Обратная матрица · Матрица B называется обратной к матрице , если справедливо равенство: . Обозначение : − Только квадратная матрица может иметь обратную матрицу. − Не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Свойства: 1. ; 2. ; 3. , где матрицы −квадратные, одинаковой размерности. Вообще говоря, если для не квадратных матриц возможно произведение , которое будет являться квадратной матрицей, то возможно существование и обратной матрицы , хотя 3-свойство при этом нарушается. Для нахождения обратной матрицы можно использовать метод элементарных преобразований строк: 1. Составляют расширенную матрицу, приписывая справа от исходной матрицы единичную матрицу соответствующей размерности: . 2. Элементарными преобразованиями строк матрицу Г приводят к виду: . − искомая Ранг матрицы · Минором k-ого порядка матрицы называется определитель, составленный из элементов исходной матрицы, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов ( ). Замечание . Каждый элемент матрицы является ее минором 1-го порядка. Теорема. Если в матрице все миноры k-ого порядка равны нулю, то равны нулю все миноры большего порядка. Разложим минор (определитель) (k+1 )-ого порядка через элементы 1-ой строки: . Алгебраические дополнения по сути являются минорами k- ого порядка, которые по условию теоремы равны нулю. Следовательно, . · В матрице порядка минор порядка называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. совпадает с меньшим из чисел или . Столбцы и строки матрицы, из которых стоит базисный минор, называются базисными. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок. · Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается: , . Очевидно, что . Например . 1. , . 2. . Матрица В содержит единственный ненулевой элемент являющийся минором 1-го порядка. Все определители более высоких порядков будут содержать 0-ю строку и поэтому равны 0. Следовательно, . обратная матрица 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия. Система линейных алгебраических уравнений (линейная система , также употребляются аббревиатуры СЛАУ , СЛУ ) - система уравнений, каждое уравнение в котором является линейным - алгебраическим уравнением первой степени. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений: Здесь - количество уравнений, а - количество переменных, - неизвестные, которые надо определить, коэффициенты и свободные члены предполагаются известными. Система называется однородной , если все её свободные члены равны нулю (), иначе - неоднородной . Решение системы линейных алгебраических уравнений - совокупность чисел , таких что из соответствующая подстановка вместо в систему обращает все её уравнения в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения - недоопределённой. Матричная форма Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как: или: . Здесь - это матрица системы, - столбец неизвестных, а - столбец свободных членов. Если к матрице приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной. Теорема Кронекера - Капелли Теорема Кронекера - Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы. Методы решения систем линейных уравнений. Матричный метод Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем): Перепишем в матричной форме: Решение системы найдем по формуле Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . Если, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом Гаусса. Метод Крамера Ме́тод Крамера (правило Крамера) - способ решения СЛАУ с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы. Для системы линейных уравнений с неизвестными Заменяем i-тый столбец матрицы столбцом свободных членов b Пример: Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами: Определители: В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы. Решение: 5. Метод Гаусса Алгоритм решения: 1. Запишем расширенную матрицу 2. Приведем к ступенчатому виду путем элементарных преобразований 3. Обратный ход, в ходе которого выражаем базисные члены через свободные. Расширенная матрица получается путем добавления к матрице столбца свободных членов. Существуют следующие элементарные преобразования: 1. Строки матрицы можно переставлять местами. 2. Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. 3. Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. 4. Строку матрицы можно умножить (разделить)на любое число, отличное от нуля . 5. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений Обратный ход: Обычно в качестве базисных переменных берут те переменные, которые расположены на первых местах в ненулевых строках преобразованной матрицы системы, т.е. на "ступеньках". Далее выражаются базисные члены через свободные. Идем “снизу в вверх” попутно выражая базисные члены и подставляя результаты в вышестоящее уравнение. Пример: Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы. В данном примере базисными переменными являются и Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные. Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные . Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вв

Сложение матриц.

Свойства сложения:

· А + В = В + А.

· (А + В) + С = А + (В + С) .

Умножение матрицы на число.

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Перемножение матриц.

Обратная матрица.

Свойства определителей

4. Теорема замещения.

5. Теорема аннулирования.

дополнений этих элементов

где i= ,

Транспонирование матриц.

Транспонированная матрица
A T [i , j ] = A [j , i ].
Например,

и

Цилиндрические поверхности.

Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую K, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром при этом кривая К – направляющая цилиндра, а L – его образующая.

Эллиптический цилиндр

Эллиптическое уравнение:

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр , его уравнение x 2 + y 2 = R 2 . Уравнение x 2 =2pz определяет в пространстве параболический цилиндр .

Уравнение: определяет в пространстве гиперболический цилиндр .

Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка , так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат x, y, z.

62. Эллипсоиды.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:

Исследуем поверхность:

А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостямиz=h не существует.

Б) если , линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности.

В) если , то уравнения можно переписать в виде:
, как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = , b1 = . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений.а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:

Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу.

Гиперболоиды.

1. Исследуем поверхность . Пересекая поверхностьплоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеет вид

z=h. или z=hполуоси: а1= b1=

полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. => х=0.

Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.

2. - уравнение поверхности.

и - поверхность, состоящая из 2 полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность называется двухполостным гиперболоидом .

64. параболоиды.

.
-это эллиптический параболоид.

Каноническое уравнение: (р>0, q>0).

p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.

2.
- гиперболический параболоид.

Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

65. Канонические поверхности.

Каноническое уравнение:

a = b - конус вращения (прямой круговой)
Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).

66. Функция. Основные понятия. Способы её задания.

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y

называют значением функции.

1. Аналитический способ.

2. Графический способ.

3. Словесный способ.

4. Табличный способ.

Теорема сравнения.

в теории дифференциальных уравнений- теорема, утверждающая наличие определенного свойства решений дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) в предположении, что некоторым свойством обладает вспомогательное уравнение или неравенство (система дифференциальных уравнении пли неравенств).

1) Теорема Ш т у р м а: любое нетривиальное решение уравнения обращается в нуль на отрезке не более т раз если этим свойством обладает уравнение и при.

2) Дифференциальное неравенство: решение задачи покомпонентно неотрицательно при если этим свойством обладает решение задачи и выполнены неравенства

Первый замечательны предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел называемый первым замечательным пределом.

Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Доказательство:

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. пусть 0 , дуга МВ численно равна центральному углу х, . Очевидно, имеем . На основании соответствующих формул геометрии получаем . Разделим неравенство на >0, Получим 1<

Так как , то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

А если x<0 => , где –x>0 =>

83. Второй замечательный предел.

Как известно, предел числовой последовательности
, имеет предел равный e. . 1.Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует , поэтому
. Если , то . Поэтому:
,

По признаку существования пределов: . 2. Пусть . Сделаем подстановку –x=t, тогда = . и называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием e. Функция называется экспоненциональной, употребляется также обозначение .

Доказательство.

(с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда . Теорема доказана.

Теорема Коши

Теорема Коши: Если функции f(x) и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (a,b), причем для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что выполняется равенство
.

Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами и их свойства.

Матрицей размера m на n называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей
Сложение матриц.

Свойства сложения:

· А + В = В + А.

· (А + В) + С = А + (В + С) .

· Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

Умножение матрицы на число.

Свойства умножения матрицы на число

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С+В=А, т.е.С=А+(-1)В.
Перемножение матриц.

Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.

Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают

Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ∆А=0, и невырожденной, если∆А≠0

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается

Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

2. Определитель матрицы. Свойства определителей.

Определи́тель (или детермина́нт) - одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца. (∆А)

Свойства определителей

· Определитель - кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. - строчки матрицы, - определитель такой матрицы.

· При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

· Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

· Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

· Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

· Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

· Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

· Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

· Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

· Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши).

· С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

3. Миноры и алгебраические дополнения.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

При выписывании определителя (n-1)-го порядка, в исходном определителе элементы находящиеся под линиями в расчет не принимаются.
Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

4. Теорема замещения.

Суммы произведений произвольных чисел bi ,b2,...,b на алгебраические дополнения элементов любого столбца или строки матрицы порядка n равны определителю матрицы, которая получается из данной заменой элементов этого столбца (строки)числами b1,b2,...,bn.

5. Теорема аннулирования.

Сумма, произведений элементов одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.

6. Некоторые методы вычисления определителей.

Теорема (Лапласа). Определитель матрицы порядка N = сумме произведения всех миноров k-гопорядка которые можно составить из произвольно выбранных k параллельных рядов и алгебраических дополнений этих миноров

Теорема (о разложении определителя по элементам ряда). Определитель кв. матрицы=сумме произведений элементов некоторого ряда и алгебраических

дополнений этих элементов

7. Умножение матриц. Свойства умножения.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А m * n = (a i , g) на матрицу В n * p = (b i , k) называется матрица Сm*p = (с i , k) такая, что: ,

где i= , , т.е. элемент i-той и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В.

Матрицы А, n*m и В, m*n, назыв. согласованными. (если А согласованно с В, то это не значит, что В согласованно с А).

Смысл согласованности в том, чтобы количество столбцов 1-ой матрицы совпадало с количеством строк 2-ой матрицы. Для согласованных матриц можно определить операцию умножения.

Если матрицы A и B квадратные и одного размера, то A*B и B*A всегда существуют. Транспонированием называется смена всех элементов столбца соотв элементами строки. Если A T =A, то матрица А наз. симметричная (она обязательно квадратная).

Транспонирование матриц.

Транспонированная матрица - матрица , полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы размеров - матрица размеров , определённая как A T [i , j ] = A [j , i ].
Например,

и

Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы.

Пусть есть матрица А – невырожденная.

А -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, где E –единичная матрица. A -1 имеет те же размеры, что и A.

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. вместо каждого элемента матрицы а ij записываем его алгебраическое дополнение.

А* - союзная матрица.

2. транспонируем полученную союзную матрицу. А *Т

3. делим каждый элемент союзной матрицы на определитель матрицы А.

A -1 = A *Т

Теорема: (об аннулировании определителя):
сумма произведений элементов некоторого ряда определителя на алгебраическое дополнение к элементам другого параллельного ряда всегда равна нулю.

10. Матричная запись системы линейных уравнений и её решения.

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

11. Решение невырожденных линейных систем, формулы Крамера.

СЛАУ принято записывать в матричной форме, когда сами неизвестные не указываются, а указывается только матрица системы А и столбец свободных членов В.

Решение невырожденных СЛАУ методом Крамера:

А -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)

Теорема: (Крамера):
решение невырожденных уравнений АХ=В, можно записать так:

, Ак получается из А путем замены к-го столбца на столбец свободного члена В.

12. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Максимальное число линейно-зависимых строк матрицы A наз. рангом матрицы и обозначr(a). Наибольшее из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 назрангом матрицы .

Свойства:

1)при транспонировании rang=const.

2)если вычеркнуть нулевой ряд, то rang=const;

3)rang=cost, при элементарных преобразованиях.

3)для вычисл ранга с помощью элементарпреобраз матрица AпреобразвматрицB, ранг которой легко находится.

4)ранг треуг матрицы=числу ненулевых элем, располож на глав.диагоналях.

Методы нахождения ранга матрицы:

1) метод окаймляющих миноров

2) метод элементарных преобразований

Метод окаймляющих миноров:

метод окаймляющих миноров позволяет алгоритмизировать процесс нахождения ранг-матрицы и позволяет свести к минимуму количество вычисления миноров.

1) если в матрице все нулевые элементы, то ранг = 0

2) если есть хоть один ненулевой элемент =>r(a)>0

теперь будем окаймлять минор М1, т.е. будем строить всевозможные миноры 2-ого порядка, ктр. содержат в себе i-тую строку и j-тый столбец, до тех пор, пока не найдем ненулевой минор 2-ого порядка.

Процесс будет продолжаться до одного из событий:
1. размер минора достигнет числа к.

2. на каком-то этапе все окаймленные миноры окажутся = 0.

В обоих случаях величина ранга-матрицы будет равна порядку большего отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований:
как известно, понятие треугольной матрицы определяется только для квадратных матриц. Для прямоугольных матриц аналогом является понятие трапецивидной матрицы.

Например:
ранг = 2.

Матрица, обратная для данной.

Не всякая матрица имеет обратную.

Теорема 1 . Простейшие свойства обратной матрицы.

1°. Всякая матрица может иметь не более одной обратной.

2°. E –1 = E .

3°. (A –1) –1 = A .

4°. (AB ) –1 = B –1 A –1 .

Вырожденные и невырожденные квадратные матрицы.

Теорема 2 . Критерий обратимости матрицы.

Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная.

Лемма 1 . Всякое строчечное (столбцовое) элементарное преобразование матрицы можно реализовать путём умножения этой матрицы слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.

Лемма 2 . Для того чтобы матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её можно было привести к единичной матрице с помощью только строчечных элементарных преобразований.

Лемма 3 . Если строки (столбцы) матрицы A (B ) линейно зависимы и C = AB , то точно такая же линейная зависимость выполняется для строк (столбцов) матрицы С .

Практический способ вычисления обратной матрицы:

A |E ... E |A –1 .

Матричные уравнения.

Запись СЛУ в виде одного матричного уравнения специального вида. Терема Крамера в матричной форме.

Перестановки и подстановки

Перестановки. Запись перестановки. Число перестановок n элементов. Инверсии. Чётные и нечётные перестановки. Транспозиции.

Теорема . Свойства транспозиций.

1°. От любой перестановки можно перейти к любой другой перестановке с помощью нескольких транспозиций.

2°. Всякая транспозиция изменяет чётность перестановки.

Подстановки. S n . Запись подстановок. Чётность подстановки. Корректность определения чётности подстановки. Знак подстановки. (–1) s (p) .

Определение определителя

Определение определителя.

Примеры вычисления определителей матриц второго и третьего порядков, определителя верхней (нижней) треугольной матрицы, определителя матрицы, у которой все элементы ниже (выше) побочной диагонали равны нулю.

Свойства определителя

Теорема . Свойства определителя.

1°. det t A = detA .

2°.det = det + det .

3°. det = l×det .

4°. det = –det .

5°. Если одна из строк матрицы нулевая, то определитель матрицы равен нулю.

6°. Если какие-либо две строки матрицы равны, то определитель матрицы равен нулю.

7°. Если какие-либо две строки матрицы пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю.

8°. Если одну из строк матрицы умножить на число и прибавить к другой строке, то определитель не изменится.

9°. Определитель вырожденной матрицы равен нулю.

10°. Определитель невырожденной матрицы отличен от нуля.

Примечание . Свойства 1°–4° доказываются по определению, остальные свойства выводятся с помощью свойств 1°–4°.

Следствие 1 . Критерий невырожденности матрицы.

Квадратная матрица является невырожденной тогда и только тогда, когда её определитель отличен от нуля.

Следствие 2 . Однородная система линейных уравнений, состоящая из n уравнений с n неизвестными, имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу

Минор M ij квадратной матрицы. Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij квадратной матрицы.

Теорема о разложении.

det A = a k 1 A k 1 +a k 2 A k 2 + ... +a kn A kn , det A = a 1k A 1k +a 2k A 2k + ... +a nk A nk

для любых k =

Этапы доказательства

1. Для матрицы, в которой A n = e n , по определению det.

2. Для матрицы, в которой A i = e j , путём сведения к случаю 1, учётом знака A i и неизменности M ij .

3. Общий случай путём представления A i в виде суммы n векторов и сведения к случаю 2.

Ещё одно свойство определителя

11°. a k 1 A p 1 +a k 2 A p 2 + ... +a kn A pn , a 1 k A 1 p +a 2 k A 2 p + ... +a nk A np , если k ¹ p .

Матрицу А -1 называютобратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица: А -1 * А = А * А -1 = Е.

Из определения следует, что обратная матрица является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А.

Можно отметить, что понятие обратной матрицы аналогично понятию обратного числа (это число, которое при умножении на данное число дает единицу: а*а -1 = а*(1/а) = 1).

Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа.

Чтобы решить вопрос о том, имеет ли квадратная матрица обратную, необходимо найти ее определитель. Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной , илиособенной .

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы : обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Докажем необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу А -1 , т.е. А -1 * А = Е. Тогда |А -1 * А| = |А -1 | * |А| = |Е| = 1. Следовательно, |А|0.

Докажем достаточность. Чтобы его доказать, необходимо просто описать способ вычисления обратной матрицы, который мы всегда сможем применить для невырожденной матрицы.

Итак, пусть |А| 0. Транспонируем матрицу А. Для каждого элемента А Т найдем алгебраическое дополнение и составим из них матрицу, которую называютприсоединенной (взаимной, союзной):
.

Найдем произведение присоединенной матрицы и исходной
. Получим
. Таким образом матрица В – диагональная. На ее главной диагонали стоят определители исходной матрицы, а все остальные элементы – нули:

Аналогично можно показать, что
.

Если разделить все элементы матрицы на |А|, то будет получена единичная матрица Е.

Таким образом
, т.е.
.

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существует другая обратная матрица для А, отличная от А -1 . Обозначим ее X. Тогда А * Х = Е. Умножим слева обе части равенства на А -1 .

А -1 * А * Х = А -1 * Е

Единственность доказана.

Итак, алгоритм вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов:

1. Найти определитель матрицы |А| . Если |А| = 0, то матрица А - вырожденная, и обратную матрицу найти нельзя. Если |А| 0, то переходят к следующему шагу.

2. Построить транспонированную матрицу А Т.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и построить присоединенную матрицу .

4. Вычислить обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на |А|.

5. Можно проверить правильность вычисления обратной матрицы в соответствии с определением: А -1 * А = А * А -1 = Е.

Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольников:

Проверку опустим.

Можно доказать следующие свойства обращения матриц:

1) |А -1 | = 1/|А|

2) (А -1) -1 = А

3) (А m) -1 = (А -1) m

4) (АB) -1 =B -1 * А -1

5) (А -1) T = (А T) -1

Ранг матрицы

Минором k -го порядка матрицы А размера m х n называют определитель квадратной матрицыk-го порядка, которая получена из матрицы А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов.

Из определения следует, что порядок минора не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. kmin{m;n}. Например, из матрицы А 5х3 можно получить квадратные подматрицы первого, второго и третьего порядков (соответственно, рассчитать миноры этих порядков).

Рангом матрицы называют наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы (обозначают rang А, илиr(А)).

Из определения следует, что

1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(А)min{m;n};

2) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая (все элементы матрицы равны нулю), т.е.r(А) = 0А = 0;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r(А) = n тогда и только тогда, когда эта матрица А невырожденная, т.е.r(А) = n|А|0.

На самом деле, для этого достаточно вычислить только один такой минор (тот, который получен вычеркиванием третьего столбца (потому что в остальных будет присутствовать нулевой третий столбец, и поэтому они равны нулю).

По правилу треугольника = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(А)2. Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

Очевидно, что использованные нами приемы (рассмотрение всевозможных миноров) не подходят для определения ранга в более сложных случаях ввиду большой трудоемкости. Обычно для нахождения ранга матрицы используют некоторые преобразования, которые называют элементарными :

1). Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

2). Умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля.

3). Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4). Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5). Транспонирование.

Если матрица А получена из матрицы Bэлементарными преобразованиями, то эти матрицы называютэквивалентными и обозначают АВ.

Теорема . Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранг.

Доказательство теоремы следует из свойств определителя матрицы. В самом деле, при этих преобразованиях определители квадратных матриц либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы остается прежним, т.е. ее ранг не меняются.

С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к так называемому ступенчатому виду (преобразуют в ступенчатую матрицу ), т.е. добиваются, чтобы в эквивалентной матрице под главной диагональю стояли только нулевые элементы, а на главной диагонали – ненулевые:

Ранг ступенчатой матрицы равен r, так как вычеркиванием из нее столбцов, начиная с (r + 1)-го и дальше можно получить треугольную матрицу r-го порядка, определитель которой будет отличен от нуля, так как будет представлять собой произведение ненулевых элементов (следовательно, имеется минор r-го порядка, не равный нулю):

Пример. Найти ранг матрицы

1). Если а 11 = 0 (как в нашем случае), то перестановкой строк или столбцов добьемся того, чтобы а 11 0. Здесь поменяем местами 1-ю и 2-ю строки матрицы:

2). Теперь а 11 0. Элементарными преобразованиями добьемся того, чтобы все остальные элементы в первом столбце равнялись нулю. Во второй строкеa 21 = 0. В третьей строкеa 31 = -4. Чтобы вместо (-4) стоял 0, прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на 2 (т.е. на (-а 31 /а 11) = -(-4)/2 = = 2). Аналогично к четвертой строке прибавим первую строку (умноженную на единицу, т.е. на (-а 41 /а 11) = -(-2)/2 = 1).

3). В полученной матрице а 22 0 (если бы было а 22 = 0, то можно было бы снова переставить строки). Добьемся, чтобы ниже диагонали во втором столбце тоже стояли нули. Для этого к 3-й и 4-й строкам прибавим вторую строку, умноженную на -3 ((-а 32 /а 22) = (-а 42 /а 22) = -(-3)/(-1) = -3):

4). В полученной матрице две последние строки – нулевые, и их можно отбросить:

Получена ступенчатая матрица, состоящая из двух строк. Следовательно, r(A) = 2.

Невырожденной матрицей называется квадратная матрица n-го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной .

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица , то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует матрица , для которой и матрица , для которой .

Тогда , то есть . Умножим обе части равенства на матрицу , получим , где и .

Значит, , что и требовалось доказать.

12. Матричные уравнения, их решение с помощью обратной матрицы.

Матричные уравнения могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С - задаваемые матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева.

Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения.

13. Квадратные системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре - это система уравнений вида

Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c 1 , c 2 , …, c n справедливо равенство:

Система линейных уравнений: