Задача 1 . Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3: 300 или х: 500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений ):

х=(3,3· 500): 300;

х=5,5. Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см .

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи. Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5: 100 или х: 98. Получаем пропорцию:

5: 100 = х: 98.

х=(5· 98): 100;

х=4,9 Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды .

Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8: 21 или х: 35. Получаем пропорцию:

16,8: 21=х: 35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35 ) и делим на известный средний член (21 ). Сократим дробь на 7 .

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10 , чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10) и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение.

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х: 100 или 9: 18. Составляем пропорцию:

х: 100 = 9: 18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9 ) и делим на известный крайний член (18 ). Сокращаем дробь.

Ответ : площадь всего поля 50 га.

Страница 1 из 1 1

В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.

В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.

Задача. Кроссовки стоили 3200 рублей. После повышения цены они стали стоить 4000 рублей. На сколько процентов была повышена цена на кроссовки?

Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.

Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x . Получим следующую конструкцию:

3200 — 100%
4000 — x %

Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:

Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

8 · x = 100 · 10;
8x = 1000.

Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x :

x = 1000: 8 = 125

Итак, мы получили итоговый процент x = 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.

На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:

∆ = 125 − 100 = 25

Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.

Задача B2 на проценты №2

Переходим ко второй задаче.

Задача. Рубашка стоила 1800 рублей. После снижения цены она стала стоить 1530 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку?

Переводим условие на математический язык. Исходная цена 1800 рублей — это 100%. А итоговая цена 1530 рублей — она нам известна, но неизвестно, сколько процентов она составляет от исходной величины. Поэтому обозначим ее за x . Получим следующую конструкцию:

1800 — 100%
1530 — x %

На основе полученной записи составляем пропорцию:

Давайте для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части данного уравнения на 100. Другими словами, у числителя левой и правой дроби мы зачеркнем два нуля. Получим:

Теперь снова воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

18 · x = 1530 · 1;
18x = 1530.

Осталось найти x :

x = 1530: 18 = (765 · 2) : (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85

Мы получили, что x = 85. Но, как и в прошлой задаче, это число само по себе не является ответом. Давайте вернемся к нашему условию. Теперь мы знаем, что новая цена, полученная после снижения, составляет 85% от старой. И для того, чтобы найти изменения, нужно из старой цены, т.е. 100%, вычесть новую цену, т.е. 85%. Получим:

∆ = 100 − 85 = 15

Это число и будет ответом: Обратите внимание: именно 15, а ни в коем случае не 85. Вот и все! Задача решена.

Внимательные ученики наверняка спросят: почему в первой задаче мы при нахождении разности вычитали из конечного числа начальное, а во второй задаче поступили в точности до наоборот: из исходных 100% вычли конечные 85%?

Давайте проясним этот момент. Формально, в математике изменением величины всегда называется разность между конечным значением и начальным. Другими словами, во второй задаче у нас должно было получиться не 15, а −15.

Однако этот минус ни в коем случае не должен попасть в ответ, потому что он уже учтен в условии исходной задачи. Там прямо сказано о снижении цены. А снижение цены на 15% — это то же самое, что повышение цены на −15%. Именно поэтому в решении и ответе задачи достаточно написать просто 15 — без всяких минусов.

Все, надеюсь, с этим моментом мы разобрались. На этом наш сегодняшний урок закончен. До новых встреч!

Пропорция - это математическое выражение, в котором два или более числа сравниваются друг с другом. В пропорциях могут сравниваться абсолютные величины и количества или части более крупного целого. Пропорции можно записывать и вычислять несколькими различными способами, однако в основе лежит один и тот же общий принцип.

Шаги

Часть 1

Что такое пропорция

Узнайте, для чего служат пропорции. Пропорции используются как в научных исследованиях, так и в повседневной жизни для сравнения различных величин и количеств. В простейшем случае сравниваются два числа, но пропорция может включать в себя любое количество величин. При сравнении двух или большего количества величин всегда можно применить пропорцию. Знание того, как величины соотносятся друг с другом, позволяет, к примеру, записать химические формулы или рецепты различных блюд. Пропорции пригодятся вам для самых разных целей.

1. Ознакомьтесь с тем, что означает пропорция. Как отмечено выше, пропорции позволяют определить соотношение между двумя и более величинами. Например, если для приготовления печенья необходимо 2 стакана муки и 1 стакан сахара, мы говорим, что между количеством муки и сахара существует пропорция (отношение) 2 к 1.

   • С помощью пропорций можно показать, как различные величины относятся друг к другу, даже если они не связаны между собой непосредственно (в отличие от рецепта). Например, если в классе пять девочек и десять мальчиков, отношение количества девочек к числу мальчиков составляет 5 к 10. В этом случае одно число не зависит от другого и не связано с ним непосредственно: пропорция может измениться, если кто-то покинет класс или наоборот, в него придут новые ученики. Пропорция просто позволяет сравнить две величины.

2. Обратите внимание на различные способы выражения пропорций. Пропорции можно записать словами или использовать математические символы.

   • В обыденной жизни пропорции чаще выражают словами (как приведено выше). Пропорции используются в самым разных областях, и если ваша профессия не связана с математикой или другой наукой, чаще всего вам будет попадаться именно такой способ записи пропорций.
   • Пропорции часто записывают посредством двоеточия. При сравнении двух чисел с помощью пропорции их можно записать через двоеточие, например 7:13. Если сравнивается более двух чисел, двоеточие ставится последовательно между каждыми двумя числами, например 10:2:23. В приведенном выше примере для класса мы сравниваем количество девочек и мальчиков, причем 5 девочек: 10 мальчиков. Таким образом, в этом случае пропорцию можно записать в виде 5:10.
   • Иногда при записи пропорций используют знак дроби. В нашем примере с классом отношение 5 девочек к 10 мальчикам запишется как 5/10. В этом случае не следует читать знак “делить” и необходимо помнить, что это не дробь, а соотношение двух разных чисел.

   Часть 2

   Операции с пропорциями

   1. Приведите пропорцию к простейшей форме. Пропорции можно упрощать, как и дроби, за счет сокращения входящих в них членов на общий делитель . Чтобы упростить пропорцию, поделите все входящие в нее числа на общие делители. Однако при этом не следует забывать о первоначальных величинах, которые привели к данной пропорции.

      • В приведенном выше примере с классом из 5 девочек и 10 мальчиков (5:10) обе стороны пропорции имеют общий делитель 5. Поделив обе величины на 5 (наибольший общий делитель), получаем отношение 1 девочка на 2 мальчика (то есть 1:2). Однако при использовании упрощенной пропорции следует помнить о первоначальных числах: в классе не 3 ученика, а 15. Сокращенная пропорция лишь показывает отношение между количеством девочек и мальчиков. На каждую девочку приходится два мальчика, но это отнюдь не означает, что в классе 1 девочка и 2 мальчика.
      • Некоторые пропорции не поддаются упрощениям. Например, отношение 3:56 нельзя сократить, так как входящие в пропорцию величины не имеют общего делителя: 3 является простым числом, а 56 не делится на 3.

   2. Для “масштабирования” пропорции можно умножать или делить. Пропорциями часто пользуются для того, чтобы увеличить или уменьшить числа в пропорции друг к другу. Умножение или деление всех входящих в пропорцию величин на одно и то же число сохраняет неизменным отношение между ними. Таким образом, пропорции можно умножать или делить на “масштабный” фактор.

      • Предположим, пекарю необходимо утроить количество выпекаемого печенья. Если мука и сахар берутся в пропорции 2 к 1 (2:1), для увеличения количества печенья в три раза данную пропорцию следует умножить на 3. В результате получится 6 стаканов муки на 3 стакана сахара (6:3).
      • Можно поступать и наоборот. Если пекарю необходимо уменьшить количество печенья в два раза, следует обе части пропорции поделить на 2 (или умножить на 1/2). В результате получится 1 стакан муки на полстакана (1/2, или 0,5 стакана) сахара.

   3. Научитесь по двум эквивалентным пропорциям находить неизвестную величину. Еще одной распространенной задачей, для решения которой широко используются пропорции, является нахождение неизвестной величины в одной из пропорций, если дана аналогичная ей вторая пропорция. Правило умножения дробей значительно упрощает эту задачу. Запишите каждую пропорцию в виде дроби, затем приравняйте эти дроби друг другу и найдите искомую величину.

      • Предположим, у нас есть небольшая группа учеников из 2 мальчиков и 5 девочек. Если мы хотим сохранить соотношение между мальчиками и девочками, сколько мальчиков должно быть в классе, в который входит 20 девочек? Для начала составим обе пропорции, одна из которых содержит неизвестную величину: 2 мальчика: 5 девочек = x мальчиков: 20 девочек. Если мы запишем пропорции в виде дробей, у нас получится 2/5 и x/20. После умножения обеих частей равенства на знаменатели получаем уравнение 5x=40; делим 40 на 5 и в итоге находим x=8.

   Часть 3

   Выявление ошибок

   1. При операциях с пропорциями избегайте сложения и вычитания. Многие задачи с пропорциями звучат подобно следующей: “Для приготовления блюда требуется 4 картофелины и 5 морковок. Если вы хотите использовать 8 картофелин, сколько морковок вам понадобится?” Многие допускают ошибку и пытаются просто сложить соответствующие величины. Однако для сохранения прежней пропорции следует умножать, а не складывать. Вот ошибочное и правильное решение данной задачи:

      • Неправильный метод: “8 - 4 = 4, то есть в рецепте добавилось 4 картофелины. Значит, необходимо взять прежние 5 морковок и прибавить к ним 4, чтобы... что-то не то! С пропорциями действуют по-другому. Попробуем еще раз“.
      • Правильный метод: “8/4 = 2, то есть количество картофелин выросло в 2 раза. Это значит, что и число морковок следует умножить на 2. 5 x 2 = 10, то есть в новом рецепте необходимо использовать 10 морковок“.

   2. Переведите все значения в одинаковые единицы измерения. Иногда проблема возникает из-за того, что величины имеют разные единицы измерения. Прежде чем записывать пропорцию, переведите все величины в одинаковые единицы измерения. Например:

      • У дракона есть 500 граммов золота и 10 килограммов серебра. Каково соотношение золота к серебру в драконьих запасах?
      • Граммы и килограммы являются различными единицами измерения, поэтому их следует унифицировать. 1 килограмм = 1 000 граммов, то есть 10 килограммов = 10 килограммов x 1 000 граммов/1 килограмм = 10 x 1 000 граммов = 10 000 граммов.
      • Итак, дракон имеет 500 граммов золота и 10 000 граммов серебра.
      • Отношение массы золота к массе серебра составляет 500 граммов золота/10 000 граммов серебра = 5/100 = 1/20.

   3. Записывайте в решении задачи единицы измерения. В задачах с пропорциями намного легче найти ошибку в том случае, если записывать после каждой величины ее единицы измерения. Помните о том, что если в числителе и знаменателе стоят одинаковые единицы измерения, они сокращаются. После всех возможных сокращений в ответе должны получиться правильные единицы измерения.

      • Например: даны 6 коробок, и в каждых трех коробках находится 9 шариков; сколько всего шариков?
      • Неправильный метод: 6 коробок х 3 коробки/9 шариков = ... Хм, ничего не сокращается, и в ответе выходит “коробки x коробки / шарики“. Это не имеет смысла.
      • Правильный метод: 6 коробок х 9 шариков/3 коробки = 6 коробок х 3 шарика/1 коробка = 6 х 3 шарика/1 = 18 шариков.

Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.

10 яблок = 100%;

x яблок = 75%.

Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.

Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.

Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.

5 литров - 150 рублей;

30 литров - х рублей;

Решаем эту пропорцию:

x = 900 рублей.

Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X — 95%

Нужно составить пропорцию и найти x . Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Другими словами:

x = 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x = 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x — 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x · 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x :

x = 45 000 · 8: 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x = 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно . А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т.е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.