Геометрия - это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.
Смежные и вертикальные углы - это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.
Образование углов
Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.
Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.
Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.
Тупым является угол, превышающий 90 градусов.
Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.
В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.
Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:
- Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
- Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.
Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.
Вертикальные углы
Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.
Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.
При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.
Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.
Сумма смежных углов равна 180°
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .
Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Вертикальные углы равны
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).
Теорема 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 - смежные, углы 1 и 3 - вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
АН - перпендикуляр к прямой
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Чертежный угольник
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 - углы вертикальные; заключение - эти углы равны.
Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение - словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».
Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?
Решение.
Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.
Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?
Решение.
Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.
Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.
Решение.
Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.
Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.
Решение.
Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол
АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°.
Смежные углы – два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.
Сумма смежных углов равна 180°
Вертикальные углы - это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжение сторон другого.
Вертикальные углы равны.
2. Признаки равенства треугольников:
I признак : Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
II признак : Если стороны и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
III признак : Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны
3. Признаки параллельности двух прямых: односторонние углы, накрест лежащие и соответственные:
Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.
Накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
Односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; рис. Стр55
Соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;
Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Теорема : Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны
Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны
Теорема : если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°
4. Сумма углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180°
5. Свойства равнобедренного треугольника:
Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, являетсямедианой и высотой (медиана наоборот), (биссектриса делит угол пополам, медиана делит сторону пополам, высота образует угол 90°)
Признак: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
6. Прямоугольный треугольник:
Прямоугольный треугольник - это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов)
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета
1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°
7. Равносторонний треугольник:
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, плоская фигура, имеющая три стороны равной длины; три внутренних угла, образуемых сторонами, также равны и составляют 60 °С.
8. Sin, cos, tg, ctg:
Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= 
, ctg=
9. Признаки четырехугольника^
Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, сумма противоположных углов равна 180°
10. Признаки подобия треугольников:
I признак : если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны
II признак : если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
III признак : если три стороны одного треугольника порциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны
11. Формулы:
· Теорема Пифагора: a 2 +b 2 =c 2
· Теорема sin: 
· Теорема cos: 
· 3 формулы площади треугольника: 
· Площадь прямоугольного треугольника: S= S=
· Площадь равностороннего треугольника:
· Площадь параллелограмма: S = ah
· Площадь квадрата: S = a2
· Площадь трапеции: 
· Площадь ромба:
· Площадь прямоугольника: S=ab
· Равносторонний треугольник. Высота: h=
· Тригонометрическая единица: sin 2 a+cos 2 a=1
· Средняя линия треугольника: S=
· Средняя линия трапеции : МК=
©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-12
по теме: Смежные и вертикальные углы, их свойства.
(3 занятия)
В результате изучения темы нужно:
УМЕТЬ:Понятия: смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых
Различать понятия смежные и вертикальные углы
Теоремы смежных и вертикальных углов
Решать задачи с использованием свойств смежных и вертикальных углов
Свойства смежных и вертикальных углов
Строить смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые
ЛИТЕРАТУРА:
1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012
2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева, А.Т. Миразова. Алматы « Атамұра ». 2012
3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы « Атамұра ». 2012
4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы « Атамұра ». 2012
5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы « Атамұра ». 2012
Помни, что работать нужно по алгоритму!
Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях,
Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.
Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому,
кого ты проверяешь.
ЖЕЛАЮ УСПЕХА!
ЗАДАНИЕ №1.
Прочитай определение и выучи (2б):
Определение. Углы, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами, называются смежными.
2) Выучи и запиши в тетрадь теорему: (2б)
Сумма смежных углов равна 180.
Дано:∠ АОД и ∠ ДОВ –данные смежные углы
ОД - общая сторона
Доказать:
∠ АОД + ∠ ДОВ = 180
Доказательство:
На основе аксиомы III 4:
∠ АОД + ∠ ДОВ = ∠ АОВ.
∠ АОВ - развернутый. Следовательно,
∠ АОД + ∠ ДОВ = 180
Теорема доказана.
3) Из теоремы следует: (2б)
1) Если два угла равны, то смежные с ними углы равны;
2) если смежные углы равны, то градусная мера каждого из них равна 90°.
Запомни!
Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньше 90°, называется острым углом.
Угол, больше 90° и меньше 180°, называется тупым углом.
Прямой угол Острый угол Тупой угол
Так как сумма смежных углов равна 180°, то
1) угол, смежный с прямым углом, прямой;
2) угол, смежный с острым углом, тупой;
3) угол, смежный с тупым углом, острый.
4) Рассмотри образец решения з адачи:
а) Дано: ∠ h k и ∠ kl - смежные; ∠ h k больше ∠ kl на 50° .
Найти: ∠ h k и ∠ kl .
Решение: Пусть ∠ kl = х, тогда ∠ h k = х + 50°. По свойству о сумме смежных углов ∠ kl + ∠ h k = 180°.
х + х + 50° = 180°;
2х = 180° - 50°;
2х = 130°;
х = 65°.
∠ kl = 65°; ∠ h k = 65°+ 50° = 115°.
Ответ: 115° и 65°.
б) Пусть ∠ kl = х, тогда ∠ h k = 3х
х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°; ∠ kl = 45°; ∠ hk = 135°.
Ответ: 135° и 45°.
5) Работа с определением смежных углов: (2 б)
6) Найди ошибки в определениях: (2б)
Пройди проверку №1
Задание №2
1)Построй 2 смежных угла так, чтобы их общая сторона проходила через точку C и сторона одного из углов совпадала с лучом AB.(2б)
2). Практическая работа на открытие свойства смежных углов: (5б)
Ход работы
1. Построй угол смежный углу а , если а : острый, прямой, тупой.
2. Измерь величины углов.
3.Данные измерений занеси в таблицу.
4. Найди соотношение между величинами углов а и .
5. Сделай вывод о свойстве смежных углов.
Пройди проверку №2
Задание №3
Начертите неразвернутый ∠ АОВ и назовите лучи, являющиеся сторонами этого угла.
Проведите луч О, являющийся продолжение луча ОА, и луч ОД, являющийся продолжение луча ОВ.
Запишите в тетради: углы ∠ АОВ и ∠ СОД называются вертикальными. (3б)
Выучи и запиши в тетрадь: (4б)
Определение: Углы, у которых стороны одного из них являются дополнительными лучами другого, называются вертикальными углами.
< 1 и <2, <3 и <4 вертикальные углы
Лучи OF и OA , OC и OE являются попарно дополнительными лучами.
Теорема: Вертикальные углы равны.
Доказательство.
Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Пусть прямые а и b пересекаются в точке О. ∠ 1 и ∠ 2 –вертикальные углы.
∠ АОС-развернутый, значит ∠ АОС= 180°. Однако ∠ 1+ ∠ 2= ∠ АОС, т.е.
∠ 3+ ∠ 1= 180°, отсюда имеем:
∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)
Также имеем, что ∠ ДОВ= 180°, отсюда ∠ 2+ ∠ 3= 180°, или ∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)
Так как в равенствах (1) и (2) прямые части равны, то ∠ 1= ∠ 2.
Теорема доказана.
5). Работа с определением вертикальных углов:(2б)
6) Найди ошибку в определении:(2б).
Пройди проверку №3
Задание №4
1)Практическая работа на открытие свойства вертикальных углов:(5б)
Ход работы:
1.Построй угол β вертикальный углу α , если α :
острый, прямой, тупой.
2.Измерь величины углов.
3.Данные измерений занеси в таблицу
4.Найди соотношение между величинами углов α и β.
5.Сделай вывод о свойстве вертикальных углов.
2)Доказательство свойств смежных и вертикальных углов. (3б)
2) Рассмотри образец решения з адачи.
Задача. Прямые АВ и СД пересекаются в точке О так, что ∠ AOД = 35°. Найдите углы АОС и ВОС.
Решение:
1) Углы АОД и АОС смежные, поэтому ∠ BOC = 180° - 35° = 145°.
2) Углы АОС и ВОС также смежные, поэтому ∠ BOC = 180° - 145° = 35°.
Значит, ∠ BOC = ∠ АОД = 35°, причем эти углы являются вертикальными. Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?
3) Решение задач на готовых чертежах: (3б)
1. Найти углы АОВ, АОD, COD.
3) Найти углы BOC, FOA.: (3б)
3. Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, 28? и 90?. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений (2б)
Пройди проверку №4
Задание №5
Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №1
Задание №6
1) Самостоятельно докажи свойства вертикальных углов и запиши эти доказательства в тетрадь. (3б)
Учащиеся самостоятельно, используя свойства вертикальных и смежных углов, должны обосновать тот факт, что если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов прямой, то остальные углы также прямые.
2) Реши на выбор две задачи:
1.Градусные меры смежных углов относятся как 7:2. Найдите эти углы.(2б)
2.Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше другого.Найдите каждый из углов.(3б)
3.Найдите смежные углы,если их разность и их сумма относятся как 2:9.(3б)
Задание №7
Молодец! Можешь приступать к проверочной работе №2.
Проверочная работа №1.
Реши на выбор любой из вариантов (10б)
Вариант 1
<1 и <2,<3 и <2,
г) <1 и <3. Какие это углы?
Смежные
д) Начертите (на глаз) угол в 30° и < ABC , смежный с данным
е) Какие углы называются вертикальными?
Два угла называются вертикальными, если орни равны.
ж) Из точки А провести две прямые, перпендикулярные прямой а
Можно провести только одну прямую.
Вариант 2
1.Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал соответствующие ответы. Проверьте, верны ли они, пометив в третьем столбике словом «ДА», «НЕТ», «НЕ ЗНАЮ». В случает «НЕТ» запишите там же верный ответ или добавьте недостающее.
<1 и <4,<2 и <4
Д) <1 и < 3 смежные?
Нет. Они вертикальные
Е) Какие прямые называются перпендикулярными?
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом
Ж) Начертите вертикальные углы так, чтобы их стороны были перпендикулярными прямыми.
2. Назовите вертикальные углы на данном рисунке.
Итого:10 баллов
«5»-10баллов;
«4»-8-9 баллов;
«3»-5-7 баллов.
Проверочная работа №2.
Реши на выбор любой вариант
Вариант I
Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 2:9. (4б)
Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 240°, меньше суммы двух других.(6б)
Вариант II
1) Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 5:8(4б)
2) Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 60°, больше суммы двух других.(6б)
Итого:10 баллов
«5»-10баллов;
«4»-8-9 баллов;
«3»-5-7 баллов.
