(опять же согласно теореме 5.5) 48!(12!)4 способами. Следовательно, искомая вероятность равна

24 48!(13!) 4 = 2448!13 4 = 0,105... .

(12!)4 52! 52!

Любопытно, что при игре «в дурака» такая вероятность оказывается существенно меньше. Действительно, найдем вероятность того, что при раздачечетыремигрокампо6картизколодыв36карт,каждыйигрокполучит ровно по одному тузу. Поскольку раздается 24 карты из 36, то нам прежде всего надо знать число способов, которыми можно выбрать 24 карты из 36. Это число равно C 36 24 = 36!(24!12!) .

Далее, число способов, которыми можно разбить 24 карты на 4 группы по 6 карт согласно теореме 5.5 равно 24! (6!)4 . Таким образом, общее число способов, которыми можно раздать четырем игрокам по 6 карт из колоды в 36

карт, равно C 36 24 (6!) 24! 4 . Четыре туза могут быть распределены между четырьмя

игроками 4!= 24 способами. Число способов, которыми можно раздать четыремигрокампо5картизоставшихся32 карт, подсчитываетсяаналогично

предыдущему, и будет равно C 32 20 (5!) 20! 4 . Таким образом, искомая вероятность равна

24 C 20

32!12!64

(5!)4

≈ 0,022 .

(6!)4

§6. ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ПУАССОНА

6.1. Схема независимых испытаний Бернулли

На практике часто встречается ситуация, хорошо иллюстрирующаяся

следующими примерами.

Некто несколько раз подряд бросает монету. Спрашивается, можно ли заранее оценить вероятность того, что в результате n бросаний герб выпадет ровноm раз? Или:n раз бросается игральная кость; требуется оценить вероятность того, что при этомm раз выпадет 5 или 6 очков.

Очевидно, что без дополнительных предположений относительно условий проведения эксперимента однозначно ответить на эти вопросы нельзя. Так, результат, несомненно, должен зависеть от того, является ли монета (или кость) правильной, т.е. однородной и симметричной. С другой стороны, возможно ли ответить на вопрос: сколько раз надо бросить монету (или кость), чтобы с достаточной степенью уверенности можно было утверждать, что данная монета (или кость) не является правильной ? Умение отвечать на такой вопрос весьма важно, например, для игорных заведений.

Естественно предположить, что если монета правильная, то вероятность появления герба при каждом бросании равна ½ . Аналогично, в случае правильной кости вероятность появления 5 или 6 очков при каждом бросании равна⅓ . Иными словами, если испытаний достаточно много, то герб при бросании монеты будет появляться примерно в половине исходов, а 5 или 6 очков на кости – в одной трети случаев.

Однако всеэти рассуждения основаны на интуиции. Мы жепостараемся в этом параграфе описать теоретическую модель, которая позволит нам вполне обоснованно ответить на все сформулированные выше вопросы. Модель, о которой пойдет речь ниже, впервые была предложена швейцарским математиком Якобом Бернулли (1654 1705), и получила его имя37 .

Схема независимых испытаний Бернулли. Будем производить последовательные испытания, в результате каждого из которых может

37 Основные результаты Я. Бернулли по теории вероятностей были опубликованы лишь после его смерти в 1713 г. Брат Я. Бернулли – Иоганн (1667-1748) и сын – Даниил (1700-1782) являлись членами Петербургской Императорской Академии Наук, и внесли большой вклад в развитие вариационного исчисления и теоретической механики.

наступить или не наступить некоторое событие А . Пусть при каждом отдельном испытании вероятность наступления событияА одна и та же и не зависит от наступления или ненаступления этого события при других испытаниях; обозначим эту вероятность черезp . Обычно говорят, чтоp – это вероятность «успеха»; соответственно величинаq = 1− p называется вероятностью «неудачи». Понятно, что эта терминология весьма условна.

Такая модель называется схемой (независимых) испытаний Бернулли.

Зададимся следующим вопросом: какова вероятность того, что при проведении n испытаний «успех» (т.е. появления событияА ) будет наблюдаться ровно вm случаях?38

Эта задача решается следующим образом. Представим себе все возможные комбинации из последовательных результатов наших испытаний. Так, например, в случае 3 испытаний возможны восемь таких комбинаций39 , а именно:

AAA; AAA; AAA; AAA;

AAA; AAA; AAA; AAA.

Выделим те комбинации, в которых событие А наступает ровноm раз (и, следовательно, не наступает ровноn ─ m раз); назовем для краткости такие комбинациидопустимыми . Определим вероятность появления каждой отдельной допустимой комбинации. Для этого заметим, что появление допустимой комбинации представляет собой произведениеn событий, а именно:m наступлений событияА при одних испытаниях иn ─ m его ненаступлений при других испытаниях. Вероятность наступления событияА при каждом отдельном испытании по условию равнаp ; вероятность его ненаступления равна, следовательно,q = 1− p . По условию наступления или ненаступления событияА при различных испытаниях представляют собой независимые события; следовательно, вероятность их произведения равна

38 Здесь естественно считать, что m = 0, 1, 2, …,n .

39 Здесь A означает событие, противоположное событиюА , т.е. «неудачу».

произведению их вероятностей, т. е. равна величине p m q n − m = p m (1− p )n − m . Заметимтеперь, чтособытие, состоящеевнаступлениисобытияА ровно

при m испытаниях, равносильно появлению хотя бы одной из допустимых комбинаций. Так как различные допустимые комбинации представляют собой несовместимые события, искомая вероятность появления событияА ровно вm испытаниях равна сумме вероятностей появления допустимых комбинаций. Поскольку вероятности появления допустимых комбинаций одинаковы, то вероятность их суммы равна величинеKp m q n − m , гдеK – число всех допустимых комбинаций. Это число равно, очевидно, числу различных способов, которыми можно выделитьm мест из общего числаn мест, иными

	словами равно		числу сочетаний из n элементов поm , т.е. равно
	C n m= C n n− m=
		m!(n− m)!

Таким образом, вероятность появления ровно m «успехов» в последовательностиn независимых испытаний Бернулли равна

распределением Бернулли , определяется формулой (6.1) и дает значение вероятностиm «успехов» вn испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха»p . При фиксированныхn иp она является функцией целочисленного неотрицательного аргументаm .

Испытания Бернулли – теоретическая схема, и только практика может показать, годна ли схема для описания данного физического опыта. Однако такая ситуация, как мы видели ранее, вполне естественна при построении вероятностных моделей. При всем этом во многих практических ситуациях использование схемы Бернулли оказывается вполне оправданным.

Приведем следующий поучительный пример . Американский ученый Уэлдон провел 26 306 серий испытаний по 12 бросаний одной и той же

игральной кости в каждой серии, вычисляя частоту появления события («успеха»), состоящего в выпадении на кости 5 или 6 очков. Результаты его опытов приведены в табл. 6.1.

Если кость считать правильной, то вероятность «успеха» должна быть равна ⅓ . Соответствующие теоретические значения функцииb (k ;12,13) даны во второй колонке. Эксперимент показал, однако, довольно существенное отличие от теоретических значений приp =⅓ , но хорошее согласование с теоретическими значениями функцииb (k ;12, 0.3377) дляp = 0.3377 . Этот результат естественно интерпретировать в том смысле, что игральная кость, использованная в эксперименте,не является правильной .

Это замечание имеет весьма важные практические приложения в вопросах, связанных с контролем за выполнением определенных нормативов (например, в производстве). В связи с этим рассмотрим следующий пример.

Таблица 6.1

		Экспериментальная

Задача о снабжении энергией . Допустим, чтоn рабочих время от

Производится n опытов по схеме Бернулли с вероятностью успеха p . Пусть X - число успехов. Случайная величина X имеет область значений {0,1,2,...,n}. Вероятности этих значений можно найти по формуле: , где C m n - число сочетаний из n по m .
Ряд распределения имеет вид:

x	0	1	...	m	n
p	(1-p) n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Этот закон распределения называется биноминальным .

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для построения биноминальным ряда распределения и вычисления всех характеристик ряда: математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Отчет с решением оформляется в формате Word (пример).

Число испытаний: n = , Вероятность p =
При малой вероятности p и большом количестве n (np формула Пуассона.

Видеоинструкция

Схема испытаний Бернулли

Числовые характеристики случайной величины, распределенной по биноминальному закону

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону.
M[X]=np

Дисперсия случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону.
D[X]=npq

Пример №1 . Изделие может оказаться дефектным с вероятностью р = 0.3 каждое. Из партии выбирают три изделия. Х – число дефектных деталей среди отобранных. Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей): а) ряд распределения Х; б) функцию распределения F(x) .
Решение . Случайная величина X имеет область значений {0,1,2,3}.
Найдем ряд распределения X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44

P 3 (3) = p n = 0.3 3 = 0.027

x i	0	1	2	3
p i	0.34	0.44	0.19	0.027

Математическое ожидание находим по формуле M[X]= np = 3*0.3 = 0.9
Проверка: m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9
Дисперсию находим по формуле D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63
Проверка: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 0 2 *0.34 + 1 2 *0.44 + 2 2 *0.19 + 3 2 *0.027 - 0.9 2 = 0.63
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .

Функция распределения F(X) .
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1

1. Вероятность появления события в одном испытании равна 0.6 . Производится 5 испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений события.
2. Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий при четырех выстрелах, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8 .
3. Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений герба. Примечание: здесь вероятность появление герба равна p = 1/2 (т.к. у монеты две стороны).

Пример №2 . Вероятность появления события в отдельном испытании равна 0.6 . Применяя теорему Бернулли, определите число независимых испытаний, начиная с которого вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше 0.1 , больше 0.97 . (Ответ: 801)

Пример №3 . Студенты выполняют контрольную работу в классе информатики. Работа состоит из трех задач. Для получения хорошей оценки нужно найти правильные ответы не меньше чем на две задачи. К каждой задаче дается 5 ответов из которых только одна правильная. Студент выбирает ответ наугад. Какая вероятность того, что он получит хорошую оценку?
Решение . Вероятность правильно ответить на вопрос: p=1/5=0.2; n=3.
Эти данные необходимо ввести в калькулятор. В ответ см. для P(2)+P(3).

Пример №4 . Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна (m+n)/(m+n+2) . Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

Примечание . Вероятность того, что он промахнется не более двух раз включает в себя следующие события: ни разу не промахнется P(4), промахнется один раз P(3), промахнется два раза P(2).

Пример №5 . Определите распределение вероятностей числа отказавших самолётов, если влетает 4 машины. Вероятность безотказной работы самолета Р=0.99 . Число отказавших в каждом вылете самолётов распределено по биноминальному закону.

Практические задачи, связанные с оценкой вероятности наступления события в результате нескольких равноценных попыток могут анализироваться с применением формулы Бернулли или (при большом количестве таких попыток) с применением приближенной формулы Пуассона. Для работы с этим материалом Вам снова потребуется знание ..

Схема Бернулли состоит в следующем: производится последовательность испытаний, в каждом из которых вероятность наступления определенного события А одна и та же и равна р. Испытания предполагаются независимыми (т.е. считается, что вероятность появления события А в каждом из испытаний не зависит от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях). Наступление события А обычно называют успехом, а ненаступление - неудачей. Обозначим вероятность неудачи q=1-P(A)=(1-p). Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно m раз, выражается формулой Бернулли :

Вероятность Р n (m) при данном n сначала увеличивается при увеличении m от 0 до некоторого значения m 0 , а затем уменьшается при изменении m от m 0 до n.

Поэтому m 0 , называют наивероятнейшим числом наступлений успеха в опытах. Это число m 0 , заключено между числами np-q и np+p (или, что то же самое, между числами n(p+1)-1 и n(p+1) ) .Если число np-q - целое число, то наивероятнейших чисел два: np-q и np+p.

Важное замечание. Если np-q< 0, то наивероятнейшее число выигрышей равно нулю.

Пример. Игральная кость бросается 4 раза. При каждом броске нас интересует событие А ={выпала шестерка}.

Решение: Здесь четыре испытания, и т.к. кубик симметричен, то

p=P(A)=1/6, q=1-p=5/6.

Вероятность того, что в 4 независимых испытаниях успех наступит ровно m раз (m < 4), выражается формулой Бернулли:

Посчитаем эти значения и запишем их в таблицу.

Самое вероятное число успехов в нашем случае m 0 =0.

Пример. Вероятность появления успеха равна 3/5. Найти наивероятнейшее число наступлений успеха, если число испытаний равно 19, 20.

Решение: при n =19 находим

Таким образом, максимальная вероятность достигается для двух значений m 0 , равных 11 и 12. Эта вероятность равна P 19 (11)=P 19 (12)=0,1797. При n=20 максимальная вероятность достигается только для одного значения m 0 , т.к.

Не является целым числом. Наивероятнейшее число наступлений успеха m 0 равно 12. Вероятность его появления равна P 20 (12)=0,1797. Совпадение чисел P 20 (12) и P 19 (12) вызвано лишь сочетанием значений n и p и не имеет общего характера.

На практике в случае, когда n велико, а p мало (обычно p < 0,1; npq < 10) вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона

Пример 4. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,002. Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

Решение: будем рассматривать работу каждого элемента как отдельное испытание. Обозначим А ={отказ элемента за год}.

P(A)=p=0,002, l=np=1000*0,002=2

П о формуле Пуассона

Обозначим через P 1000 (> 2) вероятность отказа не менее двух элементов за год.
Переходя к противоположному событию, вычислим P 1000 (> 2) как.

Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Замечание. Независимые опыты могут производиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого-то события А во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту.

Пусть теперь производится n независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может наступить некоторое событие А . Требуется найти вероятность Р n (к) того, что в n опытах событие А наступит ровно к раз (событие В ).

Описанная схема называется схемой независимых испытаний, или схемой Бернулли, по имени швейцарского математика конца XVII и начала XVIII века Якоба Бернулли, изучавшего её.

Найдем вероятность Р n (к) . Событие В можно представить в виде суммы ряда элементарных событий – вариантов события А . Каждый вариант события А можно записать в виде строки длиной n (число опытов), в которой к компонент соответствуют событию А , а остальные n-к компонент событию . Например, один из возможных вариантов есть

(успех и 1,2,…,k -м опытах и неудача в остальных).

Число всех вариантов равно (числу сочетаний из n элементов по к ), а вероятность каждого варианта в виду независимости опытов равна р к q n -к (где q =1-р ). Отсюда вероятность события В будет равна

Формула (1) носит название формулы Бернулли .

Отсюда следует, что вероятность, хотя бы одного появления события А при n независимых испытаниях (опытах) в одинаковых условиях равна

Пример 1 . Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом 3 раза?

Решение . В данном случае событием А считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна . Отсюда

P = .

Для наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех. Если зафиксировать n , то, Р n (к) . есть функция аргумента к , принимающая значения . Выясним, при каком значении к функция Р n (к) принимает наибольшее значение, т.е., какое число успехов к 0 является наиболее вероятным при данном числе опытов n . Оказывается что число к=к 0 можно определить из двойного неравенства.

(3)

Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Если np+p не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее значение к 0 .Если же np+p – целое число, то имеются два наивероятнейших значения: и .

Пример 2 . Игральную кость бросают 20 раз. Каково наиболее вероятное число выпадений грани «6» ?

Решение. В данном случае n = 20, откуда . Поскольку nр + р не целое число, то наибольшим среди чисел Р 20 (0), Р 20 (1),…, Р 20 (20) будет число Р 20 (3). Следовательно, наиболее вероятное число выпадений грани «6» будет 3. Найдём, чему равна вероятность такого числа выпадений. По формуле Бернулли имеет:

.

Из формулы (3) видно, что одно из двух ближайших к nр целых чисел является наиболее вероятным числом успехов.

Оказывается, число nр допускает и другую интерпретацию. А именно: nр можно рассматривать, в определенном смысле, как среднее число успехов в n опытах . Будем исходить из частотного истолкования вероятности. Назовем (для краткости) n - кратное повторение данного опыта серией. Пусть мы произвели N серий. Пусть в первой серии было получено к 1 успехов, во второй – к 2 , ….., в N -ой –к N . Составим среднее арифметическое этих чисел

. (4)

Равенство (4) - есть среднее число успехов в N сериях. Оказывается, что с увеличением N указанное среднее арифметическое приближается к некоторому постоянному значению, а именно к числу np .

Действительно запишем (4) в виде:

. (5)

Поскольку каждая серия состоит из n опытов, то производя N серий мы осуществляем данный опыт раз.

Написанная дробь (5) со знаменателем Nn есть нечто иное как отношение общего числа успехов в этих опытах к числу всех опытов. С увеличением N (а значит, и Nn ) эта дробь будет приближаться к числу р - вероятности успеха. Следовательно, число (4) будет приближаться к рn , что и требовалось получить.

Пример 3 . Станок штампует изделия. Вероятность р брака одного изделия равна 0,05. Чему равно среднее число бракованных изделий на сотню?

Решение . Искомое число бракованных изделий равно: .

Замечание 1. Можно рассмотреть более общую схему независимых испытаний. Рассмотрим n независимых испытаний (в различных условиях), причём вероятность события А («успеха») в i -ом опыте равна p i , a q i =1-p i – вероятность неуспеха в i -м испытании (i =1,2,…,n ). Тогда можно показать, что вероятность P n (к) того, что событие А появится в этих n опытах ровно к раз, равна коэффициенту при z k в разложении по степеням z функции

Такую схему независимых испытаний называют схемой Пуассона . Схема Пуассона при p i =p превращается в схему Бернулли. Вероятности P n (к) в схеме Пуассона не записываются в компактном виде аналогичной формуле(1). Из (6) , например, следует:

Замечание 2. Схемы Бернулли и Пуассона допускают обобщение на тот случай, когда в результате каждого опыта возможные не два исхода (А или ), а несколько исходов.

Если производится n независимых опытов (схема Бернулли) причём каждый опыт может иметь к исключающих друг друга исходов , с вероятностями , то вероятность того, что в m 1 опытах появится событие А 1 , в m 2 опытах событие А 2 и т.д., в m k опытах событие А к выражается формулой

Если условия опыта различны (схема Пуассона), т.е.

в i- омопыте событие A j имеет вероятность p ji (i =1,2,…,n ; j =1,2,…,k ), то вероятность вычисляется как коэффициент при члене в разложении по степеням функции:

Пример 4. Завод изготавливает изделия, каждое из которых подвергается четырём видам испытаний. Первое испытание изделия проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе с вероятностью 0,95; третье-0,8 и четвертое-0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно:

A- все четыре испытания

B- ровно два испытания (из четырех)

C- не менее двух испытании (из четырех)

Решение. В условиях задачи проводятся четыре независимых опыта (испытания) в различных условиях. Вероятность события. А – испытание прошло благополучно, в каждом опыте разное. Искомые вероятности находим из формулы (6)

Отсюда получаем:

§12. Вероятности P n (к) при больших значениях n . Приближённые формулы Лапласа и Пуассона.

В приложениях часто возникает необходимость в вычислении вероятностей Р n (к) для весьма больших значений n и k . Рассмотрим, например, такую задачу.

Задача. На некотором предприятии вероятность брака, равна 0,02. Обследуются 500 изделий готовой продукции. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 10 бракованных.

Рассматривая обследование каждого изделия как отдельный опыт, можно сказать, что производиться 500 независимых опытов, причем в каждом их них событие А (изделие оказалось бракованным) наступает с вероятностью 0,02, тогда по формуле Бернулли получаем

Непосредственный подсчет этого выражения представляется сложным. Ещё большую трудность пришлось бы испытать, если бы мы искали вероятность того, что число бракованных изделий среди 500 окажется в пределах, скажем, от 10 до 20. В этом случае потребовалось бы вычислить сумму , что является более сложным делом.

Задачи подобного рода встречаются в приложениях весьма часто. Поэтому возникает необходимость в отыскании приближённых формул для вероятностей Р n (к) , а также для сумм вида

(1)

при больших n .

1. Приближённые формулы Лапласа. Их используют при больших n (порядка сотен или тысяч), вероятностей p или q не слишком близким к 0 или 1 (порядка сотых долей). Обычно условием применения этих приближений является условие npq >9.

а) Локальная приближённая формула Лапласа . При больших n справедливо равенство.

, (2)

где , а φ (х ) обозначает следующую функцию: .

Заметим, что функция φ(х) табулирована, т.е. для нее составлена таблица её значений.

Вторая приближённая формула Лапласа даёт приближённые значения для величины -вероятности того, что число наступлений события А в n опытах (число «успехов») окажется заключенным между заданными границами к 1 и к 2 .

б) Интегральная приближённая формула Лапласа . При больших n справедливо приближённое равенство

, (3)

где Φ(х) обозначает следующую функцию

. (4)

Функция Φ(х) обладает следующими полезными для вычисления свойствами:

1. Φ(х) – нечётная функция: ,

2. при возрастании х от 0 до ∞ функция Φ(х) растет от 0

до 0,5, причем уже при х = 5 значение функции Φ(х)

отличается от 0,5 меньше чем на (т.е. при функция Ф(x) практически равна 0,5).

Пример 1. Монету бросают 100 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно 50 раз?

Решение . Имеем: npq = 100· · = 25>9. Воспользовавшись приближённой формулой (2), получим. . Из таблицы для функции φ(x) найдем, что φ(0) = 0,3989…. Отсюда получаем .

Пример 2 . Доведём до конца решение задачи, приведённой в начале этого параграфа. В ней требовалось найти , а также вероятность P 500 (10≤ к ≤20).

Решение. В данном случае npq = 500·0,02·0,98=9,8. Воспользовавшись приближёнными формулами (2) и (3), получим: ,

Замечание. Если мы осуществляем опыт n раз и k - число наступлений события А при этом, то, вообще говоря, дробь -относительная частота наступления события

А – будет близка к р (вероятности события А ). Однако сколь тесной окажется эта близость, предугадать невозможно.

Интегральная теорема Лапласа позволяет оценить вероятность неравенства при достаточно больших n и значениях р не слишком близких к 0 или 1, т.е. определить вероятность того, что отклонение частоты случайного события от его вероятности р по абсолютной величине не превосходит некоторого . Имеем

Таким образом, получаем

(5)

Вероятность в этом случае называют надёжностью оценки , а сама оценка доверительной оценкой частоты с надёжностью .

На практике надёжность оценки задаётся заранее. Тогда по заданной надёжности можно найти соответствующее значение из уравнения с помощью таблиц функции Лапласа. В этом случае доверительная оценка с заданной надёжностью примет вид р или q к нулю, поэтому, в этом случае используют приближённые формулы Пуассона. При больших n (порядка тысяч, десятков тысяч и больше) и малых р (порядка тысячных долей и меньше) справедливы приближённые равенства. Обычно условием применения этих приближений является условие npq <9.

, (7).

, (8)

где λ =np .

Особенностью формул (7) и (8) является то, что для того, чтобы найти вероятность того или иного числа успехов, вовсе не требуется знать n и р . Всё определяется числом λ=np , которое является (см. §11) средним числом успехов .

Для выражения , рассматриваемого как функция двух переменных к и λ, составлены таблицы значений.

Пример 5 . Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет в пяти веретенах.

Решение. Формула Бернулли приведёт к громоздким вычислениям, поэтому воспользуемся формулой Пуассона (7). Здесь к = 5, р =0.004, n = 1000, тогда λ = np = 4.

Отсюда: .

Пример 6 . Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице будет не менее четырёх опечаток (событие В ).

Решение: Среднее количество опечаток на одну страницу есть . В данном случае следует применить формулу Пуассона. Тогда вероятность p к иметь к опечаток на одной странице будет равна .

Сумма р = p 0 +p 1 +p 2 +p 3 есть вероятность того, что на странице окажется не более трёх опечаток. Пользуясь таблицами (или калькулятором) получаем р = 0,999996 (в данном случае мы пользовались калькулятором, таблицы дадут р =0,9048+0,0905+0,0045+0,0002=1). Вероятность того, что на случайно выбранной странице будет не менее четырёх опечаток, равна 1-р =1-0,999996=0,0000004 (таблицы дадут 1-р =1-1=0). Отсюда можно сделать вывод, что событие В практически невозможно.

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обозначим эти вероятности как p и q . Исход с вероятностью p будем называть “успехом”, а исход с вероятностью q – “неудачей”.

Очевидно, что

Пространство элементарных событий для каждого испытания состоит из двух точек. Пространство элементарных событий для n испытаний Бернулли содержит точек, каждая из которых представляет один возможный исход составного опыта. Поскольку испытания независимы, то вероятность последовательности событий равна произведению вероятностей соответствующих исходов. Например, вероятность последовательности событий

{У, У, Н, У, Н, Н, Н}

равна произведению

Примеры испытаний Бернулли.

1. Последовательные бросания “правильной” монеты. В этом случае p = q = 1/2 .

При бросании несимметричной монеты соответствующие вероятности изменят свои значения.

2. Каждый результат опыта можно рассматривать как A или .

3. Если существует несколько возможных исходов, то из них можно выделить группу исходов, которые рассматриваются как “успех”, называя все прочие исходы “неудачей”.

Например, при последовательных бросаниях игральной кости под “успехом” можно понимать выпадение 5, а под “неудачей” – выпадение любого другого числа очков. В этом случае p = 1/6, q = 5/6.

Если же под “успехом” понимать выпадение четного, а под “неудачей” – нечетного числа очков, то p = q = 1/2 .

4. Повторные случайные извлечения шара из урны, содержащей при каждом испытании a белых и b черных шаров. Если под успехом понимать извлечение белого шара, то , .

Феллер приводит следующий пример практического применения схемы испытаний Бернулли. Шайбы, изготовляемые при массовом производстве, могут отличаться по толщине, но при проверке они классифицируются на годные и дефектные – в зависимости от того, находится ли толщина в предписанных границах. И хотя продукция по многим причинам не может вполне соответствовать схеме Бернулли, эта схема задает идеальный стандарт для промышленного контроля качества продукции, несмотря даже на то, что этот стандарт никогда не достигается вполне точно. Машины подвержены изменениям, и поэтому вероятности не остаются одними и теми же; в режиме работы машин имеется некоторое постоянство, в результате чего длинные серии одинаковых отклонений оказываются более вероятными, чем это было бы при действительной независимости испытаний. Однако с точки зрения контроля качества продукции желательно, чтобы процесс соответствовал схеме Бернулли, и важно то, что в некоторых пределах этого можно добиться. Целью текущего контроля является обнаружение уже на ранней стадии существенных отступлений от идеальной схемы и использование их как указаний на угрожающее нарушение правильности работы машины.