Рассмотрим ту же задачу, что и в предыдущем пункте 3.4, но только при условии, что объемы выборок и Невелики (меньше 30). В этом случае замена генеральных дисперсий и , входящих в (3.15), на исправленные выборочные дисперсии и может привести к большой ошибке в величине , а следовательно, к большой ошибке в установлении области принятия гипотезы Н0 . Однако если есть уверенность в том, что неизвестные генеральные и Одинаковы (например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке), то можно, используя распределение Стьюдента, и в этом случае построить критерий проверки гипотезы Н0 X и Y . Для этого вводят случайную величину

, (3.16)

(3.17)

Среднее из исправленных выборочных дисперсий и , служащее точечной оценкой обеих одинаковых неизвестных генеральных дисперсий и . Как оказывается (см. , стр.180), при справедливости нулевой гипотезы Н0 случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с степенями свободы независимо от величин и объемов выборок. Если гипотеза Н0 верна, то разница должна быть невелика. То есть экспериментальное значение T Эксп. величины Т должно быть невелико. А именно, должно заключаться в некоторых границах . Выход же его за эти границы мы будем считать опровержением гипотезы Н0 , и допускать это будем с вероятностью, равной задаваемому уровню значимости α .

Таким образом, областью принятия гипотезы Н0 будет являться некоторый интервал , в который значения случайной величины Т должны попадать с вероятностью 1- α :

Величину , определяемую равенством (3.18), для различных уровней значимости α и различных числах K степеней свободы величины Т можно найти в таблице критических точек распределения Стьюдента (таблице 4 Приложения). Тем самым будет найден интервал принятия гипотезы Н0 . И если экспериментальное значение T Эксп величины Т попадет в этот интервал – гипотезу Н0 принимают. Не попадает - не принимают.

Примечание 1. Если нет оснований считать равными генеральные дисперсии и величин Х и Y , то и в этом случае для проверки гипотезы Н0 о равенстве математических ожиданий величин Х и Y допускается использование изложенного выше критерия Стьюдента. Только теперь у величины Т число K степеней свободы следует считать равным не , а равным (см. )

(3.19)

Если исправленные выборочные дисперсии и различаются существенно, то второе слагаемое в последней скобке (3.19) невелико по сравнению с 0,5, так что выражение (3.19) по сравнению с выражением уменьшает число степеней свободы случайной величины Т почти вдвое. А это ведет к существенному расширению интервала принятия гипотезы Н0 и, соответственно, к существенному сужению критической области непринятия этой гипотезы. И это вполне справедливо, так как степень разброса возможных значений разности Будет, в основном, определяться разбросом значений той из величин Х и Y , которая имеет большую дисперсию. То есть информация от выборки с меньшей дисперсией как бы пропадает, что и ведет к большей неопределенности в выводах о гипотезе Н0 .

Пример 4. По приведенным в таблице данным сравнить средние удои коров, получавших различные рационы. При проверке нулевой гипотезы Н0 о равенстве средних удоев принять уровень значимости α =0,05.

	Поголовье коров, получавших рацион (Голов )	Среднесуточный удой в пересчете на базисную жирность (Кг/на голову )	Среднеквадратическое отклонение суточной молочной продуктивности коров (Кг/на голову )

. Так как приведенные табличные данные получены на основании малых выборок объемами =10 и =8, то для сравнения математических ожиданий среднесуточных удоев коров, получавших тот и другой кормовые рационы, мы должны использовать теорию, изложенную в этом пункте. Для этого в первую очередь выясним, позволяют ли найденные исправленные выборочные дисперсии =(3,8)2=14,44 и =(4,2)2=17,64 считать равными генеральные дисперсии и . Для этого используем критерий Фишера-Снедекора (см. пункт 3.3). Имеем:

По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора для α =0,05; K 1 =8-1=7 и K 2 =10-1=9 находим

И так как , то у нас нет оснований при данном уровне значимости α =0,05 отвергать гипотезу H 0 о равенстве генеральных дисперсий и .

Теперь, в соответствии с (3.17) и (3.16), подсчитаем экспериментальное значение величины Т :

Далее, по формуле находим число K степеней свободы величины Т : K =10+8-2=16. После этого для п0+8-2=16. ооды (3.16) подсчитаем экспериментальное значение величины Т: Ы кормовые рационы, мы должны испол α =0,05 и K =16 по таблице критических точек распределения Стьюдента (таблица 4 Приложения) находим : =2,12. Таким образом, интервалом принятия гипотезы H 0 о равенстве средних удоев коров, получавших рационы № 1 и № 2, является интервал =(-2,12; 2,12). И так как = - 0,79 попадает в этот интервал, то у нас нет оснований отвергать гипотезу H 0 . То есть мы вправе считать, что различие кормовых рационов не сказывается на среднесуточном удое коров.

Примечание 2. В рассмотренных выше пунктах 3.4 и 3.5 рассматривалась нулевая гипотеза H 0 о равенстве М(Х)=М(Y ) при альтернативной гипотезе Н1 об их неравенстве: М(Х)≠М(Y ). Но альтернативная гипотеза Н1 может быть и другой, например, М(Y )>М(X ). На практике этот случай будет иметь место, когда вводится некоторое усовершенствование (положительный фактор), который позволяет рассчитывать на увеличение в среднем значений нормально распределенной случайной величины Y по сравнению со значениями нормально распределенной величины Х . Например, в рацион коров введена новая кормовая добавка, позволяющая рассчитывать на увеличение среднего удоя коров; под культуру внесена дополнительная подкормка, позволяющая рассчитывать на увеличение средней урожайности культуры, и т. д. И хотелось бы выяснить, существенен (значим) или незначим этот введенный фактор. Тогда в случае больших объемов и Выборок (см. пункт 3.4) в качестве критерия справедливости гипотезы H 0 рассматривают нормально распределенную случайную величину

При заданном уровне значимости α Гипотеза H 0 о равенстве М(Х) и М(Y ) будет отвергнута, если экспериментальное значение величины Будет положительным и бόльшим , где

Так как при справедливости гипотезы H 0 М(Z )= 0, то

Сравнение средних двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречаются случай, когда средний результат одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснять обнаруженное расхождение средних неизбежными случайными ошибками эксперимента или оно вызвано некоторыми закономерностями. В промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах, в финансовом анализе - при сопоставлении уровня доходности различных активов и т.д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними и и известными дисперсиями и. Необходимо проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, т.е. : =. Для проверки гипотезы из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов и, по которым найдены средние арифметические и и выборочные дисперсии и.При достаточном больших объемов выборки, выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения, соответственно и.В случае справедливости гипотезы разность - имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией.

Поэтому при выполнении гипотезы статистика

имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1).

Проверка гипотез о числовых значениях параметров

Гипотезы о числовых значениях встречаются в различных задачах. Пусть - значения некоторого параметра изделий, производящихся станком автоматической линии, и пусть - заданное номинальное значение этого параметра. Каждое отдельное значение может, естественно, как-то отклоняться от заданного номинала. Очевидно, для того, чтобы проверить правильность настройки этого станка, надо убедиться в том, что среднее значение параметра у производимых на нем изделий будет соответствовать номиналу, т.е. проверить гипотезу против альтернативной, или, или

При произвольной настройке станка может возникнуть необходимость проверки гипотезы о том, что точность изготовления изделий по данному параметру, задаваемая дисперсий, равна заданной величине, т.е. или, например, того, что доля бракованных изделий, производимых станком, равна заданной величине р 0 , т.е. и т.д.

Аналогичные задачи могу возникнуть, например, в финансовом анализе, когда по данным выборки надо установить, можно ли считать доходность актива определенного вида или портфеля ценных бумаг, либо ее риск равным заданному числу; или по результатам выборочной аудиторской проверки однотипных документов нужно убедиться, можно ли считать процент допущенных ошибок равным номиналу, и т.п.

В общем случае гипотезы подобного типа имеют вид, где - некоторый параметр исследуемого распределения, а - область его конкретных значений, состоящая в частном случае из одного значения.

Проверка статистических гипотез: гипотеза о равенстве средних для двух выборки

Работа носит вспомогательный характер, должна служить фрагментом других лабораторных работ.

Ни одно грамотное социологическое исследование не может обойтись без выдвижения гипотез. По большому счету можно вообще сказать, что главная его цель - это опровержение или подтверждение какого-либо предположения исследователя о социальной реальности на основе собранных им эмпирических данных. Мы выдвигаем гипотезу, собираем данные и делаем на основе статистического материала вывод. Но именно эта цепочка гипотеза-данные-вывод и содержит в себе массу вопросов, с которыми сталкивается практически любой начинающий исследователь. Основной из таких вопросов заключается в следующем: как перевести выдвинутую нами гипотезу на математический язык для того, чтобы ее потом можно было соотнести со статистическим массивом и, обработав с помощью методов математической статистики, опровергнуть или подтвердить? Здесь мы постараемся ответить на этот вопрос на примере проверки гипотез о равенстве средних.

Проверка статистических гипотез о равенстве средних

Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты в случайной выборке.

Следует иметь в виду, что проверка статистической гипотезы имеет вероятностный характер. Также как мы никогда не можем на 100% быть уверены в том, что какой-либо выборочный параметр совпадает с параметром генеральной совокупности, мы никогда не можем абсолютно точно сказать, верна или ложна выдвинутая нами гипотеза.

Для того чтобы проверить статистическую гипотезу необходимо следующее:

1. Преобразовать содержательную гипотезу в статистическую: сформулировать нулевую и альтернативную статистические гипотезы.

2. Определить зависимые или независимые у нас выборки.

3. Определить объем выборок.

4. Выбрать критерий.

5. Выбрать уровень значимости, контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода, и определить область допустимых значений.

7. Отвергнуть или принять нулевую гипотезу.

Теперь рассмотрим каждый из шести пунктов более подробно.

Формулировка гипотезы

В статистических задачах часто бывает нужно сравнить средние двух разных выборок . Например, нас может интересовать разница средних зарплат мужчин и женщин, средних возрастов неких групп <А> и <В> и т.д. Или же, сформировав две независимые экспериментальные группы, мы можем сравнивать их средние с целью проверить, насколько различается, скажем, воздействие двух разных лекарств на кровяное давление или насколько размер группы влияет на отметки студентов. Иногда бывает так, что мы разбиваем совокупность на две группы попарно, то есть, имеем дело с близнецами, супружескими парами или одним и тем же человеком до и после какого-либо эксперимента и т.д. Чтобы стало более ясно, рассмотрим характерные примеры, где применяются различные критерии о равенстве средних.

Пример №1. Фирма разработала два разных препарата, понижающих давление (назовем их препараты Х и Y ) и хочет узнать различается или нет воздействие данных лекарств на больных, страдающих гипертонией. Из 50 человек с соответствующим заболеванием случайно выбираются 20 и случайно эти 20делятся на две группы по 10 человек. Первая группа в течение недели пользуется препаратом Х , вторая - препаратом Y . Затем у всех больных измеряется давление. Выдвигаемая содержательная гипотеза: препараты Х и Y по-разному влияют на кровяное давление больных .

Пример №2. Исследователь хочет узнать, как влияет продолжительность лекции на успеваемость студентов. Допустим, он избрал следующий путь: из 200 студентов случайно выбрал 50 человек и в течение месяца наблюдал за их успеваемостью. Далее он увеличил продолжительность лекций на 10 минут и в течение следующего месяца смотрел на успеваемость все тех же50 студентов. Потом он сравнил результаты каждого студента до и после увеличения продолжительности лекции. Выдвигаемая содержательная гипотеза: продолжительность лекции влияет на успеваемость студента .

Пример №3. Из 200 студентов случайно были выбраны 80 человек, и эти 80 человек разделили на две группы по 40. Одной группе задавали вопрос без установки: <Сколько вы готовы заплатить за натуральный йогурт?>, а второй группе задавали вопрос с установкой: <Сколько вы готовы заплатить за натуральный йогурт, если известно, что люди, потребляющие йогуртовые культуры, страдают на 10-15% меньше от заболеваний желудка?> Исследователь предполагал, что положительная информация о продукте, содержащаяся во втором вопросе, повлияет на респондента, и люди, отвечающие на вопрос с установкой, будут готовы заплатить за йогурт больше, нежели те, которым был предложен вопрос без установки. Выдвигаемая содержательная гипотеза: постановка вопроса влияет на ответ респондента .

Перед нами три примера, каждый из которых демонстрирует формулировку содержательной гипотезы. Теперь преобразуем наши содержательные гипотезы в статистические, но для начала немного скажем о статистических гипотезах в целом.

Наиболее частый подход к формулировке статистических гипотез - это выдвижение двух двусторонних гипотез :

Как видно из формулы, нулевая гипотеза говорит о том, что какой-либо параметр выборки или, скажем, разница между параметрами двух выборок равна некоему числу а . Альтернативная гипотеза утверждает обратное: интересующий нас параметр не равен а . Таким образом, данные две гипотезы содержат в себе все возможные варианты исходов.

Также возможна формулировка односторонних гипотез :

Иногда такие гипотезы оказываются более осмысленными. Обычно они имеют место в том случае, когда вероятность того, что наш параметр может оказаться больше (или меньше) а равна нулю, то есть такое невозможно.

Теперь сформулируем нулевую и альтернативную статистические гипотезы для наших трех примеров.

Таблица №1.

	Пример №1	Пример №2	Пример №3
	Препараты Х и Y по-разному влияют на кровяное давление больных	Продолжительность лекции влияет на успеваемость студентов	Постановка вопроса влияет на ответ респондента
Задача исследователя		4.Найти среднее арифметическое разностей для всех студентов, обозначаемое
Нулевая гипотеза
Смысл нулевой гипотезы	исредние генеральных совокупностей, из которых взяты выборки со среднимии. Нулевая гипотеза говорит о том, что влияние обоих лекарств на давление в среднем незначительно, и если даже выборочные средние не равны, то это объясняется лишь погрешностью выборки или иными не зависящими от нас причинами	Среднее разностей для студентов в генеральной совокупности. Нулевая гипотеза говорит о том, что на самом деле нет разницы между средним баллом студента до и после увеличения продолжительности лекции, и если даже выборочное среднее разностей отлично от нуля, то это объясняется лишь погрешностью выборки или иными не зависящими от нас причинами	Посколькусовпадает св примере №1, то объяснения можно найти в первой колонке (см. пример 1)
Альтернативная гипотеза
Вывод относительно содержательной гипотезы	Если мы принимаем нулевую гипотезу - препараты оказывают одинаковое влияние (разницы между средними нет), то мы отвергаем содержательную гипотезу, в противном случае - мы принимаем содержательную гипотезу	Если мы принимаем нулевую гипотезу - продолжительность лекции не влияет на успеваемость, то мы отвергаем содержательную гипотезу и наоборот	Если мы принимаем нулевую гипотезу - вопрос не влияет на выбор респондента, то мы отвергаем содержательную гипотезу и наоборот.

Один из самых простых случаев проверки статистической гипотезы заключается в проверке равенства между средним генеральной совокупности и некоторым заданным значением. Заданное значение представляет собой некоторое фиксированное число µ 0 , полученное не из выборочных данных. Гипотезы имеют следующий вид.

Н 0: µ = µ 0 – нулевая гипотеза утверждает, что неизвестное среднее значение генеральной совокупности µ в точности равно заданному значению µ 0 .

Н 1: µ µ 0 - альтернативная гипотеза утверждает, что неизвестное среднее значение генеральной совокупности µ не равно заданному значению µ 0 .

Обратите внимание, что фактически здесь фигурируют три различных числа, имеющих отношение к среднему:

§ µ - неизвестное среднее генеральной совокупности, которое вас интересует;

§ µ 0 - заданное значение, в отношении которого проверяют гипотезу;

§ - известное выборочное среднее, которое используют для вынесения решения о принятии гипотезы. Из указанных трех чисел только это значение является случайной величиной, так как оно рассчитано из данных выборки. Заметим, что является оценкой и, следовательно, представляет µ.

Проверка гипотезы заключается в сравнении двух известных величин и µ 0 . Если эти значения отличаются сильнее, чем можно было бы ожидать исходя из случайности, то нулевую гипотезу µ = µ 0 отклоняют, так как предоставляет информацию о неизвестном среднем µ. Если значения и µ 0 достаточно близки, то нулевую гипотезу µ = µ 0 принимают. Но что означает “значения близки”? Где находится необходимая граница? Близость должна определяться на основе значения , поскольку эта стандартная ошибка определяет степень случайности . Таким образом, если и µ 0 отстоят друг от друга на расстоянии достаточного количества стандартных ошибок, то это является убедительным доказательством того, что µ не равно µ 0 .

Существуют два различных метода проверки гипотезы и получения результата. Первый метод использует доверительные интервалы, о которых шла речь в предыдущей главе. Это более простой метод, потому что (а) вы уже знаете, как строить и интерпретировать доверительный интервал, и (б) доверительный интервал интерпретируется непосредственно, поскольку он выражен в тех же единицах измерения, что и данные (например, в долларах, количестве людей, количестве поломок). Второй метод (основанный на t-статистике ) является более традиционным, но интуитивно менее понятным, поскольку заключается в том, чтобы вычислить показатель, измеренный не в тех же единицах, что и данные, сравнить полученное значение с соответствующим критическим значением из t- таблицы и затем сделать вывод.

Проверка равенства среднего определенному значению.

Выборки извлечены из совокупности, имеющей нормальное распределение, данные независимы.

Критериальное значение вычисляется по формуле:

где N - размер выборки;

S 2 - эмпирическая дисперсия выборки;

А - предполагаемая величина среднего значения;

X- среднее значение.

Число степеней свободы для t-критерия V = n-1.

Нулевая гипотеза

Н 0: X = А против Н А: X≠А. Нулевая гипотеза о равенстве средних отвергается, если по абсолютной величине критериальное значение больше верхней α/2 % точки t-распределения взятого с V степенями свободы, то есть при │t│> t vα/2 .

Н 0: Х< А против Н А: X > А. Нулевая гипотеза отвергается, если критериальное значение больше верхней α% точки t-распределения взятого с V степенями свободы, то есть при │t│> t vα .

Н 0: Х>А против H А: X < А. Нулевая гипотеза отвергается, если критериальное значение меньше нижней α% точки t-распределения, взятого с V степенями свободы.

Критерий устойчив при малых отклонениях от нормального распределения.

Пример

Рассмотрим пример, представленный на рис. 5.10. Допустим, что нам необходимо проверить гипотезу о равенстве среднего для выборки (ячейки 123:130) величине 0,012.

Сначала находим среднее выборки (=СРЗНАЧ(123:130) в I31) и дисперсию (=ДИСП(I23:I30) в I32). После этого рассчитываем критериальное (=(131-0,012)*КОРЕНЬ(133)/132) и критическое (=СТЬЮДРАСПОБР(0,025;133-1)) значения. Поскольку критериальное значение (24,64) больше критического (2,84), то гипотеза о равенстве среднего 0,012 отвергается.

Рисунок 5.10 Сравнение среднего значения с константой

1. проверить гипотезы о средних и дисперсиях с помощью параметрических критериев Фишера и Кохрена (таблица 5.4);

2. проверить гипотезу о равенстве средних при неравных дисперсиях выборок (для этого в одной из выборок своего варианта убрать 1 или 2 значения) (таблица 5.4);

3. проверить гипотезу о равенстве среднего заданному значению А (таблица 5.5) и данные из 1-го столбца по варианту.

Таблица 5.4

Варианты заданий

Данные эксперимента
Вариант
2,3	2,6			2,2	2,1			2,5	2,6
1,20	1,42	17,3	23,5	2,37	2,85	35,2	26,1	2,1	2,6
5,63	5,62	26,1	27,0	5,67	2,67	35,9	25,8	5,1	5,63
2,34	2,37	23,9	23,3	2,35	2,34	33,6	23,8	2,34	2,38
7,71	7,90	28,0	25,2	2,59	2,58	35,7	26,0	7,63	7,6,1
1,2	1,6			1,7	2,6			1,9	2,8
1,13	1,15	21,6	21,2	2,13	2,16	31,7		1,12	1,12
1,45	1,47	24,7	24,8	2,45	2,47	34,8	24,5	1,49	1,45
3,57	3,59	25,9	25,7	2,55	2,59	36,0	25,7	3,58	3,58
3,3	3,6			2,5	2,4			3,4	3,5
Данные эксперимента
Вариант
7,3	7,6			12,2	12,1			3,5	4,6
6,20	6,42	217,3	230,5	12,37	12,85	75,2	86,1	3,1	4,6
7,63	5,62	264,1	278,0	15,67	14,67	75,9	75,8	5,1	5,63
6,34	5,37	233,9	236,3	12,35	12,34	73,6	73,8	3,34	4,38
7,71	7,90	281,0	255,2	12,59	12,58	85,7	86,0	3,63	4,6,1
6,2	6,6			11,7	12,6			3,9	4,8
4,13	4,15	251,6	261,2	12,13	12,16	71,7		5,12	4,12
5,45	6,47	244,7	247,8	12,45	12,47	74,8	84,5	3,49	4,45
5,57	5,59	250,9	255,7	12,55	12,59	86,0	85,7	3,58	3,58
5,3	5,6			12,5	12,4			3,4	3,5

Таблица 5.5

Значение А

Варианты
2,2		2,2		2,2	6,5		12,2		3,5

В качестве исходных данных в задании можете использовать свои экспериментальные данные.

Отчет должен содержать расчеты статистических характеристик.

Контрольные вопросы:

1. Какие статистические задачи решаются при исследовании технологических процессов производства пищевой промышленности?

2. Каким образом сравниваются статистические характеристики случайных величин?

3. Уровень значимости и доверительная вероятность при достоверности оценки экспериментальных данных.

4. Как осуществляется проверка статистических гипотез с помощью критериев согласия?

5. От чего зависит мощность критерия согласия для анализа экспериментальных выборок?

6. Каким образом осуществояется подбор критерия для решения задач анализа технологических процессов производства пищевых продуктов?

7. Каким образом осуществляется классификация критериев согласия для анализа выборок результатов исследований технологических процессов производства пищевых продуктов?

8. Какие требования предъявляются к выборкам резльтатов исследований технологических процессов производства пищевых продуктов?