1 вариант

1. Найдите произведение корней уравнения: log π (x 2 + 0,1) = 0
1) - 1,21; 2) - 0,9; 3) 0,81; 4) 1,21.

2. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения log 0,5 (x - 9) = 1 + log 0,5 5
1) (11; 13); 2) (9; 11); 3) (-12; -10); 4) [ -10; -9 ].

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 4 (4 - х) + log 4 x = 1
1) (-3; -1); 2) (0; 2); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].

4. Найдите сумму корней уравнения log √3 x 2 = log √3 (9x - 20)
1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 1/3 (2х - 3) 5 = 15
1) [ -3; 2); 2) [ 2; 5); 3) [ 5; 8); 4) [ 8; 11).

6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lg (х + 7) - lg (х + 5) = 1
1) (-∞; -7); 2) (-7; -5); 3) (-5; -3); 4) (0; +∞).

7. Решите неравенство log 3 (4 - 2х) >= 1
1) (-∞; 0,5 ]; 2) (-∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞); 4) [ 0,5; + ∞).

8. Решите неравенство log π (3х + 2) <= log π (х - 1)
1) (-2/3; + ∞); 2) (-∞; - 2/3 ]; 3) [ -1,5; - 2/3 ]; 4) решений нет.

9. Решите неравенство log 1/9 (6 - 0,3х) > -1
1) (-10; +∞); 2) (-∞; -10); 3) (-10; 20); 4) (-0,1; 20).

10. Найдите число целых отрицательных решений неравенства lg (х + 5) <= 2 - lg 2
1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) ни одного

2 вариант

1.Найдите произведение корней уравнения: lg (x 2 + 1) = 1
1) - 99; 2) - 9; 3) 33; 4) -33.

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 4 (x - 5) = log 25 5
1) (-4; -2); 2) (6; 8); 3) (3; 6); 4) [ -8; -6 ].

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lоg 0,4 (5 - 2х) - lоg 0,4 2 = 1
1) (-∞; -2); 2) [ -2; 1 ]; 3) [ 1; 2 ]; 4) (2; +∞).

4. Найдите сумму корней уравнения lg (4x - 3) = 2 lg x
1) - 2; 2) 4; 3) -4; 4) 2.

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 2 (64х²) = 6
1) [ 5; 7]; 2) [ 9; 11 ]; 3) (3; 5); 4) [ 1; 3 ].

6. . Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lоg 2 (х - 1)³ = 6 log 2 3
1) [ 0; 5); 2) [ 5; 8); 3) [ 8; 11); 4) [ 11; 14).

7. Решите неравенство log 0,8 (0,25 - 0,1х) > -1
1) (-∞; 2,5); 2) (-10; 2,5); 3) (2,5; + ∞); 4) (-10; + ∞).

8. Решите неравенство log 1,25 (0,8х + 0,4) <= - l
1) (-0,5; + ∞); 2) (-∞; - 0,5 ]; 3) (-0,5; 0,5 ]; 4) (-2; 2 ] .

9. Решите неравенство log 10/3 (1 - 1,4х) < -1
1) (0,5; +∞); 2) (-∞; 0,5); 3) (1,4; 2); 4) (0,5; 5/7).

10. Найдите число целых решений неравенства lоg 0,5 (х - 2) >= - 2
1) 5; 2) 4; 3) бесконечно много; 4) ни одного.

Ключ

	А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	B1	B2	C1
1вариант	2	1	3	4	1	3	1	4	3	2
2 вариант	2	2	4	2	4	3	2	3	4	2

Главная цель при работе с предлагаемыми билетами:

1. научить учащихся видеть общее в решении соответствующих уравнений и неравенств и различие при записи ответов;
2. экономия времени;
3. умение ориентироваться в содержании данного материала.

Если первая цель не вызывает вопросов, то экономия времени сразу не чувствуется. Хотя именно нехватка времени и сказалась на структуре билетов. Они составлены по единому принципу. Уравнения и неравенства расположены так, чтобы легче было установить соответствие между ними.

И не смотря на рекомендацию учителя: решать уравнение и сразу же за ним оформлять решение соответствующего неравенства, половина учеников предпочитала сначала решить все уравнения из первого столбца, а потом уж приниматься за решение неравенств. При записи ответа обращать внимание на то, что из-за отсутствия корней у уравнения не следует, что и у неравенства не будет решений.

При сдаче второго зачёта уже таких проблем не возникало, так как у многих сформировалось умение “видеть” и выработались определённые навыки.

В каждом билете материал подобран так, что, кроме, уравнений (неравенств), решаемых по определению и свойствам, даны уравнения (неравенства), решаемые разложением на множители; заменой переменных. И, естественно, повторяется решение квадратных уравнений и неравенств, второй степени.

В билетах всего 26 заданий. Поэтому ученикам предлагались такие нормы:“5” – 26 зад. , “4” – 19–25 зад. , “3” – 14–18 зад. , “2” – менее 14 зад.

Ученик, претендующий на оценку “5”, должен успеть решить за урок все уравнения и неравенства. Первые четырнадцать заданий – это обязательный минимум. Зачёт, конечно, можно и пересдать. Но желательно, чтобы укладывались в отведённое время.

При подготовке к ЕГЭ, когда навыки решения уравнений (неравенств) будут уже сформированы, задания могут быть заменены. Например, такие:

1. указать сумму (произведение) корней уравнения;
2. указать наименьший (наибольший) корень уравнения;
3. найти наименьшее (наибольшее) целое решение неравенства;
4. найти сумму (произведение) целых решений неравенства.

Конечно, каждый учитель может сам дополнить этот список. В зависимости от класса возникает необходимость на одни задания обратить больше внимания, на другие – меньше.

Билеты могут быть использованы как для зачётов, так и для самостоятельных работ. Каждый билет состоит из двух блоков: базовый уровень (1 уровень) и повышенный (2 уровень). Блок состоит из двух частей: уравнения и неравенства, которые разделены на два столбца, чтобы ученику легче было устанавливать соответствие между ними.

Ниже приведено по шесть вариантов билетов по каждой теме. К ним даны ответы.

Приложение 1. Логарифмические уравнения и неравенства.

Приложение 2 . Показательные уравнения и неравенства.

Приложение 3. Ответы к билетам по алгебре и началам анализа.

• обеспечить повторение, обобщение, систематизацию материала по теме;
• создать условия контроля, самоконтроля усвоенных знаний и умений;
• способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора;
• создать условия для развития познавательного интереса учащихся;
• воспитывать ответственность за качество и результат выполняемой работы на уроке, математическую активность, умение работать в группах, общую культуру.

• Повторить теоретический материал. Обратить особое внимание на ОДЗ логарифмической функции.
• Систематизировать методы решения логарифмических уравнений.
• Осуществить диагностику знаний.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: семинар-практикум

Оборудование: учебник, дидактические материалы, индивидуальные карточки для самостоятельной работы, листы учета знаний, медиапроектор.

Ход урока

1. Организационный момент

Учащимся сообщается тема урока и цели, подчеркивается актуальность повторения данной темы для подготовки к ЕГЭ.

2. Проверка домашнего задания

3. Актуализация прежних знаний

Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора.

Вычислите

1 вариант 2)

2 вариант 2) 3) 5)

4. Формирование умений и навыков.

Работа в группах с последующей проверкой.

1) Решение логарифмических уравнений по определению логарифма.

Ответ :

Ответ : 256

2) Уравнения, решаемые потенцированием.

Сначала нужно решить уравнение системы, а по неравенству системы проводится отбор корней.

Ответ : 3
Ответ : 3,5

Уравнения, решаемые подстановкой.

Ответ:

Это уравнение равносильно уравнению

Пусть , тогда

Ответ:

Уравнения, решаемые логарифмированием.

.

=Т.о. Ответ : 0,1; 10..

ОДЗ: x. Логарифмируем обе части по основанию 10.

Откуда

Ответ: 1; 4.

Уравнения вида

Это уравнение равносильно уравнению при

.

ОДЗ определяется системой

ОДЗ определяется системой

Ответ: ((0;)

Уравнения, решаемые с использованием различных свойств логарифмов.

Применяем формулу , получим

Подставив эти значения x в исходное уравнение, видим, что – корень уравнения, а 0,1 – не корень уравнения.

Ответ:

Те уравнения, которые вызвали затруднения у учащихся, решаются на доске учениками, справившимися с ними.

5. Физкультминутка

Сцепили руки в “замок”, вытянули перед собой, подняли вверх и хорошо потянулись. Врачи утверждают, что в этот момент выделяется “фермент счастья”.

6. Самостоятельная работа

(Слайд на экране и карточки у каждого ученика). Учащимся предлагается оценить свои возможности и выбрать уровень заданий А, В или С.

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку. На экран выводятся ответы и краткое решение. Учащимся предлагается проверить и оценить свою работу, выставив оценку за самостоятельную работу.

6. Домашнее задание

Повторить П.6.2, 6.3. Д.М. С – 21 №2 (б,в), №3 (г, д) варианты 3 и 4.

7. Итог урока

Итак, мы сегодня с вами решали логарифмические уравнения. А теперь давайте обобщим, какие методы решения уравнений мы применяли:

• используя определение логарифма,
• с помощью основного логарифмического тождества,
• с помощью метода потенцирования,
• введения новой переменной,
• переход от уравнения с разными основаниями к одному основанию,
• с помощью свойств логарифма.

Выставление оценок по количеству “+” в тетради, за решение на доске и по карточкам. Определение результативности работы учащихся.

Наш урок подошел к концу. Достигли ли мы поставленных целей?

Незаметно летит время, сегодня вы – десятиклассники, а завтра – уже выпускники. Готовясь к экзамену, никогда не думай, что не справишься с заданием, а, напротив, мысленно рисуй себе картину успеха и тогда у тебя обязательно все получится!

Литература:

1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В . Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. – М., 2009
2. Потапов М.К., Шевкин А.В . Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы для 10 класса. – М., 2009.
3. Шепелева Ю.В . Алгебра и начала математического анализа. Тематические и итоговые тесты для 10 класса. – М., 2009.
4. Лысенко Ф.Ф . Математика ЕГЭ-2009. Легион. – М., 2009.
5. Клово А.Г . Математика ЕГЭ-2010 – М., 2010.
6. Ерина Т.М . Алгебра. Логарифмические уравнения и неравенства – М, 2004.

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Область определения: x > 0;

2) Область значений: yR ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) При a>1 функция y=log a x возрастает, при 0 < a < 1 функция y=log a x убывает при всех x > 0, т.е.

a >1 и log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 log a x 2 x 1 < x 2 ;

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства).

Задачи и тесты по теме "Логарифмические уравнения"

• Логарифмические уравнения

  Уроков: 4 Заданий: 25 Тестов: 1

• Системы показательных и логарифмических уравнений - Показательная и логарифмическая функции 11 класс

  Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1

• §5.1. Решение логарифмических уравнений

  Уроков: 1 Заданий: 38

• §7 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства - Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции 10 класс

  Уроков: 1 Заданий: 17

• Равносильность уравнений - Уравнения и неравенства 11 класс

  Уроков: 2 Заданий: 9 Тестов: 1

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями.

Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (О.Д.З.) заданного уравнения, т.к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность О.Д.З.

Решать логарифмические уравнения можно и без использования О.Д.З. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

Примеры.

Решить уравнения:

a) log 3 (5х – 1) = 2.

Решение:

ОДЗ: 5х – 1 > 0; х > 1/5.
log 3 (5х– 1) = 2,
log 3 (5х – 1) = log 3 3 2 ,
5х - 1 =9,
х = 2.