Бесконечность. Дж.Валлис (1655).
Впервые встречается в трактате английского математика Джон Валиса "О конических сечениях".
Основание натуральных логарифмов. Л.Эйлер (1736).
Математическая константа, трансцендентное число. Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614). Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.
2,71828182845904523...
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы. Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера . Почему была выбрана именно буква e , точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a , b , c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой.
Отношение длины окружности к диаметру. У.Джонс (1706), Л.Эйлер (1736).
Математическая константа, иррациональное число. Число "пи", старое название - лудольфово число. Как и всякое иррациональное число, π представляется бесконечной непереодической десятичной дробью:
π =3,141592653589793...
Впервые обозначением этого числа греческой буквой π воспользовался британский математик Уильям Джонс в книге «Новое введение в математику», а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφερεια - окружность, периферия и περιμετρος - периметр. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π 2 . Лежандр, и Эйлер предполагали, что π может быть трансцендентным, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.
Мнимая единица. Л.Эйлер (1777, в печати - 1794).
Известно, что уравнение х 2 =1 имеет два корня: 1 и -1 . Мнимая единица - это один из двух корней уравнения х 2 =-1 , обозначается латинской буквой i , ещё один корень: -i . Это обозначение предложил Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius (мнимый). Он же распространил все стандартные функции на комплексную область, т.е. множество чисел, представимых в виде a+ib , где a и b - действительные числа. В широкое употребление термин «комплексное число» ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.
Единичные векторы. У.Гамильтон (1853).
Единичные векторы часто связывают с координатными осями системы координат (в частности, с осями декартовой системы координат). Единичный вектор, направленный вдоль оси Х , обозначается i , единичный вектор, направленный вдоль оси Y , обозначается j , а единичный вектор, направленный вдоль оси Z , обозначается k . Векторы i , j , k называются ортами, они имеют единичные модули. Термин "орт" ввёл английский математик, инженер Оливер Хевисайд (1892), а обозначения i , j , k - ирландский математик Уильям Гамильтон.
Целая часть числа, антье. К.Гаусс (1808).
Целой частью числа [х] числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Так, =5, [-3,6]=-4. Функцию [х] называют также "антье от х". Символ функции «целая часть» ввёл Карл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром.
Угол параллельности. Н.И. Лобачевский (1835).
На плоскости Лобачевского - угол между прямой b , проходящей через точку О параллельно прямой a , не содержащей точку О , и перпендикуляром из О на a . α - длина этого перпендикуляра. По мере удаления точки О от прямой a угол параллельности убывает от 90° до 0°. Лобачевский дал формулу для угла параллельности П(α )=2arctg e - α /q , где q — некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского.
Неизвестные или переменные величины. Р. Декарт (1637).
В математике переменная - это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать. При этом может иметься в виду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире. Понятие переменной возникло в XVII в. первоначально под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения, процессов, а не только состояний. Это понятие требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами и явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Рене Декарта. Впервые прямоугольную систему координат и обозначения х, у ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.
Вектор. О.Коши (1853).
С самого начала вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел у Гаусса (1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (от латинского слова vector , несущий ) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид. Сам знак вектора ввёл в использование французский математик Огюстен Луи Коши в 1853 году.
Сложение, вычитание. Я.Видман (1489).
Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Яна (Йоханнеса) Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (от латинского plus «больше») или латинским словом et (союз «и»), а вычитание - буквой m (от латинского minus «менее, меньше»). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.
Умножение. У.Оутред (1631), Г.Лейбниц (1698).
Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году англичанин Уильям Оутред. До него использовали чаще всего букву M
, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (французский математик Эригон, 1634), звёздочка (швейцарский математик Иоганн Ран, 1659). Позднее Готфрид Вильгельм Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x
; до него такая символика встречалась у немецкого астронома и математика Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560 -1621).
Деление. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).
Уильям Оутред в качестве знака деления использовал косую черту /. Двоеточием деление стал обозначать Готфрид Лейбниц. До них часто использовали также букву D . Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (National Committee on Mathematical Requirements ) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной.
Процент. М. де ла Порт (1685).
Сотая доля целого, принимаемого за единицу. Само слово «процент» происходит от латинского "pro centum", что означает в переводе "на сто". В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал "%". Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.
Степени. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).
Современная запись показателя степени введена Рене Декартом в его «Геометрии » (1637), правда, только для натуральных степеней с показателями больших 2. Позднее, Исаак Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676), трактовку которых к этому времени уже предложили: фламандский математик и инженер Симон Стевин, английский математик Джон Валлис и французский математик Альбер Жирар.
Арифметический корень n -й степени из действительного числа а ≥0, - неотрицательное число n -я степень которого равна а . Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем и может записываться без указания степени: √ . Арифметический корень 3-й степени называется кубическим корнем. Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R x (от латинского Radix , корень). Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix . Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: R x .u.cu (от лат. Radix universalis cubica ). Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу.
Логарифм, десятичный логарифм, натуральный логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А. Принсхейм (1893).
Термин "логарифм" принадлежит шотландскому математику Джону Неперу («Описание удивительной таблицы логарифмов», 1614); он возник из сочетания от греческих слов λογος (слово, отношение) и αριθμος (число). Логарифм у Дж. Непера - вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком Уильямом Гардинером (1742). По определению, логарифм числа b по основанию a (a ≠ 1, a > 0 ) - показатель степени m , в которую следует возвести число a (называемое основанием логарифма), чтобы получить b . Обозначается log a b. Итак, m = log a b , если a m = b.
Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Термин "натуральный логарифм" ввели Пьетро Менголи (1659) и Николас Меркатор (1668), хотя лондонский учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.
До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log , то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания - ниже строки, после символа log . Знак логарифма - результат сокращения слова "логарифм" - встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц логарифмов, например Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log - у Б. Кавальери (1632). Обозначение ln для натурального логарифма ввёл немецкий математик Альфред Прингсхейм (1893).
Синус, косинус, тангенс, котангенс. У.Оутред (сер. XVII века), И.Бернулли (XVIII в.), Л.Эйлер (1748, 1753).
Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Уильям Оутред в середине XVII века. Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: tg, ctg введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций tan, cot предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл Леонард Эйлер (1748, 1753), ему же мы обязаны и закреплением настоящей символики. Термин "тригонометрические функции" введён немецким математиком и физиком Георгом Симоном Клюгелем в 1770 году.
Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива» . Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар» , обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» . Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб» , что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus , имеющим то же значение. Термин «тангенс» (от лат. tangens - касающийся) был введен датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (1583).
Арксинус. К.Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).
Обратные тригонометрические функции - математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк" (от лат. arc - дуга). К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). Впервые специальные символы для обратных тригонометрических функций использовал Даниил Бернулли (1729, 1736). Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc (от лат. arcus , дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера и закрепилась благодаря французскому математику, астроному и механику Жозефу Луи Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: sin -1 и 1/sin, но они не получили широкого распространения.
Гиперболический синус, гиперболический косинус. В.Риккати (1757).
Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил итальянец Винченцо Риккати в 1757 году в работе «Opusculorum», он же предложил их обозначения: sh , ch . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы. Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено немецким математиком, физиком и философом Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н.И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой обычная тригонометрия заменяется на гиперболическую.
Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе. Гиперболические функции выражаются через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями: sh(x)=0,5(e x -e -x ) , ch(x)=0,5(e x +e -x ). По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс как отношения гиперболических синуса и косинуса, косинуса и синуса, соответственно.
Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, в печати 1684).
Главная, линейная часть приращения функции. Если функция y=f(x) одного переменного x имеет при x=x 0 производную, и приращение Δy=f(x 0 +?x)-f(x 0 ) функции f(x) можно представить в виде Δy=f"(x 0 )Δx+R(Δx ) , где член R бесконечно мал по сравнению с Δx . Первый член dy=f"(x 0 )Δx в этом разложении и называется дифференциалом функции f(x) в точке x 0 . В работах Готфрида Лейбница, Якоба и Иоганна Бернулли слово "differentia" употреблялось в смысле "приращение", его И. Бернулли обозначал через Δ. Г. Лейбниц (1675, в печати 1684) для "бесконечно малой разности" использовал обозначение d - первую букву слова "differential" , образованого им же от "differentia" .
Неопределённый интеграл. Г.Лейбниц (1675, в печати 1686).
Слово "интеграл" впервые в печати употребил Якоб Бернулли (1690). Возможно, термин образован от латинского integer - целый. По другому предположению, основой послужило латинское слово integro - приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Знак ∫ используется для обозначения интеграла в математике и представляет собой стилизованное изображение первой буквы латинского слова summa - сумма. Впервые он был использован немецким математиком основателем дифференциального и интегрального исчислений Готфридом Лейбницем в конце XVII века. Другой из основателей дифференциального и интегрального исчислений Исаак Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Неопределённый интеграл для функции y=f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.
Определённый интеграл. Ж.Фурье (1819-1822).
Определённый интеграл функции f(x) с нижним пределом a и верхним пределом b можно определить как разность F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , где F(х) - некоторая первообразная функции f(x) . Определённый интеграл a ∫ b f(x)dx численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком функции f(x) . Оформление определённого интеграла в привычном нам виде предложил французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье в начале XIX века.
Производная. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).
Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции f(x) при изменении аргумента x . Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс - интегрирование. В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.
Термин "производная" ввёл Жозеф Луи Лагранж в 1797 году, обозначения производной с помощью штриха - он же (1770, 1779), а dy/dx - Готфрид Лейбниц в 1675 году. Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691). Русский термин «производная функции» впервые употребил русский математик Василий Иванович Висковатов (1779-1812) .
Частная производная. А. Лежандр (1786), Ж.Лагранж (1797, 1801).
Для функций многих переменных определяются частные производные - производные по одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные аргументы постоянны. Обозначения ∂f/∂ x , ∂ z/∂ y ввёл французский математик Адриен Мари Лежандр в 1786 году; f x " , z x " - Жозеф Луи Лагранж (1797, 1801); ∂ 2 z/∂ x 2 , ∂ 2 z/∂ x∂ y - частные производные второго порядка - немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби (1837).
Разность, приращение. И.Бернулли (кон. XVII в. - перв. пол. XVIII в.), Л.Эйлер (1755).
Обозначение приращения буквой Δ впервые употребил швейцарский математик Иоганн Бернулли. В общую практику использования символ "дельта" вошёл после работ Леонарда Эйлера в 1755 году.
Сумма. Л.Эйлер (1755).
Сумма - результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Для обозначения суммы n чисел a 1 , a 2 , ..., a n применяется греческая буква "сигма" Σ : a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Знак Σ для суммы ввёл Леонард Эйлер в 1755 году.
Произведение. К.Гаусс (1812).
Произведение - результат умножения. Для обозначения произведения n чисел a 1 , a 2 , ..., a n применяется греческая буква "пи" Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Например, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Знак Π для произведения ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1812 году. В русской математической литературе термин "произведение" впервые встречается у Леонтия Филипповича Магницкого в 1703 году.
Факториал. К.Крамп (1808).
Факториал числа n (обозначается n!, произносится "эн факториал") - произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1·2·3·...·n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Факториал числа n равен числу перестановок из n элементов. Например, 3! = 6, действительно,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Все шесть и только шесть вариантов перестановок из трёх элементов.
Термин "факториал" ввёл французский математик и политический деятель Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800), обозначение n! - французский математик Кристиан Крамп (1808).
Модуль, абсолютная величина. К.Вейерштрасс (1841).
Модуль, абсолютная величина действительного числа х - неотрицательное число, определяемое следующим образом: |х| = х при х ≥ 0, и |х| = -х при х ≤ 0. Например, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Модуль комплексного числа z = a + ib - действительное число, равное √(a 2 + b 2).
Считают, что термин "модуль" предложил использовать английский математик и философ, ученик Ньютона, Роджер Котс. Готфрид Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл "модулем" и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели французские математики Огюстен Коши и Жан Робер Арган в начале XIX века. В 1903 году австрийский учёный Конрад Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.
Норма. Э.Шмидт (1908).
Норма - функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или модуля числа. Знак "нормы" (от латинского слово "norma" - "правило", "образец") ввел немецкий математик Эрхард Шмидт в 1908 году.
Предел. С.Люилье (1786), У.Гамильтон (1853), многие математики (вплоть до нач. ХХ в.)
Предел - одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Исааком Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Бернард Больцано в 1816 году и Огюстен Коши в 1821 году. Символ lim (3 первые буквы от латинского слова limes - граница) появился в 1787 году у швейцарского математика Симона Антуана Жана Люилье, но его использование ещё не напоминало современное. Выражение lim в более привычном для нас оформлении первым использовал ирландский математик Уильям Гамильтон в 1853 году. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков - например, у английского математика Годфрида Харди в 1908 году.
Дзета-функция, дзета-функция Римана . Б.Риман (1857).
Аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, при σ > 1 определяемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом Дирихле:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
При σ > 1 справедливо представление в виде произведения Эйлера:
ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,
где произведение берётся по всем простым p. Дзета-функция играет большую роль в теории чисел. Как функция вещественного переменного, дзета-функция была введена в 1737 году (опубликовано в 1744 г.) Л. Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась немецким математиком Л. Дирихле и, особенно успешно, российским математиком и механиком П.Л. Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного; им же введено название "дзета-функция" и обозначение ζ(s) в 1857 году.
Гамма-функция, Γ-функция Эйлера. А.Лежандр (1814).
Гамма-функция - математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z). Г-функция впервые введена Леонардом Эйлером в 1729 году; она определяется формулой:
Γ(z) = lim n→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).
Через Г-функцию выражается большое число интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Широко используется в аналитической теории чисел. Название "Гамма-функция" и обозначение Γ(z) предложено французским математиком Адриеном Мари Лежандром в 1814 году.
Бета-функция, В-функция, В-функция Эйлера. Ж.Бине (1839).
Функция двух переменных p и q, определяемая при p>0, q>0 равенством:
В(p, q) = 0 ∫ 1 х р-1 (1-х) q-1 dx.
Бета-функцию можно выразить через Γ-функция: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q). Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция, в некотором смысле, является обобщением биномиальных коэффициентов.
С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц , участвующих в сильном взаимодействии . Эта особенность подмечена итальянским физиком-теоретиком Габриэле Венециано в 1968 году. Это положило начало теории струн .
Название "бета-функция" и обозначение В(p, q) ввёл в 1839 году французский математик, механик и астроном Жак Филипп Мари Бине.
Оператор Лапласа, лапласиан. Р.Мёрфи (1833).
Линейный дифференциальный оператор Δ, который функции φ(х 1 , х 2 , ..., х n) от n переменных х 1 , х 2 , ..., х n ставит в соответствие функцию:
Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂х n 2 .
В частности для функции φ(х) одного переменного оператор Лапласа совпадает с оператором 2-й производной: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Уравнение Δφ = 0 обычно называют уравнением Лапласа; отсюда и произошли названия "оператор Лапласа" или "лапласиан". Обозначение Δ ввёл английский физик и математик Роберт Мёрфи в 1833 году.
Оператор Гамильтона, набла-оператор, гамильтониан. О.Хевисайд (1892).
Векторный дифференциальный оператор вида
∇ = ∂/∂x · i + ∂/∂y · j + ∂/∂z · k ,
где i , j , и k - координатные орты. Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа, а так же оператор Лапласа.
В 1853 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ ∇ в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах шотландского математика и физика Питера Гатри Тэйта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот). Позднее английские учёные, в том числе Оливер Хевисайд, стали называть этот символ «набла», по названию буквы ∇ в финикийском алфавите, где она и встречается. Происхождение буквы связано с музыкальным инструментом типа арфы, ναβλα (набла) по-древнегречески означает «арфа». Оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла.
Функция. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).
Математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция - это "закон", " правило" по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений). Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином "функция" понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Долгое время математики задавали аргументы без скобок, например, так - φх. Впервые подобное обозначение использовал швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году. Скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи sin x, lg x и др. Но постепенно использование скобок, f(x) , стало общим правилом. И основная заслуга в этом принадлежит Леонарду Эйлеру.
Равенство. Р.Рекорд (1557).
Знак равенства предложил уэльский врач и математик Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего, так как имитировало изображение двух параллельных отрезков. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. До этого в античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно (например est egale ). Рене Декарт в XVII веке при записи стал использовать æ (от лат. aequalis ), а современный знак равенства он использовал чтобы указать, что коэффициент может быть отрицательным. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Символ Рекорда получил распространение далеко не сразу. Распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак "= " был введён Готфридом Лейбницем только на рубеже XVII-XVIII веков, то есть более чем через 100 лет, после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда.
Примерно равно, приблизительно равно. А.Гюнтер (1882).
Знак "≈ " ввёл в использование как символ отношения "примерно равно" немецкий математик и физик Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер в 1882 году.
Больше, меньше. Т.Гарриот (1631).
Эти два знака ввёл в использование английский астроном, математик, этнограф и переводчик Томас Гарриот в 1631 году, до этого использовали слова "больше" и "меньше".
Сравнимость. К.Гаусс (1801).
Сравнение - соотношение между двумя целыми числами n и m, означающее, что разность n-m этих чисел делится на заданное целое число а, называемое модулем сравнения; пишется: n≡m(mod а) и читается "числа n и m сравнимы по модулю а". Например, 3≡11(mod 4), так как 3-11 делится на 4; числа 3 и 11 сравнимы по модулю 4. Сравнения обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Так, слагаемое, находящееся в одной части сравнения можно перенести с обратным знаком в другую часть, а сравнения с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать, умножать, обе части сравнения можно умножать на одно и то же число и др. Например,
3≡9+2(mod 4) и 3-2≡9(mod 4)
Одновременно верные сравнения. А из пары верных сравнений 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) следует верность следующих:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5(mod 4)
3·1≡11·5(mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3·23≡11·23(mod 4)
В теории чисел рассматриваются методы решения различных сравнений, т.е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих сравнениям того или иного вида. Cравнения по модулю впервые использовались немецким математиком Карлом Гауссом в его книге «Арифметические исследования» 1801 года. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.
Тождество. Б.Риман (1857).
Тождество - равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв. Равенство a+b = b+a справедливо при всех числовых значениях a и b, и поэтому является тождеством. Для записи тождеств в некоторых случаях с 1857 года применяется знак "≡ " (читается "тождественно равно"), автором которого в таком использовании, является немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман. Можно записать a+b ≡ b+a.
Перпендикулярность. П.Эригон (1634).
Перпендикулярность - взаимное расположение двух прямых, плоскостей или прямой и плоскости, при котором указанные фигуры составляют прямой угол. Знак ⊥ для обозначения перпендикулярности ввёл в 1634 году французский математик и астроном Пьер Эригон. Понятие перпендикулярности имеет ряд обобщений, но всем им, как правило, сопутствует знак ⊥ .
Параллельность. У.Оутред (посмертное издание 1677 года).
Параллельность - отношение между некоторыми геометрическими фигурами; например, прямыми. Определяется по-разному в зависимости от различных геометрий; например, в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. Знак параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства (только более протяжённый), но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально ||. В таком виде он появился впервые в посмертном издании работ английского математика Уильяма Оутреда в 1677 году.
Пересечение, объединение. Дж.Пеано (1888).
Пересечение множеств - это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Объединение множеств - множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Пересечением и объединением называются и операции над множествами, ставящие в соответствие некоторым множествам новые по указанным выше правилам. Обозначаются ∩ и ∪, соответственно. Например, если
А= {♠ ♣ } и В= {♣ ♦ },
То
А∩В={♣ }
А∪В={♠ ♣ ♦ } .
Содержится, содержит. Э.Шрёдер (1890).
Если А и В - два множества и в А нет элементов, не принадлежащих В, то говорят что А содержится в В. Пишут А⊂В или В⊃А (В содержит А). Например,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Символы "содержится" и "содержит" появились в 1890 году у немецкого математика логика Эрнста Шрёдера.
Принадлежность. Дж.Пеано (1895).
Если а - элемент множества А, то пишут а∈А и читают "а принадлежит А". Если а не является элементом множества А, пишут а∉А и читают "а не принадлежит А". Вначале отношения "содержится" и "принадлежит" ("является элементом") не различали, но со временем эти понятия потребовали разграничения. Знак принадлежности ∈ впервые стал использовать итальянский математик Джузеппе Пеано в 1895 году. Символ ∈ происходит от первой буквы греческого слова εστι - быть.
Квантор всеобщности, квантор существования. Г.Генцен (1935), Ч.Пирс (1885).
Квантор - общее название для логических операций, указывающих область истинности какого-либо предиката (математического высказывания). Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 году, в книге немецкого логика, математика и философа Фридриха Людвига Готлоба Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃ для квантора существования (читается "существует", "найдётся"), предложенное американским философом, логиком и математиком Чарльзом Пирсом в 1885 году, и ∀ для квантора всеобщности (читается "любой", "каждый", "всякий"), образованное немецким математиком и логиком Герхардом Карлом Эрихом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы английских слов Existence (существование) и Any (любой)). Например, запись
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
читается так: "для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих неравенству |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Пустое множество. Н.Бурбаки (1939).
Множество, не содержащее ни одного элемента. Знак пустого множества был введён в книгах Николя Бурбаки в 1939 году. Бурбаки - коллективный псевдоним группы французских математиков, созданной в 1935 году. Одним из участников группы Бурбаки был Андре Вейль - автор символа Ø.
Что и требовалось доказать. Д.Кнут (1978).
В математике под доказательством понимается последовательность рассуждений, построеных на определённых правилах, показывающая, что верно некоторое утверждение. Со времён эпохи Возрождения окончание доказательства обозначалось математиками сокращением "Q.E.D.", от латинского выражения "Quod Erat Demonstrandum" - "Что и требовалось доказать". При создании системы компьютерной вёрстки ΤΕΧ в 1978 году американский профессор информатики Дональд Эдвин Кнут использовал символ: заполненный квадрат, так называемый "символ Халмоша", по имени американского математика венгерского происхождения Пола Ричарда Халмоша. Сегодня завершение доказательства как правило обозначают Символом Халмоша. В качестве альтернативы используют и другие знаки: пустой квадрат, правый треугольник, // (две косых черты), а также русскую аббревиатуру "ч.т.д.".
Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык , составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).
Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:
группа I - обозначения геометрических фигур и отношений между ними;
группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.
Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.
Группа I
СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ
А. Обозначение геометрических фигур
1. Геометрическая фигура обозначается - Ф.
2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:
А, В, С, D, ... , L, М, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:
а, b, с, d, ... , l, m, n, ...
Линии уровня обозначаются: h - горизонталь; f- фронталь.
Для прямых используются также следующие обозначения:
(АВ) - прямая, проходящая через точки А а В;
[АВ) - луч с началом в точке А;
[АВ] - отрезок прямой, ограниченный точками А и В.
4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:
α(а || b) - плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;
β(d 1 d 2 gα) - поверхность β определяется направляющими d 1 и d 2 , образующей g и плоскостью параллелизма α.
5. Углы обозначаются:
∠ABC - угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:
Величина угла АВС;
Величина угла φ.
Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри
7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками - ||.
Например:
|АВ| - расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);
|Аа| - расстояние от точки А до линии a;
|Аα| - расстояшие от точки А до поверхности α;
|аb| - расстояние между линиями а и b;
|αβ| расстояние между поверхностями α и β.
8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π 1 и π 2 , где π 1 - горизонтальная плоскость проекций;
π 2 -фрюнтальная плоскость проекций.
При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π 3 , π 4 и т. д.
9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х - ось абсцисс; у - ось ординат; z - ось аппликат.
Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.
10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:
А", В", С", D", ... , L", М", N", горизонтальные проекции точек; А", В", С", D", ... , L", М", N", ... фронтальные проекции точек; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - горизонтальные проекции линий; а" ,b" , с" , d" , ... , l" , m" , n" , ... фронтальные проекции линий; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... горизонтальные проекции поверхностей; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... фронтальные проекции поверхностей.
11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса 0α , подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.
Так: h 0α - горизонтальный след плоскости (поверхности) α;
f 0α - фронтальный след плоскости (поверхности) α.
12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.
Например: H a - горизонтальный след прямой (линии) а;
F a - фронтальный след прямой (линии) a.
13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами 1,2,3,..., n:
А 1 , А 2 , А 3 ,...,А n ;
a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;
α 1 , α 2 , α 3 ,...,α n ;
Ф 1 , Ф 2 , Ф 3 ,...,Ф n и т. д.
Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом 0:
A 0 , B 0 , С 0 , D 0 , ...
Аксонометрические проекции
14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0:
А 0 , В 0 , С 0 , D 0 , ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1:
А 1 0 , В 1 0 , С 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.
| № по пор. | Обозначение | Содержание | Пример символической записи |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Совпадают | (АВ)≡(CD) - прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D |
| 2 | ≅ | Конгруентны | ∠ABC≅∠MNK - угол АВС конгруентен углу MNK |
| 3 | ∼ | Подобны | ΔАВС∼ΔMNK - треугольники АВС и MNK подобны |
| 4 | || | Параллельны | α||β - плоскость α параллельна плоскости β |
| 5 | ⊥ | Перпендикулярны | а⊥b - прямые а и b перпендикулярны |
| 6 | Скрещиваются | с d - прямые с и d скрещиваются | |
| 7 | Касательные | t l - прямая t является касательной к линии l. βα - плоскость β касательная к поверхности α |
|
| 8 | → | Отображаются | Ф 1 →Ф 2 - фигура Ф 1 отображается на фигуру Ф 2 |
| 9 | S | Центр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой, указывающей направление проецирования | - |
| 10 | s | Направление проецирования | - |
| 11 | P | Параллельное проецирование | р s α Параллельное проецирование - параллельное проецирование на плоскость α в направлении s |
| № по пор. | Обозначение | Содержание | Пример символической записи | Пример символической записи в геометрии |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M,N | Множества | - | - |
| 2 | A,B,C,... | Элементы множества | - | - |
| 3 | { ... } | Состоит из... | Ф{A, B, C,... } | Ф{A, B, C,... } - фигура Ф состоит из точек А, В,С, ... |
| 4 | ∅ | Пустое множество | L - ∅ - множество L пустое (не содержит элементов) | - |
| 5 | ∈ | Принадлежит, является элементом | 2∈N (где N - множество натуральных чисел) - число 2 принадлежит множеству N | А ∈ а - точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а) |
| 6 | ⊂ | Включает, cодержит | N⊂М - множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисел | а⊂α - прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α) |
| 7 | ∪ | Объединение | С = A U В - множество С есть объединение множеств A и В; {1, 2. 3, 4,5} = {1,2,3}∪{4,5} | ABCD = ∪ [ВС] ∪ - ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС], |
| 8 | ∩ | Пересечение множеств | М=К∩L - множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅- пересечение множеств М и N есть пустое множество (множества М и N не имеют общих элементов) | а = α ∩ β - прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ - прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек) |
| № по пор. | Обозначение | Содержание | Пример символической записи |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Конъюнкция предложений; соответствует союзу "и". Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны | α∩β = { К:K∈α∧K∈β} Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β |
| 2 | ∨ | Дизъюнкция предложений; соответствует союзу "или". Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба). | - |
| 3 | ⇒ | Импликация - логическое следствие. Предложение р⇒q означает: "если р, то и q" | (а||с∧b||с)⇒a||b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой |
| 4 | ⇔ | Предложение (р⇔q) понимается в смысле: "если р, то и q; если q, то и р" | А∈α⇔А∈l⊂α. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости |
| 5 | ∀ | Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: "для всякого x: имеет место свойство Р(х) " | ∀(ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180° |
| 6 | ∃ | Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: "существует х, обладающее свойством Р(х)" | (∀α)(∃a).Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α |
| 7 | ∃1 | Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й)... Выражение ∃1(x)(Рх) означает: "существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх" | (∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки. |
| 8 | (Px) | Отрицание высказывания P(x) | аb(∃α )(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их |
| 9 | \ | Отрицание знака | ≠ -отрезок [АВ] не равен отрезку .а?b - линия а не параллельна линии b |
Когда люди долгое время взаимодействуют в рамках определенной сферы деятельности, они начинают искать способ оптимизировать процесс коммуникации. Система математических знаков и символов представляет собой искусственный язык, который был разработан, чтобы уменьшить объем графически передаваемой информации и при этом полностью сохранить заложенный в сообщение смысл.
Любой язык требует изучения, и язык математики в этом плане - не исключение. Чтобы понимать значение формул, уравнений и графиков, требуется заранее владеть определенной информацией, разбираться в терминах, системе обозначений и т. д. При отсутствии такого знания текст будет восприниматься как написанный на незнакомом иностранном языке.
В соответствии с запросами общества графические символы для более простых математических операций (например, обозначение сложения и вычитания) были выработаны раньше, чем для сложных понятий наподобие интеграла или дифференциала. Чем сложнее понятие, тем более сложным знаком оно обычно обозначается.
Модели образования графических обозначений
На ранних этапах развития цивилизации люди связывали простейшие математические операции с привычными для них понятиями на основе ассоциаций. Например, в Древнем Египте сложение и вычитание обозначались рисунком идущих ног: направленные по направлению чтения строки они обозначали «плюс», а в обратную сторону - «минус».
Цифры, пожалуй, во всех культурах изначально обозначались соответствующим количеством черточек. Позже для записи стали использоваться условные обозначения - это экономило время, а также место на материальных носителях. Часто в качестве символов использовались буквы: такая стратегия получила распространение в греческом, латинском и многих других языках мира.
История возникновения математических символов и знаков знает два наиболее продуктивных способа образования графических элементов.
Преобразование словесного представления
Изначально любое математическое понятие выражается некоторым словом или словосочетанием и не имеет собственного графического представления (помимо лексического). Однако выполнение расчетов и написание формул словами - процедура длительная и занимающая неоправданно много места на материальном носителе.
Распространенный способ создания математических символов - трансформация лексического представления понятия в графический элемент. Иначе говоря, слово, обозначающее понятие, с течением времени сокращается или преобразуется каким-либо другим способом.
Например, основной гипотезой происхождения знака «плюс» является его сокращение от латинского et , аналогом которого в русском языке является союз «и». Постепенно в скорописи первая буква перестала писаться, а t сократилась до креста.
Другой пример - знак «икс», обозначающий неизвестное, который изначально представлял собой сокращение от арабского слова «нечто». Сходным образом произошли знаки для обозначения квадратного корня, процента, интеграла, логарифма и др. В таблице математических символов и знаков можно встретить более десятка графических элементов, появившихся таким образом.
Назначение произвольного символа
Второй распространенный вариант образования математических знаков и символов - назначение символа произвольным образом. В этом случае слово и графическое обозначение между собой не связаны - знак обычно утверждается в результате рекомендации одного из членов научного сообщества.
Например, знаки умножения, деления, равенства были предложены математиками Уильямом Отредом, Иоганном Раном и Робертом Рекордом. В некоторых случаях несколько математических знаков могли быть введены в науку одним ученым. В частности, Готфрид Вильгельм Лейбниц предложил целый ряд символов, в том числе интеграла, дифференциала, производной.
Простейшие операции
Такие знаки, как «плюс» и «минус», а также символы, обозначающие умножение и деление, знает каждый школьник, несмотря на то, что для последних двух упомянутых операций существует несколько возможных графических знаков.
Можно с уверенностью говорить, что складывать и вычитать люди умели ещё за много тысячелетий до нашей эры, а вот стандартизованные математические знаки и символы, обозначающие данные действия и известные нам сегодня, появились лишь к XIV-XV столетию.
Впрочем, несмотря на установление определенной договоренности в научном сообществе, умножение и в наше время может изображаться тремя различными знаками (диагональный крестик, точка, звёздочка), а деление - двумя (горизонтальная черта с точками сверху и снизу или наклонная черта).
Латинские буквы
На протяжении многих столетий научное сообщество использовало для обмена информацией исключительно латынь, и многие математические термины и знаки обнаруживают свои истоки именно в этом языке. В некоторых случаях графические элементы стали результатом сокращения слов, реже - их намеренного или случайного преобразования (например, вследствие описки).
Обозначение процента («%»), вероятнее всего, происходит от ошибочного написания сокращения cto (cento, т. е. «сотая доля»). Сходным образом произошёл знак «плюс», история которого описана выше.
Гораздо большее было образовано путём намеренного сокращения слова, хотя это не всегда очевидно. Далеко не каждый человек узнает в знаке квадратного корня букву R , т. е. первый знак в слове Radix («корень»). Символ интеграла также представляет собой первую букву слова Summa, однако интуитивно она похожа на прописную f без горизонтальной черты. К слову, в первой публикации издатели совершили именно такую ошибку, напечатав f вместо данного символа.
Греческие буквы
В качестве графических обозначений для различных понятий используются не только латинские, но и В таблице математических символов можно найти целый ряд примеров такого наименования.
Число Пи, представляющее собой отношение длины окружности к её диаметру, произошло от первой буквы греческого слова, обозначающего окружность. Существует ещё несколько менее известных иррациональных чисел, обозначаемых буквами греческого алфавита.
Крайне распространенным знаком в математике является «дельта», отражающая величину изменения значения переменных. Ещё одним употребительным знаком является «сигма», выполняющая функцию знака суммы.
Более того, практически все греческие буквы так или иначе используются в математике. Однако данные математические знаки и символы и их значение знают только люди, занимающиеся наукой профессионально. В быту и повседневной жизни эти знания человеку не требуются.
Знаки логики
Как ни странно, многие интуитивно понятные символы были придуманы совсем недавно.
В частности, горизонтальная стрелка, заменяющая слово «следовательно», была предложена лишь в 1922 года Кванторы существования и всеобщности, т. е. знаки, читающиеся как: «существует…» и «для любого…», были введены в 1897 и 1935 году соответственно.
Символы из области теории множеств были придуманы в 1888-1889 гг. А перечеркнутый круг, который сегодня известен любому учащемуся средней школы как знак пустого множества, появился в 1939 году.
Таким образом, знаки для столь непростых понятий, как интеграл или логарифм, были придуманы на столетия раньше, чем некоторые интуитивно понятные символы, легко воспринимаемые и усваиваемые даже без предварительной подготовки.
Математические символы на английском
Ввиду того, что значительная часть понятий была описана в научных трудах на латыни, ряд названий математических знаков и символов на английском и русском языке одинаковы. Например: Plus («плюс»), Integral («интеграл»), Delta function («дельта-функция»), Perpendicular («перпендикулярный»), Parallel («параллельный»), Null («нуль»).
Часть понятий в двух языках называются различным образом: так, деление - это Division, умножение - Multiplication. В редких случаях английское название для математического знака получает некоторое распространение в русском языке: например, косая черта в последние годы нередко именуется «слешем» (англ. Slash).
Таблица символов
Самый простой и удобный способ ознакомиться с перечнем математических знаков - посмотреть специальную таблицу, в которой содержатся знаки операций, символы математической логики, теории множеств, геометрии, комбинаторики, математического анализа, линейной алгебры. В данной таблице представлены основные математические знаки на английском языке.
Математические знаки в текстовом редакторе
При выполнении различного рода работ зачастую требуется использовать формулы, где употребляются знаки, отсутствующие на клавиатуре компьютера.
Как и графические элементы из практически любой области знаний, математические знаки и символы в «Ворде» можно найти во вкладке «Вставка». В версиях программы 2003 или 2007 года существует опция «Вставка символа»: при нажатии на кнопку в правой части панели пользователь увидит таблицу, в которой представлены все необходимые математические знаки, греческие строчные и прописные буквы, различные виды скобок и многое другое.
В версиях программы, вышедших после 2010 года, разработана более удобная опция. При нажатии на кнопку «Формула» происходит переход в конструктор формул, где предусмотрено использование дробей, занесения данных под корень, смена регистра (для обозначения степеней или порядковых номеров переменных). Здесь же могут быть найдены все знаки из таблицы, представленной выше.
Стоит ли учить математические символы
Система математических обозначений представляет собой искусственный язык, который лишь упрощает процесс записи, но не может принести понимание предмета стороннему наблюдателю. Таким образом, запоминание знаков без изучения терминов, правил, логических связей между понятиями не приведет к овладению данной областью знаний.
Человеческий мозг легко усваивает знаки, буквы и сокращения - математические обозначения запоминаются сами при изучении предмета. Понимание смысла каждого конкретного действия создает настолько прочные что знаки, обозначающие термины, а зачастую и формулы, связанные с ними, остаются в памяти на многие годы и даже десятилетия.
В заключение
Поскольку любой язык, в том числе искусственный, является открытым к изменениям и дополнениям, число математических знаков и символов непременно будет расти с течением времени. Не исключено, что какие-то элементы будут заменены или скорректированы, а другие - стандартизованы в единственно возможном виде, что актуально, например, для знаков умножения или деления.
Умение пользоваться математическими символами на уровне полного школьного курса является в современном мире практически необходимым. В условиях бурного развития информационных технологий и науки, повсеместной алгоритмизации и автоматизации владение математическим аппаратом следует воспринимать как данность, а освоение математических символов - как неотъемлемую его часть.
Поскольку расчеты используются и в гуманитарной сфере, и в экономике, и в естественных науках, и, разумеется, в области техники и высоких технологий, понимание математических понятий и знание символов станет полезным для любого специалиста.
«Символы не являются только записью мыслей,
средством её изображения и закрепления, -
нет, они воздействуют на самую мысль,
они… направляют её, и бывает достаточно
переместить их на бумаге… для того, чтобы
безошибочно достигнуть новых истин».
Л.Карно
Математические знаки служат в первую очередь для точной (однозначно определённой) записи математических понятий и предложений. Их совокупность в реальных условиях их применения математиками составляет то, что называется, математическим языком.
Математические знаки позволяют записывать в компактной форме предложения, громоздко выраженные на обычном языке. Это облегчает их запоминание.
Прежде чем использовать в рассуждениях те или иные знаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает. Иначе его могут не понять.
Но математики не всегда могут сказать сразу, что отражает тот или иной символ, введённый ими для какой-либо математической теории. Например, сотни лет математики оперировали отрицательными и комплексными числами, однако объективный смысл этих чисел и действие с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и в начале XIX века.
1. Символизм математических кванторов
Подобно обычному языку, язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математическими истинами, но являясь лишь вспомогательным средством, присоединяемым к обычному языку и без него существовать, не может.
Математическое определение:
На обычном языке:
Пределом функции
F (x) в некоторой точке X0 называется постоянное число А, такое что для произвольного числа Е>0 существует такое положительное d(E), что из условия |X - X 0 | Запись в кванторах (на математическом языке) 2. Символизм математических знаков и геометрических фигур.
1) Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественных науках. Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означает невозможность указать для него границы или количественную меру. Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. В математике не существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы. К примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие, а целые числа включены в действительные. Таким образом, в этом случае одно кардинальное число (равно мощности множества) «бесконечнее» другого. Основоположником этих понятий был немецкий математик Георг Кантор. В математическом анализе ко множеству действительных чисел добавляются два символа, плюс и минус бесконечность, применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Нужно отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так как любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только конечные числа и кванторы. Эти символы (как и многие другие) были введены для сокращения записи более длинных выражений. Бесконечность также неразрывно связана с обозначением бесконечно малого, к примеру, ещё Аристотель сказал: Бесконечность в большинстве культур появилась как абстрактное количественное обозначение чего-то непостижимо большого, в применении к сущностям без пространственных или временных границ. 2) Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом. 3) Квадрат (ромб) - является символом комбинации и упорядочивания четырёх различных элементов, например четыре основных стихий или четырёх времён года. Символ числа 4, равенства, простоты, прямоты, истины, справедливости, мудрости, чести. Симметрия является той идеей посредством которой человек пытается постичь гармонию и с давних времён считалась символом прекрасного. Симметрией обладают так называемые “фигурные” стихи, текст которых имеет очертание ромба. Мы - (Э.Мартов, 1894г) 4) Прямоугольник. Из всех геометрических форм это наиболее рациональная, наиболее надёжная и правильная фигура; эмпирически это объясняется тем фактом, что всегда и везде прямоугольник был излюбленной формой. С помощью него человек приспосабливал пространство или какой-либо предмет для непосредственного использования в своём быту, например: дом, комната, стол, кровать и т.п. 5) Пентагон - правильный пятиугольник в виде звезды символ вечности, совершенства, вселенной. Пентагон - амулет здоровья, знак на дверях для того, чтобы отогнать ведьм, эмблема Тота, Меркурия, кельтского Гавайна и др., символ пяти ран Иисуса Христа, благополучия, удачи у евреев, легендарный ключ Соломона; знак высокого положения в обществе у Японцев. 6) Правильный шестиугольник, гексагон - символ изобилия, красоты, гармонии, свободы, брака, символ числа 6, образ человека (две руки, две ноги, голова и туловище). 7) Крест - символ высших сакральных ценностей. Крест моделирует духовный аспект, восхождение духа, устремление к богу, к вечности. Крест - универсальный символ единства жизни и смерти. 8) Треугольник - это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки. 9) Шестиконечная Звезда (Звезда Давида) - состоит из двух наложенных один на другой равносторонних треугольников. Одна из версий происхождения знака связывает его форму с формой цветка Белой лилии, имеющего шесть лепестков. Цветок традиционно располагался под храмовым светильником, таким образом, что священник зажигал огонь, как бы, в центре Маген Давида. В каббале два треугольника символизируют свойственную человеку дуальность: добро против зла, духовное против физического и так далее. Треугольник, направленный остриём вверх, символизирует наши добрые дела, которые поднимаются на небеса и вызывают поток благодати, нисходящий обратно в этот мир (что символизирует треугольник, направленный вниз). Иногда Звезду Давида называют Звездой Творца и связывают каждый из её шести концов с одним из дней недели, а центр - с субботой. 10) Пятиконечная Звезда - Основной отличительной эмблемой большевиков является красная пятиконечная звезда, официально установленная весной 1918 года. Первоначально большевистская пропаганда назвала её “ Марсовой звездой” (якобы принадлежащей античному богу войны - марсу), а затем стала заявлять, что “ Пять лучей звезды, означает союз трудящихся всех пяти континентов в борьбе против капитализма”. В действительности же пятиконечная звезда не имеет никакого отношения ни к воинствующему божеству Марсу, ни к международному пролетариату, это - древний оккультный знак (очевидно ближневосточного происхождения), называющийся “пентаграммой” или “Звездой Соломона”. Отметим, что зачастую пентаграмма размещалась большевиками на красноармейском обмундировании, в военной технике, различных знаках и всевозможных атрибутах наглядной агитации чисто по-сатанински: двумя “рогами” вверх. 3. Масонские знаки
Масоны
Девиз:
«Свобода. Равенство. Братство». Общественное движение свободных людей, которые на основе свободного выбора позволяют стать лучше, стать ближе к богу следственно, они признаны улучшить мир. Знаки
Лучезарное око (дельта) - знак древний, религиозный. Он говорит о том, что Бог надзирает над творениями своими. Изображением этого знака масоны спрашивали у Бога благословения на какие-либо грандиозные действия, на труды свои. Лучезарное око расположено на фронтоне Казанского Собора в Санкт-Петербурге. Сочетание циркуля и угольника в масонском знаке. Для непосвящённого - это орудие труда (каменщика), а для посвящённых - это способы познания мира и соотношения божественной премудрости и человеческого разума. Для божественной премудрости нет невозможного, она может принять и вид человеческий (-) и вид божественный (0), всё может в себя вместить. Таким образом, человеческий разум постигает божественную премудрость, объемлет ее. В философии это утверждение является постулатом об абсолютной и относительной истине. Шестиугольная Звезда (Вифлеема) Буква G - обозначение бога (нем. - Got), великого геометра Вселенной. Заключение
Математические знаки служат в первую очередь для точной записи математических понятий и предложений. Их совокупность составляет то, что называется математическим языком. Математические обозначения
(«язык математики ») - сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных математических идей и суждений в человеко-читаемой форме. Составляет (по своей сложности и разнообразию) значительную долю неречевых знаковых систем , применяемых человечеством. В данной статье описывается общепринятая международная система обозначений, хотя различные культуры прошлого имели свои собственные, и некоторые из них даже имеют ограниченное применение до сих пор. Отметим, что математические обозначения, как правило, применяются совместно с письменной формой какого-то из естественных языков . Помимо фундаментальной и прикладной математики, математические обозначения имеют широкое применение в физике , а также (в неполном своём объёме) в инженерии , информатике , экономике , да и вообще во всех областях человеческой деятельности, где применяются математические модели . Различия между собственно математическим и прикладным стилем обозначений будут оговорены по ходу текста. 1
/
5 ✪ Знак / в математике ✪ Математика 3 класс. Таблица разрядов многозначных чисел ✪ Множества в математике ✪ Математика 19. Математические забавы - Шишкина школа Привет! Это видео не о математике,
скорее об этимологии и
семиотике. Но уверен, вам
понравится. Поехали! Вы
вот в курсе, что поиск решения
кубических уравнений в
общем виде занял у математиков
несколько столетий? Это
отчасти почему? Потому
что не было ясных символов
для ясных мыслей, то ли
дело наше время. Символов
столько, что и запутаться
можно. Но нас с вами не проведешь,
давайте разбираться. Вот
это - заглавная перевернутая
буква А. Это на самом деле
английская буква, числится
первой в словах "all" и "any".
По-русски этот символ, в
зависимости от контекста,
может читаться так: для
любого, всякий, каждому,
все и так далее. Такой иероглиф
будем называть квантором
всеобщности. А вот и еще
один квантор, но уже существование.
Английскую букву е отразили
в Paint-е слева направо, намекая
тем самым на заморский
глагол "exist", по-нашему будем
читать: существует, найдется,
имеется и другим подобным
образом. Восклицательный
знак такому квантору существования
добавит единственности.
Если с этим понятно, двигаемся
дальше. Неопределенные
интегралы вам наверняка
попадались в классе так
одиннадцатом, я бы хотел
напомнить, что это не просто
какая-то первообразная,
а совокупность всех первообразных
подынтегральной функции.
Так что не забывайте про
С - константу интегрирования.
Между делом, сам значок
интеграла - это просто
вытянутая буква s, отголосок
латинского слова сумма.
В этом как раз и есть геометрический
смысл определенного интеграла:
поиск площади фигуры под
графиком суммированием
бесконечно малых величин.
Как по мне, это самое романтичное
занятие в матанализе. А
вот школьная геометрия
полезнее всего тем, что
приучает к логической строгости.
К первому курсу у вас должно
быть чёткое понимание,
что такое следствие, что
такое равносильность. Ну
нельзя путаться в необходимости
и достаточности, понимаете?
Давайте даже попробуем
копнуть чуть-чуть глубже.
Если вы решили заняться
высшей математикой, то
я представляю, насколько
у вас все плохо с личной
жизнью, но именно поэтому
вы наверняка согласитесь
одолеть небольшое упражнение.
Здесь три пункта, в каждом
имеется левая и правая
части, которую вам нужно
связать одним из трех нарисованных
символов. Пожалуйста, кликните
паузу, попробуйте сами,
а затем послушайте, что
я вам скажу. Если x=-2, то
|x|=2, а вот слева направо
так фразу уже построить.
Во втором пункте в левой
и правой частях написано
абсолютно одно и то же.
А третий пункт можно прокомментировать
так: каждый прямоугольник
является параллелограммом,
но не каждый параллелограмм
является прямоугольником.
Да, знаю, что вы уже не маленькие,
но все же мои аплодисменты
тем, кто справился с этим
упражнением. Ну да ладно,
хватит, давайте вспомним
числовые множества. Натуральные
числа используются при
счете: 1, 2, 3, 4 и так далее.
В природе -1 яблока не существует,
но, кстати, целые числа
позволяют говорить о таких
вещах. Буква ℤ кричит нам
о важной роли нуля, множество
рациональных чисел обозначается
буквой ℚ, и это неслучайно.
В английском слово "quotient"
означает "отношение". Кстати,
если где-нибудь в Бруклине
к вам подойдет афроамериканец
и скажет: "Keep it real!", - можете
быть уверены, перед вами
математик, почитатель действительных
чисел. Ну а вам стоит почитать
что-нибудь о комплексных
числах, будет полезней.
Мы же сейчас сделаем откат,
вернемся в первый класс
самой что ни на есть обычной
греческой школы. Короче
говоря, помянем древний
алфавит. Первая буква - альфа,
затем бетта, этот крючок
- гамма, потом дельта, после
неё следует эпсилон и так
далее, вплоть до последней
буквы омега. Можете не сомневаться,
что у греков есть и прописные
буквы, но мы сейчас не будем
о грустном. Мы лучше о веселом
- о пределах. Но тут как
раз никаких загадок и нет,
сразу понятно, от какого
слова появился математический
символ. Ну а стало быть,
мы можем перейти к финальной
части видео. Пожалуйста,
попробуйте озвучить определение
предела числовой последовательности,
которое сейчас написано
перед вами. Кликайте скорее
паузу и соображаете, и да
будет вам счастье годовалого
ребенка, узнавшего слово
"мама". Если для любого эпсилон
больше нуля найдется натуральное
N, да такое, что для всех
номеров числовой последовательности,
больших N, выполнено неравенство
|xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда
предел числовой последовательности
xₙ , при n, стремящемся к
бесконечности, равен числу
a. Такие вот дела, ребята.
Не беда, если вам не удалось
прочесть это определение,
главное в свое время его
понять. Напоследок отмечу:
множество тех, кто посмотрел
этот ролик, но до сих пор
не подписан на канал, не
является пустым. Это меня
очень печалит, так что во
время финальной музыки
покажу, как это исправить.
Ну а остальным желаю мыслить
критически, заниматься
математикой! Счастливо!
[Музыка / аплодиминнты] Система складывалась, наподобие естественных языков, исторически (см. история математических обозначений), и организована наподобие письменности естественных языков, заимствуя оттуда также многие символы (прежде всего, из латинского и греческого алфавитов). Символы, также как и в обычной письменности, изображаются контрастными линиями на равномерном фоне (чёрные на белой бумаге, светлые на тёмной доске, контрастные на мониторе и т. д.), и значение их определяется в первую очередь формой и взаимным расположением. Цвет во внимание не принимается и обычно не используется, но, при использовании букв , такие их характеристики как начертание и даже гарнитура , не влияющие на смысл в обычной письменности, в математических обозначениях могут играть смыслоразличающую роль. Обыкновенные математические обозначения (в частности, так называемые математические формулы
) пишутся в общем в строку слева направо, однако не обязательно составляют последовательную строку символов. Отдельные блоки символов могут располагаться в верхней или нижней половине строки, даже в случае, когда символы не перекрываются вертикалями. Также, некоторые части располагаются целиком выше или ниже строки. С грамматической же стороны почти любую «формулу» можно считать иерархически организованной структурой типа дерева . Математические обозначения представляют систему в смысле взаимосвязи своих компонент, но, в целом, не
составляют формальную систему (в понимании самой математики). Они, в сколь-нибудь сложном случае, не могут быть даже разобраны программно . Как и любой естественный язык, «язык математики» полон несогласованных обозначений, омографов , различных (в среде своих носителей) трактовок того, что́ считать правильным и т. п. Нет даже сколь-нибудь обозримого алфавита математических символов, и в частности оттого, что не всегда однозначно решается вопрос, считать ли два обозначения разными символами или же разными написаниями одного символа. Некоторая часть математических обозначений (в основном, связанная с измерениями) стандартизована в ISO 31 -11, однако в целом стандартизация обозначений скорее отсутствует. При необходимости применить систему счисления с основанием , меньшим десяти, основание записывается в нижний индекс: 20003 8 . Системы счисления с основаниями, бо́льшими десяти, в общепринятой математической записи не применяются (хотя, разумеется, изучаются самой наукой), поскольку для них не хватает цифр. В связи с развитием информатики , стала актуальной шестнадцатеричная система счисления , в которой цифры от 10 до 15 обозначаются первыми шестью латинскими буквами от A до F. Для обозначения таких чисел в информатике используется несколько разных подходов, но в математику они не перенесены. Круглые скобки «()» используются: Квадратные скобки «» нередко применяются в значении группировки, когда приходится использовать много пар скобок. В таком случае они ставятся снаружи и (при аккуратной типографике) имеют бо́льшую высоту, чем скобки, стоя́щие внутри. Квадратные «» и круглые «()» скобки используются при обозначении закрытых и открытых промежутков соответственно. Фигурные скобки «{}» используются, как правило, для , хотя в отношении них справедлива та же оговорка, что и для квадратных скобок. Левая «{» и правая «}» скобки могут использоваться по отдельности; их назначение описано . Символы угловых скобок «
⟨
⟩
{\displaystyle \langle \;\rangle }
» при аккуратной типографике должны иметь тупые углы и тем отличаться от схожих , имеющих прямой или острый угол. На практике же на это не следует надеяться (особенно, при ручной записи формул) и различать их приходится при помощи интуиции. Часто используются пары симметричных (относительно вертикальной оси) символов, в том числе и отличных от перечисленных, для выделения куска формулы. Назначение парных скобок описано . В зависимости от расположения различают верхние и нижние индексы.
Верхний индекс может означать (но необязательно означает) возведение в степень , об остальных случаях использования . В науках встречаются наборы величин, и любая из них может принимать или набор значений и называться переменной
величиной (вариантой), или только одно значение и называться константой. В математике от физического смысла величины часто отвлекаются, и тогда переменная величина превращается в отвлечённую
(или числовую) переменную, обозначаемую каким-нибудь символом, не занятым специальными обозначениями, о которых было сказано выше. Переменная X
считается заданной, если указано множество принимаемых ею значений {x}
. Постоянную же величину удобно рассматривать как переменную, у которой соответствующее множество {x}
состоит из одного элемента.
В математике не усматривается существенного различия между оператором
(унарным), отображением
и функцией
. Однако, подразумеваются, что если для записи значения отображения от заданных аргументов необходимо указывать , то символ оного отображения обозначает функцию, в иных случаях скорее говорят об операторе. Символы некоторых функций одного аргумента употребляются и со скобками и без. Многие элементарные функции , например
sin
x
{\displaystyle \sin x}
или
sin
(x)
{\displaystyle \sin(x)}
, но элементарные функции всегда называются функциями
. Функция может упоминаться в двух смыслах: как выражение её значения при заданных аргументах (пишется
f
(x)
,
f
(x
,
y)
{\displaystyle f(x),\ f(x,y)}
и т. п.) или собственно как функция.
В последнем случае ставится только символ функции, без скобок (хотя зачастую пишут как попало). Имеется много обозначений общепринятых функций, используемых в математических работах без дополнительных пояснений.
В противном случае функцию надо как-то описывать и в фундаментальной математике она принципиально не отличается от и точно также обозначается произвольной буквой.
Для обозначения функций-переменных наиболее популярна буква f , также часто применяются g и большинство греческих. Однако, однобуквенным обозначениям может быть, при желании, придан другой смысл. Например, буква i часто используется как обозначение индекса в контексте, где комплексные числа не применяются, а буква может быть использована как переменная в какой-нибудь комбинаторике .
Также, символы теории множеств (такие как «
⊂
{\displaystyle \subset }
» и «
⊃
{\displaystyle \supset }
») и исчисления высказываний (такие как «
∧
{\displaystyle \wedge }
» и «
∨
{\displaystyle \vee }
») могут быть использованы в другом смысле, обычно как отношение порядка и бинарные операции соответственно. Индексирование графически изображается (обычно нижними, иногда и верхними) и является, в некоторым смысле, способом расширить информационное наполнение переменной. Однако, употребляется оно в трёх несколько различных (хотя и перекрывающихся) смыслах. Можно иметь несколько разных переменных, обозначая их одной буквой, аналогично использованию . Например:
x
1
,
x
2
,
x
3
…
{\displaystyle x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ldots }
.
Обычно они связаны какой-то общностью, но вообще это не обязательно. Более того, в качестве «индексов» можно использовать не только числа, но и любые символы. Однако, когда в виде индекса пишется другая переменная и выражение, данная запись интерпретируется как «переменная с номером, определяемым значением индексного выражения». В линейной алгебре , тензорном анализе , дифференциальной геометрии с индексами (в виде переменных) записываются
«… всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на которые можно разделить отрезок, не имеет предела; поэтому бесконечность потенциальна, никогда не действительна, и какое бы число делений не задали, всегда потенциально можно поделить этот отрезок на еще большее число». Заметим, что Аристотель внес большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и актуальную, и вплотную подошел с этой стороны к основам математического анализа, также указав на пять источников представления о ней:
Далее бесконечность получила развитие в философии и теологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога не столько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и непостижимость. В философии это атрибут пространства и времени.
Современная физика вплотную подходит к отрицаемой Аристотелем актуальности бесконечности — то есть доступности в реальном мире, а не только в абстрактном. Например, есть понятие сингулярности, тесно связанное с чёрными дырами и теорией большого взрыва: это точка в пространстве—времени, в которой масса в бесконечно малом объёме сосредоточена с бесконечной плотностью. Уже есть солидные косвенные доказательства существования чёрных дыр, хотя теория большого взрыва находится ещё в стадии разработки.
Круг - символ Солнца, Луны. Один из самых распространённых символов. А также является символом бесконечности, вечности, совершенства.
Стихотворение - ромб.
Среди тьмы.
Глаз отдыхает.
Сумрак ночи живой.
Сердце жадно вздыхает,
Шепот звёзд долетает порой.
И лазурные чувства теснятся толпой.
Всё забылось в блеске росистом.
Поцелуем душистым!
Поскорее блесни!
Снова шепни,
Как тогда:
«Да!»
Конечно, с этими утверждениями можно и не соглашаться.
Однако никто не будет отрицать, что любое изображение вызывает у человека ассоциации. Но проблема в том, что одни предметы, сюжеты или графические элементы вызывают у всех людей (вернее, у многих) одинаковые ассоциации, а другие - совершенно различные.
Свойства треугольника как фигуры: прочность, неизменяемость.
Аксиома А1 стереометрии гласит: «Через 3 точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна!»
Чтобы проверить глубину понимания этого утверждения обычно задают задачу на засыпку: «На столе сидят три мухи, на трёх концах стола. В определённый момент они разлетаются по трём взаимно - перпендикулярным направлениям с одинаковой скоростью. Когда они снова окажутся в одной плоскости?». Ответом служит тот факт, что три точки всегда, в любой момент, определяют единственную плоскость. И именно 3 точки определяют треугольник, поэтому эта фигура в геометрии считается самой устойчивой и прочной.
Треугольник обычно относят к острой, «наступательной» фигуре, связанной с мужским началом. Равносторонний треугольник - мужской и солнечный знак, представляющий божество, огонь, жизнь, сердце, гору и восхождение, благополучие, гармонию и королевскую власть. Перевёрнутый треугольник - женский и лунный символ, олицетворяет воду, плодовитость, дождь, божественную милость.
Государственные символы США также содержат Шестиконечную Звезду в разных видах, в частности есть она на Большой печати США и на денежных знаках. Звезда Давида изображена на гербах немецких городов Шер и Гербштедт, а так же украинских Тернополя и Конотопа. Три шестиконечные звезды изображены на флаге Бурунди и олицетворяют национальный девиз: «Единство. Работа. Прогресс».
В христианстве шестиконечная звезда - символ Христа, а именно соединения во Христе божественной и человеческой природы. Именно поэтому этот знак вписан в Православный Крест.
Правительству”, находящемуся под полным контролем масонства.
Весьма часто сатанисты рисуют пентаграмму двумя концами вверх, чтобы туда было легко вписать дьявольскую голову “Пентаграмма Бафомета”. Портрет “Пламенного революционера” помещён внутри “Пентаграммы Бафомета”, являющейся центральной частью композиции проектируемого в 1932 году особого чекистского ордена “ Феликса Дзержинского” (далее проект был отклонён Сталиным, глубоко ненавидящим “Железного Феликса”).
Марксистские планы “всемирной пролетарской революции” имели явно масонское происхождение, ряд виднейших марксистов состоял в масонстве. К ним относился Л.Троцкий, именно он и предложил сделать масонскую пентаграмму опознавательной эмблемой большевизма.
Интернациональные масонские ложи тайно оказывали большевикам всестороннюю поддержку, особенно финансовую.
Масоны - соратники Творца, сподвижники общественного прогресса, против инерции, косности и невежества. Выдающиеся представители масонства - Карамзин Николай Михайлович, Суворов Александр Васильевич, Кутузов Михаил Илларионович, Пушкин Александр Сергеевич, Геббельс Иозеф.
Угольник, как правило, снизу - это человеческое познание мира. С точки зрения масонства, человек приходит в мир, что познать божественный замысел. А для познания необходим инструментарий. Самая эффективная наука в познание мира - математика.
Угольник - древнейший математический инструмент, известный с незапамятных времён. Градуировка угольника - уже большой шаг вперёд в математическом инструментарии познания. Человек познаёт мир с помощью наук математика из них первейшая, но не единственная.
Однако угольник деревянный, и он вмещает то, что может вместить. Его нельзя раздвинуть. Если ты попытаешься его раздвинуть, чтобы он вмещал больше, - ты поломаешь его.
Так люди, пытающиеся познать всю бесконечность божественного замысла, либо умирают, либо сходят с ума. «Знай, свои границы!» - вот, что сообщает Миру этот знак. Будь ты даже Эйнштейн, Ньютон, Сахаров - величайшие умы человечества! - понимай, что ты ограничен временем, в котором ты рождён; в познании мира, языком, объёмом мозга, самыми разными человеческими ограничениями, жизнью твоего тела. Поэтому - да, познавай, но понимай, что ты никогда до конца не познаешь!
А циркуль? Циркуль есть божественная премудрость. Циркулем можно описать круг, а если раздвинуть ему ножки, то будет прямая. А в символических системах круг и прямая - две противоположности. Прямая обозначает человека, его начало и конец (как тире между двумя датами - рождения и смерти). Круг - символ божества, поскольку является совершенной фигурой. Они друг другу противостоят - божественная и человеческая фигуры. Человек не совершенен. Бог - совершенен во всём.
Люди всегда познают истину, но всегда относительную истину. А абсолютная истина ведома только Богу.
Познавай всё больше, осознавая, что не сможешь познать истину до конца - какие глубины мы находим в обыкновенном циркуле с угольником! Кто бы мог подумать!
Вот в чём прелесть и очарование масонской символики, в её огромной интеллектуальной глубине.
Начиная с эпохи Средневековья циркуль, как инструмент для вычерчивания безупречных кругов стал символом геометрии, космического порядка и планомерных действий. В это время часто рисовали Бога Саваофа в образе творца и архитектора Вселенной с циркулем в руках (Уильям Блейк ‘‘Великий Архитектор’’, 1794 г).
Шестиугольная Звезда, означала Единство и Борьбу Противоположностей, борьбу Мужчины и Женщины, Добра и Зла, Света и Тьмы. Не может одно существовать без другого. Напряжение, которое возникает между этими противоположностями, создаёт мир в том виде, в каком мы его знаем.
Треугольник вверх означает - «Человек стремится к Богу». Треугольник вниз - «Божество нисходит к Человеку». В их соединении и существует наш мир, который и есть соединение Человеческого и Божественного. Буква G здесь означает, что Бог живёт в нашем мире. Он реально присутствует во всём, им сотворённом.
Решающей силой развития математической символики является не “свободная воля” математиков, а требования практики, математических исследований. Именно реальные математические исследования помогают выяснить, какая система знаков наилучшим образом отображает структуру количественных и качественных отношений, в силу чего могут быть эффективным орудием их дальнейшего применения в символах и эмблемах.Энциклопедичный YouTube
Субтитры
Общие сведения
Структура
Стандартизация
Элементы математических обозначений
Числа
Надстрочные и подстрочные знаки
Скобки, подобные им символы и разделители
Индексы
Переменные
Функции и операторы
Операторы и отношения (унарные и бинарные)
Функции
Предопределённые (зарезервированные) обозначения
Индексирование
Собственно номера
В тензорном анализе
