Уравнение вида y’ + Р(х)у = Q(x), где Р(х) и Q(x) – известные функции от х, линейные относительно функции у и её производной y’, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если q(x)=0, уравнение называется линейным однородным уравнением. q(x)=0 – линейное неоднородное уравнение.
Линейное уравнение приводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными при помощи подстановки у = u*v, где u = u(х) и v = v(x) – некоторые вспомогательные непрерывные функции.
Итак, у = u*v, у’ = u’*v + u * v’ (1),
тогда исходное уравнение перепишем в виде: u’*v + u * v’ + Р(х)*v = Q(x) (2).
Так как неизвестная функция у ищется в виде произведения двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая – определяться уравнением (2).
Выберем так, чтобы v’ + Р(х)*v = 0 (3). Для этого достаточно, чтобы v(x) была частным решением уравнения (3) (при С = 0). Найдём это решение:
V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)
Подставляя функцию (4) в уравнение (2), получим второе уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим функцию u(x):
u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; u =+ C (5)
Окончательно получаем:
y(x) = u(x)*v(x) = *(+C)
Уравнение Бернулли: y ’ + y = x * y 3
Данное уравнение имеет вид: y’ + Р(х)*у = y’’ * Q(x), где Р(х) и Q(x) – непрерывные функции.
Если n = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифф.уравнением. Если n = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
В общем случае, когда n ≠ 0, 1, ур. Бернулли сводится к линейному дифф.уравнению с помощью подстановки: z = y 1- n
Новое дифф.уравнение для ф-ции z(x) имеет вид: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) и может быть решено теми же способами, что и линейные дифф.уравнения 1-ого порядка.
20. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:
Действительно, тогда:
И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:
Дифф. уравнения порядка выше второго имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X .
Аналитически решить такие уравнения далеко не всегда возможно и обычно используют приближенные методы. Однако в некоторых случаях возможно отыскать общее решение.
Теорема.
Общим решением y 0 линейного однородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть .
Теорема.
Общее решение y линейного неоднородного дифференциального
уравнения на интервале X с непрерывными на том же
промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму ,
где y 0 - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.
Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами ищем в виде , где - какое-нибудь
его частное решение, а – общее решение соответствующего однородного дифференциального
уравнения .
21. Испытания и события. Виды событий. Примеры.
Испытание – создание определённого комплекса условий для совершения событий. Пример: бросание игральной кости
Событие – появление\непоявление того или иного исхода испытания; результат испытания. Пример: выпадение числа 2
Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего чем 5
Достоверное – событие, которое неизбежно происходит при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего или равного 1
Возможное – событие, которое может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 6
Невозможное – событие, которое не может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 7
Пусть А – некоторое событие. Под событием, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в ненаступлении события А. Обозначение: Ᾱ. Пример: А – выпадение числа 2, Ᾱ - выпадение любого другого числа
События А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. Пример: выпадение при одном броске чисел 1 и 3.
События А и В называются совместными, если они могут появиться в одном испытании. Пример: выпадение при одном броске числа, большего, чем 2, и числа 4.
22. Полная группа событий. Примеры.
Полная группа событий – события A, B, C, D, …, L, которые принято считать единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них обязательно наступит. Пример: выпадение на игральной кости числа 1, числа 2, 3, 4, 5, 6.
23. Частота события. Статистическое определение вероятности.
Пусть проведено n испытаний, причём событие А наступило m раз. Такое отношение m:n является частотой наступления события А.
Опр. Вероятность случайного события – связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях испытаний.
Вероятность вычисляется до опыта, а частота – после него.
24. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события.
Вероятностью события х называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных попарно несовместных и единственно возможных исходов опыта. Р(А) =
Свойства вероятности события:
Для любого события А 0<=m<=n
Поделив каждый член на n, получим для вероятности любого события А: 0<=Р(А) <=1
Если m=0, то событие невозможно: Р(А)=0
Если m=n, то событие достоверно: Р(А)=1
Если
m 25.
Геометрическое определение вероятности.
Примеры.
Классическое
определение вероятности требует
рассмотрение конечного числа элементарных
исходов, причем равновозможных. Но на
практике часто встречаются испытания,
число возможных исходов которых
бесконечно. Опр
.
Если точка случайным образом появляется
одномерной\ двумерно\ или 3х мерной
области меры S
(мера – ее длина, площадь или объём) то
вероятность ее появления в части этой
области меры S
равна где
S
– геометрическая мера, выражающая общее
число всех
возможных и равновозможных
исходов данного испытания, а Si
– мера, выражающая количество
благоприятствующих событию A
исходов. Пример
1.
Круг радиусом R помещен меньший круг
радиусом г. Найти вероятность того, что
точка, наудачу брошенная в больший круг,
попадет также и в малый круг. Пример
2.
Пусть
отрезок длиной l включается в отрезок
длиной L. Най ти вероятность события А
«наудачу брошенная точка попала на
отрезок длиной l». Пример
3
. В круге произвольно выбирается точка.
Какова вероятность того, что ее расстояние
до центра круга больше половины? Пример
4.
Два лица и условились встретиться в
определённом месте между двумя и тремя
часами дня. Пришедший первым ждет другого
в течение 10 минут, после чего уходит.
Чему равна вероятность встречи этих
лиц, если каждый из них может прийти в
любое время в течение указанного часа
независимо от другого? 26.
Элементы комбинаторики: Размещение,
перестановка, сочетания.
1)
Перестановкой
называется
установленный в конечном множестве
порядок. Число
всех различных перестановок вычисляется
по формуле 2)
Размещением
из
n
элементов по m
называется
всякое упорядоченное
подмножество основного множества,
содержащее m
элементов. 3)
Сочетанием
из
n
элементов
по m
называется
всякое неупорядоченное
подмножество основного множества,
содержащее элементов. Дифференциальное уравнение y" +a 0 (x)y=b(x)y n называется уравнением Бернулли
.
Назначение сервиса
. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли
. Пример 1
. Найти общее решение уравнения y" + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z" + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной , получаем откуда
или, что то же самое, . Пример 2
. y"+y+y 2 =0
Разделим на y 2
Делаем замену:
Получаем: -z" + z = -1 или z" - z = 1 Пример 3
. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида где n≠0,n≠1. Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки в линейное уравнение На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной. Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при . Примеры. Решить уравнения: 1) y’x+y=-xy².
Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии. 1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v². 2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0: (при нахождении u С берем равным нулю). 3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0: (взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1): (можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│). 2) 2y’+2y=xy².
Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли. 1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v². 2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем: 3) Подставляем во (II) =0 и Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные: Интегрируем: Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям: Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем: А так как Сделаем С=-С: 4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v: 3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть: Это — уравнение Бернулли, 1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0. 2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем): v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0: В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби: При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1. При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2. ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1). 3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v², v’=dv/dx, подставляем: вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов: Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v: 4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем: Примеры для самопроверки: 1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:
1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие: 2) Группируем слагаемые с v: Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u: Интегрируем обе части уравнения: 3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²: Интегрируем обе части получившегося уравнения. Уравнение
Бернулли
является
одним из наиболее известных нелинейных
дифференциальных уравнений первого
порядка
.
Оно записывается в виде где a
(x
) и b
(x
) −
непрерывные функции.
Если m
=
0, то уравнение Бернулли становится линейным
дифференциальным уравнением.
В случае когдаm
=
1, уравнение преобразуется в уравнение
с разделяющимися переменными.
В
общем случае, когда m
≠
0, 1, уравнение Бернулли сводится к
линейному дифференциальному уравнению
с помощью подстановки Новое
дифференциальное уравнение для
функции z
(x
) имеет
вид и
может быть решено способами, описанными
на странице Линейные
дифференциальные уравнения первого
порядка. МЕТОД
БЕРНУЛИ. Рассматриваемое
уравнение можно решить методом Бернулли.
Для этого ищем решение исходного
уравнения в виде произведения двух
функций:
где u,
v
-
функции от x
.
Дифференцируем:
Подставляем
в исходное уравнение (1):
(2)
В
качестве v
возьмем
любое, отличное от нуля, решение
уравнения:
(3)
Уравнение
(3) - это уравнение с разделяющимися
переменными.
После того, как мы нашли его частное
решение v
= v(x)
,
подставляем его в (2). Поскольку оно
удовлетворяет уравнению (3), то выражение
в круглых скобках обращается в нуль.
Получаем:
Это
также уравнение с разделяющимися
переменными. Находим его общее решение,
а вместе с ним и решение исходного
уравнения y
= uv
. Дифференциальное
уравнение первого порядка вида называется уравнением
в полных дифференциалах
,
если его левая часть представляет полный
дифференциал некоторой функции ,
т.е. Теорема.
Для
того, чтобы уравнение (1) являлось
уравнением в полных дифференциалах,
необходимо и достаточно, чтобы в некоторой
односвязной области изменения
переменныхивыполнялось
условие Общий
интеграл уравнения (1) имеет вид или Пример
1.
Решить
дифференциальное уравнение .
Решение.
Проверим,
что данное уравнение является уравнением
в полных дифференциалах:
так
что т.е.
условие (2) выполнено. Таким образом,
данное уравнение есть уравнение в полных
дифференциалах и
поэтому ,
гдепока
неопределенная функция.
Интегрируя,
получаем .
Частная производнаянайденной
функциидолжна
равняться,
что даетоткудатак
чтоТаким
образом,.
Общий
интеграл исходного дифференциального
уравнения .
При
интегрировании некоторых дифференциальных
уравнений можно так сгруппировать
члены, что получаются легко интегрируемые
комбинации.
Линейный
дифференциальный оператор и его
свойства.
Множество
функций, имеющих на интервале (a
, b
) не
менее n
производных,
образует линейное пространство.
Рассмотрим оператор L
n
(y
),
который отображает функцию y
(x
),
имеющую производных,
в функцию, имеющуюk
- n
производных. Характеристика уравнения Бернулли Определение 1
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартный вид $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^{n}$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ - непрерывные функции, а $n$ - некоторое число, называется дифференциальным уравнением Якоба Бернулли. При этом на число $n$ накладываются ограничения: Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли $y=0$. Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли. Замечание 1
Даниил Бернулли - физик, наиболее известная найденная им закономерность состоит в описании взаимосвязи скорости потока жидкости и давления. Закон Бернулли также применим и для ламинарных течений газа. В целом он применяется в гидравлике и гидродинамике. Основной метод решения дифференциального уравнения Бернулли состоит в том, что посредством преобразований оно приводится к линейному неоднородному. Эти преобразования следующие: Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем следующим образом: Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} +\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$. Записать частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y=1$ при $x=1$. В данном случае имеем дифференциальное уравнение Бернулли, представленное в стандартном виде. При этом $n=2$, $P\left(x\right)=\frac{1}{x} $, $Q\left(x\right)=4-x^{2} $. Представляем его в форме относительно замены $z$: $z"+\left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^{2} \right)$ или $z"-\frac{1}{x} \cdot z=-\left(4-x^{2} \right)$. Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем описанным выше методом. Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $. Имеем $I_{1} =\int \left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot dx =-\ln \left|x\right|$. Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$. Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $. Записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$, то есть $u\left(x,C\right)=\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$. Окончательно записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции $z$ в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $z=\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$. Теперь возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $: $y^{1-2} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ или $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения Бернулли, записанное в неявной форме. Для поиска частного решения используем данное начальное условие $y=1$ при $x=1$: Следовательно, частное решение имеет вид: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac{x}{2} $. Второе возможное решение уравнения Бернулли состоит в методе подстановки. Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $y"+\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$ методом подстановки. Применяем подстановку $y=u\cdot v$. После дифференцирования получаем: Функцию $v\left(x\right)$ находим из уравнения $v"+\frac{v}{x} =0$, для этого переносим второе слагаемое в правую часть. Получаем: $\frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} $; разделяем переменные $\frac{dv}{v} =-\frac{dx}{x} $; интегрируем $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, откуда $v=\frac{1}{x} $. Функцию $u\left(x\right)$ находим из уравнения $u"\cdot \frac{1}{x} =u^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} } \cdot \left(4-x^{2} \right)$, в котором учтено $v=\frac{1}{x} $ и $v"+\frac{v}{x} =0$. После простых преобразований получаем: $u"=u^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)$. Разделяем переменные: $\frac{du}{u^{2} } =\frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)\cdot dx$. Интегрируем: $-\frac{1}{u} =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac{x^{2} }{2} +C$ или $\frac{1}{u} =\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$. Возвращаемся к старой переменной. Учитываем, что $y=u\cdot v$ или $y=u\cdot \frac{1}{x} $, откуда $u=x\cdot y$. Получаем общее решение данного дифференциального уравнения: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$.
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 - с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на y n . Тогда
Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим , или, что то же самое, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.
y"+y = -y 2
y"/y 2 + 1/y = -1
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z"=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz"/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz"/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z"=4z/x
Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)" = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x64. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Методы решения
65. Обыкновенные дифференциальные линейные уравнения высших порядков: однородные и неодно-родные. Линейный дифференциальный оператор, его свойства (с доказательством).
Решение уравнения Бернулли сведением к линейному неоднородному
Решение дифференциального уравнения Бернулли методом подстановки