих пор мы рассматривали первую производную функции , которая позволяет найти скорость изменения функции. Чтобы определить, является ли скорость изменения постоянной, следует взять вторую производную функции . Это обозначается как  

Здесь и далее штрих означает дифференцирование так, h - скорость изменения функции h относительно возрастания избыточного предложения).  

Мера "абсолютной" чувствительности - скорость изменения функции (средняя (отношение изменений) или предельная (производная))  

Приращение величины, аргумента, функции. Скорость изменения функции  

Скорость изменения функции на интервале (средняя скорость).  

Недостаток такого определения скорости состоит в том, что эта скорость зависит не только от точки х0, относительно которой рассматривается изменение аргумента, но и от самой величины изменения аргумента, т.е. от величины интервала Дх, на котором определяется скорость. Для устранения этого недостатка вводится понятие скорости изменения функции в точке (мгновенной скорости).  

Скорость изменения функции в точке (мгновенная скорость).  

Для определения скорости изменения функции в точке J Q сближают точки х и х0, устремляя интервал Ах к нулю. Изменение непрерывной функции при этом будет также стремиться к нулю. При этом отношение, стремящегося к нулю изменения функции к стремящемуся к нулю изменению аргумента дает скорость изменения функции в точке х0 (мгновенной скорости), точнее на бесконечно малом интервале, относительно точки хд.  

Именно эту скорость изменения функции Дх) в точке х0 и называют производной функции Дх) в точке ха.  

Конечно, для характеристики скорости изменения величины у можно было бы использовать более простой показатель, скажем, производную у по L. Эластичность замещения о предпочитается в связи с тем, что у нее есть большое преимущество - она постоянна для большинства используемых на практике производственных функций, т. е. не только не изменяется при движении вдоль некоторой изокванты, но и не зависит от выбора изокванты.  

Своевременность контроля означает, что эффективный контроль должен быть своевременным. Своевременность его заключается в соизмеримости временного интервала измерений и оценок контролируемых показателей, процесса конкретной деятельности организации в целом. Физическое значение такого интер-вала(периодичности измерений) определяется временными рамками измеряемого процесса(плана) с учетом скорости изменения контролируемых показателей и затрат на реализацию операций контроля. Важнейшей задачей функции контроля остается устранение отклонений прежде, чем они приведут организацию к критической ситуации.  

Для однородной системы при TV = 0,М = 0 5 также обращается в нуль, так что правая часть выражения (6.20) равна скорости изменения суммарной функции благосостояния , связанной с неоднородностью.  

Механический смысл производной. Для функции у = f(x), меняющейся со временем х, производная у = f (xo] есть скорость изменения у в момент XQ.  

Относительная скорость (темп) изменения функции у = = f(x) определяется логарифмической производной  

Переменные х означают величину разности между спросом и предложением по соответствующему виду средств производства х = s - р. Функция х (f) непрерывно дифференцируется во времени. Переменные х" означают скорость изменения разницы между спросом и предложением. Траектория х (t) означает зависимость скорости изменения спроса и предложения от величины разницы между спросом и предложением, которая в свою очередь зависит от времени. Пространство состояний (фазовое пространство) в нашем случае двумерно, т. е. имеет вид фазовой плоскости.  

Такие свойства величины а и объясняют тот факт, что скорость изменения предельной нормы замещения у характеризуется на ее основе, а не с помощью какого-либо другого показателя, например производной у по х>- Более того, у значительного числа функций эластичность замещения постоянна не только вдоль изоклиналей, но и вдоль изоквант. Так, для производственной функции (2.20), пользуясь тем, что согласно уравнению изокли-  

Существует множество фокусов, которые можно проворачивать с краткосрочными темпами изменения. Эта модель использует однопериодичную

Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности,бесконечно малые величины . Дело в том, что

определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций. Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно

научиться находить производные, в том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования, даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснятьнахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всётаки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже

спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функциянепрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функциявозрастает , то есть каждое следующее её значениебольше предыдущего. Грубо говоря, график идётснизу вверх (забираемся на горку). А на интервалефункцияубывает – каждое следующее значениеменьше предыдущего, и наш график идётсверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы

достигаем максимума , то естьсуществует такой участок пути, на котором значениебудет самым большим (высоким). В точке жедостигаетсяминимум , исуществует такая её окрестность, в которой значениесамое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежуткахфункция возрастает, но возрастает онас разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервалеграфик взмывает вверхгораздо более круто , чем на интервале. Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение

(читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту(зелёная линия). Величинаназываетсяприращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси– больше

нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что– это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то.

Внимание! ОбозначениеявляютсяЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть

изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит

метров (зелёная линия) и:. Таким

образом, на каждом метре этого участка дорогивысота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение

(малиновая линия) относительно невелико, и отношение по

сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров искорость роста функции

составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходитсяв среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движениесверху вниз (в «противоход» направлению оси), то итоговоеприращение функции (высоты) будет отрицательным :метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт оскорости

убывания функции:, то есть за каждый метр пути

этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровоммы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством

отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы

Таблица 2

Таблица 1

Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования

Способы задания функций. Виды элементарных функций

Задать функцию - значит задать правило или закон, согласно которому данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у .

Рассмотрим способы задания функции .

1. Аналитический способ - задание функции с помощью формул. Например, растворение лекарственных веществ из таблеток при приготовлении растворов подчиняется уравнению m = m 0 е – kt , где m 0 и m – соответственно,исходное и оставшееся ко времени растворения t количество лекарственного вещества в таблетке, k – некоторая постоянная положительная величина.

2. Графический способ - это задание функции в виде графика. Например, с помощью электрокардиографа на бумаге или на экране монитора компьютера фиксируется возникающая при работе сердца величина разности биопотенциалов U как функция времени t : U = f(t).

3. Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы. Такой способ задания функции используется в экспериментах и наблюдениях. Например, измеряя температуру тела больного через определенные промежутки времени, можно составить таблицу значений температуры тела Т как функции времени t . На основании табличных данных иногда оказывается возможным выразить приближенно формулой соответствие между аргументом и функцией. Такие формулы называют эмпирическими, т.е. полученными из опыта.

В математике различают элементарные и сложные функции. Приведем основные виды элементарных функций:

1. Степенная функция – y = f(x) = x n , где х – аргумент, n – любое действительное число (1, 2, - 2, и т.д.).

2. Показательная функция – y = f(x) = a x , где а - постоянное положительное число, отличное от единицы (а > 0, а ≠ 0 ), например:

y = 10 x (a = 10);

y = e x ; y = e -x (a = e ≈ 2,718…)

Выделим две последние функции, они называются экспоненциальными функциями или экспонентами и описывают множество физических, биофизических, химических и социальных процессов. Причем y = e x – возрастающая экспонента, y = e - x – убывающая экспонента.

3.Логарифмическая функция с любым основанием а : y = log a x , где у - степень, в которую нужно возвести основание функции а, чтобы получить данное число x, т. е. a y = x.

Если основание а = 10 , то y называется десятичным логарифмом числа x и обозначается y = lg x ; если a=e , то y называется натуральным логарифмом числа x и обозначается у =1n х .

Напомним некоторые правила логарифмирования :

Пусть даны два числа а и b , тогда:

· lg (a·b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Ничего не изменится при замене символа lg на ln .

Полезно также помнить, что lg 10 = 1, ln е = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x и др.

Приведем графики некоторых элементарных функций (см. рис. 1):

Переменная величина может изменяться так, что в процессе возрастания или убывания она приближается к некоторой конечной постоянной величине, которая является ее пределом.

По определению пределом переменной величины х называется постоянная величина А, к которой переменная х в процессе своего изменения приближается так, что модуль разности между x и А, т.е. | х - А |, стремится к нулю .

Обозначения предела: x→ А или lim x = A (здесь → - знак предельного перехода, lim от лат. limited, в переводе на русский – предел). Рассмотрим элементарный пример:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), т.к.

| х - А |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

Введем понятия приращение аргумента и приращение функции.

Если переменная величина х изменяет свое значение от x 1 до х 2 , то разность x 2 – x 1 = Δx называется приращением аргумента, причем Δx (читается дельта х ) – единый символ приращения. Соответствующее изменение функции y 2 – y 1 = Δy называется приращением функции. Покажем это на графике функции y = f(x) (рис. 2). Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции - приращением ординаты этой точки.

Производной заданной функции y = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (Δх → 0).

Производная функции обозначается (читается «у штрих») или , или dy/dx (читается «дэ y по дэ x »). Таким образом, производная функции y = f(x) равна:

(4)

Правило для отыскания производной функции у = f(х) по аргументу х содержится в определении этой величины: нужно задать приращение аргумента Δх , найти приращение функции Δy , составить отношение и найти предел этого отношения при Δх→ 0 .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Этим занимается раздел высшей математики называемый «Дифференциальное исчисление».

Таблица производных основных элементарных функций, полученных по указанному выше правилу, приведена ниже.

№ п/п	Виды функции	Производная функции
	Постоянная величина y = c	y" = 0
	Степенная функция y = x n (n может быть положительным, отрицательным, целым, дробным)	y" = nx n-1
	Показательная функция y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y = e -x , у=e -kx (k=const)	y" = a x ln a y" = e x y" = - e -x , y" = -k e -kx
	Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = ln x	y" = y" =
	Тригонометрические функции: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Если выражение, производную которого надо найти, представляет собой сумму, разность, произведение или частное нескольких функций, например, u, v, z , то используются нижеприведенные правила дифференцирования (табл. 2).

Приведем несколько примеров вычисления производных, используя таблицы 1 и 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x · sin x)" = (x)" · sin x + x · (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5 tgx)" = 5 (tg x)" = .

Физический смысл производной состоит в том, что она определяет быстрота (темп) изменения функции.

Рассмотрим пример прямолинейного движения. Скорость тела равна отношению пути ΔS , пройденного телом за время Δt , к этому промежутку времени v = . Если движение неравномерное, то отношение является средней скоростью на этом участке пути, а скорость, соответствующая каждому данному моменту времени, называется мгновенной скоростью движения и определяется как предел отношения при Δ t→0 , т.е.

Обобщая полученный результат, можно утверждать, что производная функции f(x) по времени t является мгновенной скоростью изменения функции. Понятие мгновенной скорости относится не только к механическим движениям, но и к любым процессам, развивающимся во времени. Можно найти скорость сокращения или расслабления мышцы, скорость кристаллизации раствора, скорость отвердевания пломбировочного материала, скорость распространения эпидемического заболевания и др.

Значение мгновенного ускорения во всех этих процессах равно производной функции скорости по времени:

. (5)

В механике - вторая производная пути по времени.

Понятие производной, как величины, характеризующей быстроту изменения функции, применяется для разных зависимостей. Например, надо узнать, как быстро изменяется температура вдоль металлического стержня, если нагревать один из его концов. В данном случае температура - функция координаты x , т.е. T = f(x) и характеризует темп изменения температуры в пространстве.

Производную некоторой функции f(x) по координате x называют градиентом этой функции (часто используется сокращение grad от лат. gradient). Градиенты различных переменных – это векторные величины, всегда направленные в сторону увеличения значения переменных .

Отметим, что градиенты многих величин являются одной из первопричин обменных процессов, происходящих в биологических системах. Это, например, градиент концентрации , градиент электрохимического потенциала (μ – греческая буква «мю»), градиент электрического потенциала .

При малых Δx можно записать:

. (6)

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение (читается «дельта икс») , которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту (зелёная линия). Величина называется приращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси – больше нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то .

Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров (зелёная линия) и: . Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение (малиновая линия) относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным : метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: , то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:

– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты будет гарантированно положительным, и неравенство корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.

– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.

– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: . Во-первых, нулевое приращение высоты () – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках наблюдается именно такая картина.

Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: , то есть сделать его бесконечно малым .

По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию , которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?

Что такое производная? Определение производной.
Геометрический смысл производной и дифференциала

Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро – материал прост и доступен каждому! Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Скажу больше, теорию полезно проштудировать несколько раз, чтобы качественно уяснить все моменты (совет особенно актуален для студентов-«технарей», у которых высшая математика играет значительную роль в учебном процессе).

По образцу сказаний о непрерывности функции , «раскрутка» темы начинается с изучения явления в отдельно взятой точке, и только потом оно распространяется на числовые промежутки.

1.1 Некоторые задачи физики 3

2. Производная

2.1 Скорость изменения функции 6

2.2 Производная функция 7

2.3 Производная степенной функции 8

2.4 Геометрический смысл производной 10

2.5 Дифференцирование функций

2.5.1 Дифференцирование результатов арифметических действий 12

2.5.2 Дифференцирование сложной и обратной функций 13

2.6 Производные параметрически заданных функций 15

3. Дифференциал

3.1 Дифференциал и его геометрический смысл 18

3.2 Свойства дифференциала 21

4. Заключение

4.1 Приложение 1. 26

4.2 Приложение 2. 29

5. Список использованной литературы 32

1.Введение

1.1Некоторые задачи физики. Рассмотрим простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы. Для изучения их вводят соответственно скорость движения и плотность.

Разберем такое явление, как скорость движения и связанные с ним понятия.

Пусть тело совершает прямолинейное движение и нам известно расстояние , проходимое телом за каждое данное время , т. е. нам известно расстояние как функция времени :

Уравнение
называется уравнением движения, а определяемая им линия в системе осей
- графиком движения.

Рассмотрим движение тела в течение интервала времени
от некоторого момента до момента
. За время тело прошло путь а за время - путь
. Значит, за единиц времени оно прошло путь

.

Если движение равномерное, то есть линейная функция :

В этом случае
, и отношение
показывает, сколько единиц пути приходится на единицу времени ; при этом оно остается постоянным, независящим ни от того, какой момент времени берется, ни от того, какое взято приращение времени . Это постоянное отношение называют скоростью равномерного движения.

Но если движение неравномерное, то отношение зависит

от , и от . Оно называется средней скоростью движения в интервале времени от до и обозначается через :

В течение этого интервала времени при одном и том же пройденном расстоянии движение может происходить самым различным образом; графически это иллюстрируется тем, что между двумя точками на плоскости (точки
на рис. 1) можно провести самые различные линии
- графики движений в данном интервале времени, причем всем этим разнообразным движениям соответствует одна и та же средняя скорость .

В частности, между точками проходит прямолинейный отрезок
, являющийся графиком равномерного в интервале
движения. Значит, средняя скорость показывает, с какой скоростью нужно двигаться равномерно для того, чтобы пройти за этот же интервал времени то же расстояние
.

Оставляя прежним , уменьшим . Средняя скорость, подсчитанная для измененного интервала
, лежащего внутри данного интервала, может быть, разумеется, иной, чем во; всем интервале . Из этого следует, что среднюю скорость нельзя рассматривать как удовлетворительную характеристику движения: она (средняя скорость) зависит от интервала, для которого производится расчет. Исходя из того, что среднюю скорость в интервале следует считать тем лучше характеризующей движение, чем меньше , заставим стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости , то его и принимают в качестве скорости движения в данный момент .

Определение . Скоростью прямолинейного движения в данный момент времени называется предел средней скорости , соответствующей интервалу , при стремлении к нулю:

Пример. Запишем закон свободного падения:

.

Для средней скорости падения в интервале времени имеем

а для скорости в момент

.

Отсюда видно, что скорость свободного падения пропорциональна времени движения (падения).

2.Производная

Скорость изменения функции. Производная функция. Производная степенной функции.

2.1 Скорость изменения функции. Каждое из четырех специальных понятий: скорость движения, плотность, теплоемкость,

скорость химической реакции, несмотря на существенное различие их физического смысла, является с математической точки зрения, как легко заметить, одной и той же характеристикой соответствующей функции. Все они представляют собой частные виды так называемой скорости изменения функции, определяемой, так же как и перечисленные специальные понятия, с помощью понятия предела.

Разберем поэтому в общем виде вопрос о скорости изменения функции
, отвлекаясь от физического смысла переменных
.

Пусть сначала
- линейная функция:

.

Если независимая переменная получает приращение
, то функция получает здесь приращение
. Отношение
остается постоянным, не зависящим ни от того, при каком функция рассматривается, ни от того, какое взято .

Это отношение называется скоростью изменения линейной функции. Но если функция не линейная, то отношение

зависит и от , и от . Это отношение только «в среднем» характеризует функцию при изменении независимой переменкой от данного до
; оно равно скорости такой линейной функции, которая при взятом имеет то же приращение
.

Определение. Отношение называется средней скоростью изменения функции в интервале
.

Ясно что чем меньше рассматриваемый интервал, тем лучше средняя скорость характеризует изменение функции, поэтому мы заставляем стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости, то он принимается в качестве меры, скорость изменения функции при данном , и называется скоростью изменения функции.

Определение . Скоростью изменения функции в данной точке называется предел средней скорости изменения функции в интервале при стремлении к нулю:

2.2 Производная функция. Скорость изменения функции

определяется посредством такой последовательности действий:

1) по приращению , придаваемому данному значению , находится соответствующее приращение функции

;

2) составляется отношение ;

3) находится предел этого отношения (если он существует)

при произвольном стремлении к нулю.

Как уже отмечалось, если данная функция не линейная,

то отношение зависит и от , и от . Предел этого отношения зависит только от выбранного значения и является, следовательно, функцией от . Если же функция линейная, то рассматриваемый предел не зависит и от , т. е. будет величиной постоянной.

Указанный предел называется производной функцией от функции или просто производной от функции и обозначается так:
.Читается: «эф штрих от » или «эф прим от ».

Определение . Производной данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении, этого приращения к нулю:

.

Значение производной функции в какой-либо данной точке обозначается обычно
.

Пользуясь введенным определением производной, можно сказать, что:

1) Скорость прямолинейного движения есть производная от

функции по (производная от пути по времени).

2.3 Производная степенной функции.

Найдем производные от некоторых простейших функций.

Пусть
. Имеем

,

т. е. производная
есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо - линейная функция и скорость ее изменения постоянна.

Если
, то

Пусть
, тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
при
. Докажем, что и вообще производная от при любом целом положительном показателе равна
.

.

Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:

В правой части последнего равенства стоит сумма слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому

.

Итак, степенная функция при целом положительном имеет производную, равную :

.

При
из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.

Этот результат верен для любого показателя , например:

.

Рассмотрим теперь отдельно производную от постоянной величины

.

Так как эта функция не изменяется с изменением независимой переменной, то
. Следовательно,

,

т. е. производная постоянной равна нулю.

2.4 Геометрический смысл производной.

Производная от функции имеет очень простой и наглядный геометрический смысл, который тесно связан с понятием касательной к линии.

Определение . Касательной
к линии
в ее точке
(рис. 2). называется предельное положение прямой, проходящей через точку , и другую точку
линии, когда эта точка стремится слиться с данной точкой .

.Учебное пособие

Есть средняя скорость изменения функции в направлении прямой. 1 называется производной функции в направлении и обозначается. Итак, - (1) - скорость изменения функции в точке...

Предел и непрерывность функции

Исследование

Физический смысл производной. Производная характеризует скорость изменения одной физической величины по отношению... . При каком значении аргумента равны скорости изменения функций и Решение. , и, и. Используя физический смысл производной...

Понятие функции одного переменного и способы задания функций

Документ

Понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции ; П. есть функция , определяемая для каждого х... непрерывную производную (дифференциальное исчисление, характеризующее скорость изменения функции в данной точке). Тогда и...

§ 5 Частные производные сложных функций дифференциалы сложных функций 1 Частные производные сложной функции

Документ

Он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке в направлении вектора. Его... и обозначают или. Помимо величины скорости изменения функции , позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора...